BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH _ HUỲNH THỊ KIM CHI ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT VÀI THAM SỐ LÊN HIỆU ỨNG LƯỠNG ỔN ĐỊNH QUANG HỌC TRONG CẤU TRÚC DẪN SÓNG PHI TUYẾN MỘT CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ Nghệ An, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH _ HUỲNH THỊ KIM CHI ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT VÀI THAM SỐ LÊN HIỆU ỨNG LƯỠNG ỔN ĐỊNH QUANG HỌC TRONG CẤU TRÚC DẪN SÓNG PHI TUYẾN MỘT CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ Chuyên ngành: Quang học Mã số: 60.44.01.09 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN VĂN PHÚ Nghệ An, 2015 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS TS Nguyễn Văn Phú giúp đỡ mà thầy giành cho tác giả suốt thời gian vừa qua Thầy định hướng nghiên cứu, cung cấp tài liệu quan trọng nhiều lần thảo luận, tháo gỡ khó khăn q trình nghiên cứu mà tác giả gặp phải Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy giáo bạn học viên chuyên ngành Quang học – Cao học 21 – Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả trình học tập có nhận xét đóng góp quý báu cho tác giả trình tác giả thực đề tài Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu vừa qua Cuối cùng, xin gửi đến thầy cô giáo, bạn bè người thân lòng biết ơn chân thành lời chúc sức khỏe thành công sống Long An, tháng năm 2015 Tác giả Huỳnh Thị Kim Chi MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục hình vẽ MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương Cấu trúc dẫn sóng phi tuyến chiều 1.1 Môi trường quang học tuyến tính phi tuyến 1.1.1 Hệ phương trình Maxwell 1.1.2 Các môi trường phi tuyến 1.1.2.1 Môi trường Kerr 1.1.2.2 Mơi trường hấp thụ bão hịa 12 1.2 Cấu trúc photonic phi tuyến chiều 13 1.3 Hiệu ứng lưỡng ổn định quang học 15 1.3.1 Nguyên lý lưỡng ổn định quang học 15 1.3.2 Một vài ứng dụng hệ lưỡng ổn định quang học 19 1.4 Kết luận chương I 23 Chương Ảnh hưởng vài tham số lên hiệu ứng lưỡng ổn định quang học cấu trúc dẫn sóng phi tuyến chiều 25 2.1 Phương trình sóng điều kiện biên 25 2.1.1 Các phương trình sóng 25 2.1.2 Phương pháp số 28 2.1.2.1 Sơ đồ tuyến tính 28 2.1.2.2 Phương pháp số với sơ đồ phi tuyến 31 2.1.2.3 Phép giải phi tuyến 32 2.2 Hiệu ứng lưỡng ổn định quang học cấu trúc dẫn sóng phi tuyến chiều 34 2.3 Ảnh hưởng vài tham số cấu trúc lên đặc trưng lưỡng ổn định 35 2.3.1 Mối quan hệ hệ số truyền qua tần số 35 2.3.2 Ảnh hưởng cường độ đầu vào lên hiệu ứng lưỡng ổn định quang học 37 2.4 Kết luận chương II 40 KẾT LUẬN CHUNG 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 DANH SÁCH HÌNH VẼ Trang Hình 1.1 Thiết bị lưỡng ổn định quang học với môi trường hấp thụ bão hịa 13 Hình 1.2 Cấu trúc tinh thể photonic chiều 14 Hình 1.3 Quan hệ vào – hệ lưỡng ổn định quang học 16 Hình 1.4 Nguyên lý hoạt động