ET ATH S.N THI HỌC SINH GIỎI TOÁN VIE TM THPT HOA KỲ 2004-2014 Trần Quang Nghóa dòch American Mathematics Competition ( AMC 2004-2014) THI HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC HOA KỲ (AHSME AMC)) (American High School Mathematics Examination and American Mathematics Competition) ET American High School Mathematics Examination (AHSME) kì thi loạt kì thi dùng để thử thách học sinh giỏi toán, khối 12 thấp hơn, từ chọn đội tuyển đại diện cho nước Mỹ tham gia kì thi Olympic Toán Quốc tế (International Mathematics Olympiad (IMO)) Kì thi AHSME gồm 30 câu hỏi trắc nghiệm lựa chọn làm 75 phút Các câu hỏi có độ khó tăng dần Mỗi trả lời đúng: điểm Mỗi trả lời sai: - điểm Mỗi câu hỏi không làm: điểm Bắt đầu từ năm 2000, kỳ thi AHSME thay AMC 12 (American Mathematics Competition) dành cho học sinh học lớp 12 Bài thi AMC 12 có 25 câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn thời hạn 75 phút VIE TM ATH S.N Bắt đầu từ năm 2008 thí sinh không sử dụng máy tính Những thí sinh đạt điểm cao mời tham gia tiếp vào kỳ thi AIME (American Invitation Mathematics Examination) Những thí sinh đạt điểm cao kỳ thi lại bước vào kỳ thi UMO (USA Mathematical Olympiad) mà thí sinh điểm cao tập hợp thành đội tuyển dự thi vào kỳ thi danh giá giới, kỳ thi IMO (International Mathematical Olympiad: (Olympic Toán Quốc Tế) Các toán thuộc lãnh vực số học, đại số, hình học, lý thuyết số, tỗ hợp xác suất nội dung khác chương trình toán phổ thông mà học sinh có thểà giải mà không cần công cụ giải tích Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn NĂM 2004 Alicia kiếm 20 đôla giờ, phải = 20042005, V = 20042005, W = 2003 20042004 , X = trừ 1.45% đóng thuế Hỏi Alicia phải đóng thuế 20042004, Y = 20042004 Z = 20042003 Số sau xu làm việc? (MỗÃi đôla có 100 xu) lớn nhất? a) 0.0029 a) U - V b) 0.029 c) 0.29 d) 2.9 e) 29 b) V - W c) W - X d) X – Y e) Y – Z Một trò chơi với giơ tông theo luật chơi sau điểm, trả lời sai diem câu Trong vòng chơi, người chơi có nhiều giơ hỏi để trống 2.5 điểm Nếu Charlyn không làm tông phải chung cho người chơi lại 25 câu hỏi, hỏi số câu hỏi lại cô giơ tông thêm giơ tông vào đống phải trả lời câu để điểm thi c) 14 d) 16 e) 17 Có cặp thứ tự số nguyên dương (x, y) cho x + 2y = 100 a) 33 b) 49 c) 50 d) 99 e) 100 Bertha có cô gái không trai Một số gái bà lại có cô gái số lại người gái Bertha có tất 30 gái cháu ngoại gái, cháu cố gái Hỏi có gái cháu gái Bertha a) 22 b) 23 c) 24 nhiêu vòng kết thúc? a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40 Tam giác ABC ABE chồng lên nhau, có cạnh chung AB góc EAB ABC vuông AB = 4, BC = 6, AE = 8, cạnh AC BE cắt D Tìm hiệu số diện tích tam giác ADE BDC? a) b) c) d) e) TM nào? 13 giơ tông, theo thứ tự Hỏi chơi bao ATH S.N b) 13 rác Cuộc chơi chấm dứt có người chơi hết giơ tông Các người chơi A, B C bắt đầu với 15, 14 100 điểm? a) 11 ET Trong thi toám AMC, trả lời d) 25 e) 26 Đồ thò đường thẳng y = mx + n vẽ a) mb < - VIE bên Phát biểu sau đúng? b) - < mb < d) < mb < c) mb = e) mb > Một công ty bán bơ đậu phọng lọ hình trụ Các nghiên cứu thò trường đề nghò dùng lọ rộng để tăng thò phần Nếu đường kính lọ tăng 25% mà không thay đổi thể tích, chiều cao phải giảm phần trăm? Cho U a) 10% b) 25% c) 36% d) 50% e) 60% American Mathematics Competition ( AMC 2004-2014) nhỏ có số hạng thứ ba cấp số 10 Tổng 49 số nguyên liên tiếp 75 Tìm số nhân trung vò? a) 11 b) 72 c) 73 d) 74 a) e) 75 Giá trò trung bình tất đồng xu, đồng 100m Lần gặp thứ hai sau Sally chạy vượt 150 ví? d) m qua điểm gặp thứ Mỗi cô chạy với tốc độ e) Tìm chiều dai vòng đua ET c) a) 250 12 Cho A = (0, 9) B = (0, 12) Các điểm A' B' nằm đường thẳng y = x, đoạn AA' c) d) + c) 350 d) 400 e) 500 log2004(log2003(log2002(log2001x))) ATH S.N b) b) 300 16 Tập hợp số thực cho BB' cắt C = (2, 8) Tìm độ dài đoạn A'B' a) e) 81 gặp sau Brenda chạy bình 21 xu Hỏi em có đồng 10 xu b) d) 49 đường chạy tròn, hai điểm đối tâm Họ Nếu em có thêm đồng 25 xu giá trò trung a) c) 36 Brenda Sally chạy ngược chiều sau 15 xu, đồng 10 xu, 25 xu ví Paula 20 xu b) e) xác đònh {x/x > c} Vậy c = b) 20012002 a) c) 20022003 d) 20032004 20022003 e) 2001 17 Cho f hàm số có tính chất sau: (i) f(1) = 1, VIE TM (ii) f(2n) = x f(n), với n nguyên dương c) 24 d) 27 nửa đường tròn có tiếp tuyến với nửa hay Có đường thẳng phân biệt qua b) 20 có cạnh Một vẽ hình vuông, phẳng toạ độ cho số a b - 1, a) 18 Hình vuông ABCD đường kính AB 13 Gọi S tập hợp điểm (a, b) mặt hai phần tử S? Tìm giá trò f(2100) đường tròn vẽ từ C cắt cạnh AD E Tìm độ e) 36 dài đoạn CE a) 14 Một dãy ba số thực tạo thành cấp số cộng 2 b) c) d) 5/2 e)  có số hạng Nếu cộng vào số hạng thứ hai 20 cộng vào số hạng thứ ba, 19 Các đường tròn A, B C tiếp xúc với ba số tạo thành cấp số nhân Tìm giá trò tiếp xúc với