Đề Thi Thử Đại Học – www.dethithudaihoc.com ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC (THPT QG) NĂM 2016 www.DeThiThuDaiHoc.Com MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút m Câu 1.(2 điểm) Cho hàm số y = x − x + b) Tìm m để phương trình x − x + = m có ba nghiệm thực phân biệt Câu 2.(1 điểm) oc a) Giải phương trình: sin x + cos(π − x ) = − + 2i + i + 1+ i b) Tính môđun số phức z biết z = iH Câu 3.(0,5 điểm) Giải phương trình: log 52 x + log x − = ( co a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số )( ) Da y   x + − y 1− y +1 = Câu 4.(1 điểm) Giải hệ phương trình:  x 2  x + x y + xy = y  π ( ) Câu 5.(1 điểm) Tính tích phân: I = ∫ + cos x dx hu Câu 6.(1 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A,AB=2a,AC=a,AA’ = 3a iT Tính thể tích khối lăng trụ khoảng cách hai đường thẳng AB’ BC Câu 7.(1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc đường tròn Th x + y = 10 ,đỉnh C thuộc đường thẳng x + y − = Gọi M hình chiếu vuông góc B lên AC Biết  −3 1 điểm N  ;  ,P (1;1) trung điểm AM ,CD đồng thời B có hoành độ dương,C có tung độ  5 De âm.Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật Câu 8.(1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S ) : x + y + z − x − y + z − 15 = 0, mặt phẳng (P): x − y + z + 13 = Tìm tâm bán kính mặt cầu (S ) Viết phương trình mặt phẳng (Q) w song song với mặt phẳng (P) đồng thời tiếp xúc với (S ) Câu 9.(0,5 điểm) Gọi A tập hợp số tự nhiên có chữ số đôi khác tạo từ chữ số ww 0,1,2,3,4,5,6 Chọn ngẩu nhiên số từ A Tính xác suất để số chọn có chữ số khác chữ số tổng chữ số Câu 10.(1 điểm) Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn: log a + log b + log 32 c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = 1+ a + 1+ b Facebook: http://facebook.com/thithudaihoc + 1+ c2 Đề Thi Thử Đại Học – www.dethithudaihoc.com ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC (THPTQG) 2016 DeThiThuDaiHoc.Com m Môn: TOÁN (Đáp án – thang điểm gồm trang) x →−∞ Bảng biến thiên: +∞ iH −∞ −∞ 0,25 0,25 0,25 Da +∞ Điểm oc x →+∞ co Câu Đáp án a (1,0 điểm) (2,0 +) Tập xác định D = R điểm) +) Sự biến thiên: Chiều biến thiên: y ' = x − x, y ' = ⇔ x = ∨ x = Giới hạn: lim y = +∞ , lim y = −∞ 0,25 De Th iT hu Hàm số đồng biến khoảng (− ∞;0) (2;+∞ ) ,nghịch biến khoảng (0;2) Hàm số đạt cực đại x = 0, y CĐ = ,hàm số đạt cực tiểu x = 2, y CT = −3 +) Đồ thị Đồ thị hàm số qua điểm (0;1),(1;-1),(2;-3) Đồ thị đối xứng qua điểm I ( 1; -1) ww w b (1,0 điểm) Số nghiệm phương trình x − x + = m số giao điểm đồ thị (C ) với đường thẳng y = m Từ đồ thị suy phương trình có nghiệm thực phân biệt − ≺ m ≺ a (0,5 điểm) (1,0 Ta có : sin x + cos(π − x ) = ⇔ sin x cos x − cos x = ⇔ cos x(sin x − 2) = điểm) ( sin x = không xẩy ra) ⇔ cos x = ⇔ x = π + kπ , k ∈ Z 0,5 0,5 0,25 0,25 b (0,5 điểm) Ta có z = − + 2i + i (−1 + 2i) (1 − i ) + i −1 − 3i + i + = + = + 1+ i (1 + i) (1 − i ) 2 Facebook: http://facebook.com/thithudaihoc 0,25 Đề Thi Thử Đại Học – www.dethithudaihoc.com =1 − i z = 12 + (−1) = 0,25 co m 3 (0,5 điểm) (0,5 Đk: x > ,Pt log 52 x + log x − = ⇔ (log x − 1)(log x + ) = điểm) x = log x = ⇔ ⇔ (TM ) x = log x = −  25  (1,0 Đk: x ≠ điểm) Ta có x + x y + xy = y ⇔ ( x − y )(x + xy + y ) = ⇔ ( x − y ) ( x + y )2 + y = [ ] )( − x + 1) = , x ∈ (0;1] x )( − x + 1) = ⇔ 3( − x + 1) = ( x + + x ) (*) Với x = y ≠ từ phương trình đầu ta có ( ] x+3 − x Khi x + − Ta thấy x = nghiệm phương trình (*) Với < x < ( ) − x + > ( iH ( [ oc ⇔ x = y ≠ ( x + y ) + y = ⇔ x = y = không thỏa mản ) x + + x < nên (*) vô nghiệm.Vây (*) có π π π 2 (1,0 Ta có I = ∫ + cos x dx = ∫ dx + ∫ cos xdx điểm) 0 ) π π π ∫ dx = x = 0 π π 2 0 ( 0,25 π ) Th Đặt t = sin x suy dt = cos x.dx , x = ⇒ t = 0, x = ∫ (1 − 2t )  t + t dt =  t − t +  π Vậy I = + 15 Thể tích khối lăng trụ (1,0 V = AA ' S = AA ' AB AC ∆ ABC điểm) = 3a 2a.a = 3a De 1  =  15 π ∫ (1 − t ) dt ⇒ t = K = 2 0,25 ww w = 0,25 0,25 Xét K = ∫ cos xdx = ∫ cos x cos xdx = ∫ − sin x cos xdx 0,25 0,25 iT Trong đó: 0,5 hu ( Da nghiệm x = từ suy hệ có nghiệm (x; y) = (1;1) 0,25 0,25 Facebook: http://facebook.com/thithudaihoc 0,5 Đề Thi Thử Đại Học – www.dethithudaihoc.com 1 1 1 = + = + + 2 2 MH MM ' AM MM ' AB AC 1 1 49 6 => = + + = => MH = a Vậy d ( AB ', BC ) = a 2 7 MH 9a 4a a 36a m Gọi M M ' chân đường cao hạ từ A A' tam giác ABC , A' B ' C ' ta có B' C ' ⊥ ( AA' M ' M ) nên ( AB'C ') ⊥ ( AA' M ' M ) Trong mp ( AA' M ' M ) hạ MH ⊥ AM ' MH ⊥ ( AB ' C ' ) Khi d ( AB ', BC ) = d ( BC ,( AB 'C ' )) = d (M ,( AB 'C ")) = MH co mà 0,25 0,25 0,25 hu Da iH oc Gọi Q trung điểm BM PCQN hình bình hành nên NP // CQ,mặt khác Q trực tâm (1,0 tam giác BNC nên CQ ⊥ BN suy BN ⊥ NP điểm) 8 4 Ta có NP =  ;  véctơ pháp tuyến đường thẳng BN nên phương trình đường 5 5 8 2 4 1 thẳng BN  x +  +  x −  = ⇔ x + y + = Tọa 5 5 5 5 độ B nghiệm hệ −9  x=  2 x + y + =  y = −1 − x = x   ⇔ ⇔ ∨  2  y = −3  y = 13  x + y = 10 5 x + x + =  suy B (1;−3) B có hoành độ dương 0,25 Gọi C (1 − 2c; c ) ta có CB = (2c;−3 − c ) , CP = (2c;1 − c ) CB ⊥ CP nên CP.CB = iT ⇒ 4c − ( + c )(1 − c ) = ⇔ 5c + 2c − = ⇔ c = −1 ∨ c = Th C có tung độ âm nên C (3;−1) Suy D(− 1;3) , A(−3;1) Vậy A(−3;1) , B (1;−3) , C (3;−1) , D(− 1;3) De 15 1  +1+ + =3 (1,0 Mặt cầu có tâm I  ;1;−2  bán kính R = 4   điểm) Do Mp (Q ) song song với mp (P ) nên phương trình có dạng x − y + z + D = 0, D ≠ 13 (Q ) tiếp xúc với (S ) 1−1− + D =3 ⇔ D − = ⇔ D = 13 ∨ D = −5 , D ≠ 13 nên ta lấy D = −5 phương trình cần tìm 2x − y + 2z − = w nên d ( I ,( Q ) ) = R => 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ww Ký hiệu abc số thuộc A 0,25 Ta thấy a có cách chọn (a ≠ 0) ,b có cách chọn (b ≠ a ) tương tự c có cách chọn (0,5 Vậy số phần tử A 6.6.5 = 180 điểm) Xét số abc có chữ số khác chữ số tổng chữ số từ chữ số cho ta chon số {a; b; c}là {a; b; c} = {1;3;4}và {a; b; c} = {1;2;5} Từ ta tạo 3!= số nên ta có 120,25 s Facebook: http://facebook.com/thithudaihoc Đề Thi Thử Đại Học – www.dethithudaihoc.com abc có chữ số khác chữ số tổng chữ số Xác suất cần tìm p = 12 = 180 15 ≤ 1+ (1 + b )(1 + c ) hay ( 1+ b 2 + Với (2) ta có 1+ c 1+ a2 )2 ≤ ≤ − ( bc ) (1 + bc ) 2 = + bc 0,25 0,25 iH 0,25 1 ⇔ + ≤ 2 + bc + bc 1+ b 1+ c 2 2 => + ≤ + ≤ 1+ a + bc + a + bc 1+ a2 Da = 1+ − ( bc ) oc co m 10 Từ giả thiết suy a, b, c > a.b.c = , không tính tổng quát ta giả sử a = max {a, b, c} (1,0 ⇒ < bc ≤ điểm) 1 2 Ta chứng minh (1) + ≤ (2) + ≤ + bc + bc + b2 1+ c2 1+ a2 1 1 1 + b2 +1 + c2 Với (1) ta có : ( + ) ≤ + = 1+ b2 + b + c (1 + b )(1 + c ) 1+ c2 3 + 3a 2a + 3a − 2a + a + ≤ ⇒ − − ≥0⇔ − = 1+ a 1+ a 2(1 + a ) 1+ a 2(1 + a ) + bc + bc ( 2a − + a ) = ≥ đúng, 2(1 + a ) 1+ a2 + + bc ≤ iT Suy hu => 1+ a2 + Th Cộng (1) (2) theo vế ta có : dấu a = b = c = 1+ b2 + 1+ c2 ≤ 2 - Hết ww w De Vậy giá trị lớn P 0,25 Facebook: http://facebook.com/thithudaihoc