Phần I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho điểm M có số đo cung AM α sin α = yM cos α = xM sinα cosα (α ≠ kπ) tan α = (α ≠ π/2 + kπ) cot α = cosα sinα Các tính chất Với α ta có: –1 ≤ sin α ≤ hay |sin α| ≤ 1; –1 ≤ cos α ≤ hay |cos α| ≤ Các hằng đẳng thức lượng giác bản sin² α + cos² α = tan α cot α = 1 1 + tan² α = + cot² α = cosα sinα2 Các công thức liên hệ cung cos(–α) = cos α cos(π – α) = –cos α cos(π + α) = –cos α sin(–α) = –sin α sin(π – α) = sin α sin(π + α) = –sin α tan(–α) = –tan α tan(π – α) = –tan α tan(π + α) = tan α cot(–α) = –cot α cot(π – α) = –cot α cot(π + α) = cot α cos(π/2 + α) = –sin α cos(π/2 – α) = sin α sin(π/2 + α) = cos α sin(π/2 – α) = cos α tan(π/2 + α) = –cot α tan(π/2 – α) = cot α cot(π/2 + α) = –tan α cot(π/2 – α) = tan α Công thức cộng cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb tan a + tan b tan a − tan b tan (a + b) = tan (a – b) = − tan a tan b + tan a tan b Công thức nhân đôi sin 2a = 2sin a cos a cos 2a = cos² a – sin² a = 2cos² a – = – 2sin² a tan a tan 2a = − tan a Công thức hạ bậc + cos 2α − cos 2α cos² α = sin² α = 2 Công thức biến đổi tích thành tổng cos α cos β = [cos (α + β) + cos (α – β)] sin α sin β = [cos (α – β) – cos (α + β)] sin α cos β = [sin (α + β) + sin (α – β)] Công thức biến đổi tổng thành tích α +β α −β α +β α −β cos cos cos α + cos β = cos sin α + sin β = 2sin 2 2 α +β α −β α +β α −β sin sin cos α – cos β = −2sin sin α – sin β = cos 2 2 sin(α + β) sin(α − β) tanα + tan β = tanα − tan β = cosα cosβ cosα cosβ Bài Tìm tập xác định các hàm số sau a y = cos x + sin x b y = tan 2x c y = tan² x + cot x tan x 2sin x e y = f y = − s inx + sin 2x cos x + 1 + cos x g y = h y = sin x tan (x + π/4) i y = cot (2x – π/3) − sin x Cách xác định tính chẵn, lẻ hàm số lượng giác Bước Tìm tập xác định D; với x thuộc D → –x thuộc D Bước Tính f(–x); so sánh với f(x) Có một khả Nếu f(–x) = f(x) → hàm số chẳn Nếu f(–x) = –f(x) → hàm số lẻ Nếu tồn tại xo cho f(–xo) ≠ f(xo) & f(–xo) ≠ –f(xo) tính f(–xo), f(xo) → hàm số không chẳn không lẻ Bài Xét tính chẳn, lẻ các hàm số sau a y = cos x b y = sin x + x c y = sin 2x + d y = –2 tan² x e y = sin |x| + x² f y = |2x + 1| + |2x – 1| Bài Lập bảng biến thiên hàm số a y = –sin x + đoạn [–π; π] b y = –2cos (2x + π/3) đoạn [–2π/3; π/3] Bài Tìm GTLN, GTNN các hàm số a y = sin (x – π/2) + b y = – cos 2x c y = –1 – cos² (2x + π/3) d y = + cos 4x − e y = cos x + sin x f y = sin² x – 4sin x + Bài Tìm GTLN, GTNN các hàm số a y = sin x đoạn [–π/2; π/3] b y = cos x đoạn [–π/2; π/2] c y = sin x đoạn [π/6; 3π/4] d y = cos (πx / 4) đoạn [1; 3] Bài Giải các phương trình sau a cos x − sin x = b cos x − sin x = −1 d 3sin x – cos 3x = + sin³ x e 4sin4 x + 4cos4 (x + π/4) = f cos 4x – sin 3x = (cos 3x – sin 4x) g tan x – 3cot x = 4(sin x + cos x) d y = 3(1 − cos 2x) = sin x cos x Bài Giải các phương trình sau a cos² x + 5sin x – = c cos x cos 2x = + cos 2x + cos 3x e cos (4x/3) = cos² x g tan x – cot x – = Bài Giải các phương trình sau a sin² x – sin x cos x – cos² x = –2 c sin² x + 3sin 2x – cos² x = e sin² x + sin 2x – 2cos² x = 1/2 Bài Giải các phương trình sau a 3(sin x + cos x) + 2sin 2x + = c 2(cos x + sin x) – sin x cos x – = Bài 10 Giải các phương trình sau a cos 2x + cos x + = c – 4cos² x – 9sin x = e 4sin4 x + 12cos² x = Bài 11 Giải các phương trình sau a 4(sin 3x – cos 2x) = 5(sin x – 1) c + tan x = sin 2x e sin 2x (cot x + tan x) = cos² x g cos 3x – cos 2x – = i sin 2x + tan x – = k tan³ (x – π/4) = tan x – m sin 2x + cos 2x + tan x = h i 2sin 2x + 2sin² x = b cos 2x – cos x + = d (sin4 x + cos4 x) = sin 2x – f (3 + tan² x) cos x = h 6sin² 3x + cos 12x = b sin² x – sin 2x – (2 + 3) cos² x = d sin x – cos³ x = sin 2x cos x b sin 2x – 12(sin x – cos x) = –12 d cos x – sin x – 2sin 2x – = b + cos 2x = – sin x d cos 2x + cos x = g 3sin² x + cos4 x – = b + sin (x/2) sin x – cos (x/2) sin² x = cos² (π/4 – x/2) d (2cos 2x – 8cos x + 7) cos x = f cos² 2x + cos 2x = sin² 2x cos² x h sin x + cos x = + tan x j sin² x + sin² 3x = 3cos² 2x l sin 2x – cos 2x = sin x + cos x – n cos 3x – cos 2x + cos x = Bài 12 Giải các phương trình sau a 2sin² x + 2sin 2x = – 2cos² x c sin x sin 2x + 2sin 3x = cos³ x e sin³ (x – π/4) = sin x Bài 13 Giải các phương trình sau a cos³ x + sin³ x = sin 2x + sin x + cos x c + sin³ x + cos³ x = (3/2) sin 2x b cos³ x – sin³ x = cos x + sin x d sin³ x + cos³ x – 2(sin5 x + cos5 x) = f 3cos4 x – sin² 2x + sin4 x = b cos³ x + cos 2x + sin x = d (cos x – sinx) + sin x cos x + = 1 10 + + sin x + cos x = e sin³ x – cos³ x = + sin x cos x f cos x sin x g 2tan x + 3tan² x + 4tan³ x + 2cot x + 3cot² x + 4cot³ x = 18 h (1 + cot² x) + tan² x + tan x + cot x + = i cos³ x – sin³ x + = j 2cos 2x + sin² x cos x + cos² x sin x = 2(sin x + cos x) Bài 14 Giải các phương trình sau a sin 2x + 2cos 2x = + sin x – 4cos x b sin 2x – cos 2x = 3sin x + cos x – c sin² x + sin² 3x – 3cos² 2x = d cos 3x cos³ x – sin 3x sin³ x = cos³ 4x + 1/4 e sin4 (x/2) + cos4 (x/2) – + 2sin x = f cos 3x – 2cos 2x + cos x = 6 4 g sin x + cos x = sin x + cos x h sin4 x + cos4 x = cos² x i 3sin 3x – cos 9x – 4sin³ 3x + = j cos x + sin x = sin x (1 – cos x) k sin² (x/2 – π/4) tan² x – cos² (x/2) = l cot x – tan x + 4sin x = 1/sin x m sin x cos x + cos x + 2sin² x + sin x – = n sin 3x = cos xcos 2x (tan² x + tan 2x) o cos 3x – 4cos 2x + 3cos x = p sin² 3x – cos² 4x = sin² 5x – cos² 6x cos 3x + sin 3x ) = cos 2x + q 5(sin x + r sin4 x + cos4 x – 2sin 2x + sin³ 2x = + 2sin 2x TỔ HỢP XÁC SUẤT I Quy tắc đếm Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một hai phương án A B Phương án A có thể thực n cách; phương án B có thể thực m cách Khi đó, công việc được thực theo n + m cách Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A B Công đoạn A có thể thực n cách; công đoạn B có thể thực m cách Khi đó, công việc được thực n.m cách II Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp Hoán vị a Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử Mỗi xếp n phần tử đó theo một thứ tự định trước một phép hoán vị các phần tử tập A b Định lý: Số phép hoán vị tập hợp có n phần tử, kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = Chỉnh hợp a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử Xét số tự nhiên k ≤ n Khi lấy k phần tử số n phần tử đem xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k n phần tử n! k b Định lý: Số chỉnh hợp chập k n phần tử A n = (n − k)! Tổ hợp a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử số tự nhiên k ≤ n Một tập hợp A có k phần tử được gọi một tổ hợp chập k n phần tử n! k = A kn b Định lý: Số tổ hợp chập k n phần tử Cn = k!(n − k)! k! c Hai tính chất bản tổ hợp: Ckn = Cnn −k ; C kn +1 = C kn + C kn −1 III Khai triển nhị thức Newton n (a + b)n = ∑C a k =0 k n −k n bk = C0n a n + C1n a n −1b + + C kna n −k b k + + C nn b n + Trong khai triển nhị thức Newton bậc n có n + số hạng Trong số hạng tổng số mũ a b k n−k k n Số hạng tổng quát thứ k + Tk+1 = Cn a b IV XÁC SUẤT Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta không đoán trước được kết quả nó, ta biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có phép thử đó Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy một phép thử được gọi không gian mẫu phép thử kí hiệu Ω Biến cố một tập không gian mẫu Gọi n(A) số phần tử biến cố A, còn n(Ω) số kết quả có thể xảy phép thử Khi đó xác suất biến cố A, kí hiệu P(A) = n(A)/n(Ω) Nếu A ∩ B = ϕ ta nói A B xung khắc Khi đó P(A U B) = P(A) + P(B) Định lý: P(ϕ) = 0, P(Ω) = 1, ≤ P(A) ≤ A B biến cố độc lập P(A.B) = P(A).P(B) Bài Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi cỡ 40 41 Cỡ 40 có màu khác nhau, cỡ 41 có màu khác Hỏi X có cách chọn? Bài Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4} Có số chẵn mà số gồm ba chữ số khác chọn số các phần tử A? Bài Từ tập A = {1; 2; 3; 4; 5} hỏi có thể lập được số có chữ số cho chữ số xuất ba lần, còn các chữ số khác xuất một lần? Bài Bạn X mời hai bạn nam ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài Hỏi X có cách xếp đặt? Bài Trong mặt phẳng cho điểm A, B, C, D, E, M, N khác Có vectơ nối hai điểm các điểm đó? Bài Từ tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được số có chữ số khác nhau? Bài Cho điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng Từ điểm có thể lập được tam giác? Bài Một lớp có 30 học sinh Cần chọn một bạn làm lớp trưởng, một bạn làm lớp phó một bạn làm thư ký Hỏi có cách chọn, biết rằng học sinh có khả làm lớp trưởng, lớp phó thư ký 3 Bài Tìm số tự nhiên n, nếu 6n – + Cn ≥ Cn +1 Bài 10 Từ chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} có thể lập được số gồm chữ số đôi một khác a Nếu số đó số lẻ b Nếu số đó số chẵn c số đó không chia hết cho 10 10 ) , với x > 0, tìm số hạng không chứa x Bài 11 Trong khai triển (2 x − x Bài 12 Tìm hệ số x8 khai triển [1 + x²(1 – x)]8 Bài 13 Cho khai triển: (1 + 2x)10 = ao + a1x + a2x² + + a10x10 Tìm hệ số lớn nhất Bài 14 Tìm số hạng a thứ 13 khai triển (3 – x)25 b thứ 18 khai triển (2 – x²)25 c không chứa x khai triển (x + 1/x)12 12 d không chứa x khai triển (x x + ) x e hữu tỉ khai triển ( − 15) f đứng chính khai triển (1 + x)10 g chứa x³ khai triển (11 + x)11 Bài 15 Tìm hệ số số hạng chứa a x4 khai triển (x/3 – 3/x)12 b x8 khai triển (2/x³ + x²)9 c x5 khai triển (1 + x + x² + x³)10 d x³ khai triển (x² – x + 2)10 e x³ khai triển S(x) = (1 + x)³ + (1 + x)4 + (1 + x)5 + + (1 + x)50 f x³ khai triển S(x) = (1 + 2x)³ + (1 + 2x)4 + (1 + 2x)5 + + (1 + 2x)22 Bài 16 Tính tổng n a S1 = Cn + Cn + C n + + C n n n b S2 = Cn − Cn + Cn − + ( −1) C n 2n c S3 = C2n + C2n + C2n + + C 2n 2n −1 d S4 = C2n + C2n + C2n + C2n 2 3 n n e T = Cn − 2C n + C n − C n + + ( −2) C n Bài 17 Có số tự nhiên lẻ có chữ số đôi một khác nhỏ 600000 Bài 18 Có số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác chia hết cho Bài 19 Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; có thể lập được số tự nhiên mà số có chữ số khác phải có chữ số Bài 20 Với các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; có thể lập được số chẵn có chữ số khác không lớn 789 Bài 21 Một nhóm học sinh gồm 10 nam, nữ Chọn một tổ gồm người Hỏi có cách chọn để tổ có nhiều nhất nữ Bài 22 Một lớp học có 40 học sinh, lớp cần cử một ban cán lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó ủy viên Hỏi có mấy cách lập ban cán lớp Bài 23 Có cách xếp học sinh A, B, C, D E vào một băng ghế dài cho a Bạn C ngồi chính b Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế Bài 24 Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp đó Hỏi có cách chọn để số bi lấy không có đủ ba màu Bài 25 Trong một phòng có hai bàn dài, bàn có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 hoc sinh gồm nam nữ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu: a Các học sinh ngồi tùy ý b Các học sinh nam ngồi một bàn các học sinh nữ ngồi bàn còn lại Bài 26 Có nhà toán học nam, ba nhà toán học nữ bốn nhà vật lý nam Lập một đoàn công tác người cần có cả nam nữ, cần có cả nhà toán học nhà vật lý Có cách chọn Bài 27 Một đội văn nghệ có 20 người, đó có 10 nam 10 nữ Có cách chọn năm người cho a Có hai nam b Có ít nhất hai nam ít nhất một nữ Bài 28 Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ Tính xác suất để a Số được chọn số nguyên tố b Số được chọn chia hết cho Bài 29 Có tấm thẻ đánh số từ đến Chọn ngẫu nhiên tấm thẻ Tính xác suất để tích hai số hai tấm thẻ một số chẵn Bài 30 Tìm xác suất để gieo xúc xắc lần độc lập, không lần xuất mặt có số chấm một số chẵn Bài 31 Một bình chứa 16 viên bi, đó có viên bi trắng, viên bi đen, viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi Tìm xác suất để rút được viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ Bài 32 Một đoàn tàu có toa đổ một sân ga Có hành khách từ sân ga lên tàu, người độc lập với chọn một cách ngẫu nhiên lên một toa Tìm xác suất để có một khách lên toa tàu Bài 33 Gieo súc sắc một cách ngẫu nhiên Tính xác suất biến cố “ Các mặt xuất có số chấm bằng nhau” Bài 34 Gieo ngẫu nhiên đồng thời đồng xu Tính xác suất để ít nhất hai đồng xu lật ngửa Bài 35 Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu sắc lấy ngẫu nhiên một viên bi, lấy tiếp một viên bi Tính xác suất biến cố: “lấy lần thứ hai được một viên bi xanh” Bài 36 Hai hộp chứa các quả cầu Hộp thứ nhất chứa quả đỏ quả xanh, hộp thứ chứa quả đỏ quả xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp một quả Tính xác suất cho hai quả a đỏ b màu c khác màu Bài 37 Mọt hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ đến 10 20 quả cầu xanh được đánh số từ đến 20 Lấy ngẫu nhiên một quả Tìm xác suất cho quả được chọn a có ghi số chẵn b màu đỏ c màu đỏ ghi số chẵn d màu xanh ghi số lẻ Bài 38 Một tổ có nam nữ Chọn ngẫu nhiên ba người Tìm xác suất cho người đó a nữ b không nữ c ít nhất một người nữ d có một người nữ CẤP SỐ CỘNG Định nghĩa: Cấp số cộng một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tổng số hạng đứng trước nó với một số không đỗi gọi công sai Gọi d công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2, ) Khi d = cấp số cộng có các số hạng bằng Số hạng tổng quát CSC Định lí: Số hạng tổng quát un một cấp số cộng có số hạng đầu u1 công sai d được cho công thức: un = u1 + (n – 1)d Tính chất các số hạng cấp số cộng Định lí: Trong một cấp số cộng, số hạng kể từ số hạng thứ hai (và trừ số hạng cuối đối với cấp số u + u k +1 cộng hữu hạn), trung bình cộng hai số hạng kề bên nó, tức u k = k −1 (k ≥ 2) Tổng n số hạng đầu một cấp số cộng n(u1 + u n ) n[2u1 + (n − 1)d] = Sn = 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Xác định số hạng cần tìm cấp số cộng đây: a 2, 5, 8, Tìm u15 b + 3, 2, − 3, Tìm u20 Bài Xác định cấp số cộng có công sai 3, số hạng cuối 12 có tổng bằng 30  u + u − u = 10 Bài Cho cấp số cộng   u + u = 26 Tìm số hạng đầu công sai nó Bài Tìm cấp số cộng có số hạng biết tổng 25 tổng các bình phương chúng 165 Bài Tìm số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu tích số chúng 1140 Bài Tìm chiều dài các cạnh một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai 25 Bài Cho cấp số cộng (un) Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 Tính u1 + u6 + u11 + u16 Bài Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80 Tìm tổng S15 15 số hạng cấp số cộng đó Bài Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng chúng 176 Hiệu số hạng cuối số hạng đầu 30 Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng đó Bài 10 Cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = –3 Tính a10 Bài 11 Tính u1, d các cấp số cộng sau đây: S4 =  u + u = 14  u = 19  u + u10 = −31  a  b  c  45 d  S13 = 129  u = 35  2u − u = S6 = Bài 12 Cho cấp số cộng (un) có u3 = –15, u14 = 18 Tính tổng 20 số hạng Bài 13 Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = Tính u20 S20 Bài 14 Cho cấp số cộng (un) có a10 = 10, d = –4 Tính u1 S10 Bài 15 Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 u11 = –1 Tính d S11 Bài 16 Cho cấp số cộng (un) có u3 = –15, u4 = 18 Tìm tổng 20 số hạng CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa: Cấp số nhân một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), đó kể từ số hạng thứ hai số hạng tích số hạng đứng trước nó với một số không đỗi gọi công bội Gọi q công bội, theo định nghĩa ta có un+1 = un.q (n = 1, 2, ) Khi q = cấp số nhân một dãy số dạng u1, 0, 0, , 0, Khi q = cấp số nhân một dãy số dạng u1, u1, , u1, Nếu u1 = với q, cấp số nhân dãy số 0, 0, Số hạng tổng quát CSN Định lí: Số hạng tổng quát một cấp số nhân được cho công thức un = u1.qn–1 3 Tính chất Định lí: Trong một cấp số nhân, số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) có giá trị tuyệt đối trung bình nhân hai số hạng kề bên nó, tức |uk| = u k −1.u k +1 với k ≥ Tổng n số hạng đầu cấp số nhân với số hạng đầu u1 công bội q ≠ Sn = u1 qn − (q ≠ 1) q −1 Với q = 1, Sn = nu1 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài a Tìm các số hạng cấp số nhân có số hạng biết u1 = 243 u6 = b Cho cấp số nhân có q = 1/4, S6 = 2730 Tìm u1 u6 Bài Cho cấp số nhân có u3 = 18 u6 = –486 Tìm số hạng u1 công bội q CSN đó  u − u = 72 Bài Tìm u1 q cấp số nhân biết:   u − u = 144 Bài Tìm u1 q cấp số nhân (un) có: u3 = 12, u5 = 48  u1 + u + u = 13 Bài Tìm u q cấp số nhân (un) biết:   u + u + u = 351 Bài Tìm các số hạng cấp số nhân (un) biết cấp số đó có số hạng có tổng bằng 360 số hạng cuối gấp lần số hạng thứ hai Bài Tổng số hạng liên tiếp một cấp số cộng 21 Nếu số thứ hai trừ số thứ ba cộng thêm ba số đó lập thành một cấp số nhân Tìm ba số đó GIỚI HẠN DÃY SỐ A Lý thuyết + Nếu |un| < với n, lim = lim un = + lim un = L → lim|un| = |L| + lim un = L → lim u n = L + lim un = L, un > với n → L > lim u n = L + Với cấp số nhân mà |q| < S = lim (u1 + u1q + u1q² + + u1qn–1) = lim u1 (1 − q n ) u = 1− q 1− q + lim |un| = +∞ → lim (1/un) = = với k > nk + lim nk = +∞ với k > + lim qn = +∞ nếu q > + lim un = L lim (k.un) = k.L + lim un = L, lim = M lim (un + vn) = L + M + lim un = L, lim = M lim (un.vn) = L.M + lim un = L, lim = M ≠ lim (un / vn) = L / M B BÀI TẬP Bài Tìm các giới hạn sau: 2n + −3n + 4n + n + 4n − lim a b lim c lim n +1 2n − 3n + 5n + 2n n(n + 1) n(2n + 1)(3n + 2) 3n + lim lim d lim e f (n + 4)3 2n + n2 − Bài Tìm các giới hạn sau: + lim + lim qn = nếu |q| < a lim 7−6 n + 4n + b lim n − 8n + 2n − n − + 2n − c lim n + n + + 2n n n2 + + 3 8n + 27n − 64 n2 + d lim e lim n−2 4n − 4n + Bài Tìm các giới hạn sau: a lim( n + − n ) b lim( n + 5n + − n − n ) c lim( 3n + 2n − − 3n − 4n + 8) d lim( n − 4n − n) e lim(n − n + 3) f lim( n − n + n) g lim( n − n + 1) h lim( n − 3n + − n + 4n ) Bài Tìm các giới hạn sau: − 4n 3n − n +1 3n − n + 5n 22n +3 − 3n a lim b c d lim lim lim + 4n 3n + + n 3n + n − 5n 22n + 3n +1 Bài Tìm các giới hạn sau: sin 2n sin10n + cos10n ( −1) n (n + 2) lim lim a b c lim n +1 n + 2n n2 Bài Tìm các giới hạn sau: + + + + (2n + 1) + + + + n a lim b lim 3n + n2 − 1 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1) + + + ] c lim[ d lim 1.2 2.3 n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) Bài Tính các giới hạn sau: a lim [1 – 1/3 + 1/9 – + (–1/3)n] b lim (2 + 0,3 + 0,3² + 0,3³ + + 0,3ⁿ) GIỚI HẠN HÀM SỐ A Lý thuyết x = xo với xo + xlim + lim ( ) = →x o x →±∞ x k + lim x = +∞ với k > + lim f (x) = L ⇔ lim− f (x) = lim+ f (x) = L x →x x →+∞ x →x x →x (x)] = c lim f (x) + xlim[cf →x o x →x o f (x) + lim g(x) [ f (x) + g(x) ] = xlim + xlim →x o →x o x→x o f (x) lim g(x) [ f (x)g(x) ] = xlim + xlim →x o →x o x →x o lim f (x) f (x) x→xo g(x) ≠ [ ]= + xlim nếu xlim →x o → x o g(x) lim g(x) x→x o B Bài tập Bài Tính các giới hạn − 3x) a lim(2x x →2 3x − 2x + x →1 x + 2x − b lim Bài Tìm các giới hạn 3 a lim (x + 2x) b lim (x + 2x) x →+∞ x + + 4x − 3x + c lim x →+∞ 2x + 3x + d lim x →−∞ 2x + h lim x →−∞ 4x + 3x − 5x + x − 5x x →−∞ 2x + 4x − i lim 4x − 4x + 2x x →+∞ x +1 l lim 4x + − x Bài Tìm các giới hạn sau x + 2x − 5x + a lim b lim− x →3 x →3 x − (x − 3) x →−∞ 2x − 9x x →+∞ x + d lim x →−∞ Bài Tìm các giới hạn sau: 5x + 3x + x + 5x + a lim b lim x →+∞ x →−∞ 2x + 2x + x + 2x + 2 e lim g lim x + 2x x →+∞ x →+∞ x +1 k lim x − 4x + x →3 x−3 c lim c lim+ x →2 x + 5x + x−2  2x + 3x − 1, x ≥ Bài Cho hàm số f(x) =  Tìm các giới hạn sau: 3x + 7, x < a lim f (x) b lim f (x) c lim f (x) x →1 x →3 x →2 1 − 2x , x < Bài Cho hàm số f(x) =  Tính các giới hạn sau 5x + 4, x ≥ a lim f (x) b lim f (x) c lim f (x) x →0 x →3 x →1 Bài Tìm các giới hạn sau x + 2x − 15 x + 2x − a lim b lim x →3 x →1 x−3 x2 − 8x − 27 x5 + d lim e lim x →a 4x − x →−1 x + x −1 x →1 x − 4x + j lim x →−2 x+2 Bài Tìm các giới hạn g lim d lim x →1 x +1 − x2 − k lim x − 2x + − x x2 − x →2 1− 1− x x →0 3x h lim x →3 a lim b lim x →2 x+7 −2 x −1 x − 3x + x →2 x + x − 4x − 5x + x f lim x →1 (1 − x) c lim e lim x →0 i lim x →2 x− x+2 4x + − 3 x −8 + 4− x x 2x + − + x x − 2x c lim x →−1 f lim x →0 x +1 x +3−2 x +1 + x + − x x − 23 x +1 x + + x + 16 − h lim x →1 x →0 (x − 1)2 x Bài Tìm các giới hạn sau g lim a lim ( x + 4x − − x) b lim (2x − − 4x − 4x − 3) c lim ( x − x + − x + x + 1) d lim ( 8x + x − 2x) e lim [x ( x + − x)] 3 f lim ( x + 5x − x + 8x ) x →+∞ 2 x →+∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ Bài 10 Tìm các giới hạn sau 1 − ) (1 − )] − ) a lim( b lim[ c lim( x →1 − x x →1 x − x →1 x − 3x + 1− x x +1 x − 5x + HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài Xét tính liên tục hàm số tại điểm xo  x −5 x>5  x − 25  2x − − x ≠5  a f(x) =  x − tại xo = b f(x) =  tại xo = 9  x =5 x≤5   3x + − 1 − 2x − x≠2  x>2  x − c f(x) =  − x tại xo = d f(x) =  tại xo =  1 x≤2 x=2   Bài Chứng minh các hàm số sau liên tục R  x + 2x −  x + 3x + x ≠1 x ≠ −1   a f(x) =  x − b f(x) =  x +   x + x =1 x = −1 Bài Tìm a để hàm số x a x x 2 (2a − 3)x (1 − 4a)x  x + 2x − x ≥ Bài Cho hàm số f(x) =  Xét tính liên tục hàm số tập xác định x[...]... = ( 1 + x + 1 − x ) 3 e y = 1 + x3 x +1 c y = (x³ – 2) (1 – x²) f y = 2x + 1 1 − 3x c y = 1 (x + 2x + 5) 2 f y = ( 2 2x + 1 4 ) x 1 c y = (x² – 2) x 2 + 2x + 3 f y = 4x + x 2 x +1 Bài 4 Tính đạo hàm của các hàm số sau sin x 2 ) a y = ( b y = xcos x – sin x c y = tan³ 2x – 3x 1 + cos x d y = 2 + cos2 2x e y = sin² (2x – π/3) f y = sin (tan x) x+2 g y = 2 h y = sin 3x tan 2x x − x +1 Bài 5 Cho n... thức Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 3 3 4 4 a y = 2x − x + 2 x − 5 b y = 2 − x x 3 x 3 3 +x−2 d y = x²(x² – 1) (x² – 4) e y = x+2 2x 2 − 4x + 7 1 + x − x2 g y = h y = x +1 1 − x + x2 Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau a y = (x² + x + 1) ³ b y = (1 – 2x²)5 (x + 2)2 3 3 e y = (2 − 2 ) 3 (2x − 1) x Bài 3 Tính đạo hàm của các hàm số sau a y = 2x 2 − 5x b y = x + x d y = d y = ( 1 +... sinn 1 x cos (n + 1) x b (sinn x.sin nx)′ = n sinn 1 x sin (n + 1) x c (cosn x.sin nx)′ = n cosn 1 x cos (n + 1) x d (cosn x.cos nx)′ = –n cosn 1 x sin (n + 1) x VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số 1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(xo; f(xo)) là y = f′(xo) (x – xo) + f(xo) 2 Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x1; y1) cho trước Cách thứ 1: ... n sau 1 ( n ) ( 1) n n! nπ nπ ) = a ( b (sin x)(n) = sin (x + ) c (cos x)(n) = cos (x + ) n +1 1+ x (1 + x) 2 2 Bài 4 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: 1 1 x a y = b y = 2 c y = 2 x+4 x + 3x + 2 x 1 1− x d y = e y = sin² x f y = sin4 x + cos4 x x +1 Bài 5 Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra a xy′′ + 2(y′ – sin x) + xy = 0, y = x sin x b y³y′′ + 1 = 0, y = 2x − x... 0 với mọi x Bài 6 Cho hàm số y = –2mx³ + 3mx² – 6(3 – m)x + 12 Tìm m sao cho a y’ < 0 với mọi x b phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu Tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m BÀI TẬP ÔN ĐẠO HÀM Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 a y = x³ (x² – 4) b y = 2 x − c y = ( x + 1) (2x² + 3) x 1 x 2 − 3x + 2 d y = e y = f y = (5 – 4x²)³ (2x + 1) 2 2x − 3 Bài 2 Tính đạo... mọi x thuộc R a f(x) = x³ + (m – 1) x² + 2x + 1 b f(x) = 3sin x – 3m sin 2x – sin 3x + 6mx Bài 8 Chứng minh rằng f ′(x) > 0 với mọi x thuộc R a f(x) = 2x + sin x b f(x) = (2/3)x9 – x6 + 2x³ – 3x² + 6x – 1 PHẦN II HÌNH HỌC BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH Bài 1 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(3; 2) Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo r vectơ v = (–2; 1) Bài 2 Trong mặt phẳng Oxy, cho... y²) (1 + y) = 0, y = x tan x d 2(y′)² = 2(y – 1) y′′, y = (x – 3) / (x + 4) VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn hàm số lượng giác Bài 1 Tính các giới hạn sin 3x tan 2x 1 − cos 2 x a lim b lim c lim 2 x →0 sin 2x x →0 sin 5x x →0 x Bài 2 Tính các giới hạn 4 − 4sin x 1 − sin x − cos x sin(π / 3 − x) lim (π / 2 − x) tan x lim ) a lim( b xπ/2 c xπ/2 d lim 2 → → x →0 1 + sin x − cos x xπ/3 → (π − 2x) 1 − 2... = 1/ 2 b Song song với đường thẳng (Δ): x + 2y = 0 VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao Bài 1 Cho hàm số f(x) = 3(x + 1) cos x a Tính f′(x), f′′(x) b Tính f′′(π/2), f′′(0), f′′(π) Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp ba a y = cos x b y = 5x4 – 2x³ + 3x² – 6 c y = xsin x x−3 1 d y = e y = tan x f y = x+4 1 x Bài 3 Cho n là số nguyên dương Chứng minh các công thức đạo hàm cấp n sau 1. .. k(x – x1) + y1 + Đường thẳng (d) và đồ thị (C) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm  k = f '(x) (1)   k(x − x1 ) + y1 = f (x) + Giải hệ phương trình (1) với ẩn là x suy ra k Từ đó viết phương trình (d) Cách thứ 2: + Gọi tiếp điểm là M(xo; f(xo)) + Phương trình tiếp tuyến tại M(xo; f(xo)) có dạng là y = f′(xo) (x – xo) + f(xo) + Tiếp tuyến đi qua điểm A(x1; y1) y1 = f′(xo)... xứng qua gốc tọa độ biến (C) thành (C’) Tìm phương trình (C’) Bài 10 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x – 1) ² + (y – 3)² = 16 Phép dời hình có r được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua gốc tọa độ và phép tịnh tiến v = (1; 4) biến (C) thành (C’’) Tìm phương trình của (C’’) Bài 11 Cho hình vuông ABCD Gọi O là giao điểm của hai đường chéo Thực hiện ... cộng (un) có u1 = 17 , d = Tính u20 S20 Bài 14 Cho cấp số cộng (un) có a10 = 10 , d = –4 Tính u1 S10 Bài 15 Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 u 11 = 1 Tính d S 11 Bài 16 Cho cấp số... không chứa x Bài 11 Trong khai triển (2 x − x Bài 12 Tìm hệ số x8 khai triển [1 + x² (1 – x)]8 Bài 13 Cho khai triển: (1 + 2x )10 = ao + a1x + a2x² + + a10x10 Tìm hệ số lớn nhất Bài 14 Tìm số... Bài Cho cấp số cộng (un) Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 14 7 Tính u1 + u6 + u 11 + u16 Bài Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80 Tìm tổng S15 15 số hạng cấp số cộng đó Bài