Bài giảng Toán cao cấp A1 MỤC LỤC MỤC LỤC 144 Nguyễn Thị Hằng – Khoa Toán – Công nghệ Bài giảng Toán cao cấp A1 Nguyễn Thị Hằng – Khoa Toán – Công nghệ Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương I Ma trận - Định thức – Hệ phương trình tuyến tính Số tiết: 09 ( Lý thuyết: 07 tiết; Bài tập 02 tiết) 1.1 Ma trận 1.1.1 Định nghĩa ví dụ a) Định nghĩa : Một bảng số hình chữ nhật có m hàng n cột  a11 a12 a a22 A =  21    am1 am a1n  a2 n ÷ ÷ (1) ÷ ÷ amn  m x n gọi ma trận cấp m × n Ma trận thường ký hiệu chữ : A , B , …, X, Y, … ; phần tử thường ký hiệu chữ thường : a , b , …, x , y , … Các phần tử ma trận nằm dấu [ -] , ( - ) aij phần tử ma trận A nằm giao điểm hàng i cột j, Ký hiệu: A = ( aij ) m×n , A =  aij  m x n Ví dụ 1:  0 Bảng số A =  ÷ ma trận cấp × với phần tử :  −2  a11 = , a12= , a13 = a21 = −2 , a22 = , a23 = 1   ÷ Bảng số B =  ÷ ma trận cấp × với phần tử 3÷   b11 = , b21 = , b31 = Bảng số C = ( −1 ) ma trận cấp × với phần tử c11 = −1 , c12 = , c13 = b) Ma trận vuông Ma trận vuông ma trận có số hàng số cột Ký hiệu : A = ( aij ) n ma trận vuông cấp n Bài giảng Toán cao cấp A1  a11 a A =  21    an1 a12 a22 an a1n  a2 n ÷ ÷ ÷ ÷ ann  n Ví dụ 2: 13 A=  2 1 B =  −7 2   ÷ ma trận vuông cấp 0,75 ÷  −3 1 −8 ÷ ÷ ma trận vuông cấp 0÷ 3 Đường chéo Cho ma trận A vuông cấp n Khi phần tử a11, a22,…, ann nằm đường thẳng gọi đường chéo A, phần tử a11, a22,…, ann gọi phần tử chéo Ma trận tam giác Cho ma trận A = ( aij ) n - Ma trận tam giác trên: Nếu A có phần tử phía đường chéo (Tức là: aij = với i > j)  a11  A=    a1n  a2 n ÷ ÷ ÷ ÷ ann  n −3  ÷ 2÷ ma trận tam giác 1÷ ÷ 4 a12 a22 1  −1 Ví dụ 3: Cho ma trận A =  0  0 0 - Ma trận tam giác dưới: Nếu A có phần tử phía đường chéo 0( tức là: aij =0 với i < j)  a11 a A =  21    an1 1  Ví dụ 4: Cho ma trận B =  3  a22 an −4  ÷ ÷ ÷ ÷ ann  n  0÷ ÷ ma trận tam giác 2÷ 3 Bài giảng Toán cao cấp A1 Ma trận chéo Ma trận A vuông có phần tử đường chéo phần tử nằm đường chéo không đồng thời gọi ma trận chéo  a11  A=    0 a22  ÷ ÷ ÷ ÷ ann  n Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị ma trận vuông có tất phần tử đường chéo 1,các phần tử lại Ký hiệu In (hoặc En) ma trận đơn vị cấp n 1 0 In =    0 1 I = Ví dụ   1 I =  0  0 0÷ ÷ ÷ ÷ n 0 ma trận đơn vị cấp 1÷ 2 0 0÷ ÷ ma trận đơn vị cấp 1÷ 3 c) Ma trận chuyển vị Cho A = ( aij ) m×n , ma trận chuyển vị A ma trận cấp n x m có từ A cách chuyển hàng thành cột, chuyển cột thành hàng Ký hiệu : AT ma trận chuyển vị ma trận A  a11 a12 a a22 A =  21    am1 am a1n   a11 ÷ a a2 n ÷ 12 T ma trận chuyển vị A =  ÷ ÷  amn  m x n  a1n a21 a22 a2 n am1  am ÷ ÷ ÷ ÷ amn  n x m  −4 1 −   11÷  ÷ T ÷ Ví dụ 6: A =  − ÷ ma trận chuyển vị A =   −1 ÷  11 − ÷  ÷  3×4  − −  4×3 d) Ma trận không Bài giảng Toán cao cấp A1 Là ma trận có tất phần tử 0, ký hiệu: O θ Như vậy, cỡ hay cấp ma trận không tuỳ thuộc vào phép toán cụ thể Ví dụ : Các ma trận sau ma trận không: 0 0 0 0  ÷ θ = ÷ ; θ =0 0÷  0 2 x 0 0÷  3 x e) Ma trận đối : Cho ma trận A = ( aij ) m×n , ma trận − A = ( − aij ) m× n gọi ma trận đối ma trận A f) Ma trận Hai ma trận gọi chúng cấp phần tử tương ứng vị trí  A =   (a ) ij m x n (b ) ,B = ij m x n aij = bij : ∀i, j  −4 8 A = B  2a − b Ví dụ 8: Cho hai ma trận A =  ÷; X =   −3 b +1 c+d  ÷ c + 2d −  Tìm giá trị a, b, c, d để hai ma trận  −5 Ví dụ : Cho hai ma trận B =  0 0  2m + n − a m + a  , C  a + b − n 3n − b ÷ −3 ÷    Tìm giá trị a, b, m,n để C T = − B 1.1.2 Các phép toán ma trận a) Phép cộng hai ma trận Định nghĩa Cho A B hai ma trận cấp m × n , A = (aij)m x n, B = (bij)m x n Tổng hai ma trận A B ma trận cấp Ký hiệu: A + B = ( aij + bij ) m×n Như muốn cộng hai ma trận cấp ta cộng phần tử vị trí tương ứng với 5 1 1  −1 A= B = Ví dụ ÷  1÷  − 12×3   2×3 0  Suy ra: C = A + B =  2÷ 4  2×3 Tính chất Giả sử A, B, C ma trận cấp Khi đó: Bài giảng Toán cao cấp A1 +) A + B = B + A +) (A + B) + C = A + (B + C) +)A + θ = θ + A = A +) A + (-A) = (-A) + A = θ b) Phép nhân ma trận với số thực Định nghĩa Cho A = ( a i j ) m×n số thực k Khi đó, tích số thực k với ma trận A ma trận cấp đuợc xác định bởi: kA = ( kaij ) m×n (Tức là: muốn thực phép nhân ma trận với số k, ta nhân tất phần tử ma trận với k.) Ví dụ :  2  4 2. = ÷  4÷  −1  2×2  −2  2×2 1 2 3 5  0 1 3  −2÷ ÷ + 1 0 2÷ ÷   4×2 0 4 9  −3÷ ÷ = 8 15 1÷ ÷   4×2  11  − 15 ÷ ÷ ÷ ÷ 12  4×2 Bài tập ; Cho ma trận  −2  1  B= C = ÷  −3 ÷ 4    Tìm ma trận A thỏa mãn 2A = 3B + 2C Tính chất Giả sử A, B ma trận cấp k, m số thực Khi đó: +) k (A + B ) = k A + k B +) ( k + m) A = kA + mA +) k( mA ) = km (A ) +) 1.A = A +) A = θ c) Phép nhân hai ma trận Định nghĩa Bài giảng Toán cao cấp A1 Cho hai ma trận A = ( a¹i ) m× p , B = ( b¹i ) p× n ( số cột ma trận A số hàng ma trận B) Khi đó, tích hai ma trận A B ma trận C = ( c¹i ) m×n đó:  b1 j  b ÷ p 2j ÷  Cij = ( ai1 aip ) = a b + a b + + aip bpj = ∑ aik bkj  M÷ i 1 j i 2 j k =1  ÷ ÷  bpj  3 −3  1 2 , B = Tính AB với A =  ÷ 1 − 4÷  − 1 2×2   2×3  c11 c12 c13  Giả sử AB = (cij ) x =  ÷ , ta có  c21 c22 c23  c11 = 1.2 + 3.1 = 5, c12 = 1.0 + 3.(-1) = -3, c13 = 1.(-3) + 3.4 = 9, c21 = 2.2 + (-1).1 = 3, c22 = 2.0 + (-1)(-1) = 1, c23 = 2.(-3) + (-1).4 = -10 Ví dụ  −  5 − 9 1 = Vậy AB =  ÷ ÷  − 10 ÷  − 11 − Ví dụ : Cho hai ma trận 1  0  0  0 0 A= , B = ⇒ AB = ≠ BA = ÷  0÷ 0 0÷ 0 0÷  1       Phép nhân hai ma trận nói chung tính chất giao hoán Tính chất +) A ( B + C ) = AB + AC +) ( A + B ) C = AC + BC +) ( AB )C = A ( BC ) +) ( kA ) B = k ( AB ) = A ( kB ) +) AI = IA = A +) (AB)T = BT AT 1.1.3 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận - Đổi chỗ hàng ( cột ) ma trận - Nhân hàng ( cột ) với số khác - Cộng vào hàng ( cột ) hàng ( cột ) khác nhân với số Định thức ma trận vuông Bài giảng Toán cao cấp A1 1.2.1 Định nghĩa ví dụ Xét ma trận vuông cấp n :  a11   a21  A =  ai1   a  n1 a12 a1 j a1n  ÷ a22 a2 j a2 n ÷ ÷ ÷ aij ain ÷ ÷ ÷ an anj ann ÷ n Kí hiệu Mij ma trận cấp (n – 1) có từ ma trận A bỏ hàng i, cột j Khi Mij gọi ma trận A ứng với phần tử aij Ví dụ  −2   −1  −2   ÷ , M = Với A =  −1÷ M 11 =  ÷ 23  ÷     0 ÷   Định nghĩa Giả sử A ma trận vuông cấp n Khi đó, định thức cấp n ma trận A, kí hiệu là: det(A) hay A , số thực định nghĩa cách qui nạp sau: a) Định thức cấp Giả sử A = (a11) ⇒ det (A) = a11 (1) b) Định thức cấp a12  a A =  11 ÷  a 21 a 22  ⇒ det (A) = a11 a12 = (-1)i +1a i1det(M i1 )+(-1)i + 2a i 2det(M i )=a 11a 22 − a 12a 21 a 21 a 22 (2) det (A) = a11 a12 = (-1)1+ j a1 j det(M1 j )+(-1) 2+ j a j det(M j )=a 11a 22 − a 12a 21 a 21 a 22 (3) Trong M i1 , M i , M j , M j ma trận A ứng với phần tử ai1 , , a1 j , a2 j Công thức (2) gọi công thức khai triển định thức theo hàng thứ i với i = 1, Công thức (3) gọi công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1, Bài giảng Toán cao cấp A1  a11 a12 a13   ÷ c) Định thức cấp 3: Giả sử : A =  a21 a22 a23 ÷ a ÷  31 a32 a33  Khi đó, ta có: a11 a12 a13 i +1 i+2 i +3 det A = a21 a22 a23 = ( −1) a i1det ( M i1 ) + ( −1) a i 2det ( M i ) + ( −1) a i 3det ( M i ) a31 a32 a33 (4) 1+ j 2+ j 3+ j det A = ( −1) a1 j det ( M j ) + ( −1) a j det ( M j ) + ( −1) a j det ( M j ) (5) Trong M i1 , M i , M i , M j , M j , M j ma trận A ứng với phần tử ai1 , , , a1 j , a2 j , a3 j Công thức (4) gọi công thức khai triển định thức theo hàng thứ i với i = 1, 2, Công thức (5) gọi công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1, 2, d) Định thức cấp n Giả sử ta định n ghĩa định thức cấp (n - 1) Khi đó, định thức cấp n ma trận A = ( aij ) n x n xác định sau: det A = ( −1) i +1 a i1det ( M i1 ) + ( −1) i+2 a i det ( M i ) + + ( −1) i+n a in det ( M in ) (6) hoặc: 1+ j 2+ j m+ j det A = ( −1) a1 j det ( M j ) + ( −1) a j det ( M j ) + + ( −1) a mj det ( M mj ) (7) Trong M i1 , M i , M i , , M in , M j , M j , M j , M nj ma trận A ứng với phần tử ai1 , , , , ain , a1 j , a2 j , a3 j , , anj Công thức (6) gọi công thức khai triển định thức theo hàng thứ i với i = 1, 2,…, n Công thức (7) gọi công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1, 2, ….,n Ví dụ Tính định thức −1 Giải Khai triển định thức theo hàng 1, ta được: −1 3 −1 =1 −3 + = − − ( −2 ) = − 5 Khai triển định thức theo cột 3, ta được: Bài giảng Toán cao cấp A1 +∞ Xét dãy hàm tổng riêng chuỗi n ∑ sin kx = k =1 sin ∑ sin nx , dãy hàm bị chặn n =1 nx n +1 sin x 1 2 ≤ ≤ x x ε sin sin sin 2   Còn dãy   giảm dần tới n → ∞ , theo dấu hiệu Dirichlet n chuỗi hàm cho hội tụ đề [ ε , π − ε ] Trường hợp b) Ta chứng minh trường hợp chuỗi hàm không hội tụ [ 0, π ] Trước hết để ý x = x = π chuỗi hàm cho hội tụ có tổng Với < x < π chuỗi hàm hội tụ theo tiêu chuẩn Dirichlet, miện hội tụ chuỗi hàm [ 0, π ] Bây với ε = sin1 > , với số tự nhiên n ta có:  1  2 sin 1 + ÷ sin 1 + ÷ 1 1  n +  n  + + sin ( ) S n  ÷− S n  ÷ = n +1 n+2 2n n n > sin1 sin1 sin1 sin1 + + + = = ε Vậy chuỗi hàm cho không hội tụ 2n 2n 2n 5.5.4 Tính chất tổng chuỗi hàm a) Tính liên tục +∞ Định lí : Cho chuỗi hàm ∑ u ( x ) Giả thiết rằng: n =1 n a) un hàm liên tục tập U với n = 1, 2, 130 Bài giảng Toán cao cấp A1 +∞ ∑ u ( x ) hội tụ U đến tổng S ( x ) , S b) Chuỗi hàm n n =1 hàm liên tục U Chứng minh: n Xét dãy hàm tổng riêng Sn ( x ) = ∑ uk ( x ) , theo giả thiết định lí k =1 chúng hàm liên tục Sn ( x ) hội tụ U đến S ( x ) , theo định lí 2.1 (tính liên tục) S ( x ) hàm liên tụ U Ta lưu ý định lí điều kiện đủ Ví dụ chuỗi hàm +∞ với x ∈ ( −1,1) có tổng hàm liên tục chuỗi hàm ∑ n =0 − x +∞ ∑x n =0 n không hội tụ ( −1,1)  sgn kx sgn ( k − 1) x  sgn nx − =  có tổng S ( x ) = lim n →∞ n + k k =1  k +  +∞ Ví dụ 2: Chuỗi hàm ∑ hàm liên tục ( −∞, +∞ ) nhiên hàm uk ( x ) = sgn kx sgn ( k − 1) x − k +1 k hàm gián đoạn x = Định lí : (Định lí Dini) Giả thiết rằng: +∞ a) Chuỗi hàm ∑ u ( x ) hội tụ [ a, b] đến tổng S ( x ) n =1 n b) un ( n = 1, 2, ) hàm liên tục [ a, b] un ( x ) ≤ ) với x ∈ [ a, b ] ∀n = 1, 2, c) S hàm liên tục [ a, b ] +∞ Khi chuỗi hàm ∑ u ( x ) hội tụ [ a, b] n =1 n 131 un ( x ) ≥ (hoặc Bài giảng Toán cao cấp A1 Chứng minh:(GT) { f n } dãy hàm đơn điệu hàm liên tục hội tụ đến Hệ quả: Nếu hàm f liên tục [ a, b ] dãy hàm hội tụ [ a, b ] b)Qua giới hạn số hạng +∞ ∑ u ( x ) , U tập hợp tập số thực Định lí : Cho chuỗi hàm n =1 n x0 điểm tụ U Giả sử rằng: a) Chuỗi hàm hội tụ U có tổng S un ( x ) = Cn với n = 1, 2, b) Tồn xlim →x Khi +∞ 1) Chuỗi số ∑C n =1 n hội tụ +∞ S ( x ) = ∑ Cn 2) xlim →x n =1 Chú ý: Kết luận 2) định lí tương đương với đẳng thức +∞ +∞ n =1 n =1 lim ∑ un ( x ) = ∑ lim un ( x ) giả thiết định lí thỏa mãn x→x x → x0 ta nói chuyển qua giới hạn số hạng chuỗi hàm Chứng minh:(GT) c)Tích phân số hạng +∞ Định lí : Cho chuỗi hàm ∑ u ( x ) Giả sử rằng: n =1 n a) un hàm khả tích [ a, b ] ∀n = 1, 2, +∞ b) Chuỗi hàm ∑ u ( x ) hội tụ [ a, b] có tổng S ( x ) n =1 n Khi 132 Bài giảng Toán cao cấp A1 1) S hàm khả tích [ a, b ] b +∞ b a n =1 a 2) ∫ S ( x ) dx = ∑ ∫ un ( x ) dx Chứng minh: n Theo giả thiết a) dãy hàm tổng riêng Sn ( x ) = ∑ uk ( x ) hàm khả k =1 tích [ a, b ] , theo giả thiết b) dãy hàm { Sn } hội tụ [ a, b ] đến hàm S, theo định lí 2.2 S hàm khả tích [ a, b ] b b b n ∫ S ( x ) dx = lim ∫ S ( x ) dx = lim ∫ ∑ u ( x ) dx n →∞ a n n →∞ a b +∞ b k =1 a k =1 a n a k =1 k = lim ∑ ∫ uk ( x ) dx = ∑ ∫ uk ( x ) dx n →∞ d) Lấy đạo hàm số hạng +∞ Định lí : Cho chuỗi hàm ∑ u ( x ) Giả thiết rằng: n n =1 a) Chuỗi hàm hội tụ điểm x0 thuộc ( a, b ) b) un hàm khả vi ( a, b ) ∀n = 1, 2, +∞ c) Chuỗi đạo hàm ∑ u ( x ) hội tụ ( a, b ) có tổng hàm n =1 ' n g ( x) Khi +∞ 1) Chuỗi hàm ∑ u ( x ) hội tụ ( a, b ) có tổng S ( x ) n =1 n ' 2) S hàm khả vi ( a, b ) S ( x ) = g ( x ) ∀x ∈ ( a , b ) 5.6 Chuỗi lũy thừa 5.6.1 Khái niệm chuỗi lũy thừa, bán kính hội tụ 133 Bài giảng Toán cao cấp A1 Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm số có dạng: +∞ ∑a x n=0 n n = a0 + a1 x + a2 x + + an x n + , an ∈ ¡ (1.1) x biến, số an hệ số x n Tổng quát, cho trước x0 , an ∈ ¡ , chuỗi hàm số: +∞ ∑ a (x − x ) n=0 n n = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )2 + (1.2) gọi chuỗi lũy thừa x − x0 (hay chuỗi lũy thừa x = x0 ) Đặt X = x − x0 , chuỗi (1.2) lại có dạng chuỗi (1.1) Vì cần xét chuỗi lũy thừa dạng (1.1) Chuỗi (1.1) hội tụ x = Về hội tụ nó, ta có: +∞ Định lí (Định lí Abel): Nếu chuỗi lũy thừa ∑a x n=0 n n hội tụ x0 ≠ hội tụ tuyệt đối điểm x mà x < x0 Chứng minh: Do chuỗi (1.1) hội tụ x = x0 nên có số hạng tổng quát có giới n hạn Vậy tồn số dương M cho an x0 < M , ∀n Từ đó: n n  x  x an x n = an x0 n  ÷ ≤ M , ∀n x x  0 Lại thấy, chuỗi +∞ ∑ n=0 x x0 n hội tụ với x < x0 Áp dụng dấu hiệu so sánh, ta nhận điều phải chứng minh Hệ quả: 134 Bài giảng Toán cao cấp A1 (i) Nếu chuỗi lũy thừa phân kỳ x1 phân kỳ x mà x > x1 (ii) Tồn số R ≥ để chuỗi +∞ ∑a x n=0 n n hội tụ khoảng (− R, R) , phân kỳ khoảng (−∞, − R) ∪ ( R, + ∞) Số R gọi bán kính hội tụ, khoảng (− R, R) gọi khoảng hội tụ Nhận xét: Từ hệ quả, miền hội tụ chuỗi lũy thừa có bốn dạng: (− R, R); (− R, R]; [ − R, R); [-R, R] Quy tắc tìm bán kính hội tụ Định lí : Nếu lim n n→+∞ +∞ lũy thừa ∑a x n=0 n 1 l  R = 0 +∞   n an = l lim n→+∞ an+1 = l bán kính hội tụ R chuỗi an xác định bởi: neáu < l < +∞ neáu l = +∞ neáu l = Chứng minh: +∞ Xét chuỗi lũy thừa ∑a x n=0 lim n→+∞ n an x n = lim n →+∞ n n n Theo dấu hiệu Cauchy dùng cho chuỗi số dương: an x = l x Nếu l = chuỗi hội tụ tuyệt x hay R = +∞ 135 Bài giảng Toán cao cấp A1 Nếu l = +∞ với x ≠ , lim n→+∞ n an x n = +∞ , chuỗi lũy thừa (1.1) phân kỳ, R = Nếu < l < +∞ chuỗi lũy thừa hội tụ với x cho x < phân kỳ với x l 1 mà x > Vậy R = l l Trường hợp nlim →+∞ an+1 = l chứng minh tương tự an Chú ý:a) Phương pháp tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa - Bước 1: Tìm bán kính hội tụ theo quy tắc - Bước 2: Xét hội tụ cuả chuỗi hai đầu mút –R R - Bước 3: Kết luận +∞ Ví dụ 1: Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∑ nx n=0 Lời giải: Ta thực bước sau: - Bước 1: Tìm bán kính hội tụ Ta có nlim →+∞ an+1 n +1 = lim = n→+∞ an n Suy khoảng hội tụ chuỗi (−1, 1) - Bước 2: Xét hai đầu mút Với x = −1 ta có chuỗi số +∞ ∑ (−1) n n phân kỳ n=0 +∞ Với x=1 ta có chuỗi số ∑ n phân kỳ n=0 136 n Bài giảng Toán cao cấp A1 - Bước 3: Kết luận Vậy miền hội tụ chuỗi lũy thừa (−1, 1) b)Phương pháp tìm miền hội tụ chuỗi hàm tùy ý - Cách 1: “ Lũy thừa hóa”, đưa chuỗi hàm cho chuỗi lũy thừa - Cách 2: Coi x tham số, x cố định thuộc tập xác định, chuỗi hàm trở thành chuỗi số Dùng dấu hiệu so sánh, dấu hiệu D’Alembert, Cauchy,…với chuỗi số để xét hội tụ (phải biện luận) +∞ Nhận xét: Nếu dùng dấu hiệu D’Alembert hay Cauchy với chuỗi số ∑ a (x) n =1 a ( x ) = +∞ Từ chuỗi (x tham số) mà ta nhận l > nlim →+∞ n n +∞ ∑ a (x) n =1 n phân kỳ n  n +1  2n Ví dụ 1: Tìm miền hội tụ chuỗi hàm ∑  ÷ ( x − 2) n =1  n +  +∞ Lời giải: Cách 1: “Lũy thừa hóa” n  n +1  n Đặt t = ( x − ) Chuỗi hàm trở thành ∑  ÷t n =1  n +  +∞ (1) n  n +1  Ta tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa (1) Ta có lim n  = ÷ n→+∞  2n +  Suy bán kính chuỗi lũy thừa (1): R = Khoảng hội tụ chuỗi (1) (-2,2) Ta có −2 < ( x − ) < suy − < x < + Vậy khoảng hội tụ chuỗi cho (2 − 2, + 2) 137 Bài giảng Toán cao cấp A1 n  n +1  n Xét x = ± ta có chuỗi ∑  ÷ phân kỳ n =1  n +  +∞ Cách 2: Coi x tham số 2n ( x − 2)  n +1  lim n an ( x ) = lim n  x − = ) ÷( n→+∞ n→+∞  2n +  n Theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi phân kỳ ( x − 2) 2 > , hội tụ hay − < x < + n  n +1  n Tại x = ± ta có chuỗi số ∑  ÷ phân kỳ n =1  n +  +∞ xn Ví dụ 2: Tìm miền hội tụ chuỗi hàm ∑ 2n n =1 + x +∞ Rõ ràng lũy thừa hóa chuỗi hàm Ta có:  x , x 1  2n Vậy với l < chuỗi hàm hội tụ Với x = ±1 chuỗi +∞ ∑ n =1 ( ±1) n a ≠ , chuỗi hàm phân kỳ nlim →+∞ n Vậy miền hội tụ chuỗi hàm là: ( −∞, − 1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, + ∞) 5.6.2 Các tính chất tổng chuỗi lũy thừa Tính liên tục 138 ( x − 2) 2 , tổng S ( x ) hàm liên tục khoảng hội tụ ( − R, R ) Chứng minh: Lấy x0 thuộc khoảng ( − R, R ) tồn r > cho x0 ∈ [ −r , r ] ⊂ ( − R, R ) Theo định lí 33.VIII chuỗi lũy thừa hội tụ [ −r , r ] số hạng hàm liên tục nên tổng S ( x ) chuỗi lũy thừa hàm liên tục [ −r , r ] S ( x ) hàm liên tục x0 , từ suy S ( x ) hàm liên tục điểm thuộc ( − R, R ) Tích phân số hạng +∞ Định lí : Giả sử chuỗi lũy thừa ∑a x n có bán kính hội tụ R > Khi tổng S n n =0 làm hàm khả tích đoạn [ a, b ] nằm khoảng hội tụ ( − R, R ) b b +∞ ∫ S ( x ) dx = ∑ a ∫ x dx n =0 a n n a an x n +1 Đặc biệt x ∈ ( − R, R ) ∫ S ( t ) dt = ∑ n=0 n + x +∞ Định lí suy từ định lí 1.1 Tính khả vi đạo hàm số hạng +∞ Định lí : Giả sử chuỗi lũy thừa ∑a x n =0 n n có bán kính hội tụ R > +∞ S ( x ) = ∑ an x n x ∈ ( − R, R ) Khi đó: n=0 +∞ a) Chuỗi lũy thừa ∑ na x n =0 n n −1 nhận cách đạo hàm số hạng chuỗi lũy thừa cho, có bán kính hội tụ R 139 Bài giảng Toán cao cấp A1 +∞ n −1 b) Tổng S hàm khả vi khoảng hội tụ ( − R, R ) S ′ ( x ) = ∑ nan x n =0 Hệ quả: +∞ Giả sử chuỗi lũy thừa ∑a x n =0 n n có bán kính hội tụ R > +∞ S ( x ) = ∑ an x n x ∈ ( − R, R ) Khi S hàm khả vi vô hạn khoảng hội tụ n=0 ( − R, R ) Chú ý: Từ định lí 4.3 ta suy chuỗi lũy thừa nhận từ việc đạo hàm hay tích phân số hạng chuỗi lũy thừa cho trước có bán kính hội tụ với chuỗi cho trước Tính chất tổng chuỗi lũy thừa hai đầu mút khoảng hội tụ Bây ta hay xét tính chất chuỗi lũy thừa hau đầu mút khoảng hội tụ Định lí (Định lí Abel) +∞ Giả sử chuỗi lũy thừa +∞ +∞ n =0 n =0 ∑a x n =0 n n có bán kính hội tụ R > chuỗi số +∞ ∑ an R n hội tụ ( ∑ ( −1) an R n hội tụ) Khi S ( x ) = ∑ an x n hàm liên tục bên n n=0 trái điểm x = R (liên tục bên phải điểm x = − R ) Chứng minh: Ta chứng minh hàm S liên tục bên trái điểm x = R , trường hợp lại chứng minh tương tự 140 Bài giảng Toán cao cấp A1 +∞ Theo giả thiết chuỗi số ∑a R +∞ n =0 n n hội tụ, áp dụng dấu hiệu Abel (Định lí 27.VII) ta +∞ n x suy chuỗi hàm ∑ an x = ∑ an R  ÷ hội tụ [ 0, R ] Áp dụng định lí R n =0 n =0 n n điều kiện chuyển qua giới hạn số hạng ta có: +∞ +∞ lim S ( x ) = ∑ lim an x n = ∑ an R n = S ( R ) x → R −0 n =0 x →R −0 n =0 Vậy hàm tổng chuỗi lũy thừa liên tục bên trái R 5.7 Chuỗi Fourier 5.7.1 Chuỗi lượng giác a0 ∞ + ∑ ( an cos x + bn sin x ) , Chuỗi lượng giá chuỗi hàm số có dạng n=1 a1 , bi , i = 1,2, n số Số hạng tổng quát hàm số tuần hoàn với chu kì un = an cos x + bn sin x 2π , liên tục khả vi cấp n Nếu hội tụ, tổng hàm số tuần hoàn với chu kì 2π Nếu ∞ ∞ n =1 n =1 chuỗi số ∑ an , ∑ bn hội tụ chuôĩ lượng giác Nếu f: ¡ → ¡ hàm số tuần hoàn chu kì 2π , khả tích [ −π , π ] , số an , bn cho công thức sau gọi hệ số Fourier an = π f ( x ) cos nxdx , n = 0,1, 2, π −∫π π bn = ∫ f ( x ) sin nxdx , n = 0,1, 2, π −π Chuỗi hàm số a0 ∞ + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) , an , bn hệ số Fourier f n =1 gọi chuỗi Fourier f 5.7.2 Chuỗi Fourier Bổ đề: Với p,k ∈¢ ta có hệ thức 141 Bài giảng Toán cao cấp A1 π ∫ sin kxdx = −π π ∫ cos kxdx = 0, k ≠ −π π ∫ cos kxsin pxdx = −π π 0, k ≠ p cos kxcos px =  ∫ π , k = p ≠ −π π 0, k ≠ p k = p≠0 ∫ sin kxsin px = π , −π Giả sử hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2π , khả tích [ −π , π ] , khai triển [ −π , π ] thành chuỗi lượng giác có dạng π a0 ∞ + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) , an , bn Để tính a0 = ∫ f ( x)dx từ ta tính π −π n =1 π ak = f ( x)cos kxdx, π −∫π bk = f ( x )sin kxdx, π −∫π π k = 1, 2, k = 1, 2, 5.7.3 Điều kiện để hàm số khai triển thành chuỗi Fourier Định nghĩa: Hàm số f: [ a, b] → ¡ gọi liên tục khuc chia [ a, b] số hữu hạn điểm a = x0 < x1 < x2 < < xn = b cho khoảng ( xi −1 , xi ) hàm f liên tục, có giới hạn phải hữu hạn xi −1 giới hạn trái hữu hạn xi Nếu f biến thiên đơn điệu khoảng ( xi −1 , xi ) ,ta nói f đơn điệu khúc Như f đơn điệu khúc hay f liên tục khúc bị chặn liên tục điểm [ a, b ] , trừ số hữu hạn điểm gián đoạn loại Bổ đề Nếu f: hàm số liên tục khúc b b lim ∫ f ( x)cosα xdx = 0, lim ∫ f ( x) sinα xdx = α →∞ a α →∞ a Hệ quả: Nếu f: ¡ → ¡ hàm số chu kì tuần hoàn 2π , liên tục khúc đoạn bị chặn [ a, b ] , an , bn hệ số Foureir lim an = lim bn = n →∞ n →∞ Bổ đề 2: Nếu f: ¡ → ¡ hàm số chu kì tuần hoàn 2π , liên tục khúc đoạn bị chặn, S n tổng riêng thư n chuỗi Fourier 142 Bài giảng Toán cao cấp A1 S n ( x) = 2π π ∫ −π 1  sin  n + ÷ 2  f ( x + n) du u sin Hệ quả: Ta có ∀n ∈ ¥ 2π π ∫ −π 1  sin  n + ÷ 2  f ( x + n) du = u sin Định lí1: Nếu f: ¡ → ¡ hàm số chu kì tuần hoàn 2π ,khả vi chuỗi Fourier hội tụ có tổng f(x), ∀x ∈ ¡ Định lí 2: Giả sử f: ¡ → ¡ hàm số chu kì tuần hoàn 2π , thỏa mãn hai điều kiện sautreen đoạn [ −π , π ] : - Hoặc f liên tục khúc có đạo hàm liên tục khúc - Hoặc f đơn điệu bị chặn Khi chuỗi Fourier f hội tụ điểm tổng S(x) f(x) điểm liên tục f Tại điểm gián đoạn C f ta có S (c ) = f (c + 0) + f (c − 0) 143 Bài giảng Toán cao cấp A1 144 [...]... Khi tt c cỏc phn t ca mt hng (mt ct) cú dng tng ca hai s hng thỡ nh thc cú th phõn tớch thnh tng ca hai nh thc: - Chng hn a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 + a21' a22 + a22' a23 + a23' = a21 a22 a23 + a21' a22' a23' a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33 9 Bi ging Toỏn cao cp A1 - nh thc ca ma trn s bng khụng nu tho món mt trong cỏc iu kin sau: + Cú mt hng (mt ct) gm ton l s khụng + Cú hai hng (hai... = 2, x3 = 3 d) H phng trỡnh dng hỡnh thang: H gm r phng trỡnh , n n ( vi r i) ann 11 Bi ging Toỏn cao cp A1 Ví dụ 2 Tính định thức 1 3 2 C=0 2 7 0 0 4 p dụng các tính chất của định thức ta có thể đa định thức về... phộp bin i tng ng h phng trỡnh a h ban u v h phng trỡnh cú dng tam giỏc hoc dng hỡnh thang ( hay ma trn h s A cú dng tam giỏc hoc dng hỡnh thang ) C th xột h phng trỡnh sau : a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a x + a x + + a x = b a '22 x2 + + a2 n xn = b2 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = bm a 'm 2 x2 + + amn xn = bm õy ta ó kh... = ữ ữ 0 0 arr arn gii h hỡnh thang ta gi li v trỏi cỏc n x1 , x2 , , xr (gi l n chớnh ) chuyn sang v phi cỏc n cũn li l xr +1 , xr + 2 , , xn ( gi l n t do ) Khi ú a11 x1 + a12 x2 + + a1r xr = b1 a1r +1 xr +1 a1n xn a22 x2 + + a2 r xr = b2 a2 r +1 xr +1 a2 n xn ta cú h arr xr = br arr +1 xr +1 arn xn Cho cỏc n t do nhn mt b giỏ tr tựy ý Khi ú h mi nhn c l h cú dng tam giỏc... ữ 0 2 1 2 20 Bi ging Toỏn cao cp A1 Gii : n chớnh l x1 , x2 x1 + 4 x2 3x3 + x4 = 5 x1 + 4 x2 = 5 + 3x3 x4 2 x2 + x3 2 x4 = 1 2 x2 = 1 x3 + 2 x4 Gỏn cho n x3 = , x4 = ta thu c h phng trỡnh tam giỏc : 1 + 2 x2 = x1 + 4 x2 = 5 + 3 2 suy ra vi , R 2 x = 1 + 2 2 x1 = 7 + 5 5 Vy h ban u cú vụ s nghim 1.4.2 H phng trỡnh Cramer a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a x + a x + +... s cú dng: a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a x + a x + + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = bm Trong ú x1, x2, , xn l cỏc n s cn tỡm ( (I) ) aij l h s ca phng trỡnh th i gn vi n x j i =1, m, j =1, n bi , i =1, m , v phi ca phng trỡnh th i n aij x j = b i Ta cú th vit h phng trỡnh (I) di dng j =1 (Dng vit thu gn ) i = 1, 2, , m 17 Bi ging Toỏn cao cp A1 Vớ d 1 :... nghim r ( A) r ( A) r ( A) = 2 và r ( A) = 3 a = 1, b 3 1.4.5 iu kin h phng trỡnh tuyn tớnh thun nht cú nghim khụng tm thng a11 x1 + a12 x 2 + + a1n x n = 0 a x + a x + + a x = 0 21 1 22 2 2n n a m1 x1 + a m 2 x 2 + + a mn x n = 0 28 (1) Bi ging Toỏn cao cp A1 Dng ma trn AX = 0 H thun nht (1) luụn cú nghim x1 = x2 = = xn = 0 gi l nghim tm thng nh lý: iu kin tn ti nghim khụng tm thng H ... thức: - Chẳng hạn a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 + a21' a22 + a22' a23 + a23' = a21 a22 a23 + a21' a22' a23' a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33 Bài giảng Tốn cao cấp A1 - Định thức ma... cột thứ j với j = 1, Bài giảng Tốn cao cấp A1  a11 a12 a13   ÷ c) Định thức cấp 3: Giả sử : A =  a21 a22 a23 ÷ a ÷  31 a32 a33  Khi đó, ta có: a11 a12 a13 i +1 i+2 i +3 det A = a21 a22...  a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1  a22 x2 + + a2 n xn = b2  (III )được gọi hệ phương trình    ann xn = bn dạng tam giác (với a11 , a22 , , ann ≠ ) 19 Bài giảng Tốn cao cấp A1  a11 a12