TRƯỜNG THPT PHÙ CỪ ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TỔ TOÁN - TIN MÔN: TOÁN – Ngày thi: 31/01/2016 – Lần Thời gian làm bài: 180 phút không kể giao đề (Đề gồm có trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = −x + 3x Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = Câu (1,0 điểm) ( ) ( x −1 đoạn 2;  2x − ) a) Giải phương trình: log x − x + log x + = x −1 1 b) Giải bất phương trình: 22x +1 <  ÷ 8 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = π ∫ ( 2x − − sin x ) dx ( ) Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x − y − 2z − = ( ) ( ) ( ) ( ) hai điểm A 2; 0; , B 3; −1;2 Viết phương trình mặt cầu S tâm I thuộc mặt phẳng P qua điểm A, B điểm gốc toạ độ O Câu (1,0 điểm) cos2α -3 sin α b) Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh trường THPT Phù Cừ có 10 học sinh đạt giải có học sinh nam học sinh nữ Nhà trường muốn chọn nhóm học sinh 10 học sinh để tham dự buổi lễ tuyên dương khen thưởng cuối học kỳ năm học 2015 – 2016 huyện uỷ Phù Cừ tổ chức Tính xác suất để chọn nhóm gồm học sinh mà có nam nữ, biết số học sinh nam số học sinh nữ Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy A BCD hình chữ nhật có AB = a, AD = a√3 Biết góc đường thẳng A’C mặt phẳng (ABCD) 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ khoảng cách hai đường thẳng chéo B’C C’D theo a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác A BC vuông cân A Gọi G trọng tâm tam giác A BC Điểm D thuộc tia đối tia A C cho GD = GC Biết điểm G thuộc d : 2x + 3y − 13 = đường thẳng tam giác nội tiếp đường tròn BDG a) Cho góc lượng giác α , biết t an α = Tính giá trị biểu thức P = (C ) : x + y − 2x − 12y + 27 = Tìm toạ độ điểm B viết phương trình đường thẳng BC , biết điểm B có hoành độ âm toạ độ điểm G số nguyên Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình sau tập ¡ : 5x − 13 − 57 + 10x − 3x ≥ x + 2x + x + − 19 − 3x Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: ( ) a +b +c 2a 3b c + + ≤ a + b + c +1 a +b +c + TRƯỜNG THPT PHÙ CỪ ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí TỔ TOÁN TIN MÔN: TOÁN – Ngày thi: 31/01/2016 – Lần Thời gian làm bài: 180 phút không kể giao đề (Đáp án gồm có trang) Câu Đáp án Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = −x + 3x Tập xác định: D = ¡ x = Ta có y ' = −3x + ⇒ y ' = ⇔  x = −1 Giới hạn  3 lim y = lim −x + 3x = lim x  −1 + ÷ = −∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ x    3 lim y = lim −x + 3x = lim x  −1 + ÷ = +∞ x →−∞ x →−∞ x →−∞ x   Bảng biến thiên −∞ x +∞ −1 − − + 0 f' x ( ) ( ) ( ) +∞ ( ) ( 0,25 0,25 f x Điểm Hàm số đồng biến khoảng −1;1 ( ) −∞ −2 ) 0,25 ( Hàm số nghịch biến khoảng −∞; −1 1; +∞ ) Hàm số đạt cực đạt điểm x = yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu điểm x = -1 yCT = -2 Đồ thị: Bảng giá trị x -2 -1 y -2 -2 y f(x)=-x^3+3*x 0,25 x -8 -6 -4 -2 -5 Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = đoạn 2;  ~2~ x −1 2x − VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Hàm số liên tục đoạn 2;  > 0, ∀x ∈ 2;  Ta có y ' = 2x − ( 0,25 ) ;y = Vậy max y = x = y = x = 2;4    2;4   Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình log x − x + log x + = ( ) ( ) Có y = 0,25 ( x > Điều kiện:   −4 < x < ( ) ( ) ( 0,25 0,25 ) ) ( 3 ( x + )  ⇔ x   ) ( 0,25 ) log x − x − log x + = ⇔ log x − x = log x + + log 3 ( ) ⇔ log x − x = log ( −x = x +4 ) x = −2 ⇔ x − 4x − 12 = ⇔  (thoả mãn) x = 0,25 Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2; x = x −1 1 b) Giải bất phương trình 22x +1 <  ÷ 8 Bất phương trình tương đương với 22x +1 < x −1 2−3 ( ) ⇔ 22x +1 < 2−x +1 0,25 ⇔ 2x + < −x + ( ) ⇔ x + 2x < ⇔ −2 < x < Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = −2; Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = 0,25 π ∫ ( 2x − − sin x ) dx I = π π 0 π π 0 ∫ ( 2x − − sin x ) dx = ∫ 2x dx − ∫ dx − ∫ sin xdx = A − B − C π A = ∫ 2x dx = x π 2 0 π = ( π π2 ; π B = ∫ dx = x = C = ∫ sin xdx = −cosx π ) π 0,25 0,25 =1 π2 π − −1 Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng Vậy I = A − B + C = 0,25 ( P ) : x − y − 2z − = hai điểm A ( 2; 0; ) , B ( 3; −1;2 ) Viết phương trình mặt cầu ~3~ 0,25 (S ) VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ( ) Giả sử I ( x , y , z ) Ta có I ∈ ( P ) ⇒ x − y − 2z − = tâm I thuộc mặt phẳng P qua điểm A , B điểm gốc toạ độ O ( 1) x − y + 2z = Do A, B , O ∈ S ⇒ IA = IB = IO Suy  x = x − y − 2z − = x =   ⇔ y = −2 ⇒ I 1; −2;1 Từ (1) (2) ta có hệ x − y + 2z = x = z =   0,25 ( ) ( ( 2) 0,25 ) 0,25 Bán kính mặt cầu (S) R = IA = ( ) ( Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x − + y + ) + ( z − 1) 2 0,25 =6 Câu (1,0 điểm) a) Cho góc lượng giác α , biết t an α = Tính giá trị biểu thức P = P = cos2α -3 sin α cos2α -3 2cos2α − = sin α − cos2α 0,25 1 ⇒ cos2α = = Suy P = − 2 cos α + t an α b) Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh trường THPT Phù Cừ có 10 học sinh đạt giải có học sinh nam học sinh nữ Nhà trường muốn chọn nhóm học sinh 10 học sinh để tham dự buổi lễ tuyên dương khen thưởng cuối học kỳ năm học 2015 – 2016 huyện uỷ Phù Cừ tổ chức Tính xác suất để chọn nhóm gồm học sinh mà có nam nữ, biết số học sinh nam số học sinh nữ + t an α = 0,25 ( ) Không gian mẫu n Ω = C 10 = 252 Gọi A biến cố học sinh chọn có nam nữ đồng thời số học sinh nam học sinh nữ Trường hợp 1: Chọn học sinh nam học sinh nữ nên ta có C C 0,25 Trường hợp 2: Chọn học sinh nam học sinh nữ nên ta có C C ( ) Suy n A = C C + C C = 180 Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng A BCD A ' B 'C ' D ' , đáy A BCD hình chữ nhật có A B = a, A D = a Biết góc đường thẳng A 'C mặt phẳng A BCD ( ) Vậy xác suất cần tìm P A = ( 0,25 ) 600 Tính thể tích khối lăng trụ A B CD A ' B 'C ' D ' khoảng cách hai đường thẳng chéo B ' C C ' D theo a ( ) Do A BCD A ' B 'C ' D ' lăng trụ đứng nên A ' A ⊥ A BCD ( ) 0,25 · 'CA = 600 Suy góc A 'C mặt phẳng A BCD A Có A C = A B + BC = 2a ⇒ A ' A = A C t an 600 = 2a ABCD hình chữ nhật có A B = a, A D = a ⇒ S A BCD = A B A D = a Vậy thể tích khối lăng trụ A BCD A ' B 'C ' D ' V = A ' A S A BCD = 6a ~4~ 0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Do C’D//AB’ nên C’D//(AB’C) 0,25 ( ( ) ( Suy d C ' D, B 'C = d C ' D, A B 'C ) ) = d ( C ', ( A B 'C ) ) = d ( B, ( A B 'C ) ) Do BC’ giao với mp(AB’C) trung điểm BC’ (vì BCC’B’ hình chữ nhật) ( ) ( ) ( ) ⊥ ( A B 'C ) hay d ( B, ( A B 'C ) ) = BH Kẻ BM ⊥ A C ⇒ A C ⊥ BB ' M ⇒ A B 'C ⊥ BB ' M theo giao tuyến B’M Kẻ BH ⊥ B ' M ⇒ BH Có 0,25 1 1 1 17 2a 51 = + = + + = ⇒ BH = 2 2 2 17 BH B 'B BM B 'B BC AB 12a ( ) Vậy d C ' D, B 'C = 2a 51 17 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác A BC vuông cân A Gọi G trọng tâm tam giác A BC Điểm D thuộc tia đối tia A C cho GD = GC Biết điểm G thuộc đường thẳng d : 2x + 3y − 13 = tam ( ) 2 giác BDG nội tiếp đường tròn C : x + y − 2x − 12y + 27 = Tìm toạ độ điểm B viết phương trình đường thẳng BC , biết điểm B có hoành độ âm toạ độ điểm G số nguyên Tam giác ABC vuông