Equation Chapter Section BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI ĐÌNH HẠNH MỘT CƠ SỞ CHO ĐẠI SỐ q-BRAUER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NghệAn – 201 1 MỤC LỤC Trang MỤCLỤC .1 CÁC KÝ HIỆU .2 MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Nhóm đối xứng Sn 1.2 Đại số Hecke nhóm đối xứng 1.3 Đại số Brauer .8 CHƯƠNG 2.ĐẠI SỐ q-BRAUER 2.1.Các định nghĩa 15 2.2.Một số tính chất đại số q-Brauer 20 * 2.3 Mô đun Vk đại số Brn (r , q) .21 CHƯƠNG 3.MỘTCƠ SỞ VÀ MỘT ĐỐI ĐẲNG CẤU CỦA ĐẠI SỐqBRAUER 3.1 Cơ sở đại số q-Brauer 23 3.2 Đối đẳng cấu đại số q-Brauer .26 3.3 Thuật toán dùng để sản xuất phần tử sở củađại số q-Brauer 36 3.4 So sánh hai sở đại số q-Brauer 41 KẾTLUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 2 CÁC KÍ HIỆU Brn ( r , q ) Đại số q-Brauer phiên hai tham số r, q Brn ( N ) Đại số q-Brauer phiên tham số N Dn ( N ) Đại số Brauer với tham số N Dn ( x ) Đại số q-Brauer với tham số x Sn Nhóm đối xứng (nhóm hoán vị) n phần tử Hn ( q) Đại số Hecke nhóm đối xứng Sn Vk Không gian vec tơ Vk* Không gian vec tơ đối ngẫu l( d) Hàm độ dài biểu đồ d ¢  q, q −1  Vành đa thức MỞ ĐẦU Đối ngẫu Schur-Weyl liên hệ lý thuyết biểu diễn nhóm tuyến tính tổng quát GLN (£ ) với lý thuyết biểu diễn nhóm đối xứng S qua tác động trung tâm n N ⊗n hóa đồng thời hai nhóm không gian lũy thừa ten xơ (£ ) Vào năm 1937, R Brauer [2] giới thiệu đại số, mà ngày gọi đại số Brauer Những đại số xuất tình tương tự vai trò nhóm đối xứng đối ngẫu Schur-Weyl Nghĩa là, nhóm tuyến tính tổng quát GLN (£ ) thay nhóm SympleticSp(2N) nhóm trực giaoSO(N) nhóm đối xứng thay đại số q-Brauer Tiếp sau đó, q-biến thể đại số Brauer tìm Birman Wenzl[1]và độc lập Murakami[6] kết nối với lý thuyết Knot nhóm lượng tử Ngày đại số gọi đại số BMW Vào năm 2012, đại số giới thiệu Giáo sư Wenzl [10] thông qua định nghĩa phần tử sinh mối quan hệ chúng Đại số đặt tên đại số q-Brauer biết đến q-biến thể khác đại số Brauer chứa đại số Hecke nhóm đối xứng đại số tự nhiên Trong [10] Wenzl chứng minh rằng, mở rộng trường số hữu tỉ với tham sốr, q, đại số q-Brauer nửa đơn đẳng cấu với đại số Brauer Một số ứng dụng đại số q-Brauer tìm thấy nghiên cứu vành biểu diễn nhóm trực giao nhóm Sympletic [9] phạm trù mô đun phạm trù liên hợp kiểu A thành phần tương ứng kiểu II 1[11] Đại số mong chờ có nhiều ứng dụng khí thống kê, lý toán, lý thuyết Knot, lý thuyết toán tử, lý thuyết biểu diễn… đại số BMW có Tuy nhiên, giới Việt Nam chưa có nhiều nghiên cứu sâu sắc đại số q- 4 Brauer nhằm khám phá tính chất cấu trúc đại số nghiên cứu TS Nguyễn Tiến Dũng [4], [5] Do đó, với mong muốn giới thiệu bước đầu tìm hiểu sâu đại số qBrauer,chúng chọn đề tài:“Một sở cho đại số q-Brauer” Đề tài nhằm mục đích trình bày lại số tính chất đại số qBrauer sau giới thiệu sở cho đại số dựa tài liệu[4].Luận văn trình bày chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương trình bày lại số kiến thức đại số Brauer Những kiến thức sử dụng việc xây dựng sở cho đại số qBrauer chương Chương 2: Đại số q-Brauer * Chương trình bày định nghĩa, tính chất đại số q-Brauer mô đun Vk đại số Brn (r , q ) Chương 3: Một sở phản tự đẳng cấu đại số q-Brauer Chương trình bày kết luận văn Trong chương chúng giới thiệu sở cho đại số q-Brauer trình bày thuật toán để tìm phần tử sở Luận văn hoàn thành trườngĐại học Vinh hướng dẫn TS Nguyễn Tiến Dũng Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Tiến Dũng, người dẫn dắt hướng dẫn