I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM NGUYN TH HI HIN XP X HM A IU HềA DI TRONG LP NNG LNG Cể TRNG LUN VN THC S TON HC THI NGUYấN - 2015 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM NGUYN TH HI HIN XP X HM A IU HềA DI TRONG LP NNG LNG Cể TRNG Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS PHM HIN BNG THI NGUYấN - 2015 i LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Cỏc ti liu lun l trung thc Lun cha tng c cụng b bt c cụng trỡnh no Tỏc gi Nguyn Th Hi Hin ii LI CM N Bn lun c hon thnh ti Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn di s hng dn tn tỡnh ca PGS.TS Phm Hin Bng Nhõn dp ny tụi xin cỏm n Thy v s hng dn hiu qu cựng nhng kinh nghim quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Xin chõn thnh cm n Phũng Sau i hc, Ban ch nhim Khoa Toỏn, cỏc thy cụ giỏo Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn hc v Trng i hc S phm H Ni ó ging dy v to iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu khoa hc Xin chõn thnh cm n Trng Ph thụng Dõn tc ni trỳ THPT Tnh Ho Bỡnh cựng cỏc ng nghip ó to iu kin giỳp tụi v mi mt quỏ trỡnh hc v hon thnh bn lun ny Bn lun chc chn s khụng trỏnh nhng khim khuyt vỡ vy rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn hc viờn lun ny c hon chnh hn Cui cựng xin cm n gia ỡnh v bn bố ó ng viờn, khớch l tụi thi gian hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Thỏng 04 nm 2015 Tỏc gi Nguyn Th Hi Hin iii MC LC LI CAM OAN i LI CM N ii MC LC iii M U 1 Lý chn ti Mc ớch v nhim v nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu B cc ca lun Chng CC KIN THC CHUN B 1.1 Hm a iu ho di 1.2 Hm a iu ho di cc i 1.3 Hm cc tr tng i 1.4 Toỏn t Monge-Ampốre phc 10 Chng XP X CA HM A IU HềA DI TRONG LP NNG LNG Cể TRNG 15 2.1 Cỏc lp nng lng Cegrell n 15 2.2 Xp x ca hm a iu hũa di lp nng lng Cegrell 16 2.3 Cỏc lp nng lng cú trng 22 2.4 Di thỏc trin lp 35 2.5 Xp x ca hm a iu hũa di lp 37 KT LUN 40 TI LIU THAM KHO 41 M U Lý chn ti Bi toỏn xp x cỏc hm a iu hũa di úng vai trũ c bit quan trng lý thuyt a th v, bi vỡ tt c cỏc i tng c bn v k thut kinh in ca lý thuyt ny nh dung lng, toỏn t Monge-Ampere, nguyờn lý so sỏnh, u liờn quan n xp x cỏc hm a iu hũa di Do ú, bi toỏn ny ó c nhiu tỏc gi v ngoi nc quan tõm nghiờn cu Gn õy, nghiờn cu v cỏc hm a iu hũa di khụng b chn a phng m trờn ú cú th xỏc nh c toỏn t Monge-Ampere, Cegrell ó phõn chỳng thnh cỏc lp hm a iu hũa di khỏc cú th xp x chỳng bng cỏc hm a iu hũa di b chn t ú nh ngha c toỏn t Monge-Ampere cho cỏc lp ny Ta bit rng toỏn t Monge-Ampere phc c xỏc nh vi hm (dd c j ( ) nh l gii hn yu ca dóy o )n , ú ( j ) l dóy gim cỏc hm a iu hũa di thuc lp ( ) hi t n M rng lp ny, nm 2005, Cegrell ó a lp hm ( ) m trờn mi compact Tip tc m rng lp , nú trựng vi mt hm lp ( ) v lp lp nng lng cú trng p ( ) ( ) , nm 2011, S Benelkourchi ó a ( ) v