www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam ĐỀ THI THỬ THPTQG- LẦN NĂM HỌC: 2015-2016 Môn: TOÁN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT XUÂN TRƯỜNG ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − x − Câu (2,0 điểm) 3π 2π   Tính sin  α +    b) Giải phương trình: cos x + sin 4x − cos3x = Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = x + − x a) Cho tan α = π < α < 1  đoạn  −2;  2  Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 2.4 x + x = x Câu (1,0 điểm) Trong đợt thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định trường THPT Xuân Trường môn Toán có em đạt giải có nam nữ , môn Văn có em đạt giải có nam nữ , môn Hóa học có em đạt giải có nam nữ , môn Vật lí có em đạt giải có nam nữ Hỏi có cách chọn môn em học sinh để dự đại hội thi đua ? Tính xác suất để có học sinh nam nữ để dự đại hội? Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết SD = 2a góc tạo đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD.Gọi M điểm đối xứng B qua C N hình chiếu vuông góc B MD.Tam giác BDM nội tiếp đường tròn (T) có phương trình: ( x − 4) + ( y − 1) = 25 Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết phương trình đường thẳng CN là: 3x − y − 17 = ; đường thẳng BC qua điểm E(7;0) điểm M có tung độ âm  x + + ( x + 1)( y − ) + x + = y + y −  Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:  ( x − )( y + 1)  = ( y − 2) x + −  x − 4x + Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z ∈ [ 0; 2] thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( P= 1 + + + xy + yz + zx 2 x + y + y + z + z + x2 + 2 -HẾT Facebook.com/mathvn.com ) www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Hä tªn thÝ sinh: ; SBD HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ THPTQG LẦN I Câu Điểm Nội dung a) (1,0 điểm) 1) Tập xác định : D = R 2) Sự biến thiên: a, Giới hạn : lim y = +∞ ; lim y = +∞ x →−∞ 0,25 x →+∞ b, Bảng biến thiên: y’ = x − x , y’ = ⇔ x = 0, x = ±1 x -∞ -1 y' + 0 +∞ -3 +∞ + +∞ 0,25 y Câu (1,0 điểm) -4 -4 Hàm số đồng biến khoảng (- 1; 0) (1;+∞) , hàm số nghịch biến khoảng (−∞;−1) (0; 1) Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) = - Hàm số đạt cực tiểu x = ± , yCT = y( ± ) = - 3) Đồ thị: Đồ thị (C) hàm số nhận Oy làm trục đối xứng, giao với Ox điểm ( ± ; 0) 0,25 y − −1 O x 0,25 −3 −4 Câu 2.1 (1,0 điểm) Cho tan α = π < α < 3π 2π   Tính sin  α +  ?   1 Ta có Cos α = + tan α = + = ⇒ cosα = ± 3π ⇒ cosα < nên cosα = − − −2 sin α = cosα.tan α = = 5 Do π < α < Facebook.com/mathvn.com 0,25 0,25 0,25 Vậy www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 2π  2π 2π  sin  α + + cosα.sin  = sin α.cos  3  −2 −1 − 5 − 15 = − = 5 10 Giải phương trình: cos x + sin 4x − cos3x = Câu 2.2 (1,0 điểm) 0,25 cos x + sin 4x − cos3x = ⇔ 2sin 2x.sin x + 2sin 2x.cos 2x = 0,25 ⇔ 2sin 2x(s inx + cos2x) = ⇔ sin 2x(−2sin x + sin x + 1) = 0,25 kπ  x =    x = π + k2π sin 2x =   ⇔ s inx = ⇔   x = − π + k2π  −1  s inx =   7π + k2π x =  0,5 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = x + − x 1  đoạn  −2;  2  Câu (1,0 điểm) x + Ta có f '(x) = − + f '(x) = ⇔ x = ∉ [ − 2; ] 0,25 + 15 0,25 minf(x) = −2 0,25 + Có f (−2) = −2;f ( ) = maxf(x) = [-2; ] Câu (1,0 điểm) 0,25 − x2 + 15 ; [-2; ] Giải phương trình 2.4 x + x = x Phương trình x x 4 6 ⇔   +   = 9 9 2x 0,25 x 2 2 ⇔   +   − = 3 3 0,25 Facebook.com/mathvn.com www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam     = −1 ( Loai ) 3 ⇔  x   =   x 0,25 ⇔ x = − log 2 Vậy phương trình có nghiệm x = − log 2 0,25 Câu (1,0 điểm) Trong đợt thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định trường THPT Xuân Trường môn Toán em đạt giải có nam nữ , môn Văn có em đạt giải có nam nữ , môn Hóa học có em đạt giải có nam nữ , môn Vật lí có em đạt giải có nam nữ Hỏi có cách chọn môn em học sinh để dự đại hội thi đua ? Tính xác suất để có học sinh nam nữ để dự đại hội? Có tất 5.5.5.5=625 cách ⇒ n(Ω) = 625 0,25 Gọi A biến cố “có HS nam nữ dự đại hội” 0,25 ⇒ A biến cố “Cả bốn HS nam HS nữ dự ĐH” ( ) ⇒ n(A) = 4.1.2.3 + 1.4.3.2 = 48 ⇒ P A = n(A) 48 = n(Ω) 625 Vậy P(A) = − P ( A ) = − 48 577 = 625 625 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Tam giác SAB nằm 0,25 0,25 mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết SD = 2a góc tạo đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) Gọi H trung điểm AB Suy SH ⊥ ( ABCD) S SCH = 300 Ta có: K A Câu (1,0 điểm) D I H B ∆SHC = ∆SHD ⇒ SC = SD = 2a Xét tam giác SHC vuông H ta có: 0,25 SH = SC.sin SCH = SC.sin 300 = a C HC = SC.cos SCH = SC.cos 300 = 3a Vì tam giác SAB mà SH = a nên AB = 2a Suy BC = HC − BH = 2a Do đó, S ABCD = AB.BC = 4a 2 0,25 4a Vậy, VS ABCD = S ABCD SH = 3 Vì BA = HA nên d ( B, ( SAC ) ) = 2d ( H , ( SAC ) ) Gọi I hình chiếu H lên AC K hình chiếu H lên SI Ta có: Facebook.com/mathvn.com 0,25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam AC ⊥ HI AC ⊥ SH nên AC ⊥ ( SHI ) ⇒ AC ⊥ HK Mà, ta lại có: HK ⊥ SI Do đó: HK ⊥ ( SAC ) Vì hai tam giác SIA SBC đồng dạng nên Suy ra, HK = HS HI HS + HI = HI AH AH BC a = ⇒ HI = = BC AC AC a 66 11 0,25 Vậy , d ( B, ( SAC ) ) = 2d ( H , ( SAC ) ) = HK = 2a 66 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD.Gọi M điểm đối xứng B qua C N hình chiếu vuông góc B MD.Tam giác BDM nội tiếp đường tròn (T) có phương trình: ( x − 4) + ( y − 1) = 25 Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết phương trình đường thẳng CN là: 3x − y − 17 = ; đường thẳng BC qua điểm E(7;0) điểm M có tung độ âm A Câu (1,0 điểm) B +(T) có tâm I(4;1);R=5 + Do I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM N,C chân đường cao nên chứng minh :IM ⊥ CN I C D E 0,25 N M + Lập ptđt IM qua I IM ⊥ CN : 4(x-4)+3(y-1)=0  M(7; −3) + M giao điểm (T) với IM :   M(1;5) (loai) 4x+3y-19=0 0,25 +Đường thẳng BC qua M,E có pt : x=7 + C giao điểm BC NC => C(7 ;1) + B đối xứng M qua C => B(7 ;5) + Đường thẳng DC qua C vuông góc BC : y=1  D(9;1) D giao điểm (T) DC :   