tận tình trình tác giả làm luận văn Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy, cô giáo khoa sư phạmToán học – Trường Đại học Vinh giành thời gian giảng dạy nhiệt tình, truyền đạt kiến thức bổ ích cho Trong trình học tập nghiên cứu có nhiều cố gắng, nỗ lực thân thời gian kiến thức nhiều hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý thầy, cô bạn để luận văn hoàn thiện 5 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Nhóm đối xứng Sn 1.1.1 Định nghĩa Nhóm đối xứng S n gồm tất song ánh từ {1, 2, 3, , n} vào với phép toán nhóm phép hợp thành ánh xạ Các phần tử π ∈ Sn gọi hoán vị 1.1.2 Kí hiệu Đối với hoán vị π bất kỳ, ta thường sử dụng ba cách kí hiệu khác sau Cách 1: Kí hiệu hai dòng dãy π= π (1) π (2) π (3) n π ( n) Ví dụ 1.Xét với π ∈ S5 ta có: π (1) = 2, π (2) = 3, π (3) = 1, π (4) = 4, π (5) = Thì hai dòng π= 2 3 4 5 Cách 2: Mô tả hoán vị π dòng Theo cách mô tảnày dòng cố định Do cách mô tả thứ hai lấy dòng thứ hai cách Cách 3: Mô tả hoán vị π thông qua kí hiệu xích Với i ∈ {1, 2, 3, , n} cho trước, phần tử dãy i, π ( i ) , π ( i ) , hoàn toàn phân p biệt Chọn lũy thừa cho π ( i ) = i, ta có xích ( i, π ( i ) , , π ( i ) ) p -1 Một cách tương đương, ta định nghĩa xích ( i, j, k , , l ) có nghĩa π biến i thành j, j biến thành k, , l biến thành i Bây chọn phần tử không 6 nằm xích chứa i lặp lại trình tất số {1, 2, 3, , n} sử dụng Ví dụ trở thành π = (1, 2, 3) ( ) ( 5) theo kí hiệu xích Chú ý hoán vị vòng tròn phần tử nằm xích, hay thay đổi thứ tự xích với không làm ảnh hưởng đến hoán vị Chẳng hạn, (1, 2, 3) ( 4) ( 5) = ( 2, 3, 1) ( 4) ( 5) = ( 4) ( 2, 3, 1) ( 5) = ( 4) ( 5) ( 3, 1, 2) Một k-xích hay xích với độ dài k, xích gồm k phần tử Hoán vị vừa ta gồm 3-xích hai 1-xích Kiểu xích, hay đơn giản kiểu π m m m biểu thức có dạng (1 ,2 , , n ) n Ở đó, mk số xích có độ dài k π Hoán vị ví dụ có kiểu xích (1 , 2 ) , 31 , , Một 1-xích π gọi điểm bất động Các số 4, điểm bất động ví dụ Các điểm bất động thường bỏ kí hiệu xích hiểu lầm xảy Một đối hợp hoán vị cho π = e Dễ thấy π đối hợp tất xích π có độ dài Kí hiệusj = (j, j+1) với < j < n chuyển vị nhóm đối xứng Sn Những chuyển vị sj phần tử sinh nhóm đối xứng Sn 1.1.2 Sự diễn tả rút gọn hoán vị s s s Cho hoán vị π ∈ S n Nếu π biểu diễn tích j1 j2 jk chuyển vị cho k gọi số tự nhiên nhỏ với tính chất kí s s s hiệul(π) =k, gọi j1 j2 jk diễn tả thu gọn cho π Ví dụ Sử dụng hoán vị π Ví dụ π = s1 s2 l(π) = 1.2 Đại số Hecke nhóm đối xứng 7 1.2.1 Định nghĩa.Cho R vành giao hoán có đơn vị 1, q phần tử khả nghịch R.Đại số Hecke Hn(q)=HR,q=HR,q(sn) nhóm đối xứng Sn Rđược định nghĩa R-môđun tự với sở { gω ω ∈ S } Phép nhân H (q) n n thỏa mãn quan hệ sau: (i) 1∈ H n (q ) ; (ii) Nếu ω = s1s2 s j diễn tả rút gọn ω ∈ Sn gω = g s1 g s2 g s j ; (iii) g s2j = ( q − 1) g s j + q cho tất chuyển vị sj, q = q.1∈ H n (q) Để thuận lợi cho công việc kí hiệu gjthay cho gsj Đặt R = ¢  q, q −1  sử dụng thuật ngữ Hn(q)để ám đại số Hecke HR,q(sn) 1.2.2 Bổ đề / / / g g = gωω / Nếu ω , ω ∈ S n l (ωω ) = l (ω ) + l (ω ) , ω ω / Với sj chuyển vị ω ∈ S n ,thì g g = g.g = 3.Cho ω ∈ Sn thìgωlà phần tử khả nghịch Hn(q) với phần tử nghịch đảo gω−1 = g −j g −j −11 g 2−1 g1−1 , ω = s1s2 s j diễn tả thu gọn −1 −1 −1 −1 ω, g j = q g j + ( q − 1) g j = qg j + (q − 1) với sj Trong tài liệu, đại số HeckeHn(q)được định nghĩa tương đươngbởi phần tử sinhgivới ≤ i < n mối quan hệ (H1) gi gi +1 gi = gi +1 gi gi +1 với ≤ i ≤ n − ; 8 (H2) gi g j = g j gi với i − j >1 1.2.3 Bổ đề Ánh xạ tuyến tính i:Hn(q)Hn(q)được xác định quy tắc i ( gω ) = gω −1 , với ω ∈ Sn , đối đẳng cấu đại số Hecke H (q) n 1.3.Đại số Brauer Đại số Brauer giới thiệu Richard Brauer[2] để nghiêncứu lũy thừa Tenxơ thứ n biểu diễn định nghĩa nhóm trực giao nhóm symplectic Sau đó, chúng tập trung khám phá chi tiết nhà toán học khác có nhiều ứng dụng lí thuyết Knot, khí, thống kê, lý toán… 1.3.1 Định nghĩa Đại số Brauer định nghĩa vành ¢ [x ] qua sở đưa biểu đồ Mỗi biểu đồ gồm có 2n đỉnh xếp vào hai hàng với hàng có n đỉnh Hai đỉnh biểu đồ nối với đoạn thẳng Một đoạn thẳng mà nối hai đỉnh hàng gọi “đoạn ngang”, đoạn thẳng lại gọi “đoạn dọc” Chúng ta kí hiệu Dn(x) cho đại số Brauer, đỉnh biểu đồ đánh số từ đến ntheo chiều từ trái sang phải cho đồng thời hai hàng Hai biểu đồ d1 d2được nhân liên kết, nghĩa là: Các đỉnh hàng biểu đồ d1được kết nối đỉnh tương ứng hàng biểu đồ d2 Từ dẫn đến biểu đồ kết quảd Sau đótích d1.d2 định nghĩa x γ ( d1 , d ) d γ (d1 , d ) số vòng kết nối liên kết giữad1 d2mà không xuất biểu đồ d Chúng minh họa ví dụ sau Trong đại số Brauer D7(x),chúng nhân hai biểu đồd1 d2 sau d1 d2 9 d2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Biểu đồ tích d1.d2=x1d • • • • • • • • • • • • • • d Từ sau để thuận tiện cho việc trình bày, sử dụng kí hiệu N thay cho tham số x Trong (mục 5,[2])R Brauer biểu đồ sở Dn(N)mà có xác 2k đoạn thẳng ngang biểu diễn thành liên kết có dạng ω1e( k )ω2 e , ω1 ω2 hoán vị nhóm đối xứng Sn, ( k ) biểu đồ có dạng sau: • • ××× • • • • ××× • • • ××× • • • • ××× • Trong hàng có k đoạn ngang Như hệ quả, đại số Brauer xem xét vành đa thức ¢ [ x] định nghĩa qua phần tử sinhvà quan hệ: Cho xlà tham số vành ¢ ; đặt R = ¢ [ N ] , đại số Brauer Dn(N) vành R nhưlà R-đại số kết hợp có đơn vị 10 10 (3.2.3) cho k = (3) cho k (e( k ) g 2−k ,1 g 2+k +1,2e) = qe( k +1) Quan hệ (3.2.4) cho trường hợp k + thu phép nhân đẳng thức (3.2.3) g 2−1j +1 k + trường hợp với phần tử từ bên trái Kết cung cấp đối đẳng cấu cho đại số q-Brauer Brn(r,q) 3.2.2 Mệnh đề Cho ánh xại:Brn(r,q)Brn(r,q) xác địnhbởi i ( gω ) = gω −1 i (e) = e Với ω ∈ Sn , i đối đẳng cấu đại số q-Brauer Br (r,q) n Chứng minh Để chứng minh mệnh đề ta cần chứng minh ánh xạ ibiến phần tử sở gd∗ thành phần tử sở i( gd ∗ ) đại sốq-Brauer Brn(r,q) Nếu biểu đồ d*cho trước biểu đồ đoạn thẳng ngang nào, d* làmộthoán vị nhóm đối xứngSn Điều ngụ ý i ( g d ∗ ) = g( d ∗ ) −1 = g d phần tử sở củađại số q-Brauer, d biểu đồ thu sau quay biểu đồ d* xuống phía qua trục nằm ngang Nếu biểu đồ d*=e(k),thì theo định nghĩa 3.1.3 phần tử sở tương ứng đại số q-Brauer Đẳng thức i ( g d ∗ ) = i (e( k ) ) = e( k ) thu quy nạp theo k sau: với k=1 ta có i(e)=e theo định nghĩa Giả sử i (e( k ) ) Đn (2.1.9) = gd∗ = e( k ) i (e( k −1) ) = e( k −1) , + − + − i (eg 2,2 k −1 g1,2 k − e( k −1) ) = i (e( k −1) )i ( g 2,2 k −1 g1,2 k − )i (e) = e( k −1) g 2−k − 2,1 g 2+k −1,2e Bđ 3.2.1(3) Cho trước mộtdiễn tả thu gọn = e( k ) ( ω ,ω (d* ) , ω2 ) biểu đồ d , * ω1 ∈ Bk∗ , ω2 ∈ Bk ω( d * ) ∈ S2 k +1,n , phần tử sở tương ứng trênđại số q-BrauerBrn(r,q) 35 g d * = gω1 gω * e( k ) gω2 (d ) Điều dẫn đến 35 i ( g d * ) = i( gω1 gω * e( k ) gω2 ) = i( gω2 )i (e( k ) )i( gω ( d* ) (d ) = gω −1 e( k ) gω −1 gω −1 ( d* ) Bđ 2.1.10 = )i( gω1 ) (3.2.12) gω −1 gω −1 e( k ) gω −1 ( d* ) ω1 ∈ Bk∗ ω2 ∈ Bk kéo theo ω1−1 ∈ Bk , ω2−1 ∈ Bk* Do đó, theo Bổ đề 1.3.7 1.3.8 ta l (e( k )ω1−1 ) = l (ω1−1 ) có (ω2−1 , ω(−d1* ) , ω1−1 ) l (ω2−1e( k ) ) = l (ω2−1 ) Điều có nghĩa ba diễn tả thu gọn biểu đồ d * = N − k ω2−1e( k )ω(−d1* )e( k )ω1−1 Như phần tử i ( g d * ) = gω −1 gω −1 e( k ) gω −1 ( d* ) phần tử sở đại số q-BrauerBrn(r,q) tương ứng với biểu đồ d 3.2.3 Hệ Những phát biểu sau chođại số q-Brauer Brn(r,q) g 2+m−1,2 j e( k ) = g 2+ j +1,2 m e( k ) + e( k ) g 2+l ,1 = e( k ) g 2,2 l +1 e( k ) g 2+ j ,2i −1 = e( k ) g 2+i ,2 j +1 g 2−m−1,2 j e( k ) = g 2− j +1,2 m e( k ) − e( k ) g 2−l ,1 = e( k ) g 2,2 l +1 với ≤ m ≤ j < k với l ≤ k e( k ) g 2− j ,2i −1 = e( k ) g 2−i ,2 j +1 với l ≤ i ≤ j < k r − j −1 ) e( k +1) = e( k ) g 2−k ,2 j −1 g 2+k +1,2 j e(j) q − với ≤ j < k ( e( k ) g j e(j) = r( r − j −1 ) e( k ) q −1 với ≤ j ≤ k e( k ) H n ( q)e( j ) ⊂ e( k ) H j +1, n ( q) + m ∑ m ≥ k +1 H n ( q)e( m) H n (q ) ,trong j ≤ k Chứng minh.Các khẳng định (2), (4), (5), (6) suy luận trực tiếp từ Bổ đề 2.2.2 2.2.3 cách sử dụng tính chất đối đẳng cấu Mệnh đề 3.2.2 Mệnh đề (1) chứng minh phép quy nạp theo m sau: Với m=1 (1) theo Bổ đề 2.2.2(2) với j=l Giả sử (1) đúngvớim-1,nghĩa là, g 2+m−3,2( j −1) e( k ) = g 2(+ j −1)+1,2 m−2 e( k ) 36 (3.2.13) 36 g 2−m−3,2( j −1) e( k ) = g 2(− j −1)+1,2 m−2 e( k ) với ≤ m ≤ j < k (3.2.14) Ta có g 2+m−1,2 j e( k ) = g 2−m− 2,2 m−3 ( g 2+m −3,2 j −2 ) g 2+ j −1,2 j e( k ) Bđ 2.2.2(3) = g 2−m −2,2 m−3 ( g 2+m−3,2 j −2 ) g 2+ j +1,2 j e( k ) (H ) = g 2−m−2,2 m−3 g 2+ j +1,2 j ( g 2+m−3,2 j −2 )e( k ) (3.2.13) = g 2−m− 2,2 m−3 g 2+ j +1,2 j ( g 2+ j −1,2 m−2 )e( k ) = g 2−m− 2,2 m−3 g 2+ j +1,2 m −2e( k ) (H ) = g 2+ j +1,2 m g 2−m−2,2 m−3 g 2+m−1,2 m−2 e( k ) Bđ 2.2.2(3) = g 2+ j +1,2 m g 2−m− 2,2 m−3 g 2+m−3,2 m− 2e( k ) = g 2+ j +1,2 m e( k ) Đẳng thức lại (1) chứng minh hoàn toàn tương tự Khẳng định (3) suy luận trực tiếp từ khẳng định (1) cách sử dụng đối đẳng cấu Khẳng định (3) Bổ đề 2.2.2 trường hợp đặc biệt khẳng định (1) 3.2.4.Chú ý Trong Bổ đề 3.2.1 tính chất (2) (3) việc sử dụng giả thiết phần tử (r-1)/(q-1)là khả nghịch Trên vành giao hoán R mà phần tử(r1)/(q-1) không khả nghịch, chẳng hạn R = ¢ [q ±1 , r ±1, r −1 ] q − Định nghĩa 2.1.2,những tính chất không Điều ngụ ý Mệnh đề 3.2.2 sai vành Nghĩa là, ánh xạ i không ánh xạ đối đẳng cấu đại số q-Brauer Brn(r,q) (r-1)/(q-1) không khả nghịch 3.3 Thuật toán dùng để sản xuất phần tử sở cho đại số q-Brauer 37 37 Chúng ta giới thiệu thuật toán dùng để sản xuất phần tử sở gd chođại số q-Brauer Brn(r,q)từ biểu đồ d cho trước đại số Brauer Dn(N) cổ điển Sự xây dựng thuật toán dựa phương pháp chứng minh bổ đề 1.3.7(1) (xem [7], Bổ đề 1.2(a) chomột chứng minh hoàn chỉnh) Từ diễn tả biểu đồdbất kỳ liên kết ba biểu đồ thành phần ( d ,ω (d ) ,d ) mục 3.1, đủ để xem xét biểu đồ d* có dạng biểu đồ d1 Nghĩa là, d* có xác k đoạn thẳng ngang hàng, có hàng giống hàng e(k),và đoạn thẳng dọc không cắt Gọi Dk*,n tập hợp tất biểu đồ d*ở * d Nhắc lại rằng, hoán vị si,jvới ≤ i, j ≤ n − coi biểu đồ, ta gọi (i , j +1) * i ≤ j d (i +1, j ) i > j , đại số Brauer chocác đỉnh tự 1,2, ,i-1,j+2, , nđược cố định Ví dụ: TrongD7(N), hoán vị s6,3tương ứng với biểu đồ: ∗ d7,3 = • • • • • • • • • • • • • • 3.3.1.Thuật toán * ∗ D Cho trước biểu đồ d k ,n , đánh số đỉnh đồng thời hai hàng d*từ trái qua phải 1,2, ,n.Chú ý với 2k + ≤ i ≤ n đỉnh thứ iở hàng kết nối với đỉnh thứ f (i ) hàng trên, f (i ) < f (i + 1) hai đoạn dọcbất kỳ không cắt biểu đồ d* Điều này, kéo theo kết nối biểu đồ d (*n, f ( n )) d* cho ta biểu đồ d1* = d (*n , f ( n )) d * đỉnh thứ n hàng kết nối với đỉnh thứ n hàng trênvà đoạn thẳng dọc lại tương tự đoạn thẳng 38 38 * dọc trongd* Nghĩa là, biểu đồ d1 có đỉnh thứ n − hàng nối với đỉnh thứ * * f (n − 1) hàng Tương tự liên kếtcủa hai biểu đồ d ( n −1, f ( n−1)) d1 cho ta biểu đồ d 2* = d(*n−1, f ( n −1)) d1* = d(*n−1, f ( n−1)) d(*n, f ( n )) d * * đỉnh thứ n n − hàng d nối với đỉnhtương ứng hàng đoạn thẳng dọc lại giữ nguyên ví trí đoạn thẳng dọc d* Tiếp tục theo cách này, xác định dãy biểu đồ sau: d (*n , f ( n )) , d (*n−1, f ( n −1)) , , d (2* k +1, f ( k +1)) cho d / = d (2* k +1, f (2 k +1)) d (*n −1, f ( n−1)) d (*n , f ( n )) d * biểu đồ S2 k e( k ) Ở đây, d/ xem biểu đồ D2 k ( N ) với đoạn thẳng ngang có (n − k ) đoạn thẳng dọc bên phải Tiếp theo, gọii2k-2 tên đỉnh hàng d/,mà kết nối với đỉnh thứ 2k hàng đặt biểu đồ d1/ = t(2−1k −2) d / t(2 k −2) = si2 k − ,2 k −2 Tiếp mà đỉnh thứ 2k thứ (2k − 1) kết nối với đoạn thẳng ngang Thực trình cuối biểu đồd* biến đổi thành biểu đồe(k) −1 e( k ) = t(2) t(2−1k −4)t(2−1k −2) d (2* k +1, f (2 k +1)) d(*n −1, f ( n −1)) d(*n, f ( n )) d * Dẫn đến biểu đồ d*được viết lại d * = ω e( k ) , −1 ω = (t(2) t(2−1k −4)t(2−1k −2) d (2* k +1, f (2 k +1)) d(*n−1, f ( n−1)) d(*n, f ( n)) ) −1 −1 = (d (2* k +1, f (2 k +1)) d (*n−1, f ( n −1)) d (*n, f ( n )) ) −1 (t(2) t(2−1k −4)t(2−1k −2) ) = d (*f ( n), n) d (*f ( n−1), n−1) d (*f (2 k +1),2 k +1)t(2 k −2)t(2 k −4) t(2) = s f ( n ),n −1s f ( n −1),n − s f (2k +1),2 k si2 k − ,2 k − si2 k −4 ,2 k − si2 ,2 Với f (i ) < f (i + 1) 2k +1 ≤ i ≤ n-1 39 39 (3.3.1) ω −1 = s2,i2 s2 k −4,i2 k − s2 k −2,i2 k − s2 k , f (2 k +1) sn−2, f ( n−1) sn−1, f ( n ) si2 k − ,2 k − si2 k − ,2 k −4 si2 ,2 Chú ý đối đẳng cấu * đại số Brauer cổ điểnDn(N) biến biểu đồd* thành biểu đồ dcó dạng e( k ) ω −1 với ω −1 = s2,i2 s2 k −4,i2 k − s2 k −2,i2 k − s2 k , f (2 k +1) sn −2, f ( n −1) sn −1, f ( n ) Bởi theo định nghĩa 3.1.3, phần tử sở tương ứng Brauer có dạng sau: g d * = gω e( k ) gd* g d đại số q- g d = e( k ) gω −1 3.3.2.Ví dụ Trong D7(N) có biểu đồ d* sau: • d* • • • • • • • • • • • • • Bước 1: Biến đổi d d/ ••••••• d(∗7,3) •••••••••••••• = d1∗ = d 2∗ •••••••••••••• ••••••• ••••••• d(∗6,2) •••••••••••••• •••••••••••••• d1∗ 40 40 ••••••• d(∗5,2) •••••••••••••• = d/ = e(2) •••••••••••••• d 2∗ ••••••• Bước 2: Biến đổi d/ vềe(2) ••••••• t (2) •••••••••••••• •••••••••••••• d/ ••••••• Bây giờ, biểu đồ d*được viết lại dạng ωe(2) , * * * ω = (d (5,1) , d (6,2) , d (7,3) ) −1 t(2) = s3,6 s2,5 s1,4 s2 Phần tử sở tương ứng với biểu đồd* đại số q-Brauer Br7(r,q) + + + g d * = gω e(2) = g 3,6 g 2,5 g1,4 g 2e(2) Sử dụng đối đẳng cấu * đại số Brauer Dn(N)dẫn đến biểu đồ kết quảd đại số Brauer Dn(N)là: d = e(2)ω −1 = e(2) ( s3,6 s2,5 s1,4 s2 ) −1 = e(2) s2 s4,1s5,2 s6,3 Do + + + g d = e(2) gω −1 = e(2) g g 4,1 g5,2 g 6,3 Quan sát kết thu qua việc áp dụng đối đẳng cấu i đại sốq-Brauer, nghĩa là, + + + + + + i ( g d * ) = i ( gω e(2) ) = i ( g 3,6 g 2,5 g1,4 g e(2) ) = e(2) g g 4,1 g5,2 g6,3 = gd 41 41 3.3.3 Nhận xét Kết hợp với Bổ đề 1.3.7thuật toán ngụ ý tương ứng với biểu đồ d* Dk*,n cho trước códuy phần tử ω = tn−1tn−1 t2 k t2 k − 2t2 k −4 t2 ∈ Bk* với t j = si j , j Sao cho i j < i j +1 d ∗ = ω e(k) , 2k + ≤ j ≤ n − * l (d ) = l (ω ) Đặt Bk*,n = { ω ∈ Bk∗ | d * = ωe( k ) { } Bk ,n = ω −1 ω ∈ Bk*, n l (d * ) = l (ω ), d * ∈ Dk*,n } (3.3.2) (3.3.3) Theo Bổ đề 1.3.8 (1), Bk ,n = {ω −1 ∈ Bk d = e( k )ω −1 l (d ) = l (ω −1 ),d ∈ D k ,n } Dk,nlà tập hợp tất biểu đồ d ảnh biểu đồ xạ đối đẳng cấu * Tính củaphần tử ω ∈ Bk ,n d * ∈ Dk∗,n d * ∈ Dk∗,n qua ánh có nghĩa Bk*,n = Bk ,n = Dk ,n = Dk*,n Chotrước biểu đồ , , số lượng biểu đồ d* số lượng khả để tạo thành k đoạn thẳng ngang n đỉnh hàng d*, dẫn đến Bk*,n = Bk ,n = n! ( n − 2k )!k ! k * t = Cho phần tử ω = tn −1tn−1 t2 k t2 k − 2t2 k − t2 ∈ Bk j 1với 2k ≤ j ≤ n-1 t j +1 = Thật vậy, công thức (3.3.1), giả sử nghĩa biểu đồtương ứng d (*f ( j +1), j +1) = t j = s f ( j +1), j = Điều có 1, trường hợp biểu đồ d (*f ( j +1), j +1) biểu đồ gồm tất đoạn thẳng dọc không cắt Điều kéo theođỉnh thứ j + hàng biểu đồ d*kết nối với đỉnh thứ j + tương ứng hàng trên, 42 42 điều hiểu f ( j + 1) = j + * Từ định nghĩa củabiểu đồ d Dk∗,n đoạn thẳng dọc phía bên phải đỉnh thứ ( j + 1) hàng không cắt Điều có nghĩa đỉnh thứ j + hàng biểu đồ d*nốivới đỉnh thứ f ( j + 2) = j + hiểu hàng nó.Do đó, t j +1 = s f ( j + 2), j +1 = s j +2, j +1 = d (*f ( j + 2), j + 2) = d (*j + 2), j + 2) = 1, điều 3.4 Sự so sánh Giáo sư H Wenzl giới thiệu diễn tả thu gọn biểu đồ đại số d cách tổng quát l (d ) = { l (δ1 ) + l (δ ) : d = δ1e( k )δ , δ1 , δ ∈ S n } Định nghĩa nói lên tồn vàidiễn tả thu gọn khác biểu đồ d Nếu diễn tả thu gọn phần tử sở d = δ1e( k )δ , δ1 , δ ∈ S n g d = gδ1 e( k ) gδ cố định, Wenzl định nghĩa cho đại số q-Brauer Brn(r,q)(xem mục 3.7, [10]) Trong mục 3.1 giới thiệukhái niệmdiễn tả thu gọn biểu đồ d theo cách khác Sự xây dựng dựa hàm độ dài biểu đồ d Wenzl Tuy nhiên biểu đồ d biểu diễn ba biểu đồ thành phần d1,d2và ωdsao cho d = N-k d1 ωd d2 Ở quan tâm đến việc sản xuất biểu diễn rút gọn d Điều cho phép định nghĩa diễn tả thu gọn biểu đồd Do đưa sở khác cho đại số q-Brauer Chú ý rằng, hàm độ dài biểu đồ mà sử dụng hoàn toàn tương tự khái niệm hàm độ dài mà Wenzl xây dựng Thật vây, giả sử d có diễn tả thu gọn ( ω ,ω (d ) , ω2 ) Thì d = N − k d1ω( d ) d = N − k (ω1e( k ) )ω( d ) (e( k ) ω2 ) = N − k (ω1ω( d ) )e(k) ω2 = (ω1ω( d ) )e( k ) ω2 = ω1e( k ) (ω( d )ω2 ) 43 43 Từ định nghĩa Wenzl dẫn đến biểu đồ d có diễn tả thu gọn khác d = δ1e( k )δ Điều kéo theo d = (ω1ω( d ) )e( k ) ω2 = ω1e( k ) (ω( d )ω2 ) = δ1e( k )δ Do đó, ( δ1 , δ ) = ( ω1ω( d ) , ω2 ) ( δ1 , δ ) = ( ω1 , ω( d )ω2 ) Như l (d ) = l (ω1 ) + l (ω( d ) ) + l (ω2 ) = { l (δ1 ) + l (δ )} 3.4.1 Nhận xét Chúng ta ý sở cho đại sốq-Brauer mà Wenzl không phù hợp cho việc chứng minh cấu trúc cellular đại số q-Brauer Cơ sở xây dựng mục 3.1 cung cấp tính chất cellularity cho đại số q-Brauer 3.4.2 Ví dụ Ví dụ nhằm có hai sở khác cho đại số q-Brauer dựa định nghĩa Wenzl, dựa xây dựng chúng tôichỉ có sở Chúng xem xét biểu đồ d đãđề cập ví dụ 3.1.1 Sử dụngđịnh nghĩa diễn tả thu gọn Wenzl, biểu đồ cũ d xác định tích d = δ1e( k )δ sau: Trường hợp 1: d có diễn tả thu gọn d = δ1e( k )δ cho e( k )δ biểu đồ mà đoạn thẳng dọc không cắt ••••••• δ1 ••••••• •••• •••••••••• d = •••••••••••••• •• 44Equation Chapter Section • • • • •44 e(2) Trong δ1 = ω1s5 s6 = s1,4 s2 s5 s6 = s1,6 s2 ∈ B2* δ = ω2 = s4,1s5,2 s6,4 ∈ B2 với , với Trong trường hợp d códiễn tả thu gọn l (δ1e(2) ) = l (δ1 ) = l (e(2)δ ) = l (δ ) = 11 (δ1 , δ ) = (s1,6 s2 ,s 4,1s5,2s 6,4 ) với l (d ) = l (δ1 ) + l (δ ) = + 11 = 18 Phần tử sở tương ứng đại số q-Brauer dựa định nghĩa Wenzl có dạng sau: + + + + g d = gδ1 e(2) gδ = g1,6 g 2e(2) g 4,1 g 5,2 g 6,4 Trường hợp 2: d có diễn tả thu gọn d = δ1e( k )δ (3.4.1) cho δ1e( k ) biểu đồ đoạn thẳng dọc không cắt ••••••• δ1 ••••••• •••••••••••••• d e(2) = •••••••••••••• Equation Chapter Section • • • • • • • δ2 δ = ω1 = s1,4 s2 ∈ B2* l (δ e ) = l (δ1 ) = 5, Trong với (2) δ = s5 s6ω2 = s5 s6 s4,1s5,2 s6,4 = s4,2 s5,1s6,2 ∈ B2* với l (e(2)δ ) = l (δ ) = 13 Sựdiễn tả thu gọn d trường hợp (δ1 , δ ) = (s1,4 s2 ,s 4,2s5,1s6,2 ) với l (d ) = l (δ1 ) + l (δ ) = + 13 = 18 Phần tử sở tương ứng đại số q-Brauer dựa định nghĩa Wenzl trường hợp có dạng sau: 45 45 + + + + g d = gδ1 e(2) gδ = g1,4 g 2e(2) g 4,2 g5,1 g 6,2 (3.4.2) Hai trường hợp khái niệm diễn tả thu gọn biểu đồ d theo cách định nghĩa Wenzl không ( s1,4 s2 , s4,1s5,2 s6,4 ) ≠ (s1,6 s2 , s4,2 s5,1s6,2 ) So sánh với ví dụ 3.1.2 nhận thấy độ dài biểu đồ dtrong hai Ví dụ nàylà giống phần tử sở tương ứng với biểu đồ trongđại sốqBrauer theo định nghĩa 3.1.3 + + + + g d = gω1 e(2) gω ( d ) gω1 = g1,4 g ( g5 g )e(2) g 4,1 g5,2 g 6,4 46 46 (3.4.3) KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu [3], luận văn trình bày nội dung sau: Giới thiệu số phiên khác trình bày số tính chất củađại số q-Brauer Giới thiệu sở củađại số q-Brauer dựa sở biểuđồ đại số Brauervà trình bày thuật toán để sản xuất phần tử sở đại số 47 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J Birman , H Wenzl, Braids (1989), Link polynomials and a new algebra, Trans Amer Math Soc., 313(1), 249-273 [2] R.Brauer (1937), On Algebras which are connected with the semisimply continuous groups, Ann of Math.,63, 854-872 [3] W.P Brown (1956), The semisimplicity of ω nf , Ann of Math., 63(2), 324-335 [4] N.T.Dung (2013), The q-Brauer algebras, Dissertation Stuttgart [5] N.T.Dung (2014),Cellular Structure of q-Brauer algebras, Algebr And Represent Theorem,17(5), 1359-1400 [6] E Murphy (1995), The representations of Hecke algebras of type An, J Algebra, 173(1), 97-121 [7] A.I Molev (2003), A new quantum analog of the Brauer algebras, Czechoslovak J Phys.,53, 1073-1078 [8] A.I Molev (2013), Private communication [9]H.Wenzl (2011), Quotients of representation rings, Represent Theorem, 15, 385-406 [10] H.Wenzl(2012),A q-Brauer algebras, J Algebra, 358, 102-127 [11] H.Wenzl (2012), Fusion symmetric spaces and subfactors, Pacific J Math., 259(2), 483-510 48 48 49 49 [...]... định nghĩa mộtbiểu diễn của Brn(r,q) 23 23 CHƯƠNG 3: ĐẠI SỐ VÀ ĐỐI ĐẲNG CẤU CỦA ĐẠI SỐq-BRAUER Trong chương này, chúng ta xây dựngmột cơ sở cụ thể và cung cấp một ối đẳng cấu cho đại số q-Brauer Tiếp đó chúng tôi đưa ra mộtsự so sánh giữa cơ sở này và một cơ sở khác được giới thiệu bởi Wenzl Cơ sở này được sử dụng để chứng minh cấu trúc cellular cho ại số q-Brauer trên vành giao hoán R (xem tài liệu [5])... phiên bảnBrn(r,q) của đại số q-Brauer được Định nghĩa trong 2.1.5 Tuy nhiên các phiên bản khác của đại số này vẫn có những kết quả hoàn toàn tương tự 3.1 Cơ sở của Đại số q-Brauer Trong mục này, chúng tôi chỉ ra một cơ s cho ại số q-Brauer Cơ sở này được chỉ số hóa bởi tập hợp của tất cả các biểu đồ của đại số Brauer cổ điểnDn(N), trong đó tham số N ∈ ¢ \ { 0} 3.1.1.Xây dựng Cho biểu đồ d ∈ Dn ( N... 2.1.9 Định nghĩa Cho k là số nguyên, 1 ≤ k ≤ [ n / 2] Phần tử e(k) của đại số q-Brauer được định nghĩa quy nạp bởi e(1)= e và bởi + − e( k +1) = eg 2,2 k +1 g1,2 k e( k ) Chú ý rằng, trong luận văn này chúng tôi lạm dụng việc kí hiệu e(k )cho đồng thời một biểu đồ cụ thể trong đại số Brauer Dn(N) và 1phần tử trừu tượng trong đại số qBrauerBrn(r,q) .Cho trước một biểu đồd,trực giác hình học cho ta thấy rằng... (k + 1)) / I (k + 1) ∈ VK (k ) l ( dsi ) − l (d ) ≤ 1 2 Cho bất kỳ biểu đồ cơ sở d của Vn , chúng ta có Đẳng thức * * của độ dài xảy ra nếu si d = d CHƯƠNG 2: ĐẠI SỐq-BRAUER Trong chương này chúng tôi sẽ tóm tắt một số kiến thức cơ bản và cần thiết về đại số q-Brauer Sau đó chúng tôi giới thiệu một số phiên bản cho đại số này mà cần thiết cho những nghiên cứu khác nhau 2.1.Cácđịnh nghĩa 2.1.1.Định... g d = gω ( d ) 3.1.5 Định lí Đại số q-Brauer Brn(r,q) trên vành R có cơ sở {g d d ∈ Dn ( N )} được chỉ số hoá bởi các biểu đồ cơ sở của đại số Brauer Chứng minh Biểu đồ d của đại số Brauer với chính xác 2k đoạn thẳng ngang có một sự diễn tả thu gọn duy nhất ( ω ,ω 1 (d ) , ω2 ) Bởi sự duy nhất củadiễn tả thu gọn của biểu đồ d trong D(N) dẫn đếncác phần tử gd trong đại số q-Brauer Brn(r,q)được định... đẳng cấu trên đại số q-Brauer Br (r,q) n Chứng minh Để chứng minh mệnh đề này ta chỉ cần chứng minh rằng ánh xạ ibiến phần tử cơ sở gd∗ thành phần tử cơ sở i( gd ∗ ) trên đại sốq-Brauer Brn(r,q) Nếu biểu đồ d *cho trước là biểu đồ không có bất kỳ đoạn thẳng ngang nào, thì d* như làmộthoán vị trong nhóm đối xứngSn Điều này ngụ ý rằng i ( g d ∗ ) = g( d ∗ ) −1 = g d là phần tử cơ sở củađại số q-Brauer,... đặc số nguyên tố chúng ta không thể đưa ra một sự so sánhgiữa đại số q-Brauer v đại số Brauer cổ điển trong trường hợp q=1 hoặc q → 1 Một cách đầy đủ, nếu hệ số [N] = 0và (r-1)/(q-1) = 0 thì chúng ta nhận thấy rằng đối đẳng cấu đượcđịnh nghĩa bởiWenzl cho ại số q-Brauer (xem mục 3.1.2, [10]) là không tồn tại (chứng minh của nhận xét này có trong Bổ đề 3.2.1 (3)) Để thuận lợi cho việc nghiên cứu một. .. 2.1.3.Chú ý 1 .Một đại số có mối quan hệ gần gũi với đại số q-Brauerđã xuất hiện gần đây trong công việc của Molev Năm 2003, Movel [7] đã đưa ra một q-tương tự mới của đại số Brauerbởi sự xét đến của nhóm con trung tâm bởi tác động tự nhiên trên không gian lũy thừa tenxơcủa sự biến thể không tiêu chuẩn của đại số Brauer tổng quát U ( oN ) Ông ấy đã định nghĩa các mối quan hệ cho đại số này và đã xây... và là các phần tử trong Hn(q) Bổ đề 1.3.3chứng tỏ có một biểu diễn đầy đủ của đại [ n /2] số Brauer Dn(N) trên ⊕ Vk∗ k =0 Theo Bổ đề 2.3.2,chúng ta nhận thấy đây là một sự đặc biệt hóa của biểu diễn của đại số q-Brauer Brn(r,q) trên cùng một tổng trực tiếp của * các môđun Vk và dẫn đến số chiều của đại sốBrn(r,q) phải nhỏ nhất bằng số chiều của đại số Brauer cổ điểnD(N) Bất đẳng thức chiều còn lại đến... diễn của đại s qBrauer (mục 2.2, [11]) Nhiều hơn nữa các quan hệ được chỉ ra trong đại số của Molev cũng được thỏa mãn bởi các phần tử sinhcủa đại sốq-Brauer Tuy nhiên, đại số trừu tượng được định nghĩa bởiMolev có thể lớn hơn đại số q-Brauer ([8]) 17 17 2 .Một cách rõ ràng,bởi thiết lập r = q phiên bản Brn(r,q)trùng với Brn(N) Trên các N vành mà cho phép lấy giới hạn khi q → 1 , như là trường số thực hoặc ... Mô đun Vk đại số Brn (r , q) .21 CHƯƠNG 3.MỘTCƠ SỞ VÀ MỘT ĐỐI ĐẲNG CẤU CỦA ĐẠI S qBRAUER 3.1 Cơ sở đại số q-Brauer 23 3.2 Đối đẳng cấu đại số q-Brauer .26 3.3 Thuật toán dùng... nhiên phiên khác đại số có kết hoàn toàn tương tự 3.1 Cơ sở Đại số q-Brauer Trong mục này, s cho ại số q-Brauer Cơ sở số hóa tập hợp tất biểu đồ đại số Brauer cổ điểnDn(N), tham số N ∈ ¢ { 0}... dựng sở cho đại số qBrauer chương Chương 2: Đại số q-Brauer * Chương trình bày định nghĩa, tính chất đại số q-Brauer mô đun Vk đại số Brn (r , q ) Chương 3: Một sở phản tự đẳng cấu đại số q-Brauer