nghiờn cu vic xp x hm a iu ho di lp ú Theo hng nghiờn cu ny chỳng tụi chn ti: "Xp x ca hm a iu hũa di lp nng lng cú trng" Mc ớch v nhim v nghiờn cu 2.1 Mc ớch nghiờn cu Mc ớch chớnh ca lun l trỡnh by mt s kt qu vic nghiờn cu v xp x ca cỏc hm a iu hũa di cỏc lp Cegrell n v cỏc lp nng lng cú trng 2.2 Nhim v nghiờn cu Lun trung vo cỏc nhim v chớnh sau õy: - Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, hm a iu ho di cc i, hm cc tr tng i, toỏn t Monge-Ampốre - Nghiờn cu mt s tớnh cht ca cỏc lp nng lng U.Cegrell n v lp nng lng cú trng ( ) - Trỡnh by cỏc kt qu gn õy ca Slimane Benelkourchi v xp x ca cỏc hm a iu ho di cỏc lp Cegrell v lp nng lng cú trng Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc phng phỏp ca gii tớch phc kt hp vi cỏc phng phỏp ca gii tớch hm hin i, cỏc phng phỏp ca lý thuyt a th v phc B cc ca lun Ni dung lun gm 42 trang, ú cú phn m u, hai chng ni dung, phn kt lun v danh mc ti liu tham kho Chng 1: Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, hm a iu ho di cc i, hm cc tr tng i, toỏn t Monge-Ampốre Chng 2: L ni dung chớnh ca lun vn, trỡnh by mt s kt qu v tớnh cht ca cỏc lp nng lng U.Cegrell trng n v lp nng lng cú ( ) Trỡnh by cỏc kt qu nghiờn cu gn õy ca Slimane Benelkourchi v xp x ca cỏc hm a iu ho di cỏc lp Cegrell v lp nng lng cú trng Cui cựng l phn kt lun trỡnh by túm tt kt qu t c Chng CC KIN THC CHUN B 1.1 Hm a iu ho di 1.1.1 nh ngha Cho X l mt khụng gian tụpụ, hm u : X c gi l na liờn tc trờn trờn X nu vi mi x X : u(x ) n l mt m ca l mt hm na liờn tc trờn v khụng trựng vi liờn thụng no ca n v b u(a , hm ny, ta vit u v u : , trờn bt k thnh phn Hm u c gi l a iu ho di nu vi mi b) l iu ho di hoc trựng :a trờn mi thnh phn ca hp di hp l m X 1.1.2 nh ngha Cho a , b ( ) ( õy kớ hiu Trong trng hp ( ) l lp hm a iu ho ) Sau õy l mt vi tớnh cht ca hm a iu ho di: ( ) v u 1.1.3 Mnh Nu u, v u v hu khp ni , thỡ v 1.1.4 Mnh Hm a iu ho di tho nguyờn lý cc tr b chn, tc l nu u l mt m liờn thụng b chn ca PSH ( ), thỡ hoc u l hng hoc vi mi z u(z ) sup lim sup u(y ) y y , n v n 1.1.5 nh ngha Tp hp E a E u cú mt lõn cn V ca a v mt hm u E V z V : u(z ) 1.1.6 nh lý Cho (i ) H u, v u v lim u j uj ( ) hoc u j (iii ) Nu u : , thỡ u l cỏc s khụng õm v ( ) l dóy gim, thỡ j , v nu u j compact ca , Khi ú ( ) l liờn thụng v (iv ) Gi s u n l mt m ( ) , thỡ (V ) cho ( ) l nún li, tc l nu (ii ) Nu u c gi l a cc nu vi mi im ( ) hi t u ti u trờn cỏc j ( ) ( ) cho bao trờn ca nú u A sup u l b A chn trờn a phng Khi ú hm chớnh qui na liờn tc trờn u * l a iu ho di 1.1.7 H qu Cho n l mt m khỏc rng ca Nu u mi y , thỡ cụng thc xỏc nh mt hm a iu ho di l mt m thc s ( ), v lim v(x ) ( ), v max u, v u v x trong \ y u(y ) vi 1.1.8 nh lý Cho n l mt m ca (i ) Cho u, v l cỏc hm a iu ho di : v v l li, thỡ v (u / v) l a iu ho di (ii ) Cho u ( ), v ( ), v v Nu Nu : l li v tng