1 Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 ÔN HÌNH KHÔNG GIAN LỚP 11 KỲ Bài toán 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (α) () Phương pháp: Cách 1: Xác định hai điểm chung hai mặt phẳng  A  ( )  (  ) AB  ( )  (  )  B  ( )  (  ) Nếu  Hình Cách 2: Xác định điểm chung song song với đường thẳng Dựa vào định lý sau: ( )  ( )  a  * Định lý 2: (SGK trang 57) Nếu (  )  ( )  b ( )  (  )  c  a / /b  * Hệ quả: Nếu  a  ( ), b  (  ) ( )  (  )  d  Hình d / / a / /b  d truøng vôùi a   d truøng vôùi b Hình Hình  a / /( )  * Định lý 2: (SGK trang 61) Nếu  a  (  ) ( )  (  )  b  ( ) / / d  * Hệ : Nếu ( ) / / d ( )  (  )  a   a / /b / / c   a, b, c ñoàng quy thì a // d (hình 5) (hình 6) ( ) / /(  ) ( )  ( )  a * Định lý 3: (SGK trang 67) Nếu  a // b ( )  ( )  b a / /b  (hình 7) Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình Hình Hình Bài 1: Trong mp(α) cho tứ giác ABCD có AB CD cắt E, AC BD cắt F Gọi S điểm nằm mp(α) Tìm giao tuyến mp sau: a) mp(SAC) mp(SBD) b) mp(SAB) mp(SCD) c) mp(SEF) mp(SAD) Nhận xét: Với câu a, b học sinh dễ dàng tìm giao tuyến Lời giải: a) Ta có S  (SAC)  (SBD) (1) ; F = AC  BD  F  (SAC)  (SBD) (2) Từ (1) (2) suy : SF = (SAC)  (SBD) b) Ta có S  (SAB)  (SCD) (1) ; E = AB  CD  E  (SAB)  (SCD) Từ (1) (2) suy : SE = (SAB)  (SCD) c) Trong mp(ADE) kéo dài EF cắt AD N (2) Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Xét hai mp(SAD) (SEF) có: S  (SAD)  (SEF) ; N  (SAD)  (SEF) Vậy : SN = (SAD)  (SEF) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang (AB // CD) a) Tìm giao tuyến hai mp(SAD) (SBC) b) Tìm giao tuyến hai mp(SAB) (SDC) Lời giải: a) Ta có S điểm chung thứ Trong mp(ABCD) có AD cắt BC E  E  AD  E  (SAD )    E  BC  E  (SBC ) Suy : SE = (SAD)  (SBC) b) Ta có S điểm chung thứ  AB  (SAB)  Lại có: CD  ( SCD)  (SAB)  ( SCD)  S x S x / / AB / / CD  AB / /CD  Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AD BC a) Tìm giao tuyến hai mp(IBC) (JAD) b) M điểm đoạn AB, N điểm đoạn AC Tìm giao tuyến mp(IBC) (DMN) Lời giải: A a) Ta có: I  AD  I  (JAD) Vậy I điểm chung I mp(IBC) (JAD) (1) Ta có: J  BC  J  (IBC) Vậy J điểm chung D B mp(IBC) (JAD) (2) J b) Trong mp(ACD) có : CI cắt DN E Vậy E điểm chung hai mp(IBC) (DMN) C A Từ (1) (2) ta có : IJ = (IBC)  (JAD) M I F (3) Trong mp(ABD) có : BI cắt DM F E N D B C Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Vậy F điểm chung hai mp(IBC) (DMN) (4) Từ (3) (4) ta có : EF = (IBC)  (DMN) Bài toán : Tìm giao điểm đường thẳng d mp(α) Hình Hình Phương pháp : * Muốn tìm giao điểm đường thẳng d với mp(α) ta tìm giao điểm đường thẳng d với đường thẳng a nằm mp(α) (hình 8) A d A = d  (α)  A  a  ( ) Tóm tắt : Nếu  * Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có hình vẽ ta tìm a sau: - Tìm mp() chứa d cho mp() cắt mp(α) - Tìm giao tuyến a hai mp(α) mp() (hình 9) Ví dụ : Bài : Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AB AD cho AJ  AD Tìm giao điểm đường thẳng IJ với mp(BCD) Lời giải : Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Trong ABD có : AJ  AD AI  AB , suy IJ không song song BD  K  IJ  K  BD  ( BCD ) Gọi K  IJ  BD   Vậy K = IJ  (BCD) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (AB // CD) Gọi I, J trung điểm SA SB, M điểm tùy ý thuộc đoạn SD a) Tìm giao điểm đường thẳng BM với mp(SAC) b) Tìm giao điểm đường thẳng IM với mp(SBC) c) Tìm giao điểm đường thẳng SC với mp(IJM) Lời giải: a) Ta có BM  (SBD) Xét