Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀMA.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:1.Định nghĩa đạo hàm tại một điểm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và x0 (a; b): = (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.2.Ý nghĩa của đạo hàm:a)Ý nghĩa hình học: f (x0) là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại . Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại là: y – y0 = f (x0).(x – x0)b)Ý nghĩa vật lí: Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t0 là v(t0) = s(t0). Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là I(t0) = Q(t0).3.Qui tắc tính đạo hàm:
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀM A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1.Định nghĩa đạo hàm điểm: - Cho hàm số y = f(x) xác định (a; b) x0 (a; b): f '(x ) lim f(x) f(x ) x x0 x x y (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0) x0 x = lim - Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 liên tục điểm 2.Ý nghĩa đạo hàm: a)Ý nghĩa hình học: - f (x0) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M x ;f(x ) - Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M x ;f(x ) là: y – y0 = f (x0).(x – x0) b)Ý nghĩa vật lí: - Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình s = s(t) thời điểm t0 v(t0) = s(t0) - Cường độ tức thời điện lượng Q = Q(t) thời điểm t0 I(t0) = Q(t0) 3.Qui tắc tính đạo hàm: Hàm x Hàm hợp (C)' = Các hàm (x) = x n n.x n1 n N n 1 Hàm số lũy thừa x tan x x s inx cosx cosx s inx Hàm số lượng giác un n.un1.u' n N n 1 u' u u s inu u'.cosu cosu u'.s inu tan u cos2 u cot u u' sin u cos2 x cot x sin2 x Chú ý: Các phép toán tính đạo hàm: Phép toán Cộng u v u' v' Trừ u v u' v' Nhân Chia GV: Nguyễn Thành Hưng u' Công thức u.v u'.v u.v' k.u k.u' u uv vu (v 0) v v2 Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO v v v 5.Vi phân: - dy df(x) f (x).x - f(x0 x) f(x ) f (x ).x 6.Đạo hàm cấp cao: - Công thức: f ''(x) f '(x) ; f '''(x) f ''(x) ; f (n) (x) f (n1) (x) (n N, n 4) - Ý nghĩa học: Gia tốc tức thời chuyển động s = f(t) thời điểm t0 a(t0) = f(t0) Vấn đề 1: Tính đạo hàm hàm số: Dạng 1: Tính đạo hàm định nghĩa: Phương pháp: Nếu tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 định nghĩa ta thực bước: Bước 1: Giả sử x số gia đối số x0 Tính y = f(x0 + x) – f(x0) Bước 2: Tính lim y x0 x Bước 3: Kết luận Ví dụ 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau: y f(x) 2x2 x x Giải: - Giả sử x số gia đối số x0 = Khi đó: y f(x 1) f(1) 2(x 1)2 x 2x2 3x y 2x2 3x lim lim 2x 3 x0 x x0 x0 x - Vậy: f '(1) - Tính lim Ví dụ 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau: f(x) x2 3x Giải: - Giả sử x số gia đối số x Khi đó: y f(x x) f(x) (x x)2 3x 3x x 3x x 2xx x(x 2x) y x(x 2x) lim lim x 2x 2x x0 x x0 x0 x - Vậy: f '(x) 2x - Tính lim Bài tập tương tự: Bài tập 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau điểm ra: a) y f(x) 2x2 x x c) y f(x) 2x x0 = x 1 e) y f(x) x x0 = b) y f(x) 2x x0 = –3 d) y f(x) sin x tạix0 = f) y f(x) x2 x x0 = x 1 Bài tập 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau: GV: Nguyễn Thành Hưng Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO a) f(x) x2 3x d) f(x) 2x b) f(x) x3 2x c) f(x) x 1, (x 1) e) f(x) sin x f) f(x) Dạng 2: Tính đạo hàm phép toán: Phương pháp: Sử dụng công thức cho bảng sau: Phép toán Cộng cosx Công thức u v u' v' u v u' v' Trừ u.v u'.v u.v' Nhân k.u k.u' u uv vu (v 0) v v2 v v v Chia 2x (2x 1)'(1 3x) (2x 1)(1 3x)' 2(1 3x) 3(2x 1) y' Ví dụ 2: y 2 3x (1 3x) (1 3x) (1 3x)2 Ví dụ 1: y 2x4 x3 2x2 y' 8x3 x2 4x Bài tập tương tự: Bài tập 1: Tính đạo hàm hàm số sau: 3 x x x x a) y 2x x3 x b) y d) y (x2 1)(x2 4)(x2 9) e) y (x2 3x)(2 x) c) y (x3 2)(1 x2 ) f) y x x2 g) y 2x h) y 2x 1 3x i) y k) y x2 3x x 1 l) y 2x 4x x3 m) y Bài tập 2: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y x.cosx b) y x2 sinx d) y x x g) y cosx 2x e) y (x 1) x h) y t anx 3x x 1 1 x x x2 2x2 x2 2x c) y x3 t anx f) y 2x.cot x i) y sinx sinx Dạng 3: Tính đạo hàm hàm hợp: Phương pháp: Sử dụng công thức cho bảng sau: GV: Nguyễn Thành Hưng Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO Hàm x (C)' = (x) = Hàm hợp x n n.x n1 n N un n.un1.u' n N Các hàm n 1 Hàm số lũy thừa x tan x n 1 u' u u s inu u'.cosu cosu u'.s inu x s inx cosx cosx s inx Hàm số lượng giác tan u u' cos2 u cot u u' sin u cos x cot x sin2 x Chú ý: Sau hàm x ta sử dụng hàm hợp u Ví dụ 1: y (x2 x)4 y' 4(x2 x)3.(x2 x)' 4(2x 1)(x2 x)3 Ví dụ 2: y 2x2 5x y' (2x2 5x)' 2x2 5x 4x 2x2 5x Ví dụ 3: y sin3 (2x 1) y' 3sin2 (2x 1).(sin(2x 1))' 3sin2 (2x 1).cos(2x 1)(2x 1)' 6sin2 (2x 1).cos(2x 1) Ví dụ 4: y sin x 2x y' (s inx+2x)' cosx+2 sin x 2x sin x 2x Bài tập tương tự: Bài tập 1: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y (x2 x 1)4 d) y (x 1)2 b) y (1 2x2 )5 e) y (x 1)3 (x2 2x 5)2 2x x 1 c) y f) y 2x2 Bài tập 2: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y 2x2 5x b) y x3 x d) y (x 2) x2 e) y g) y x3 x 1 4x x2 h) y (x 2)3 c) y x x f) y x2 x i) y 1 2x Bài tập 3: Tính đạo hàm hàm số sau: sin x a) y cos x d) y cot 2x GV: Nguyễn Thành Hưng b) y cos4 (2x) c) y sin3 (2x 1) e) y sin x2 f) y sinx 2x Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO g) y tan 2x tan3 2x tan5 2x h) y 2sin2 4x 3cos3 5x k) y sin cos2 x tan x l) y cos2 2x x 1 i) y (2 sin2 2x)3 m) y cos sin(cosx) Dạng 4: Tính đạo hàm cấp cao: Phương pháp: 1.Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ta dung công thức: y(n) (yn1 )/ 2.