BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ——————————————– NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN COMPACT KHẢ TÍCH ĐỀU TRÊN KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ——————– * ——————— NGUYỄN THỊ KIỀU TRANG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN COMPACT KHẢ TÍCH ĐỀU TRÊN KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Văn Quảng Nghệ An, 2015 i Mục lục NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.2 Không gian xác suất biến ngẫu nhiên 1.1.1 Không gian xác suất 1.1.2 Biến ngẫu nhiên 1.1.3 Kỳ vọng 1.1.4 Các dạng hội tụ Phần tử ngẫu nhiên 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên 10 1.2.3 Các dạng hội tụ 11 1.2.4 Một số bất đẳng thức 12 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN COMPACT KHẢ TÍCH ĐỀU 2.1 2.2 14 Họ phần tử ngẫu nhiên compact khả tích 14 2.1.1 Phần tử ngẫu nhiên compact khả tích 14 2.1.2 Họ phần tử ngẫu nhiên compact khả tích 16 Dãy phần tử ngẫu nhiên compact khả tích theo nghĩa Cesàro 19 ii 2.2.1 Dãy phần tử ngẫu nhiên khả tích theo nghĩa Cesàro 19 2.2.2 Dãy phần tử ngẫu nhiên compact khả tích theo nghĩa Cesàro 21 2.3 2.4 Compact khả tích mảng 22 2.3.1 Khả tích mảng 22 2.3.2 Nghiên cứu tính compact khả tích mảng 23 Một số định lý giới hạn dạng luật số lớn với điều kiện compact khả tích 27 Tài liệu tham khảo 33 LỜI NÓI ĐẦU Khả tích khái niệm quan trọng giải tích hàm lí thuyết xác suất Mặt khác, luật số lớn đóng vai trò quan trọng lí thuyết xác suất Điều kiện độc lập khả tích, phân phối tảng luật số lớn Bernoulli, Borel N Kolmogorov Từ đến nay, điều kiện không ngừng giảm nhẹ Nhằm giảm điều kiện khả tích, phân phối, người ta đưa điều kiện yếu hơn, có điều kiện khả tích Đây điều kiện quan tâm nhiều nhà toán học Khi nghiên cứu định lý giới hạn phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach, người ta thường phải thay điều kiện khả tích điều kiện mạnh Đó điều kiện compact khả tích Để tìm hiểu sâu điều kiện này, định chọn đề tài luận văn là: "Một số tính chất phần tử ngẫu nhiên compact khả tích không gian Banach" Mục đích luận văn nghiên cứu số tính chất phần tử ngẫu nhiên compact khả tích không gian Banach số định lí giới hạn dạng luật số lớn với điều kiện compact khả tích Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm có hai chương: Trong chương trình bày số khái niệm tính chất biến ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên Các kết chương sử dụng chương Chương trình bày số tính chất phần tử ngẫu nhiên compact khả tích Chương gồm mục Mục 2.1 trình bày họ phần tử ngẫu nhiên compact khả tích Mục 2.2 đề cập đến việc mở rộng khái niệm compact khả tích theo nghĩa Cesàro Mục 2.3 compact khả tích mảng Mục 2.4 dành cho việc trình bày số bổ đề định lí giới hạn dạng luật số lớn với điều kiện compact khả tích Luận văn hoàn thành trường đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo GS.TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy quan tâm nhiệt tình hướng dẫn mà thầy dành cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu đề tài Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô tổ Xác suất thống kê Toán ứng dụng, khoa sư phạm Toán học, Phòng Đào tạo sau đại học, tận tình giúp đỡ tác giả trình tác giả học tập trường Mặc dù tác giả cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận lời bảo, ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng năm 2015 Tác giả Chương NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, trình bày số khái niệm tính chất biến ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên Các kết chương sử dụng chương sau 1.1 1.1.1 Không gian xác suất biến ngẫu nhiên Không gian xác suất Giả sử Ω tập tuỳ ý khác rỗng, F σ− đại số tập Ω Khi đó, cặp (Ω, F ) gọi không gian đo Giả sử (Ω, F ) không gian đo Một ánh xạ P : F → R gọi độ đo xác suất F i) P(A) ≥ với ∀A ∈ F (tính không âm) ii) P(Ω) = (tính chuẩn hoá) iii) Nếu An ∈ F, (n = 1, 2, 3, ), Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅(i = j) ∞ ∞ n=1 n=1 P( ∪ An ) = P(An ) (Tính cộng tính đếm được) Các điều kiện (i), (ii), (iii) gọi hệ tiên đề Kolmogorov xác suất Bộ ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất Tập Ω gọi không gian biến cố sơ cấp σ đại số F gọi σ− đại số biến cố Mỗi A ∈ F gọi biến cố Biến cố Ω ∈ F gọi biến cố chắn Biến cố ∅ ∈ F gọi biến cố có Biến cố A = Ω\A gọi biến cố đối lập biến cố A Nếu A ∩ B = AB = ∅ A, B gọi biến cố xung khắc Không gian xác suất (Ω, F, P) gọi không gian xác suất đầy đủ tập biến cố có xác suất không biến cố 1.1.2 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.1 Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất, G σ− đại số σ− đại số F Khi ánh xạ X : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên G - đo ánh xạ G/B(R) đo (tức với B ∈ B(R) X −1 (B) ∈ G ) Biến ngẫu nhiên gọi đại lượng ngẫu nhiên Trong trường hợp đặc biệt, X biến ngẫu nhiên F− đo X gọi cách đơn giản biến ngẫu nhiên Hiển nhiên, biến ngẫu nhiên G− đo biến ngẫu nhiên Mặt khác, dễ thấy X biến ngẫu nhiên họ: σ(X) = (X −1 (B) : B ∈ B(R)) lập thành σ−đại số σ−đại số F , σ−đại số gọi σ−đại số sinh X Đó σ−đại số bé mà X đo Từ suy X biến ngẫu nhiên G−đo σ(X) ⊂ G Nếu biến ngẫu nhiên X nhận hữu hạn giá trị, gọi biến ngẫu nhiên đơn giản Định lý 1.1.1 X biến ngẫu nhiên điều kiện sau thoả mãn (i) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ F với a ∈ R (ii) (X ≤ a) := (ω : X(ω) ≤ a) ∈ F với a ∈ R (iii) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với a ∈ R (iv) (X ≥ a) := (ω : X(ω) ≥ a) ∈ F với a ∈ R Định lý 1.1.2 Giả sử X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P), f : Rn → R hàm B(Rn )/B(R) đo Khi Y = f (X1 , , Xn ) : Ω → R ω → f (X1 (ω), , Xn (ω)) biến ngẫu nhiên Hệ 1.1.1 Giả sử X,Y biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P), f : R → R hàm liên tục a ∈ R Khi aX, X ± Y, XY, |X| , f (X), X + = max(X, 0), X − = max(−X, 0), X Y, (Y = 0) biến ngẫu nhiên Định lý 1.1.3 Giả sử (Xn , n ≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P) Khi đó, inf Xn , sup Xn hữu hạn, inf Xn , sup Xn , n n n n limXn , limXn , lim Xn (nếu tồn tại), biến ngẫu nhiên n→∞ Định lý 1.1.4 Nếu X biến ngẫu nhiên không âm tồn dãy biến ngẫu nhiên đơn giản, không âm (Xn , n ≥ 1) cho Xn ↑X (khi n → ∞) 1.1.3 Kỳ vọng Định nghĩa 1.1.2 Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B(R)) biến ngẫu nhiên Khi tích phân Lebesgue X theo độ đo P (nếu tồn tại) gọi kỳ vọng X kí hiệu EX Vậy EX = XdP Ω Nếu tồn E|X|p < ∞ (p > 0), ta nói X khả tích bậc p Đặc biệt, E|X| < ∞, X gọi biến ngẫu nhiên khả tích Tính chất 1.1.1 Nếu X ≥ EX ≥ Nếu X = C EX = C Nếu tồn EX với C ∈ R, ta có E(CX) = C EX Nếu tồn EX EY E(X ± Y ) = EX ± EY Nếu X ≥ EX = X = h.c.c    xi pi X rời rạc nhận giá trị x1 , x2 ,    i  EX = với P(X = xi ) = pi   +∞    xp(x)dx X liên tục có hàm mật độ p(x)  −∞ Tổng quát:  Nếu f : R → R hàm đo Y = f(X) thì:   f (xi )pi X rời rạc nhận giá trị x1 , x2 ,    i  EY = với P(X = xi ) = pi   +∞    f (x)p(x)dx X liên tục có hàm mật độ p(x)  −∞ (Định lý B Levi hội tụ đơn điệu) Nếu Xn ↑X (tương ứng Xn ↓X) tồn n để: EXn − < ∞ (tương ứng EXn + < ∞) EXn ↑EX (tương ứng EXn ↓EX) (Bổ đề Fatou) Nếu Xn ≥ Y với n ≥ EY > −∞ thì: ElimXn ≤ limEXn Nếu Xn ≤ Y với n ≥ EY < +∞ thì: ElimXn ≥ limEXn 19 Giả sử ε > X compact khả tích, nên tồn Cε ⊂ E compact cho E( X I( X ∈C / ε)) < 2ε Vì Xi ≤ X ; (Xi ∈ / Cε ) ⊂ (X ∈ / Cε ) với i ∈ I , nên E( Xi I( Xi ∈C / ε)) ≤ E( X I( X ∈C / ε)) < 2ε , i ∈ I Do sup E Xi I( i∈I Xi ∈C / ε) ≤ ε < ε, nên họ {Xi , i ∈ I} compact khả tích 2.2 Dãy phần tử ngẫu nhiên compact khả tích theo nghĩa Cesàro 2.2.1 Dãy phần tử ngẫu nhiên khả tích theo nghĩa Cesàro Định nghĩa 2.2.1 Dãy {Xn , n ≥ 1} phần tử ngẫu nhiên gọi khả tích theo nghĩa Cesàro nếu: lim sup n−1 a→∞ n≥1 n E Xi I( i=1 Xi >a) = Tính chất 2.2.1 Nếu dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} khả tích đều, khả tích theo nghĩa Cesàro Điều ngược lại không Chứng minh Giả sử {Xn , n ≥ 1} khả tích Khi lim sup E a→∞ i Xi I( Xi >a) = 20 Do đó, với ε > 0, tồn M > cho với a > M sup E Xi I( i < 2ε Xi >a) Suy Xi I( E < 2ε , i ≥ Xi >a) Do đó, với a>M n ≥ 1, ta có n−1 n E( Xi I( Xi i=1 n −1 >a) ) ≤ n i−1 ε = n−1 n 2ε = 2ε Vì n lim sup n−1 a→∞ n≥1 Xi I( E i=1 Xi >a) = 0, tức dãy {Xn , n ≥ 1} khả tích theo nghĩa Cesàro Ta xét ví dụ: Gọi {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên xác định sau: Giả sử v ∈ E , v = 0, k ∈ R Suy kv ∈ E Xn = ±v ∈ E với xác suất (Nếu n luỹ thừa bậc 3, n = j ) √ Xn = ± nv ∈ E với xác suất (Nếu n luỹ thừa bậc 3, n = j ) Dãy {Xn , n ≥ 1} không khả tích sup E Xn = ∞ Tuy nhiên, n {Xn , n ≥ 1} khả tích theo nghĩa Cesàro Thật vậy, a ≥ ta có n n E Xk I( Xk >a) ≤ k=1 ≤ n k = k=j k≤n ≤ n · Suy n E Xk I( n j= j=1 = Xk >1) k=1 [n1/3 ] n n +1 n n [n1/3 ]([n1/3 ]+1) n +1 n 2n → n → ∞ 21 lim sup n−1 a→∞ n≥1 n E Xk I( Xk >a) = 0, k=1 tức dãy {Xn , n ≥ 1} khả tích theo nghĩa Cesàro 2.2.2 Dãy phần tử ngẫu nhiên compact khả tích theo nghĩa Cesàro Định nghĩa 2.2.2 Một dãy {Xn , n ≥ 1} phần tử ngẫu nhiên gọi compact khả tích theo nghĩa Cesàro với ε > tồn tập compact Cε ⊂ E cho: n sup n−1 E Xk I(Xk ∈C / ε) < ε n≥1 k=1 Tính chất 2.2.2 Nếu dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} compact khả tích compact khả tích theo nghĩa Cesàro Điều ngược lại không Chứng minh Giả sử dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} compact khả tích Giả sử ε > tồn tập compact Cε ⊂ E cho ε sup E Xi I(Xi ∈C / ε) < i∈N Suy ε Xi I(Xi ∈C / ε ) < , i ∈ N E Do đó, với n, ta có n E i=1 Xi I(Xi ∈C / ε) < nε Vì sup n n n E i=1 Xi I(Xi ∈C / ε) ≤ ε < ε, 22 tức dãy {Xn , n ≥ 1} compact khả tích theo nghĩa Cesàro Ta xét ví dụ: Gọi {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên xác định sau: Giả sử v ∈ E , v = 0, k ∈ R Suy kv ∈ E Xn = ±v ∈ E với xác suất (Nếu n luỹ thừa bậc 3, n = j ) √ Xn = ± nv ∈ E với xác suất (Nếu n luỹ thừa bậc 3, n = j ) Dãy {Xn , n ≥ 1} không khả tích sup E Xn = ∞ n Tuy nhiên, {Xn , n ≥ 1} khả tích theo nghĩa Cesàro Thật vậy, a ≥ ta có n n E Xk I( n ≤ Xk >a) k=1 ≤ n ≤ k = k=j k≤n · E Xk I( n j= j=1 n n +1 [n1/3 ]([n1/3 ]+1) n 1 n +1 n = Xk >1) k=1 [n1/3 ] 1 n n 2n → n → ∞ Suy sup n−1 n≥1 n E Xk I( Xk >a) = 0, k=1 tức dãy {Xn , n ≥ 1} khả tích theo nghĩa Cesàro 2.3 2.3.1 Compact khả tích mảng Khả tích mảng Định nghĩa 2.3.1 Giả sử (ank , n, k ∈ N) mảng số thực Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi ank − khả tích ( hay khả tích liên quan đến mảng ank ; n, k ∈ N, ≤ k ≤ n) n |ank | E lim sup a→∞ n k=1 Xk I( Xk >a) = 23 Tính chất 2.3.1 Nếu dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} khả tích theo nghĩa Cesàro, ank − khả tích với   ≤ k ≤ n n ank =  k > n Chứng minh Giả sử dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} khả tích theo nghĩa Cesàro Khi n lim sup n−1 a→∞ n≥1 Đặt ank =   n E Xk I( Xk >a) = k=1 ≤ k ≤ n  k > n Ta có n n |ank | E( Xk I( k=1 = n Xk >a) ) = k=1 n E( Xk I( Xk >a) ) −1 n E( Xk >a) ) n =n k=1 Xk I( E( Xk I( Xk >a) ) k=1 Do n |ank |E( Xk I( lim sup( a→∞ n k=1 −1 n = lim sup n a→∞ n Xk >a) )) E( Xk I( Xk >a) ) k=1 =0 Vậy dãy {Xn , n ≥ 1} ank - khả tích 2.3.2 Nghiên cứu tính compact khả tích mảng Định nghĩa 2.3.2 Giả sử (ank , n, k ∈ N) mảng số thực Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi ank - compact khả tích ( hay compact khả tích liên quan đến mảng ank , n, k ∈ N, ≤ k ≤ n) ε > tồn tập compact Cε ⊂ E cho n |ank |E( Xk I(Xk ∈C / ε ) ) < ε sup n k=1 24 Tính chất 2.3.2 Nếu dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} compact khả tích theo nghĩa Cesàro, ank − compact khả tích với   ≤ k ≤ n n ank =  k > n Nếu dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} compact khả tích liên quan đến mảng ank khả tích liên quan đến mảng ank Khi E không gian hữu hạn chiều, dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} ank − khả tích dãy ank − compact khả tích Nếu dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} compact khả tích n |ank | < M (với n) dãy ank − compact khả tích k=1 Chứng minh Giả sử dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} compact khả tích theo nghĩa Cesàro Giả sử ε > Khi sup n n≥1 Đặt ank =   n −1 n E Xk I(Xk ∈C / ε ) < ε k=1 ≤ k ≤ n  k > n Khi n n |ank | E k=1 = n k=1 n E k=1 Xk I(Xk ∈C / ε) = Xk I(Xk ∈C / ε) = n −1 nE Xk I(Xk ∈C / ε) n E Xk I(Xk ∈C / ε) k=1 Do n sup n k=1 −1 |ank |E( Xk I(Xk ∈C / ε ) ) = sup n n n E( Xk I(Xk ∈C / ε)) k=1 25 < ε Vậy dãy {Xn , n ≥ 1} ank -compact khả tích Giả sử dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} compact khả tích liên quan đến mảng ank (với n, k ∈ N, ≤ k ≤ n) Giả sử ε > Khi