Chữ ký lời chúc tác giả thành viên Lovebook Sách gốc phải có chữ ký tác giả thành viên Lovebook Bất kể sách chữ ký sách lậu, Lovebook phát hành Lời chúc & kí tặng LOVEBOOK.VN Chinh phục đề thi THPT quốc gia môn Toán tập Đời phải trải qua giông tố không cúi đầu trước giông tố! Đặng Thùy Trâm Hãy phấn đấu vươn lên không khối óc mà tim nữa! Lương Văn Thùy LOVEBOOK tin tưởng chắn em đỗ đại học cách tự hào hãnh diện nhất! Bản quyền thuộc Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Trực Tuyến Việt Nam – VEDU Corp Không phần xuất phẩm phép chép hay phát hành hình thức phương tiện mà cho phép trước văn công ty GIA ĐÌNH LOVEBOOK CHINH PHỤC ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN TẬP Sách dành cho:       Học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016) Học sinh lớp 10, 11: Tự học Toán, chuẩn bị sớm tốt cho KÌ THI THPT QUỐC GIA Học sinh muốn đạt 9,10 kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016) Học sinh thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố cấp trung học sở trung học phổ thông Thí sinh đại học muốn ôn thi lại môn Toán Người yêu thích môn Toán, muốn tìm kiếm sách chứa phân tích, tìm tòi thú vị, sáng tạo độc đáo NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NHÀ XUẤN BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 16 Hàng Chuối – Hai Bà Trưng – Hà Nội Điện thoại: Biên tập – Chế bản: (04) 39714896; Quản lý xuất bản: (043) 9728806; Tổng biên tập: (04) 397 15011 Fax: (04) 39729436 Chịu trách nhiệm xuất bản: Giám đốc – Tổng biên tập: TS PHẠM THỊ TRÂM Biên tập: ĐẶNG PHƯƠNG ANH Chế bản: CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC TRỰC TUYẾN VIỆT NAM – VEDU CORP Trình bày bìa: NGUYỄN SƠN TÙNG Sửa in: LƯƠNG VĂN THÙY – NGUYỄN THỊ CHIÊN – TĂNG HẢI TUÂN Đối tác liên kết xuất bản: CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC TRỰC TUYẾN VIỆT NAM – VEDU CORP Địa chỉ: 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội SÁCH LIÊN KẾT CHINH PHỤC ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN TẬP Mã số: 1L – 173 ĐH2015 In 2000 cuốn, khổ 29,7 x 21cm Nhà máy In Bộ Tổng Tham Mưu – Bộ Quốc Phòng Địa chỉ: Km13 Ngọc Hồi, Thanh Trì, Hà Nội Số xuất bản: 999 – 2015/CXB,IPH/03- 124/ĐHQGHN, ngày 31/08/2015 Quyết định xuất số: LK-TN/ QĐ – NXBĐHQGHN, ngày 31/08/2015 In xong nộp lưu chuyển quý III năm 2015 LỊCH SỬ HÌNH THÀNH CUỐN SÁCH I- GIỚI THIỆU CHUNG II- SƠ ĐỒ PHÁT TRIỂN CUỐN SÁCH F1 (T1/2014) F2 (T9/2015) HỒ VĂN DIÊN – NGUYỄN ANH VĂN – BÙI VĂN CƯỜNG TRẦN TRÍ KIÊN – LÊ TẤN Ý – NGUYỄN VĂN QUỲNH MAI VĂN CHINH – LƯƠNG VĂN THIỆN – DOÃN TRUNG SAN- TRẦN VĂN THUẬN TRẦN HƯNG - BÙI VĂN CƯỜNG NGUYỄN TRỌNG NAM - KHA VĂN LỢI LÊ ANH TUẤN – TRẦN DUY QUÂN LỜI MỞ ĐẦU Để chuẩn bị cho kì thi quốc gia (tốt nghiệp, tuyển sinh đại học,…) GD & ĐT tổ chức, tiếp nối chuỗi sách luyện đề “Tuyển tập 90 đề thi thử kèm lời giải chi tiết bình luận môn Toán”, xin giới thiệu bạn đọc tập “Chinh phục đề thi THPT quốc gia môn Toán tập 1” đội ngũ tác giả đến từ LOVEBOOK Nội dung sách bám sát kỹ năng, kiến thức đòi hỏi cần có để phục vụ cho kỳ thi THPT quốc gia Ở tập này, cung cấp 25 đề thi thử biên soạn theo cấu trúc (năm 2015) Bộ Không dừng lại việc cung cấp lời giải chi tiết cho toán, đưa phân tích, bình luận lời giải Giúp e học sinh trả lời câu hỏi “tại lại biến đổi thế? Tại lại chọn A? Bài áp dụng cho dạng khác? Mấu chốt toán gì? Kỹ thuật phán đoán hướng giải gì? Tất kinh nghiệm, kiến thức trải lòng hết lên lời giải Các bạn không đọc nội dung mà chí bạn cảm nhận nỗi lòng, niềm đam mê truyền lại trang sách Ngoài việc biên soạn 25 đề thi thử theo cấu trúc Bộ Giáo Dục Đào Tạo, bổ sung thêm 24 chuyên đề (bao phủ hết chương trình ôn thi đại học) Những chuyên đề xuất sách đề chuyên đề chọn lọc kĩ Với 24 chuyên đề kèm lời giải chi tiết kì vọng giúp em củng cổ phần thêm kiến thức kỹ Với đam mê mãnh liệt nguồn cảm hứng vô tận từ việc đóng góp phần vào đường chinh phục cánh cổng đại học em, tin tưởng chắn sách đem lại hững điều bổ ích cho bạn đọc, đam mê Toán trải qua Do lần biên soạn sách Toán nên cố gắng sách chắn tránh khỏi khiếm khuyết, mong nhận đóng góp chân tình quý thầy cô bạn học sinh xa gần để sách hoàn thiện lần tái sau Thư từ góp ý xin gửi về: Mọi ý kiến đóng góp bạn, thầy cô xin vui lòng gửi địa o Hòm thư điện tử tổ trưởng tổ Sinh học Vedu: gopy.lovebook.vn@gmail.vn o Diễn đàn chăm sóc sử dụng sách: vedu.vn/forums/ Đội ngũ tác giả xin chân thành cảm ơn!!! HỌ NÓI GÌ VỀ BỘ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN? Theo thầy Phạm Vĩnh Phúc [Nguyên chuyên viên cao cấp giáo dục đào tạo, cán đạo môn Toán]: “Các em phân tích hệ thống đề đại học năm hệ thống chi tiết