Đang tải... (xem toàn văn)
Ngày nay, học sinh luôn có nhu cầu hiểu biết rộng. Làm thế nào để học sinh phát huy hết khả năng của mình, đó là trách nhiệm của các giáo viên chúng ta. Qua giảng dạy tôi nhận thấy “ Một số phương pháp giải toán chia hết lớp 6 ” là đề tài lí thú, phong phú và đa dạng của số học lớp 6 và không thể thiếu khi bồi dưỡng học sinh khá giỏi môn Toán 6 cũng như môn Toán THCS. Với bài viết này, tôi không tham vọng lớn bàn về việc hướng dẫn học sinh giải toán chia hết và ứng dụng của nó trong chương trình toán học phổ thông, tôi chỉ xin đưa ra một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 6 giải các bài tập về chia hết trong tập hợp số tự nhiên, số nguyên mà tôi đã từng áp dụng . Tôi hy vọng nó sẽ có ích cho các đồng nghiệp khi giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.
BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT LỚP Môn: Toán Tổ: Khoa học Tự nhiên BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ Lời giới thiệu Cùng với phát triển đất nước, nghiệp giáo dục không ngừng đổi Các nhà trường ngày trọng đến chất lượng giáo dục toàn diện bên cạnh đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn Với vai trò môn học công cụ, môn Toán góp phần tạo điều kiện cho em học tốt môn khoa học tự nhiên khác Để đáp ứng yêu cầu nghiệp giáo dục nhu cầu học tập học sinh, đòi hỏi giảng dạy giáo viên phải biết chắt lọc kiến thức, phải từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng phát triển thành tổng quát giúp học sinh phát triển tốt tư toán học Ngày nay, học sinh có nhu cầu hiểu biết rộng Làm để học sinh phát huy hết khả mình, trách nhiệm giáo viên Qua giảng dạy nhận thấy “ Một số phương pháp giải toán chia hết lớp ” đề tài lí thú, phong phú đa dạng số học lớp thiếu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán môn Toán THCS Với viết này, không tham vọng lớn bàn việc hướng dẫn học sinh giải toán chia hết ứng dụng chương trình toán học phổ thông, xin đưa số kinh nghiệm giúp học sinh lớp giải tập chia hết tập hợp số tự nhiên, số nguyên mà áp dụng Tôi hy vọng có ích cho đồng nghiệp giảng dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Tên chuyên đề “Một số phương pháp giải toán chia hết lớp 6” Tác giả chuyên đề - Họ tên: Nguyễn Thị Loan - Địa chỉ: THCS Vĩnh Sơn – Vĩnh Vường – Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0986229114; Email: nguyenloan77@gmail.com Chủ đầu tư chuyên đề Nguyễn Thị Loan - Trường THCS Vĩnh Sơn – Vĩnh Vường – Vĩnh Phúc Lĩnh vực áp dụng chuyên đề Áp dụng vào giảng dạy môn Toán có nội dung liên quan đến tính chất chia hết Ngày chuyên đề áp dụng lần đầu áp dụng thử Từ tháng năm 2014 Mô tả chất chuyên đề 7.1 Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu 7.1.1 Mục đích nghiên cứu Trong khuôn khổ đề tài thân trình bày số phương pháp giải toán chia hết lớp tập hợp N tập hợp Z Cụ thể là: + Các phương pháp thường dùng giải toán phép chia hết + Rèn kỹ vận dụng kiến thức để giải toán phép chia hết + Củng cố hướng dẫn học sinh làm tập 7.1.2 Nhiệm vụ nghiên cứu + Xây dựng hệ thống lý luận vấn đề nghiên cứu + Đánh giá thực trạng vấn đề nghiên cứu + Đề xuất giải pháp nghiên cứu + Tiến hành thử nghiệm đối chiếu kết 7.1.3 Địa điểm, thời gian, đối tượng phạm vi nghiên cứu + Địa điểm: Lớp Trường THCS Vĩnh Sơn-Vĩnh Tường -Vĩnh Phúc + Thời gian: Từ tháng năm 2014 đến tháng 12 năm 2015 + Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp Trường THCS Vĩnh Sơn-Vĩnh TườngVĩnh Phúc + Phạm vi nghiên cứu qua tiết dạy phép chia hết Toán 6, qua buổi chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 7.1.4 Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu tài liệu toán học có liên quan tới dạng toán tính chia hết - Phương pháp điều tra: Khảo sát học sinh trường THCS Vĩnh Sơn - Phương pháp tọa đàm: Trò chuyện với HS trường, với đồng nghiệp trường THCS Vĩnh Sơn - Phương pháp thực nghiệm: Thực nghiệm số phương pháp giải toán chia hết 7.2 Định nghĩa phép chia hết, dấu hiệu chia hết, tính chất quan hệ chia hết 7.2.1.