cân A có G trọng tâm nên GB = GC Mà GD = GC nên tam giác BCD nội tiếp đường tròn tâm G Suy · · · BGD = 2BCD = 2BCA = 900 ⇒ BG ⊥ GD Hay tam giác BDG vuông cân G Đường tròn (C) tâm I(1;6) bán kính R = 10 ngoại tiếp tam giác BDG nên I trung điểm BD Do IG = 10 IG ⊥ BD  13 − 2m  Vì G ∈ d : 2x + 3y − 13 = ⇒ G  m ; ÷   G 2;  Từ IG = 10 ⇒   28 75  , toạ độ điểm G số nguyên nên G(2;3) G  − 13 ; 13 ÷    BD qua I(1;6) IG ⊥ BD nên phương trình x − 3y + 17 = 0,25 ( ) 0,25 ( ) ( ) B −2;5 B , D ∈ BD ∩ C ⇒  (do hoành độ điểm B âm) D 4;7 ( ) ( Vậy B −2;5 ) Gọi M trung điểm BC ta có AM = MB = MC (do ABC vuông cân A) 1 Suy A M ⊥ BC ⇒ GM ⊥ MB GM = A M = MB 3 MG · · = ⇒ cosGBM = Nên t an GBM = MB 10 ur 2 Gọi n = a, b với a + b ≠ VTPT BC uuur uuur Ta có VTCP BG BG = 4; −2 ⇒ n BG = 1;2 VTPT BG ( ) ( ( ) ) ( ) ~5~ 0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí uuur ur n n uuur ur uuur ur BG · = uuur ur Có cos BG , BC = cos n BG , n ⇔ cosGBM = cos n BG , n ⇔ 10 n BG n ( ) ( ) ) ( a − b = ⇔ 35a − 40ab + 5b2 = ⇔  7a − b = 10 a + b2  ur Trường hợp 1: Với a − b = ⇒ n = 1;1 nên phương trình BC : x + y − = ur Trường hợp 2: Với 7a − b = ⇒ n = 1;7 nên phương trình BC : x + 7y − 33 = ⇔ a + 2b = ( ) ( ) ( ) Do hai điểm D G mằn phía đường thẳng BC nên phương trình 0,25 BC thoả mãn x + y − = ( Vậy BC : x + y − = B −2;5 ) Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình sau tập ¡ : 5x − 13 − 57 + 10x − 3x x + − 19 − 3x  19  −3 ≤ x ≤ Điều kiện  x ≠  Bất phương trình tương đương ( x + − 19 − 3x ) (2 x + + 19 − 3x x + − 19 − 3x ) ≥x ≥ x + 2x + 0,25 + 2x + ⇔ x + + 19 − 3x ≥ x + 2x +  x + 5  13 − x  ⇔ 2 x + − ÷ +  19 − 3x − ÷≥ x + x −     ( −x − x + 0,25 ) −x − x + ⇔ + ≥ x2 + x −   x + 5 13 − x  9 x + + ÷  19 − 3x + ÷       2 ⇔ x +x −2  +   x + 5 9  x + + ÷    ( ) Vì  x + 5 9 x + + ÷   ( ) +   ≤0   13 − x   19 − 3x + ÷     13 − x   19 − 3x + ÷   >0 {} Vậy tập nghiệm bất phương trình S =  −2;1 Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: ( ) a +b +c 2a 3b c + + ≤ a + b + c +1 a +b +c + Bất đẳng thức tương đương với ~6~ 0,25  19  với x ∈  −3;  \ 3  Do * ⇔ x + x − ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ (thoả mãn) 10 ( *) 0,25 ( 1) 0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí a + 2a   b + 3b   c + c  a +b +c + 6 a +b +c − − − −  ÷+  ÷+  ÷≥ a + 2  b + 3  c + 1 a +b +c +  ( ( a − ) + ( b − ) + ( c − 1) ≥ ( a + b + c − ) ⇔ ( a + ) ( b + ) ( c + 1) ( a + b + c + ) ( a − ) + ( b − ) + ( c − 1) ≥ ( a + b + c − ) ⇔ 2 2 2 0,25 ( 2) a +2 b+3 c +1 a +b +c + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) 0,25  a −2 + b − + c −1   = a +b + c − =VP VT ≥  a +b +c + a +2 + b + + c +1 ( ) ) ( ) Dấu xảy a = 2;b = 3; c = Vậy bất đẳng thức (2) Do bất đẳng thức (1) chứng minh Chú ý: Mọi cách làm khác học sinh chấm điểm bình thường! Giáo viên đề: Quách Đăng Thăng ~7~ 0,25 ... biểu mẫu miễn phí TỔ TOÁN TIN MÔN: TOÁN – Ngày thi: 31/01 /2016 – Lần Thời gian làm bài: 180 phút không kể giao đề (Đáp án gồm có trang) Câu Đáp án Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thi n vẽ đồ thị (C)... b) Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh trường THPT Phù Cừ có 10 học sinh đạt giải có học sinh nam học sinh nữ Nhà trường muốn chọn nhóm học sinh 10 học sinh để tham dự buổi lễ tuyên dương khen... thưởng cuối học kỳ năm học 2015 – 2016 huyện uỷ Phù Cừ tổ chức Tính xác suất để chọn nhóm gồm học sinh mà có nam nữ, biết số học sinh nam số học sinh nữ + t an α = 0,25 ( ) Không gian mẫu n Ω = C