dn, thỡ v (u / v) l a iu ho di (iii ) Cho u, v : 0, ( ), u 0, l li v (0) 1.1.9 nh lý Cho , thỡ v (u / v) l mt m ca F z l mt úng ca , v v n Nu ( ) v : v(z ) õy v ( ) Nu u ( \ F ) l b chn trờn, thỡ hm u xỏc nh bi u(z ) (z lim sup u(y ) (z u (z ) y z y F l a iu ho di n 1.1.10 nh ngha Mt b chn tn ti hm a iu hũa di liờn tc c z \ F) F) : (z ) : c c gi l siờu li nu ( , 0) cho vi mi c 1.2 Hm a iu ho di cc i 1.2.1 nh ngha Cho l mt m ca n v u : l hm a iu ho di Ta núi rng u l cc i nu vi mi m compact 28 o( ) v chng minh s hi t ca nng lng Tht vy, vi k ta nh ngha u kj sup{u j , k } v u k C nh s nguyờn k , dóy (u kj )j nng lng ca u kj hi t ti sup{u, k } b chn u v gim ti u k , ú nng lng ca u k j nng lng ca u kj ta s hon thnh vic chng minh nu cú th ch nng lng ca u j u theo j j hi t ti Nh vy iu ny c suy t cỏc bt ng thc sau õy (u kj )(dd cu kj )n I ( j, k ) : {u j ú M (u kj )(dd cu kj )n k} ( k) ( k) (u j )(dd cu j )n {u j {u j k} (u kj )(dd cu j )n k} ( k) ( k) (u j )(ddcu j )n sup j (u j )(dd cu j )n Trng hp tng quỏt, chỳ ý rng f (u j )(dd cu kj )n {u j k} (u j )(dd cu j )n ( k) , ( k) 2M (u) L1((dd cu)n ) theo Mnh 2.3.3 Khi ú suy tn ti hm tng h : lim t h(t ) t (t ) : v h( L1((dd cu)n ) Nh vy u h( f ) (t )) vi t v lng suy t trng hp trờn o( ) v tớnh liờn tc ca cho ( ) , vi nng 29 : 2.3.6 nh lý Cho l hm khụng gim cho t Khi ú ( ) ( ) tu ý, toỏn t Monge-Ampere phc (dd cu )n xỏc Núi riờng, vi hm u L1((dd cu)n ) (u) nh tt v Chng minh Ly r khụng gim l mt s thc cho cho , r v v ( r) Chn mt hm r, , trờn on Ta s chng minh rng l li trờn (v) ( ) vi ( ) tu ý Tht vy dd c (v) Nu u ( ) d cv (v)dv ( ) thỡ tn ti mt dóy u j sup j (v)dd c (v ) 0 ( ) gim v u v tha (u j )(dd cu j )n Khi ú (u1 )(dd cu j )n sup j sup j sup j Vỡ vi G (u j )(dd cu j )n (u j )(dd cu j )n u1 l hm a iu hũa di õm, nờn ta chng minh u l mt v xột hm uGj sup v ( ); v u j trờn G ( ) Tht vy, 30 uGj ( ) v uGj u trờn G Ly ( ) cho u1 Bng cỏch ly tớch phõn tng phn ta cú (dd cuGj )n sup j (dd cu j )n sup j sup j (u1 )(dd cu j )n Khi ú (dd cuGj )n sup j iu ny cho ta uGj j G ( ) v ú u Bõy gi nu u (dd cuGj )n ( sup ) sup ( ) ( ) , thỡ tớnh na liờn tc trờn ca u suy (u)(dd cu)n l b chn trờn vỡ l im t ca dóy b chn (u j )(dd cu j )n Do ú (u)((dd cu)n ) 2.3.7 nh ngha ( ): ( )/ Cỏc lp t n ( t )Cap ({ t})dt ( ) v ( ) cú mi quan h mt thit vi nhau: 2.3.8 Mnh Cỏc lp ( ) l li v n nh theo ngha nu ( ) thỡ max( , ) v ( ) ( ) , ú (t ) ( ) Hn na luụn cú ( ) (2t ) ( ) ( ), 31 Chng minh Tớnh li ca ( ) c suy t khng nh sau: ( ) v nu , {a a thỡ (1 a) t} t} { { t} Tớnh n nh l hin nhiờn ( ) Khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi s Gi s (0) t j ( j ) max( , j ) Theo B 2.3.1 ta cú (dd c j )n ( t )(dd c ( t )Cap ( ( ) ( ) Suy v j )n ( t )dt j t )dt ( ) Bao hm thc cũn li c chng minh tng t, s dng bt ng thc th hai B 2.3.1 Chỳ ý rng ( ) , (t ) ( ) bt