Định nghĩa Cho số tự nhiên a b, b khác 0, có số tự nhiên x cho b.x = a, ta nói a chia hết cho b ta có phép chia hết a: b= x 7.2.2.Các dấu hiệu chia hết - Dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho chữ số tận số số chẵn - Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 9) Một số chia hết cho (hoặc 9) tổng chữ số số chia hết cho (hoặc 9) Chú ý: Một số chia cho (hoặc 9) dư tổng chữ số số chia cho (hoặc 9) dư nhiêu ngược lại - Dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho chữ số tận - Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 25) Một số chia hết cho (hoặc 25) chữ số tận số chia hết cho (hoặc 25) - Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 125) Một số chia hết cho 125 chữ số tận số chia hết cho 125 - Dấu hiệu chi hết cho 11 Một số chi hết cho 11 hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11 7.2.3 Tính chất quan hệ chia hết + chia hết cho b với b ∈ N* + a chia hết cho a với a ∈ N* + Nếu a chia hết cho b b chia hết cho a a = b (a, b ∈ N) + Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m (a±b) chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m (a±b) không chia hết cho m + Nếu a chia hết cho b a chia hết cho c mà (b, c) = a chia hết cho b.c + Nếu a chia hết cho m a chia hết cho n a chia hết cho BCNN(m,n) + Nếu a.b chia hết cho c (b,c) =1 a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho m k.a chia hết cho m với k số tự nhiên + Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n a.b chia hết cho m.n + Nếu (a.b) chia hết cho m m số nguyên tố a chia hết cho m b chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m an chia hết cho m với n ∈ N + Nếu a chia hết cho b an chia hết cho bn với n∈ N * Lưu ý : Định nghĩa tính chất tập hợp số nguyên 7.3 Một số phương pháp thường dùng để giải toán chia hết Với học sinh lớp thường sử dụng phương pháp sau: 7.3.1 Phương pháp1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết Để chứng minh a chia hết cho b (b khác 0), ta biểu diễn số a dạng tích thừa số, có thừa số b (hoặc chia hết cho b) a = b.k (k ∈ N) a =m.k (m chia hết cho b) Ví dụ 1: Các tích sau có chia hết cho không? a) 5.12; b) 14.28; c) 126.572 Giải : a) 5.12=5.3.4 M4 (vì 12=3.4 chia hết cho 4) b) 14.28M4 (vì 28=7.4 chia hết cho 4) c) 126.572M4 (vì 572=143.4 chia hết cho 4) Ví dụ 2: Không thực phép chia chứng tỏ rằng: a) 39.2015 chia hết cho 13 b) 2009.2010 chia hết cho c) 187.2014 chia hết cho 17 Giải : a) Ta có: 39.2015 = 3.13.2015 M13 (vì 13 M13) b) Ta có: 2010M3 nên 2009.2010 M3 c) Ta có: 187M17 nên 187.2014M17 Ví dụ 3: Chứng tỏ số có dạng aaa chia hết cho 3, cho 37 Giải: Ta có: aaa = a.111 = a 3.37 chia hết cho 3, cho 37 Ví dụ 4: Chứng tỏ số có dạng abcabc chia hết cho 11, chia hết cho chia hết cho 13 Giải : Ta có : abcabc = abc000 + abc = abc (1000+1) = abc 1001 = abc 11.7.13 nên abcabc chia hết cho 11, chia hết cho chia hết cho 13 Ví dụ 5: Chứng minh rằng, lấy số có chữ số cộng với số gồm chữ số viết theo thứ tự ngược lại, ta số chia hết cho 11 Giải: Gọi số ab ba Ta có: ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11( a + b) M11 7.3.2 Phương pháp 2: Dùng tính chất phép chia hết a Dùng tính chất chia hết tổng, hiệu * Để chứng minh a chia hết cho b ( b ≠ 0) ta làm sau: - Viết a = m + n mà m b n b - Viết a = m - n mà m b n b * Để chứng minh a không chia hết cho b ta viết a dạng tổng số mà có số hạng tổng không chia hết cho b, số hạng khác chia hết cho b Ví dụ 1: Xét xem tổng( hiệu) sau có chia hết cho không? a) 42 + 66 b) 60 + 15, c) 600 - 14 d) 24 + 36 + 72 e) 120 + 54 + 20 f) 80 + 16 + 48 Giải: a) 42 6, 66 => 42 + 66 b) 60 6, 15 => 60 + 15 c) 600 , 14 => 600 – 14 6 d) 24 6, 36 6, 72 => 24 + 36 + 72 e) 120 6, 54 6, 20 f) 80 6, 16 => 120 + 54 + 20 6, 48 80 + 16 + 48 Ví dụ 2: Cho tổng A=15 + 27 + 33 + x với x ∈N Tìm điều kiện x để: a) A chia hết cho b) A không chia hết cho Giải: Ta có nhận xét: 15M3, 27M3, 33M3 Do đó: Nếu x M3 A M3 Nếu x A Ví dụ 3: Khi chia số tự nhiên a cho 24 số dư 10 Hỏi số a có chia hết cho không ? có chia hết cho không? Giải : Ta có: a = 24.q + 10 (q ∈N 24.q 2, 10 => 24.q + 10 24.q , 10 => 24.q + 10 Vậy a chia hết cho 2, a không chia hết cho Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng: a) Tổng số tự nhiên