Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu này nằm trong bộ tài liệu Chuyên đề luyện thi Tốt nghiệp THPT và ĐH môn Toán năm 2016 cho học sinh TB, yếu, được viết cho các em học sinh trung bình và yếu môn Hình Học lớp 12 với những dạng toán cơ bản và các cách giải đơn giản hiệu quả.Ngoài ra tài liệu còn được thiết kế với rất nhiều các bài tập từ mức siêu dễ đến mức khó để tất cả học sinh có thể luyện tập được.Hi vọng tài liệu này sẽ giúp ích 1 phần cho các em hoàn thành ước mơ bước qua cánh cổng trường ĐH.
Chương GÓC 1.1 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1.1 CHƯƠNG GĨC Góc hai đường thẳng Lí thuyết Khái niệm: Góc hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a b qua điểm song song với a b Chú ý: 00 ≤ (a, b) ≤ 900 Cách xác định góc hai đường thẳng a b: • B1: Chọn điểm O không gian cho từ O xác định đường a b song song với a b • B2: Trên a b chọn M N (khác O), từ tính cos M ON theo định lí cos cos M ON = OM + ON − M N 2.OM.ON • Nếu cos M ON ≥ (a, b) = M ON Cịn cos M ON < (a, b) = 1800 − M ON Bài tập Cho hình lập phương ABCD.A B C D Tính góc cặp đường thẳng sau đây: (a) AB B C (b) AC B C (c) A C B C √ Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a BC = a Tính góc SC AB √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a (SAB) vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN Cho lăng trụ ABC.A B C có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông √ A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A mp(ABC) trung điểm cạnh BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA B C Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác √ SC = a Gọi H K trung điểm cạnh AB AD (a) Chứng minh SH ⊥ (ABCD), AC ⊥ (SHK) (b) Tính số đo góc SC mp(SHD) Hình học lớp 12 G.V Vũ Thị Thúy Hà 01266.289.865 havtt@hanoiacademy.edu.vn CHƯƠNG GÓC 1.2 1.2 GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Góc đường thẳng mặt phẳng Lí thuyết Khái niệm: Cho đường thẳng d mặt phẳng (α) • Nếu d vng góc với (α) (d, (α)) = 900 • Nếu d khơng vng góc với (α) (d, (α)) = (d, d ) Chú ý: 00 ≤ (d, (α)) ≤ 900 Cách xác định góc đường thẳng d mặt phẳng α • Nếu d ⊥ α (d, (α)) = 900 • Nếu d α (d, (α)) = 00 • Nếu d α khơng song song, khơng vng góc thì: B1: Xác định điểm O = d ∩ (α) B2: Trên đường thẳng d ta chọn điểm A (khác O) cho ta xác định hình chiếu H A (α) B3: (d, (α)) = AOH Bài tập √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, có cạnh SA = a SA vng góc với đáy (a) Gọi M N hình chiếu điểm A lên đường thẳng SB SD Tính góc đường thẳng SC mp(AM N ) (b) Tính góc đường thẳng SC mp(ABCD) Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đơi vng góc AB = a, BC = b, CD = c (a) Tính độ dài AD Hình học lớp 12 G.V Vũ Thị Thúy Hà 01266.289.865 havtt@hanoiacademy.edu.vn 1.3 GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG CHƯƠNG GĨC (b) Tính góc đường thẳng AD mp(BCD), góc đường thẳng AD mp(ABC) Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thang vng A, SA vng góc với đáy, AD = 2BC = √ 2AB = 2a, SA = a Tính góc (a) cạnh bên hình chóp với mặt đáy (ABCD) (b) SB, SC với mặt bên (SAD) Cho lăng trụ ABC.A B C , ABC tam giác vuông cân, AB = BC = a, B A = B B = B C = a Tính góc B B với mp(ABC) mp(B AC) √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SA vng góc với đáy SA = a (a) Gọi AH đường cao tam giác SAB Chứng minh AH vng góc với mp(SBC) tính AH (b) Tính góc đường thẳng SC mp(ABCD) 1.3 Góc hai mặt phẳng Lí thuyết Khái niệm: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Chú ý: 00 ≤ ((α), (β)) ≤ 900 Cách xác định góc hai mặt phẳng: B1: Xác định giao tuyến d = (α)∩(β) B2: Lấy A (α) Gọi H, O hình chiếu A (β), d Khi ((α), (β)) = AOH Bài tập Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh a, cạnh bên SA a vng góc với đáy SA = Tính góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC) Hình học lớp 12 G.V Vũ Thị Thúy Hà 01266.289.865 havtt@hanoiacademy.edu.vn CHƯƠNG GÓC 1.3 GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA = a vng góc với đáy (a) Chứng tỏ mặt bên hình chóp tam giác vng (b) Tính cos((SBC), (SDC)) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng ABCD A D có AB = 2a, AD = DC = a SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a Xác định góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) Hình chóp S.ABCD có SA = SB = SC = SD, đáy hình bình hành Xác định góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi√cạnh a, A = 600 , SA = SB = a SD = Tính góc mặt phẳng (SBD) (ABCD) Hình học lớp 12 G.V Vũ Thị Thúy Hà 01266.289.865 havtt@hanoiacademy.edu.vn Chương Khoảng cách 2.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, SA = AB = 2a, ABC = 600 SA ⊥ (ABCD) (a) Tính khoảng cách từ O đến SC (b) Tính khoảng cách từ O D đến SB Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, tâm O, SA = a vng góc với đáy Gọi I, M theo thứ tự trung điểm SC, AB CHƯƠNG KHOẢNG CÁCH 2.2 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG (a) Tính khoảng cách từ I đến CM (b) Tính khoảng cách từ S đến CM *Cho chóp S.ABCD có đáy hình thang vng đường cao AB = a, BC = 2a, SA = a vng góc với (ABCD) SC ⊥ BD Gọi M điểm SA Đặt AM = x, với ≤ x ≤ a Tính khoảng cách từ D đến BM theo a x Tìm giá trị x để khoảng cách đạt GTLN, GTNN 2.2 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng 2.2.1 Phương pháp trực tiếp Tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P ) theo bước sau: • B1: Chọn (P ) đường thẳng d, dựng mp(Q) qua A vng góc với d (nên chọn d cho (Q) dễ dựng) Trước chọn d (Q) nên xem xét d (Q) có sẵn hình vẽ chưa • B2: Xác định đường thẳng c = (P ) ∩ (Q) • B3: Dựng AH vng góc với c H Khi d(A, (P )) = AH (Cơ 1) Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy Tam giác ABC không vuông B, C Vẽ AE ⊥ BC, AH ⊥ SE Chứng minh AH ⊥ (SBC) (Cơ 2) Cho hình chóp S.ABC, SA vng góc với đáy (ABC) Tam giác ABC vuông B Vẽ AH ⊥ SB Chứng minh AH ⊥ (SBC) Cho hình chóp S.ABC √ có SA vng góc với đáy, SA = 4, AB = 3, AC = 4, BC = Tính a 34 ) d(A, (SBC)) (DS : 17 Cho chóp S.ABC có SA vng góc với đáy Tam giác ABC vuông B SA = BC = AB = a a Tính d(A, (SBC)) (DS : √ ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, A = 900 , BD = a Cạnh bên SA vng góc với đáy Góc mp(SBC) mặt đáy 600 Tính d(A, (SCB)) Cho chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, BA = 3a, BC = 4a, (SBC) ⊥ (ABC) Biết √ SB = 2a 3, SBC = 300 Tính d(B, (SAC)) Hình học lớp 12 G.V Vũ Thị Thúy Hà 01266.289.865 havtt@hanoiacademy.edu.vn 2.3 KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONGCHƯƠNG SONG KHOẢNG CÁCH 2.2.2 Phương pháp đổi điểm • TH1: Nếu AM (P ) d(A, (P )) = d(M, (P )) • TH2: Nếu AM (P ) AM cắt (P ) I Khi d(A, (P )) IA IA = ⇒ d(A, (P )) = d(M, (P )) d(M, (P )) IM IM Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H trung điểm AB (a) Tính khoảng cách từ H đến (SCD) (b) Tính khoảng cách từ A đến (SCD) Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a Cạnh bên √ AA = a Gọi M trung điểm BC, E trung điểm BB Tính khoảng cách từ B đến (AM E) √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a, SA = a vng góc với (ABCD) (a) Tính khoảng cách từ trung điểm M SC tới (ABCD) (b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC), từ suy khoảng cách từ O đến (SBC) (c) Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác SAB tới (SAC) Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy tam giác vuông B, AB = a, AA = 2a, A C = 3a Gọi M trung điểm A C , I giao AM A C Tính khoảng cách từ A đến (IBC) 3a Hình chiếu vng góc S mp(ABCD) trung điểm AB Tính khoảng cách từ A đến (SBD) Cho chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SD = 2.3 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Tính khoảng cách từ đường thẳng d đến mặt phẳng (P ) song song ta thực bước sau: • B1: Chọn điểm A d cho dễ tính khoảng cách d(A, (P )) • B2: d(d, (P )) = d(A, (P )) Hình học lớp 12 G.V Vũ Thị Thúy Hà 01266.289.865 havtt@hanoiacademy.edu.vn CHƯƠNG KHOẢNG CÁCH 2.4 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG √ Cho hình chóp S.ABCD có SA = a vng góc với mp(ABCD) Đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính 2a Tính khoảng cách từ AD đến (SBC) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, SA vng góc với đáy (ABC) Biết AC = 2a, SA = a Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, SB Tính khoảng cách từ M P đến (SAC) 2.4 Khoảng cách hai mặt phẳng song song Tính khoảng cách hai mặt phẳng (P ) (Q) song song ta thực bước sau: • B1: Chọn điểm A (P ) cho dễ tính khoảng cách d(A, (P )) • B2: d((P ), (Q)) = d(A, (Q)) Cho hình hộp thoi ABCD.A B C D có tất cạnh a BAD = BAA = DAA = 600 Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy (ABCD) (A B C D ) Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có đáy tam giác cạnh a mặt (AA B ), (AA C ), (AB C ) tạo với mặt đáy góc 600 Tính khoảng cách hai mặt đáy (ABC) (A B C ) Hình học lớp 12 G.V Vũ Thị Thúy Hà 01266.289.865 havtt@hanoiacademy.edu.vn 2.5 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 2.5 CHƯƠNG KHOẢNG CÁCH Khoảng cách hai đường thẳng chéo Dạng • B1: Tìm mp(P ) chứa b vng góc với a A • B2: Kẻ AH ⊥, b(H ∈ b) • B3: Tính AH Kết luận d(a; b) = AH Dạng • B1: Tìm mp(P ) chứa b mà (P ) song song với a • B2: Tính khoảng cách từ a tới mp(P ) (d(a; mp(P )) = d(A; mp(P )), A điểm thuộc a) • B3: d(a; b) = d(a; mp(P )) Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy, AB = a, AD = 2a, SA = 3a Tính khoảng cách hai đường thẳng: (a) SA CD (b) AB SC Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SC tạo với đáy góc 600 Gọi M, N trung điểm SA SC Tính khoảng cách M N BD Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA vng góc với đáy Góc (SCD) (ABCD) 600 Gọi G trọng tâm ∆ACD Tính khoảng cách AB SG Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính khoảng cách AB CD Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân A, mặt bên SBC tam giác cạnh a mp(SBC) vng góc với mặt đáy Tính khoảng cách SA BC 10 Hình học lớp 12 G.V Vũ Thị Thúy Hà 01266.289.865 havtt@hanoiacademy.edu.vn Chương THỂ TÍCH Lí thuyết • Thể tích khối chóp: V = B.h, (B diện tích đáy, h chiều cao) • Thể tích khối lăng trụ: V = B.h, (B diện tích đáy, h chiều cao) 3.1 Tính thể tích trực tiếp cách xác định chân đường cao Một số dấu hiệu xác định chân đường cao: Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy cạnh bên đường cao khối chóp Hình chóp có mặt bên mặt chéo vng góc với đáy đường cao đường kẻ mặt bên (hoặc mặt chéo) vng góc với giao tuyến Hình chóp có mặt vng góc với đáy giao tuyến mặt đường cao hình chóp Hình chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với mặt đáy góc chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao trùng với tâm đường trịn nội tiếp đáy 3.1.1 Hình chóp biết chân đường cao Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = 2a cạnh bên SA vng góc với đáy Góc SC mp(ABCD) 450 Gọi E trung điểm BC, H hình chiếu vng góc A SB Tính thể tích khối chóp S.BDE theo a 11 3.1 TÍNH THỂ TÍCH TRỰC TIẾP BẰNG CÁCH XÁC ĐỊNH CHÂN ĐƯỜNG CHƯƠNG CAO THỂ TÍCH Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 2a Gọi E trung điểm AB Hình chiếu vng góc S lê đáy trùng với trung điểm DE Biết góc SA mặt đáy (ABCD) 600 Tính theo a thể tích khối chóp √ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân A SC = 2a Hình chiếu vng góc S mp(ABC) trung điểm M AB Góc SC đáy (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp theo a 3.1.2 Hình chóp có mặt vng góc với đáy Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a Mp(SBC) vng √ góc với mp(ABC) Biết SB = 2a SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC Cho chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B AB = SD = 3a, AD = SB = 4a, a > Đường cao AC ⊥ (SBD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, ABC = 300 , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh 2a, SA = a, SB = a BAD = 600 , (SAB) ⊥ (ABCD) Tính khối chóp S.ABCD √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a, AD = a 3, góc (SAC) (ABCD) 600 , tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy (ABCD) Gọi H, M trung điểm AB BC Tính thể tích khối chóp S.DHM 3.1.3 Hình chóp có hai mặt vng góc với đáy Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AB Biết (SBI) (SCI) vng góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AB CD, AB = 2CD = 4a, BC = √ a 10 Biết mp(SAC) mp(SBD) vng góc với đáy, mặt bên (SAB) tam giác Tính thể tích khối chóp S.ABCD 12 Hình học lớp 12 G.V Vũ Thị Thúy Hà 01266.289.865 havtt@hanoiacademy.edu.vn CHƯƠNG THỂ TÍCH 3.2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIÁN TIẾP THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, cạnh a, BD = a Trên cạnh AB lấy điểm M cho BM = 2AM Biết hai mp (SAC) (SDM ) vng góc với mp (ABCD) mặt bên (SAB) tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy tam giác cạnh 2a Mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với đáy; mặt bên (SBC) tạo với đáy (ABC) góc với 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC Cho hình chóp S.ABCD có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp 3.2 Phương pháp tính gián tiếp thể tích khối chóp Lí thuyết Nếu khối đa diện (H) chia thành hai khối H1 H2 thì: VH = VH1 + VH2 Cho khối chóp S.ABC Trên đoạn thẳng SA, SB, SC lấy điểm A , B , C khác S Khi đó, SA SB SC VS.A B C = VS.ABC SA.SB.SC Nếu khối chóp (H) (H ) có hai đa giác đáy nằm mặt phẳng đường cao (H) (H ) song song trùng Cho khối chóp S.ABC biết tam giác ABC vuông cân B, AC = 2a, SA ⊥ (ABC), SA = a Gọi I điểm thuộc SB cho SI = SB Tính thể tích khối chóp S.ACI Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vng AC góc đỉnh S mp(ABCD) điểm H thuộc đoạn AC cho AH = Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khooid tứ diện SM BC theo a √ Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật, AB = SA = a, AD = a SA vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm AD, SC Gọi I giao điểm BM AC Tính thể tích khối tứ diện AN IM theo a Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a, SA = SB = SC = SD = √ a E điểm thuộc cạnh SC, SE = 2EC F điểm thuộc cạnh SD cho SF = F D Tính thể tích khối đa diện SABEF 13 Hình học lớp 12 G.V Vũ Thị Thúy Hà 01266.289.865 havtt@hanoiacademy.edu.vn 3.3 TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ CHƯƠNG THỂ TÍCH Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vuông góc với đáy Gọi M, N hình chiếu vng góc A lên đường SB SC Tính thể tích khối chóp ABCN M theo a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, BAD = ABC = 900 , AB = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD) SA = 2a Gọi M, N trung điểm SA, SD Tính thể tích khối chóp S.BCN M theo a √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mp đáy, SA = a Gọi H, K hình chiếu vng góc A SB, SD Mp(AHK) cắt SC I Tính thể tích khối chóp S.AHIK Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a Hai mp(SAB) (SAC) vng góc với (ABC) Gọi M trung điểm AB, mp qua SM song song với BC cắt AC N Biết góc hai mp (SBC) (ABC) 600 Tính VSBCN M 3.3 Tính thể tích lăng trụ Cho hình lăng trụ ABCD.A B C D cạnh đáy a Góc đường chéo A C đáy 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho Cho lăng trụ ABC.A B C có cạnh đáy a Khoảng cách từ trọng tâm O tam giác a ABC đến mặt phẳng (A BC) Tính thể tích khối lăng trụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C√ có đáy tam giác cạnh a Biết khoảng cách a 15 hai đường thẳng AB A C Tính thể tích khối lăng trụ Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy tam giác vuông C, ABC = 600 , BC = 2a Gọi M trung điểm AB Hình chiếu vng góc C mp(ABC) trùng với trung Quyền Ngu điểm I CM Góc cạnh bên CC đáy (ABC) 450 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách BC C I 14 Hình học lớp 12 G.V Vũ Thị Thúy Hà 01266.289.865 havtt@hanoiacademy.edu.vn ... MẶT PHẲNG Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA = a vng góc với đáy (a) Chứng tỏ mặt bên hình chóp tam giác vng (b) Tính cos((SBC), (SDC)) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang... điểm A (khác O) cho ta xác định hình chiếu H A (α) B3: (d, (α)) = AOH Bài tập √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, có cạnh SA = a SA vng góc với đáy (a) Gọi M N hình chiếu điểm... tập Cho hình lập phương ABCD.A B C D Tính góc cặp đường thẳng sau đây: (a) AB B C (b) AC B C (c) A C B C √ Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a BC = a Tính góc SC AB √ Cho hình