D(−1;1) Vì B,D nằm phía với CN nên D(-1 ;1) +Do BA = CD => A(-1 ;5) * Nếu không loại mà lấy điểm D cho 0,75đ  x + + ( x + 1)( y − ) + x + = y + y −  Giải hệ phương trình:  ( x − 8)( y + 1)  = ( y − 2) x + −  x − 4x + ( Facebook.com/mathvn.com ) 0,25 0,25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Điều kiện x ≥ −1; y ≥ x + = a; y − = b ( a, b ≥ ) , từ (1) ta có: Đặt a + ab + a − + = ( b + ) + b ⇔ a − b + ab − b + a − b = Câu (1,0 điểm) ⇔ ( a − b )(1 + 2a + b ) = 0,25 ⇔ a = b (do a, b ≥ ⇒ + 2a + b > ⇒ x +1 = y−2 ⇔ y = x+3 Thế vào (2) ta được: ( x − )( x + ) = ( x + 1) ( ) x +1 − ⇔ x − 4x + x = ⇔  x+4 x +1  = ( *) x +1 +  x − x + + x = ⇒ y = 11; ( x − 8)( x + ) ( x + 1)( x − ) x2 − 4x + = x +1 + 0,25 + (*) ⇔ ( x + + 3) ( x + ) = ( x + 1) ( x − x + ) ⇔ ( )( x +1 +   x +1 ) 0,25 + 3 = ( x − ) + 3 ( x − ) + 3 (**)    Xét hàm số f ( t ) = ( t + 3) ( t + 3) với t ∈ ℝ có f ' ( t ) = ( t + 1) ≥ ∀t ∈ ℝ nên f ( t ) đồng biến ℝ x ≥ Do (**) ⇔ f ( x + ) = f ( x − ) ⇔ x + = x − ⇔   x + = x − 4x + x ≥ + 13 (T/M) ⇔ ⇔x=  x − 5x + = x= 0,25 + 13 11 + 13 ⇒y= 2  + 13 11 + 13  ;    Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) (8;11)  Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z ∈ [ 0; 2] thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 1 + + + xy + yz + zx 2 x + y + y + z + z + x2 + 2 Ta có x + y + = ( x + 1) + ( y + 1) ≥ ( x + y ) ,….; xy ≤ 1 1 xy + ,…  Nên P ≤  + + + xy + yz + zx + 3 x + y y + z z + x  zx ) ≥ xyz Ta có ( x + y + z )( xy + yz +Facebook.com/mathvn.com 0,25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam ⇒ ( x + y )( y + z )( z + x ) = ( x + y + z )( xy + yz + zx ) − xyz ≥ ( x + y + z )( xy + yz + zx ) ( x + y )( y + z ) + ( y + z )( z + x ) + ( x + y )( z + x ) 1 + + = x+ y y+z z+x ( x + y )( y + z )( z + x ) ( x + y + z ) + xy + yz + zx ( x + y )( y + z )( z + x ) ( x + y + z ) + xy + yz + zx = ≤ ( x + y + z )( xy + yz + zx ) 27 = + ( xy + yz + zx ) 1 27 27  + xy + yz + zx +   ( xy + yz + zx ) 8 Suy P ≤  Đặt t = xy + yz + zx Do x, y, z ∈ [ 0; 2] ⇒ ( − x )( − y )( − z ) ≥ ⇔ xy + yz + zx ≥ + xyz ≥2⇒t ≥2 Mặt khác: xy + yz + zx ≤ ( x + y + z ) = ⇒ t ≤ Vậy t ∈ [ 2;3] 0,25 27 27 Ta có P ≤  + t +  = f ( t )  8t 8 27 8t − 27 Xét hàm số f ( t ) với t ∈ [ 0; 2] ta có f ' ( t ) = t −  = > ∀t ∈ [ 2;3] nên hàm số f ( t ) đồng biến [ 2;3] 2 8t  16t 15 15 15 Do P ≤ f ( t ) ⇒ P ≤ Có P = x = y = z = 4 15 Vậy giá trị nhỏ P đạt x = y = z = 0,25 ⇒ f ( t ) ≤ f ( 3) = (Mọi cách giải khác cho điểm tương tự) Facebook.com/mathvn.com 0,25 ... Cán coi thi không giải thích thêm Hä tªn thÝ sinh: ; SBD HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ THPTQG LẦN I Câu Điểm Nội dung a) (1,0 điểm) 1) Tập xác định : D = R 2) Sự biến thiên: a, Giới hạn... trình có nghiệm x = − log 2 0,25 Câu (1,0 điểm) Trong đợt thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định trường THPT Xuân Trường môn Toán em đạt giải có nam nữ , môn Văn có em đạt giải có nam nữ , môn Hóa học