liên tiếp số chia hết cho b) Tổng số tự nhiên liên tiếp số không chia hết cho Giải: a) Gọi số tự nhiên liên tiếp n, n +1 , n + Tổng số : n + ( n +1) + (n+ 2) = 3n +3 = 3( n + 1) b) Gọi số tự nhiên liên tiếp : n , n+1, n+2, n+3 Tổng số : n + ( n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + = 4n + + = 4(n+1) + Vậy tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Nhận xét: Tổng n số tự nhiên liên tiếp chưa chia hết cho n Ví dụ 5: Tìm số tự nhiên n cho n2 +4 chia hết cho n +1 Giải: Ta có : (n − 1)(n + 1) + 5 n2 + = = n-1 + n +1 n +1 n +1 Để (n2 + 4) (n+1) n+1 hay n+1 ∈ Ư(5) Mà Ư(5) ={1; 5} * n+1 = ⇒ n = (thoả mãn) * n+1 = ⇒ n = (thoả mãn) Vậy với n = 0; n = n2 + n+1 Ví dụ : Tìm số nguyên n cho n2 +4 chia hết cho n +1 Giải: Ta có : (n − 1)(n + 1) + 5 n2 + = = n-1 + n +1 n +1 n +1 Để (n2 + 4) (n+1) n+1 hay n+1 ∈ Ư(5) Mà Ư(5) ={-5; -1; 1; 5} * n+1 = -5 ⇒ n = - (thoả mãn) * n+1 = -1 ⇒ n = - (thoả mãn) * n+1 = ⇒ n = (thoả mãn) * n+1 = ⇒ n = (thoả mãn) Vậy với n = -6; n=-2; n= ; n = n2 + n+1 Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên x cho: (5x + 7) (3x + 1) Hướng dẫn: Muốn biến đổi hệ số x số bị chia số chia giống ta cần tìm bội chung nhỏ hai hệ số Giải: Ta có: (3x+1) ( 3x+1) ⇒ 5.(3x+1) (3x+1) ⇒ (15x+5) (3x+1) (1) (5x+7) (3x+1) ⇒ 3.(5x+7)(3x+1) ⇒ (15x+21) (3x+1) (2) Từ (1) (2) suy ra: (15x+21) - (15x+5) (3x+1) Do 16 (3x+1) ⇒ (3x + 1) ∈{1; 2; 4;8;16} mà x ∈ N Vậy x ∈{0;5} Ví dụ 8: Tìm số tự nguyên x cho: x2 + x+ chia hết cho x + Giải: Ta có: x2 + x+ x+1 ⇔ x(x+1) +1 x+ ⇒ x+1 Do x + ∈ Ư(1) mà Ư(1) = {−1; 1} ( x∈ Z) Vậy x ∈ {−2; 0} Bài 9: Tìm số tự nguyên n để 3n- chia hết cho n-4 Giải: Cách 1: Ta có: 3n- = 3(n - 4) + Mà 3.(n - 4) (n- 2) Do (3n- 8) (n - 4) ⇔ (n - 4) ⇔ n- ước ⇔ n - ∈ {-4; -2; -1; 1; 2; 4} ⇒ n ∈ {0; 2; 3; 5; 6; 8} Vậy với n ∈ {0; 2; 3; 5; 6; 8} 3n-8 n-4 Cách 2: (3n-8) (n-4) Ta có: (n-4) (n-4) => 3(n-4) (n-4) => [ (3n - 8) - (3n -12)] (n - 4) ⇔ n – ⇔ n - 4∈ {-4; -2; -1; 1; 2; 4} ⇒ n ∈ {0; 2; 3; 5; 6; 8} Vậy với n ∈ {0; 2; 3; 5; 6; 8} 3n-8 n+2 b Dùng tính chất chia hết tích Để chứng minh a chia hết cho b (b ≠ 0) ta chứng minh cách sau: + Ta chứng minh (a.m) chia hết cho b; (m, b) = ⇒ a chia hết cho b + Biểu diễn b = m.n với (m, n)= 1, sau chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n + Biểu diễn a = a 1.a2,, b = b1.b2, chứng minh a1 chia hết cho b1; a2 chia hết cho b2 Ví dụ 1: Chứng minh (2010a + 2025b) chia hết cho 15 với ∀ a, b số tự nhiên Giải: Vì 2010M3 nên 2010.a M3 với ∀ a Vì 2025 M3 nên 2025.b M3 với ∀ b Vậy (2010a + 2025b) M3 Chứng minh tương tự ta có: (2010a + 2025b) M5 với ∀ a, b mà (3,5) = ⇒ (2010 a + 2025b) M15 Ví dụ 2: Chứng minh tích số chẵn liên tiếp chia hết cho Giải: Gọi số chẵn liên tiếp 2n, 2n +2 (n ∈ N) Tích số chẵn liên tiếp 2n.(2n +2) = 4.n.(n+1) Vì n n + số tự nhiên liên tiếp nên n.(n+ 1) M2 Mà M4 nên 4.n.(n+1) M(4.2) ⇒ 4.n.(n+1) M8 ⇒ 2n.(2n + 2) M8 Vậy tích số chẵn liên tiếp chia hết cho * Nhận xét: Như gặp toán chứng minh tổng, hiệu tích chia hết cho số mà tổng, hiệu, tích phân tích thành tích thừa số, ta thường sử dụng tính chất phép chia hết 7.3.3 Phương pháp 3: Dùng định lí chia có dư Để chứng minh n chia hết cho p ta xét trường hợp số dư chia n cho p: Ta viết n = p.k + r, r = 0, 1, , p-1; k ∈ N Rồi xét tất trường hợp r Ví dụ 1: Chứng tỏ với số tự nhiên n tích (n + 3).(n +6) chia hết cho Giải: Với n ta viết n = 2k + n= 2k - Với n = 2k +1 ta có: (n+3).(n+6)=(2k+1 +3).(2k+1+6)=(2k+4).(2k+7)=2.(k+2).(2k+7) M2 - Với n = 2k ta có: ( n+3)(n+6) = (2k+3)(2k+6) = (2k+3)(k+3).2 M2 Vậy với n ∈ N (n+3)(n+6) M2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a) Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho b) Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Giải: a) Gọi số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2 Tích số tự nhiên liên tiếp là: n.(n+1).(n+2) Mọi số tự nhiên chia cho nhận số dư 0; 1; - Nếu r = n M3 ⇒ n.(n + 1).(n+ 2) M3 - Nếu r = n = k + (k số tự nhiên) ⇒ n+2 = 3k +1 + = (3 k +3) M3 ⇒n (n+1).(n+2) M3 - Nếu r = n = 3k+ (k số tự nhiên) ⇒ n+1 = 3k +2 +1 = 3k +3 M3 ⇒n.(n+1) (n+2) M3 Tóm lại, n.(n+1).(n+2) M3 với n số tự nhiên b) Chứng minh tương tự ta có: n.(n+1).( n+2).( n+3) M4 với n số tự nhiên Sau giải tập tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu tập dạng tổng quát Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n *Nhận xét: Phương pháp thường sử dụng chứng minh biểu thức có chứa biến chia hết cho số tự nhiên có chữ số Khi chứng minh biểu thức chia hết cho số tự nhiên lớn 10 ta không sử dụng phương pháp phải xét nhiều trường hợp 7.3.4 Phương pháp 4: Dùng dấu hiệu chia hết Ví dụ 1: Điền chữ số vào dấu * để: a) 3*5 chia hết cho b) 7*2 chia hết cho c) *63* chia hết cho 2, 3, 5, Giải: a) Để 3*5M3 ⇒ (3 + * + 5) M3 ⇒ + *M3 ⇒ * ∈ {1; 4; 7} b) Để 7*2M9 ⇒ (7 + * + 2) M9 ⇒ + *M9 ⇒ * ∈{0; 9} c) Để *63* M2 *63*M5 * tận Khi ta có *630 M *630 M ⇒ (* + + + 0) M9 ⇒ * +9 M9 ⇒ * = Vậy ta số 9630 chia hết cho 2, 3, 5, Ví dụ 2: Tìm chữ số a b cho 19ab chia hết cho chia hết cho Cách giải: - Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 5; để tìm b - Sử dụng dấu hiệu chia hết cho để tìm giá trị a Giải: Vì 19ab M5 nên chữ số tận b = b = Vì 19ab M8 nên suy b = Mặt khác 19a0 M8 suy 19a0 M4 19a M4 ⇔ a M4 suy a ∈{ 0, 2, 4, 6, 8} 10 Ta có 19a0 M8 ⇔ 9a0 M8 nên a = a = Nếu a = b = Nếu a = b = Vậy số phải 1920, 1960 Ví dụ 3: Tìm chữ số a b cho a - b = 87ab chia hết cho Giải: Ta có: 87ab M9 => + + a + b M9 => 15 + a + b M9 => a + b ∈ {3; 12} Mà a – b = nên a+ b = 3( loại) Từ a – b =4 a + b =12 ta tìm a=8, b=4 Ví dụ 3: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3, cho không ? a) 1012 – b) 1010 + Giải: a) 1012 – = 100…0 - = 99…9 chia hết cho 9, cho 12 chữ số 12 chữ số b) 1010 + = 100…0 + = 100…02 chia hết cho 3, không chi hết cho 9, 10 chữ số chữ số Ví dụ 4: Chứng minh rằng: 1028 + chia hết cho 72 Giải: Ta có 1028 + = ( 100 + 8) = 100 .08 có tổng chữ số nên chia hết cho 28 chữ số 27 chữ số 1028 + = 100 .08 có tận 008 nên chia hết cho 27 chữ số Vì ( 8,9) =1 nên 1028+ (8.9) hay 1028+ 72 Ví dụ 5: Chứng minh (9931999 – 5571997) chia hết cho 10 Giải: Ta có: 9931999 = [ (9934)499 9933] = ( ).( ) = 5571997 = (5574)499.557 = ( ).( ) = => 9931999 – 5571997 = chia hết cho 10 ( đpcm) * Nhận xét: Phương pháp thường sử dụng để chứng minh toán mà số chia số tròn chục (10, 100, ) hay số chia mà dấu hiệu chia hết có 11 liên quan đến chữ số tận (ví dụ : 5, 4, 8, 25, 125), số chia phân tích thành tích số có dạng 7.3.5 Phương pháp 5: Sử dụng nguyên tắc Đirichlet Nội dung nguyên tắc Đirichlet: “Nếu có n+1 thỏ, xếp vào n chuồng, chuồng chứa từ thỏ trở lên” Đối với dạng toán giáo viên không sâu mà giới thiêu cho học sinh biết tập áp dụng dạng suy luận dễ hiểu Ví dụ 1: Cho ba số lẻ chứng minh tồn hai số có tổng hiệu chia hết cho Giải: Một số lẻ chia cho số dư bốn số sau: 1; 3; 5; ta chia số dư (4 thỏ) thành nhóm (2 lồng) Nhóm 1: dư dư Nhóm 2: dư dư Có số lẻ (3 thỏ) mà có hai nhóm số dư nên tồn hai số thuộc nhóm - Nếu số dư hiệu chúng chia hết cho - Nếu số dư khác tổng chúng chi hết cho Ví dụ 2: Chứng minh số tự nhiên tìm số có hiệu chia hết cho Giải: Một số chia cho nhận số dư là: 0; 1; 2; 3; Trong số tự nhiên chia cho tồn số có số dư (nguyên tắc Đirichlet) Hiệu số chia hết cho Ví dụ 3: Một lớp có 50 học sinh Chứng minh có ít nhất học sinh có tháng sinh giống Giải: Giả sử có không học sinh có tháng sinh giống Một năm có 12 tháng, số học sinh lớp có không quá: 12.4 = 48 (học sinh) (ít 50 học sinh) Vậy theo nguyên lí Dirichlet phải có học sinh có tháng sinh giống 7.4 Áp dụng kiến thức vào giải dạng toán chia hết 12 Bài 1: a) Tìm tất số x, y để số 34 x5 y chia hết cho 36 b) Tìm chữ số x, y để 21xy chia hết cho 3, 4, Giải: a) Vì (4; 9) = nên 34 x5 y M36 ⇔ 34 x5 y M9 34 x5 y M4 Ta có: 34 x5 y M4 ⇔ 5y M4 ⇔ y∈{2; 6} 34 x5 y M9 ⇔ (3+4+x+5+y) M9 ⇔ (12+x+y) M9 Vì x, y chữ số nên x+y ∈ {6; 15} Nếu y = x = x = 13 > (loại) Nếu y = x = x = Vậy số phải tìm là: 34452; 34056; 34956 b) Ta có: 21xy ⇔ y ∈ {0; 5} Nếu y = 21xy Nếu y = 21xy ⇔ x0 ⇒ x ∈ {0; 2; ; ; 8} (1) 21x0 ⇔ (2 + + x + 0) ⇔ (3+ x) ⇒ x ∈ {0; 3; 6; 9} ( 2) Kết hợp (1) ( 2) ⇒ x ∈ {0; 6} Vậy số cần tìm là: 2100; 2160 Bài 2: Cho chữ số 0, a, b Hãy viết tất số có chữ số tạo số Chứng minh tổng tất số chia hết 211 Giải: Tất số có chữ số tạo chữ số 0, a, b là: a0b; ab0; ba 0; b0a Tổng số là: a 0b + ab0 + ba + b0a = 100a +b +100a +10b +100b +10a +100b +a = 211a +211b = 211(a+b) chia hết cho 211 Bài 3: a) Cho A = +22 +23 + +260 Chứng minh rằng: A3; A7; A 15 b) Cho B = + 33 + 35 + + 32015 Chứng minh rằng: B chia hết cho 13 B chia hết cho 41 Giải: *A = +22 +23 + +260 = ( 2+ 22) + ( 23 + 24) + + (259 + 260) = 13 = 2( 1+ 2) + 23 ( 1+2) + + 259 (1+2) = 2.3+ 23 + +259 = = 3.