Những dự đoán xây dựng tảng phân tích liệu năm trước xu hướng đề giúp cho học sinh ôn tập có trọng tâm hơn” Theo thầy Đinh Văn Khâm [Giáo viên chuyên Toán – Hiệu trưởng THPT chuyên Lương Văn Tụy – Ninh Bình]:”Cuốn toán tổng hợp nhiều tinh túy tư giải toán phổ thông, mảng ôn thi đại học Phần dự đoán điểm khác biệt ấn tượng sách Không đơn đưa dự đoán câu cụ thể đề, đội ngũ tác giả phân tích chi tiết hệ thống chủ đề, giúp cho em học sinh có nhìn xác bao quát nội dung thi đại học Bộ Giáo Dục Đào Tạo” Theo thầy Nguyễn Minh Tuấn - GV THPT Hùng Vương - Phú Thọ [tác giả 20 đầu sách ôn thi đại học tiếng nhiều tài liệu chỉa sẻ mạng): “Đây thực sách ôn thi đại học chất nhất, công phu tâm huyết mà thầy biết tới Một học sinh ôn thi đại học mà không sở hữu thiệt thòi nhiều so với bạn” Theo em Lê Nhất Duy [THPT TP Cao Lãnh – Đồng Tháp]: “Đây lần em đọc sách tâm huyết thếnày Từng lời bình anh chị LOVEBOOK chất gần gũi Kể từ cầm tay sách này, em cảm thấy tự tin yêu môn toán nhiều” Theo cô Lê Thị Bình [Thạc sĩ Toán - Hóa] - giảng viên khoa Toán Tin ứng dụng- ĐH Kiến Trúc Hà Nội: "Một sách đẳng cấp thiết thực biết Không dừng lại lời giải kho khan mà sách cho ta lối tư duy, kinh nghiệm sương máu mà họ trải qua" Theo Nguyễn Văn Tiến [cựu học sinh Lý Thái Tổ - Bắc Ninh, tân sinh viên Y Hà Nội 29/30]: “Lovebook biết cách tạo ấn phẩm thật hữu ích cho em học sinh, đặc biệt Toán Năm vừa tiếc chưa có Toán, có kết trọn vẹn Tuy nhiên với Hóa năm ngoái đủ khiến đạt ước mơ vào đại học Y Hà Nội" Theo em Nguyễn Văn Trường [cựu học sinh Diễn Châu 4, Nghệ An - Tân sinh viên Đại Học Bách Khoa HN]: “Cuốn sách 90 đềToán giúp em nhiều việc tự học nhà Ở quê nghèo em, việc học thêm học online vấn đề nan giải Nếu sách có hướng dẫn tư LOVEBOOK thật khó khăn Đọc sách anh chị viết mà có cảm giác người thầy trực tiếp giảng dạy cho” HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Hướng dẫn cách luyện đề Các đề sách có số lượng câu dễ mức vừa phải, không nhiều câu dễ (30 câu) giống đề thi THPT Quốc gia năm Vì chưa biết năm tới phân bố câu dễ, khó đề thi thay đổi Khi bắt đầu luyện, tâm lí thoải mái ! Hãy nhớ, bạn bắt đầu luyện đề, đó, đừng trông chờ vào việc phải làm nhiều câu thời gian quy định đề Làm đề đầu tiên, để thời gian làm thật thoải mái, không thiết 90 phút mà 120 phút 150 phút Nghĩ thật kĩ, nghĩ lâu được, đến không làm Sau đó, đọ đáp án ghi điểm vào bảng kết Nếu điểm tốt, chúc mừng bạn, phát huy làm đề tiếp theo, ý đến tốc độ làm bài, tăng tốc độ lên! Nếu điểm xấu điểm không mong muốn chúc mừng bạn! Vì bạn thuộc 90% đại đa số học sinh bắt đầu luyện đề Đừng nản, điều bình thường Hãy nhìn lại câu mà làm sai, phải biết sai Ghi lại, rút kinh nghiệm Quan trọng luyện đề: kiên trì, chăm !!! Đọc lời giải có câu không hiểu, bạn nên làm gì? Đừng ngại ngần, hỏi !!! - Hỏi bạn bè lớp Học thầy không tày học bạn - Hỏi thầy cô giáo lớp - Hỏi bạn bè cộng đồng mạng - Bạn đăng thắc mắc trình sử dụng sách lên diễn đàn chăm sóc sử dụng sách nhà sách Lovebook để hỗ trợ tốt nhất: vedu.vn/forums/ Ghi chú, đánh dấu Trong trình luyện đề, bạn nên lấy bút màu đánh dấu vào câu mà bạn nhầm lẫn, toán mà bạn làm sai câu mà bạn thấy quan trọng Trước thi tháng, bạn nên đọc lại toàn phần đánh dấu bút màu trước để tránh việc lặp lại sai lầm bước vào kì thi thức Kết hợp với sách chuyên đề Trong trình sử dụng sách, để đạt hiệu cao nhất, tốt bạn nên có chuyên đề Để làm ? Khi làm đề, gặp phải toán, dạng toán kiến thức lý thuyết mà bạn chưa nắm vững, chuyên đề cẩm nang dành cho bạn ôn lại kiến thức MỤC LỤC Đề số 13 Đề số 24 Đề số 34 Đề số 47 Đề số 58 Đề số 70 Đề số 78 Đề số 88 Đề số 98 Đề số 10 107 Đề số 11 117 Đề số 12 129 Đề số 13 140 Đề số 14 150 Đề số 15 161 Đề số 16 170 Đề số 17 182 Đề số 18 192 Đề số 19 202 Đề số 20 212 Đề số 21 224 Đề số 22 232 Đề số 23 240 Đề số 24 249 Đề số 25 257 PHẦN II: MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ, BÀI VIẾT ĐẶC SẮC 256 – Phương pháp giải hệ phương trình 256 – Sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến để giải phương trình, hệ phương trình 270 – Giải số phương trình vô tỉ có dạng đặc biệt 274 – Phương pháp nhân liên hợp giải phương trình, bất phương trình vô tỷ 278 – Tư đặt ẩn phụ giải hệ phương trình 283 – Phương pháp đẳng thức giải hệ phương trình 287 – Một số ý giải hệ phương trình 292 – Phương pháp giải phương trình bất phương trình siêu việt 299 – Giải nhanh phương trình lượng giác máy tính Casio 305 10 – Một vài điểm cần ý giải phương trình lượng giác 318 11 – Một số dạng toán thường gặp số phức 324 12 – Một số loại toán tổ hợp thường gặp kì thi tuyển sinh đại học 328 13 – Suy nghĩ không cũ dạng toán không 331 14 – Suy nghĩ loại toán quen thuộc 334 15 – Phương pháp đổi biến toán chứng minh bất đẳng thức 337 16 – Một số toán xác định yếu tố tam giác 341 17– Chuyển bất phương trình giải phương trình 345 18 – Yếu tố bất biến giải hệ phương trình 349 19 – Tính khoảng cách không gian (Tổng quát) 380 20 – Phương pháp véctơ 396 21– Thêm phương pháp tìm tập hợp điểm 406 22 – Bất đẳng thức đề đại học 422 23- Phương trình, hệ phương trình vô tỷ số lối tư duy, phương pháp giải toán cổ điển 435 24- Phương trình hệ phương trình giải phương pháp đánh giá 447 Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập Your dreams – Our mission – Nghiệm mẫu số: tìm điều kiện xác định – Nghiệm tử số nghiệm phương trình:     x 4x2  9x   x 4x2  3x    Trước tiên, xin phá “vỏ” dấu ngoặc để phương trình dễ nhìn hơn: 4x3  9x2  6x   4x3  3x2  2x  (*) Đến có gì? Vế trái đa thức bậc ba Vế phải thức bậc Vậy giải theo cách thông thường lập phương hai vế chẳng thu kết tốt đẹp Đặt ẩn phụ không khả quan, đặt đặt t  4x3  3x2  2x  mà không biểu diễn lượng lại theo biến t không ổn Dường việc bế tắc phương pháp khác với hình thức phương trình (một vế bậc 3, vế chứa bậc 3) gợi “ép” ta theo phương pháp dùng hàm số Ta nhẩm tính dùng hàm số bậc ba, cách thêm vào hai vế lượng lập phương vế phải (*) Điều gượng ép, cộng thêm vào hai vế lượng  4x  3  3x2  2x  bên vế phải xuất số hạng có lũy thừa cao 8x = (2x) , lập phương lượng “đẹp” (*)  8x3  12x2  8x   4x3  3x2  2x   4x3  3x2  2x  Vậy hàm số ta dùng toán f(t) = t + t (là hàm đồng biến)  cần biến đổi vế trái thành dạng (ax + b) + (ax + b) Để tìm a, b ta dùng phương pháp hệ số bất định: a3   3a b  12 a  3 3 2  8x  12x  8x   ax  b  ax  b  a x  3a bx  3ab  a x  b  b   3ab  a  b   b  b  Việc lại trình bày giấy Bài giải:  Điều kiện:           x 4x2  3x     x 4x2  3x    x  Bất phương trình cho tương đương với:     x 4x2  9x   x 4x2  3x      x 4x  3x     (**) Ta xét dấu vế phải cách tìm nghiệm tử số mẫu số: – Nghiệm mẫu số: x = – Nghiệm tử số nghiệm phương trình:     x 4x2  9x   x 4x2  3x     4x3  9x2  6x   4x3  3x2  2x   8x3  12x2  8x   4x3  3x2  2x   4x3  3x2  2x     2x  1  2x  1  4x3  3x2  2x   4x3  3x2  2x  (1) 3 Xét hàm số f(t) = t + t ℝ Ta có f’(t) = 3t + > với t ∈ ℝ  f(t) đồng biến ℝ Mặt khác (1) có dạng 32 | LOVEBOOK.VN  Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập Your dreams – Our mission 3 f 2x  1  f  4x3  3x2  2x    2x   4x3  3x2  2x     2x  1  4x3  3x2  2x   4x3  9x2  4x   x   x  9  17 Lập bảng xét dấu vế phải (**): x – Tử số VP(**) Mẫu số VP(**) – VP(**) + + 0 – – + + – – + + Dựa vào bảng xét dấu, ta kết luận tập nghiệm bất phương trình là:  9  17   9  17  S =  ; ;   0;       8     Bài tập củng cố: Giải phương trình 2x2  x  1  2x2  9x   11x  (đáp số x = x = 2)   3 2 Giải phương trình 5x 4x  5x   7x  2x  9x  (đáp số x = x =  17 ) 3 Giải bất phương trình 33x3  35x2  4x  2x2 6x2  5x   (đáp số 1  97 x ) 12 Câu Trong toán này, đề cập phương pháp không lại sử dụng Đó phương pháp “Nhìn vào điểm cuối” (Look at the end point) Đây phương pháp giúp đơn giản hóa nhiều giải, đồng thời phương pháp dồn biến mà ta gặp Phương pháp thường dựa nhận xét đơn giản sau hàm bậc nhất: Giả sử f(x) hàm bậc theo x thì: min{f(a), f(b)}  f(x)  max{f(a), f(b)} với x ∈ [a; b] Điều minh họa cách trực quan đồ thị Bài giải: +) Giả sử a = max{a, b, c}  Đặt P  1  a 1  b1  c   Ta có: (P – 1)  Xét f(a)  a b c a bc    b c 1 c  a 1 a  b1 b c 1 a b c cần chứng minh P    b c 1 c  a 1 a  b1 a bc  1  a 1  b1  c   bc 1 a bc  1  a 1  b1  c   [0; 1] bc 1 Theo định lý: (P – 1)  max{f(0); f(1)} Mặt khác: +) f(1) = +) f(0) = bc  1  b1  c  b c 1 LOVEBOOK.VN | 33 Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập    bc  b  c   b  c  bc  2 b c 1 b  c   b 2 c  1  bc   Your dreams – Our mission b c 1 0  max{f(0); f(1)}   (P – 1)   P  Đẳng thức xảy  (a, b, c) = (1; 1; 1), (1; 0; 0), (1; 1; 0) hoán vị vòng Cách giải khác: a b c a bc    b c 1 c  a 1 a  b1 b c 1 1a Như ta cần chứng minh rằng: 1  a 1  b1  c   bc 1 Giả sử a = max{a, b, c} Khi ta có: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1  b  c  1  b 1  c     b  c  1  b 1  c   27 1a 1a  1  a 1  b 1  c    27  b  c  1 b  c  Đẳng thức xảy  (a, b, c) = (1; 1; 1), (1; 0; 0), (1; 1; 0) hoán vị vòng Bài tập củng cố: Cho số thực a, b, c, d thuộc đoạn [0; 1] Chứng minh rằng: 1  a 1  b1  c 1  d  a  b  c  d  Gợi ý: Xem vế trái hàm với biến a  dùng định lí lần ta có: f(a)  min{f(0), f(1)} +) f(1) = + b + c + d  +) f(0) = (1 – b)(1 – c)(1 – d) + b + c + d = g(b) Tiếp tục coi hàm biến b thì: g(b)  min{g(0), g(1)} +) g(1) = + c + d  +) g(0) = (1 – c)(1 – d) + c + d = + cd   min{g(0), g(1)}  g(b)   f(0)  g(b)   