hệ lưỡng ổn định quang học 17 Hình 1.5 Đồ thị f(Ira) có dạng hình chng 18 Hình 1.6a, b Mối quan hệ vào – hàm truyền có dạng hình chng 19 Hình 1.7 Mối quan hệ vào – hệ lưỡng ổn định 19 Hình 1.8 Mối quan hệ vào – hệ lượng tử ổn định 20 Hình 1.9 Quá trình flip – flop hệ lưỡng ổn định 22 Hình 1.10 Hệ lưỡng ổn định làm việc thiết bị khuếch đại 22 Hình 1.11a Hệ lưỡng ổn định đóng vai trị thiết bị nắn xung, phần tử chặn 23 Hình 1.11b Thiết bị lưỡng ổn định hoạt động cổng logic AND 23 Hình 2.1 Quan hệ P-E mơi trường phi tuyến 25 Hình 2.2 Sơ đồ minh họa cấu trúc HL 27 Hình 2.3 Các giá trị truyền qua cấu trúc phi tuyến (HL)6(D)2(LH)6 với bước lặp 𝜎 khác 33 Hình 2.4 Sự xuất hiệu ứng lưỡng ổn định quang học cấu trúc (HL)4(D)2(LH)4 35 Hình 2.5 Sự biến thiên hệ số truyền qua cấu trúc (HL)N(D)(LH)N với N=4 N=8 36 Hình 2.6 Sự truyền quang phổ cấu trúc phi tuyến (HL) 4(D)2(LH)4 cho Iinc khác 37 Hình 2.7a.Quan hệ vào-ra cấu trúc (HL)4(D)2(LH)4 với tần số thấp 𝜔0 38 Hình 2.7b Quan hệ vào-ra cấu trúc (HL)4(D)2(LH)4 với tần số 𝜔0 39 Hình 2.8 Đường cong lưỡng ổn định cấu trúc (HL)4(D)M(LH)4 40 MỞ ĐẦU Hiện tượng lưỡng ổn định quang học nghiên cứu từ lâu Szoke vào năm 1969 Nghiên cứu cho thấy điều kiện gây tượng lưỡng ổn định quang học kết hợp tính phi tuyến hồi tiếp quang học Đến nay, tượng lưỡng ổn định quang học thu hút nhà vật lý nghiên cứu rộng rãi mặt lý thuyết thực nghiệm Hiệu ứng lưỡng ổn định có nhiều ứng dụng việc xử lý tín hiệu quang học, ứng dụng kỹ thuật máy tính,…và đặc biệt thành tựu hệ thống cáp quang thông dụng ngày Đặc biệt, tinh thể photonic tạo từ mơi trường phi tuyến có chiết suất thay đổi tuần hoàn hoạt động lưỡng ổn định ứng dụng hệ thống thông tin quang sợi [1-5] Trong luận văn đặt vấn đề khảo sát: “Ảnh hưởng vài tham số lên hiệu ứng lưỡng ởn định quang học cấu trúc dẫn sóng phi tuyến chiều” Ngoài phần mở đầu, nội dung luận văn gồm hai chương: Chương I, trình bày tổng quan mơi trường quang học tuyến tính phi tuyến, cấu trúc dẫn sóng phi tuyến chiều, hiệu ứng lưỡng ổn định quang học Chương II luận văn nghiên cứu hệ phương trình mơ tả lan truyền sóng điện từ qua cấu trúc dẫn sóng phi tuyến chiều phương pháp giải hệ phương trình để khảo sát mối quan hệ giá trị vào Chúng khảo sát xuất hiệu ứng lưỡng ổn định quang học ảnh hưởng thông số đầu vào cường độ, tần số lên đường cong lưỡng ổn định cấu trúc Phần kết luận nêu lên số kết mà luận văn đạt CHƯƠNG I – CẤU TRÚC DẪN SÓNG PHI TUYẾN MỘT CHIỀU 1.1 Mơi trường quang học tuyến tính phi tuyến 1.1.1 Hệ phương trình Maxwell Trong nghiên cứu quang học, ta quan tâm đến đại lượng vectơ trường   điện từ: Vectơ cường độ điện trường E , vectơ cảm ứng điện D , vectơ cường độ   từ trường H , vectơ cảm ứng từ B Lý thuyết trường điện từ dựa phương trình Maxwell Dưới dạng vi phân, chúng biểu diễn sau: ⃗ = 𝜌 ∇ 𝐷 (1.1) ⃗ = ∇ 𝐵 (1.2) ∇ × 𝐸⃗ = − ⃗ 𝜕𝐵 (1.3) 𝜕𝑡 ⃗ ⃗ = 𝑗 = ⃗⃗𝑗𝑐 + 𝜕𝐷 ∇×𝐻 (1.4) 𝜕𝑡 vectơ 𝑗 mật độ dòng điện 𝜌 kí hiệu mật độ điện tích, ⃗⃗𝑗𝑐  nguồn sinh trường điện từ Ta tóm tắt diễn giải vật lí phương trình Maxwell sau: Phương trình (1.1) biểu diễn khác định luật Gauss cho điện trường Để chuyển phương trình sang dạng tích phân cho rõ ràng mặt vật lí, lấy tích phân phương trình (1.1) theo thể tích V bao mặt S sử dụng định lí Gauss     .DdV   D.dS V (1.5) S nhận được:   D  dS   dV S (1.6) V   phương trình thơng lượng điện  D.dS chảy khỏi mặt S bao S quanh V tổng điện tích thể tích V Phương trình (1.2) dạng tương tự phương trình (1.1) từ trường chuyển thành dạng tích phân tương tự (1.6) cách tiếp tục sử dụng định lí Gauss:   B  dS  (1.7) S vế phải phương trình (1.2 1.7) theo quan điểm cổ điển đơn cực từ khơng tồn Do thơng lượng từ trường ln bảo tồn Phương trình (1.3) phát biểu định luật Faraday độ dẫn Để chuyển dạng tích phân, tích phân mặt mở S bao đường C sử dụng định lí Stockes    (   E ) d S  E   dl S (1.8) C nhận được:   B   E.dl  S t dS C (1.9)  phương trình cho thấy suất điện động cảm ứng  E.dl vòng dây C C tốc độ thay đổi theo thời gian thơng lượng từ trường chuyển qua diện tích vịng dây Suất điện động cảm ứng theo, nghĩa chống lại thay đổi từ trường, dấu “ - ” phương trình (1.9), gọi định luật Lentz Tương tự vậy, dạng tích phân phương trình (1.4) là:     D  H dl  d S  C S t S jc dS (1.10)  tích phân đường H theo vịng kín C dịng điện tồn phần (dòng điện dẫn dòng điện dịch) chuyển qua mặt bao vòng dây C Khi lần đưa Ampere, phương trình (1.4) (1.10)  có số hạng dịng điện dẫn jc vế phải Maxwell đề nghị bổ sung thêm số hạng  dòng điện dịch D / t để bao hàm hiệu ứng dịng truyền qua, ví dụ tụ điện Đối với phân bố mật độ điện tích dịng cho trước, lưu ý có bốn phương trình từ (1.1) đến phương trình (1.4) cho bốn ẩn số cần xác định để giải toán trường điện từ đặt Như vậy, toán xác định rõ ràng Tuy nhiên, khảo sát kĩ cho thấy phương trình (1.3) (1.4) phương trình vectơ, chúng tương đương với sáu phương trình vơ hướng Cũng vậy, phương trình liên tục:    jc  0 t (1.11) Phương trình (1.1) khơng độc lập với (1 4), tương tự, (1.2) hệ (1.3) Ta kiểm tra điều cách lấy div vế phương trình (1.3) (1.4) cách dùng phương trình liên tục (1.11), đồng thời với hệ thức vectơ:  .(  A)  (1.12) kết việc thảo luận là, có sáu phương trình vơ hướng độc lập mười     hai ẩn số (các thành phần x,y,z vectơ E, D, H B ) cần phải giải Sáu phương trình vơ hướng cần thiết cho hệ thức vật chất:   D   E   B  H (1.13a) (1.13b)  kí hiệu độ điện thẩm (F/m)  độ từ thẩm (H/m) môi trường Lưu ý biết   số vô hướng Điều mơi trường tuyến tính đồng đẳng hướng Mơi trường tuyến tính tính chất khơng phụ thuộc vào biên độ trường bên môi trường Môi trường đồng tính chất hàm số theo không gian Cuối cùng, mơi trường đẳng hướng tính chất theo tất phương điểm cho trước 29 𝐸 ∗ phần liên hợp phức 𝐸 Nếu đạo hàm (2.12) triệt tiêu, 𝛿𝐸 𝐹𝐿𝑖𝑛 = trường 𝐸(𝑧) thỏa mãn phần tuyến tính phương trình Hemholtz phi tuyến (2.7) với điều kiện biên (2.9) (2.10) Khi làm gần hàm 𝐹2 (𝐸) cách viết hàm 𝐸(𝑧) tổ hợp tuyến tính dạng: 𝑀 𝐸(𝑧) ≅ ∑𝑗 =0 𝐸̂𝑗 𝜑𝑗 (𝑧) (2.14) Vì vậy: 𝐹2 (𝐸) ≅ ̃ 𝐹2 (𝐸̂ ) (2.15) Ở đây𝐸̂ = (𝐸̂0 , 𝐸̂1 , … , 𝐸̂𝑀0 )𝑇 (dạng ma trận chuyển vị) Đến giả sử khoảng [𝑧𝑚𝑖𝑛 ; 𝑧𝑚𝑎𝑥 ] chia tách từ 𝑀0 nhiều khoảng có chiều dài ℎ = (𝑧𝑚𝑎𝑥 − 𝑧𝑚𝑖𝑛 )/𝑀0 cách chọn điểm nút 𝑧𝑗 = 𝑧𝑚𝑖𝑛 + 𝑗ℎ với 𝑗 = 0,1, … 𝑀0 𝐸̂𝑗 gần 𝐸(𝑧) 𝑧 = 𝑧𝑗 Khi đó, điều kiện 𝛿𝐸 𝐹𝐿𝑖𝑛 = tương đương với ∇𝐹̃𝐿𝑖𝑛 (𝐸̂ ) = dẫn đến phần tử hữu hạn: 1 (ℎ 𝑃 + ℎ𝑘 𝑄) 𝐸̂ = 𝜈 −1 − 𝑖ℎ𝑘𝑛0 𝑃 = ( 𝑄 = 2𝑛̂02 𝑛̂02 ( −2 −2 −1 − ℎ𝑘𝑛0 ) 𝑛̂02 2(𝑛̂02 + 𝑛̂12 ) 𝑛̂12 Và 𝜈 = (−2𝑖𝑘𝑛0 𝐴𝑖𝑛𝑐 (2.16) 𝑛̂𝑀 −2 … 0) 𝑇 2 2(𝑛̂𝑀0−2 + 𝑛̂𝑀 ) −1 𝑛̂𝑀 −1 𝑛̂𝑀 −1 2𝑛̂𝑀 −1 ) 30 𝑛̂𝑗 phần chiết suất tuyến tính khoảng (𝑧𝑗 , 𝑧𝑗+1 ) Phương pháp giải gọi tiêu chuẩn FEM Chúng ta đưa ví dụ đắn tiêu chuẩn FEM Chẳng hạn với môi trường đồng chiết suất n, phương trình thứ j (2.16) viết dạng: 𝛿𝑧2 𝐸̂𝑗 + 𝑘 𝑛̂2 (𝐸̂𝑗−1 + 4𝐸̂𝑗 + 𝐸̂𝑗−1 ) = Với 𝛿𝑧2 𝐸̂𝑗 = ℎ2 (2.17) (𝐸̂𝑗+1 − 2𝐸̂𝑗 + 𝐸̂𝑗−1 ) Sử dụng phép khai triển Taylor, nhận được: 𝑑 𝐸(𝑧𝑗 ) 𝑑𝑧 𝑑 𝐸(𝑧𝑗 ) 𝑑𝑧 Với 𝑅 = = 𝛿𝑧2 𝐸̂𝑗 − ℎ2 𝑑 𝐸(𝑧𝑗 ) 12 𝑑𝑧 + 𝑂(ℎ4 ) + 𝑘 𝑛̂2 𝐸(𝑧𝑗 ) = 𝛿𝑧2 𝐸̂𝑗 + 𝑘 𝑛̂2 (𝐸̂𝑗−1 + 4𝐸̂𝑗 + 𝐸̂𝑗+1 ) + 𝑅 2 2 𝑑 𝐸(𝑧𝑗 ) − 𝑘 𝑛̂ ℎ 12 𝑑𝑧 (2.18) (2.19) + 𝑂(ℎ4 ) Điều cho thấy mơ hình tiêu chuẩn (2.17) với điểm bên xác đến bậc Sự xác điều kiện biên riêng lẻ kiểm tra sau Đầu tiên xét riêng TIBC 𝑧 = 𝑧𝑚𝑖𝑛 , từ (2.9) sử dụng sai phân trung tâm: 2ℎ (𝐸̂1 , 𝐸̂−1 ) − 𝑖𝑘𝑛0 𝐸0 = −2𝑖𝑘𝑛0 𝐴𝑖𝑛𝑐 (2.20) Với gần bậc O(h2) Khi gần dùng để khử số hạng 𝐸̂−1 phương trình (2.19) j = đến tìm tiêu chuẩn FEM biên bên trái (và tương tự cho biên bên phải) Vì (2.19) (2.20) có gần bậc O(h 2) nên tiêu chuẩn FEM biên O(h2) Bây phát triển bậc xác (2.16) Bằng cách sử dụng sai phân trung tâm Res thay vào (2.19) nhận sơ đồ bậc 4: 𝑑 𝐸(𝑧𝑗 ) 𝑑𝑧 1 + 𝑘 𝑛̂2 𝐸(𝑧𝑗 ) = (1 − 𝑘 𝑛̂2 ℎ2 ) 𝛿𝑧2 𝐸̂𝑗 + 𝑘 𝑛̂2 (𝐸̂𝑗−1 + 4𝐸̂𝑗 + 12 𝐸̂𝑗+1 ) + 𝑂(ℎ4 ) (2.21) Khi nhận hệ phương trình tuyến tính dạng: 1 (ℎ 𝑃1 + ℎ𝑘 𝑄) 𝐸̂ = 𝜈1 (2.22) 31 𝑃1 −𝛼0 (1 + 𝑖ℎ𝑘𝑛0 ) 𝛼0 = ( Với 𝛼𝑗 = − 𝛼0 −(𝛼0 + 𝛼1 ) 𝑘 𝑛̂𝑗2 ℎ2 12 𝛼1 𝛼𝑀0 −2 −(𝛼𝑀0−2 + 𝛼𝑀0 −1 ) 𝛼𝑀0 −1 𝜈1 = (−2𝑖𝑘𝑛0 𝐴𝑖𝑛𝑐 (1 + 𝑘 𝑛02 ℎ2 12 𝛼𝑀0 −1 −𝛼𝑀0−1 (1 + 𝑖ℎ𝑘𝑛0 )) )0 … 0) 𝑇 Chú ý ma trận có dạng chéo đối xứng Sơ đồ bậc gọi sơ đồ FEM cải tiến Dựa kết thực nghiệm nhận biên độ số lỗi pha tiêu chuẩn FEM O(h2) Khi áp dụng sơ đồ FEM cải tiến cho hai cấu trúc đồng dạng (HL)N(L)(LH)N với N = N = 10 tương ứng Các kết cho thấy sai số thực tế O(h4) chấp nhận 2.1.2.2 Phương pháp số với sơ đồ phi tuyến Trong môi trường phi tuyến, độ điện cảm bậc ba 𝜒 (3) khác bổ sung vào phương trình (2.7) số hạng phi tuyến: 𝑘 𝜒 (3) (𝑧)|𝐸(𝑧)|2 𝐸(𝑧) Khi hàm (2.11) mở rộng thành: 𝐹𝑁𝐿 (𝐸) = 𝑧𝑚𝑎𝑥 ∫ 𝑧 𝑚𝑖𝑛 𝑘 𝜒 (3) (𝑧)|𝐸|4 𝑑𝑧 (2.23) Chúng ta biến đổi hàm 𝐹𝑁𝐿 dạng: 𝐹𝑁𝐿 (𝐸) ≅ 𝐹̃𝑁𝐿 (𝐸̂ ) = ℎ 20 𝑀 −1 (3) 𝑘 ∑𝑗 =0 𝜒𝑗 𝐹̃𝑁𝐿𝑗 (2.24) (3) Với 𝜒𝑗 hệ số phi tuyến bậc khoảng (𝑧𝑗 , 𝑧𝑗+1 ) 2 1 ∗ ∗2 𝐹̃𝑁𝐿𝑗 = |𝐸̂𝑗 | + |𝐸̂𝑗 | (𝐸̂𝑗 𝐸̂𝑗+1 + 𝐸̂𝑗∗ 𝐸̂𝑗+1 ) + |𝐸̂𝑗 | |𝐸̂𝑗+1 | + (𝐸̂𝑗2 𝐸̂𝑗+1 + 2 ∗ 2|𝐸̂𝑗 | |𝐸̂𝑗+1 | + 𝐸̂𝑗∗2 𝐸̂𝑗+1 + 𝐸̂𝑗∗ 𝐸̂𝑗+1 ) + |𝐸̂𝑗+1 | ) + |𝐸̂𝑗+1 | (𝐸̂𝑗 𝐸̂𝑗+1 Thành phần vi phân 𝐹̃𝑁𝐿 (𝐸̂ ) biểu diễn dạng: (2.25) 32 𝜕𝐹̃𝑁𝐿 𝜕𝐸̂𝑗 2 2 ∗ = 𝜇𝑗−1 ( 𝐸̂𝑗−1 𝐸̂𝑗∗ + |𝐸̂𝑗−1 | + 2|𝐸̂𝑗 | ) 𝐸̂𝑗−1 + 𝜇𝑗−1 (𝐸̂𝑗 𝐸̂𝑗−1 + |𝐸̂𝑗−1 | + 3 2 2 ∗ 4|𝐸̂𝑗 | ) 𝐸̂𝑗 + 𝜇𝑗 (𝐸̂𝑗 𝐸̂𝑗+1 + |𝐸̂𝑗+1 | + 4|𝐸̂𝑗 | ) 𝐸̂𝑗 + 𝜇𝑗 ( 𝐸̂𝑗+1 𝐸̂𝑗∗ + |𝐸̂𝑗+1 | + 3 2|𝐸̂𝑗 | ) 𝐸̂𝑗+1 (2.26) (3) Với 𝜇𝑗 = ℎ𝑘 𝜒𝑗 /20 Thêm (2.26) vào (2.22), nhận được: 1 (ℎ 𝑃1 + ℎ𝑘 𝑄 + 𝑅(𝐸̂ )) 𝐸̂ = 𝜈 (2.27) Với ∇𝐹̃𝑁𝐿 (𝐸̂ ) = 𝑅(𝐸̂ ) 𝐸̂ 2.1.2.3 Phép giải phi tuyến Chúng ta sử dụng phương pháp lặp với điểm cố định để giải hệ phương trình phi tuyến (2.27) 1 (ℎ 𝑃1 + ℎ𝑘 𝑄 + 𝑅(𝐸̂ (𝑚) )) 𝐸̂ (𝑚+1) = 𝜈 (2.28) m = 1, 2, 3,…là bước lặp với 𝐸 (1) kết phép giải phương trình tuyến tính Q trình lặp dừng lại khi: ‖𝐸̂ (𝑚+1) − 𝐸̂ (𝑚) ‖ < 𝜀 (2.29) Với 𝜀 số vô bé ~10−6 Trong trường hợp tổng quát, thuật toán lặp hội tụ tồn kết Tuy nhiên trường hợp xuất lưỡng ổn định quang học, nghiệm Chẳng hạn thực phương pháp lặp (2.28) để tính cường độ truyền qua |𝑇|2 = |𝐸̂𝑀 ⁄𝐴𝑖𝑛𝑐 | cấu trúc phi tuyến với cường độ 1,004 kW/m2 Chú ý ví dụ mơ tả tình trạng xung quanh bước chuyển vùng từ trạng thái thấp lên trạng thái cao Kết biểu diễn hình 2.2 (đường nét đứt) cho bước tích phân Rõ ràng phương pháp lặp có phép giải khơng hội tụ Để ý đến phân kỳ phương pháp lặp có phép giải khơng hội tụ Để ý đến phân kỳ phương pháp lặp thay đối 33 số R (2.28) trọng số trung bình 𝐸̂ (𝑚−1) 𝐸̂ (𝑚) theo quan hệ: 1 ̃ 𝑄 + 𝑅(𝐸̂ (𝑚−1⁄2) )) 𝐸̂ (𝑚+1) = 𝜈 (ℎ 𝑃1 + ℎ𝜔 (2.30) 𝐸̂ (𝑚−1⁄2) = 𝜎𝐸̂ (𝑚) + (1 − 𝜎)𝐸̂ (𝑚−1) , với 𝜎 thỏa mãn < 𝜎 ≤ tham số điều khiển trọng số 𝐸̂ (𝑚) Giả sử 𝐸̂ (𝑚−1⁄2) 𝐸̂ (𝑚−1) 𝐸̂ (𝑚) 𝐸̂ (𝑚−1⁄2) hội tụ có giới hạn Dựa kết thực nghiệm phương pháp lặp (2.30) kết phép hội tụ với giá trị nhỏ chấp nhận 𝜎 Tuy nhiên giá trị bé 𝜎 cần bước lặp lớn Chẳng hạn ví dụ hình 2.3 tính tốn cường độ truyền qua cấu trúc thiếu hụt sử dụng phương pháp lặp trọng số trung bình hàm bước Hệ số truyền qua lặp với 𝜎 = 1⁄3 𝜎 = 10 tương ứng Số bước lặp Hình 2.3 Biến thiên giá trị truyền qua cấu trúc phi tuyến (HL)6(D)2(LH)6 với bước lặp 𝜎 khác [5] 34 Chúng ta nhận thấy công thức (2.30) có điểm hội tụ với |𝑇|2 = 0.6254 sau 90 bước lặp với 𝜎 = 1⁄3 (đường đứt nét) 200 bước lặp với 𝜎 = 1⁄10 (đường đứt nét-gạch) Với 𝜎 = , (2.30) không hội tụ Chúng ta ý phương pháp lặp (2.30) không hội tụ với nghiệm nhất, trường hợp lưỡng ổn định có hai giá trị ổn định Do phải tìm cách giải khác bên cạnh phương pháp thu theo (2.30) Xét chất hiệu ứng lưỡng ổn định, cường độ truyền qua không phụ thuộc vào cường độ tới mà cịn phụ thuộc vào lịch sử đầu vào Vì bắt đầu giải phương trình (2.30) cho biên độ bé (0) 𝐴𝑖𝑛𝑐 liên hệ với lưỡng ổn định sử dụng nghiệm tuyến tính ước lượng ban đầu 𝐸̂ (1) Khi sử dụng kết tính toán điểm (1) (0) bắt đầu cho 𝐴𝑖𝑛𝑐 > 𝐴𝑖𝑛𝑐 tiếp tục Trong thuật toán biên độ tới (0) tăng lên từ 𝐴𝑖𝑛𝑐 kết (phép giải) tương ứng với mức thấp đến tận chuyển lên trạng thái cao Ngược lại giảm biên độ sóng vào từ trạng thái dịch chuyển cao tìm nghiệm ổn định khác Do thuật toán gọi phương pháp liên tục, sử dụng để mơ tả lưỡng ổn định quang học 2.2 Hiệu ứng lưỡng ổn định quang học cấu trúc dẫn sóng phi tuyến chiều Để khảo sát phụ thuộc cường độ xạ truyền qua vào tham số đầu vào, giải phương pháp lặp với điểm cố định phương trình sóng (2.7) theo cách giải số với điều kiện dừng (2.29) Giá trị số tham số áp dụng cho cấu trúc phi tuyến (HL)4(D)2(LH)4: - Giá trị chiết suất tương ứng: nL = 1.25 nH = 2.5 - Số bước lặp m = 300 - Cường độ ánh sáng tới: Iinc = 150kW/m2 35 - Tần số trung tâm: 𝜔0 = 2𝜋𝑐/𝜆0 Các mơ trình bày hình 2.4 Từ hình vẽ nhận thấy quan hệ cường độ với cường độ vào có dạng đường cong trễ Rõ ràng Cường độ truyền qua (kW/m2) đường cong đặc trưng hiệu ứng lưỡng ổn định quang học Cấu trúc: Cường độ tới (kW/m2) Hình 2.4 Sự xuất hiệu ứng lưỡng ổn định quang học cấu trúc (HL)4(D)2(LH)4 [5] Trong phần sau cách giải tương tự khảo sát ảnh hưởng vài tham số cấu trúc lên đặc trưng lưỡng ổn định 2.3 Ảnh hưởng vài tham số cấu trúc lên đặc trưng lưỡng ổn định 2.3.1 Mối quan hệ hệ số truyền qua tần số Nếu phi tuyến Kerr điều khiển cấu trúc, đưa thay đổi số khúc xạ địa phương Theo [6] thay đổi chiết suất phụ thuộc vào cường độ sóng tới biểu diễn dạng: ∆𝑛 = 𝑛̅2 |𝐸|2 𝑛̅2 gọi hệ số phi tuyến Kerr xác định: 𝑛̅2 = 2𝑛 𝜒 (3) (2.31) 36 Sự thay đổi số khúc xạ phi tuyến dẫn đến thay đổi quang phổ Chúng ta nghiên cứu phi tuyến Kerr với 𝜒 (3) = 10−12 𝑚2 𝑉 −2 Đối với cấu trúc hoàn toàn định kỳ, lưỡng ổn định thường tồn xung quanh đỉnh cộng hưởng.Ví dụ, hình 2.5 truyền quang Hệ số truyền qua phổ cấu trúc (HL)N(D)(LH)N với N = N = Cấu trúc: Hệ số truyền qua Tần số (rad.s-1) Cấu trúc: Tần số (rad.s-1) Hình 2.5 Sự biến thiên hệ số truyền qua cấu trúc (HL)N(D)(LH)N với N = (hình 2.5a) N = (hình 2.5b) [5] Với giá trị N = 4, lưỡng ổn định thu I inc= 7.5.104 kW/m2 Khi số lớp tăng lên, chẳng hạn N = 8, hiệu ứng lưỡng ổn định xuất giá trị Iinc = 5.103 kW/m2 37 Đối với cấu trúc phi tuyến, hiệu ứng lưỡng ổn định xảy lân cận đỉnh cộng hưởng vị trí sai hỏng cấu trúc Như biết, cường độ điện trường bên hệ thống sai hỏng cấu trúc chế độ cao tần nên sử dụng để nâng cao ảnh hưởng phi tuyến Vì lưỡng ổn định thấy xung quanh tần số với giới hạn thấp so sánh với chu kỳ cấu trúc mà chiều dài giống Ở hình 2.6 truyền quang phổ cấu trúc phi tuyến (HL)4(D)2(LH)4 cho Iinc khác Hệ số truyền qua Lưỡng ổn định thấy với Iinc = 100 kW/m2 Cấu trúc: Tần số (rad.s-1) Hình 2.6 Phổ truyền qua cấu trúc phi tuyến (HL)4(D)2(LH)4 với Iinc khác [5] 2.3.2 Ảnh hưởng cường độ đầu vào lên hiệu ứng lưỡng ổn định quang học Chúng ta biết rằng, tần số trung tâm 𝜔 = 0.9988.2𝜋𝑐/𝜆0 hình 2.6, truyền tìm thấy liên quan I inc thấp, sau giá trị Iinc lớn Tuy nhiên, tăng cường độ đầu vào, tuyền lần Thực tế nhận thấy khả điều khiển lưỡng ổn định quang học cường độ đầu vào tần số đặt 38 Một điều đưa lưỡng ổn định quang học thực với với ngưỡng thấp Chúng ta giới hạn nghiên cứu điều khiển lưỡng ổn định cường độ ánh sáng đầu vào cấu trúc khơng đối xứng Trong hình 2.7, biểu diễn đầu vào – cấu trúc (HL)4(D)2(LH)4 cho vài tần số thấp 𝜔 = 2𝜋𝑐/𝜆0 Chúng tìm thấy 𝜔 = 0.995.2𝜋𝑐/𝜆0 cấu trúc đưa hình dạng chữ S Khi cường độ ánh sáng tới tăng chậm từ 0, truyền cường độ (I tr) đầu tăng chậm Nếu đầu vào điều khiển ngưỡng giá trị (khoảng 6228.3 kW/m2), Itr trở thành giá trị cao (từ trạng thái thành 1’, hình 2.7 (a)) Khi Itr tăng chậm lần tăng Iinc đến ngưỡng (trạng thái 1’) Itr khơng trở trạng thái thấp (trạng thái 1) lại giảm chậm đạt trạng thái 2, Cường độ truyền qua (kW/m2) tức nhảy đến trạng thái 2’ Sau đó, Itr tiếp tục giảm với Iinc giảm Cấu trúc: Cường độ tới (kW/m2) Hình 2.7a Quan hệ vào – cấu trúc (HL)4(D)2(LH)4 với tần số thấp  Trong ngưỡng điều khiển có giá trị cho 𝜔 = 0.995.2𝜋𝑐/𝜆0 lớn, giá trị giảm điều khiển tần số ánh sáng đầu vào để dẫn đến hụt mode Ví dụ ngưỡng 𝜔 = 0.999.2𝜋𝑐/𝜆0 1392.8 kW/m2 81.2 kW/m2 Tuy nhiên, cách chuyển vận thu nhiều mơi trường vào có tần số vào khép kín để cộng hưởng tần số, trường hợp 𝜔 = 39 0.995.2𝜋𝑐/𝜆0 , hình 2.7 (b) Chúng ta ý rằng, số khúc xạ để phi tuyến Kerr tương đương với cường độ tới 6228.3 kW/m2 có giá trị ~ 0.0412 Khi ngưỡng cường độ giảm đến 81.2 kW/m2 tương ứng với số khúc xạ ~ Cường độ truyền qua (kW/m2) 0.0063 Cấu trúc: Cường độ tới (kW/m2) Hình 2.7b Quan hệ vào – cấu trúc (HL)4(D)2(LH)4 với tần số  Bây nghiên cứu ảnh hưởng bề dày độ hụt đến ngưỡng lưỡng ổn định quang học Chúng ta thấy hình 2.8 (a) đường lưỡng ổn định cấu trúc (HL)4(D)M(LH)4 cho M = 2, 4, Ngưỡng lưỡng ổn định quang học ~ 62.28 kW/m2 cho M = ~28.29 kW/m2 cho M = Chú ý rằng, tăng kích thước độ hụt không ảnh hưởng đến yếu tố nâng cao làm giảm FEHM độ hụt mode Vì vậy, tăng giá trị M, nên chọn 𝜔 để không làm hụt tần số, hình 2.8(a) Chúng ta kết luận thu hẹp bề rộng độ hụt mode đạt ngưỡng lưỡng ổn định thấp Dựa phân tích đó, thấy đặt phi tuyến Kerr hằng, ngưỡng lưỡng ổn định giảm bề rộng độ hụt mode nhỏ yếu tố nâng cao lớn Từ tăng số lượng lưới chu kỳ sinh FEHM nhỏ đồng thời tăng yếu tố nâng cao, thấy số chu kỳ sinh hiệu ứng lưỡng ổn định với ngưỡng thấp Thực vậy, ngưỡng thấp dễ dàng thu sử dụng độ hụt cấu 40 trúc (HL)N(D)M(LH)N với N = N = Ngưỡng lưỡng ổn định số trường hợp khoảng 7.55 kW/m2 cho N = khoảng 0.96 kW/m2 cho N = (hình 2.8 (b)) Thay đổi số khúc xạ tương đương với trường hợp sau Cường độ truyền qua (kW/m2) Cường độ truyền qua (kW/m2) ~7.6.10-4 Cường độ tới (kW/m2) Cường độ tới (kW/m2) Hình 2.8 Đường cong lưỡng ổn định cấu trúc (HL)4(D)M(LH)4 cho M = (hình a) N = (hình b).[5] 2.4 Kết luận chương II Trong chương dẫn hệ phương trình mơ tả lan truyền sóng điện từ qua cấu trúc (HL)4(D)2(LH)4 phương pháp giải hệ phương trình để khảo sát mối quan hệ giá trị vào 41 Kết cho thấy xuất hiệu ứng lưỡng ổn định quang học cấu trúc đề xuất ảnh hưởng thông số đầu vào cường độ, tần số, lên đường cong lưỡng ổn định cấu trúc 42 KẾT LUẬN CHUNG Nghiên cứu ảnh hưởng vài tham số lên hiệu ứng lưỡng ổn định quang học cấu trúc dẫn sóng phi tuyến chiều nội dung luận văn Chúng tơi đã: Trình bày tổng quan mặt vật lý mơi trường quang học tuyến tính phi tuyến, cấu trúc dẫn sóng phi tuyến chiều hiệu ứng lưỡng ổn định quang học Với cấu trúc (HL)N(D)M(LH)N chúng tơi dẫn hệ phương trình mơ tả lan truyền sóng điện từ phương pháp số giải hệ phương trình để khảo sát mối quan hệ giá trị vào Đã nghiên cứu xuất hiệu ứng lưỡng ổn định quang học cấu trúc (HL)4(D)2(LH)4 ảnh hưởng thông số đầu vào cường độ, tần số lên đường cong lưỡng ổn định cấu trúc 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đào Khắc An (2004), Các thiết bị quang tử ứng dụng hệ thống thông tin quang, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Đỗ Kiều Dung (2012), Hiệu ứng lưỡng ổn định tinh thể photonic dẫn sóng chiều, Luận văn Thạc sĩ Vật lý [3] Hồ Quang Quý (2013), Cơ sở quang tử học, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [4] G.S.Agarwal and S Dutta Gupta, Effect of nonlinear boundary conditions on nonlinear phenomena in optical resonators, Opt Lett 12, p 829, 1987 [5] S Dutta Gupta and G.S Agarwal, Dispersive bistability in coupled nonlinear Fabry-Perot resonators, J Opt Soc Am B4, p 691, 1987 [6] J He and M Cada, Combined distributed feedback and Fabry-Perot structures with a phase-matching layer for optical bistable devices, Appl Phys Lett 61, p.2150, 1992 [7] G.S He and S.H Liu, Physics of Nonlinear Optics (World Scientific, Singapore,1999) [8] J.D Joannopoulos, R.D Meade and J.N Winn, Photonic Crystals (Princeton University Press, Princeton, NJ, 1995) ... ứng dụng liên quan đến hiệu ứng 25 CHƯƠNG II ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT VÀI THAM SỐ LÊN HIỆU ỨNG LƯỠNG ỔN ĐỊNH QUANG HỌC TRONG CẤU TRÚC DẪN SÓNG PHI TUYẾN MỘT CHIỀU 2.1 Phương trình sóng điều kiện biên... ĐẠI HỌC VINH _ HUỲNH THỊ KIM CHI ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT VÀI THAM SỐ LÊN HIỆU ỨNG LƯỠNG ỔN ĐỊNH QUANG HỌC TRONG CẤU TRÚC DẪN SÓNG PHI TUYẾN MỘT CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ Chuyên ngành: Quang. .. hưởng vài tham số cấu trúc lên đặc trưng lưỡng ổn định 2.3 Ảnh hưởng vài tham số cấu trúc lên đặc trưng lưỡng ổn định 2.3.1 Mối quan hệ hệ số truyền qua tần số Nếu phi tuyến Kerr điều khiển cấu trúc,