đường tròn D Các đường Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn tròn B C Đường tròn A có bán kính qua tâm đường tròn D Tìm bán kính Những số số khác 0? đường tròn B a) co a) 2/3 b) /2 c) 7/8 d) 8/9 e) + b) c2003 2004 a d) k 1 c) b2b3 b2004 e) k 2004 b k 1 k 24 Một mặt phẳng chứa điểm A, B với AB = Gọi S phần hội tất hình tròn có bán kính mặt phẳng che phủ đoạn AB ET Tìm diện tích S a) 2 + d) 10/3 – 20 Chọn ngẫu nhiên số a b e) 3 - 3/ e) 4 - ATH S.N cách độc lập, gọi c tổng chúng Gọi A, B b) 8/3 C theo thứ tự kết làm tròn a, b c đến số nguyên gần Tìm xác suất để A + B = C a) 1/4 b) 1/3 21 Nếu c) 1/2   cos 2n d) 2/3 e) 3/4  = 5, tìm giá trò cos 2 n 0 b) 2/5 c) /5 d) 3/5 e) 4/5 TM a) 1/5 22 Ba mặt cầu bán kính tiếp xúc đôi nằm mặt phẳng ngang Một mặt cầu 25 Với số nguyên n ≥ 4, gọi an số 0.133n hệ n Tích a4 a5 a99 viết dạng m n! bán kính nằm chúng Tìm khoảng cách từ a) + 30 b) + d) 52/9 23 VIE mặt phẳng đến đỉnh mặt cầu lớn 69 c) + Tìm giá trò m 123 a) 98 e) + 2 Đa thức P(x) = c20004 x2004 + c2003 x2003 + + c1 x + c0 có hệ số thực với c2004 ≠ 2004 nghiệm phức phân biệt zk = ak + bki , ≤ k ≤ 2004 với ak bk số thực, a1 = b1 = 2004 2004 k 1 k 1 m n số nguyên dương n số nhỏ  ak   bk b) 101 c) 132 d) 798 e) 962 American Mathematics Competition ( AMC 2004-2014) BÀI GIẢI Sau vòng 2, người chơi theo thứ tự có x - 1, x - 2, x + giơ tông e) 20 đôla 2000 xu, 1.45% 2000 Sau vòng 3, người chơi theo thứ tự có x, x - 1, x - 29 xu => (e) giơ tông Vậy sau ba vòng, người chơi (c) Cô x 2.5 = 20 điểm cho câu giơ tông, tiếp diễn hỏi cô không làm Cô phải Do sau 12 ván tức 36 vòng chơi, người chơi A, [(100 - 20)/6] = 14 => (c) B, C lại 3, 2, giơ tông theo thứ tự Thêm vòng A hết giơ tông (b) Mỗi số nguyên y cho ta nghiệm chơi kết thúc => (b) ET nguyên x Vì y > nên y ≥ Cũng vậy, y = 100 - x Vì x > nên y < 50 => (b) Kí hiệu [ .] diện tích, ta có: ≤ y < 50 [ABE] - [ABC] = [ADE] + [ABD] - [ABD] [BDC] Như ta có 49 giá trò y hay có 49 nghiệm ATH S.N phương trình => (b).) = [ADE] - [BDC] Ta có: [ABE] = 1/2 = 16 [ABC] = 1/2 =6 (e) Vì Bertha có gái, nên Bertha có Vậy hiệu số 16 - 12 = => (b) 30 - = 24 cháu ngoại, số có gái Trong số cô gái Bertha, có 24/6 = có gái, - = gái Do đó, số gái cháu ngoại TM Bertha, có 24 + = 26 gái => (e) (b) Có vẻõ đường thẳng có độ dốc - 1/2 => m = - 1/2 Và tung độ gốc (tung độ giao điểm đường thẳng với trục tung 4/5 => b = 4/5 (a) U - V = 20042005 V - W = 20042004 VIE Vậy mb = (4/5)(- 1/2) = - 4/10 => (b) (c) Khi đường kính tăng 25%, tăng thành 5/4, diện tích đáy tăng (5/4) = 25/16 Để giữ thể tích không đổi, chiều cao phải W - X = 2001 * 20042004 X - Y = 20042004 16  25 /16 25 Y - Z = 2003 * 20042003 chiều cao ban đầu, tức giảm 36% => (c) Vậy U - V lớn => (a) 10 (c) Số trung vò số cdua dãy số (b) Vì Xét ván gồm ba vòng, xếp dãy số theo thứ tự Vì số nguyên người chơi có x + 1, x, x - giơ tông liên tiếp nên số trung vò số trung bình, Sau vòng 1, người chơi theo thứ tự có x - 2, x + 1, x giơ tông Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn số trung vò /49 = => (c) 11 (a) Gọi x (tính xu) số tiền Paula có ban đầu, số đồng tiền em có n Ta có : x/n = 20 => x = 20n x  25  21 n 1 Trường hợp 1: đường thẳng nằm ngang thẳng đứng, có = Thế x = 20n, ta được: 20n + 25 = 21(n + 1) n = ET Suy x = 80 Do dễ thấy Paula có đồng 25 xu, đồng xu, đồng 10 xu 12 (b) Phương trình AA' qua A, C ATH S.N => (a) Trường hợp 2: đường thẳng có độ dốc  : có đường qua (0, 0) thêm đường hay 98 y-9= (x - 0) 02 đường đơn vò, tất Trường hợp 3: đường lại qua hai điểm, => y = (- 1/2)x + đỉnh điểm đỉnh Tương tự, phương trình BB' qua B C 12  (x - 0) 02 => y = - 2x + 12 hai điểm cạnh đối diện , tất = Vậy có tất + + = 20 đường thẳng => (b) TM y - 12 = cạnh đối diện Có đỉnh ứng với đỉnh có B'(4, 4) Vậy A'B' = 2 => (b) VIE Hai đường thẳng cắt y = x điểm A'(6, 6) 14 (a) Gọi d công sai, 9, + d + 2, + 2d + 20 ba số hạng cấp số nhân Suy ra: (11 + d)2 = (29 + 2d) d2 + 4d - 140 = d = -14 hay d = 10 Vậy giá trò nhỏ d = - 14 số hạng thứ ba 2(- 14) + 29 = => (a) 15 (c) Gọi x độ dài đường đua Khi gặp lần nhất, Brenda chạy 100m, Sally chạy x/2 - 100 Trong lần gặp thứ hai, Sally chạy 150m, Brenda chạy x - 150 mét Vì hai người chạy với tốc độ không đổi, ta có tỉ lệ thức: 13 (b) American Mathematics Competition ( AMC 2004-2014) 100 x /  100  x  150 150 Cách khác: Nếu gọi O tâm đường tròn OC vuông góc OE (phân giác hai góc kề bù) Giải phương trình ta x = 350 => (c) Suy ra: OE2 = FC FE 22 = x x = 1/2 16 (b) Biểu thức xác đònh 19 (d) log2003(log(log2001x)) > log2002(log2001x) > (log2001x) > 2002 x > 20012002 ET => (b) 17 (a) f(2100) = f(2 299) = 299 f(299) = 299 298 f(298) = = 299 298 21 f(1) =2 tròn có bán kính tiếp xúc với = 299 100/2 =2 Gọi r bán kính đường tròn B C E tiếp điểm chúng