đó, tồn tập compact Cε ⊂ E cho n sup n≥1 k=1 |ank | E Xk I(Xk ∈C / ε ) < ε Vì Cε compact nên Cε bị chặn Suy tồn M > cho x < M , x ∈ Cε Do Cε ⊃ {x : x ≥ M } Khi đó, với a > M ( Xk > a) ⊂ ( Xk > M ) ⊂ Xk ∈ C ε , k ≥ Suy ra, với a>M Xk I( Xk >a) ≤ Xk I(Xk ∈C / ε) Vậy với a>M E Xk I( Xk >a) ≤ E Xk I(Xk ∈C / ε ) , k ≥ Do đó, với a>M n ∈ N, n n |ank | E Xk I( Xk >a) k=1 ≤ |ank | E Xk I(Xk ∈C / ε ) < ε k=1 Vậy n |ank | E Xk I( lim sup a→∞ n Xk >a) = 0, k=1 nên dãy {Xn , n ≥ 1} ank - khả tích Giả sử dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} ank - khả tích ε > Khi với ε > tồn M cho với a>M 26 n |ank | E Xk I( sup n < ε Xk >a) k=1 Đặt Cε = {x ∈ E : x ≤ M }, suy Cε tập đóng bị chặn E Mà E không gian hữu hạn chiều nên Cε tập compact Mặt khác Cε = {x ∈ E : x > M } suy (Xk ∈ Cε ) = ( Xk > M ) Do E Xk I(Xk ∈C / ε ) = E Xk I( n Xk >M ) n |ank | E Xk I(Xk ∈C / ε) = k=1 |ank | E Xk I( Xk >M ) < ε k=1 Nên n n n |ank | E Xk I( |ank | E Xk I(Xk ∈C / ε ) = sup sup n k=1 Xk >M ) < ε k=1 Vậy dãy {Xn , n ≥ 1} ank − compact khả tích Giả sử dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} compact khả tích n |ank | < M , với n k=1 Khi đó, với ε > tồn tập compact Cε ⊂ E cho sup E Xk I( k∈N Xk >M ) < ε M Suy n n |ank | E Xk I(Xk ∈C / ε ) ≤ sup sup n k=1 n n |ank | · < sup n k=1 ε M = Mε sup n n |ank | sup E |ank | ≤ k=1 k∈N k=1 ε M Xk I(Xk ∈C / ε) · M = ε Do n |ank | E Xk I(Xk ∈C / ε ) < ε sup n k=1 Vậy dãy {Xn , n ≥ 1} dãy ank − compact khả tích 27 2.4 Một số định lý giới hạn dạng luật số lớn với điều kiện compact khả tích Bổ đề 2.4.1 ([3]) Cho C tập compact E dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} nhận giá trị C Khi với ε > 0, tồn dãy {xj , ≤ j ≤ m} thuộc E dãy {Aj , ≤ j ≤ m} tập Borel E cho với n ≥ ta có Xn − Yn < ε m xj I (Xn ∈ Aj ) Trong Yn = j=1 Bổ đề 2.4.2 ([3]) Cho ≤ p ≤ {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi với ∞ n−p E |Xn |p < ∞ n=1 Khi với ε > ∞ n −1 (Xk − EXk ) > εn n P n=1 < ∞ k=1 Chứng minh Theo Bổ đề Kronecker ∞ n−p E |Xn |p < ∞, n=1 n−p n E |Xk |p → 0, n → ∞ k=1 Do cố định ε > bất kì, với n đủ lớn, ta n−1 n k=1 ≤ n−1 EXk I(|Xk | > n) ≤ n−1 n E |Xk |I(|Xk | > n) ≤ n−p Xk n n k=1 Thật =E |EXk I(|Xk | > n)| k=1 k=1 E|Xk |I(|Xk |>n) n n I Xk n >1 E |Xk |p ≤ 2ε 28 Xk p Xk n I n >1 p |Xk | Xk p = E n np ≤E ≤E Xk p n I +E Xk n ≤1 Khi ta có ∞ ∞ n −p (Xk − EXk ) > εn n P n=1 ∞ n n=1 k=1 n n−1 P c ≤c −1 n P {|Xk | > n} + k=1 (Xk I (|Xk | ≤ n) − EXk I (|Xk | ≤ n)) > n=1 k=1 εn := A + B Sử dụng bất đẳng thức Markov để biến đổi công thức A B ∞ n −1 p P {|Xk | > n } ≤ n A= n=1 ∞ k=1 n=1 ∞ −1 n n−p E|Xk |p n ∞ p n=1 E|Xk | ≤ c n−1−p n=1 k=1 k=1 n E|Xk |p k=1 n −1 εn 2 (Xk I (|Xk | ≤ n) − EXk I (|Xk | ≤ n)) > n P B=C n n−1 np ≤c ∞ p n=1 k=1 ∞ ≤C n −1 −2 (Xk I (|Xk | ≤ n) − EXk I (|Xk | ≤ n)) n n E n=1 ∞ ≤C −1−2 n n=1 ∞ n=1 ∞ n−3 n=1 n |(Xk I (|Xk | ≤ n) − EXk I (|Xk | ≤ n))| E n−3 ≤C ≤C k=1 n k=1 E |(Xk I (|Xk | ≤ n) − EXk I (|Xk | ≤ n))|2 k=1 n (E |(Xk I (|Xk | ≤ n) − EXk I (|Xk | ≤ n))|)2 k=1 ∞ ≤C n n−3 n=1 E|Xk I (|Xk | ≤ n)|2 k=1 ∞ ≤C n n=1 ∞ ≤c n −3 E|Xk |2 k=1 ∞ p E|Xk | k=1 n−1−p n=k Do ∞ A+B ≤C k −p E|Xk |p < ∞ k=1 Bổ đề 2.4.3 ([3]) Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên n Xi Cho {bn , n ≥ 1} dãy số dương, cho < bn ↑ b2n /bn = Sn = i=1 ∞ Nếu n=1 max |Si | n P (1≤i≤n > εbn ) < ∞ với ε > Sn /bn → h.c.c 29 Chứng minh Ta có ∞ max |Sn | n P (1≤i≤n ∞> n=1 ∞ 2k+1 −1 = k=0 n=2k max |Sn | n P (1≤i≤n > εbn )≥ > εbn ) ∞ k=0 P ( maxk |Si | > εb2k+1 ) 1≤i≤2 Suy ∞ k=0 P ( maxk |Si | > εb2k+1 ) < ∞ 1≤i≤2 Với ∀ε > max Si ∞ P( 1≤i≤2k b2k+1 k=0 > ε) < ∞ Khi max Si c 1≤i≤2k → − k → ∞ b2k+1 Suy max Si 1≤i≤2k h.c.c −−→ k → ∞ b2k+1 Và kết hợp với điều kiện b2n /bn = 0(1) b2k max |Sn | → 0.h.c.c(1) 1≤i≤2k+1 Với 2k ≤ n ≤ 2k+1 Sn bn ≤ b2k max |Si |.(2) 1≤i≤2k+1 Vế phải (2) hội tụ đến h.c.c theo (1) kết chứng minh Định lý 2.4.1 ([3]) Cho ≤ p ≤ {Xn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi thoả mãn ∞ n−p E Xn p < ∞ {Xn , n ≥ 1} compact khả tích theo nghĩa n=1 Cesàro Khi với ε > ta có ∞ n=1 n−1 P m (Xk − EXk ) > εn max 1≤m≤n k=1 < ∞ (1) 30 n Đặc biệt n (Xk − EXk ) → h.c.c n → ∞.(2) k=1 Chứng minh Với ε > tồn tập compact Cε thuộc E cho với n ≥ ta có n −1 −1 n EXk I(Xk ∈C / ε) ≤ n n k=1 k=1 ε E Xk I(Xk ∈C / ε) < Trong {Xn I (Xk ∈ Cε ) , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên thuộc Cε ∪ {0} Cε ∪ {0} tập compact E Theo Bổ đề 2.4.1 tồn dãy phần tử ngẫu nhiên {Yn , n ≥ 1} độc lập đôi khả tích cho với n ≥ ta có Xn I (Xn ∈ Cε ) − Yn ≤ 6ε Khi ta có m P (Xk − EXk ) > εn max 1≤m≤n k=1 m ≤P max 1≤m≤n +P 1≤m≤n ≤P 3εn Xk I(Xk ∈Cε ) − EXk I(Xk ∈Cε ) > 3εn k=1 m max 1≤m≤n m > k=1 m max ≤P Xk I(Xk ∈C / ε ) − EXk I(Xk ∈C / ε) Xk I(Xk ∈C / ε) > k=1 Xk I(Xk ∈C / ε) > k=1 n ≤P m 2εn 2εn +P +P max 1≤m≤n k=1 m max 1≤m≤n k=1 Xk I(Xk ∈C / ε ) − E Xk I(Xk ∈C / ε) > εn > εn k=1 m +P max 1≤m≤n k=1 n ≤P (Yk − EYk ) > Xk I(Xk ∈C / ε ) − E Xk I(Xk ∈C / ε) m max 1≤m≤n k=1 (Yn − EYk ) > εn    n=1 k=1 n−1 P max m 1≤m≤n k=1 εn Để minh (1), điều kiện đủ  chứng ∞ n  −1  n P Xk I(Xk ∈C  / ε ) − E Xk I(Xk ∈C / ε) n=1 ∞ (Yk − EYk ) > εn εn k=1 +P (Yk − EYk ) > (Yk − EYk ) > εn > < ∞ (4) εn < ∞.(3) 31 Ta chứng minh (3) Áp dụng Bổ đề 2.4.2 cho dãy biến ngẫu nhiên { Xn I(Xn ∈C / ε ) ; n ≥ 1}, ta có ∞ n=1 n−p E( Xn I(Xn ∈C / ε)) ≤ ∞ n−p E Xn < ∞ n=1 Theo Bổ đề 2.4.2 ta có ∞ n n−1 P ( Xk I(Xk ∈C / ε ) − E Xk I(Xk ∈C / ε)) > n=1 k=1 εn < ∞ (3) chứng minh Ta có n−1 n EXk I (|Xk | > x) ≤ n−1 k=1 n E |Xk |I(|Xk | > x).(5) k=1 Với x = x(ε) > Áp dụng (5) Bổ đề 2.4.2 ta có ∞ m n−1 P { max 1≤m≤n k=1 n=1 ∞ (Xk I(|Xk | > x) − EXk I(|Xk | > x)) > m −1 ≤ n P { max 1≤m≤n k=1 n=1 ∞ ≤ ∞ ≤ n=1 m n−1 P { |Xk | n=1 (Xk I(|Xk | > x) > I(|Xk | > x) > k=1 2εn } 2εn } m n−1 P { 3εn } εn } x) − E |Xk | I(|Xk | > x)) > k=1 Suy ∞ n=1 n−1 P { max m 1≤m≤n k=1 (Xk I(|Xk | > x − EXk I(|Xk | > x)) > Theo chứng minh (6) ta có (4) ∞ m −1 n P { max n=1 1≤m≤n k=1 Suy điều cần chứng minh (Yk − EYk ) > εn } < ∞ 32 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau đây: Trình bày, hệ thống kiến thức lí thuyết xác suất cần cho việc nghiên cứu luận văn Trình bày số tính chất phần tử ngẫu nhiên compact khả tích Trình bày chứng minh bổ đề định lý luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một, compact khả tích 33 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Quảng, Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội (2008) [2] Nguyễn Văn Quảng, Xác suất không gian Banach, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội (2012) [3] P Bai, P Y Chen and S H Sung, On complete convergence and the strong law of large numbers for pairwise independent random variables, Acta Math Hungar, (2014) [4] M O Cabrera, Convergence of weighted sums of random variables and uniform integrability concerning the weights , Collect Math.45.2 (1994), 121 - 132 [5] T K Chandra, Uniform integrability in the Cesàro sense and the weak law of large numbers, Sankhya, Ser A, 51(1989) [6] T K Chandra and A Goswami, Cesàro uniform integrability and the strong law of large numbers, Sankhya, Ser A, 54(1992) [7] P I Chen, D C Wang, Lr convergence for B - valued random elements, Acta Math Sin (Engl Ser.) 28(2012), no 4, 857 - 868 [8] X C Wang and M B Rao, Some results on the convergence of weighted sums of random elements in separable banach spaces, Studia Math., 86(1987), 131 -153 [...]... 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN COMPACT KHẢ TÍCH ĐỀU 2.1 2.1.1 Họ phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều Phần tử ngẫu nhiên compact khả tích Định nghĩa 2.1.1 Phần tử ngẫu nhiên X được gọi là khả tích nếu E X < ∞ (1) Nhận xét 2.1 Phần tử ngẫu nhiên X khả tích khi và chỉ khi biến ngẫu nhiên X khả tích Do đó công thức (1) tương đương lim E X I( a→∞ X >a) = 0 (2) Định nghĩa 2.1.2 Phần tử. .. họ phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều thì khả tích đều 3 Khi E là không gian hữu hạn chiều, họ phần tử khả tích đều thì họ compact khả tích đều 4 Giả sử tồn tại phần tử ngẫu nhiên compact khả tích X sao cho Xi ≤ X , với mọi i ∈ I và (Xi ∈ / C) ⊂ (X ∈ / C), với mọi i ∈ I , mọi C ⊂ E , C compact Khi đó {Xi , i ∈ I} compact khả tích đều Chứng minh 1 Giả sử {Xi , i ∈ I} là họ compact khả tích đều. .. ≥ 1} khả tích đều theo nghĩa Cesàro 2.2.2 Dãy phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro Định nghĩa 2.2.2 Một dãy {Xn , n ≥ 1} các phần tử ngẫu nhiên được gọi là compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro nếu với mọi ε > 0 tồn tại một tập con compact Cε ⊂ E sao cho: n sup n−1 E Xk I(Xk ∈C / ε) < ε n≥1 k=1 Tính chất 2.2.2 1 Nếu dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} compact khả tích đều thì... ∈C / ε ) = E X I( X >M ) < ε Vậy X là phần tử ngẫu nhiên compact khả tích 2.1.2 Họ phần tử ngẫu nhiên compact khả tích đều Định nghĩa 2.1.3 Họ các phần tử ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} được gọi là khả tích đều nếu lim sup E Xi I( a→∞ i∈I Xi >a) = 0 Định nghĩa 2.1.4 Họ các phần tử ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} được gọi là compact khả tích đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại tập con compact Cε ⊂ E sao cho sup E i∈I Xi I(Xi... compact khả tích đều theo nghĩa Cesàro, thì nó ank − compact khả tích đều với   1 nếu 1 ≤ k ≤ n n ank =  0 nếu k > n 2 Nếu dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} compact khả tích đều liên quan đến mảng ank thì nó khả tích đều liên quan đến mảng ank 3 Khi E là không gian hữu hạn chiều, nếu dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} là ank − khả tích đều thì nó là dãy ank − compact khả tích đều 4 Nếu dãy phần. .. 2.2.1 Dãy phần tử ngẫu nhiên khả tích đều theo nghĩa Cesàro Định nghĩa 2.2.1 Dãy {Xn , n ≥ 1} các phần tử ngẫu nhiên được gọi là khả tích đều theo nghĩa Cesàro nếu: lim sup n−1 a→∞ n≥1 n E Xi I( i=1 Xi >a) = 0 Tính chất 2.2.1 1 Nếu dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} khả tích đều, thì nó khả tích đều theo nghĩa Cesàro 2 Điều ngược lại là không đúng Chứng minh 1 Giả sử {Xn , n ≥ 1} khả tích đều Khi... Xn → X thì X là phần tử ngẫu nhiên 9 Định lý 1.2.2 Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên khi và chỉ khi X là giới hạn đều của một dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc, tức là tồn tại dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc {Xn , n ≥ 1} sao cho lim sup Xn (ω) − X(ω) = 0 n→∞ ω∈Ω Định lý 1.2.3 Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên khi và chỉ khi X là giới hạn (theo chuẩn) của một dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản {Xn... là mảng số thực Dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi là ank − khả tích đều ( hay khả tích đều liên quan đến mảng ank ; n, k ∈ N, 1 ≤ k ≤ n) nếu n |ank | E lim sup a→∞ n k=1 Xk I( Xk >a) = 0 23 Tính chất 2.3.1 Nếu dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} khả tích đều theo nghĩa Cesàro, thì nó ank − khả tích đều với   1 nếu 1 ≤ k ≤ n n ank =  0 nếu k > n Chứng minh Giả sử dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn... tử ngẫu nhiên Khi đó, ánh xạ X : Ω → R là biến ngẫu nhiên Định lý 1.2.5 Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên khi và chỉ khi với mọi f ∈ E ∗ thì f(X) là biến ngẫu nhiên Hệ quả 1.2.2 Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, a, b ∈ R và ξ : Ω → R là biến ngẫu nhiên Khi đó aX + bY, ξX là các phần tử ngẫu nhiên Định nghĩa 1.2.4 Một tập hữu hạn các phần tử ngẫu nhiên X1 , X2 , , Xn nhận giá trị trong E được... Nghiên cứu tính compact khả tích đều đối với mảng Định nghĩa 2.3.2 Giả sử (ank , n, k ∈ N) là mảng số thực Dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi là ank - compact khả tích đều ( hay compact khả tích đều liên quan đến mảng ank , n, k ∈ N, 1 ≤ k ≤ n) nếu mọi ε > 0 tồn tại tập con compact Cε ⊂ E sao cho n |ank |E( Xk I(Xk ∈C / ε ) ) < ε sup n k=1 24 Tính chất 2.3.2 1 Nếu dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn ... Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN COMPACT KHẢ TÍCH ĐỀU 2.1 2.1.1 Họ phần tử ngẫu nhiên compact khả tích Phần tử ngẫu nhiên compact khả tích Định nghĩa 2.1.1 Phần tử ngẫu nhiên. .. 12 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN COMPACT KHẢ TÍCH ĐỀU 2.1 2.2 14 Họ phần tử ngẫu nhiên compact khả tích 14 2.1.1 Phần tử ngẫu nhiên compact khả tích 14 2.1.2 Họ phần. .. < ε Suy X phần tử ngẫu nhiên compact khả tích Tính chất 2.1.1 Phần tử ngẫu nhiên X compact khả tích khả tích Trong không gian hữu hạn chiều, phần tử ngẫu nhiên X khả tích compact khả tích Chứng