min{f(0), f(1)}   f(a)  (điều phải chứng minh) 34 | LOVEBOOK.VN Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập Your dreams – Our mission ĐỀ SỐ Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 2 (1) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b) Chứng minh với giá trị m, đường thẳng d: y = –x + m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để ba điểm A, B, O tạo thành tam giác thỏa mãn 1  1 OA OB Câu (1,0 điểm) x2  4x  y   a) Giải hệ phương trình    log2  x  2  log2 y  (x, y ∈ ℝ) b) Giải phương trình: log 𝑥 + log (10 − 𝑥) = Câu (1,0 điểm) Tính tích phân: I = π  x  1sin x  cos x   cos x dx  x  1 sin x  cos x  Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình: (2cosx + 1)(sin2x + 2sinx – 2) = 4cos x – (x ∈ ℝ) n n b) Cho khai triển: (1 + 2x) = a0 + a1x + a2x + … + anx với n ∈ ℕ* Biết a3 = 2014a2, tìm n Câu (1,0 điểm) Trong không (P): x – 3y + 4z – = 0, đường thẳng d: gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng x 1 y 1 z   điểm A(3; 1; 1) Viết phương trình đường thẳng  qua A cắt đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a, đáy ABCD hình thang vuông A B, AB = BC = a, AD = 2a Tính theo a thể tích khối chóp S.BCD khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB Gọi M, N trung điểm cạnh AD, BC Trên đường thẳng MN lấy điểm K cho N trung điểm đoạn thẳng MK Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D, biết K(5; –1), phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là: 2x + y – = điểm A có tung độ dương Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:   xy x2    y   3y  (x, y ∈ ℝ)  3x  1 x2 y  xy   4x3  3x3y  7x   Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 2 2x2 x  y   2z 2y  z  y  z  3z zx LOVEBOOK.VN | 35 Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập Your dreams – Our mission LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ BÌNH LUẬN Câu a) • Tập xác định: 𝔻 = ℝ\{1} • Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: y’   x  1 > với x ∈ 𝔻 Hàm số đồng biến khoảng (–; 1) (1; +) – Giới hạn: lim y  lim y  ; lim y = –; lim y = + x x x 1 x 1 Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = làm tiệm cận đứng, nhận đường thẳng y = làm tiệm cận ngang – Bảng biến thiên: x y' + + y – • Đồ thị: Đồ thị (C) hàm số cắt trục tung (0; 2), cắt trục hoành điểm (2; 0) Đồng thời (C) nhận giao điểm hai đường tiệm cận I(1; 1) làm tâm đối xứng b) Định hướng: Việc chứng minh d cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt đơn giản, cần dùng phương trình hoành độ giao điểm (là phương trình bậc có hai nghiệm) y y I O Xử lí điều kiện x 1   Đây OA OB A biểu thức đối xứng rồi, thử xem giả sử A(x1; –x1 + m), B(x2; –x2 + m) (với I x1, x2 nghiệm phương trình hoành O  B x d độ giao điểm – dùng định lí Viét) nhé! 1  1 2 2 x1    x1  m  x2    x2  m  x12   x1  m   x22   x2  m    x2   x  m   x  x  m          1 Phải nói biểu thức cực phức tạp (mặc dù đối xứng – dùng định lí Viét, việc trình bày dài), chưa kể phải bình phương hai vế lên lần mong xuất tổng (x1 + x2) tích x1x2 Đến ta nên nghĩ đến tính chất đặc biệt hàm số bậc bậc – mà việc sử dụng định lí Viét cho phương trình hoành độ giao điểm gặp phức tạp Đồ thị hàm số y 36 | LOVEBOOK.VN Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập = Your dreams – Our mission ax  b (với ad  bc c  0) nhận đường thẳng qua giao điểm hai đường tiệm cận có hệ số góc cx  d –1 làm trục đối xứng (tính chất đề cập sách Tuyển tập 90 đề thi thử môn Toán – Tập 1) Với toán đồ thị (C) hàm số nhận đường thẳng  qua điểm I(1; 1) có hệ số góc k = làm trục đối xứng – trục đối xứng không cắt đồ thị (C) Dễ viết phương trình đường thẳng : y = x   qua gốc tọa độ O Theo tính chất đối xứng đồ thị đường thẳng d (có hệ số góc 1) vuông góc với   hai điểm A, B đối xứng qua  Mặt khác O ∈  nên OA = OB Vậy độ phức tạp toán phần hóa giải! Giờ ta lại cố gắng tính OA theo m Nhận thấy AB tính theo m – nhờ định lí Viét, d(O, ) hoàn toàn biểu thị theo m Như dùng định lí Py–ta–go cho ta: 2  AB  OA    d(O, )  từ tính m    Đó hướng làm suy nghĩ theo chất vấn đề Để khắc phục hạn chế cách làm lí luận dài ta giải cách “khôn khéo” giải sau: Bài giải: +) Phương trình hoành độ giao điểm d đồ thị hàm số (1) là: x 2  x  m  x    x  m  x  1 (dễ thấy x = không nghiệm) x 1  x2  mx  m   (*) 2 +) (*) có biệt thức  = m – 4m + = (m – 2) + > nên (*) có hai nghiệm phân biệt (khác 1)  d cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt A, B (đpcm) +) Không tính tổng quát ta giả sử A(x1; –x1 + m) B(x2; –x2 + m) (với x1, x2 nghiệm (*)) Lúc ta có: x12  mx1  m   x22  mx2  m    x12  mx1  x22  mx2   m OA = x12   x1  m   2x   2mx1  m2  2  m   m2  m2  