ng thc ca B 2.3.1vi t Khi ( t )p ta cú (t ) trng ca cỏc lp U Cegrell p (2t ) , suy bng cỏch ỏp dng cỏc s ( ) ( ) Nh vy ta nhn c c ( ) theo ngha tc gim ca dung lng ca cỏc mc di 2.3.9 H qu a ( ) ( ) (0) ( ) 32 Chng minh Bao hm thc suy t Mnh 2.3.3 chng minh bao hm thc ngc li, ta ch cn chng minh nu u ( ) iu ny l cho u h(t ) t nCap ({u a ( ) thỡ tn ti hm t sup h(s ) , t s t t }) v h (t ) Hm h l b chn, gim v hi t v ti vụ cựng Xột vi mi t l hm li, tng vi (0) (t ) Khi ú, : h( t ) v ( ) Hn na t n ( t )Cap ({ t })dt h (s ) ds 1/2 h (s ) h 1/2 (0) , iu ú suy t B 2.3.1 : 2.3.10 Mnh Cho t Khi ú nu tn ti dóy (uk ) sup k thỡ hm u l hm khụng gim cho lim uk k ( ) cho (uk )(dd cuk )n v ú u , ( ) Chng minh Khụng mt tng quỏt, gi s hp t di dng Theo B 2.3.1 ta cú s nCap (uk 2s ) (uk s) (dd cuk )n : (t) cú 33 suy t n ( t )Cap (uk 2n t )dt ( t) 2n (uk s) (dd cuk )n dt (uk )(dd cuk )n Do ú t nh lớ v tớnh n iu hi t ta cú : t n ( t )Cap ({u t })dt lim k t n ( t )Cap ({uk sup ( k Hay u v ú u u ( ) ta cú u * ( ) l hm khụng gim Nu t lim supz u(z ) , vi mi Chng minh Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s t cú di dng vi mi t0 lim supz z0 B u ( ) : 2.3.11 Mnh Cho ) uk (dd cuk )n t })dt thỡ vi 0, t t0 , ( t ) Gi s tn ti z 0 l cho Chn hỡnh cu B tõm z nh tựy ý cho u(z ) / Khi ú theo [5] ta cú Cap (u s) , s / Do ú t n ( t )Cap (u mõu thun vi gi thit u ( ) ( ) t )dt , 34 : 2.3.12 nh lý Cho ( ) l hm khụng gim Nu t thỡ ( ) Chớnh xỏc hn, ta cú u ( ) L1((dd cu)n ) u ( ): Chng minh Theo Mnh 2.3.8 trc ht ta s chng minh rng nu u ( ) l hm cc i thỡ u nh ngha ca lp 0 Ly u j ( ) l dóy c cho ( ) Theo B 2.3.1 ta cú ( s / 2)s nCap (u j 2n s)ds ( s) (u j s) (dd cu j )n (u j )(dd cu j )n Vỡ u ( ) l hm cc i (tc l (dd cu)n ) nờn (u j )(dd cu j )n lim j Do ú ( s / 2)s nCap (u s )ds lim j ( s / 2)s nCap (u j 2n lim (u j )(dd cu j )n j T ú Cap (u s) 0, s Vy u s )ds 0 Bõy gi ta chng minh khng nh sau cựng, tc l ta phi chng minh bao hm thc ( ) u ( ) : (u) L1((dd cu)n ) 35 Ly u (u)(dd cu )n ( ) cho dng dóy u j ( ) gim v u v sup j )(u j )(dd cu j )n ( , tn ti u j T [13] suy vi mi j (dd cu)n ú Tng t [8], ta xõy 1u ( ) cho (dd cu)n , j Chỳ ý rng ( ) l hm vột cn vi (dd cu)n (dd cu j )n (dd cu j )n Theo nguyờn lý so sỏnh suy (u j )j l dóy gim v u lim j u j u T chng minh ca nh lớ 2.3.6 suy tn ti hm a iu hũa di õm (dd cu )n cho Khi ú theo nh lớ 3.6 [2] ta cú u u Theo nh lớ hi t n iu ta cú ( ) u j (dd cu j )n ) uj ( u j (dd cu)n u j (dd cu j )n 2.4 Di thỏc trin lp Ta cn b sau ([11]): n 2.4.1 B Cho ú hm u xỏc nh bi u u ( ),(dd cu)n l cỏc siờu li Gi s u sup v trờn u v ( );v v (dd cu)n u trờn ( ) Khi tho món: (dd cu)n trờn 36 n 2.4.2 nh lý Cho khụng gim cho t u u trờn : l cỏc siờu li Nu u ( ) thỡ tn ti u l hm ( ) cho , v (u )(dd cu)n Chng minh Cho u ( ) v cho uk ( ) vi mi k ngha ca lp (u )(dd cu )n ( ) l dóy gim v