Đặt DE = h Vì D tâm đường 99 + 98 + + + 4950 ATH S.N = 299 f(2 298) đường tròn B nên BD = - r => (d) Áp dụng đl Pitago vào tam giác BDE: r2 + h2 = (2 - r)2 h2 = - 4r (1) 18 (d) Áp dụng Pitago vào tam giác BAE: VIE TM r2 + (h + 1)2 = (r + 1)2 h2 + 2h = 2r (2) Thế r từ (2) vào (1): h2 = - 2(h2 + 2h) 3h2 + 4h - = Vì h > 0, ta h = 2/3 => 2r = (2/3)2 + 2(2/3) = 16/9 => r = 8/9 => (d) 20 (e) Ta xét trường hợp sau: TH + = Xác suất để a < 1/2 b < 1/2 Gọi F tiếp điểm tiếp tuyến CE (1/2)2 = 1/4 Khi c = a + b chạy từ đến Ta có: CB = CF = , EF = EA = x phân phối đối xứng qua 1/2, ta muốn c < 1/2 Áp dụng đònh lí Pytago: DE2 + CD2 = CE2 Do xác suất (1/4)/2 = 1/8 (2 - x)2 + 22 = (2 + x)2 TH + = Xác suất để a < 1/2 b > 1/2 x2 - 4x + + = - 4x + x2 1/4 Lúc 1/2 < a + b = c < 3/2 => c = x = 1/2 (đương nhiên) Do xác suất 1/4 Suy CE = x + = 5/2 => (d) TH + = Như trường hợp Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn TH + = Như trường hợp Vậy xác suất cần tìm là: 2(1/8 + 1/4) = 3/4 => (e) 21 (d) Đây tổng vô hạn cấp số nhân, số hạng đầu a1 = cos0 = 1, công bội q = cos  Do tổng là: a1 1    q  cos  sin  ET => sin2 = 1/5 23 (b) Ta dùng phép loại trư Suy cos2 = - 2sin2 = - 2(1/5) = 3/5 (a) Vì a1 = b1 = => z1 = => P(0) = co = => (d) ATH S.N (b) Theo đl Viet, - c2003/c2004 tổng nghiệm P(x) Vì số thực nên 22 (b) 2004 b k 1 k 2004    ak  c2003  k 1 (c) Tất hệ số thực, với nghiệm phức zk nghiệm liên hiệp zk = ak - bki nghiệm Do nghiệm phức cặp đôi Nếu hệ số b2, b3, , b2004 0, ta có số nghiệm ảo lẻ: vô lý, VIE TM tích (d) Ta co:ù 2004 2004 a  b k 1 k k 1 k Vì hệ số thực, suy nghiệm số phức số liên hiệp nghiệm Do tổng phần ảo nghiệm => vế phải (e) Vậy lý (e) phải Giá trò Nối tâm mặt cầu ta khối chóp tam giác P(1), chứng cớ để có cạnh đáy cạnh bên Ta dễ thấy nghiệm P(x) dàng tính chiều cao SO hình chóp 24 (c) Khi đường tròn đỏ di chuyển quanh đoạn OA = /3 AB, chúng che phủ phần mà ta muốn tìm Ở phía => SO2 = SA2 - OA2 = - 12/9 = 69/9 => Khoảng cách cần tìm: trái, hình tròn quay quanh B Ở bên phải, hình 69 /3 + + => (b) tròn quay quanh A Tuy nhiên phía dưới, hình tròn phải qua A B ta cung American Mathematics Competition ( AMC 2004-2014) giới hạn S hình có dạng trứng, có diện tích bằng: 2(hình quạt xanh) + 2(hình quạt đỏ) - 2(tam giác đều) = 2( 120o 60o (1) 2 (2) ) + 2( (1) ) 360o 360o => (c) ATH S.N ET = 3 - 25 (e) Ta có 1 3    + n n n  an =  => 1 3     + n n n  an.n3 = n2 + 3n + + an an = n2  3n  (n  1)3   n3  n(n3  1) VIE Suy ra: a4 a5 a99 = TM an(n3 - 1) = n2 + 3n + = (53  1)(63  1) (1003  1) 4.5.6 99 (43  1)(53  1) (993 1) = 999999 13.37.33.6 13.37.2   4.5.6 99 63 99! 98! Vì nhân tử tử ma với 98 n nhỏ Vậy m = 13 37 = 962 => (e) 10 American Mathematics Competition ( AMC 2004-2014) Dorothy, trả 125$, nên nợ Sammy 10$ BÀI GIẢI Do đó, t – d = 30 – 10 = 20$ => (b) (e) Diện tích ABE = 40 cho: AB BE = 40 (b) Gọi x số ném bóng 3-điểm mà Shenille Mà AB = 10, suy ra: BE = thực Vì cô ném thảy 30 lần, số ném => (e) bóng 2-điểm 30 – x Vì cô ném 20% = 1/5 số bóng 3-điểm, 30% = 3/10 số bóng 2-điểm, nên cô ghi tất phải số chẵn Do ta suy họ ghi số điểm lẻ ET (c) Vì thắng điểm gấp hai đối thủ nên số điểm 3 3x  2(30  x)  x  (30  x) 10 5 = 18 ván họ thua đối thủ điểm, họ ghi số điểm chẵn đối thủ ghi nửa số Suy số điểm tổng cộng đối thủ => (b) ATH S.N điểm tương ứng (c) S9 = 110, S7 = 42 (2 + + + + 10) + (1 + + + 4+ 5) = 45 => (c) S6 = S8 – S7 = 68 – 42 = 26 (e) Ta biết có hoa đỏ chiếm S5 = S7 – S6 = 42 – 26 = 16  số hoa vàng, số 10 S4 = S6 – S5 = 26 – 16 = 10 => (c) (d) Ta có: hoa vàng hoa hồng, nên số hoa vàng 3 hoa cẩm chướng Ta biết TM Vì S8 = S9 – S7 = 110 – 42 = 68 2 2  y   x  y    x y x y số hoa đỏ hoa cẩm chướng VIE Do số hoa cẩm chướng 2 3      70% 5 10 10 => (e) x  yx    ( x  y)  2  xy  Ví x – y ≠ 0, chia hai vế cho x – y, ta được: 1- 0 xy Hay xy = => (d) 22014  22012 22012(22  1) (c) 2014    22012 22012(22  1) (c) Các tam giác BDE EFC đồng dạng với tam giác cân ABC nên can Suy ra: => (c) BD = DE chu vi hình bình hành ADEF là: (b) Tổng số tiền ba người trả 405$ Như 2(AD + DE) = 2(AD + BD) người phải trả 405/3 = 135$ = 2AB = 28 = 56 => (c) Tom, trả 105$, nên nợ Sammy 30$ 82 Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn ET 3x = x + 2(y – x) + y = y + 2(1 – y) + 1  0.09 11 Chia 3, ta được:  0.03 , 33 Và chia cho 9, ta được:  0.01 99 Rút gọn, ta được: 10 (d) Chú ý ATH S.N 3x = 3y – x = – y Giải hệ này, ta được: x = Vậy x + y = S = { 11, 33, 99 } 11 + 33 + 99 = 143 tổng góc 180o, nên góc 60o 155 (câu e) số n ≤ 12 khác Đặt x = 0.ab  0.ababab Suy cạnh đối diện với góc 60o phải cạnh Bất kỳ cạnh số 4, 5, hay x TM Cách khác ab 99 Để phân số x có dạng , 99 phải bội số n VIE Do 100x – x = ab => x = ba trường hợp, cho ta phương trình tính x (1) Cạnh 5: 52 = 42 + x2 – 2(4)(x)cos60o  