2m  Tương tự, ta có OB  m  2m  +) m  1  1   m2  2m     OA OB m  m2  2m  Thử lại, ta thấy với m = O ∈ d; m = O ∉ d  giá trị m cần tìm m = Nhận xét: Cách cách độc đáo, ta cần phải nhớ để “ứng phó” với “mọi thời tiết”! Ngoài bạn phải ý việc loại nghiệm, không nên để xảy sai lầm đáng tiếc không loại nghiệm Câu a) +) Điều kiện x > y > +) Phương trình thứ hai hệ tương đương với: log2  x  2  log2 y  x   y +) Thế vào phương trình thứ ta có: x – 3x =  x = (loại) x = (thỏa mãn) Với x =  y = Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y) = (3; 1) Nhận xét: Đây toán bản, thường hệ phương trình logarit câu thường không khó b) Điều kiện: < 𝑥 < 10 Phương trình cho tương đương với: LOVEBOOK.VN | 37 Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập Your dreams – Our mission ⇔ log x(10 − x) = ⇔ x(10 − x) = 16 ⇔ x − 10x + 16 = x = (thỏa ⇔[ mãn) x=8 Kết luận: Phương trình có nghiệm là: x = 2; x = Câu b b g’(x) g(x) a Lại tích phân gặp dạng hàm hỗn hợp, nhìn vào có hi vọng đưa dạng I   f(x)   a Ta thử đạo hàm mẫu số:  x  1 sin x  cosx ’   x  1 cos x     Vậy nên ta thử tách tử số thành biểu thức chứa x  cos x chứa mẫu số Bài giải: Ta có: π π π  x  1 cos x   x  1 sin x  cos x   x  1 cos x I  dx   dx   dx  x  1 sin x  cos x 0  x   sin x  cos x π π π π  x  1 sin x  cos x ’  2   dx+ dx  d  x  1 sin x  cos x  + dx     x  1 sin x  cos x   x  1 sin x  cos x 0   ln  x  1 sin x  cos x   x  π  π  π π  π   ln       0  0   ln    2   2  2 Câu a) Định hướng: Chỉ cần dùng đẳng thức thấy 4cos2 x   2cos x  12cos x  1 thấy nhân tử (2cosx + 1) Việc lại xử phương trình: sin2x + 2sinx – = 2cosx –  sin2x + 2sinx – 2cosx – = (*) Phương trình có số hạng nên chẳng cần dùng máy tính để nhẩm hay thử nghiệm làm , cần thử nhóm vài số hạng với Lưu ý rằng: – sin2x = (sinx – cosx)  (*) có nhân tử (sinx – cosx) Bài giải: Phương trình cho tương đương với: 2cosx 1sin2x  2sin x  2  2cos x  12cos x  1  2cosx 1 sin2x  2sin x  2cosx  1   2cos x  1 2  sin x  cos x   sin2 x  cos2 x  2sin xcos x      2cos x  1 sin x  cos x  2   sin x  cos x    1 1   x  cos x  cos x         x  sin x  cosx tan x     (dễ thấy sinx – cosx = 2π  k2π (k ∈ ℤ) π  kπ  π sin  x   < 2) 4  Vậy phương trình có hai họ nghiệm x = ± 38 | LOVEBOOK.VN 2π π + k2π x = + kπ (k ∈ ℤ) Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập Your dreams – Our mission b) Bài yêu cầu nhớ công thức khai triển nhị thức Niu–tơn công thức tính tổ hợp chập k tập n! hợp n phần tử: Ckn  k!  n  k ! Bài giải: +) Điều kiện: n ∈ ℕ, n  k k k +) Theo công thức khai triển nhị thức Niu–tơn, ta có hệ số tổng quát số hạng chứa x là: ak = Cn (với k ∈ ℕ, k  n) 3 2 +) Theo ra: a3 = 2014a2  C n = 2014.2 C n   n!  3! n  !  1007  n!  2! n  !  n   1007 3!  n  3023 2! Vậy n = 3023 giá trị cần tìm Câu +) Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n = (1; –3; 4) +) Gọi B giao điểm d   B(1 + 3t; –1 + t; 2t) +) Vì AB // (P) nên AB.n   1  3t  3  3 1  t  1  2t  1   t   BA  2; 2; 1 +) Đường thẳng  qua A(3; 1; 1) có véctơ phương BA  2; 2; 1 nên có phương trình : x 3 y 1 z 1   2 Câu Định hướng: – Đường khối chóp S.BCD SA = 2a  cần tính SBCD hoàn S thành việc tính thể tích khối chóp Điều không khó, mà đáy ABCD hình thang vuông biết độ dài cạnh  việc tính SBCD dễ dàng – Tính khoảng cách: Khối chóp biết trước đường cao nên việc tính khoảng cách ta “bám” vào chân đường cao Chân đường cao A, khoảng cách yêu cầu tính từ B đến (SCD)  cần xác định giao điểm E AB với (SCD) để tính tỉ số AB cắt CD E, dễ thấy H E B C A D BE = d(B, (SCD)) AE d(A , (SCD)) BE CE BC     C trung điểm ED, đồng thời AE DE AD AE = 2AB = 2a  AED cân A  AC  CD  (SAC)  CD Vậy mặt phẳng (SAC) cần dựng thêm AH  SC AH = d(A, (SCD)) Từ dễ dàng tính d(B, (SCD)) Trong trình tư ta thấy (SAC)  CD  SCD vuông C  SSCD tính  khỏi cần dùng tỉ số khoảng cách mà dùng công công thức d(B, (SCD)) = 3VS.BCD SSCD cách làm hay! Bài giải: +) VS.BCD = 1 1 SA.SBCD = SA .BC.d(D, BC) = SA.BC.AB = 2a.a.a = a (đvtt) 3 6 +) Ta có: CD = AB2  (AD  BC)2 = a2  (2a  a)2 = a LOVEBOOK.VN | 39 Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập AC = AB2  BC2 = Your dreams – Our mission a2  a2 = a  ACD cân C có AD = CD  ACD vuông cân C  AC  CD Mặt khác CD  SA (do SA  (ABCD)) nên CD  (SAC)  SC  CD +) Ta có: SC = d(B, (SCD)) = SA2  AC2 = 3VS.BCD SSCD 2a 2   a   a a3 3VS.BCD a = = = a 6.a SC.CD Câu Định hướng: Lại toán hình đặc biệt hình chữ nhật – ta “mổ xẻ” tất tính chất hình chữ nhật Xin nói trước đặc thù hình chữ nhật nên toán có nhiều cách xử lí Nhưng ý, yêu cầu toán tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật  ta thường bám lấy trung điểm E đường chéo để bắt đối xứng việc giải tìm đỉnh ngắn