CẤU TRÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH PHƯỚC 2011-2013 Câu 1: (Đại số: điểm) Dạng 1: Biến đổi, rút gọn biểu thức đại số lũy thừa, thức, trị tuyệt đối Bài 1: Cho biểu thức: P = x x+2 + + x − x x + x ( x − 1)( x + x ) 1) Rút gọn P 2) Tính P x = + 2 3) Tìm giá trị ngun x để P nhận giá trị ngun HD: 1) P = x x+2 + + x ( x − 1) x ( x + 2) x ( x − 1)( x + 2) = x( x + 2) + 2( x − 1) + x + x x + x + x − + x + = x ( x − 1)( x + 2) x ( x − 1)( x + 2) = x x + 2x + x + x = x ( x − 1)( x + 2) x ( x + 1)( x + 2) ( x + 1) = x ( x − 1)( x + 2) ( x − 1) 2) x = + 2 ⇔ x = + 2 + = ( + 1) = + ( x + 1) +1+1 +2 = = = 1+ ( x − 1) +1−1 3) ĐK: x > 0; x ≠ : P= P= ( x + 1) = ( x − 1) x −1 + 2 = 1+ x −1 x −1 Học sinh lập luận để tìm x = x = Bài 2:   2x + x − 2x x + x −  − + Cho biểu thức A =  ÷: x   1− x 1+ x x 1− x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị A x = 17 − 12 3) So sánh A với A HD: 1) Rút gọn biểu thức (2 điểm)   2x + x − 2x x + x − x    A= − + ÷ ÷:  ÷ x > 0;x ≠ x   − x 1+ x x 1− x   x 2x + x −  x − + x  2x + x − x −  = : + x 1− x  1− x 1+ x 1+ x 1− x + x    ( ) ( )( ) ( ( )( ) ) x ÷   ;x ≠ ÷  ( ) ( x − 1) + x ( x + 1) ( x − 1)  ) ( + x ) ( + x ) ( − x + x )   x +1 = : x x −1  − x  x −1  = :  x −1 x x −  x −1 ( ) ( ( = = x −1 x x ( ( ) ( ) x −1 ) ( ) : x −1 :   x +  ÷ ÷  − x − x + x   (1− x ) (1− : ) (1− x ) (1− x −1 ( 1− x + x + x 1− x x +x ) = x +x ) ) 1− x + x x 2) Tính giá trị A x = 17 − 12 (1 điểm) ( Tính x = 17 − 12 = − 2 A= ( ) − − 2 + 17 − 12 3−2 3) So sánh A với A ) = ⇒ x= (3−2 2) = 3−2 5( − 2 ) = =5 15 − 10 3−2 2 = 3−2 3−2 1− x + x = x+ −1 x x 1 > với x > 0;x ≠ ;x ≠ Chứng minh x + x ⇒A= x+ −1 > ⇒ A > ⇒ A −1 > ⇒ A A −1 > x Biến đổi A = ( ) ⇒A− A >0⇒A > A Bài 3: Cho biểu thức ( A= B= x− y ) + xy x+ y (với x〉 , y〉 ) x y−y x xy 1) Rút gọn biểu thức A,B 2) Tính tích A.B với x = y , y = ( ) 3) Chứng minh C = A.B − + HD: 1) A = x + y B= x− y số nguyên 2) A.B = 3) ( )( ) x − y x + y = x − y = 2y − y = y = ( ) ( )( ) = − ( + 1) = ( − 1)( + 1) = ( 3) −1 = ∈ Z A.B − + = 2 − + Bài 4: 1) Cho x = + + + − + Tính giá trị biểu thức A = x − 2x −  2) Cho biểu thức B =   x + x +1 + x +1    ÷: 1 + x − ÷ ÷ ( với x > 1) x − x −1    a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm giá trị x để B − x = − x + 3x − HD: 1) Nhận xét x >   x2 =  + + + − + ÷   = 3+ 5+ +3− 5+ + ( 3+ = 6+ 9−5− = 6+ 4−2 = 6+ = 6+2 ( ) −1 = + = ( ) +1 )( 5+ 3− 5+ ( ) −1 ) 2 Vì x > nên x = + 2 Suy x − = ⇒ ( x − 1) = ⇒ x − 2x + = ⇒ x − 2x − = Vậy A = = ( x +1    ÷: 1 + x − ÷ ÷ ( với x > 1) x − x −1    x + x +1  x +1 − x x + x −1   x +1  + : + ÷  ÷  x +1− x x − ( x − 1) ÷ x −1 ÷    x −1 + x +1 x +1 − x + x + x −1 : x −1 = ( x +1 + x −1  2) B =   =   + ) ) x −1 = x −1 x −1 + x +1 B − x = − x + 3x − ⇔ x − − x = ( x − 1) ( − x ) x −1 > ⇔ ⇔1< x ≤ 2 − x ≥  x −3 x   9− x x −3 x −2 :  − − Bài 5: Cho P = 1 −   x+ x −6 2− x x − x +     1) Rút gọn P 2) Tìm x để P > 3) Với x > 4, x ≠ Tìm giá trị lớn P.(x + 1) HD: 1) Tìm điều kiện : x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠9  x −3 x   9− x x −3 x −2 :  + − P = 1 −   x +3 x −2 2− x  x − x +     ( )( ) =…= 2− x  2− x > 2) P >    x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠  0≤ x 0; x ≠ : P= P= ( x + 1) = ( x − 1) x −1+ 2 = 1+ x −1 x −1 Học sinh lập luận để tìm x = x = Bài 8: Cho biĨu thøc A= x+2 x x −1 + x +1 x + x +1 − 1) Rót gän biĨu thøc A 2) TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc A x=33-8 3) Chøng minh A< x −1 Bài 9: Cho biĨu thøc:  x − + x x −4 x x −6 A=  1) T×m ®iỊu kiƯn cđa x ®Ĩ A cã nghÜa 2) Rót gän A 3) T×m x ®Ĩ A < Bài 10: Cho biĨu thøc : A = ( x +2 x + x +1 −   10 − x  : x −2+  x + 2  x + 2 x −2 x +1 ) x −1 x 1) Rót gän A 2) T×m sè tù nhiªn x ®Ĩ gi¸ trÞ cđa A lµ sè nguyªn 3) Víi gi¸ trÞ nµo cđa x th× biĨu thøc A cã gi¸ trÞ ©m 1   x +1 x +2 − − ÷ ÷:  x   x −2 x −1 ÷  x −1   Bài 11: Cho biểu thức: Q =  1) Rút gọn Q 2) Tính giá trị Q 3) Tính giá trị Q 4) Tính giá trị Q 5) Tính giá trị Q 6) Tính giá trị Q 7) Tính giá trị Q 8) Tính giá trị Q 9) Tìm x để Q = -5 10)Tìm x để Q = − x 11)Tìm x để Q > 12)Tìm x để Q ≤ −4 13)Tìm x ∈ ¢ để Q ∈ ¢ 14)Tìm x để Q HD: ( − 3) 3) x = 14 − = ( − ) 4) x = 28 − 12 = ( − 10 ) 5) x = − = ( − 1) 6) x = + 35 = ( + ) x = − 15 x = 14 − x = 28 − 12 x = 2− x = + 35 x = 10 + + 10 + 15 x = 6−2 −2 +2 2) x = − 15 = 2 2 7) x = 10 + + 10 + 15 = 10 + 2 8) x = − 2 − + = − Bài 12: Cho biểu thức: Q = ( ( ) + + 15 = ) + +2 = ( x −1 x +3 x+5 − − x +1 x −2 x− x −2 x +2 x +1 x −1 − −3 x −3 x −2 x−5 x +6 1) Rút gọn Q 2) Tìm x để Q < – 3) Tìm x ∈ ¢ để Q ∈ ¢ Bài 14: Cho biểu thức: Q = 1) Rút gọn Q 3) Tìm x ∈ ¢ để Q ∈ ¢ 2) Tìm x để Q > ) + −1 1) Rút gọn Q 2) Tìm x để Q > 3) Tìm x ∈ ¢ để Q ∈ ¢ Bài 13: Cho biểu thức: Q = ( 2+ 3+ x +2 x −1 x − x + + − x −1 x +4 x+7 x −4 ) Bài 15: Cho biểu thức: Q = x − 4 + x x + 13 x − 20 − + x −4 x − 3x − 10 x + 1) Rút gọn Q 3) Tìm x ∈ ¢ để Q ∈ ¢ 2) Tìm x để Q ≥ − Bài 16: Cho biểu thức: Q = 3− x x + 42 x + 34 + − x + x − 15 x + 11 x − 14 1) Rút gọn Q Q x ∈ ¢ 3) Tìm để ∈ ¢ 2) Tìm x để Q ≤ −     a   a  A = 1: − −   ÷ Bài 17: Cho biểu thức: ÷  a − a + a −  + a ( )       ( 1) Rút gọn A 2) Tìm a để A∈ ¢  Bài 18: Cho biểu thức: A = 13 − 10 x +  ( ) ) x −  + 2x  1) Tìm x để A = 2) Tìm x để A∈ ¢  y − xy   x y + − ÷:  Bài 19: Cho biểu thức: A =  x + x+ xy − x    xy 1) Rút gọn A 2) Tính giá trị A x = 3; y = + x+ y ÷ xy ÷  15 x − 11 x − 2 x + + − x + x − 1− x x +3 17 −5 1) Chứng minh rằng: A = x +3 2) So sánh A với  x+2 x  x −1 + + ÷ Bài 21: Cho biểu thức: A =  ÷:  x x −1 x + x + 1 − x  Bài 20: Cho biểu thức: A = 1) Rút gọn A 2) Chứng minh rằng: < A < 2  x −2 x +   1− x  − ÷ Bài 22: Cho biểu thức: A =  ÷ ÷   x −1 x + x +1    1) Rút gọn A 2) Chứng minh < x < A > 3) Tìm giá trị lớn A    x −2  − : − ÷ Bài 23: Cho biểu thức: A =  ÷ ÷  x +1 x x − x + x −1   x −1 x −1  1) Rút gọn A 2) Tìm giá trị nhỏ A  1  1  x3 + y x + x y + y A = + + + :   ÷ Bài 24: Cho biểu thức: x y + + xy  x  x + y x y  1) Rút gọn A 2) Cho x.y = 16 Tìm giá trị nhỏ A Bài 25: Cho biểu thức: A = x2 − x x + x ( x − 1) − + x + x +1 x x −1 1) Rút gọn A 2) Tìm giá trị nhỏ A x ∈¢ A  2x x + x − x x + x  x −1 x − + Bài 26: Cho biểu thức: A =  ÷ ÷ x −1  2x + x −1 x −1 x x −1  3) Tìm x ∈ ¢ cho B = 1) Rút gọn A 2) Tìm giá trị nhỏ A Bài 27: Chứng minh biểu thức: P = ( x − x − 1) 2010 có giá trị số tự nhiên với x= 10 + ( − 1) 6+2 − Bài 28: Cho x, y thỏa mãn: x + x + 2009) ( y + y + 2009) = 2009 Hãy tính tổng S = x + y a+b−c b+c−a c+ a−b = = Bài 29: Cho ba số a, b, c khác thỏa mãn điều kiện: c a b Hãy tính giá trị biểu thức:   b  a  c  b  Bài 30: Rút gọn biểu thức sau 1) A = x + x − x + 2) B = + − − − 3) C = (1+ tan2α)(1- sin2α) + (1+cotan2α)(1-cos2α) Bài 31: Rút gọn biểu thức sau: 1) − 15 − + 15 2) + − 13 + 48 6+ sin x cos x − 3) 11 + cot gx + tgx Bài 32: 1) Rút gọn biểu thức: A = + a c P = 1 + 1 + 1 +  1 + với a ≠ 0; a ( a + 1) 1 1 1 1 + + + + + + + +……+ + + 2 3 99 100 a (a + 1) + (a + 1) + a a (a + 1) + a + 2a + + a 1 = = = HD 1) A = + + a (a + 1) a (a + 1) a (a + 1) 2) Tính giá trị tổng: B = + a (a + 1) + 2a + 2a + a (a + 1) + 2a (a + 1) + a (a + 1) + 2a (a + 1) + [ a (a + 1) + 1] = = = = a (a + 1) a (a + 1) a (a + 1) a (a + 1) 2 a2 + a +  a + a + 1 A = =  ; Với a > nên A > a (a + 1)  a(a + 1)  1 a + a + a (a + 1) + 1 1 = = =1+ =1+ − 2) Từ câu a suy ra: A = + + a(a + 1) a (a + 1) a (a + 1) a a +1 a ( a + 1)   1 = 99 +  − + 1 1  1  1 1   −  + 1 + −  + + 1 + − = 2  3  4  99 100  1 1 1  − + − + − = 99,99  = 100 − 3 99 100  100 Do đó: B = 1 + −  + 1 + Bài 33: Rút gọn biểu thức: 1) A = 1+ + 2+ 1 + + + 3+ n −1 + n 1 + + + + 2) B = 2+ +2 +3 100 99 + 99 100 1 1 − + − + 3) C = 1− 2− 3− 99 − 100 HD.1) Ta hốn đổi vị trí hai số hạng mẫu trục thức: 1+ = +1 = −1 −1 = làm −1 tương tự ta được: −1 3− 4− n −1 − n + + + + = − + − + − + + n − n − 1 1 − + − + − + + n − n − = n − 1 1 B= + + + + = 2+ +2 3+3 100 99 + 99 100 1 1 + + + + ( + 1) 2( + 2) 100 99( 100 + 99 ) 3( + 3) 1 1 + + + + ( + 1) 2( + 2) 100 99( 100 + 99 ) 3( + 3) A= = 2) = = = = ( − 1) 1(2 − 1) ( − 1) + + ( − 2) (3 − 2) ( − 2) + + ( − 3) ( − 3) ( − 3) + + + + ( 100 − 99 ) 100 99(100 − 99) ( 100 − 99 ) 100 99 1 1 1 1 1− + − + − + + − =1− = 10 10 2 3 99 100 3)Trục thức rút gọn Bài 34: Cho số dương x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1.Tính giá trị biểu thức: A= x (1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y ) 2 2 1+ y2 1+ x2 1+ z2 HD Thay xy + yz + zx = vào + y2 ta được: xy + yz + zx + y2 = ( xy + y2 ) + ( yz + zx ) = y( x + y) + z( x + y ) = ( x + y ) ( y + z ); Tương tự thay xy + yz + zx = vào + x2 ta xy + yz + zx + x2 = ( z + x ) ( x + y ); xy + yz + zx = vào + z2 ta xy + yz + zx + z2 = ( y + z ) ( z + x ); Thay tất vào biểu thức A rút gọn ta kết quả: A = xy + yz + xz Bài 35: Cho số dương x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 3.Tính giá trị biểu thức: yz B= 3− x (3 + y )(3 + z ) + x2 zx + 3− y (3 + z )(3 + x ) + y2 xy + 3− z (3 + x )(3 + y ) 2 + z2 HD Thay xy + yz + zx = vào + y2 ta được: xy + yz + zx + y2 = ( xy + y2 ) + ( yz + zx ) = y( x + y) + z( x + y ) = ( x + y ) ( y + z ); Tương tự thay xy + yz + zx = vào + x2 ta xy + yz + zx + x2 = ( z + x ) ( x + y ); xy + yz + zx = vào + z2 ta xy + yz + zx + z2 = ( y + z ) ( z + x ); Thay tất vào biểu thức B rút gọn ta kết quả: B = Bài 36: Cho a, b, c đơi khác thoả mãn ( a + b + c ) = a + b + c a2 b2 c2 + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab HD ( a + b + c ) = a + b + c ⇔ a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca = a + b + c ⇔ 2ab + 2bc + 2ca = ⇔ ab + bc + ca = ⇒ ab = −bc − ca, bc = − ab − ca, ca = −ab − bc , thay vào P ta được: Tính giá trị biểu thức: P = P= a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + = + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab a + bc − ab − ca b + ac − ab − bc c + ab − bc − ca = a2 b2 c2 + + a (a − c) − b(a − c) − b(a − b) + c(a − b) − c(b − c) + a (b − c ) = a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + = − + (a − c)(a − b) (a − b)(c − b) (b − c)(a − c) (a − c )(a − b) (a − b)(b − c) (b − c)(a − c ) a (b − c) b (a − c) c ( a − b) = − + (a − c)(a − b)(b − c) (a − b)(b − c)(a − c) (b − c)(a − c )(a − b) = a (b − c ) − b (c − a ) + c (a − b) a (b − c) − b a + b c + c a − c b = = (a − c)(a − b)(b − c ) (a − c )(a − b)(b − c) = a (b − c ) − b a + c a + b c − c b a (b − c ) − a (b + c)(b − c) + bc(b − c ) = (a − c)(a − b)(b − c) (a − c)(a − b)(b − c) (b − c)(a − ab − ac + bc ) (b − c)[ a (a − b) − c(b − c)] (b − c)(a − b)(a − c) = = =1 (a − c )(a − b)(b − c) (a − c )(a − b)(b − c ) (a − c)(a − b)(b − c) a b c x y z Bài 37: Cho a, b, c x, y, z khác khác thoả mãn: + + = + + = x y z a b c = Tính M = x2 y2 z2 + + ; (* * *) a2 b2 c2 HD: Áp dụng đẳng thức: ( a + b − c) = a + b + c + 2ab − 2bc − 2ca ≥ a + b2 + c2 ) ( ⇒ ac + bc − ab ≤ < ⇒ ac + bc − ab ≤ Chia vế cho abc >0 => đpcm Bài 8: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi đơn vị Chứng minh rằng: a + b + c + 4abc < HD: Áp dụng cơng thức Hêrơng tính diện tích tam giác: S= p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) với p = a+b+c = 2 11    S =  − a ÷ − b ÷ − c ÷ 22    ⇒ 16 S = ( − 2a ) ( − 2b ) ( − 2c ) = − 2a − 2b − 2c + 4ab + 4bc + 4ca − 8abc = − ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) − 8abc = −1 + ( ab + bc + ca ) − 8abc > 2 Mà 2ab + 2bc + 2ca = ( a + b + c ) − ( a + b2 + c ) = − ( a + b + c ) => 4abc + < 2ab + 2bc + 2ca Nên 4abc + < − ( a + b + c ) => đpcm Bài 9: Cho ≤ a, b, c ≤ thỏa a + b + c = Chứng minh rằng: a + b + c ≤ HD: Cách 1: Vì a + b + c = nên có ba số a, b, c phải ≥ , giả sử a ≥ Ta có a + b + c ≤ ⇔= ( a + b + c ) − ( 2ab + 2bc + 2ca ) ≤ ⇔ − ( ab + bc + ca ) ≤ ⇔ ab + bc + ca ≥ ⇔ a ( b + c ) + bc ≥ ⇔ a ( − a ) + bc ≥ ( 1) − 3a + ≤ ⇔ a ( − a ) ≥ ( ) Vì ≤ a ≤ nên ( a − 1) ( a − ) ≤ ⇔ a Mặt khác bc ≥ nên từ (2) ta có (1) tức có đpcm Cách 2: Vì a, b, c ≤ nên ( − a ) ( − b ) ( − c ) ≥ => 8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc ≥ mà a+b+c=3 nên 8-12+2(ab+bc+ca)-abc ≥ abc ≥ (do a, b, c ≥ ) 2 => a + b + c = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) ≤ 32 − 2.2 = (đpcm) => ab+bc+ca ≥ + Bài 10: Cho tam giác có độ dài cạnh a, b, c; chu vi 2p Chứng minh rằng: ab bc ca + + ≥ p (1) p −c p −a p −b HD: Đặt x = a + b – c, y = b + c – a, z = c + a – b Ta có x, y, z > x + y + z = a + b+ c = 2p ( 1) ⇔ ⇔ 4ab 4bc 4ac + + ≥ 8p 2( p − c) ( p − a) ( p − b) ( x + y) ( x + z) + ( y + x) ( y + z) + ( x + z) ( y + z ) x y yz zx xy ⇔ + + ≥ x+ y+ z x y z Giả sử x ≥ y ≥ z > Khi z ≥ 4( x + y + z) 1 ≤ ≤ yz ≤ zx ≤ xy Áp dụng kết ta có: x y z yz zx xy yz zx xy + + ≥ + + ≥ x + y + z ( dpcm ) x y z y z x Phương pháp 3: Dùng biến đổi tương đương: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đẳng thức chứng minh Chú ý đẳng thức sau: • ( a ± b ) = a ± 2ab + b ≥ ( a + b + c) • = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ≥ a + b3 + c3 − 3abc = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) • Bài 11: a b c 1 1 + + ≥ 2 + + ÷ bc ca ab a b c 2) Chứng minh rằng: ( x − 1) ( x − 3) ( x − ) ( x − ) + 10 ≥ với x 1) Với a, b, c >0 Chứng minh: 3) Cho a ≥ c ≥ 0, b ≥ c Chứng minh rằng: HD: 1) c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab a b c 1 1 + + ≥  + + ÷ ⇔ a + b + c ≥ ( ab + bc + ca ) a.b.c > bc ca ab a b c ⇔ ( a + b − c ) ≥ ln => đpcm 2) ( x − 1) ( x − 3) ( x − ) ( x − ) + 10 ≥ ⇔ ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) ( x − ) + 10 ≥ ( ⇔(x )( ) − x + ) − + 10 ≥ ⇔ ( x ( )( ) ⇔ x − x + x − x + 12 + 10 ≥ ⇔ x − x + − x − x + + + 10 ≥ 3) 2 c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab − 7x + ) ≥ ln => đpcm ⇔ ( c ( a − c) + c ( b − c) ) ≤ ab ⇔ c ( a − c ) + c ( b − c ) + c ( a − c ) ( b − c ) ≤ ab ⇔ c − 2c ( ⇔ c− ( a − c) ( b − c) + ( a − c) ( b − c) ≥ ( a − c) ( b − c) ) ≥ (ln đúng) => đpcm Bài 12: Chứng minh với x, y > ta ln có: x3 2x − y ≥ (1) 2 x + xy + y Áp dụng: Chứng minh với a, b, c > 0, ta có: a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 a + b + ab b + c + bc c + a + ac HD: Do x + xy + y > với x, y >0 nên ( 1) ⇔ 3x3 ≥ ( x − y ) ( x + xy + y ) ⇔ x + y − ( x y + xy ) ≥ ⇔ ( x + y ) ( x − y ) ≥ (ln đúng) => đpcm Áp dụng kết ta có: a3 2a − b ≥ ( 1) 2 a + b + ab b3 2b − c ≥ ( 2) 2 b + c + bc c3 2c − a ≥ ( 3) 2 c + a + ac Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có: đpcm Bài 13: 1 + ≥ 2 + x + y + xy 1 + + ≥ b/ Cho x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ Chứng minh rằng: 3 + x + y + z + xyz a/ Cho xy ≥ Chứng minh rằng: HD:  1   1  + ≥ ⇔ − − ÷+  ÷≥ 2 2 + x + y + xy  + x + xy   + y + xy  ( y − x )  x ( + y ) − y ( + x )  x ( y − x) y ( x − y) ⇔ + ≥0⇔ ≥0 ( + x ) ( + xy ) ( + y ) ( + xy ) ( + x ) ( + y ) ( + xy ) a/ ( y − x ) ( xy − 1) ⇔ ( + x ) ( + y ) ( + xy ) ≥0 BĐT cuối xy ≥ ta có đpcm b/ Áp dụng câu a/ suy ra: 1 + ≥ ( 1) 3 + x + y + x3 y 1 + ≥ ( 2) + z + xyz + z xyz  1 1 1  + + + ≥ + Từ (1) (2) suy ra: 3  + x y + xyz + x + y + z + xyz  1 2 + ≥ = ( 4) Theo câu a/ ta có: 3 3 + xyz + x y + xyz + x y xyz  ÷ ÷  ( 3) Từ (3) (4) ta suy ra: 1 1 + + + ≥ 3 + x + y + z + xyz + xyz Suy đpcm 1 + ≤ 1 1 1 Bài 14: Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: + + + a b c d a+c b+d HD: BĐT cho tương đương với BĐT: ( a + c ) ( b + d ) ⇔ ab ( a + b ) + cd ( c + d ) ≤ ( a + c ) ( b + d ) ab cd + ≤ a+b c+d a +b+c+d a+b+c+d ( a + b) ( c + d ) ⇔ ( a + b + c + d )  ab ( c + d ) + cd ( a + b )  ≤ ( a + b ) ( a + c ) ( c + d ) ( b + d ) ⇔ ( a + b ) ( a + c ) ( c + d ) ( b + d ) − ( a + b + c + d )  ab ( c + d ) + cd ( a + b )  ≥ BĐt cuối khai triển vế trái đến BĐT đúng: ( ad − bc ) ≥ Phương pháp 4: Sử dụng bất đẳng thức phụ: 2 A Bất đẳng thức phụ: x + y ≥ xy Hệ quả: 1) x + y ≥ xy 2) ( x + y) ≥ xy Bài 15: Cho ≤ a, b, c, d ≤ Chứng minh rằng: ( a + b + c + d + 1) ≥ ( a + b2 + c2 + d ) HD: Áp dụng BĐT phụ ( x + y ) ≥ xy ta có: ( a + b + c + d + 1) ≥ 4( a + b + c + d ) Với x = a + b + c + d y = Mặt khác ≤ a, b, c, d ≤ nên a ≥ a , b ≥ b ; c ≥ c ; d ≥ d 2 Nên ( a + b + c + d + 1) ≥ ( a + b + c + d ) (đpcm) Bài 16: Cho x, y > có tổng x + y + z = Chứng minh rằng: x + y ≥ 16 xyz HD: 2 Áp dụng BĐT phụ ( x + y ) xy ≤ ( x + y ) ta có: 16 xyz ≤ z ( x + y ) ( 1) Ta chứng minh: 4z ( x + y ) ≤ x + y Thật z ( x + y ) ≤ x + y ⇔ z ( x + y ) ≤ ⇔ z ( − z ) ≤ ⇔ z − z + ≥ ⇔ ( z − 1) ≥ (ln đúng) Vậy 4z ( x + y ) ≤ x + y (2) Từ (1) (2) suy đpcm Bài 17: Chứng minh rằng: ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc với a, b, c ≥ HD: Áp dụng BĐT phụ ( x + y ) ≥ xy ta có: ( a + b ) ≥ 4ab ( b + c ) ≥ 4bc ( c + a ) ≥ 4ca Vì a, b, c ≥ nên nhân vế bất đẳng thức lại với ta được: ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 64a 2b 2c Suy ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc 2 2 2 Bài 18: Chứng minh với a, b, c, d tuỳ ý ta ln có: a + b + c + d ≥ ( a + b ) ( c + d ) HD: x + y ) ta có: ( 1 1 VP = ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd ≤ ( a + c ) + ( a + d ) + ( b + c ) + ( b + d ) 2 2 2 2 = a +b +c +d => VP ≤ a + b + c + d => đpcm Áp dụng BĐT phụ xy ≤ B Bất đẳng thức phụ: x + ≥ (với x > 0) x Hệ quả: a b + ≥2 b a a b 2) ab < + ≤ −2 b a 1) ab > Bài 19: Bài 20: Bài 21: Bài 22: Bài 23: Bài 24: B Bất đẳng thức phụ: Hệ quả: xy ≥ ( x + y) 1 + ≥ x y x+ y ( x, y > ) Bài 25: Bài 26: Bài 27: Bài 28: Bài 29: Bài 30: Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Tìm giá trị lớn biểu thức A = x − + − x Cho: a > 0, b > ab = Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( ) 2 A = ( a + b + 1) a + b + a+b Cho số thực khơng âm x, y thỏa mãn x+y=1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của: B=(4x2+3y)(4y2+3x)+25xy Với x, y số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q= x3 + x3 + 8y 4y3 y + ( x + y) Bài Tìm GTNN (nếu có) biểu thức sau: P = x +12 x + + x - 20 x + 25 Q = x + y + xy - x + 2008 Câu 2: (Đại số: điểm) Dạng 1: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: a x − 10 x + 27 = − x + x − b x − x − x x − x + = x −1 + x − + x + = x − x − 3x + + x + = x − + x + 2x − 4x + − 3x − = b) x+3 x + x + + − x = 11 x − 3x + + x + = x − + x + 2x − 4x + − 3x − = b) x+3 x + x + = ( x + 5) x + c x − 10 x + 27 = − x + x − x2 − 2x − x x − x + = 2x − + = x ( 1+ x ) − x3 = − x x + x + + − x = 11 a) x + = 3x − b) x2 – = (2x + 3)(x + 5) + 23 x2 −1 − x2 + = x - x3 + x - 11x +10 = (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2 x x −2 x −x =0 x − x + 36 = x + 16 256 + + + x − + y − + z − 1750 = 44 x−6 y−2 z − 1750 b ( x − 2008) + ( 2009 − x ) + ( x − 2010) = x − 22 x + 121 + x + 24 x + 144 = 2007 Cho pt: x2- 2mx + 2m – = a) Chøng tá r»ng pt cã nghiƯm x1, x2 víi mäi m b) §Ỉt A = 2(x12 + x22)- 5x1x2 CM: A = 8m2- 18m + Giải bất phương trình x−2+2 ≥ x 2007 < 2008 Giải bất phương trình −x  m x + y = ( 1) Cho hệ phương trình   x − m y = ( ) a) Giải hệ phương trình với m = b) Xác định m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn Cho hệ phương trình : x + y =1   x + 2012 − y = 2012    2012 − x + y = 2012 Chứng minh : x = y Tìm nghiệm hệ phương trình  x + y + xy =  2  xy + x y = 12 x − y = 3( x − y ) Giải hệ phương trình:  x + y = −1 Cho hƯ ph¬ng tr×nh hai Èn x, y sau: ( m + 1) x + my = 2m −  mx − y = m − a) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh víi m =1 b) T×m m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt (x; y) tho¶ m·n P = xy ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt Dạng 2: Giải tốn cách lập phương trinh, hệ phương trình Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Một người từ nhà đến sân ga Trong 12 phút đầu, người 700m thấy đến sân ga chậm 40 phút, qng đường lại, người với vận tốc 5km/h nên đến sân ga sớm phút Hãy tính qng đường từ nhà đến sân ga Lớp 9A có 56 bạn, có 32 bạn nam Cơ giáo chủ nhiệm dự kiến chia lớp thành tổ học tập: - Mỗi tổ gồm có bạn nam, bạn nữ - Số bạn bạn nam, bạn nữ chia vào tổ - Số người tổ khơng q 15 người khơng chín người Em tính xem giáo xếp có tất tổ ? Dạng 3: Hàm số đồ thị Tương giao hai đồ thị Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Câu Cho hàm số: y = x − 2m − ; với m tham số d Xác định m để đồ thị hàm số qua gốc tọa độ O b Tính theo m tọa độ giao điểm A; B đồ thị hàm số với trục Ox; Oy H hình chiếu O AB Xác định giá trị m để OH = e Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng AB Câu 2: (5,0 điểm) Trªn mỈt ph¼ng täa ®é cho c¸c ®êng th¼ng (d): y = 3x + vµ - 3x c¾t t¹i C vµ lÇn lỵt c¾t trơc Ox t¹i A, B a) T×m täa ®é cđa c¸c ®iĨm A, B, C b) T×m diƯn tÝch vµ chu vi cđa tam gi¸c ABC biÕt ®¬n vÞ ®o ®é dµi trªn c¸c trơc lµ cm (d') : y = Cho ®êng th¼ng y=(m – 2)x + (d) Chøng minh (d) lu«n ®i qua ®iĨm cè ®Þnh vµ t×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ kho¶ng c¸ch tõ gèc to¹ ®é O ®Õn ®êng th¼ng (d) b»ng Câu Cho hàm số: y = x − 2m − ; với m tham số f Xác định m để đồ thị hàm số qua gốc tọa độ O b Tính theo m tọa độ giao điểm A; B đồ thị hàm số với trục Ox; Oy H hình chiếu O AB Xác định giá trị m để OH = g Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng AB Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) có phương trình : (m -1)x+ (m -2)y - = (m tham số) Tìm m để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d(m) có giá trị lớn Xác định đường thẳng Bài 4: ( 2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD; BE; CF cắt H Gọi M trung điểm HC; N trung điểm AC AM cắt HN G Đường thẳng qua M vng góc với HC đường thẳng qua N vng góc với AC cắt K Chứng minh rằng: a Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC · Từ suy SAEF = SABC cos BAC b BH.KM = BA.KN c GA5 + GB + GH =4 GM + GK + GN Bài 5: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua M có hai đường thẳng Mt Mz thay đổi ln vng góc với ∧ M cắt Ax, By theo thứ tự C D tạo góc AMC = α Xác định số đo α để tam giác MCD có diện tích nhỏ Bµi (4.5®iĨm): Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iĨm M di ®éng trªn ®êng trßn ®ã ( M kh¸c A, B) VÏ ®êng trßn t©m E tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i M vµ tiÕp xóc víi ®êng kÝnh AB t¹i N §êng trßn (E) c¾t MA, MB lÇn lỵt t¹i c¸c ®iĨm thø hai lµ D vµ C a, Chøng minh CD // AB b, Chøng minh MN lµ ph©n gi¸c cđa gãc AMB c, Gäi giao ®iĨm thø hai cđa MN víi ®êng trßn (O) lµ K Chøng minh tÝch KM.KN kh«ng Câu 3: (Hình học: điểm) Dạng 1: Chứng minh mối qua hệ, hệ thức hình học Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Dạng 2: Tính yếu tố diện tích hình hình học Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Dạng 3: Tìm quỹ tích, tập hợp điểm Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Bài 6(1,5 đ ) Cho hình vuông MNPQ Gọi I điểm thuộc cạnh MN Tia QI cắt tia PN B.Tia Qx vuông góc với cạnh QB cắt tia NP điểm C a/ Chứng minh tam giác IQC cân b/ Giả sử QC y - x > Mặt khác, 91 = x 91 = x 13 y - x ; x2 + xy + y2 ngun dương nên ta có bốn khả sau : y - x = 91 x2 + xy + y2 = ; (I) y - x = x2 + xy + y2 = 91 ; (II) y - x = x2 + xy + y2 = ; (III) y - x = x2 + xy + y2 = 13 ; (IV) Đến đây, tốn coi giải Phương pháp : Sắp thứ tự ẩn Nếu ẩn x, y, z, có vai trò bình đẳng, ta giả sử x ≤ y ≤ z ≤ để tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện Từ đó, dùng phép hốn vị để => nghiệm phương trình cho Ví dụ : Tìm nghiệm ngun dương phương trình : x + y + z = xyz (2) Lời giải : Do vai trò bình đẳng x, y, z phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z Vì x, y, z ngun dương nên xyz ≠ 0, x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ => xy thuộc {1 ; ; 3} Nếu xy = => x = y = 1, thay vào (2) ta có : + z = z, vơ lí Nếu xy = 2, x ≤ y nên x = y = 2, thay vào (2), => z = Nếu xy = 3, x ≤ y nên x = y = 3, thay vào (2), => z = Vậy nghiệm ngun dương phương trình (2) hốn vị (1 ; ; 3) Ví dụ : Tìm nghiệm ngun dương phương trình : 1/x + 1/y + 1/z = (3) Lời giải : Do vai trò bình đẳng x, y, z, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z Ta có : = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x = Thay x = vào (3) ta có : 1/y + 1/z + = => = 1/y + 1/z ≤ 2/y => y ≤ => y = => 1/z = (vơ lí) y = => 1/z = => z = Vậy nghiệm ngun dương phương trình (3) hốn vị (1 ; ; 2) Phương pháp : Sử dụng tính chất chia hết Phương pháp sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vơ nghiệm tìm nghiệm phương trình Ví dụ : Tìm nghiệm ngun phương trình : x2 - 2y2 = (4) Lời giải : Từ phương trình (4) ta => x phải số lẻ Thay x = 2k + (k thuộc Z) vào (4), ta : 4k2 +4k + - 2y2 = tương đương 2(k2 + k - 1) = y2 => y2 số chẵn => y số chẵn Đặt y = 2t (t thuộc Z), ta có : 2(k2 + k - 1) = 4t2 tương đương k(k + 1) = 2t2 + (**) Nhận xét : k(k + 1) số chẵn, 2t2 + số lẻ => phương trình (**) vơ nghiệm Vậy phương trình (4) khơng có nghiệm ngun Ví dụ : Chứng minh khơng tồn số ngun x, y, z thỏa mãn : x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2000 (5) Lời giải : Ta có x3 - x = (x - 1).x.(x + 1) tích số ngun liên tiếp (với x số ngun) Do : x3 - x chia hết cho Tương tự y3 - y z3 - z chia hết cho Từ ta có : x3 + y3 + z3 - x - y - z chia hết cho Vì 2000 khơng chia hết x3 + y3 + z3 - x - y - z ≠ 2000 với số ngun x, y, z tức phương trình (5) khơng có nghiệm ngun Ví dụ : Tìm nghiệm ngun phương trình : xy + x - 2y = (6) Lời giải : Ta có (6) tương đương y(x - 2) = - x + Vì x = khơng thỏa mãn phương trình nên (6) tương đương với: y = (-x + 3)/(x - 2) tương đương y = -1 + 1/(x - 2) Ta thấy : y số ngun tương đương với x - ước hay x - = x - = -1 tương đương với x = x = Từ ta có nghiệm (x ; y) (1 ; -2) (3 ; 0) Chú ý : Có thể dùng phương pháp để giải tốn này, nhờ đưa phương trình (6) dạng : x(y + 1) - 2(y + 1) = tương đương (x - 2)(y + 1) = Phương pháp : Sử dụng bất đẳng thức Dùng bất đẳng thức để đánh giá ẩn từ đánh giá => giá trị ngun ẩn Ví dụ : Tìm nghiệm ngun phương trình : x2 - xy + y2 = (7) Lời giải : (7) tương đương với (x - y/2)2 = - 3y2/4 Vì (x - y/2)2 ≥ => - 4y2/4 ≥ => -2 ≤ y ≤ Lần lượt thay y = -2 ; ; -1 ; ; vào phương trình để tính x Ta có nghiệm ngun phương trình : (x ; y) thuộc {(-1 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; (-1 ; 1) ; (1 ; -1)} B Bài tập áp dụng : Bài : Giải phương trình nghiệm ngun : 1) x2 - xy = 23 ; 2) 3x - 3y + = ; 3) 19x2 + 28y2 =729 ; 4) 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 Bài : Tìm x, y ngun dương thỏa mãn : 1) 4xy - 3(x + y) = 59 ; 2) 5(xy + yz + zx) = 4xyz ; 3) xy/z + yz/x + zx/y = ; 4) 1/x + 1/y + 1/z = 1/1995 5) y + xy − 3x − = 6) x + xy − 2008 x − 2009 y − 2010 = 7) x - x - =- y + y - 8) x − 25 = y ( y + 6) 9) y2 = - 2(x6- x3y - 32) [...]... 1) x2 - 4 xy = 23 ; 2) 3x - 3y + 2 = 0 ; 3) 19x2 + 28y2 =7 29 ; 4) 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 Bài 2 : Tìm x, y ngun dương thỏa mãn : 1) 4xy - 3(x + y) = 59 ; 2) 5(xy + yz + zx) = 4xyz ; 3) xy/z + yz/x + zx/y = 3 ; 4) 1/x + 1/y + 1/z = 1/ 199 5 5) y 2 + 2 xy − 3x − 2 = 0 6) x 2 + xy − 2008 x − 20 09 y − 2010 = 0 7) x - 2 x - 1 =- y + 4 y - 4 8) x 2 − 25 = y ( y + 6) 9) y2 = - 2(x6- x3y - 32) ... Ví dụ 1 : Tìm nghiệm ngun của phương trình : y3 - x3 = 91 (1) Lời giải : (1) tương đương với (y - x)(x2 + xy + y2) = 91 (*) Vì x2 + xy + y2 > 0 với mọi x, y nên từ (*) => y - x > 0 Mặt khác, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và y - x ; x2 + xy + y2 đều ngun dương nên ta có bốn khả năng sau : y - x = 91 và x2 + xy + y2 = 1 ; (I) y - x = 1 và x2 + xy + y2 = 91 ; (II) y - x = 3 và x2 + xy + y2 = 7 ; (III) y - x =... 2) ( x − 1) ( x − 3) ( x − 4 ) ( x − 6 ) + 10 ≥ 1 ⇔ ( x − 1) ( x − 6 ) ( x − 3) ( x − 4 ) + 10 ≥ 1 ( ⇔(x )( ) − 7 x + 9 ) − 9 + 10 ≥ 1 ⇔ ( x ( )( ) ⇔ x 2 − 7 x + 6 x 2 − 7 x + 12 + 10 ≥ 1 ⇔ x 2 − 7 x + 9 − 3 x 2 − 7 x + 9 + 3 + 10 ≥ 1 3) 2 2 c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab 2 − 7x + 9 ) 2 ≥ 0 ln đúng => đpcm ⇔ ( c ( a − c) + c ( b − c) ) 2 ≤ ab ⇔ c ( a − c ) + c ( b − c ) + 2 c 2 ( a − c ) ( b − c )... Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Dạng 2: Tính các yếu tố và diện tích của các hình hình học Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Dạng 3: Tìm quỹ tích, tập hợp điểm Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Bài 6(1,5 đ ) Cho hình vuông MNPQ Gọi I là... b + ≥2 b a a b 2) ab < 0 thì + ≤ −2 b a 1) ab > 0 thì Bài 19: Bài 20: Bài 21: Bài 22: Bài 23: Bài 24: B Bất đẳng thức phụ: 1 4 Hệ quả: xy ≥ 2 ( x + y) 1 1 4 + ≥ x y x+ y ( x, y > 0 ) Bài 25: Bài 26: Bài 27: Bài 28: Bài 29: Bài 30: Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Tìm giá trị lớn... X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iĨm O ®Ĩ OP 2 + OQ 2 + OR 2 nhá nhÊt T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã Bài 6(1,5 đ ) Cho hình vuông MNPQ Gọi I là một điểm thuộc cạnh MN Tia QI cắt tia PN tại B.Tia Qx vuông góc với cạnh QB cắt tia NP tại điểm C a/ Chứng minh tam giác IQC cân b/ Giả sử QC ... − = n − 1 1 B= + + + + = 2+ +2 3+3 100 99 + 99 100 1 1 + + + + ( + 1) 2( + 2) 100 99 ( 100 + 99 ) 3( + 3) 1 1 + + + + ( + 1) 2( + 2) 100 99 ( 100 + 99 ) 3( + 3) A= = 2) = = = = ( − 1) 1(2 −... 2) ( − 2) + + ( − 3) ( − 3) ( − 3) + + + + ( 100 − 99 ) 100 99 (100 − 99 ) ( 100 − 99 ) 100 99 1 1 1 1 1− + − + − + + − =1− = 10 10 2 3 99 100 3)Trục thức rút gọn Bài 34: Cho số dương x, y,... + 1) a a +1 a ( a + 1)   1 = 99 +  − + 1 1  1  1 1   −  + 1 + −  + + 1 + − = 2  3  4  99 100  1 1 1  − + − + − = 99 ,99  = 100 − 3 99 100  100 Do đó: B = 1 + −  +