TNG HP 63 THI TUYN SINH LP 10 TRONG TON QUC MễN TON TP.HCM Bai 5: (3,5 im) Cho ng trũn (O) cú tõm O v im M nm ngoi ng trũn (O) ng thng MO ct (O) ti E v F (ME MBO + MCO = = 900 + 900 = 1800 K => T giỏc MBOC ni tip E B (vỡ cú tng gúc i =1800) C =>4 im M, B, O, C cựng thuc ng trũn 2) Chng minh ME = R: Ta cú MB//EO (vỡ cựng vuụng gúc vi BB) => O1 = M1 (so le trong) M M1 = M2 (tớnh cht tip tuyn ct nhau) => M2 = O1 (1) C/m c MO//EB (vỡ cựng vuụng gúc vi BC) => O1 = E1 (so le trong) (2) T (1), (2) => M2 = E1 => MOCE ni tip => MEO = MCO = 900 => MEO = MBO = BOE = 900 => MBOE l hỡnh ch nht => ME = OB = R (iu phi chng minh) 3) Chng minh OM=2R thỡ K di ng trờn ng trũn c nh: Chng minh c Tam giỏc MBC u => BMC = 600 => BOC = 1200 => KOC = 600 - O1 = 600 - M1 = 600 300 = 300 Trong tam giỏc KOC vuụng ti C, ta cú: OC OC 3R CosKOC = OK = = R: = OK Cos30 M O c nh, R khụng i => K di ng trờn ng trũn tõm O, bỏn kớnh = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2 3R (iu phi chng minh) Chỳ ý: -Cõu 4, tha gi thit tia Mx v im A gõy ri KLK Cõu (3,5) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn ni tip ng trũn tõm O (AB < AC) Hai tip tuyn ti B v C ct ti M AM ct ng trũn (O) ti im th hai D E l trung im on AD EC ct ng trũn (O) ti im th hai F Chng minh rng: 1) T giỏc OEBM ni tip 2) MB2 = MA.MD ã ã 3) BFC = MOC 4) BF // AM A Cõu 1) Ta cú EA = ED (gt) OE AD ( Quan h gia ng kớnh v dõy) ã ã OEM = 900; OBM = 900 (Tớnh cht tip tuyn) O C E F E v B cựng nhỡn OM di mt gúc vuụng T giỏc OEBM ni tip ã ằ ( gúc ni tip chn cung BD) 2) Ta cú MBD = s BD B D ãMAB = s ằ ( gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung chn cung BD) BD Xột tam giỏc MBD v tam giỏc MAB cú: ã ã MBD = MAB MB MD ã ã MBD ng dng vi MAB Gúc M chung, MBD = = MAB MA MB M MB2 = MA.MD ã 1 ã ã ằ ( Tớnh cht hai tip tuyn ct nhau); BFC ằ (gúc ni tip) 1) Ta cú: MOC = s BC = BOC = s BC 2 ã ã BFC = MOC = 1800) MFC ã ã 2) T giỏc MFOC ni tip ( F$ + C ( hai gúc ni tip cựng chn cung MC), mt = MOC ã ã ã ã BF // AM khỏc MOC (theo cõu 3) BFC = BFC = MFC HI DNG Cõu (3,0 im): Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn, ni tip ng trũn (O) V cỏc ng cao BE, CF ca tam giỏc y Gi H l giao im ca BE v CF K ng kớnh BK ca (O) a) Chng minh t giỏc BCEF l t giỏc ni tip b) Chng minh t giõc AHCK l mỡnh bỡnh hnh c) ng trũn ng kớnh AC ct BE M, ng trũn ng kớnh AB ct CF N Chng minh AM = AN HNG DN - P N Cõu (3,0 im): a) BFC = BE C = 90 b) AH//KC ( cựng vuụng gúc vi BC) CH // KA ( cựng vuụng gúc vi AB) c) Cú AN2 = AF.AB; AM2 = AE.AC ( H thc lng tam giỏc vuụng) AEF : ABC AM = AN AE AF = AE AC = AF.AB AB AC HI DNG Cõu (3,0 im): Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB = 2R (R l mt di cho trc) Gi C, D l ã hai im trờn na ng trũn ú cho C thuc cung ằAD v COD = 1200 Gi giao im ca hai dõy AD v BC l E, giao im ca cỏc ng thng AC v BD l F a) Chng minh rng bn iờm C, D, E, F cựng nm trờn mt ng trũn b) Tớnh bỏn kớnh ca ng trũn i qua C, E, D, F núi trờn theo R c) Tỡm giỏ tr ln nht ca in tớch tam giỏc FAB theo R C, D thay i nhung tha gi thit bi toỏn HNG DN GII Cõu a) Ta cú : C, D thuc ng trũn nờn : ãACB = ãADB = 900 ( gúc ni tip chn na ng trũn ) ã ã => FCE = 900 ; FDE = 900 ( gúc k bự ) Hai im C v D cựng nhỡn on thng FE di mt gúc bng bng 900 nờn im C,D,E,F cựng thuc ng trũn ng kớnh EF b) Gi I l trung im EF thỡ ID = IC l bỏn kớnh ng trũn i qua im C, D, E, F núi trờn Ta cú : IC = ID ; OC = OD ( bỏn kớnh ng trũn tõm O ) ã suy IO l trung trc ca CD => OI l phõn giỏc ca COD 120 ã => IOD = = 600 Do O l trung im AB v tam giỏc ADB vuụng ti D nờn tam giỏc ODB cõn ti O ã ã => ODB (1) = OBD ã ã Do ID = IF nờn tam giỏc IFD cõn ti I => IFD (2) = IDF Tam giỏc AFB cú hai ng cao AD, BC ct ti E nờn E l trc tõm tam giỏc => FE l ng cao th ba ã ã D = 900 (3) => FE vuụng gúc AB ti H => OBD + IF ã ã ã T (1) , (2) , (3) suy IDF + ODB = 900 => IDO = 900 ã Xột tam giỏc vuụng IDO cú IOD = 600 ã Ta cú : ID = OD.tan IOD = R.tan600 = R Vy bỏn kớnh ng trũn i qua im C,D,E,F l R c) Theo phn b) : OI = ID + OD = 3R + R = R t OH = x thỡ x R => IH = 4R x => FH = R + 4R x 1 S FAB = AB.FH = R.( R + R x ) 2 S FAB = R + R R x Ta cú : 4R2 - x2 4R2 Du bng xy x = ã Khi ú : SFAB = R2 + 2R2 v H O => O, I, F thng hng => CD // AB => ãADO = DAO = 150 => BD = AC = 2RSin150 Vy din tớch ln nht t c ca tam giỏc AFB l R2 + 2R2 AC = BD = 2Rsin150 CHUYấN HI DNG Cõu V (3,0 im) Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB Trờn ng trũn ly im C cho AC < BC (C A) Cỏc tip tuyn ti B v C ca (O) ct im D, AD ct (O) ti E (E A) 1) Chng minh BE2 = AE.DE 2) Qua C k ng thng song song vi BD ct AB ti H, DO ct BC ti F Chng minh t giỏc CHOF ni tip 1) Gi I l giao im ca AD v CH Chng minh I l trung im ca CH TUYấN QUANG Cõu (2,5 im) Trờn ng trũn (O) ly hai im M, N cho M, O, N khụng thng hng Hai tip tuyn ti M , N vi ng trũn (O) ct ti A T O k ng vuụng gúc vi OM ct AN ti S T A k ng vuụng gúc vi AM ct ON ti I Chng minh: a) SO = SA b) Tam giỏc OIA cõn Hng dn chm, biu im A M S I 0,5 N O 1,0 a) Chng minh: SA = SO ã Vỡ AM, AN l cỏc tip tuyn nờn: MAO (1) ả (2) ả = SOA ả SAO cõn SA = SO (.p.c.m) T (1) v (2) ta cú: SAO Vỡ MA//SO nờn: ả ả = SAO MAO = SOA (so le trong) b) Chng minh tam giỏc OIA cõn 0,5 0,5 1,0 ã ã Vỡ AM, AN l cỏc tip tuyn nờn: MOA (3) = NOA Vỡ MO // AI nờn: gúc MOA bng gúc OAI (so le trong) (4) 0,5 à 0,5 T (3) v (4) ta cú: IOA = IAO OIA cõn (.p.c.m) H NI Bai IV (3,5 im) Cho ng trũn (O; R) cú ng kớnh AB Bỏn kớnh CO vuụng gúc vi AB, M l mt im bt k trờn cung nh AC (M khỏc A, C); BM ct AC ti H Gi K l hỡnh chiu ca H trờn AB 1) Chng minh CBKH l t giỏc ni tip ã ã 2) Chng minh ACM = ACK 3) Trờn an thng BM ly im E cho BE = AM Chng minh tam giỏc ECM l tam giỏc vuụng cõn ti C 4) Gi d l tip tuyn ca (O) ti im A; cho P l im nm trờn d cho hai im P, C nm AP.MB = R Chng minh ng thng PB i qua trung im ca on cựng mt na mt phng b AB v MA C thng HK M H Bai IV: (3,5 im) E A K B O ã Ta cú HCB = 900 ( chn na ng trũn k AB) ã HKB = 900 (do K l hỡnh chiu ca H trờn AB) ã ã => HCB + HKB = 1800 nờn t giỏc CBKH ni tip ng trũn ng kớnh HB 1) Ta cú ãACM = ãABM (do cựng chn ẳ AM ca (O)) ã ã ã ẳ ca trũn k HB) v ACK = HCK = HBK (vỡ cựng chn HK Vy ãACM = ãACK ằ = 900 2) Vỡ OC AB nờn C l im chớnh gia ca cung AB AC = BC v sd ằAC = sd BC Xột tam giỏc MAC v EBC cú ã ã ẳ ca (O) MA= EB(gt), AC = CB(cmt) v MAC = MBC vỡ cựng chn cung MC MAC v EBC (cgc) CM = CE tam giỏc MCE cõn ti C (1) ã ằ = 900 ) Ta li cú CMB = 450 (vỡ chn cung CB ã ã CEM = CMB = 450 (tớnh cht tam giỏc MCE cõn ti C) ã ã ã ã M CME + CEM + MCE = 1800 (Tớnh cht tng ba gúc tam giỏc) MCE = 900 (2) T (1), (2) tam giỏc MCE l tam giỏc vuụng cõn ti C (pcm) C S M H P E N A K O B 4) Gi S l giao im ca BM v ng thng (d), N l giao im ca BP vi HK Xột PAM v OBM : AP.MB AP OB =R = (vỡ cú R = OB) MA MA MB ã Mt khỏc ta cú PAM = ãABM (vỡ cựng chn cung ẳ AM ca (O)) PAM OBM AP OB = = PA = PM (do OB = OM = R) (3) PM OM ã ã Vỡ AMB = 90 (do chn na trũn(O)) AMS = 90 ã ã tam giỏc AMS vuụng ti M PAM + PSM = 90 ã ã ã ã v PMA + PMS = 90 PMS = PSM PS = PM (4) ã ã M PM = PA(cmt) nờn PAM = PMA T (3) v (4) PA = PS hay P l trung im ca AS NK BN HN NK HN = = = Vỡ HK//AS (cựng vuụng gúc AB) nờn theo L Ta-lột, ta cú: hay PA BP PS PA PS m PA = PS(cmt) NK = NH hay BP i qua trung im N ca HK (pcm) Theo gi thit ta cú HAI PHONG THANH HểA Bi 4: (3.0 im) Cho tam tam giỏc u ABC cú ng cao AH Trờn cnh BC ly im M bt k ( M khụng trựng B ; C; H ) T M k MP ; MQ ln lt vuụng gúc vi cỏc cnh AB ; AC ( P thuc AB ; Q thuc AC) 1- Chng minh :T giỏc APMQ ni tip ng trũn 2- Gi O l tõm ng trũn ngoi tip t giỏc APMQ Chng minh OH PQ 3- Chng minh rng : MP +MQ = AH 10 Cho ng trũn tõm O, bỏn kớnh R v im M cho MO = 2R Qua im M k cỏc tip tuyn MA, MB vi ng trũn (O) Hai ng cao BD v AC ca MAB ct ti H 1) Chng minh t giỏc AHBO l hỡnh thoi Ta cú: OA MA (Vỡ MA l tip tuyn vi ng trũn (O)) BH MA ( Vỡ BH l ng cao MAB) OA // BH (1) OB MB OB / /AH (2) AH MB Tng t ta cú: T (1) & (2) suy t giỏc AHBO l hỡnh bỡnh hnh, mt khỏc li cú OA = OB nờn t giỏc AHBO l hỡnh thoi ã 2) Tớnh gúc AMB ã ã ã D thy MO l ng phõn giỏc ca gúc AMB AMB = 2AMO Vỡ tam giỏc OAM vuụng ti A nờn ta cú: sin ãAMO = OA ã = ãAMO = 300 AMB = 600 MO QUNG NAM CHUYấN Nm hc: 2012 2013 Cõu 4: (4,0 im) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A Qua C k ng thng d vuụng gúc vi AC T trung im M ca cnh AC k ME vuụng gúc vi BC (E thuc BC), ng thng ME ct ng thng d ti H v ct ng thng AB ti K a) Chng minh: AMK = CMH, t ú suy t giỏc AKCH l hỡnh bỡnh hnh b) Gi D l giao im ca AH v BM Chng minh t giỏc DMCH ni tip v xỏc nh tõm O ca ng trũn ngoi tip t giỏc ú c) Chng minh: AD.AH = 2ME.MK ã d) Cho AB = a v ACB = 300 Tớnh di ng trũn ngoi tip t giỏc DMCH theo a Cõu Cõu Hỡnh (4,0) v (0,25) Ni dung im 0,25 43 a) (1,0) b) (1,0) c) (1,0) ã ã ã ã + AM = MC (gt) , KAM () = HCM = 900 , AMK = CMH + AMK = CMH ( g.c.g ) + suy ra: MK = MH + Vỡ MK = MH v MA = MC nờn t giỏc AKCH l hỡnh bỡnh hnh + Nờu c: CA BK v KE BC , suy M l trc tõm tam giỏc KBC + Nờu c: KC // AH v BM KC, suy BM AH ã ã + HDM + HCM = 900 + 900 = 1800 => T giỏc DMCH ni tip ã + MCH = 900 => Tõm O ca ng trũn ngoi tip t giỏc DMCH l trung im MH + Chng minh c hai tam giỏc ADM v ACH ng dng (g.g) AM AD = AM AC = AH AD AM = AH AD ( vỡAC=2AM ) + AH AC AH AD AM = (1) + Ta li cú: MC2 = ME.MH v MH=MK nờn MC2 = ME.MK (2) + Mt khỏc: MC = MA (gt) (3) AH AD = ME.MK => AH.AD = 2ME.MK T (1), (2), (3) => d) + ABC vuụng ti A, gúc C = 300 nờn AC = a (0,75) ã ã + ACB = MHC = 300 (cựng ph gúc CMH) => MH = 2MC M AC = 2MC nờn: MH = AC = a + di ng trũn ngoi tip t giỏc DMCH l: a MH C = ữ = a ữ = d + Tam giỏc ABC vuụng ti A nờn: AC = AB.cotC = a (0,75) ã ã + CMH = 900 ACB = 600 MC AC = = AC = a => MH = ã cosCMH 2cos600 Din tớch hỡnh trũn (O): 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a 3 MH = ữ = a ữ + S(O) = QUNG NAM CHUYấN Cõu 4: (4,0 im) Cho hỡnh ch nht ABCD cú AB = cm, AD = cm ng thng vuụng gúc vi AC ti C ct cỏc ng thng AB v AD ln lt ti E v F a) Chng minh t giỏc EBDF ni tip ng trũn b) Gi I l giao im ca cỏc ng thng BD v EF Tớnh di on thng ID 44 c) M l im thay i trờn cnh AB (M khỏc A, M khỏc B), ng thng CM ct ng thng AD ti N Gi S1 l din tớch tam giỏc CME, S2 l din tớch tam giỏc AMN Xỏc nh v trớ im M S1 = Cõu (4,0 im) a) (1,0) Chng minh t giỏc EBDF ni tip ng trũn Ta cú: ã ã ADB = ACB ã ã ã ( cựng ph vi BAC ) AEC = ACB ã ã ADB = AEC t giỏc EBDF ni tip 0,25 0,25 0,25 0,25 b) (1,5) Tớnh ID Tam giỏc AEC vuụng ti C v BC AE nờn: BE.BA = BC2 0,25 BC =1 BA IB BE = = BE//CD ID CD BD = ID 4 ID = BD v tớnh c: BD = ID = (cm) BE = Cõu Cõu (tt) S2 Ni dung c) (1,5 im) Xỏc nh v trớ im M S1 = 1 x2 BC.ME = x , S2 = AM.AN = 2 4x 3 x S1 = S2 x = x2 + 18x 40 = 2 4x x = (vỡ < x < 4) Vy M l trung im AB 0,25 0,25 0,25 0,25 im S2 t AM = x, < x < MB = x , ME = x AN AM BC.AM 2.x = AN = = Ta cú: BC MB MB x S1 = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 45 46 47 VNH LONG 48 Cõu 5: (2 im) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn ni tip ng trũn tõm O Gi AH v BK ln lt l cỏc ng cao ca tam giỏc ABC a) Chng minh t giỏc AKHB ni tip ng trũn Xỏc nh tõm ca ng trũn ny ã ã b) Gi (d) l tip tuyn vi ng trũn (O) ti C Chng minh rng ABH v HK OC = HKC TNH B RA-VNG TU Bai 4: (3,5 im) Cho ng trũn (O) ng kớnh AB V tip tuyn Ax vi ng trũn (O) Trờn Ax ly im M cho AM > AB, MB ct (O) ti N (N khỏc B) Qua trung im P ca on AM, dng ng thng vuụng gúc vi AM ct BM ti Q a) Chng minh t giỏc APQN ni tip ng trũn b) Gi C l im trờn cung ln NB ca ng trũn (O) (C khỏc N v C khỏc B) ã ã Chng minh: BCN = OQN c) Chng minh PN l tip tuyn ca ng trũn (O) d) Gi s ng trũn ni tip ANP cú di ng kớnh bng di on OA AM Tớnh giỏ tr ca AB ỏp ỏn bai hinh ã ã ã ã a) T giỏc APQN cú APQ = ANQ = 90o APQ + ANQ = 180o b) Ta cú PA = PM v PQ AM QM = QB OQ // AM OQ AB ã ã ã (cựng ph vi ABN ) OQN = NAB ã ã ằ ) (cựng chn NB BCN = NAB ã ã BCN = OQN ã ã c) Cỏch 1: OQN t giỏc AONQ ni tip = NAB Kt hp cõu a suy im A, O, N, Q, P cựng nm trờn mt ng trũn ã ã ONP = OAP = 90o ON NP NP l tip tuyn ca (O) ã ã Cỏch 2: PAN (do PAN cõn ti P) = PNA ã ã (do ONB cõn ti O) ONB = OBN ã ã ã Nhng PAN (cựng ph vi NAB ) = OBN ã ã PNA = ONB ã ã ã ã ã M ONB + ONA = 90o PNA + ONA = 90o = PNO ON PN NP l tip tuyn ca (O) 49 d) Gi I l giao im ca PO v (O), suy I l tõm ng trũn ni tip tam giỏc APN OE = EI = AEO R (R l bỏn kớnh ng trũn (O)) AIE u AE = R 2 AE EO 2PA MA AE PAO (g-g) = = = = PA AO 2AO AB EO R = R TNH HU GIANG Bai 5: (4,0 im) Cho ng trũn (O; R) v mt im S bờn ngoi ng trũn v hai tip tuyn SA, SB v ng thng a i qua S ct ng trũn (O; R) ti M, N vi M nm gia S v N (ng thng a khụng i qua tõm O) a) Chng minh SO AB b) Gi I l trung im ca MN v H l giao im ca SO v AB; hai ng thng OI v AB ct ti E Chng minh: OI.OE = R2 c) Chng minh t giỏc SHIE ni tip ng trũn d) Cho SO = 2R v MN = R Tớnh din tớch tam giỏc ESM theo R BN TRE TRUNG HC PH THễNG CHUYấN BN TRE NM HC 2012 2013 MễN TON (chung) Cõu (3,0 im) Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB T A, B v cỏc tip tuyn Ax, By v phớa cú cha na ng trũn (O) Ly im M thuc on thng OA; im N thuc na ng trũn (O) ng trũn (O) ngoi tip tam giỏc AMN ct Ax ti C; ng thng CN ct By ti D a) Chng minh t giỏc BMND ni tip b) Chng minh DM l tip tuyn ca ng trũn (O) 3/ Gi I l giao im ca AN v CM; K l giao im ca BN v DM Chng minh IK song song AB MễN TON CHUYấN - BN TRE Bi 4: Cho tam giỏc ABC nhn, v ng cao AH Gi E, F ln lt l hỡnh chiu ca H lờn hai cnh AB, AC ng thng qua A vuụng gúc vi EF ct cnh BC ti D 1/ Chng minh ng thng AD i qua tõm ng trũn ngoi tip ca tam giỏc ABC 2/ Gi I, K ln lt l hỡnh chiu ca D lờn hai cnh AB, AC Chng minh tam giỏc DIK ng dng vi tam giỏc HEF BH BD AB2 3/ Chng minh = CD CH AC 50 51 52 AN GIANG Bai (3,5 im) Cho ng trũn ( O) bỏn kớnh R = cm v mt im I nm ngoi ng trũn, bit rng OI = 4cm.T I k hai tip tuyn IA v IB vi ng trũn (A,B l tip im) a) Chng minh t giỏc OAIB ni tip b)T I k ng thng vuụng gúc vi OI ct tia OA ti O.Tớnh OO v din tớch tam giỏc IOO ã c) T O k OC vuụng gúc BI ct ng thng BI ti C.Chng minh OI l tia phõn giỏc ca AO'C 53 54 55 56 57 [...]... 16 R 8R 2 5 Vy: SABICD = 2R + ( + 2R) = = (vdt) 2 3 2 3 3 3 6 9 I E O C D 16 CHNH THC 17 18 19 THA THI N HU Bai 4:(3,0 im) Cho na ng trũn (O) ng kớnh BC.Ly im A trờn tia i ca tia CB.K tip tuyn AF vi na ng trũn (O) ( F l tip im), tia AF ct tia tip tuyn Bx ca na ng trũn (O) ti D ( tia tip tuyn Bx nm trong na mt phng b BC cha na ng trũn (O)) Gi H l giao im ca BF vi DO ; K l giao im th hai ca DC vi na... Vỡ AMCO ni tip nờn ACO = AME cựng chan cung AO ã ã Suy ra ADE = ACO A GIA LAI C O B Cõu 5 (2,5 im) Cho tam giỏc nhn ABC (AB < AC < BC) ni tip trong ng trũn (O) Gi H l giao im ca hai ng cao BD v CE ca tam giỏc ABC (D AC, E AB) a Chng minh t giỏc BCDE ni tip trong mt ng trũn b Gi I l im i xng vi A qua O v J l trung im ca BC Chng minh rng ba im H, J, I thng hng 1 1 1 = + c Gi K, M ln lt l giao im ca... cao ng thi l ng trung tuyn (gt) OAM cõn ti M ( 2 ) ã ã ã ( 1) & ( 2 ) OAM l tam giỏc u MOA = 600 MON = 1200 MKI = 600 ã KMI l tam giỏc cõn (KI = KM) cú MKI = 600 nờn l tam giỏc u MI = MK ( 3) 30 1ã 1 ã = MON = ì1200 = 600 nờn l tam giỏc u MN = MB ( 4 ) D thy BMK cõn ti B cú MBN 2 2 Gi E l giao im ca AK v MI ã ã NKB = NMB = 600 ã ã D thy NKB = MIK KB // MI (vỡ cú cp gúc v trớ so le trong. .. tam giỏc AEM v ABS ng dng nờn NAE , = PAB ã ã M AEN ( do t giỏc BCEF ni tip) = ABP Do ú hai tam giỏc ANE v APB ng dng nờn AN AE = AP AB AM AE = ( hai tam giỏc AEM v ABS ng dng) AS AB AM AN = Suy ra nờn trong tam giỏc AMS cú NP//SM( nh lớ Talet o) AS AP Li cú Do ú bi toỏn c chng minh HNG YấN Bi 4: (3 im) T im A bờn ngoi ng trũn (O), k cỏc tip tuyn Am, AN vi ng trũn (M, N l cỏc tip im) ng thng d i qua... kớnh AO b) Theo tớnh cht hai tip tuyn ct nhau ta cú: AM = AN Do 5 im A, M, H, O, N cựng thuc mt ng trũn nờn: ãAHM = ãAHN (gúc ni tip chn hai cung bng nhau) ã Do ú HA l tia phõn giỏc ca MHN ã ã c) Theo gi thit AM//BE nờn MAC ( ng v) (1) = EBH Do 5 im A, M, H, O, N cựng thuc mt ng trũn nờn: ã ã (gúc ni tip chn cung MH) MAH = MNH (2) ã ã T (1) v (2) suy ra ENH = EBH Suy ra t giỏc EBNH ni tip ã ã Suy ra EHB... MAOB) Suy ra OH.OM = OA2 p dng nh lý Pitago vo tam giỏc vuụng MAO v cỏc h thc OH.OM = OA 2 MC.MD = MA2 suy ra iu phi chng minh d, T MH.OM = MA2, MC.MD = MA2 suy ra MH.OM = MC.MD MH MC = (*) MD MO ã Trong MHC v MDO cú (*) v DMO chung nờn ng dng MC MO MO MC MO = = = hay (1) HC MD OA CH OA ã ã ã Ta li cú MAI (cựng chn hai cung bng nhau) AI l phõn giỏc ca MAH = IAH Theo t/c ng phõn giỏc ca tam giỏc,... 2 ãACB = DEA ã ã cựng bự vi gúc DEB ca t giỏc ni tip BCDE 0 ã ã BAI + AIB = 90 vỡ ABI vuụng ti B ã ã ã ã Suy ra BAI + AED = 900 , hay EAK + AEK = 900 Suy ra AEK vuụng ti K Xột ADM vuụng ti M (suy t gi thit) DK AM (suy t chng minh trờn)www.VNMATH 1 1 1 = + Nh vy 2 2 DK DA DM 2 QUNG NINH Cõu IV (3,5 im) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, trờn cnh AC ly im D (D A, D C) ng trũn (O) ng kớnh DC ct BC ti E (E... MD trựng nhau O, M, D thng hng 2 Tam giỏc COD l tam giỏc cõn CA l tip tuyn ca ng trũn (O) CA AB(3) ng trũn (I) tip xỳc vi AC ti C CA CD(4) ã ã T (3) v (4) CD // AB => DCO (*) = COA ( Hai gúc so le trong) ã ã CA, CM l hai tip tuyn ct nhau ca (O) COA (**) = COD ã ã T (*) v (**) DOC Tam giỏc COD cõn ti D = DCO 3 ng thng i qua D v vuụng gúc vi BC luụn i qua mt im c nh khi M di ng trờn ng trũn (O)... 0,75 0 ã ã ,m hai gúc ny l 2 gúc i nờn t giỏc APOQ l t giỏc ni ị APO + AQO = 180 tip P S M N A I G O K Q 2 Xột AKN v PAK cú ãAKP l gúc chung ãAPN = ãAMP ( Gúc ntcựng chn cung NP) ã M NAK = ãAMP (so le trong ca PM //AQ AKN ~ PKA (gg) ị 3 0,75 AK NK = ị AK 2 = NK KP (pcm) PK AK K ng kớnh QS ca ng trũn (O) Ta cú AQ ^ QS (AQ l tt ca (O) Q) M PM//AQ (gt) nờn PM ^ QS 0,75 31 ng kớnh QS ^ PM nờn QS i qua... cung PM nh ằ = sd SM ẳ ị PNS ã ã (hai gúc nt chn 2 cung bng nhau) sd PS = SNM 4 Hay NS l tia phõn giỏc ca gúc PNM Chng minh c AQO vuụng Q, cú QG ^ AO(theo Tớnh cht 2 tip tuyn ct nhau) Theo h thc lng trong tam giỏc vuụng ta cú OQ 2 R 2 1 2 OQ = OI OA ị OI = = = R OA 3R 3 1 8 ị AI = OA - OI = 3R - R = R 3 3 Do KNQ ~ KQP (gg) ị KQ 2 = KN KP m AK 2 = NK KP nờn AK=KQ Vy APQ cú cỏc trung tuyn AI v PK ... DA.DC DB = DE 3) S GD&T VNH PHC CHNH THC K THI TUYN SINH LP 10 THPT NM HC 2012-2013 THI MễN : TON Thi gian lam bai 120 phỳt (khụng k thi gian giao ) Ngy thi: 21 thỏng nm 2012 Cõu (3,0 im) Cho ng... tip ng trũn cú bỏn kớnh R, tc l bỏn kớnh ng trũn ngoi tip BHC bng R S GD & T HềA BèNH THI TUYN SINH VO 10 NM HC 2012-2013 Cõu (2,0 im) Cho ng trũn tõm O, bỏn kớnh R v im M cho MO = 2R Qua im... ả = SAO MAO = SOA (so le trong) b) Chng minh tam giỏc OIA cõn 0,5 0,5 1,0 ã ã Vỡ AM, AN l cỏc tip tuyn nờn: MOA (3) = NOA Vỡ MO // AI nờn: gúc MOA bng gúc OAI (so le trong) (4) 0,5 à 0,5 T (3)