BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH VÀ LUẬT YẾU SỐ LỚN ĐỐI VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN DƯỚI ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH THEO TRỌNG SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH VÀ LUẬT YẾU SỐ LỚN ĐỐI VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN DƯỚI ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH THEO TRỌNG SỐ Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê Toán học Mã số: 60.46.01.06 LUÂN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Văn Quảng Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian xác suất 1.1.1 Không gian đo độ đo xác suất 1.1.2 Các tính chất xác suất 1.1.3 Tính độc lập biến cố 1.2 Biến ngẫu nhiên 1.2.1 Ánh xạ đo 1.2.2 Biến ngẫu nhiên 1.2.3 Phân phối xác suất 1.2.4 Hàm phân phối 10 1.2.5 Kỳ vọng 10 1.3 Phần tử ngẫu nhiên 11 1.3.1 Định nghĩa 11 1.3.2 Tính chất 12 1.3.3 Kỳ vọng 12 1.3.4 Kỳ vọng có điều kiện 13 1.3.5 Martingale hiệu martingale 14 Một số định lý hội tụ theo trung bình Luật yếu số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên điều kiện khả tích theo trọng số 15 2.1 Các dạng khả tích 15 2.2 Một số định lý hội tụ theo trung bình luật yếu số lớn biến ngẫu nhiên tương quan âm 25 2.3 Một số định lý hội tụ theo trung bình luật yếu số lớn biến ngẫu nhiên ϕ - mixing 33 2.4 Định lý hội tụ trung bình Gut luật yếu số lớn không gian Banach 37 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 LỜI NÓI ĐẦU Luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên đóng vai trò trung tâm định lý giới hạn Lý thuyết Xác suất Điều kiện độc lập, phân phối biến ngẫu nhiên tảng kết cổ điển Từ đó, thử nghiệm quan trọng thực nhằm giảm nhẹ điều kiện mạnh Ví dụ, điều kiện độc lập giảm nhẹ điều kiện độc lập đôi hay không tương quan dương đôi một, chí thay điều kiện phụ thuộc phụ thuộc mixing hay martingale Để giảm nhẹ điều kiện phân phối, vài điều kiện khác xem xét, điều kiện biến ngẫu nhiên bị chặn hay điều kiện khả tích Landers Rogge [9] chứng minh điều kiện khả tích đủ để dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi tuân theo luật yếu số lớn Chandra [8] thu luật yếu số lớn điều kiện yếu khả tích đều, điều kiện khả tích theo nghĩa Cesàro Cabrera [4], việc nghiên cứu hội tụ yếu cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên, đưa điều kiện khả tích liên quan tới trọng số, điều kiện yếu điều kiện khả tích theo nghĩa Cesàro Dưới điều kiện này, luật yếu số lớn cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên độc lập đôi thiết lập Chandra Goswami [6] đưa điều kiện Cesàro α - khả tích (α > 0), với α > Cesàro α - khả tích yếu Cesàro khả tích Đặc biệt, điều kiện Cesàro α - khả tích với α > , Chandra Goswami thu luật yếu số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi Chandra Goswami chứng minh Cesàro α - khả tích với α thích hợp đủ để thu luật yếu số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc đặc biệt biết Trong luận văn, nghiên cứu điều kiện h - khả tích cho mảng biến ngẫu nhiên liên quan đến mảng trọng số số Mục đích luận văn nghiên cứu "một số định lý hội tụ theo trung bình luật yếu số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên điều kiện khả tích theo trọng số" Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số khái niệm tính chất không gian xác suất, biến ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên, đặc trưng kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện, martingale, Các kết chương sử dụng Chương Chương Một số định lý hội tụ theo trung bình luật yếu số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên duới điều kiện khả tích theo trọng số Chương nội dung luận văn Trong chương trình bày dạng khả tích đều, số định lý hội tụ theo trung bình luật yếu số lớn biến ngẫu nhiên tương quan âm, ϕ - mixing, Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn trực tiếp GS.TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy quan tâm nhiệt tình hướng dẫn mà thầy dành cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu đề tài Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô Bộ môn Xác suất thống kê Toán ứng dụng, Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Sau đại học, gia đình bạn bè tạo điều kiện, tận tình giúp đỡ, động viên cho tác giả trình học tập trường Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo, ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 10 năm 2015 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày số khái niệm tính chất không gian xác suất, biến ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên, đặc trưng kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện, martingale, Các kết chương sử dụng chương sau 1.1 1.1.1 Không gian xác suất Không gian đo độ đo xác suất Giả sử Ω tập tùy ý khác rỗng Ký hiệu P(Ω) họ tất tập Ω Định nghĩa 1.1.1 Họ tập F ⊂ P(Ω) gọi σ - đại số (hay σ - trường) nếu: (i) Ω ∈ F (hay ∅ ∈ F); (ii) Nếu A ∈ F Ω\A ∈ F; (iii) Nếu {An , n = 1, 2, } ⊂ F ∞ n=1 An ∈ F Khi đó, cặp (Ω, F) gọi không gian đo Định nghĩa 1.1.2 Giả sử (Ω, F) không gian đo Một ánh xạ P : F → R gọi độ đo xác suất F nếu: (i) P(A) ≥ với ∀A ∈ F (tính không âm); (ii) P(Ω) = (tính chuẩn hóa); (iii) Nếu An ∈ F (n = 1, 2, 3, ), Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅ (i = j) ∞ P(∪∞ n=1 An ) = P(An ) (tính cộng tính đếm được) n=1 Tập Ω gọi không gian biến cố sơ cấp σ - đại số F gọi σ - đại số biến cố Mỗi A ∈ F gọi biến cố Biến cố Ω ∈ F gọi biến cố chắn Biến cố ∅ ∈ F gọi biến cố có Biến cố A = Ω\A gọi biến cố đối lập biến cố A Nếu A ∩ B = AB = ∅ A, B gọi biến cố xung khắc Không gian xác suất (Ω, F, P) gọi không gian xác suất đầy đủ tập biến cố có xác suất không biến cố Từ sau, nói đến không gian xác suất (Ω, F, P), ta xem không gian xác suất đầy đủ Chú ý 1.1.3 Điều kiện (ii) định nghĩa đảm bảo biến cố chắn có xác suất Tuy nhiên, có biến cố có xác suất chưa chắn biến cố chắn Những biến cố gọi biến cố hầu chắn 1.1.2 Các tính chất xác suất Giả sử A, B, C, biến cố Khi đó, xác suất chúng có tính chất sau: P(∅) = Nếu AB = ∅ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) P(A) = − P(A) Nếu A ⊂ B P(B\A) = P(B) − P(A) P(A) ≤ P(B) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) P( n k=1 Ak ) = n k=1 P(Ak ) − 1≤k {h(n), n ≥ 1} thỏa mãn vk=u n dãy số dương tăng đến vô Giả sử rằng: (i) {Xnk } mảng h - khả tích liên quan mảng {ank }; (ii) h2 (n) k=un ank Đặt Sn = L1 n → ∞ → n → ∞ k=un ank (Xnk − EXnk ) với n ≥ Khi Sn → Chứng minh Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi với i = j ta có P(Xi ≤ x, Xj ≤ y) = P(Xi ≤ x)P(Xj ≤ y) Suy {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi Do đó, {Xnk , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng biến ngẫu nhiên độc lập đôi {Xnk } mảng biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi Kết hợp với giả thiết lại, từ Định lý 2.2.4 ta suy Hệ 2.2.5 Định lý 2.2.7 Cho {Xnk , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng biến ngẫu nhiên không âm thỏa mãn E(Xnj Xnk ) − EXnj EXnk ≤ với j = k, n ≥ 1, {ank , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng số không âm thỏa n mãn vk=u ank ≤ C với n ≥ 1, C > {h(n), n ≥ 1} dãy n số dương tăng đến vô Giả sử rằng: (i) {Xnk } mảng h - khả tích liên quan mảng {ank }; (ii) h2 (n) k=un ank Đặt Sn = L1 n → ∞ → n → ∞ k=un ank (Xnk − EXnk ) với n ≥ Khi Sn → 30 Chứng minh Với n ≥ 1, un ≤ k ≤ , đặt Ynk = Xnk I[Xnk ≤ h(n)]; ank (Xnk − Ynk ); A1n = k=un ank (Ynk − EYnk ); A2n = k=un ank E(Ynk − Xnk ) A3n = k=un Khi Sn = A1n + A2n + A3n Do {Xnk } mảng h - khả tích liên quan mảng {ank } ank , Xnk số không âm nên lim n→∞ ank EXnk I[Xnk > h(n)] = k=un Ta có ≤ E|A1n | = EA1n = −A3n ank E(Xnk − Ynk ) = k=un ank E(Xnk − Xnk I[Xnk ≤ h(n)]) = k=un ank EXnk I[Xnk > h(n)] → n → ∞ = k=un Suy E|A1n | → n → ∞ hay A1n → L1 n → ∞ Do |A3n | = | − EA1n | = |EA1n | ≤ E|A1n | nên A3n → n → ∞ Ta có   ≤ E|A2n |2 = E  k=un ank (Ynk − EYnk ) 31  a2nk (Ynk − EYnk )2 = E k=un  anj ank (Ynj Ynk − Ynk EYnj − Ynj EYnk + EYnj EYnk ) + j=k a2nk E(Ynk − EYnk )2 = k=un anj ank [E(Ynj Ynk ) − EYnk EYnj − EYnj EYnk + EYnj EYnk ] + j=k a2nk E(Ynk − EYnk )2 + = k=un j=k a2nk EYnk + ≤ anj ank [E(Ynj Ynk ) − EYnk EYnj ] k=un anj ank [E(Ynj Ynk ) − EYnk EYnj ] := B1n + B2n j=k Mặt khác Xnk Xnk ≤ h(n) Xnk > h(n) Xnk I[Xnk ≤ h(n)] = ≤ h2 (n) Suy vn a2nk E (Xnk I[Xnk ≤ h(n)])2 a2nk EYnk = B1n := k=un k=un a2nk EXnk I[|Xnk | ≤ h(n)] = k=un vn a2nk h2n ≤ k=un = h2n a2nk → k=un Do Xnk không âm nên Ynk không âm, kết hợp với ank không âm ta có: anj ank [E(Ynj Ynk ) − EYnj EYnk ] B2n := j=k ≤ anj ank [E(Xnj Xnk ) − EYnj EYnk ] j=k 32 ≤ anj ank (EXnj EXnk − EYnj EYnk ) j=k ≤ anj ank (EXnj EXnk − EYnj EYnk ) j,k=un anj ank [(EXnj − EYnj )EXnk + (EXnk − EYnk )EYnj ] = j,k=un anj ank [EXnk E(Xnj − Ynj ) + EYnj E(Xnk − Ynk )] = j,k=un anj ank (EXnk EXnj I[Xnj > h(n)] + EYnj EXnk I[Xnk > h(n)]) = j,k=un = anj ank EXnk EXnj I[Xnj > h(n)] j,k=un + anj ank EYnj EXnk I[Xnk > h(n)] j,k=un   =  ank EXnk   anj EXnj I[Xnj > h(n)] j=un k=un   j=un   ≤  anj EXnj I[Xnj > h(n)] j=un   + = 2  ank EXnj I[Xnj > h(n)] k=un  anj EXnj I[Xnj > h(n)] → 0(n → ∞) ank EXnk   k=un  anj EXnj   j=un  k=un ank EXnk   k=un ank EXnj I[Xnj > h(n)] anj EYnj   +  j=un Do ≤ E|A2n |2 ≤ B1n + B2n → n → ∞ Suy E|A2n |2 → n → ∞ hay A2n → L2 n → ∞, kéo 33 theo A2n → L1 n → ∞ Vậy Sn → L1 n → ∞ 2.3 Một số định lý hội tụ theo trung bình luật yếu số lớn biến ngẫu nhiên ϕ - mixing Định nghĩa 2.3.1 Cho {Xn , −∞ < n < ∞} dãy biến ngẫu nhiên Giả sử B k σ - đại số sinh {Xn , n ≤ k} Bk σ - đại số sinh {Xn , n ≥ k} Ta nói {Xn , −∞ < n < ∞} dãy ϕ - mixing tồn dãy không âm {ϕ(i), i ≥ 1} với limi→∞ ϕ(i) = cho với −∞ < k < ∞ i ≥ |P(E2 |E1 ) − P(E2 )| ≤ ϕ(i), với E1 ∈ B k , E2 ∈ Bk+i (2.17) Bổ đề 2.3.2 ([3]) Giả sử ζ biến ngẫu nhiên B k - đo η biến ngẫu nhiên Bi+k - đo được, với |ζ| ≤ C1 |η| ≤ C2 Khi đó: |Cov(ζ, η)| ≤ 2C1 C2 ϕ(i) (2.18) Định nghĩa 2.3.3 Cho m số nguyên dương Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , −∞ < n < ∞} gọi m - phụ thuộc vectơ ngẫu nhiên (Xl , , Xk ) (Xk+i , , Xj ) độc lập với số nguyên i, j, k, l thỏa mãn i > m, l < k k + i < j Từ định nghĩa suy rằng, {Xn } dãy m - phụ thuộc {Xn } dãy ϕ - mixing với ϕ(i) = i > m Định lý 2.3.4 Cho {Xnk , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng biến ngẫu nhiên mà với n ≥ {Xnk , un ≤ k ≤ } dãy biến ngẫu nhiên n −un ϕn - mixing có lim supn→∞ vi=1 ϕn (i) < ∞; {ank , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} n mảng số không âm thỏa mãn vk=u ank ≤ C với n ≥ 1, n C > anj ≤ ani với i < j; {h(n), n ≥ 1} dãy số dương tăng đến vô Giả sử rằng: (i) {Xnk } mảng h - khả tích liên quan mảng {ank }; (ii) h2 (n) k=un ank Đặt Sn = L1 n → ∞ → n → ∞ k=un ank (Xnk − EXnk ) với n ≥ Khi Sn → 34 Chứng minh Với n ≥ 1, un ≤ k ≤ , đặt Ynk = Xnk I[|Xnk | ≤ h(n)]; ank (Xnk − Ynk ); A1n = k=un ank (Ynk − EYnk ); A2n = k=un ank E(Ynk − Xnk ) A3n = k=un Khi Sn = A1n + A2n + A3n Do {Xnk } mảng h - khả tích liên quan mảng {ank } nên |ank |E|Xnk |I[|Xnk | > h(n)] = lim n→∞ k=un Ta có ≤ E|A1n | = E ank (Xnk − Ynk ) k=un ank (Xnk − Xnk I[|Xnk | ≤ h(n)]) =E k=un ank Xnk I[|Xnk | > h(n)] =E k=un ≤E ank |Xnk |I[|Xnk | > h(n)] k=un |ank |E|Xnk |I[|Xnk | > h(n)] → n → ∞ = k=un Suy E|A1n | → n → ∞ hay A1n → L1 n → ∞ Do |A3n | = | − EA1n | = |EA1n | ≤ E|A1n | nên A3n → n → ∞ 35 Ta lại có  2 ≤ E|A2n |2 = E  ank (Ynk − EYnk ) k=un  a2nk (Ynk − EYnk )2 = E k=un  anj ank (Ynj Ynk − Ynk EYnj − Ynj EYnk + EYnj EYnk ) + j=k a2nk E(Ynk − EYnk )2 = k=un anj ank [E(Ynj Ynk ) − EYnk EYnj − EYnj EYnk + EYnj EYnk ] + j=k a2nk E(Ynk − EYnk )2 + = k=un j=k a2nk EYnk + ≤ anj ank [E(Ynj Ynk ) − EYnk EYnj ] k=un anj ank [E(Ynj Ynk ) − EYnk EYnj ] := B1n + B2n j=k Mặt khác Xnk I[|Xnk | Xnk |Xnk | ≤ h(n) |Xnk | > h(n) ≤ h(n)] = ≤ h2 (n) Suy vn a2nk EYnk B1n := k=un a2nk E (Xnk I[|Xnk | ≤ h(n)])2 = k=un a2nk EXnk I[|Xnk | ≤ h(n)] = k=un vn a2nk h2n ≤ k=un = h2n a2nk → n → ∞ k=un 36 Ta có Ynk = Xnk I[|Xnk | ≤ h(n)] ≤ h(n) Khi đó, với n ≥ áp dụng Bổ đề 2.3.2 cho biến ngẫu nhiên Ynk Ynj ta có |Cov(Ynk , Ynj )| ≤ 2h(n)h(n)ϕn (i) = 2h2 (n)ϕn (i) Suy Cov(Ynk , Ynj ) ≤ 2h2 (n)ϕn (i) Với n ≥ {ank } dãy giảm nên với k < j ank anj ≤ a2nk Do anj ank [E(Ynj Ynk ) − EYnj EYnk ] B2n := j=k anj ank Cov(Ynj Ynk ) = j=k anj ank Cov(Ynj Ynk ) = k,j=un ,k anj ≤ ani với i < j; {h(n), n ≥ 1} dãy số dương tăng đến vô Giả sử rằng: 37 (i) {Xnk } mảng h - khả tích liên quan mảng {ank }; (ii) h2 (n) k=un ank Đặt Sn = L1 n → ∞ → n → ∞ k=un ank (Xnk − EXnk ) với n ≥ Khi Sn → Chứng minh Với n ≥ 1, ta xét {Xnk } dãy ϕn - mixing với i > mn , i ≤ mn ϕn (i) = Khi ta có −un ∞ ϕn (i) ≤ i=1 ϕn (i) ≤ mn với n ≥ i=1 Suy −un ϕn (i) ≤ lim sup lim sup n→∞ −un n→∞ i=1 mn < ∞ i=1 Vậy mảng {Xnk } thỏa mãn Định lý 2.3.4, nên Sn → L1 n → ∞ 2.4 Định lý hội tụ trung bình Gut luật yếu số lớn không gian Banach Định nghĩa 2.4.1 Một không gian Banach thực khả ly X gọi không gian martingale loại p (1 ≤ p ≤ 2) tồn số dương C cho với martingale {Sn , Fn , n ≥ 1}, khả tích bậc p nhận giá trị X ∞ p E||Sn − Sn−1 ||p với S0 ≡ sup E||Sn || ≤ C n≥1 (2.19) n=1 Định lý 2.4.2 Nếu X không gian martingale loại p với ≤ r < ∞ tồn số C cho với martingale {Sn , Fn , n ≥ 1} nhận giá trị X ta có r/p ∞ E sup ||Sn ||r ≤ C E n≥1 ||Sn − Sn−1 ||p n=1 (2.20) 38 Định lý 2.4.3 Cho ≤ r ≤ p ≤ {h(n), n ≥ 1} dãy số thực dương tăng đến vô {Vnk , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên không gian Banach thực, khả ly, martingale loại p n |ank | ≤ C {ank , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng số thỏa mãn vk=u n với n ≥ 1, C > Giả sử (i) {||Vnk ||r , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng hr - khả tích liên quan mảng {|ank |r }; (ii) hp (n) k=un |ank |p → n → ∞ Khi ank Vnk − E(Vnk |Fn,k−1 ) → Lr k=un với Fnk = σ(Vni , un ≤ i ≤ k), un ≤ k ≤ , n ≥ Fn,un −1 = {∅, Ω}, n ≥ Chứng minh Với n ≥ 1, đặt: Vnk = (Vnk − µnk )I[ Vnk − µnk ≤ h(n)] với un ≤ k ≤ , Vnk = (Vnk − µnk )I[ Vnk − µnk > h(n)] với un ≤ k ≤ , µnk = E(Vnk |Fn,k−1 ), un ≤ k ≤ , n ≥ Với n ≥ 1, hàng {Vnk − µnk , un ≤ k ≤ } dãy hiệu martingale Khi r ank Vnk − E(Vnk |Fn,k−1 ) E k=un  r/p ≤ C E |ank | Vnk − E(Vnk |Fn,k−1 ) k=un  r/p (|ank | Vnk − µnk )p  = C E k=un  r/p = C E k=un |ank | Vnk + Vnk p p 39  r/p p |ank | Vnk + |ank | Vnk ≤ C E k=un ≤C    2p−1 E   p r/p     + |ank | Vnk (theo BĐT cr )  k=un r/p p |ank | Vnk k=un  (p−1)r/p =C2  vn p p |ank | Vnk E k=un r/p p |ank | Vnk p  |ank |p Vnk r/p p |ank | Vnk = C E p |ank |r Vnk r |ank |r E Vnk r +C E k=un k=un r/p p |ank | Vnk = C E r/p   p  k=un  + k=un  |ank |p Vnk p  + k=un   ≤ C E  p +C k=un = A + B k=un Ta có  r/p |ank |p Vnk p  ≤ A := C E  k=un  r/p |ank |p hp (n) ≤ C E k=un  = C hp (n) r/p |ank |p  k=un ≤ C hp (n) |ank |p → n → ∞ k=un 40 |ank |r E Vnk ≤ B := C r k=un |ank |r E Vnk r I[ Vnk ≤C r > hr (n)] → k=un n → ∞ (theo điều kiện (i) giả thiết) Suy r ank Vnk − E(Vnk |Fn,k−1 ) E → n → ∞ k=un ank Vnk − E(Vnk |Fn,k−1 ) hay →0 Lr k=un Hệ 2.4.4 Cho {Xnk , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng biến ngẫu nhiên {ank , un ≤ k ≤ , n ≥ 1} mảng số thỏa mãn k=un |ank | ≤ C với n ≥ 1, C > Cho ≤ r ≤ {h(n), n ≥ 1} dãy số thực dương tăng đến vô Giả sử rằng: (i) {|Xnk |r } mảng hr - khả tích liên quan mảng {|ank |r }; (ii) h2 (n) k=un |ank |2 → n → ∞ n Đặt Sn = vk=u ank Xnk − E(Xnk |Fn,k−1 ) với n ≥ 1, n Fnk = σ(Xni , un ≤ i ≤ k), un ≤ k ≤ , n ≥ Fn,un −1 = {∅, Ω}, n ≥ Khi đó, Sn → Lr n → ∞ Chứng minh Với martingale {Sn , Fn , n ≥ 1} ⊂ R, ESn2 < ∞, S0 = ta đặt Xn = Sn − Sn−1 , n ≥ Khi {Xn , Fn , n ≥ 1} hiệu martingale Suy n Xi E i=1 hay n EXi2 , n ≥ = i=1 n ESn2 E(Si − Si−1 )2 , n ≥ = i=1 41 Suy ∞ n sup ESn2 n≥1 n≥1 E(Sn − Sn−1 )2 E(Si − Si−1 ) = = sup n=1 i=1 Vậy với martingale {Sn , Fn , n ≥ 1} ⊂ R, ESn2 < ∞, S0 = 0, tồn số C = cho ∞ sup ESn2 n≥1 E(Sn − Sn−1 )2 = n=1 Do R không gian Banach thực, khả ly, martingale loại Áp dụng Định lý 2.4.3 với p = Vnk = Xnk ta suy Hệ 2.4.4 42 KẾT LUẬN I Luận văn thu kết sau: Trình bày hệ thống kiến thức lý thuyết xác suất liên quan đến đề tài luận văn Chứng minh rằng, điều kiện h - khả tích yếu điều kiện Cesàro - khả tích đều, {ank } - khả tích Cesàro α - khả tích Dưới điều kiện thích hợp trọng số, chứng minh điều kiện h - khả tích liên quan trọng số đủ cho định lý hội tụ theo trung bình luật yếu số lớn cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên, mà biến ngẫu nhiên ràng buộc điều kiện đặc biệt, bao gồm mảng biến ngẫu nhiên độc lập đôi II Hướng phát triển Luận văn: Nghiên cứu mở rộng kết biến ngẫu nhiên khả tích đều, Cesàro α - khả tích đều, cho phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach, cách thay điều kiện khả tích đều, Cesàro α - khả tích đều, điều kiện compact khả tích đều, Cesàro α - compact khả tích đều, 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng, Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2008) [2] Nguyễn Văn Quảng, Xác suất không gian Banach, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2012) [3] Manuel Ordó˜ nez Cabrera and Andrei I Volodin, Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for weighted sums of random variables under a condition of weighted integrability, J Math Anal Appl 305 (2005) 644–658 [4] T.K Chandra and A Goswami, Cesàro uniform integrability and the strong law of large numbers, Sankhya, Ser A 54 (1992) 215–231 [5] T.K Chandra and A Goswami, Cesàro a-integrability and laws of large numbers I, J Theoret Probab 16 (2003) 655–669 [6] T.K Chandra, Uniform integrability in the Cesàro sense and the weak law of large numbers, Sankhya, Ser A 51 (1989) 309–317 [7] D Landers and L Rogge, Laws of large numbers for pairwise independent uniformly integrable random variables, Math Nachr 130 (1987) 189–192 [8] M Ordó˜ nez Cabrera, Convergence of weighted sums of random variables and uniform integrability concerning the weights, Collect Math 45 (1994) 121–132 [9] A Adler, A Rosalsky and A Volodin, A mean convergence theorem and weak law for arrays of random elements in martingale type p Banach spaces, Statist Probab Lett 32 (1997) 167–174 [10] G Pisier, Martingales with values in uniformly convex spaces, Israel J Math 20 (1975) 326–350 [...]... EXm = 0 với mọi m > 1 6 Nếu {Xn , Fn , n ≥ 1} là martingale khả tích bậc p ≥ 1 thì { Xn p , Fn , n ≥ 1} là martingle dưới 15 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH VÀ LUẬT YẾU SỐ LỚN ĐỐI VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN DƯỚI ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH THEO TRỌNG SỐ Trong chương này ta luôn giả sử rằng {un , n ≥ 1} và {vn , n ≥ 1} là hai dãy số nguyên thỏa mãn vn > un với mọi n ≥ 1 và vn −... (2.12) k=un Từ (2.11) và (2.12) suy ra {Xnk } là mảng h2 - khả tích liên quan mảng {ank } 25 2.2 Một số định lý hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với các biến ngẫu nhiên tương quan âm Định nghĩa 2.2.1 Hai biến ngẫu nhiên X và Y gọi là tương quan âm nếu thỏa mãn tính chất Cov(X, Y ) := EXY − EX EY ≤ 0 (2.13) Định nghĩa 2.2.2 Hai biến ngẫu nhiên X và Y gọi là phụ thuộc âm nếu với mọi x, y ∈ R... n → ∞, kéo 33 theo A2n → 0 trong L1 khi n → ∞ Vậy Sn → 0 trong L1 khi n → ∞ 2.3 Một số định lý hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với các biến ngẫu nhiên ϕ - mixing Định nghĩa 2.3.1 Cho {Xn , −∞ < n < ∞} là dãy các biến ngẫu nhiên Giả sử B k là σ - đại số sinh bởi {Xn , n ≤ k} và Bk là σ - đại số sinh bởi {Xn , n ≥ k} Ta nói {Xn , −∞ < n < ∞} là dãy ϕ - mixing nếu tồn tại một dãy không âm... dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một thì với mọi i = j ta có P(Xi ≤ x, Xj ≤ y) = P(Xi ≤ x)P(Xj ≤ y) Suy ra {Xn , n ≥ 1} cũng là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một Do đó, nếu {Xnk , un ≤ k ≤ vn , n ≥ 1} là mảng các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một thì {Xnk } cũng là mảng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một Kết hợp với các giả thiết còn lại, từ Định lý 2.2.4 ta suy ra được Hệ quả 2.2.5 Định lý. .. đều là các biến Y ngẫu nhiên Định lý 1.2.8 Giả sử (Xn , n ≥ 1) là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên (Ω, F, P) Khi đó, nếu inf n Xn , supn Xn hữu hạn thì inf n Xn , supn Xn , limXn , limXn , limn→∞ Xn (nếu tồn tại) đều là biến ngẫu nhiên Định lý 1.2.9 Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì tồn tại dãy biến ngẫu nhiên đơn giản, không âm (Xn , n ≥ 1) sao cho Xn ↑ X (khi n → ∞) Chú ý rằng các tính... (2.14) Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là phụ thuộc âm đôi một nếu mỗi cặp biến ngẫu nhiên bất kỳ trong dãy đó phụ thuộc âm Bổ đề 2.2.3 ([3]) Nếu {Xn , n ≥ 1} là một dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một thì E(Xi Xj ) ≤ EXi EXj , với i = j (2.15) Bổ đề 2.2.4 ([3]) Giả sử {Xn , n ≥ 1} là một dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một Khi đó, với bất kỳ dãy số {an , n ≥ 1} và {bn ,... cho P(N ) = 0 và Xn (ω) → X(ω) (theo chuẩn, khi n → ∞) với mọi ω ∈ Ω \ N 1.3.2 Tính chất 1 Giả sử ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G - đo được Khi đó, ánh xạ X : Ω → R là biến ngẫu nhiên G - đo được 2 Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên khi và chỉ khi với mọi f ∈ E∗ thì f (X) là biến ngẫu nhiên 3 Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên G - đo được, a, b ∈ R, ξ : Ω → R là biến ngẫu nhiên G - đo... bn với mọi n ∈ N thì dãy {Yn , n ≥ 1} cũng là một dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một, với Yn = Xn I[an ≤ Xn ≤ bn ] + an I[Xn < an ] + bn I[Xn > bn ] (2.16) Định lý 2.2.5 Cho {Xnk , un ≤ k ≤ vn , n ≥ 1} là mảng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một, {ank , un ≤ k ≤ vn , n ≥ 1} là mảng các vn hằng số không âm thỏa mãn k=un ank ≤ C với mọi n ≥ 1, C > 0 và {h(n), n ≥ 1} là một dãy các hằng số. .. là hằng số dương và giá trị của nó có thể khác nhau trong các lần xuất hiện 2.1 Các dạng khả tích đều Định nghĩa 2.1.1 Giả sử {Xnk , un ≤ k ≤ vn , n ≥ 1} là mảng các biến ngẫu nhiên và {ank , un ≤ k ≤ vn , n ≥ 1} là mảng các hằng số mà vn k=un |ank | ≤ C với mọi n ∈ N, C > 0 Khi đó ta nói {Xnk } là mảng {ank } - khả tích đều nếu vn |ank |E|Xnk |I[|Xnk | > a] = 0 lim sup a→∞ n≥1 (2.1) k=un Định lý 2.1.2... T (E(X)) 1.3.4 Kỳ vọng có điều kiện Định nghĩa 1.3.5 Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, E là không gian Banach thực khả ly, B(E) là σ - đại số Borel X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên, G là σ - đại số con của σ - đại số F Khi đó, phần tử ngẫu nhiên Y : Ω → E gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với G nếu: (i) Y là phần tử ngẫu nhiên G - đo được, (ii) E(Y IA ) = E(X IA ), với mọi A ∈ G Ký hiệu Y ... 14 Một số định lý hội tụ theo trung bình Luật yếu số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên điều kiện khả tích theo trọng số 15 2.1 Các dạng khả tích 15 2.2 Một số định lý hội. .. DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH VÀ LUẬT YẾU SỐ LỚN ĐỐI VỚI TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN DƯỚI ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH THEO TRỌNG... vọng có điều kiện, martingale, Các kết chương sử dụng Chương Chương Một số định lý hội tụ theo trung bình luật yếu số lớn tổng có trọng số biến ngẫu nhiên duới điều kiện khả tích theo trọng số