x2 – 4x – =  x =  13 x2 = 42+ 52 – 2(4)(5)cos600  x= Thực phép chia, ta ba số thỏa yêu cầu 99, 33, 11 cạnh Áp dụng đl hàm cosin (2) Cạnh x: ab Suy ab có giá trò sau: 1, 3, 9, 11, 33, 99 21 => (c) 13 12 (a) Vì góc tạo thành cấp số cộng, Đáp số phải 143, 11 thỏa điều kiện Do đáp số 143 12 ,y 13 13 21 (3) Cạnh 4: 42 = x2 + 52 – 2(5)(x) cos600 Đáp số 11 + 33 + 99 = 143 => (d)  x2 – 5x + = : PTVN Cộng hai đáp số, được: 11 (c) Đặt AD = x, AG = y Ta muốn tìm DE + 2+ FG, tức x + y 13  21  a + b + c = + 13 + 21 = 36 Dựa vào giả thiết ADE, DEFG, BCFG có  (a) chu vi, ta có: 83 American Mathematics Competition ( AMC 2004-2014)  log12 162  log12 1250 / 162 13 (b) Nếu bạn có giấy vẽ, dùng đònh lý Pick ta 1/ tìm diện tích S tứ giác cách mau chóng công thức: S = I + = log12 162(1250 / 162)1/ B  1, Suy x = (162)(1250/162)1.4 = 162.(5/3) I số điểm mắt lưới bên đa giác, = 270 => (b) B số điểm mắt lưới nằm đường biên Cách khác: Từ giả thiết cấp số cộng, ta suy đa giác 162, x, y, z, 1250 phải cấp số nhân Trong trường hợp này, S = +   7.5 Do đó: 162 = 34 1250 = 54 , công 1250 54   162 3 ET bội là: q = Suy ra: x = 162 (5 / 3) = 270 ATH S.N 15 (d) Có hai khả cha mẹ 1) Cả hai cửa hàng Trong trường hợp này, ta xem chúng cặp, có cách để chúng phân phối đến cửa hàng Ba thỏ phân phối đến cửa hàng lại Vậy có 33 = 108 cách 2) Hai thỏ cha mẹ riêng Trong trường hợp này, AD = 4, có diện tích S/2 = 3.75, nên chiều có cách phân phối chúng Ba thỏ 2.(3.75) 15 cao là:  đến cửa hàng lại Vậy có 23 = 96 cách Vậy tung độ giao điểm TM Phần tứ giác tam giác có cạnh đáy p 15  q Tổng cộng có 108 + 96 = 204 cách phân phối => (d) 16 (e) Gọi A, B, C số khối đá đống A, B, 27  27 15  Vậy giao điểm  ,  , kết cần tìm là:  8 C theo thứ tự 15/8, ta tìm x = VIE Phương trình CD y = - 3x + 12 Thế y = Trọng lượng đống A C 44(A + C) Trọng lượng đống B C là: 44(A + C) + 50B – 40A = 4A + 44C + 50B 27 + + 15 + = 58 => (b) Như vậy, trung bình đống B C A  44C  50 B A  6B (*)  44  BC BC 14 (b) Vì cấp số cộng nên Ta cần loại bỏ A tử số Vì ta biết log12 162 + 4d = log12 1250, 40A + 50B = 43(A + B) với d công sai Suy 4d = log12 (1250/162) Suy A = => d = log `12 (1250 / 162)1/ B Thế vào (*), ta được: Vậy log12 x = log12 162 + d 84 Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn 4( B)  B 46 B (**) 44   44  BC BC B < 1, nên giá trò lớn xảy C = BC Vì Để phân số đằng sau (**) phải nguyên, ta phải lấy B 45  B  46 Và giá trò cần tìm 44  46 45  44  15  59 46 số 12 ATH S.N 17 (d) Tên cướp ET => (e) 11 x 12 Tên cướp thứ hai số vàng lại, 12 10 11 số đồng vàng lại sau y lấy x 12 12 11 Tiếp tục trên, tên cướp thứ 11 số 12 đồng vàng x, lại vàng lại sau mười lần lay trước, lại Nhận xét 1211 = (22 3)11 = 222 311 TM 11 ! x Tên cướp thứ mười hai nhận hết phần 1211 VIE 11! = 11 10 khối cầu lớn Cắt hình vẽ mặt phẳng qua đỉnh đối diện lục giác vuông góc với mặt phẳng chứa lục giác Mặt cắt khối cầu lớn = 11 52 34 28 11 ! 11.7.52 Suy ra: 11 x  14 x 12 Khối cầu nằm khối cầu nhỏ tiếp xúc hai khối cầu nhỏ có tâm hai đỉnh lục giác nói khối cầu (màu đỏ) theo đường tròn lớn theo hình vẽ thứ hai Chú ý bán Vậy giá trò nhỏ x để số nguyên kính đường tròn lớn 3, đường tròn nhỏ 214 37 phần vàng tên cướp cuối gọi r bán kính đường tròn đỏ cần tìm chia 11.7 52 = 1925 => (d) Xét tam giác vuông có ba đỉnh tâm ba đường tròn lớn, vừa nhỏ Áp dụng đl Pitago: 18 (b) (r + 1)2 = (3 – r)2 + 22 Hay 85 8r = 12  r = 3/2 American Mathematics Competition ( AMC 2004-2014) Vậy chọn (b) cung, có 19 – k vò trí chọn cho người thứ ba Mỗi lần ba chỗ x, y, z 19 (d) Đặt CX = x BX = y Đường tròn cắt AC chọn xong, có ba cách để đặt x, y, z vào theo D, gọi DE đường kính Dùng phương tích chiều kim đồng hồ Cũng ý với k > 10, C đường tròn, ta có: có 19 cách chọn cung có độ dài k Do tổng số cách xếp cho phần bù 18  3.19.(19  k )  3.19.(1   8) k 11 = 19 36 ET Do đáp số cần tìm 3.C3  3.19.36  3.19.(51  36)  855 19 ATH S.N => (b) 21 (a) Đặt f(x) = log(x + f(x – 1)) f(2) = log(2) CX CB = CD CE Từ đề bài, A = f(2013) Hay x(x + y) = (97 – 86)(97 + 86) Hay x(x + y) = 11 61 Ta lập luận tính xấp xỉ, cách bỏ qua f(x – 1): Vì x > x + y , ta có ba cặp nghiệm sau: f0(x)  log x (x, x + y) = (1, 2013), (3, 671), (11, 183), (33, 61) 22 (e) Đi lùi, ta nhân số palindrome Theo bất đẳng thức tam giác, có x + y = 61 5-chữ số cho 11 để palindrome 6-chữ cho ta độ dài thích hợp BX + CX = BC số: TM Do đáp số (d) 61 20 (b) Tưởng tượng 19 số 19 người ngồi quanh đường tròn, người đối mặt với tâm đường tròn VIE Ta kiểm tra x  y y A(A + B)(B + C)(B + C)(A + B)A Chú ý A + B ≥ 10 hay B + C ≥ 10, đối xứng bò gãy Đơn giản việc đếm tổ hợp (A, B, C) A + B < 10 B + C < 10 * A = 1: có cách chọn B (0 đến 8), sau có 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, cách chọn C tương ứng số người bên trái x, y  x Vậy có 54 số palindrome y số người ngồi bên phải x * A = 2: có cách chọn B (0 đến 7), sau có Do , “ x  y y  x z  x ” ám x, y, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, cách chọn C tương ứng Vậy z chia cắt đường tròn thành ba cung, cung có 52 số palindrome không chứa 10 số Tương tự với trường hợp lại, ta Chúng ta đếm phần bù: chỗ chia cắt tạo tổng cộng: (x, y, z) có MỘT cung chứa 10 người 54 + 52 + 49 + 45 + 40 + 34 + 27 + 19 + 10 = Chú ý có cung 330 số palindrome 6-chữ số có dạng XYZZYX, có tổng cộng 19 người chữ số 0, dod9o1 có Giả sử số người cung dài k > 10 Thế 10.10 = 900 tổ hợp (X, Y, Z) hai chỗ x, y, z chọn từ hai đầu mút 86 Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ Hình viên phân S3 có tâm P, bán kính 2, giới hạn 330 11  900 30 Như xác suất www.hoctoancapba.com.vn PB PE góc tâm 60o, có diện tích: Chọn (e) 2  2    = S4 S3 = 23 (c) Đường chéo AC có độ dài 6 Vậy diện tích quét hình vuông ABCD là: Khi quay hình vuông ABCD góc 90o quanh P, 6    2  1   32  3  2 23  vò trí cuối hình vuông A’B’C’D’ Hai miền = Suy AP = , CP =  hình vuông có phần chung hình chữ nhật có 24 (e) Gọi p xác suất cần tìm, ta tính – p đầu trừ diện tích hình chữ nhật phần chung  Giả sử bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác ATH S.N 12 cạnh 1, độ dài khác theo thứ     2(4  )     tự tăng dần a1, a2, , a6 Thế thỉ: Diện tích cần tìm có thêm hình viên phân có diện tích S1, S2, S3, S4 (= S3 )     12 2   1  k    1`2  ak = sin  S1 hình viên phân có tâm P, bán kính giới hạn PA PA’, góc tâm 90o, có diện tích: S1 = 10   10  6 3 ET BCC’D’ ù hai lần diện tích hình vuông ban    Đáp số a + b + c = 19 => (c) vuông lúc đầu lúc cuối hình chữ nhật   Vậy a = 10, b = 6, c = kích thước x (  1) Diện tích phủ hinh hai hình vuông, tức    3  Vậy a1 =    /  0.5, a2 = TM S2 hình viên phân có tâm P, bán kính giới hạn PC PC’, góc tâm 90o, có diện tích: a4 = a5 =    /  a1  a3 a6 = VIE 1 3 S2 =  ( )  6  3 2 a3 = Xét bất đẳng thức sau: a1 + a1 > a2 > (1 + )2 a1 + a1 < a3 a1 + a2 lớn a3 nhỏ a4 87 American Mathematics Competition ( AMC 2004-2014) ATH S.N ET a1 + a3 lớn a4 a5 a1 + a4 lớn a6 a + a = = a Hiển nhiên hai đoạn có đoạn lớn a2 có tổng lớn a6 Do ba (theo thứ tự tăng dần) độ dài ba cạnh tam giác ba sau (Ký hiệu x – y – z ba (ax, ay, az)): 1-1-3, 1-1-4, 1-1-5, 1-1-6, 1-2-4, 1-2-5, 1-2-6, 1-3-5, 1-3-6, 2-2-6 Chú y có 12 đoạn có độ dài a1, a2, , a5, đoạn có độ dài a6 Vậy có tất 66 đoạn Trong danh sách trên, có dạng a-a-b 6, dạng a-a-6 a ≠ 6, dạng a-b-c 6, dạng a-b-6 a, b ≠ Vậy: – p = VIE TM 3.3.12.11.12  2.3.12.11.6  3.6.123  2.6.122.6 66.65.64 12 (99  33)  12 (18  16) 123.35 =  66.65.64 66.65.64 63 = 286 223 Suyra p = => (e) 286 88 Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ NĂM 2014 Ba số hạng cấp số nhân 3, 1 a) b) 8 e) 170 c) abde c d) bcde a e) abc de Tong trắc nghiệm đại số, 10% học sinh 70 điểm, 35% 80 điểm, 30% 90 điểm, điểm trung bình trung vò trắc nghiệm a) b) c) d) b) a + c) a + d) a + e) a + Ba tam giác cân có cạnh đáy nằm 10 cạnh tam giác có độ dài cạnh Tổng diện tích ba tam giác cân với diện tích tam giác Tìm độ dài cạnh bên tam giác cân a) số lại 100 điểm Tìm hiệu số số e) $259.95 a) a + TM ac bde d) $239.95 c) $219.95 liên tiếp bắt đầu b VIE b) b) $199.95 có trung bình b Tìm trung bình số nguyên e) Giả sử a bò cho b ga-long sữa c ngày bde ac a) $179.95 Năm số nguyên dương liên tiếp bắt đầu a Với sức cho sữa này, hỏi d bò cho ga-long a) Một khách hàng, dự đònh mua máy gia ATH S.N sát bên nhà màu vàng Hỏi có thứ sữa e ngày? 10 giảm giá nhiều so với hai coupon kia? đến nhà màu vàng Ngôi nhà màu xanh không e) Đối với giá niêm yết mua coupon màu đỏ, anh qua nhà màu xanh trước d) yết vượt 100$ Anh qua nhà màu cam trước đến nhà c) d) Coupon 3: giảm 18% giá niêm yết giá niêm nhà dãy, nhà sơn màu khác b) yết 100$ Đi dọc theo phố Jane, Ralph qua bốn a) c) Coupon 2: giảm 20% giá niêm yết giá niêm e) 42.5 tự nhà tô màu xếp? ET d) 42 yết 50$ giá cho người lớn trẻ em bao nhiêu?? c) 40 b) Tìm số hạng thứ tư Coupon 1: giảm 10% giá niêm yết giá niêm giá vé Giá cho người lớn trẻ em 24.5 Hỏi b) 38.5 , dụng, có ba coupon, coupon sử dụng được: Tại rạp haut, trẻ em vào xem mua nửa a) 35 a) 1 1      10  25 170 c) d) Tìm giá trò 10. www.hoctoancapba.com.vn 11 b) 3 c) d) 2 e) David lái xe từ nhà đến sân bay để đáp chuyến bay Anh chạy với tốc độ 35 dặm e) đầu tiên, biết trễ tiếng không tăng tốc độ Anh tăng tốc độ thêm 15 Hiệu số số có chữ số số có dặm đoạn đường lại đến sân bay cách đảo ngược hai chữ số gấp lần tổng đến nơi sớm 30 phút Hỏi khoảng cách từ nhà chữ số Tìm tổng hai số a) 44 b) 55 c) 77 d) 99 anh đến sân bay dặm? e) 110 a) 140 89 b) 175 c) 210 d) 245 e) 280 American Mathematics Competition ( AMC 2004-2014) 12 Hai đường tròn giao A