u theo nh cho uk l di thỏc trin ca hm uk theo B 2.4.1 ta cú: (uk )(dd cuk )n (uk )(dd cuk )n uk uk (uk )(dd cuk )n (uk )(dd cuk )n uk uk Do ú sup k (uk )(dd cuk )n Theo Mnh 2.3.10 ta cú hm u (u)(dd cu)n limk uk (2.9) v u ( ) Khi ú t (2.9) suy (u )(dd cu )n Theo nguyờn lý so sỏnh ta nhn c uk k ta cú u u trờn (u )(dd cu )n uk trờn vi mi k , cho 37 2.5 Xp x ca hm a iu hũa di lp ( ) ta cú: M rng nh lý 2.2.4 cho lp nng lng cú trng n 2.5.1 nh lý Cho cho lim Cap (K ) li cha K t l siờu li v j l hm khụng gim cho ( t ) Khi ú vi mi ( j j (lim j (z ) (z ), vi mi z ( ) Vi mi j j tng dn n j j trờn )* ú t n ( t )Cap ( j xột hm ( j j ) thỏc ta cú j trờn j 2t )dt lim J ( ) chng minh (dd c )n (dd c )n Ly h j t n ( t )Cap ({ j ( Do ú t n ( t )Cap ( )(dd c )n 2t )dt 2t})dt j ta phi chng minh ( ) cho h(dd c )n Ly tớch phõn tng phn ta c v j t Theo B 2.3.1 ta cú h(dd c )n , nhn c theo nh lớ 2.4.2 Ta chng minh rng dóy T cỏch xõy dng j 0, vi mi ( ) tn ti mt dóy khụng gim cỏc hm ) cho lim Chng minh Ly trin ca l dóy gim cỏc siờu Cap (K ) , vi mi compact j : Cho j 38 h(dd c )n dd ch (dd c )n hdd c (dd c )n j ta cú k trờn j k limk Nh li rng nu k j limk j k vi ( dd ch (dd c )n 1 h(dd c )n ) l dóy gim k j , ú ( j ( ) , thỡ vi mi ) l di thỏc trin ca , c cho bi k j sup v ( j k ); v trờn T tớnh liờn tc ca toỏn t Monge-Ampere phc i vi dóy n iu gim ta cú h(dd c )n h(dd c lim j lim lim j Do dú vi h k ( ) tha j )n j h(dd c k n , ( ) cho l Tht vy, c nh h nh bi (dd c )n k n j ) h(dd c )n ) h(dd c )n tn ti k h(dd c )n Theo B 3.1 [9] i vi hm h(dd c lim lim , ta cú h(dd c )n trn v cú giỏ compact Ta cú th chn vi l ( ) nh trờn Hm , luụn cho 1,2 l ,l 1,2 cú th c xỏc 39 l mz max( b,Mh ) v max(m z ú a, b, m v M l cỏc hng s ph thuc vo l Mh , suy (dd c )n l b,Mh ) ,h v Khi ú l hm kh tớch i vi (dd c )n v (dd c )n Do ú (dd c )n Theo nh lớ 3.6 [2] suy 40 KT LUN Lun ó trỡnh by: - Tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, hm a iu ho di cc i, hm cc tr tng i, toỏn t MongeAmpốre - Mt s tớnh cht ca cỏc lp nng lng U.Cegrell n v lp ( ) nng lng cú trng - Cỏc kt qu gn õy ca Slimane Benelkourchi v xp x ca cỏc hm a iu ho di cỏc lp Cegrell v lp nng lng cú trng C th l cỏc nh lý sau: n + Cho l mt siờu li cht, int li cha cho cho D Gi s j a j ( j a ) cho lim j j n + Cho j : j v vi mi m D ( j tn ti j ( ) Khi ú tn ti mt dóy tng cỏc hm (z ) (z ) vi mi z j l dóy gim cỏc siờu li cha Cap (K ) , vi mi compact K l hm khụng gim cho ( t) 0, vi mi t ( ) tn ti mt dóy khụng gim cỏc hm Khi ú vi mi j j l siờu li v cho lim Cap (K ) Cho j l dóy gim cỏc siờu j ) cho lim j j (z ) (z ), vi mi z 41 TI LIU THAM KHO TING VIT [1] Diệu N Q., Hải L M (2009), Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại Học sphạm Hà Nội TING ANH [2] Ahag P., Czyz R., v Pham H H (2009), "Monge-Ampere measure on pluripola sets", J Math Pures Appl (9) 92, No.6, pp.613-627 [3] Bedford E., and Taylor B A (1982), "A new capacity for plurisubharmonic funtions", Acta Math 149, No.1-2, pp.1 - 40 [4] Benelkourchi S (2009), Weighted pluricomplex energy, Potential Analysis Volume 31, Issuel, pp.1-20 [5] Benelkourchi S (2006), "A note on the approximation of plurisubharmonic functions", C.R Math Acad Sci Paris, 342, pp 647-650 [6] Benelkourchi S., Guedj V., and Zeriahi A (2007), Plurisubharmonic functions with weak singularities, complex Analysis and Digital Geometry Proceedings from the Kisslmanfest, Uppsala Universitet, ISSN 0502-7454, pp 57-73 [7] Blocki Z (2004), "On the definition of the Monge- Ampere operator in " Math Ann 328, no 3, pp 415- 423 [8] Cegrell U (1998), "Pluricomplex energy", Acta Math 180, pp.187 - 217 [9] Cegrell U (2004), "The general definition of the complex Monge - Ampốre", Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, pp.159 - 179 [10] Cegrell U (2008), "A general Dirichle problem for of the complex Monge-Ampere operator", Ann Polon Math.94, no2, pp.131-147 42 [11] Cegrell U., and Hed L (2008), "Subextension and approximation of negative plurisubharmonic functions", Michigan Math J 56, no.3, pp 93-601 [12] Cegrell U., Kolodziej S., and Zeriahi A (2005), "Subextension of plurisubharmonic functions with weak singularities", Math Z 250, no 1, pp 7-22 [13] Kolodziej S (1994), "The range of the complex Monge-Ampere operator", Indiana Univ Math J 43, no 4, pp 1321-1338 [...]... Chƣơng 2 XẤP XỈ CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI TRONG LỚP NĂNG LƢỢNG CÓ TRỌNG Trong chương này, chúng ta trình bày một số tính chất của các lớp năng lượng có trọng và nghiên cứu việc xấp xỉ của hàm đa điều hòa dưới trong những lớp đó Ta sẽ chứng minh rằng một hàm tùy ý trong có thể xấp xỉ bởi một dãy tăng các hàm điều hòa dưới được xác định trên miền lớn hơn và có năng lượng hữu hạn n 2.1 Các lớp năng lƣợng... Monge-Ampere suy ra (dd c )n sánh trong lớp a ( ) Theo Mệnh đề 2.2.2 ta có Bây giờ, ta có (dd c )n s , ( ) ta được 1 (dd c )n Từ tính liên tục (dd c )n Áp dụng nguyên lý so 2.3 Các lớp năng lƣợng có trọng Trong mục này chúng ta sẽ trình bày một vài tính chất của lớp ( ) Công cụ chính là ước lượng dung lượng của các tập mức dưới của các hàm đa điều hòa dưới Dung lượng Monge-Ampere đã được giới thiệu... này tương tự như lớp thế vị của hàm điều hoà dưới 2.2 Xấp xỉ của hàm đa điều hòa dƣới trong lớp năng lƣợng Cegrell 2.2.1 Định nghĩa Giả sử K lượng của K đối với là tập Borel, được xác định bởi n là một miền Dung 17 Cap(K , ) sup K (dd cu)n ; u lim sup s nCap z : (z ) 0 (dd c )n lim s nCap z s ( ) sao cho Với mọi j và s trên j j )n lim sup s nCap z (2.1) 0 ta có j )n (2.2) do đó ta có : (z ) 0 Ngược... đúng đối với các hàm đa điều hòa dưới bị chặn đều theo Định lí hội tụ Bedford và Taylor Trong trường hợp tổng quát, ta xét hàm tăng : thỏa mãn 28 o( ) và chứng minh sự hội tụ của năng lượng Thật vậy, với k ta định nghĩa u kj sup{u j , k } và u k Cố định số nguyên k , dãy (u kj )j năng lượng của u kj hội tụ tới sup{u, k } bị chặn đều và giảm tới u k , do đó năng lượng của u k khi j năng lượng của u kj... uK , là hàm liên tục Chứng minh Lấy u là hàm xác định của uE , và ký hiệu F  v u u trong trong \ (0,1) tồn tại v Thật vậy, lấy và K z ( ) là họ các hàm u Giả sử 1 trên K Khi đó sao cho cần chứng minh rằng với mỗi u là một tập compact sao (0,1) u trong Chỉ C( ) F Sao cho tồn tại 0 sao cho , trong đó : dist(z, ) Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini có u thể... đẳng thức (2.2) ta có s nCap 1 )n là hàm đa điều hoà dưới âm trên minh j 1 (dd c )n Theo Định lý 5.15 trong [10] ta nhận được j 1 ( nên ta có (dd c j ( ) , trong đó ký hiệu 1 là Theo Bổ đê 5.14 trong [10] tồn tại duy nhất hàm j 1 \ Đồng thời ta có ( Vì n trên 0 triệt tiêu trên các tập đa cực của trên j )n 22 và vì j trên s nên Cap s , s trên j Cap j j s , j j , suy ra Từ đó ta có s nCap s , (dd... dưới được xác định trên miền lớn hơn và có năng lượng hữu hạn n 2.1 Các lớp năng lƣợng Cegrell trong n 2.1.1 Định nghĩa Miền bị chặn hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục z : (z ) : gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một ( c , 0) sao cho với Nếu hàm 0 ( ) là lớp các hàm điều hòa dưới âm trên Kí hiệu c được xác định trong một lân cận của 0 thì và gọi là miền siêu lồi chặt 2.1.2 Định nghĩa 0 ( ) ( ) L ( ) :...6 , và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho tương đối G của v (G ) và v u trên G , đều có v u trong G Một số tính chất tương đương của tính cực đại n 1.2.2 Mệnh đề Cho là mở và u : là hàm đa điều hoà dưới Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i ) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của ( ), nếu lim inf(u(z ) v z v(z )) 0, với mọi và với mỗi hàm G , thì u v trong G; (ii ) Nếu v... sao cho 0 ) Bằng cách mở rộng mỗi hàm v j bởi một hằng số dương thích hợp, ta có thể giả thiết v 0 và v j Ej , uK , (z ), z Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử 0 là một hàm vét cạn đối với (0,1) sao cho (z 0 ) sao cho Khi đó tồn tại j0 10 1 sao cho tập mở u ( j0 (( , ) sao cho u )) là tập compact tương đối trong 0 trên j0 z z xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa v v(z 0 ) \ 1 và v K... trong v (iii ) Nếu v u \ K , thì u lim inf(u(z ) z v trong sao ( ), G là một tập con mở compact tương đối của v trên G thì u (iv ) Nếu v 0 tồn tại một tập compact K v trong G; ( ), G là một tập con mở compact tương đối của v(z )) , và 0, với mỗi G , thì u , và v trong G; (v ) u là hàm cực đại 1.3 Hàm cực trị tƣơng đối 1.3.1 Định nghĩa Giả sử là một tập con mở của Hàm cực trị tương đối đối với E trong