gọn nhiều! Bài toán có cho kiện tung độ điểm A dương cho phương trình Ac  gọi A qua ẩn  cố gắng tìm khoảng cách từ A đến điểm cố định cho tọa độ tìm ẩn  tọa độ A Do có điểm K cố gắng tìm độ dài AK theo cách ngắn để tìm tọa độ A M Trên hình vẽ đường thẳng AC xác định, điểm A D K cho tọa độ  tính KI với I hình E chiếu K lên AC Việc tính góc KAI không khó ta sử dụng công thức cộng cung:  tanIAK  tan MAK  CAD   I B N H C tanMAK  tanCAD  tanMAK.tanCAD K Khi tính tanIAK việc tính giá trị lượng giác khác dựa tanIAK  tam giác vuông IAK, tính AK (do biết IK rồi!)  tọa độ A Đồng thời, AK tính việc tính độ dài cạnh lại “dễ lòng bàn tay” nhờ vào định lí Py–ta–go giá trị lượng giác góc vuông! Điểm tìm nên điểm E  tính AE  tọa độ E (do E ∈ AC mà A tìm tọa độ)  tọa độ C … Đến khai thác nhiều tính chất hình chữ nhật, giải sau xin trình bày cách giải theo hướng véctơ nhiều để đến kết nhanh chóng (mà cần loại nghiệm)! Bài giải: +) Đặt AB = a AD = 2a, MN = AM = a, NK = a K trung điểm MN nên KM = 2MN = 2a +) Ta có: MK CD  2 tanMAK  tanCAD 3 tanIAK  tan MAK  CAD   AM AD  MK CD  tanMAK.tanCAD   AM AD Gọi I hình chiếu vuông góc K lên AC  I(x; – 2x)   Đường thẳng AC có véctơ phương u AC = (1; –2) IK  AC  IK.u AC    x  5  3  2x  1   x  Ta có: 40 | LOVEBOOK.VN 13  13 11   IK =  I ;  5   5 Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập Your dreams – Our mission 4  cot IAK        sin2 IAK tan2 IAK 3 1 IK  sinIAK   AK  2 5 sinIAK +) A ∈ AC  A(a; – 2a)   AK2   a  52  3  2a  12   a   A 1; 1   21  21 27  a   A  ;   Do xA > nên lấy nghiệm A(1; 1) +) AK  AM2  MK2  a2  2a   a   a  2  MN  a AM        E trung điểm MN  AE = Mặt khác AI = IK tan IAK E ∈ đoạn AI AE = = AI   13  xE      x     AE  AI    E  E 2;  1 y    11   y E  1 E      xC  2xE  x A  +) E trung điểm AC    C(3; –3) y C  2y E  y A  3 Gọi H giao điểm AK BC BH AH AB     H trung điểm NH KH KN hai đoạn thẳng AK BN  x B   3  3    H(3; 0) Mặt khác CB  CH    B(3; 1)  y     3 B   xD  2.2  +) E trung điểm BD    D(1; –3) y D   1  Tọa độ điểm cần tìm A(1; 1), B(3; 1), C(3; –3), D(1; –3) Nhận xét: Bài toán nhiều hướng giải khác tính chất đặc biệt hình chữ nhật Nếu không dùng biểu thức véctơ viết phương trình đường thẳng AD, BC tìm tọa độ B, D Cách giải khác: +) CAD = DKM  CAD  DKM mà CAD  DKM = 90  AC  DK Gọi AC ∩ DK = I tìm tọa độ I thỏa mãn hệ: 13  x  2x  y     13 11    I ;    x  2y   y  11   LOVEBOOK.VN | 41 Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập Your dreams – Our mission   13  3  x D  5        D(1; –3) +) Chứng minh 3KD  5KI   3  y  1   11   D       2 Gọi véctơ pháp tuyến AD n = (a; b) (với a + b  0) 2a  b b  2 cos DAC     2a  b  a2  b2   5 3b  4a a2  b2 +) Từ ta phương trình AD x = (thỏa mãn) 3x + 4y + = (loại trường hợp cho tung độ điểm A âm) Phương trình AD: x =  A(1; 1) +) Phương trình DC: y = –3  C(3; –3) Phương trình CB: x =  B(3; 1) Câu Định hướng: Nhìn cục diện chung thấy “đánh phương trình (2) trước Hơn phương trình (1) có dạng quen, chứa hai biểu thức chứa có khả liên hợp được, nhiều làm ta hình dung đến việc sử dụng hàm số Mà muốn sử dụng hàm số phải tách riêng x y    phải chia hai vế cho y để hai vế hai ẩn tách biệt (tất nhiên phải xét trường hợp y = – muốn chia):   (1)  x  x       3   y   y  (*) 2  y Đến nóng vội dùng phép chia để hai vế xuất dạng hàm f(t) = t  t    nên dẫn tới giải chưa chặt chẽ:     3  3   (*)  x  x   x         1    y  y   Việc đưa y vào dấu chưa đúng, chưa xác định y âm hay dương để đưa vào dấu Vậy nên cần có thêm bước đánh giá nữa, để giải hoàn thiện Đầu tiên từ điều kiện xác định x y  xy   chưa khai thác việc chặn y > Thế đừng quên phương trình (1) chứa biểu thức dương thường gặp y   y (dễ chứng minh điều này)  VP(1) dương  VT(1) >  y  x > Với x > 0, kết hợp với x y  xy  ta suy y > Thử lấy đạo hàm f ’(t) >  hàm đồng biến  x = y Xong việc xử lí phương trình thứ nhất! Việc xử lí phần Nhận xét để tránh bị trùng lặp Bài giải:   xy x2    y   3y   3x  1 x2 y  xy   4x3  3x3 y  7x   (1) (2) +) Điều kiện: x y  xy  y   y  y  y   VP(1) >  VT(1) >  y  x > Ta có: (do y  x2   x   )  42 | LOVEBOOK.VN  Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập Your dreams – Our mission   3 3   +) Lúc đó: (1)  x  x           (*)   y y    Xét hàm số f(t) = t  t    (0; +)  Ta có: f ’(t)  t2 t 1   t    với t >  f(t) đồng biến (0; +) 3 Mặt khác (*) có dạng f(x) = f   (với x > > 0)  x =  y = x y y y +) Thế vào (2) ta được: 3x  1 3x   4x3  9x2  7x   3x  1  3x  1   3x   x  4x3  12x2  8x    3x    4x3  12x2  8x  x2  3x   x    3x   x 3x     x2  3x  x   y  3x   x2  3x      ) (do x  nên x  x   y  3 3x   2  Hai nghiệm thỏa mãn, hệ phương trình có hai nghiệm là: (x; y) = (1; 3),  2;  2  Nhận xét: Chắc chắn nhiều bạn phân vân cách giải phương trình (2) sau y vào, lại liên hợp “ngon lành cành đào” Cách giải cách giải người thành thạo có kĩ liên hợp, cách giải dễ nhìn  Cách giải dựa yếu tố quan trọng ta phải nhẩm hai nghiệm phương trình 3x  1 3x   4x3  9x2  7x  (đó x = x = → nhẩm bấm máy tính) Sau dùng phương pháp hệ số bất định sau: 3x  1 3x   4x3  9x2  7x   3x   4x3  9x2  7x 3x  4x3  9x2  7x  3x    ax  b    ax  b 3x    a2 x2  3  2ab x  2  b2 3x    ax  b   4x  9x2  7x   ax  b (**) 3x  Do chắn phương trình có nghiệm x = x = nên phân tách dạng nhân tử: (x – 1)(x – 2) = x – 3x + Vậy cần tìm a, b cho: a2x2  3  2ab x  2  b2  k x2  3x      (đã khẳng định nhân tử chung phương trình cần dùng hệ số bất định cho vế – hệ định lí Bôzu)   3a2 k  a2 b  3  2ab  3 a2 a     3k   2ab    2 2   3a   b   a    2  2k  2  b 2   a   2a        LOVEBOOK.VN | 43 Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập Your dreams – Our mission  a   b    a  1  b   a     Ta không ý a = (**) thành: 3 x2  3x  3x   x tính “thẩm mĩ” lời giải Khi chọn a = 1, b = ta có:  4x3  9x2  7x x  3x  1 x2  3x  3x   x  4x3  12x2  8x 3x  1   4x x2  3x  3x  1  Đây cách giải trình bày đáp án! Khi chọn a = –1, b = thay vào (**) ta thấy xuất có mẫu số là: 3x   x , mẫu số với x = hay x =  không xác định  không giải theo hướng chọn a = –1, b = Vậy thêm phương trình hay giải  Để củng cố việc dùng hàm việc dùng hệ số bất định liên hợp bạn làm tập sau nhé! Bài tập củng cố: Giải phương trình: 3x   3x   5x   x (đáp số x = x = 1)     x2   x y2   y   Giải hệ phương trình:  6y  5y   x3   (đáp số (x; y) = (0; 0), (–1; 2)) Cách giải khác cho phương trình: 3x  1 3x   4x3  9x2  7x        3x   3x  2 x  4x3       3x   x  Đặt a = 3x   phương trình trở thành: a   3a2x  4x3   a  x     a  x   a  2x   1    x   a  x  3x   x   x  Câu Định hướng, phân tích: Nhận định toán P biểu thức đồng bậc với x, y, z nên dùng cách dồn biến để đưa toán với ẩn Ngoài ra, đánh giá hình thức P thấy có điều “bất thường”: số hạng có nhân tử 2, đồng thời: z 2y  z   y  z 1 y2 y  z  2 2x2 x  y   2z 2y  z  y  z  2x2  2y x  y  y  z 2 Đến có hai bình phương, đồng thời có nhân tử chung khiến ta liên tưởng đến bất đẳng thức P   a2  b2  a  b  áp dụng liền tay  x y 3z   xy y z zx 44 | LOVEBOOK.VN Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập Your dreams – Our mission Đến dạng vế trái gần tương đương với Đề đại học Khối A – năm 2011 Ta chọn hai số hạng để áp dụng bất đẳng thức phụ 1a  1b  (với a, b > ab  1):  ab x y 1 y z z     (do x  z    nên áp dụng bất đẳng thức bổ đề) xy y z y z x x x z 1 1 1 x x x z  x  dạng hàm f(t) =  3t (với t  1) P  t t2  z z 1 1 x x Bài giải: +) Trước hết ta chứng minh   1a  2 1 b   (*) (với a, b > ab  1)  ab  Thật vậy, (*)  a  b  1  ab   a2  b2 2     a2  b2 ab  2ab  a2  b2  2a2b2   ab  1 a  b  , với a, b dương ab  Đẳng thức xảy  ab = a = b +) Áp dụng bất đẳng thức Bu–nhi–a–cốp–xki (*) ta được:   x2 y2  3z x y 3z  P      2   y  z   z  x x  y y  z z  x   x  y  z z    x   x (do x  z  y z  z  1) y z z z x x x 1 1 1 1 z 1 x x x x x +) Xét hàm số f(t) = Ta có: f ’(t)  2 1  t  2 3t  𝔻 = [1; +)  t t2     6t t   2t.3t t 1    2 t  3t  4t  3t  1  t  t 1  ; f’(t)   t  3t3  4t  3t   Đặt g(t) = t  3t3  4t  3t  với t    Ta có: g’(t)  4t  9t  8t  ; g’(t)    t  3 4t  3t    t  Lập bảng biến thiên g(t): t g ’(t) – –8 + + g(t) –44 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy g(x) có nghiệm t0 > miền [1; +)  nghiệm f’(t) LOVEBOOK.VN | 45 Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập Your dreams – Our mission   3t  Ta có: lim f(t)  lim      lim   t  t   t  t  t 1  t 1 1   t2  Lập bảng biến thiên f(t): t f ’(t) –1   3    t0 + − f(t0) f(t) Từ kết luận min(f(t)) = 5  P  Kết luận minP =  x = z > 0; y > 2 Nhận xét: Khi thấy đạo hàm không dương, nghiệm không đẹp ta giải phương trình f’(t)  cố gắng khảo sát, biện luận để lập bảng biến thiên f(t) Đây tư thường sử dụng nhiều toán chứng minh bất đẳng thức dựa vào phương pháp dồn biến, nên hạn chế “độ ì” cách trình bày Bài toán có số cách trình bày ngắn gọn sau: Cách 1: Do t  nên f(t)   t2  3t t2     với t  t2  t2  Cách 2: Cách sử dụng biết giá trị nhỏ toán   2 3t t  6t   t  1 5    f(t) – =   f(t)  1 t t 1 2 2  t  1 t    Ngoài ra, “hơi đối xứng” hình thức hai phân số y x , ta có cách dồn biến khác sau: xy y z Đặt P = f(y)  y  z   y   z  x   y  zx  Lúc đó: f’( y )   2 2  x  y   y  z x  y  y  z x – Nếu z = x P = (đạo hàm theo biến y) x y 3x    xy yx xx – Nếu z > x f’(y )   y  zx Lập bảng biến thiên  f(y)  f  xz  = x  x xz  xz 3z  xz  z z  x   z 1 z 1 x x Đến tiếp tục trình bày lời giải cách đề cập Bài tập củng cố: Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 4] x  y, x  z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y z P   2x  3y y  z z  x Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 9] x  y, x  z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y z P   x  2y y  z z  x Gợi ý chung: Dùng bất đẳng thức 46 | LOVEBOOK.VN 1a  1 b  để dồn biến  ab [...]... 1  a  1  b 1  c   Ta có: (P – 1)  Xét f(a)  a b c a bc    b c 1 c  a 1 a  b 1 b c 1 a b c thì cần chứng minh P  1   b c 1 c  a 1 a  b 1 a bc  1  a  1  b 1  c   1 bc 1 a bc  1  a  1  b 1  c   1 trên [0; 1] bc 1 Theo định lý: (P – 1)  max{f(0); f (1) } Mặt khác: +) f (1) = 0 +) f(0) = bc  1  b 1  c  b c 1 LOVEBOOK.VN | 33 Chinh phục đề. . .Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập 1 Your dreams – Our mission PHẦN I ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ SỐ 1 2x  1 (1) có đồ thị (C) x 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) Câu 2 (1, 0 điểm) Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm thực phân biệt: Câu 1 (1, 0 điểm) Cho hàm số y   3  x  1  1  x  3  x  1  x  3  m    3 x 1 Câu 3 (1, 0 điểm) a) Gọi z1, z2...  1  2    4x  x 4x 4x   x   4x    1 2  1   1    1  1 1 1  1   1   ln   1   ln x     1   ln   1    ln   (*) 2 2 2 x  4x2  4x   4x    4x  x x 1 t Xét hàm số f(t) = t + lnt trên (0; +∞) Ta có: f ’(t)  1   0 với mọi t > 0  f(t) đồng biến trên (0; +∞) LOVEBOOK.VN | 21 Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập 1 Your dreams – Our mission  1. .. cos x 1 2sin x.2sin x  11  sin x  2  sin x  2 (do cosx  0) cos x 1  3.2sinx cos x  3.2sinx sin x sin x 2sin x.2sin x cos x  11 cos x   4sin2 x  11  18 | LOVEBOOK.VN  1  1  2  6sin x   4sin3 x  12 sin2 x  11 sin x  3  0 sin x  sin x  Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập 1 Your dreams – Our mission π   x  2  k2π 1   sin x  π   2sin x  1 2sin x  3 sin x  1 ... đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập 1    bc  b  c   b  c  bc  1 2 2 b c 1 b  c   b 2 c  1   bc  1 2  Your dreams – Our mission 2 b c 1 0  max{f(0); f (1) }  0  (P – 1)  0  P  1 Đẳng thức xảy ra  (a, b, c) = (1; 1; 1) , (1; 0; 0), (1; 1; 0) và các hoán vị vòng Cách giải khác: a b c a bc    b c 1 c  a 1 a  b 1 b c 1 1a Như vậy ta chỉ cần chứng minh rằng: 1. .. trình: 2x – y – 3 = 0 và điểm M  11 ; 2  Tìm tọa độ điểm A  2   x 4x2  9x  6 Câu 8 (1, 0 điểm) Giải bất phương trình: 3    x 4x2  3x  2  1  1  1 (x ∈ ℝ) Câu 9 (1, 0 điểm) Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [0; 1] Chứng minh rằng: 1  a  1  b 1  c   b  ac  1  c  ab  1  a  bc  1  1 24 | LOVEBOOK.VN Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập 1 Your dreams – Our mission LỜI... 1  a  1  b 1  c   bc 1 Giả sử a = max{a, b, c} Khi đó ta có: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 1 3  b  c  1  1  b  1  c     b  c  1  1  b  1  c   3 27 1 a 1 a  1  a  1  b  1  c    27  b  c  1 b  c  1 Đẳng thức xảy ra  (a, b, c) = (1; 1; 1) , (1; 0; 0), (1; 1; 0) và các hoán vị vòng Bài tập củng cố: Cho các số thực a, b, c, d thuộc đoạn [0; 1] Chứng... hướng: 16 | LOVEBOOK.VN Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập 1 + Hướng 1: Chia hai vế cho ex ta được: Your dreams – Our mission 2x  1  x  1  x 1  Cũng chưa thấy xuất hiện dạng g’(x) g(x) ex ex  2x  1 x  1 ta được: + Hướng 2: Chia hai vế cho   Thử lấy đạo hàm mẫu ex x  1 ’  e x e x x 1 x 1  x 1 2x  1 , thành công! x 1 Bài giải: 5 5 2 2e Ta có: I   dx   5 ex 2x  1 ... 3  x  1  1  x  x  2  3  x    3 x 1  3 x  1 x 1  3 x    14 | LOVEBOOK.VN   3  x  1  1  x  1  3  x    3  x  1 để bài giải Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập 1 Như vậy chuyển vế ta sẽ thu được hai nhân tử là Your dreams – Our mission    3  x  1 và: 3 x  1 x  1  x 3  x   m  3 Cái khó còn lại là đi xử lí nhân tử thứ hai: 1  x 3... 4x2  3x  2  1  1 3  4x3  9x2  6x  1  4x3  3x2  2x  1 3  8x3  12 x2  8x  2  4x3  3x2  2x  1  4x3  3x2  2x  1    2x  1  2x  1  4x3  3x2  2x  1  4x3  3x2  2x  1 (1) 3 3 3 2 Xét hàm số f(t) = t + t trên ℝ Ta có f’(t) = 3t + 1 > 0 với mọi t ∈ ℝ  f(t) đồng biến trên ℝ Mặt khác (1) có dạng 32 | LOVEBOOK.VN  Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán – Tập 1 Your dreams ... tiếp nối chuỗi sách luyện đề “Tuyển tập 90 đề thi thử kèm lời giải chi tiết bình luận môn Toán , xin giới thi u bạn đọc tập Chinh phục đề thi THPT quốc gia môn Toán tập 1 đội ngũ tác giả đến từ... công ty GIA ĐÌNH LOVEBOOK CHINH PHỤC ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN TẬP Sách dành cho:       Học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2 016 ) Học... số 12 12 9 Đề số 13 14 0 Đề số 14 15 0 Đề số 15 16 1 Đề số 16 17 0 Đề số 17 18 2