mp(SAC) (SBD) có S điểm chung thứ Gọi O = AC  BD  O điểm chung thứ hai (1) (2) Từ (1) (2)  SO = (SAC)  (SBD) Trong mp(SBD) có BM cắt SO P Vậy P = BM  (SAC) 6 Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 b) Ta có IM  (SAD) Xét hai mp(SAD) (SBC) có: S điểm chung thứ Gọi E = AD  BC  E điểm chung thứ hai  SE = (SAD)  (SBC) Trong mp(SAE) có IM cắt SE F Vậy F = IM  (SBC) c) Ta có SC  (SBC) Xét mp(IJM) (SBC) ta có : JF = (IJM)  (SBC) Trong mp(SBE) có JF cắt SC H Vậy H = SC  (IJM) Bài : Cho hình chóp S.ABCD có AB CD không song song Gọi M điểm thuộc miền SCD a) Tìm giao điểm N đường thẳng CD mp(SBM) b) Tìm giao tuyến hai mp(SBM) (SAC) c) Tìm giao điểm I đường thẳng BM mp(SAC) d) Tìm giao điểm P đường thẳng SC mp(ABM), từ suy giao tuyến hai mp(SCD) (ABM) e) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(ABM) Lời giải : a) Trong mp(SCD) có SM cắt CD N  N  SM  N  ( SBM )    N  CD  (SBM )  N  CD  N  CD b) Trong mp(ABCD), ta có: AC  BD = O O  AC O  ( SAC )    SO  ( SAC )  ( SBN ) O  BN O  ( SBN ) c) Trong mp(SBN), ta có BM cắt SO I Mà SO  (SAC)  I = BM  (SAC) d) Trong mp(SAC), ta có SC cắt AI P Mà AI  (ABM)  P = SC  (ABM) Trong mp(SCD), ta có PM cắt SD K 7 Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97  K  PM  K  ( ABM )    PK  ( ABM )  ( SCD)  K  SD  K  ( SCD) e) Ta có : (ABM)  (ABCD) = AB (ABM)  (SBC) = BP (ABM)  (SCD) = PK (ABM)  (SAD) = KA Vậy tứ giác ABPK thiết diện cần tìm Bài tập rèn luyện : Bài : Cho hình bình hành ABCD nằm mp(P) điểm S nằm mp(P) Gọi M điểm nằm S A; N điểm nằm S B; giao điểm hai đường thẳng AC BD O a) Tìm giao điểm đường thẳng SO với mp(CMN) b) Tìm giao tuyến hai mp(SAD) (CMN) c) Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mp(CMN) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD.Trong SBC lấy điểm M, SCD lấy điểm N a) Tìm giao điểm đường thẳng MN với mp(SAC) b) Tìm giao điểm SC với mp(AMN) c) Tìm thiết diện hình chóp cắt mp(AMN) Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB, CD Gọi E điểm thuộc đoạn AN ( không trung điểm AN) Q điểm thuộc đoạn BC a) Tìm giao điểm EM với mp(BCD) b) Tìm giao tuyến hai mp(EMQ) (BCD) ; (EMQ) (ABD) c) Tìm thiết diện cắt tứ diện mp(EMQ) Bài toán 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mp(α) * Phương pháp: (Định lí SGK trang 61)  d  ( )  Tóm tắt: Nếu  d / / a d // (α)  a  ( )  Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Ví dụ: Bài 1: Cho hình lăng trụ tam giác ACB.A’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’ a) Tìm giao tuyến hai mp(AB’C’) (ABC) b) Chứng minh CB’ // (AHC’) Lời giải: C' H  A  ( AB ' C ') a) Ta có :   A  ( ABC ) A' B'  A điểm chung (AB’C’) (ABC) I  B ' C '/ / BC  Mà  B ' C '  ( AB ' C ')  BC  ( ABC )  nên (AB’C’)  (ABC) = Ax Ax // BC // B’C’ C A b) Ta có tứ giác AA’CC’ hình bình hành x B Suy A’C cắt AC’ trung điểm I đường Do IH // CB’ (IH đường trung bình CB’A’) Mặt khác IH  (AHC’) nên CB’ // (AHC’) Bài : Cho tứ diện ABCD, gọi M, N trọng tâm ABD ACD Chứng minh : a) MN // (BCD) b) MN // (ABC) Lời giải : A a) Gọi E trung điểm BD ; F trung điểm CD Trong ABD ta có: AM  (M trọng tâm AE M ABD) N Trong ACD ta có: AN  (N trọng tâm AF ACD) Vậy B E D F C AM AN   MN / / EF AE AF Mà EF  (BCD)  MN // (BCD) b) Trong BCD có : EF đường trung bình Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97  EF // BC  MN // EF // BC  MN // (ABC) Bài 3: (Bài trang 63 sgk) Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng a) Gọi O O’ tâm ABCD ABEF Chứng minh OO’ song song với (ADF) (BCE) b) Gọi M N trọng tâm ABD ABE Chứng minh : MM // (CEF) Lời giải: C D a) Ta có : OO’ // DF (OO’ đường trung O bình BDF ) A Mà DF  (ADF)  OO’ // (ADF) B O' Ta có : OO’ // CE (OO’ đường trung bình F E ACE ) C Mà CE  (BCE)  OO’ // (BCE) D O M b) Gọi H trung điểm AB Ta có : H A HM HN   HD HE  MN // DE mà DE  (CEFD)  (CEF) B N O' F E Vậy MN // (CEF) Bài toán : Chứng minh hai mp(α) mp() song song * Phương pháp : (Định lí SGK trang 64) Tóm tắt :  a, b  ( P )  Nếu  a  b  I (P) // (Q)  a / /(Q), b / /(Q)  Ví dụ : Bài : Cho hình chóp SABCD đáy hình bình hành ABCD, AC cắt BD O Gọi M, N trung điểm SC, CD Chứng minh (MNO) // (SAD) 10 Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Lời giải : Trong SCD có MN đường trung bình  MN // SD mà SD  (SAD)  MN // (SAD) (1) Trong SAC có MO đường trung bình  MO // SA mà SA  (SAD)  MO // (SAD) (2) Từ (1) (2) suy (MNO) // (SAD) Bài 2: Cho hai hình vuông ABCD ABEF hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC BF lấy điểm M N cho AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M N cắt AD AF M’ N’ Chứng minh rằng: a) mp(ADF) // mp(BCE) b) mp(DEF) // mp(MM’N’N) Lời giải: a) Ta có: AF // BE  (BCE) AD // BC  (BCE)  AF AD song song với mp(BCE) mà AF, AD  (ADF) Vậy : (ADF) // (BCE) b) Ta có: MM’ // AB mà AB // EF  MM’ // EF  (DEF) Mặt khác : MM’ // CD  (*) AM ' AM  AD AC NN’ // AB  AN ' BN  AF BF Mà AM = BN, AC = BF  AM BN  AC BF (1) ( 2) (3) 11 Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Từ (1), (2) (3)  AM ' AN '   M ' N '/ / DE  ( DEF ) AD AF Mà MM’, M’N’  (MM’N’N) (**) (***) Từ (*), (**), (***)  (DEF) // (MM’N’N) Bài 3: (Bài trang 71 sgk) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh hai mp(BDA’) (B’D’C) song song b) Chứng minh đường chéo AC’ qua trọng tâm G1 G2 hai tam giác BDA’ B’D’C Lời giải:  BD / / B ' D '  BD / /(CB ' D ')  B ' D '  (CB ' D ') a) Ta có:   A ' D / / B 'C  A ' D / /(CB ' D ')   B ' C  (CB ' D ')  BD, A ' D / /(CB ' D ')  ( BDA ') / /(CB ' D ')  BD, A ' D  ( BDA ') Ta có :  b) Ta có : CC’ // BB’ // AA’ CC’ = BB’ = AA’ nên AA’C’C hình bình hành Gọi I tâm hình bình hành AA’C’C Gọi O, O’ tâm hình bình hành ABCD A’B’C’D’ Trong mp(AA’C’C) gọi G1 = AC’  A’O ; G2 = AC’  CO’  G1 , G2 trọng tâm AA’C CC’A’  A’G = 2G1O CG2 = 2G2O’ (*) Xét hai BDA’ B’D’C có A’O CO’ hai trung tuyến nên từ (*) suy G1 , G2 trọng tâm BDA’ B’D’C Bài tập rèn luyện: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SA 1) Xác định giao tuyến d hai mp (MBD) (SAC) Chứng tỏ d // mp(SCD) 2) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp (MBC) Thiết diện hình gì? Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi E điểm thuộc miền tam giác SCD 12 Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 1) Tìm giao tuyến hai mp(SAC) (SBE) Tìm giao điểm BE với (SAC) 2) Xác định thiết diện tạo hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (ABE) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SB, SC 1) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) Tìm giao điểm H đường thẳng AN mặt phẳng (SBD) 2) Gọi I giao điểm AM DN Chứng minh SI // (ABCD) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SC 1) Tìm giao tuyến mp(ABM) mp(SBD) 2) Gọi N giao điểm SD với mp(ABM).Chứng minh MN // mp(SAB) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O 1) Xác định giao tuyến mp ( SAB ) (SCD) Gọi I trung điểm SA , tìm giao điểm IC mp(SBD) 2) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(IBC) Bài 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với AB đáy lớn Gọi M, N hai điểm hai cạnh SA , SB cho AM = 2SM 3SN = SB 1) Tìm giao tuyến (SAD) (SBC), (SAB) (SCD) 2) Chứng minh MN song song với mp(SCD) Bài 7: Cho hình chóp đỉnh S có đáy hình thang ABCD với AB đáy lớn Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh SB SC 1) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng : (SAD) (SBC) 2) Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) 3) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AMN) [...]... Gọi N là giao điểm của SD với mp(ABM).Chứng minh MN // mp(SAB) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O 1) Xác định giao tuyến của 2 mp ( SAB ) và (SCD) Gọi I là trung điểm của SA , tìm giao điểm của IC và mp(SBD) 2) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(IBC) Bài 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh... Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (ABE) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, SC 1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) Tìm giao điểm H của đường thẳng AN và mặt phẳng (SBD) 2) Gọi I là giao điểm của AM và DN Chứng minh rằng SI // (ABCD) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M là... là hình bình hành Gọi I là tâm của hình bình hành AA’C’C Gọi O, O’ lần lượt là tâm hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ Trong mp(AA’C’C) gọi G1 = AC’  A’O ; G2 = AC’  CO’  G1 , G2 lần lượt là trọng tâm AA’C và CC’A’  A’G = 2G1O và CG2 = 2G2O’ (*) Xét hai BDA’ và B’D’C có A’O và CO’ là hai trung tuyến nên từ (*) suy ra G1 , G2 lần lượt là trọng tâm BDA’ và B’D’C Bài tập rèn luyện: Bài 1: Cho hình. .. lượt là trọng tâm BDA’ và B’D’C Bài tập rèn luyện: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm của cạnh SA 1) Xác định giao tuyến d của hai mp (MBD) và (SAC) Chứng tỏ d // mp(SCD) 2) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (MBC) Thiết diện đó là hình gì? Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi Gọi E là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD... (SAD) và (SBC), (SAB) và (SCD) 2) Chứng minh MN song song với mp(SCD) Bài 7: Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC 1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng : (SAD) và (SBC) 2) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) 3) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN) .. .11 Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Từ (1), (2) và (3)  AM ' AN '   M ' N '/ / DE  ( DEF ) AD AF Mà MM’, M’N’  (MM’N’N) (**) (***) Từ (*), (**), (***)  (DEF) // (MM’N’N) Bài 3: (Bài 3 trang 71 sgk) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh rằng hai mp(BDA’) và (B’D’C) song song nhau b) Chứng minh rằng ... ABCD hình vuông tâm O 1) Xác định giao tuyến mp ( SAB ) (SCD) Gọi I trung điểm SA , tìm giao điểm IC mp(SBD) 2) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(IBC) Bài 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình. .. Bài tập rèn luyện: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SA 1) Xác định giao tuyến d hai mp (MBD) (SAC) Chứng tỏ d // mp(SCD) 2) Xác định thiết diện hình. .. ABD có : AJ  AD AI  AB , suy IJ không song song BD  K  IJ  K  BD  ( BCD ) Gọi K  IJ  BD   Vậy K = IJ  (BCD) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (AB // CD) Gọi I, J trung