B Cung nhỏ AB có số đo 30o đường tròn, a)  b)  d) e) c)  60o- đường tròn Tìm tỷ số diện tích hình tròn lớn diện tích hình tròn nhỏ a) 13 b) + c) d) + e) Một lữ quán có phòng trang trí với hòa s8a1c khác Một hôm có người bạn đến thuê ET phòng qua đêm Không có khách trọ khác đêm Biết người bạn thuê phòng với tổ hợp tùy ý, với điều kiện phòng hai người, hỏi chủ lữ quán tất cả? a) 2100 14 b) 2220 c) 3000 d) 3120 e) 3125 c) d) a) 19 e) 19 Một số palindrome 5-chữ số số nguyên dương có dạng abcba, a khác Gọi S tổng số tất số palindrome có 5-chữ số Tìm tổng chữ số S b) 18 c) 27 d) 36 e) 45 VIE a) hai có k chữ số, số nguyên mà chữ số a) 901 17 b) 911 c) 919 d) 991      16  m , m n số n b) 31 c) 271 d) 319 e) 511 Có N số hữu tỷ phân biệt k cho |k| < 200 5x2 + kx + 12 = có nghiệm nguyên x Tìm N a) b) 12 c) 24 d) 48 e) 78 20 Trong  BAC,  BAC = 40o , AB = 10, AC = Điểm D E nằm cạnh AB AC theo thứ tự Tìm giá trò nhỏ có BE + DE + CD 16 Tích số (8)(888 8), nhân tử thứ có tổng 1000 Tìm k   nguyên dương nguyên tố Tìm m + n TM 15 b)  khoảng có độ dài cấp số cộng a, c, b cấp số nhân Tìm giá a) -  f(x) = log  log  log  log16  log x          Cho a < b < c ba số nguyên cho a,b, c trò nhỏ có c Tập xác đònh hàm số ATH S.N 18 phân phối phòng cho khách cách e) 999 a)  21 Một khối hộp chữ nhật x x h chứa b) 27 c) F(x) = [x] (2014x – [x] – 1) kính Mỗi khối cầu nhỏ tiếp xúc với hai mặt bên mặt đáy hộp, khối cầu lớn tiếp xúc với khối cầu nhỏ Tìm h 90 e) 3  Với số thực x, gọi [x] số nguyên lớn không lớn x, gọi khối cầu bán kính tám khối cầu nhỏ bán d) 14 Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ Tập hợp x cho ≤ x < 2014 f(x) ≤ www.hoctoancapba.com.vn BÀI GIẢI phần hội khoảng cách biệt Tìm tổng độ dài khoảng a) d) b) 2014 2013 22 log 2015 log 2014 e) 2014 c) 1 1  (c) 10     10  log 2014 log 2013 8  10   10   10   8 = Số 5867 nằm 22013 22014 Có m (a) a c ac nhân với (c) Không tính tổng quát giả sử có 20 học sinh (số nguyên nhỏ có thể) dự thi Có học sinh 70 điểm, học sinh 80 91 American Mathematics Competition ( AMC 2004-2014) điểm, học sinh 90 điểm học sinh 100 điểm 10 (b) Lật tam giác cân vào tam Sắp xếp, số trung vò 90 điểm giác qua cạnh đáy chúng Vì diện Số trung bình 87 điểm tích ba tam giác cân diện tích tam giác đều, Do hiệu số cần tìm 90 – 87 = => (c) đo chúng lấp đầy tam giác đều, đỉnh O chung chúng tâm đường tròn ngoại (d) Gọi hai chữ số a b Thế tiếp tam giác ù 5a + 5b = 10a + b – 10b – a = 9a – 9b Tức 2a = 7b ET Vậy a = b = a, b < 10 Do 72 + 27 = 99 => (d) 3, 3, hay a1/2, a1/3, ATH S.N (a) Những số hạng a1/  a  1/ 1/ a Vậy số hạng thừ tư là: a1/ a  1/  => (a) a1/6 cho ta công bội Vậy cạnh bên tam giác cân bán kính đường tròn Ta dễ dàng tính (c) Gọi giá niêm yết x Vì tât câu trả lời 100$, ta giả sử x >100 Do giá sau sử dụng loại coupon sau: Coupon 1: x = 10%x = 90% x 11 (c) Gọi d khoảng cách phải lái sau Ta có TM Coupon 2: x – 20 Coupon : x – 18%.(x – 100) = 82% x + 18 Đối với coupon 1, để mua với giá tốt coupon khác, ta phải có: 90% x < x - 20 90% x < 82% x + 18 VIE Từ bất đẳng thức đầu, ta được: 10% x > 20 hay x > 200 d d  1.5  50 35 Giải ta d = 175 Vậy khoảng cách từ nhà anh đến sân bay 35 + 175 = 210 dặm => (c) 12 (d) Gọi x, y bán kính đường Từ bất đẳng thức sau, ta được: tròn lớn nhỏ Gọi tâm tương ứng O1 O2 8% x < 18 hay x < 225 Ta phải tính Đáp số thỏa hai điều kiện (c) x x  y y $219.95 Ta có : AO1B  30o , AO2 B  60o Tam giác (b) Theo đề AO2B nên AB = y a  a 1 a   a   a  b= => => (b) b = a + Vậy chọn (b 92 Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn 14 (c) a, b, c cấp số cộng nên a = 2b – c a, c, b cấp số nhân nên c2 = ab Thay a = 2b – c, ta c2 = (2b – c)b hay 2b2 – bc – c2 = hay (2b + c)(b – c) = Vì a < b < c, ta suy ra; 2b + c = hay c = - 2b Như cấp số cộng 4b, b, - 2b Vì 4b < b < - 2b nên b < Giá trò nhỏ Áp dụng đl hàm cosin vào tam giác AO1B: y2 = x2 + x2 – 2x2cos 30o hay y = 2x – x 2 = x (2 - c = - 2b ( - 2)(- 1) = => (c) ET 3) 15 (b) Với chữ số a = 1, 2, , 9, có 10 10 13 (b) Ta phân biệt ba trường hợp: (cách để chọn b c) số palindrome Do ATH S.N x    +> (d) y 2 hay số a đóng góp (1 + + + 9)(100)(104 + 1) TH 1: Mỗi phòng khách Có tât 5! = 120 cho tổng cách xếp Với số b = 0, 1, 2, , có 10 (vì a ≠ 0) TH 2: Ba phòng khách; phòng khách Có C cách chọn ba phòng chứa khách, cách chọn phòng lại chứa khách C số palindrome Do số b đóng góp (0 + + + + 9)(90)(103 + 1) cho tổng Tương tự, với c = 0, 1, 2, , có 10 (vì a Sau có 5.4.3 cách đặt khách vào ba ≠ 0) số palindrome Do số c đóng góp phòng đầu cuối hai khách lại vào Vậy có tât C C TM phòng hai người chọn = 1200 cách TH 3: Hai phòng chứa khách phòng khách, C Vậy tổng số số palindrome (1 + + + 9)(100)(104 + 1) + (1 + + + 9)(90)(103 + 1) cách chọn phòng lại chứa + (0 + + + + 9)(90)(102) khách = 49500000 Do tổng chữ số tổng 18 => (b) Sau có cách đặt khách ngủ vào phòng, có C cách chọn hai người 16 (d) Chú ý với k ≥ 2, vào phòng – người Cặp khách cuối 888 = 111 04 vào phòng -2 người lại Vậy có tât cho tổng cách chọn phòng chứa C VIE khách Ta có (0 + + + + 9)(90)(102) C C C = 900 cách k chữ số k - số có tổng chữ số + k – + + = + k Tổng cộng, có 120 + 1200 + 900= 2200 cách xếp Vì tổng chữ số 1000, ta có phòng + k = 1000 => k = 991 (d) Vậy chọn (b) 93 American Mathematics Competition ( AMC 2004-2014) AD BE dễ thấy bán kính khối cầu nhỏ Do chiều cao khối hộp 17 (a) Gọi A điểm mặt phẳng với AD + AC + BC + BE = + => (a) tâm khối cầu phía cách chúng Gọi B điểm tương tự khối cầu phía 18 (c) Đặt a = log1/16 x, b = log16 a, c = log1/4 b dưới, gọi C trung điểm đoạn AB, d = log4 c tâm khối cầu lớn Vậy f(x) = log1/2 d Hình mặt cắt qua tâm khối cầu Tập xác đònh log1/2 x (0,  ) nên d  (0,  ), nhỏ phía Hình cuối mặt cắt qua đường tức log4 c  (0,  ) Suy c  (1,  ), tức log1/4 b chéo hai đáy hộp ET > Suy < b < 1/4, tức < log16 a < 1/4 Suy < a < 2, tức < log1/16 x < Suy 1/256 < x < 1/16 ATH S.N Độ dài tập xác đònh 1 15 => m + n = 271 (c)   16 256 256 19 (e) Phân tích phương trình thành 12    x  ( x  n)  n  – n nghiệm nguyên Thế VIE TM thì, k nhận giá trò hữu tỷ – 200 200 |n| ≤ 39 , trừ n = Vậy đáp số 39 = 78 (e) đối xứng C1 qua AC Ta có: CD = C1D, DE + CD = DE + C1D ≥ C1E (bất đẳng thức DEC1 ) mặt khối hộp ≥ C2E Như vậy: BE + DE + CD ≥ BE + C2E ≥ BC2 (bất Gọi O tâm khối cầu nhỏ phía Ta đẳng thức BEC ) CO = Suy ra: AC = 32   Tương tự, BC = 12  5n n 20 (d) Gọi C1 đối xứng C qua AB, C2 Gọi D E điểm đường thẳng AB cắt có: AO = k= 94 Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn cách biệt, ta lấy tổng từ k = đến k = 2013 để tổng cần tìm  2013 i    i 1 log  log    2014 2013   i   i  i 1  i1  2013  2013    => (a)   = log 2013 22 (b) Giữ hai số lũy thừa liên tiếp có hay lũy thừa (vì 22 < 51 < 23) Xét khoảng (50 , 51), (51, 52), , (5866, ET 5867) Ta muốn số khoảng có lũy thừa Từ giả thiết 22013 < 5867 < 22014, ta biết 867 Vậy giá trò nhỏ BE + DE + CD BC2 , khoảng hợp lại có chứa 2013 lũy thừa đạt E giao điểm BC2 AC D Gọi x số khoảng chứa lũy thừa y ATH S.N giao điểm C1E AB (hình phải) số khoảng chứa lũy thừa Do đó, ta có hệ Tính BC2: Do đối xứng, ta có: AC = AC1 = AC2 = C1 AB  BAC  40o , C1 AC  C2 AC  80o Suy ra: BAC  40o  800  120o Đònh lý hàm số cosin cho ta: 23 (b)  BC = 14 (d) Cách 1: Phân số 1/99 viết thành  1   2n 99 n1 10 TM = 196 21 (a) Đặt [x] = k với ≤ k ≤ 2013 Viết lại: Để f(x) ≤ 1, ta cần VIE f(x) = k(2014x – k – 1) Tương tự, phân sô 1/992 viết thành  1   2m 99 m1 10   10 n1 2n Tổng số tương đương với    10 2014 -1≤ k  k 1  x ≤ k + log 2014   k  x–k 2x + 3y = 2013 Suy ta y = 279, chọn (b) BC22 = AB2 + AC22 – AB.AC2 cos120o = 102 + 62 – 10 (- ½) x + y = 867 m1 n1 ( m n ) ta thấy với n + m = k có k – tổ hợp (n, m), tổng tương đương với  k 1  10 Kết hợp điều kiện với [x] = k, ta   k   x  k , k  log 2014   k   k 2 2k Ta ý dãy số bắt đầu lặp lại k = 102 nên xét  k 1 Do độ dài khoảng log 2014   k  101 k 1  10 k 99 Ta muốn tính tổng độ dài khoảng thỏa mãn bất đẳng thức; tât khoảng phải 95 2k  98 99 100  200  202 198 10 10 10 American Mathematics Competition ( AMC 2004-2014) =  99 100  98    198  10  100 1000  25 (b) Hai điểm P(4, 3) Q(- 4, - 3) đối xứng =  99 100  98    198  10  100 10000  đường thẳng qua O vuông góc với PQ, có =  100  98    198 (99) 198  10  100  10 qua tiêu điểm O nên trục đối xứng parabol phương trình y = - x Tham số tiêu p parabol PQ / = Do phần thập phân từ đến 99 bỏ qua 98 ta dễ dàng tính tổng chữ số từ đến 99 là: 45 10 = 900 ET Trừ số cho + = 17, ta đáp số 900 – 17 = 883 (b) 1  99 99 99 = 0.01 99 = 0.00010203 9799 Đáp số : 1+2+3+ +9+7+9+9 ATH S.N Cách 2: Ta có: Do đường chuẩn  đường thẳng vuông góc = (1 + + + + + + + + + 9) – (9 + 8) với trục cách O khoảng p = 5, có = 20(1 + + + 9) – (17) phương trình : 3x – 4y = - 25 9.10  17  883 Vậy chọn (b) 2 100 101     202  204 10 10 10 10 10 Parabol tập hợp điểm M(x, y) cách tiêu điểm O đường chuẩn  , có phương trình TM = 20 24 (c) Cách 1: xác đònh làm ba phần VIE Vẽ đồ thò hàm số f0(x) = cách chia tập x2  y  Hay | 3x  y  25 |2 32  42 (4x + 3y)2 = 25(6x – 8y + 25) Đặt m = 4x + 3y  Z, |m| ≤ 1000 Đặt m = 25k để 25k2 = 6x – 8y + 25 va ø 25k = 4x + 3y Giải theo x y, ta được: Quan sát quy tắc truy hồi Vẽ đồ thò trò x  (3k  3)  4k y  2k  3k  2 tuyệt đối hàm số có trước dời xuống đơn vò , ta đồ thò hàm số Ta chứng tỏ giá trò k thỏa 3.Đếm giao điểm đồ thò để suy quy (x, y) cặp số nguyên số nguyên k lẻ luật Với |25k| ≤ 1000  |k| ≤ 40, ta Quy luật có 3n + nghiệm, với khoảng x [1, k = - 39, - 37, - 35, , 39, 99], hàm số thêm nghiệm sau f99(x) lúc có tất 40 giá trò thích hợp đáp số (b) đồ thò đỉnh Đáp số (c) 301 96 [...].. .Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn NĂM 2005 8 Cho các chữ số A, M và C sao cho 1 (100A + 10M + C)(A + M + C) = 2005 2 là 10% của x và là 20% của y Vậy x - y = a) 1 b) 2 c) 5 d) 10 Tìm A e) 20 a) 1 2 Phương trình 2x + 7 = 3 và bx - 10 = - 2 có cùng b) - 4 c) 2 d) 4 a) - 16 ET d) x2 một phần tư tổng số các mặt của khối lập phương đơn vò có... 8rt/5 11 (e) Các chữ số A, B, C sao cho: 13 = 13rt/5 rt = dM = 5 => (b) B = (A + C)/2 Để số này nguyên thì A và C phải cùng chẵn hay 7 (c) Điều khó khăn nhất trong bài toán này là cùng lẻ Có 9 khả năng cho A và 5 cho C Còn B hình dung ra hình vẽ Vì mỗi cạnh của hình được xác đònh duy nhất khi có A và C Do đó có vuông EFGH kéo dài đều qua một đỉnh của 14 Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ tất cả... 1,008, 016 e) 2, 015,028 c) 1,007,514 23 Các tam giác cân ABC vuông tại C Điểm P bên trong tam giác sao cho PA = 11, PB = 7, và PC = 6 Các cạnh góc vuông AC và BC có độ dài s = a  b 2 , trong đó a và b là những 20 Nếu a1 = 999, a2 < 999 và a2006 = 1, có bao nhiêu giá trò khác nhau của a2? a) 165 b) 324 c) 495 d) 499 e) 660 Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ BÀI GIẢI www.hoctoancapba.com.vn 9 (b) Số... thứ nhất và 6 => (d) 22 Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ trên hột thứ hai là www.hoctoancapba.com.vn giá trò, và những khoảng này đôi một cách biệt 1 6 6  21 21 441 * Với k ≥ 0 khoảng tương ứng cách biệt với (0, 1), do đó bò loại Tương tự với 5 trường hợp khác * Với k < 0, các khoảng nghiệm đều nằm trong Vậy xác suất cần tìm là (0, 1) Do đó đáp số là tổng độ dài của các 8  1.6 3.5 3.4  56 : 2.... góc ADC là 1400 Tìm số đo độ của lớn nhất luôn chia hết S góc BAD a) 20 b)30 c) 40 d) 50 a) 3 e) 60 26 b) 7 c) 13 d) 37 e) 43 Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ 12 www.hoctoancapba.com.vn 4 18 Đa thức f(x) = x + ax3 + bx2 + cx + d có hệ số Các số nguyên a, b, c và d không nhất thi t phân biệt, được chọn ngẫu nhiên và độc lập trong thực, và f(2i) = f(2 + i) = 0 Tìm a + b + c + d những số từ 0 đến 2007,... cộng các hoành độ của A là 4 300 = 1200 lại ta được: 2 2 2 2 sin a + sin b + 2sinasinb + cos a + cos b 30 Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn => (e) 22 (d) Rõ ràng n > 1900 Ta có thể xét ba trường 20 (b) Gọi x là cạnh của bát giác đều = MN hợp sau: Ta có AM = BN = x/ TH1: n ≥ 2000 Quan sát ta được n = 2001 2 TH2: n < 2000, n = 19xy, x + y < 10 Vì AB = AM + MN + BN nên Nếu thi t... điểm này thỏa bất phương trình đã cho, chứng tỏ diện tích cần tìm là diện tích hình ngũ giác chứa điểm gốc Ta có thể tính diện tích này bằng cách lấy diện tích hình vuông trừ đi diện tích ba tam giác, và được A = π2/6 => (c) 24 Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ 25 (b) Từ điều kiện an + 2 = |an + 1 - an| suy ra an + 3 và an cùng chẵn hay cùng lẻ với mọi n ≥ 1 Vì a2006 lẻ nên a2 cũng lẻû Vì a2006 =... 1 - - 1 + 1 = 0 => (c) đến 7 2 (a) 4^5 = - 9 cách chọn * b = 2: Suy ra a = 1 (1 cách chọn), còn c có 3 * b = 3: a có 2 cách chọn, còn c có 3 cách chọn 3^(- 9) = - 72 => (a) * b = 4: a có 3 cách chọn còn c có 2 cách chọn 3.(a) Số điểm của đội II là (34 - 14)/2 = 10 => (a) Và cứ thế Đáp số là 4.(a) Giá tiền tổng cộng của các món đồ là Cách khác: Có 3 cách chọn chữ số c = 4, 6, hay ET 3(1 + 2) + 2(3... bằng 1, 2 không thỏa hay 3 Vì một tam thức xác đònh duy nhất bằng Vậy chỉ có 3 cặp ba thỏa yêu cầu => (d) ba điểm , có 3 * 3 * 3 = 27 tam thức Q(x) khác nhau sau khi các giá trò Q(1), Q(2), Q(3) được chọn 16 Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ Tuy nhiên ta phải loại trừ ra những trường hợp Q(x) không phải là tam thức, cụ thể: Q(1) = Q(2) = Q(3) = 1 => Q(x) = 1 Q(1) = Q(2) = Q(3) = 2 => Q(x) = 2 Q(1) =... một tập hợp thoáng với mọi phần tử nhiều nhất là bằng n - 2, và mỗi tập hợp thoáng như thế có thể được tạo thành từ đúng một tập hợp thoáng trong 32 Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn kiệm được 15$ khi mua máy tính ở cửa hàng A thay Năm 2008 vì cửa hàng B Hỏi giá niêm yết của máy tính là bao nhiêu đôla? 1 Ông chủ bật một máy làm bánh lúc 8:30 AM a) 750 Đến 11:10 AM máy đã hoàn ... trình toán phổ thông mà học sinh có thểà giải mà không cần công cụ giải tích Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn NĂM 2004 Alicia kiếm 20 đôla giờ, phải = 20042 005, V = 20042 005,... Vì có cách để chọn số hạng từ A 38 Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn hoán vò thỏa a1 + a2 = a4 + a5 Các nghiệm phương trình tạo Có hoán vò số, khả số a1 + a2 cách quay...American Mathematics Competition ( AMC 2004- 2014) THI HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC HOA KỲ (AHSME AMC)) (American High School Mathematics Examination and American