Để tính đạo hàm cấp n: - Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, từ suy công thức đạo hàm cấp n - Dùng phương pháp quy nạp toán học nêu chứng minh công thức Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) 3(x 1)sin x Tính f ''() Giải: f '(x) 3(x 1)'sin x 3(x 1) sin x ' 3sin x 3(x 1)cosx f ''(x) 3cosx 3(x 1)'cosx+3(x 1) cosx ' 3cosx 3cosx 3(x 1)sinx f ''() 3cos 3cos 3( 1)sin 6 Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp n hàm số: y x Ta có: f '(x) f ''(x) x2 1.2 x3 1.2.3 f '''(x) x4 … (1)n n! f (n) (x) n 1 Suy ra: x Thật vậy: Giải: x n 1 (1)n n! xn1 ' (1).1! - Khi n = 1: Ta có: x x x Vậy: Mệnh đề n = k 1 - Khi n = k > 1, tức x 1 Ta có: x k 1 ' (1)k k! x k 1 k 1 1 Ta cần chứng minh: n = k + 1, tức x (1)k 1. k 1! x k 2 ' ' k 1 k (1)k k! (1) (k 1)! k ( 1) k! k 1 x x k 1 x k 2 x Vậy: Mệnh đề n = k + Bài tập tương tự: Bài tập 1: Cho hàm số f(x) 3(x 1)cosx GV: Nguyễn Thành Hưng Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO 2 b) Tính f ''(), f '' ,f ''(1) a) Tính f '(x),f ''(x) Bài tập 2: Tính đạo hàm hàm số theo cấp ra: x3 , y'' x4 a) y cosx, y''' b) y 5x4 2x3 5x2 4x 7, y'' c) y d) y 2x x2 , y'' e) y xsin x, y'' f) y x tan x, y'' g) y (x2 1)3 ,y'' h) y x6 4x3 4, y(4) i) y , y(5) 1 x Bài tập 3: Cho n số nguyên dương Chứng minh rằng: (n) a) 1 x (1)n n! b) (sin x)(n) sin x n 1 (1 x) n. c) (cosx)(n) cos x n. Bài tập 4: Tính đạo hàm cấp n hàm số sau: x2 1 x d) y 1 x b) y a) y x 3x e) y sin2 x c) y x x 1 f) y sin4 x cos4 x Vấn đề 2: Ứng dụng đạo hàm: Dạng 1: Tính giới hạn hàm số: Phương pháp: sin u(x) (với lim u(x) ) x x xx0 u(x) - Ta sử dụng công thức tính giới hạn lượng giác sau: lim P(x) P '(x) lim (lưu ý sử dụng giới hạn có dạng ) x x Q(x) x x Q '(x) - Ta sử dụng công thức: lim Ví dụ 1: Cách 1: lim x 1 Cách 2: lim x 1 x 1 x x x x 1 lim x x 1 x 1 x x 1 x5 x5 x 1 lim x 1 5x 3x Ví dụ 2: 5sin5x 5sin5x lim sin5x 5 lim 5x x0 5x Cách 1: lim x0 sin 4x x0 4sin 4x lim 4sin 4x x0 4x 4x sin 5x 5cos5x 5cos(5.0) lim Cách 2: lim x 0 sin 4x x 0 4cos4x cos(4.0) Bài tập tương tự: Bài tập 1: Tìm giới hạn sau: GV: Nguyễn Thành Hưng Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO a) lim x3 x2 x x 1 d) lim x 3 x 3x x 5x 3x x 8x (1 x )(1 x )(1 x ) x 0 x g) lim x4 1 b) lim x3 x2 x 5x x x 1 e) lim (1 x )2 x 1 x5 c) lim x 1 xm 1 f) lim xn 1 x 1 x x x n n x 1 x 1 h) lim x3 x 16 i) lim x 2 x3 x2 Bài tập 2: Tìm giới hạn sau: a) lim x 2 d) lim x 2 g) lim 4x x2 x 2 2 x 7 3 1 x 1 x 0 x 1 Bài tập 4: Tìm giới hạn sau: a) lim x 2 d) lim x 2 4x x2 x2 2 x 3 1 x 1 1 x x 16 lim x 0 x Bài tập 5: Tìm giới hạn sau: g) lim x 0 x a) lim x 0 d) lim 1 x 1 x x 1 4x 1 6x x2 1 4x 1 6x 1 g) lim x 0 x Bài tập 6: Tìm giới hạn sau: 1 x 1 x a) lim x 0 x x 0 d) lim x 0 1 4x 1 6x x2 GV: Nguyễn Thành Hưng b) lim x 1 x 1 4x x 3x e) lim x 1 x 1 x 2x h) lim x 3x x 3 x 1 4x b) lim x 1 x 3x x 1 e) lim x 1 h) x 2x lim x (3) b) lim 8x 11 x x 3x x 2 e) lim x 3x 8x 11 x x 5x x x h) lim x 0 x x 2 b) lim x 3x x 2 e) lim x 2 8x 11 x x 11 x x 5x x2 1 x c) lim x 0 x2 1 f) lim x 0 x 16 x x 16 x i) lim x 0 c) lim x 0 f) lim x 0 x2 x x2 x 16 i) 1 x x x 0 x c) lim x3 x2 f) lim x 1 i) lim x 0 x2 x 1 1 x x 1 x x c) lim