(2+ 23 + + 259) *A= (2+ 22+ 23) + (24+25+26) + + (258 + 259 + 260) = 2.(1+2+ 4) + 24( 1+2+4) + + 258( 1+ 2+4) = 2.7 +24.7+ + 258.7 = 7( 2+24 + + 258) *A= (2+ 22+ 23 + 24) + + (257 + 258 + 259 + 260) = 2(1+2+4+8) + + 257 ( 1+2+4+8) = 15( 2+ 25 + + 257) 15 Vậy A 3, A A 15 b) B = + 33 + 35 + + 32015 = ( + 33 + 35) + ( 37 + 39+311) + + ( 32011+ 32013 + 32015) = 3( + 32 + 34) + 37( 1+ 32+34) + + 32011(1+ 32+34) = 91 + 37.91 + + 32011.91 = 91.( + 37 + + 32011) 13 ( 91 13) B = ( + 33 + 35 + 37) + ( 39 + 311 + 313 + 315) + + ( 32009 + 32011 + 32013+ 32015) = 3( + 32 + 34 + 36) + 39(1 + 32 + 34 + 36) + + 32009(1 + 32 + 34 + 36) = 820 + 39 820 + + 32009 820 = 820( + 39 + + 32009) 41 ( 820 41) Bài 4: Cho a - b chia hết cho Chứng minh biểu thức sau chia hết cho a) a +5b b) a + 17b c) a - 13b Giải: a) Ta có : a + 5b = a + 6b - b = ( a- b) + 6b ( (a - b) 6b 6) b) Ta có: a + 17 b = ( a- b) + 18b c) Ta có: a - 13b = ( a - b) - 12b [ (a- b) 18b6] [ ( a - b ) 12b 6] Bài 5: Chứng minh rằng: (92n + 201493) chia hết cho Giải: Ta có: 92n = (92)n = 81n = 199493 = (20142)46 2014 = 46 2014 = 2014 = Do đó: 92n + 201493 = + = Bài 6: Tìm số tự nhiên n để (3n+10) chia hết cho (n+2) 14 Giải: Cách 1: Ta có: 3n+10 = 3(n+2) +4 Mà 3.(n+2) (n+2) Do (3n+10) (n+2) ⇔ (n+2) ⇔ (n+2) ước ⇔ (n+2) ∈ {1; 2; 4} ⇒ n ∈ {0; 2} Vậy với n ∈ {0; 2} (3n+10) (n+2) Cách 2: (3n+10) (n+2) Mà (n+2) (n+2) => 3(n+2) (n+2) => [ (3n +10) - (3n +6)] (n+2) => (n+2) ⇔ (n+2) ∈ {1; 2; 4} ⇒ n ∈ {0; 2} Vậy với n ∈ {0; 2} (3n+10) (n+2) n + 15 số tự nhiên n+3 Bài 7: Tìm số tự nhiên n để Giải : Để n + 15 số tự nhiên (n+15) n+3 n+3 => [( n+15) - (n+3)] (n+3) ⇔ 12 (n+3) ⇔ (n+3) ∈ Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12} => n ∈ {0; 1; 3; 9} Vậy với n ∈ {0; 1; 3; 9} n + 15 số tự nhiên n+3 Bài 8: Chứng minh với số tự nhiên n 3n +1 4n + hai số nguyên tố Giải: Gọi d ƯC( 3n+ 1, 4n + 1) ⇒ 3n + d ⇒ 4n + d 4.( 3n + 1) d 3.( 4n+1) d ⇒ ( 12n + - 12n - ) d ⇒ d ⇒ d = Vậy ( 3n + 1, 4n + 1) = Bài 9: Chứng minh abc 37 cab 37 bca 37 Giải: Vì abc 37 nên ( 100a + 10b + c) 37 ⇒ 10.( 100a + 10b + c) 37 15 ⇒ [ 10.( 100a + 10b + c) - 999a] 37 ( 99937) ⇒ ( 100b + 10c + a ) 37 ⇒ bca 37 Mặt khác: abc + cab + bca =100a +10b+c+ 100c +10a +b + 100b +10c+a = 37.3.( a+b +c) 37 Mà abc + bca 37 ⇒ bca 37 *Nhận xét: Qua ta rút tổng số dạng abc + cab + bca 37 Bài 10: Chứng minh ( 6x + 11y ) chia hết cho 31 ( x + 7y) chia hết cho 31 với số tự nhiên x, y Giải : Vì ( 6x + 11y) 31 nên ( 6x + 11y + 31y ) 31 ⇒ ( 6x + 42 y) 31 ⇒ ( x + 7y ) 31 mà ( 6, 31 ) = ⇒ ( x + 7y ) 31 ( đpcm) Bài 11: Một số chia cho dư 4, chia cho dư 6, chia cho 11 dư Tìm dư cho phép chia số cho 642 Giải: Gọi số a Theo ra, ta có a = 6k + = 7q + = 11p + ( k, q, p thương số tự nhiên) Suy : a + = 6k + + = ( k+ 2) a + = 7q + + = 7( q + 2) a + = 11p + + = 11 ( p + 1) 11 suy ( a + 8) BC (6,7,11), mà BCNN(6, 7, 11) = 462 ⇒ ( a + 8) 462 ⇒ ( a + ) = 462.m ( m∈ N) ⇒ a = 462.m - = 462.(m - 1) + 454 ⇒ a = 462.n + 454 ( n ∈ N) Vậy a chia cho 462 dư 454 Bài 12: Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia số cho 17 dư 5, cho 19 dư 12 Giải: 16 Cách 1: Gọi số cần tìm a Theo ra, ta có: a chia cho 17 dư ⇒ a = 17m+5 (m ∈ N) a chia cho 19 dư 12 ⇒ a = 19n+12 (n ∈ N) Suy ra: a =17m+5= 19n+12 ⇒ 17m= 19n+7 =17n+(2n+7) 17 Vì a số nhỏ nên ta chọn n nhỏ cho 2n+7 17 Ta chọn n=5, a =107 Vậy số cần tìm 107 Cách 2: Gọi số cần tìm a Theo ra, ta có: a chia cho 17 dư ⇒ a = 17m+5 (m ∈ N) a chia cho 19 dư 12 ⇒ a = 19n+12 (n ∈ N) 3a = 3.17m+15 ⇒ 3a + 17 (1) 3a = 3.19n +36 ⇒ 3a + 19 (2) Tu (1) (2) suy 3a + BC(17, 19) Vì a số nhỏ nên 3a+2 =BCNN(17, 19), mà BCNN(17, 19) =17.19 = 323 Do dó 3a+2 = 323 3a = 321 a = 107 Vậy số cần tìm 107 Bài 13: a) Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số để số chia hết cho số 5, ,9? b) Phải viết thêm vào bên phải số 523 ba chữ số để số chia hết cho số 6, 7, 8, 9? Giải: a) Giả sử số viết thêm abc Ta có 579abc chia hết cho 5, 7, suy 579abc chia hết cho = 315 (vì 3, 5, đôi nguyên tố nhau) Mặt khác 579abc = 579000 + abc = (315.1838 + 30 + abc ) 315 Mà 315.1838 315 suy ( 30 + abc ) 315 Do 30 ≤ 30 + abc ≤ 30 + 999 = 1029 nên (30 + abc ) ∈ { 315; 630; 945} Suy abc ∈ { 285; 600; 915} Vậy số viết thêm 285; 600; 915 b) Gọi số phải viết thêm abc Ta có: 17 523abc chia hết cho 6, 7, 8, nên 523abc chia hết cho BCNN(6,7,8,9) = 504 Mặt khác 523abc = 523000 + abc = 504.1037 + 352 + abc Vì 504 1037 504 nên ( 352 + abc ) 504 abc = k.504 - 352 với k ∈ N ⇒ k ∈ { 1; } ⇔ abc ∈ { 152 ; 656} Vậy số viết thêm 152 656 Bài 14: Một bạn viết số từ đến abc Bạn phải viết tất m chữ số Biết m chia hết cho abc , tìm abc Giải: Từ đến abc , bạn phải viết số chữ số : m = 1.9 + 2.90 + 3.( abc - 99) = abc - 108 Theo m abc ⇔ ( - 108) abc ⇔ 108 abc abc ⇔ abc = 108 Vậy bạn viết số tự nhiên từ đến 108 Bài 15: Chứng minh rằng: 2n + 11 chia hết cho n chữ số Giải: * Cách 1: Ta có : 2n + 11 = 3n + (11 - n) n chữ số n chữ số số chia cho dư tổng chữ số số chia cho dư nhiêu nên 11 n có số dư chia cho ⇒ 11 - n chia hết cho n chữ số Vậy 3n + (11 - n ) hay 2n + 11 S n chữ số *Cách 2: Với n ∈ N ta có n = 3k n = 3k + n = 3k +2 (k ∈ N) - Nếu n = 3k ⇒ 2n + 11 = 2.3k + 11 n chữ số 3k3kchữ sốsố chữ - Nếu n = 3k + ⇒ 2n + 11 =2( 3k+1) + 11 = 6k + 11 13 chia hết 3k+1 chữ số 3k chữ số n chữ số cho - Nếu n = 3k+ ⇒ 2n + 11 = 2( 3k+2) + 11 n chữ số = 6k + + 11 12 chia hết cho 3k+2 chữ số 3k +1 chữ số chữ số 3k + chia hết cho 3) (vì số 11 12 có tổng 3k +1 chữ số Bài 16: Trong 45 học sinh làm kiểm tra, bị điểm 2, có học sinh điểm 10 Chứng minh tìm học sinh có điểm kiểm tra Giải: 18 Có 45 - = 43 học sinh phân chia loại điểm (từ đến 9) Giả sử điểm loại điểm học sinh, lớp học 8.5 = 40 học sinh (ít 43 học sinh) Vậy tồn có học sinh có điểm kiểm tra *Một số tập vận dụng: Bài 1: Thay dấu * chữ số thích hợp để 517** chia hết cho 6, 7, Bài 2: Chứng minh rằng, hiệu số có chữ số với số gồm chữ số viết theo thứ tự ngược lại, ta chia hết cho Bài 3: Chứng tỏ số 20132000- 20112000 chia hết cho Bài 4: Chứng tỏ n(n+1)( 5n+6) chia hết cho với số nguyên n Bài 5: a) Cho A = +22 +23 + +2120 Chứng minh : A 3; A 7; A 15 b) Cho B = + 33 + 35 + + 32003 Chứng minh rằng: B chia hết cho 13 B chia hết cho 30 c) Cho C= 5+ 52 + 53 + + 5100 Chứng minh rằng: C chia hết cho C chia hết cho 30 d) Cho D = + 32 + 33 + + 32004 Chứng minh rằng: B chia hết cho 12 B chia hết cho 39 Bài 6: Tìm số nguyên n cho a) 3n + chia hết cho n – b) 2n + chia hết cho - n c) n2 + 2n -7 chia hết cho n + Bài 7: Chứng minh rằng: a) 251 - chia hết cho d ) 270 + 370 chia hết cho 13 b) 1719 + 1917 chi hết cho 18 e) 24n - chia hết cho 15 với n ϵ N c) 3663 - chia hết cho không chia hết cho 37 Bài 8: a) Chứng minh với số tự nhiên n 7n +10 5n + hai số nguyên tố b) Chứng minh với n ∈ N* 3n - 4n - hai số nguyên tố Bài 9: Tìm số tự nhiên n để 18n + 21 + hai số nguyên tố Bài 10: Tìm số tự nhiên a, b biết 19 a) a+b=432 ƯLN(a, b)=36 b) a.b =864 ƯCLN( a, b) = c) a.b=360 BCNN( a, b) = 60 Bài 11: Chứng minh ab + cd + eg M11 abcdeg M11 Bài 12: a) Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia số cho dư 7, cho 31 dư 28 b) Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia số cho 11 dư 5, cho 13 dư Bài 13: a) Một số tự nhiên cho chia số cho dư 1, cho 13 dư Hỏi chia cho 91 dư bao nhiêu? Bài 14: CMR 100 số tùy ý có 10 số đôi có hiệu chia hết cho 11 Bài 15: CMR tồn số tự nhiên gồm toàn chữ số chia hết cho 2007 Trên số ví dụ số dạng tập phép chia hết Các toán phép chia hết thật đa dạng phong phú Nếu hướng dẫn học sinh giải tập mức độ trung bình em chưa thể thấy "cái hay" dạng toán này, đồng thời có em có cảm giác khó phức tạp Qua tập ta thấy, dạng tập sử dụng phương pháp biến đổi ban đầu khác nhau, cuối quy định nghĩa tính chất phép chia hết Chính vậy, việc nắm vững định nghĩa phép chia hết, tính chất dấu hiệu chia hết vấn đề then chốt giúp học sinh định hướng cách giải tập giúp học sinh có tư sáng tạo linh hoạt giải toán Khi làm việc giải toán phép chia hết trở thành niềm say mê, thích thú học sinh Những thông tin cần bảo mật chuyên đề Không Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề Phòng học, bảng, bàn ghế, học sinh 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề 20 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề theo ý kiến tác giả - Với kinh nghiệm vừa trình bày trên, thân nhận thấy: Khi dạy phần chia hết tập hợp số tự nhiên, số nguyên học sinh tiếp nhận kiến thức cách thoải mái, chủ động, rõ ràng Học sinh phân biệt nhận dạng toán liên quan đến phép chia hết từ giải hầu hết tập phần này, xóa cảm giác khó phức tạp ban đầu quy tắc tổng quát Qua đó, rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, phẩm chất trí tuệ khác học sinh thấy dạng toán thật phong phú, điều giúp cho học sinh hứng thú học môn Toán - Kết học tập: Với tập giáo viên đưa ra, học sinh giải cách độc lập tự giác, thống kê theo bảng sau: Trước áp dụng chuyên đề: Số HS giải theo mức độ Năm học Số Giỏi HS SL % 2014 - 2015 35 Khá SL 14,3 12 TB Yếu % SL % SL % 34,3 14 40,0 11,4 Sau áp dụng chuyên đề: Số HS giải theo mức độ Năm học Số Giỏi HS SL % 2015 - 2016 36 Khá SL 22,2 14 TB Yếu % SL % SL % 38,9 12 33,3 5,6 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề theo ý kiến tổ chức cá nhân Phần Phép chia hết cho tập hợp số tự nhiên lớp nội dung quan trọng kiến thức có liên quan chặt chẽ, tiền đề cho học sinh học tốt kiến thức sau đặc biệt có ứng dụng nhiều Do vậy, trước hết cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phép chia hết, dấu hiệu chia hết đặc biệt tính chất quan hệ chia hết tính chất hay sử dụng Để học sinh nắm vững hứng thú học tập, cần liên hệ kiến thức biết để xây dựng kiến thức mới, chọn lọc hệ thống tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó Khi học phải cho học sinh nhận dạng sau bắt tay vào giải theo nhiều cách (nếu có thể) không thiết phải giải nhiều tập Cần rèn luyện nhiều cách suy luận để tìm hướng giải cách lập luận trình 21 bày học sinh học sinh đầu cấp Với dạng quy tắc tổng quát, song sau giải giáo viên nên đặc điểm, hướng giải để gặp tương tự học sinh liên hệ 10.3 Kết luận - Bản thân người GV trình giảng dạy học sinh phải ý hướng dẫn HS cách tổng quát dạng toán phân loại loại ý rèn kỹ cho HS - Cần xây dựng hệ thống tập đặc trưng nêu tính chất nội dung mà ta cần rèn luyện Bên cạnh đưa tập tương tự tập mà em làm - Cần phải quan tâm đến HS, thay đổi phương pháp giảng dạy, tạo cho HS tích cực chủ động học hỏi phải đam mê học 11 Danh sách tổ chức/ cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu TT Tên tổ chức/ cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng Nguyễn Thị Hồng Minh THCS Vĩnh Sơn PP chia hết Kim Trung Hưng THCS Vĩnh Sơn PP chia hết 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa toán tập Tác giả Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần Luận -Sách tập toán tập Tác giả Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần Luận - Sách Để học tốt toán tập Tác giả Lê Hồng Đức- Đào Thiện Khải -Sách Các dạng toán phương pháp giải Toán Tác giả Vũ Hữu Bình- Nguyễn Vũ Thanh- Bùi Văn Tuyên -Sách Toán bồi dưỡng học sinh lớp Tác giả Vũ Hữu Bình- Tôn Thân- Đỗ Quang Thiều - Sách Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Tác giả Bùi Văn Tuyên -Sách Một số vấn đề phát triển nâng cao Toán tập Tác giả Vũ Hữu Bình 23 24 25 [...]... rằng: B chia hết cho 12 và B chia hết cho 39 Bài 6: Tìm số nguyên n sao cho a) 3n + 2 chia hết cho n – 1 b) 2n + 1 chia hết cho 6 - n c) n2 + 2n -7 chia hết cho n + 1 Bài 7: Chứng minh rằng: a) 251 - 1 chia hết cho 7 d ) 270 + 370 chia hết cho 13 b) 1719 + 1917 chi hết cho 18 e) 24n - 1 chia hết cho 15 với n ϵ N c) 366 3 - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37 Bài 8: a) Chứng minh rằng với mọi số. .. 3 số dạng abc + cab + bca 37 Bài 10: Chứng minh rằng nếu ( 6x + 11y ) chia hết cho 31 thì ( x + 7y) chia hết cho 31 với mọi số tự nhiên x, y Giải : Vì ( 6x + 11y) 31 nên ( 6x + 11y + 31y ) 31 ⇒ ( 6x + 42 y) 31 ⇒ 6 ( x + 7y ) 31 mà ( 6, 31 ) = 1 ⇒ ( x + 7y ) 31 ( đpcm) Bài 11: Một số khi chia cho 6 dư 4, khi chia cho 7 dư 6, chia cho 11 dư 3 Tìm dư cho phép chia số đó cho 64 2 Giải: Gọi số. .. minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kì luôn tìm được 2 số có hiệu chia hết cho 5 Giải: Một số khi chia cho 5 có thể nhận một trong các số dư là: 0; 1; 2; 3; 4 Trong 6 số tự nhiên bất kì khi chia cho 5 luôn tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư (nguyên tắc Đirichlet) Hiệu của 2 số chia hết cho 5 Ví dụ 3: Một lớp có 50 học sinh Chứng minh rằng có ít nhất 5 học sinh có tháng sinh giống nhau Giải: Giả sử... 100…0 - 1 = 99…9 chia hết cho 9, cho 3 12 chữ số 0 12 chữ số 9 b) 1010 + 2 = 100…0 + 2 = 100…02 chia hết cho 3, không chi hết cho 9, 10 chữ số 0 9 chữ số 0 Ví dụ 4: Chứng minh rằng: 1028 + 8 chia hết cho 72 Giải: Ta có 1028 + 8 = ( 100 0 + 8) = 100 .08 có tổng các chữ số bằng 9 nên chia hết cho 9 28 chữ số 0 27 chữ số 0 1028 + 8 = 100 .08 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8 27 chữ số 0 Vì ( 8,9)... ta luôn chia hết cho 9 Bài 3: Chứng tỏ rằng số 20132000- 20112000 chia hết cho cả 2 và 5 Bài 4: Chứng tỏ rằng n(n+1)( 5n +6) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n Bài 5: a) Cho A = 2 +22 +23 + +2120 Chứng minh rằng : A 3; A 7; A 15 b) Cho B = 3 + 33 + 35 + + 32003 Chứng minh rằng: B chia hết cho 13 và B chia hết cho 30 c) Cho C= 5+ 52 + 53 + + 5100 Chứng minh rằng: C chia hết cho 6 và C chia hết cho... cho chia số đó cho 8 thì dư 7, còn khi cho 31 thì dư 28 b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia số đó cho 11 thì dư 5, còn khi cho 13 thì dư 8 Bài 13: a) Một số tự nhiên khi cho chia số đó cho 7 thì dư 1, khi cho 13 thì dư 4 Hỏi khi chia cho 91 thì dư bao nhiêu? Bài 14: CMR trong 100 số tùy ý thì có ít nhất 10 số đôi một có hiệu chia hết cho 11 Bài 15: CMR tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia. .. 36) + 39(1 + 32 + 34 + 36) + + 32009(1 + 32 + 34 + 36) = 3 820 + 39 820 + + 32009 820 = 820( 3 + 39 + + 32009) 41 ( vì 820 41) Bài 4: Cho a - b chia hết cho 6 Chứng minh các biểu thức sau chia hết cho 6 a) a +5b b) a + 17b c) a - 13b Giải: a) Ta có : a + 5b = a + 6b - b = ( a- b) + 6b 6 ( vì (a - b) 6 và 6b 6) b) Ta có: a + 17 b = ( a- b) + 18b 6 c) Ta có: a - 13b = ( a - b) - 12b 6. .. 5571997) chia hết cho 10 Giải: Ta có: 9931999 = [ (9934)499 9933] = ( 1 ).( 7 ) = 7 5571997 = (5574)499.557 = ( 1 ).( 7 ) = 7 => 9931999 – 5571997 = 0 chia hết cho 10 ( đpcm) * Nhận xét: Phương pháp này thường sử dụng để chứng minh các bài toán mà số chia là các số tròn chục (10, 100, ) hay các số chia mà dấu hiệu chia hết có 11 liên quan đến chữ số tận cùng (ví dụ : 5, 4, 8, 25, 125), hoặc số chia có... a = 6k + 4 = 7q + 6 = 11p + 3 ( k, q, p là các thương và là các số tự nhiên) Suy ra : a + 8 = 6k + 4 + 8 = 6 ( k+ 2) 6 a + 8 = 7q + 6 + 8 = 7( q + 2) 7 a + 8 = 11p + 3 + 8 = 11 ( p + 1) 11 suy ra ( a + 8) là BC (6, 7,11), mà BCNN (6, 7, 11) = 462 ⇒ ( a + 8) 462 ⇒ ( a + 8 ) = 462 .m ( m∈ N) ⇒ a = 462 .m - 8 = 462 .(m - 1) + 454 ⇒ a = 462 .n + 454 ( n ∈ N) Vậy a chia cho 462 dư 454 Bài 12: Tìm số tự... số 3k chữ số 1 n chữ số cho 3 - Nếu n = 3k+ 2 ⇒ 2n + 11 1 = 2( 3k+2) + 11 1 n chữ số = 6k + 3 + 11 12 chia hết cho 3 3k+2 chữ số 3k +1 chữ số 1 các chữ số bằng 3k + 3 chia hết cho 3) (vì số 11 12 có tổng 3k +1 chữ số 1 Bài 16: Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh được điểm 10 Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau Giải: ... a) 42 + 66 b) 60 + 15, c) 60 0 - 14 d) 24 + 36 + 72 e) 120 + 54 + 20 f) 80 + 16 + 48 Giải: a) 42 6, 66 => 42 + 66 b) 60 6, 15 => 60 + 15 c) 60 0 , 14 => 60 0 – 14 6 d) 24 6, 36 6, 72... 11 suy ( a + 8) BC (6, 7,11), mà BCNN (6, 7, 11) = 462 ⇒ ( a + 8) 462 ⇒ ( a + ) = 462 .m ( m∈ N) ⇒ a = 462 .m - = 462 .(m - 1) + 454 ⇒ a = 462 .n + 454 ( n ∈ N) Vậy a chia cho 462 dư 454 Bài 12: Tìm...2 Tên chuyên đề “Một số phương pháp giải toán chia hết lớp 6 Tác giả chuyên đề - Họ tên: Nguyễn Thị Loan - Địa chỉ: THCS Vĩnh Sơn – Vĩnh Vường – Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 09 862 29114; Email: