1 B GIO DC V O TO Trờng đại học Vinh _ TRN TH THANH MAI V MT S GI THUYT S HC Cể TH SUY T GI THUYT ABC Luận văn thạc sĩ toán học NGHệ AN - 2015 B GIO DC V O TO Trờng đại học Vinh _ TRN TH THANH MAI V MT S GI THUYT S HC Cể TH SUY T GI THUYT ABC CHUYấN NGNH: I S V Lí THUYT S Mó s: 60 46 01 04 Luận văn thạc sĩ toán học Ngi hng dn khoa hc PGS.TS NGUYN THNH QUANG NGHệ AN - 2015 MC LC M U CHNG 1.1 1.2 1.3 TRANG NHNG KIN THC CHUN B Cn ca s nguyờn v cn ca a thc Gi thuyt ABC Cỏc gi thuyt s hc cú th suy c t Gi 5 11 thuyt ABC 15 CHNG 17 2.1 MT VI NG DNG CA GI THUYT ABC S dng Gi thuyt ABC chng minh mt s gi 17 2.2 thuyt s hc ng dng gi thuyt ABC gii mt s bi toỏn s 26 2.3 hc khỏc Mt vi phiờn bn ca nh lý ABC trờn trng hm 31 33 34 KT LUN TI LIU THAM KHO MT S K HIU THNG DNG TRONG LUN VN rad ( a ) : Cn ca s nguyờn a rad ( abc ) : Cn ca tớch ba s nguyờn a, b, c nguyờn t cựng gcd ( a, b ) : c chung ln nht ca hai s nguyờn a v b gcd ( a, b, c ) : c chung ln nht ca ba s nguyờn a, b, c f ': o hm bc nht ca hm s f f( ): o hm cp n ca hm s f n0 ( f ) : S nghim phõn bit ca a thc f deg ( f ) : Bc ca a thc f Ê t : Vnh a thc h s phc Ê ( t) : Trng phõn thc ca vnh a thc h s phc (Trng hm a+b = c: Phng trỡnh Mason (Phng trỡnh abc ) F: Trng úng i s vi c s n hu t) M U Trc ht, ta thy gia cỏc s nguyờn v cỏc a thc cú nhng tớnh cht rt ging Ta ý n s tng t ca hai khỏi nim sau õy k k Cn ca mt s nguyờn m = pi trờn vnh s nguyờn l tớch tt c cỏc i i =1 c nguyờn t phõn bit ca m : rad (m) = p pm k Cn ca mt a thc f ( t ) = ( t i ) i =1 ki trờn mt trng úng i s vi c s l tớch tt c cỏc nhõn t tuyn tớnh phõn bit ca f (t ) : k r ( f ) = ( t i ) i =1 Trờn ng tỡm li gii cho gi thuyt Fermat, bng s tng t gia s nguyờn v a thc, Mason ó phỏt hin c mt nh lý rt p sau nh lý Mason ([7,9]) Gi s f (t ), g(t ), h(t ) l ba a thc trờn mt trng úng i s vi c s 0, khụng ng thi l hng s v nguyờn t cựng cho f ( t ) + g ( t ) = h ( t ) Khi ú, ta cú max ( deg f ,deg g ,deg h ) deg r ( fgh ) Ly ý tng t nh lý Mason, Gi thuyt ABC c xõy dng u tiờn mt cỏch c lp bi David Masser v Joseph Oesterle vo nm 1985, vi ni dung nh sau: Gi thuyt ABC ([7,9]) Gi s a, b, c l cỏc s nguyờn khỏc 0, nguyờn t cựng v tho h thc a + b = c Khi ú, vi mi s > , tn ti mt s K ( ) > cho max ( a , b , c ) K ( ) rad ( abc ) 1+ Gi thuyt ABC c mụ t nh l mt lý thuyt thng nht ca h thng s, ú nhiu nh lý v gi thuyt quan trng khỏc lp tc tr thnh h qu Chng hn, nh lý Fermat tim cn l mt h qu trc tip ca Gi thuyt ABC; cng t gi thuyt ny ngi ta cng cú th chng minh c phng trỡnh Brocard ch cú hu hn nghim nguyờn dng, Giỏo s Andrew Granville thuc i hc Montreal nhn xột "Gi thuyt ABC thot nhỡn thỡ n gin so vi nhng cõu hi sõu sc Lý thuyt s Tuy nhiờn, phng oỏn k l ny tng ng vi tt c nhng chớnh ú l trung tõm ca nhng bi toỏn ang c nghiờn cu ([1]) Trong mt bi bỏo trờn The Sciences nm 1996, Dorian Goldfeld - giỏo s ca i hc Columbia cho bit Gi thuyt ABC i vi cỏc nh toỏn hc nú thc s p, hn na tin dng Nh Gi thuyt ABC rt nhiu Diophantine bt ng c liờn kt li mt phng trỡnh nht t ú cho cm giỏc rng tt c cỏc nhỏnh toỏn hc u thuc mt th thng nht Khụng cú gỡ ỏng ngc nhiờn cỏc nh toỏn hc ang ht sc n lc chng minh iu ú Goldfeld so sỏnh Gi thuyt ABC ging nh nhng nh him trc mt vỏch ỏ thng ng c gng kim tỡm nhng mch nh trờn mt ỏ vi hy vng rng mt s ú s cho h ng dn n nh nỳi Cng theo Goldfeld, Nu chng minh gi thuyt ABC c khng nh thỡ cỏc nh toỏn hc s thy c cụng c rt mnh gii quyt cỏc lý thuyt s v s l mt nhng thnh tu ỏng kinh ngc nht ca toỏn hc th k 21 [1] Vỡ vy, k t Gi thuyt ABC i, nhiu nh toỏn hc ó n lc c gng chng minh gi thuyt ny Nm 2007, nh toỏn hc Phỏp Lucien Szpiro, m cụng vic ca ụng vo nm 1978 ó dn n nhng phng oỏn v Gi thuyt ABC, l ngi u tiờn tuyờn b chng minh c nú, nhng sau ú ó sm tỡm thy cú nhng thiu sút V bõy gi, mt nhng nh him cú th ó chm n nh nỳi Theo Nature News, Mochizuki - nh toỏn hc ti i hc Kyoto - ngi ó chng minh nhiu nh lý sõu sc quỏ kh, tuyờn b gii c bi toỏn ABC Gi thuyt ABC cú th ó c gii" v tờn nh toỏn hc Shinichi Mochizuki xut hin liờn tc trờn nhiu t bỏo my tun u thỏng nm 2014, thm trờn c mt s khụng phi ca toỏn nh Nature, New York Times, Telegraph Tin c bit ny xut phỏt t vic giỏo s Mochizuki ca Vin Nghiờn cu cỏc khoa hc v Toỏn (RIMS), i hc Kyoto, Nht Bn, a lờn trang cỏ nhõn ca ụng bn bi bỏo di tng cng khong 500 trang m phn cui cựng dn n chng minh ca Gi thuyt ABC v mt s gi thuyt quan trng khỏc Li gii ca Mochizuki nu ỳng s to mt cuc cỏch mng mt s lnh vc toỏn hc Tuy nhiờn, s cn mt khong thi gian di cỏc nh toỏn hc kim chng tớnh ỳng n chng minh ca Mochizuki [1] S m rng ca Gi thuyt ABC t vnh s nguyờn sang vnh a thc cng nh trng hm ó v ang c nhiu nh toỏn hc v ngoi nc quan tõm Trc ht, ngi ta c gng th hin Gi thuyt ABC trờn trng hm Nm 2011, Cherry v Toropu ó a khỏi nim cn ca hm nguyờn p-adic v chng minh thnh cụng Gi thuyt ABC cho cỏc hm phõn hỡnh p-adic nhiu bin Nm 2014, lun ỏn tin s ca mỡnh ti trng i hc New Mexico (Hoa K), M.Toropu ó ch mt s nh lý ABC trờn trng hm v cú trớch dn v bỡnh lun mt s kt qu gn õy cú liờn quan ca cỏc tỏc gi Nguyn Thnh Quang, Phan c Tun (xem [2], [4], [7], [8], [9]) Trờn c s tham kho chng lun ỏn tin s ca M.Toropu ([9]) v mt s bi bỏo ca cỏc tỏc gi Nguyn Thnh Quang, Phan c Tun ([7, 8]), chỳng tụi quyt nh la chn ti lun V mt s gi thuyt s hc cú th suy t Gi thuyt ABC nhm tỡm hiu sõu hn nhng kt qu toỏn hc xung quanh Gi thuyt ABC Ngoi phn m u, kt lun v ti liu tham kho, lun ny gm cú hai chng Chng trỡnh by cỏc ni dung v c s s hc cú liờn quan nh: Cn ca mt s nguyờn khỏc 0; Cn ca mt a thc; Phộp o hm trờn vnh; nh lý Mason; Gi thuyt ABC Chng gii thiu mt s gi thuyt v bi toỏn s hc cú th suy t Gi thuyt ABC Phng phỏp v cụng c nghiờn cu lun ny bao gm: - S dng cỏc khỏi nim v kt qu c s ca S hc; - S dng s tng t húa gia s nguyờn v a thc; - Tỡm tũi ng dng ca Gi thuyt ABC Toỏn hc Lun c hon thnh di s hng dn tn tỡnh v chu ỏo ca thy giỏo hng dn PGS.TS Nguyn Thnh Quang Nhõn dp ny tụi xin by t lũng kớnh trng v bit n sõu sc ti thy giỏo hng dn khoa hc, ngi ó dnh nhiu thi gian v cụng sc giỳp tụi hon thnh lun ny Nhõn dp ny tụi xin trõn trng gi li cm n n quý thy cụ giỏo thuc chuyờn ngnh i s v Lý thuyt s, Khoa S phm Toỏn hc, Phũng o to Sau i hc - Trng i hc Vinh - ó tn tỡnh ging dy, hng dn v giỳp chỳng tụi hc v nghiờn cu Tụi xin trõn trng cm n Hc vin Hi quõn ó ng viờn v to iu kin cụng tỏc thun li cho tụi hon thnh nhim v hc Tuy ó cú nhiu c gng, song chc chn lun ny cũn nhiu thiu sút Tỏc gi rt mong nhn c s gúp ý, ch bo ca quý thy cụ giỏo v cỏc ng nghip Tụi xin chõn thnh cm n gia ỡnh, bn bố ó quan tõm giỳp tụi sut thi gian hc sau i hc va qua TC GI CHNG NHNG KIN THC CHUN B 1.1 Cn ca s nguyờn v cn ca a thc 1.1.1 Cn ca s nguyờn Cho a l mt s nguyờn khỏc 0, ta nh ngha cn ca a , kớ hiu bi rad ( a ) l tớch cỏc c nguyờn t phõn bit ca a : rad ( a ) = p p|a Nhn xột Nu a, b l hai s nguyờn khỏc thỡ trng hp tng quỏt ta cú rad ( ab ) rad ( a ) rad ( b ) ng thc xy a v b nguyờn t cựng 1.1.2 Cn ca a thc Gi s F l trng úng i s vi c s Gi s f l mt a thc trờn trng F v cú s phõn tớch theo cỏc nghim nh sau: f ( x ) = a ( x ) K ( x n ) m mn , mi Ơ , i F , a F Ta nh ngha cn ca f , kớ hiu l rad ( f ) , c xỏc nh nh sau: rad ( f ) = a ( x ) K ( x n ) 1.1.3 S nghim phõn bit ca a thc Gi s f l mt a thc bc n trờn trng F v: f ( x ) = a ( x ) K ( x n ) m mn , mi Ơ , i F , a F Khi ú, s cỏc nghim phõn bit ca f , kớ hiu l n0 ( f ) Nh vy, deg ( f ) = m1 + m2 + L + mn v n0 ( f ) = deg ( rad ( f ) ) = n Rừ rng, n0 ( f ) deg ( f ) f 1.1.4 nh lớ Gi s f l mt a thc trờn trng F Khi ú, ta cú rad f ( ) l c ca f ' Chng minh Tht vy, gi s 10 f ( x ) = a ( x ) K ( x n ) m mn Khi ú, ta cú: f m m = ( x ) K ( x n ) n , rad ( f ) f ' = am1 ( x ) m1 K ( x n ) mn + L + amn ( x ) K ( x n ) Nh vy, cỏc s hng ca f ' u chia ht cho m mn f f Do ú, l c rad ( f ) rad ( f ) ca f ' 1.1.5 Phộp ly o hm trờn vnh giao hoỏn cú n v 1.1.5.1 nh ngha Phộp ly o hm vnh R l mt ỏnh x D : R R cho vi mi x, y R , ta cú D ( x + y) = D( x) + D( y) , ( 1.1) D ( xy ) = D ( x ) y + xD ( y ) ( 1.2 ) iu kin ( 1.1) núi rng D l mt ng cu ca nhúm cng vnh R iu kin ( 1.2 ) ta cú D ( 1) = D ( 1.1) = D ( 1) + 1.D ( 1) , suy D ( 1) = Nu x R , x kh nghch ta cú D ( 1) = D ( x.x ) = D ( x ) x + xD ( x ) = Vỡ D ( 1) = nờn D ( x ) = D( x) + xD ( x ) x D ( x) + xD ( x ) = Ta suy x D ( x) x2 Ngoi ra, bng quy np vi x1 , x2 ,K , xn R ta cú n D ( x1 ìììxn ) = x1 ìììxi 1D ( xi ) xi +1 ìììxn i =1 1.1.5.2 nh lớ Cho R l mt vnh v ký hiu R [ t ] l vnh cỏc a thc vi h s R nh ngha ỏnh x D : R [ t ] R [ t ] bi: 24 2.1.3 T Gi thuyt ABC suy Gi thuyt Tijdeman-Zagier Chng minh Tht vy, gi s tn ti cỏc s nguyờn x, y, z khỏc , nguyờn t cựng tha phng trỡnh x p + y q = z r Theo gi thuyt ABC ta c: max { x p , y q , z r } K ( ) rad ( x p y q z r ) 1+ Ta chng minh bi toỏn ny trng hp s m ln Tc l, ( p, q, r ) > k , ú k= ( 2.3) logK ( ) + ( + ) log Khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi s max { x, y, z} = x Khi ú, x p K ( ) rad ( x p y q z r ) x p K ( ) ( xyz ) 1+ 1+ x p K ( ) x + x p 33 K ( ) p logK ( ) + ( + ) = k , log logx log iu ny mõu thun vi ( 2.3) Vy phng trỡnh x p + y q = z r khụng cú nghim khụng tm thng, nguyờn t cựng p, q, r l cỏc s nguyờn ln hn hoc bng Hay núi cỏch khỏc, nu p, q, r l cỏc s nguyờn ln hn v tha 1 + + thỡ phng trỡnh x p + y q = z r ch cú nghim tm thng  p q r hoc cỏc nghim cú c chung khỏc Vn t l 1 + + < v p, q, r l cỏc s nguyờn bt k, b p q r i gi thit ln hn hoc bng , thỡ phng trỡnh x p + y q = z r , vi 25 gcd ( x, y, z ) = , cú nghim ( x, y, z ) khụng tm thng  hay khụng? õy chớnh l gi thuyt Fermat-Catalan 2.1.4 T gi thuyt ABC suy Gi thuyt Fermat-Catalan Chng minh Tht vy, gi s tn ti cỏc s nguyờn x, y, z khỏc nguyờn t cựng tha phng trỡnh x p + y q = z r Ta cú th gi s p q r , nu ngc li thỡ ta i v trớ ca cỏc s hoc chuyn v cho phng trỡnh Khi ú, ( p, q, r ) cú mt cỏc cp s sau: ( 2,3, r ) vi r , hoc ( 2, 4, r ) vi ( 3, q, r ) vi r , hoc ( 2, q, r ) vi r q , hoc ( 3,3, r ) vi r , hoc r q , hoc ( p, q, r ) vi r q p Trong cỏc trng hp trờn thỡ 1 41 + + , p q r 42 1 41 + + = p q r 42 v ( p, q, r ) = ( 2,3,7 ) Theo gi thuyt ABC ta c: max { x p , y q , z r } K ( ) rad ( x p y q z r ) Chn = { 1+ } p q r v t max x , y , z = M 42 Khi ú, theo ( 2.4 ) ta cú: M K rad ( x vi p ) rad ( y ) rad ( z ) q r K = K ữ 42 Do ú: M K( x y z ) 43 42 1+ 42 , ( 2.4 ) 26 p q M KM M M M KM M 1764 43 42 r 1 43 + + ữ p q r 42 K iu ny chng t M b chn, tc l x, y, z b chn Vỡ vy cú hu hn cỏc s x, y, z nguyờn t cựng tha phng trỡnh x p + y q = z r p, q, r l cỏc s nguyờn dng tha h thc 1 + + < p q r 2.1.5 T Gi thuyt ABC suy Gi thuyt Catalan tim cn Gi thuyt Catalan khng nh rng ch cú v l cp s liờn tip nht m c hai s u l ly tha ca s t nhiờn Núi cỏch khỏc, nú l nghim nht ca phng trỡnh Catalan: x m y n = , ú x, y, m, n l cỏc s nguyờn ln hn : 32 23 = Ta ó bit rng phng trỡnh x m y = khụng cú nghim nguyờn dng v nghim nguyờn dng nht ca phng trỡnh x y n = l x = n = v y = Do ú, ch cn xột phng trỡnh Catalan vi ( m, n ) Gi s ( x, y, m, n ) l nghim ca phng trỡnh Catalan vi ( m, n ) Vy thỡ x v y l nguyờn t cựng Theo gi thuyt ABC vi = thỡ ú tn ti mt hng s K = K ữ cho: y n < x m K rad ( x m y n ) = K rad ( xy ) K ( xy ) V vỡ vy mlog x logK + ( logx + logy ) 5 27 V n log y < log K + ( log x + log y ) T ú ta cú: mlogx + nlogy < 2logK + ( logx + logy ) , v nh vy: 5 m ữlogx + n ữlogy < 2logK 2 ( 2.5) T x v y ta cú: m+n< 2logK + log Nh vy, ch cú hu hn cỏc cp s m ( m, n ) m phng trỡnh Catalan gii c Trong trng hp c nh m v n thỡ phng trỡnh ( 2.5 ) cú hu hn nghim nguyờn dng x v y p Vi mi s nguyờn t l, ta cú: 1( mod p ) , ngha l p l c ca 2 p1 Cõu hi t ca tớnh chia ht ca p1 cho p ny sinh nghiờn cu nh lớ cui cựng ca Fermat 2.1.6 T Gi thuyt ABC suy Gi thuyt Wieferich Mi s nguyờn t l p cho: p1 / 1( mod p ) c gi l s nguyờn t Wieferich Vớ d , v l cỏc s nguyờn t Wieferich vỡ / 1( mod ) , / 1( mod 25 ) v / 1( mod 49 ) Vy liu rng cú tn ti vụ hn cỏc s nguyờn t Wieferich hay khụng, cõu tr li l tn ti vụ hn cỏc s nguyờn t nhng khụng tn ti vụ hn cỏc s nguyờn t Wieferich 28 Gi s W l hp cỏc s nguyờn t Wieferich Chỳng ta s chng t rng t Gi thuyt ABC hon ton suy c W l vụ hn Chỳng ta s bt u vi b sau 2.1.7 B Cho p l s nguyờn t l Nu tn ti s nguyờn dng n n n cho: 1( mod p ) nhng / 1( mod p ) thỡ ú p l s nguyờn t Wieferich d Chng minh Gi s d l s nguyờn dng nh nht tha 1( mod p ) n d Khi ú, d l c ca n T / 1( mod p ) , ú / 1( mod p ) Khi ú p 2d = + kq , õy ( k , p ) = Ngoi ra, d l c ca p , t 1( mod p ) vỡ vy p = de vi e l s t nhiờn cho e p Khi ú ( ek , p ) = v: p = ( 2d ) = ( + kp ) = + ekp / 1( mod p ) , e e v p l nguyờn t Wieferich 2.1.8 nh ngha S nguyờn dng v c gi l s 2-lu tha nu vi mi c nguyờn t p ca v ta luụn cú v chia ht cho p Vớ d: S 72 l s 2-lu tha vỡ 72M3 v 72M9 S 192 khụng phi l s 2-ly tha vỡ 192 chia ht cho nhng khụng chia ht cho 1/2 Nhn xột Nu v l s 2- ly tha thỡ: rad ( ) 2.1.9 nh lớ Tn ti vụ hn s nguyờn t Wieferich Chng minh Ly W l hp cỏc s nguyờn t Wieferich Vi mi s nguyờn dng n , ta vit: 2n = un , ú l c ln nht ca 2n Khi ú, un l tớch cỏc c nguyờn t ca n : 29 un = p, p| n v p ( n ) =1 v = p v p( n) p| n v p( n) Nu p l c ca un , ú 2n 1( mod p ) nhng 2n / 1( mod p ) T b 2.1.7 ta thy p W Nu hp W l hu hn, ú tn ti hu hn tớch cỏc c nguyờn t u thuc W v hp { un : n = 1, 2,3, } l hu hn Theo ú, hp { : n = 1, 2,3, } l hu hn v ú khụng b chn T ú, ta cú: rad ( ) v1/2 n Ly < < S dng Gi thuyt ABC cho ng nht thc sau: (2 n 1) + = 2n , ta cú: < 2n ( K ( ) rad 2n ( 2n 1) K ( ) rad ( 2unvn ) K ( ) ( 2un ) = vn( 1+ ) /2 1+ ) 1+ 1+ rad ( ) Nh vy, b chn, iu ny vụ lớ 1+ 30 2.2 ng dng gi thuyt ABC gii mt s bi toỏn s hc khỏc Da vo Gi thuyt ABC ta gii c cỏc bi toỏn s hc Bi toỏn 1: Phng trỡnh x p y q = vi p, q ch cú nghim nguyờn dng nht ( x, y ) = ( 3, ) Chng minh Tht vy, theo Gi thuyt Fermat - Catalan, vi p = 2, q = 3, r thỡ bi toỏn cú nghim ( x, y ) = ( 3, ) Nu p,q thỡ phng trỡnh vụ nghim Nh vy, theo Gi thuyt Tijdeman-Zagier thỡ phng trỡnh x p + y q = z r vụ nghim p, q, r l cỏc s nguyờn dng ln hn hoc bng , ú, ta cú 1 + + Theo gi thuyt Fermat - Catalan thỡ phng trỡnh p q r x p + y q = z r cú hu hn nghim ( x, y, z ) , nguyờn t cựng p, q, r l cỏc s nguyờn dng tha h thc 1 + + < p q r T hai kt qu ny ta suy c phng trỡnh x p + y q = z r ch cú nghim ch cú nht mt ba s p, q, r bng v tha 1 + + < p q r Bi toỏn 2: Tn ti hay khụng s nguyờn a cho mi c nguyờn t ca a v a + u cú s m bi Chng minh Gi s tn ti s nguyờn a cho mi c nguyờn t ca a v a + u cú s m bi 31 Do m bi ca mt s nguyờn nh nht l bi v mi c nguyờn t ca a u l m bi nờn rad ( a ) a Tng t mi c nguyờn t ca a + u cú s m bi nờn rad ( a + 1) a + T ú, ta suy rad ( a ) rad ( a + 1) a ( a + 1) Nh vy, ta cú ( 2.6 ) rad ( a ) rad ( a + 1) a.( a + 1) Ta cú s phõn tớch ( a + 1) a = , rừ rng ( a, a + 1) = , vỡ nu ngc li thỡ tn ti s nguyờn b l c chung ln nht ca a v a + Khi ú, ( a, a + 1) = b suy ( a, a + a ) = b hay ( a,1) = b (vụ lý) Nh vy, ( a, a + 1) = , ỏp dng gi thuyt ABC cho cỏc s nguyờn a , v a + ta cú max { a, a + 1} K ( ) rad ( a ( a + 1) ) 1+ Do ú, a ( a + 1) K ( ) rad ( a ( a + 1) ) 2+ ( 2.7 ) Kt hp ( 2.6 ) v ( 2.7 ) ta c: rad ( a ) rad ( a + 1) a.( a + 1) K ( ) rad ( a ( a + 1) ) 2+2 K ( ) rad ( a ( a + 1) ) (ỳng) Bi toỏn 3: Tỡm cỏc s ( x, y, n ) nguyờn dng cho ( x, n + 1) = v tha h thc x n + = y n +1 Bi toỏn ny c gii quyt n gin ta ỏp dng gi thuyt Hall Ta xột cỏc trng hp sau 32 Nu n = , thỡ ta cú phng trỡnh x + = y cú vụ s nghim tha iu kin ( x, ) = T ú, ta suy x l s l v y chn Chng hn, ( x, y ) = ( 3, ) , ( 15, ) , ( 35,6 ) , l cỏc nghim ca phng trỡnh Nu n > , thỡ theo gi thuyt Hall cú: Vi mi > , tn ti s K ( ) cho x < K() x y m m n m.( 1+ ) n nm n m m n Thay m = n ; n + = m v x y = , ta c x n < K ( ) Do ú x = v y = tha h thc x n + = y n +1 Mt khỏc, theo gi thit ( x, n + 1) = nờn phng trỡnh ó cho vụ nghim Vy bi toỏn ch cú nghim n = , x l v y chn Bi toỏn 4: Tỡm cỏc nghim nguyờn ca phng trỡnh x y = Theo gi thuyt Hall ta cú x3 y x3 y + > K ( ) x3 + > K ( ) y2 Do ú, + > K ( ) x + > K ( ) y Nh vy x v y u b chn bi nhng s nh Mt khỏc, t phng trỡnh x y = ta suy c x y nờn ta d dng thay cỏc giỏ tr ca x v y vo phng trỡnh Phng trỡnh cú nghim nht ( x, y ) = ( 2, ) Bi toỏn 5: Tỡm tt c cỏc s nguyờn a v b tha phng trỡnh ( a + b) = a + b3 33 Bi toỏn ta cú th gii theo hng ng thc nh sau: ( a + b) = a + b3 3a 2b + 3ab = 3a.b ( a + b ) = T ú suy a = hoc b = hoc a = b Tuy nhiờn, vic gii bi toỏn cho s m tng quỏt n thỡ s rt khú khn dựng hng ng thc Trong trng hp ú, chỳng ta s dựng Gi thuyt ABC m h qu ca nú l nh lý Fermat cho s nguyờn gii quyt bi toỏn Bi toỏn l mt trng hp ca bi toỏn sau Bi toỏn 6: Cho n l mt s nguyờn ln hn hoc bng Tỡm tt c cỏc s nguyờn a v b tha phng trỡnh ( a + b) n = a n + bn ( 2.8) a) Xột trng hp n l s l Gi s ( a, b ) = thỡ gcd ( a, b, a + b ) = Khi ú, ỏp dng Gi thuyt ABC hoc nh lý Fermat cho s nguyờn, ta suy c khụng tn ti hai s n nguyờn a v b tha phng trỡnh ( a + b ) = a n + b n Ta thy rng, a = b hoc ớt nht a = hoc b = tha phng trỡnh ( 2.8 ) Trng hp khỏc, ( a, b ) = c , hin nhiờn c , c a Khi ú, tn ti cỏc s nguyờn u , v cho a = c.u , b = c.v Phng trỡnh ( a + b) n = a n + bn ( u + v ) = u n + n ( 2.9 ) Hin nhiờn ( u, v ) = nờn theo nh lý Fermat cho s nguyờn ta suy phng trỡnh ( 2.9 ) vụ nghim 34 Nh vy, n l s l thỡ phng trỡnh ( 2.8 ) ch cú nghim a = b hoc ớt nht a = v b = b) Xột trng hp n l s chn Gi s ( a, b ) = thỡ gcd ( a, b, a + b ) = Khi ú, ỏp dng gi thuyt ABC hoc nh lý Fermat cho s nguyờn, ta suy c khụng tn ti hai s n nguyờn a v b tha phng trỡnh ( a + b ) = a n + b n Ta thy rng, ớt nht a = v b = tha phng trỡnh ( 2.8 ) Trng hp ( a, b ) = c , c Khi ú, tn ti cỏc s nguyờn u , v cho a = c.u , b = c.v Phng trỡnh ( a + b) n = a n + bn ( u + v ) = u n + n ( 2.10 ) Hin nhiờn ( u, v ) = nờn theo nh lý Fermat cho s nguyờn ta suy phng trỡnh ( 2.10 ) vụ nghim Nh vy, n l s chn thỡ phng trỡnh ( 2.8 ) ch cú nghim ớt nht a = hoc b = Trong ú, nu ta khụng dựng nh lý Fermat cho s nguyờn m ỏp dng khai trin nh thc Newton thỡ chỳng ta s gp khú khn v khụng kt lun c bi toỏn Tht vy, ( a + b) n = a n + bn Cn1 a n1b + Cn2 a n 2b + ììì+ Cnn 1ab n1 = ab ( Cn1 a n + Cn2 a n3b + ììì+ Cnn 1b n ) = Khi ú, s rt khú khn tỡm a v b tha 35 2.3 Mt vi phiờn bn ca nh lý ABC trờn trng hm M Toropu nhn xột, chỳng ta hy vng s c s dng nhng kt qu ó cú chng minh mt phiờn bn ca ca mt nh lý ABC cho a aben bt k loi trờn mt trng hm (xem [9]) Sau õy l mt phiờn bn ca M.Toropu trờn trng hm p -adic 2.3.1 nh lý (nh lý ABC cho cỏc hm nguyờn p-adic) [9] Gi s f = f + f1 l cỏc hm nguyờn p-adic cho f v f1 nguyờn t cựng v khụng ng thi l hng s Gi s r > Khi ú, vi r > r0 max log f i r log R ( f f1 f ) log r + O ( 1) i Nhn xột S dng bt ng thc ABC núi trờn i vi hm nguyờn p -adic, chỳng ta cú th kt lun rng phng trỡnh Diophantine Pilai i vi cỏc hm 1 nguyờn p-adic f n g m = c , ú c l mt hm hng v + 1, n, m n m khụng cú nghim khỏc hng Gn õy, cỏc tỏc gi Nguyn Thnh Quang v Phan c Tun ó m rng nh lý Davenport m thc cht l mt phiờn bn ca nh lý ABC cho cỏc a thc phc nhiu bin (xem [7]) 2.3.2 nh lý Davenport m rng cho a thc nhiu bin ([7]) Xột cỏc a thc nhiu bin f1 , f2 , , fk ( k 3) thuc vnh Ê [ x1 , x2 , , xl ] khụng cú nghim chung, khụng l a thc hng Cho cỏc s nguyờn dng l j (1 j k ) cho l1 l2 L lk v k l j =1 j kl1 + k (k 1) Gi s rng h f1l , f2l , , fkl c lp tuyn tớnh trờn Ê Khi ú, ta cú: k 36 k k k l l m ax deg( f ) deg ữ f j ữ ( k 1) j ữ1 j k j =1 l j =1 j j j Vi k = 2, l = 1, l1 = 2, l2 = 3, f1 = f , f2 = g , t nh lý 2.3.2 chỳng ta thu c nh lý Davenport mt bin Trong [8], cỏc tỏc gi Nguyn Thnh Quang v Phan c Tun ó a mt m rng ca Gi thuyt ABC trờn trng hm, vi F l mt trng y , úng i s vi c s 2.3.3 nh lý ([8]) Gi s f1 , f2 , , fn+1 l n + a thc khụng ng thi l hng s F [ x ] cho f1 + f2 + L + fn+1 = Gi s gcd ( fi , f j , fk ) = 1, vi mi ch s phõn bit i, j, k { 0,1, , n + 1} Khi ú, ta cú max deg f j ( 2n 1) ( r ( f f1 L f n +1 ) ) j n +1 Cỏc kt qu ny ó c bỡnh lun v trớch dn [4] v [9] bi A Cherry v M.Toropu 37 KT LUN Li gii cho Gi thuyt ABC khụng ch cú ý ngha l mt bi toỏn m ca Toỏn hc c gii quyt, m cũn cú ý ngha sõu sc hn na l cỏc k thut v kin thc phi cú gii thiu s l nhng cụng c rt mnh, nhm gii quyt cỏc ca Lý thuyt s tng lai Vỡ vy, cựng vi s quan tõm chung ca cng ng toỏn hc, lun ny ca chỳng tụi tỡm hiu v Gi thuyt ABC vi nhng ni dung c th sau õy: Phộp o hm v phộp o hm lụgarit ca a thc vi h s phc ng dng Gi thuyt ABC chng minh mt s gi thuyt s hc ng dng Gi thuyt ABC gii mt s bi toỏn Mt vi phiờn bn ca nh lý ABC trờn trng hm Gi thuyt ABC l mt phong phỳ v sõu sc ca Toỏn hc, vỡ vy cỏc ni dung lun ny mi ch l nhng kin thc ban u tip cn Hy vng rng, thi gian ti chỳng tụi s tip tc cú nhng tỡm hiu sõu hn, hiu qu hn v Gi thuyt ny di s hng dn ca PGS.TS Nguyn Thnh Quang v cỏc ng nghip khỏc, ti khoa S phm Toỏn hc Trng i hc Vinh 38 TI LIU THAM KHO [1] TING VIT Hi Toỏn hc Vit Nam (2012), Gi thuyt ABC cú th ó c gii, [2] Thụng tin Toỏn hc, Tp 16, S 3,tr.18 Nguyn Thnh Quang, ng Thựy Linh, Phựng Th Thỳy Phng (2013), Mt kiu suy rng cho nh lý Mason cho a thc nhiu bin, [3] Tp khoa hc i hc Vinh, Tp 42, S 2A, tr.64-69 Nguyn Thnh Quang (2011), Lý thuyt trng v ng dng, Nh xut bn i hc Quc Gia H Ni [4] TING ANH W Cherry and C Toropu (2009), Generalized ABC theorem for nonArchimedean entire functions of several variables in arbitrary [5] characteristic, Acta Arith, 136,351-384 P C Hu and C C Yang (2000), The ABC conjecture over function [6] fields, Proc Japan Acad, 76, Ser.A, 118-120 M B Nathason (1999), Elementary Methods in Number Theory, [7] Springer Nguyen Thanh Quang and Phan Duc Tuan (2008), An Extension of Davenport Theorem for Function of Sereval Variables, International [8] Journal of Algebra, Vol 2, No 10, 469 - 475 Nguyen Thanh Quang and Phan Duc Tuan (2008), A generalization of the ABC Conjecture over function Field, Journal of Analisis and [9] Applications, Vol 6, No 2, 69-76 C Toropu (2014), ABC Theorem in functional case, Dissertation of Philosophy Doctor on Mathematics, The University of New Mexico [...]... hạn nghiệm trong tập hợp các số nguyên x > 1, y > 1 nếu n, m ≥ 2 21 CHƯƠNG 2 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA GIẢ THUYẾT ABC 2.1 Sử dụng Giả thuyết ABC để chứng minh một số giả thuyết số học Dựa vào Giả thuyết ABC ta chứng minh được các giả thuyết số học 2.1.1 Từ Giả thuyết ABC suy ra Giả thuyết Fermat tiệm cận Chứng minh Thật vậy, ta xét trường hợp gcd ( x, y, z ) = 1 và giả sử các số x, y, z đều dương, nếu ngược... tồn tại một số K (ε ) sao cho max ( a , b , c ) ≤ K ( ε ) rad ( abc ) 1+ε Giả thuyết ABC là đơn giản nhưng là một khẳng định rất mạnh về mối liên hệ về tính chất cộng và nhân của các số nguyên 1.2.4 Nhận xét Giả thuyết ABC không còn đúng nữa nếu bỏ đi điều kiện gcd ( a, b, c ) = 1 Thật vậy, ta xét hệ thức sau 3k + 2.3k = 3k +1 19 1.3 Các giả thuyết số học có thể suy ra được từ Giả thuyết ABC n n... định trên trường số K một số hữu hạn điểm hữu tỷ Mặt khác, Giả thuyết Mordell’s hoàn toàn suy ra được từ Giả thuyết ABC [8] Định lý tiếp theo đã được chứng minh bởi Elkies vào năm 1991 ([8) 1.3.12 Định lý Giả thuyết ABC suy ra được Giả thuyết Mordell trên một trường số bất kỳ 1.3.13 Giả thuyết Pilai Giả sử A > 0, B > 0 và k là các số nguyên Khi đó, phương trình Ax m − By n = k chỉ có hữu hạn nghiệm... dụng giả thuyết ABC để giải một số bài toán số học khác Dựa vào Giả thuyết ABC ta giải được các bài toán số học Bài toán 1: Phương trình x p − y q = 1 với p, q ≥ 2 chỉ có nghiệm nguyên dương duy nhất ( x, y ) = ( 3, 2 ) Chứng minh Thật vậy, theo Giả thuyết Fermat - Catalan, với p = 2, q = 3, r ≥ 7 thì bài toán có nghiệm ( x, y ) = ( 3, 2 ) Nếu p,q ≥ 3 thì phương trình vô nghiệm Như vậy, theo Giả thuyết. .. 1 20 chỉ có hữu hạn nghiệm nguyên 1.3.8 Giả thuyết Phương trình Diophant n !+ 1 = m 2 chỉ có hữu hạn nghiệm 1.3.9 Giả thuyết Wieferich Nếu số nguyên tố lẻ p không thoả mãn đồng dư thức sau 2 p −1 ≡ 1(mod p 2 ) thì được gọi là số nguyên tố Wieferich Các số nguyên tố 3, 5, 7 là số nguyên tố Wieferich Giả thuyết phát biểu rằng, có vô hạn số nguyên tố Wieferich 1.3.10 Giả thuyết Granville Một số nguyên... 2 1 −ε1 2 ▄ Ta có thể biến đổi kết quả của giả thuyết Hall như sau: x − y > K(ε) x 3 2 1 −ε 2 2 ⇔ x 3 − y 2 1− 2ε > K ( ε ) x 6 ⇔ x 3 − y 2 1− 2ε > K ( ε ) x3 ⇔ x3 − y 2 ⇔ x3 − y 2 6+ 12ε 1− 2 ε 6 + ε1 > K ( ε ) x3 > K ( ε1 ) x3 Bằng cách chứng minh tương tự như trên, ta có thể mở rộng giả thuyết Hall cho các số mũ lũy thừa nguyên m và n bất kì 24 2.1.3 Từ Giả thuyết ABC suy ra Giả thuyết Tijdeman-Zagier... với 25 gcd ( x, y, z ) = 1 , có nghiệm ( x, y, z ) không tầm thường trong ¢ hay không? Đây chính là giả thuyết Fermat-Catalan 2.1.4 Từ giả thuyết ABC suy ra Giả thuyết Fermat-Catalan Chứng minh Thật vậy, giả sử tồn tại các số nguyên x, y, z khác 0 nguyên tố cùng nhau thỏa mãn phương trình x p + y q = z r Ta có thể giả sử p ≤ q ≤ r , nếu ngược lại thì ta đổi vị trí của các số hoặc chuyển vế cho phương... Vào năm 1825 22 Ơle đã chứng minh với n = 3 , từ phương trình x 4 + y 4 = z 2 không có nghiệm nguyên dương ta suy ra định lý cuối cùng của Fermat đúng với n = 4 , Diricle với n = 5 2.1.2 Từ Giả thuyết ABC suy ra Giả thuyết Hall ( ) 3 3 2 2 Chứng minh Thật vậy, trước hết ta có sự phân tích x = x − y + y Ta giả sử x 3 − y 2 > 0 Theo giả thuyết ABC ta có: { } max x3 , x 3 − y 2 , y 2 ≤ K ( ε ) rad... < 1 ▄ p q r 2.1.5 Từ Giả thuyết ABC suy ra Giả thuyết Catalan tiệm cận Giả thuyết Catalan khẳng định rằng chỉ có 8 và 9 là cặp số liên tiếp duy nhất mà cả hai số đều là lũy thừa của số tự nhiên Nói cách khác, nó là nghiệm duy nhất của phương trình Catalan: x m − y n = 1 , trong đó x, y, m, n là các số nguyên lớn hơn 1 : 32 − 23 = 1 Ta đã biết rằng phương trình x m − y 2 = 1 không có nghiệm nguyên dương... thuyết ABC n n n 1.3.1 Giả thuyết Fermat tiệm cận Phương trình Fermat x + y = z không có nghiệm nguyên khác 0 , với số nguyên dương n đủ lớn 1.3.2 Giả thuyết Fermat tiệm cận Với một số mũ cố định n ≥ 4 , phương trình Fermat x n + y n = z n có nhiều nhất là hữu hạn nghiệm trong các số nguyên dương x, y, z Giả thuyết số học sau đây, do M Hall đưa ra vào năm 1971, khi ông 3 2 nghiên cứu về phương trình Diophantine ... thc Gi thuyt ABC Cỏc gi thuyt s hc cú th suy c t Gi 5 11 thuyt ABC 15 CHNG 17 2.1 MT VI NG DNG CA GI THUYT ABC S dng Gi thuyt ABC chng minh mt s gi 17 2.2 thuyt s hc ng dng gi thuyt ABC gii mt... CHNG MT VI NG DNG CA GI THUYT ABC 2.1 S dng Gi thuyt ABC chng minh mt s gi thuyt s hc Da vo Gi thuyt ABC ta chng minh c cỏc gi thuyt s hc 2.1.1 T Gi thuyt ABC suy Gi thuyt Fermat tim cn Chng... tha h thc a + b = c , ú: max { deg a,deg b,deg c} n0 ( abc ) = deg ( rad ( abc ) ) ú, n0 ( abc ) l s nghim phõn bit ca a thc tớch abc F Chng minh Gi s D l phộp ly o hm nht, xỏc nh trờn trng