x 0 x f) lim x 1 x3 x2 x2 Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO 4x 6x 1 x 0 x Bài tập 7: Tính giới hạn sau: g) lim a) lim sin3x h) lim x 0 b) lim x0 sin 2x cosx x 0 sin x cosx x0 sin x cosx e) lim x tan 2x x0 sin 5x f) lim x x x c) lim sin x x 2 x 2 x g) lim x tan x i) lim x 0 d) lim x x 1 1 x x cosx sin x cos2x sin x 6 h) lim x cos x Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến: Phương pháp: 1.Phương trình tiếp tuyến tai điểm M(x0, y0) (C) laø: y y f '(x )(x x ) (*) 2.Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k: - Bước 1: Gọi x0 hoành độ tiếp điểm Ta có: f (x ) k (Theo ý nghĩa hình học đạo hàm) - Bước 2: Giải phương trình tìm x0, tìm y f(x ) - Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến điểm theo công thức (*) - Bước 4: Kết luận 3.Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) qua điểm A(x1, y1) cho trước: - Bước 1: Gọi (x0 , y0) tiếp điểm (với y0 = f(x0)) - Bước 2: Phương trình tiếp tuyến (d): y y f '(x )(x x ) (d) qua A (x1 , y1 ) y1 y f '(x ) (x1 x ) (1) - Bước 3: Giải phương trình (1) với ẩn x0, tìm y f(x ) f '(x ) - Bước 4: Từ viết phương trình tiếp tuyến điểm theo công thức (*) Chú ý: Cho (): y = ax + b Khi đó: - (d) () k d a - (d) () k d a Ví dụ : Cho hàm số (C): y f(x) x2 2x Viết phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm có hoành độ x0 = b) Tại điểm có tung độ y c) Tại điểm M(0;0) d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = Giải: a) Tại điểm có hoành độ x0 = - x 1 y 1 - Phương trình tiếp tuyến điểm A 1; 1 : y y'(1)(x 1) y 1 b) Tại điểm có tung độ y x x 2x x GV: Nguyễn Thành Hưng Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO - Phương trình tiếp tuyến điểm A 0;0 : y y'(0)(x 0) y 2x - Phương trình tiếp tuyến điểm A 2;0 : y y'(2)(x 2) y 2x c) Tại điểm M(0;0) - Phương trình tiếp tuyến điểm A 0;0 : y y'(0)(x 0) y 2x d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = - Gọi x0 hoành độ tiếp điểm Ta có: f (x ) 2x x A(2;0) - Phương trình tiếp tuyến điểm A 2;0 : y y'(2)(x 2) y 2x - Vậy: Pttt: y 2x Bài tập tương tự: Bài tập 1: Cho hàm số (C): y f(x) x2 2x Viết phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm có hoành độ x0 = b) Tại điểm có tung độ y c) Tại điểm M(0;3) d) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = e) Song song với đường thẳng 4x – 2y + = f) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = g) Vuông góc với đường phân giác thứ góc hợp thành trục tọa độ h) Tiếp tuyến qua điểm A(2;1) Bài tập 2: Cho hàm số (C): y x3 3x2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm có hoành độ x b) Tại điểm có tung độ y c) Tại giao điểm (C) với trục hoành d) Tại giao điểm (C) với trục tung e) Tại điểm I(1, –2) f) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -3 g) Song song với đường thẳng 9x – y + = h) Vuông góc với đường thẳng x - 3y = l) Đi qua điểm A(0;0) m) Chứng minh tiếp tuyến khác đồ thị (C) không qua I Bài tập 3: Cho hàm số y f(x) 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C): 1 x a) Tại điểm có hoành độ x b) Tại điểm có tung độ y c) Tại giao điểm (C) với trục hoành d) Tại giao điểm (C) với trục tung e) Tại điểm A(2; –7) GV: Nguyễn Thành Hưng Page TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO f) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k g) Song song với đường thẳng d: y x 100 h) Vuông góc với đường thẳng : 2x + 2y – = Bài tập 4: Cho hàm số y f(x) x x2 (C) x 1 a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(2; 4) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = Bài tập 5: Cho hàm số (C): y x x2 Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm có hoành độ x0 = b) Song song với đường thẳng d: x + 2y = Vấn đề 3: Các toán khác Dạng 1: Giải phương trình: Phương pháp: - Công thức tính đạo hàm - Giải phương trình đại số, phương trình lượng giác Bài tập tương tự: Bài tập 1: Giải phương trình f '(x) với: a) f(x) 3cosx 4sin x 5x b) f(x) cosx s ón 2x c) f(x) sin2 x 2cosx d) f(x) sin x cos4x cos6x 3 x f) f(x) sin3x cos3x 3(cosx 3sinx) Bài tập 2: Giải phương trình f '(x) g(x) với: e) f(x) sin( x) cos a) f(x) sin 3x b) f(x) sin 2x g(x) sin6x g(x) 4cos2x 5sin 4x x f(x) 4x cos d) g(x) 8cos x 2xsin x x f(x) 2x cos2 c) g(x) x x sin x Dạng 2: Giải bất phương trinh: Phương pháp: - Công thức tính đạo hàm - Giải bất phương trình đại số Bài tập tương tự: Bài tập 1: Giải bất phương trình f '(x) g'(x) với: a) f(x) x3 x 2, g(x) 3x x b) f(x) 2x3 x2 3, g(x) x3 GV: Nguyễn Thành Hưng x2 Page 10 TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO x c) f(x) , g(x) x x3 Dạng 3: Bài toán chứa tham số: Phương pháp: - Công thức tính đạo hàm - Giải bất phương trình đại số Bài tập tương tự: Bài tập 1: Xác định m để bất phương trình có nghiệm với x R: a) f '(x) vôùi f(x) mx3 3x mx b) f '(x) vôùi f(x) mx3 mx (m 1)x 15 GV: Nguyễn Thành Hưng Page 11 [...]...TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO 2 x c) f(x) , g(x) x x3 Dạng 3: Bài toán chứa tham số: Phương pháp: - Công thức tính đạo hàm - Giải bất phương trình đại số Bài tập tương tự: Bài tập 1: Xác định m để bất phương trình luôn có nghiệm với mọi x R: a) f '(x) 0 vôùi f(x) mx3 3x 2 mx ... f(t0) Vấn đề 1: Tính đạo hàm hàm số: Dạng 1: Tính đạo hàm định nghĩa: Phương pháp: Nếu tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 định nghĩa ta thực bước: Bước 1: Giả sử x số gia đối số x0 Tính y... Dạng 4: Tính đạo hàm cấp cao: Phương pháp: 1.Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ta dung công thức: y(n) (yn1 )/ 2.Để tính đạo hàm cấp n: - Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, từ suy công thức đạo hàm cấp n... Tính đạo hàm hàm số sau: a) y (x2 x 1)4 d) y (x 1)2 b) y (1 2x2 )5 e) y (x 1)3 (x2 2x 5)2 2x x 1 c) y f) y 2x2 Bài tập 2: Tính đạo hàm hàm số sau: