Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - P2 Thầy Đặng Việt Hùng III ĐIỂM UỐN, TÍNH LỒI LÕM Quy tắc xét tính lồi lõm, tìm điểm uốn: Tính đạo hàm y ' tính tiếp y '' Giải phương trình y '' = , từ tìm tọa độ điểm uốn Xét dấu y '' để kết luận: + y '' > đồ thị hàm số lõm + y '' < đồ thị hàm số lồi Ví dụ 1: Tìm tọa độ điểm uốn khoảng lồi, lõm đồ thị hàm số sau: a) y = 2x3 – 6x2 + 2x c) y = x − 3x + 2 b) y = x3 + 6x – x4 x2 d) y = + − Ví dụ 2: Tìm a, b để hàm số y = ax3 + bx2 + x + nhận điểm U(1; –1) làm điểm uốn Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y = x + 3x + nhận điểm U(–1; 3) làm điểm uốn m BÀI TẬP TỰ LUYỆN : Bài 1: Tìm m để tiếp tuyến điểm uốn đồ thị hàm số a) y = x3 + 3x2 – mx + song song với đường thẳng d: y = 3x – b) y = x3 + 3mx2 – 2mx + vuông góc với đường thẳng ∆: y = x – Bài 2: Tìm m, n để đồ thị hàm số a) y = x − x3 − x + mx + 2m − có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2) b) y = − x3 − x + mx + có điểm uốn nằm đường thẳng d : y = x + 3 Bài 3: Tìm m, n để đồ thị hàm số a) y = x3 – 3mx2 + 9x + có điểm uốn thuộc đường thẳng d: y = x + b) y = 3x3 – 9x2 + 6x + m – có điểm uốn nằm trục hoành c) y = x3 – 3mx2 + (3 + 2m2)x + m2 + có điểm uốn cách hai trục tọa độ Ox, Oy IV TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1) Nhắc lại số giới hạn quan trọng   b c    +∞ a > lim ( ax n + bx n −1 + cx n − ) = lim  x n  a + + +   =  x  →∞ x x    −∞ a <   1  lim =  → lim n =  x  →∞ x x  →∞ x    lim + = +∞   x  →0 x  lim = ∞  →  x → x  lim = −∞   x → 0− x  x  →∞ Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95   0; m > n a n x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0  lim =  ∞; m < n m m −1 x  →∞ b x + b + + b1 x + b0  m m −1 x  an ; m = n  bm 2) Tiệm cận đứng đồ thị hàm số Định nghĩa: Đường thẳng x = a gọi tiệm cận đứng (TCĐ) đồ thị y = f(x) lim f ( x) = ∞ x  →a + lim f ( x) = +∞ x = a tiệm cận đứng bên phải x  →a + lim f ( x) = −∞ x = a tiệm cận đứng bên trái x  →a Cách tìm tiệm cân đứng: Đồ thị hàm phân thức thường có tiệm cận đứng, giá trị x = a thường nghiệm mẫu số, x = a hàm số cho không xác định Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số sau x+2 x a) y = b) y = 2 x + 4x − x −9 Hướng dẫn giải :  x  a) Ta có lim  → x = ±3 tiệm cận đứng đồ thị hàm số  = ∞  x  →±3  x −    x =1 b) Xét phương trình x + x − = ⇔   x = −5   x+2   =∞  x lim  →   x + 4x −  Ta có   → x = 1; x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số + x    lim  =∞  x →−5  x + x −  x−2 Ví dụ 2: Biện luận theo m số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = x + 3x + m Hướng dẫn giải : Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho số nghiệm khác phương trình x2 + 3x + m = Đồ thị hàm số tiệm cận đứng x2 + 3x + m = vô nghiệm ⇔ ∆ < ⇔ − 4m < ⇔ m > Đồ thị hàm số có tiệm cận phương trình x2 + 3x + m = có nghiệm kép khác 2, có hai nghiệm phân biệt, nghiệm x =   ∆ = ⇔ − 4m = ⇔ m =   →m =  x = − b ≠ ⇔ − ≠  2a Điều xảy     ∆ > ⇔ − 4m > ⇔ m <  → m = −10   2 + + m = ⇔ m = −10 Đồ thị hàm số có hai tiệm cận phương trình x2 + 3x + m = có hai nghiệm phân biệt khác 9    ∆ > ⇔ − 4m > ⇔ m < m < Khi ta có  →   22 + + m ≠ ⇔ m ≠ −10  m ≠ −10  3) Tiệm cận ngang đồ thị hàm số Định nghĩa: Đường thẳng y = b gọi tiệm cận ngang (TCN) đồ thị y = f(x) lim f ( x) = b x  →∞ Cách tìm tiệm cân ngang: Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Đồ thị hàm phân thức có tiệm cận ngang bậc tử số không lớn bậc mẫu số Thông thường, với hàm phân thức ta thường chia tử mẫu số cho lũy thừa mũ cao x để tìm tiệm cận ngang Chú ý: Với giới hạn mà hàm số có chứa thực theo quy tắc sau: B C  Ax + Bx + C = x  A + +  = x x x   A+ B C + = x x2 x A+ B C + x  → +∞ x x2 −x A + B C + → −∞ x  x x2 Ví dụ mẫu: Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số sau a) y = d) y = x +1 2x − b) y = x2 + x −3 e) y = − 2x x +1 c) y = x +1 x − 2x + x +1 2x2 + Hướng dẫn giải : x +1 = +∞  → x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số x  → 2x − a) Ta có lim 1+ x +1 x =  Mặt khác, lim = lim → y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  →∞ x − x  →∞ 2− x − 2x b) Ta có lim = +∞  → x = −1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x  →−1 x + −2 − 2x Mặt khác, lim = lim x = −2  → y = −2 tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  →∞ x + x  →∞ 1+ x x +1 c) Ta có lim = +∞  → x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số x  →1 x − x + 1 + x +1 Mặt khác, lim = lim x x =  → y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  →∞ x − x + x  →∞ 1− + x x d) Ta có lim x  →3 x2 + = +∞  → x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số x−3   x 1 +  x 1+ x +2  x  x Xét lim = lim = lim x  →∞ x − x  →∞ x  →∞ x −3 x−3 2 1+ x 1+ x = lim x =  Khi x  → +∞ |x| = x nên ta lim → y = tiệm cận ngang x  →+∞ x  →+∞ x −3 1− x 2 −x 1+ − 1+ x = lim x = −1  Khi x  → −∞ |x| = −x nên ta lim → y = −1 tiệm cận ngang x  →−∞ x  →−∞ x −3 1− x x +1 x +1 x +1 e) Xét lim = lim = lim x  →∞ x + x  →∞ x  →∞ 3   x 2+ x2  +  x x   Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Khi x  → +∞ |x| = x nên ta lim x  →+∞ x +1 x 2+ x = lim x  →+∞ Facebook: LyHung95 x +1 x 2+ x = lim x  →+∞ x = 2+ x 1+ tiệm cận ngang ⇒y= Khi x  → −∞ |x| = −x nên ta x +1 lim x  →−∞ x 2+ x2 x +1 = lim x  →−∞ −x + x2 = lim −1 tiệm cận ngang 4) Tiệm cận xiên đồ thị hàm số Định nghĩa: Đường thẳng y = ax +b gọi tiệm cận xiên (TCX) đồ thị y = f(x) lim 1+ x  →−∞ x − 2+ x2 = −1 ⇒ y= x  →∞ [ f ( x) − (ax + b)] = Cách tìm tiệm cân xiên: Đồ thị hàm phân thức có tiệm cận xiên bậc tử số phải lớn bậc mẫu số bậc Cách 1: f ( x) + Tìm hệ số a = lim x x  →∞ + Tìm b = lim [ f ( x) − ax ] Từ suy đường tiệm cận xiên y = ax + b x  →∞ Cách 2: Thực phép chia đa thức f ( x) = Suy lim x  →∞ g ( x) r ( x) r ( x) = ax + b + ⇒ f ( x) − (ax + b) = h( x ) h( x ) h( x) lim [ f ( x) − (ax + b)] = x  →∞ r ( x) = r(x) có bậc nhỏ h(x) h( x ) Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau a) y = x2 + x + x−2 b) y = −2 x + x + 2x + Hướng dẫn giải : c) y = 3x + x + x+2 x2 + x + x−2 + Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng x = x2 + x + 7 + Ta có y = f ( x) = = x −3+ ⇒ f ( x) − ( x − 3) = x−2 x−2 x−2 Suy lim [ f ( x) − ( x − 3) ] = lim = ⇒ y = x − tiệm cận xiên đồ thị hàm số x  →∞ x  →∞ x − −2 x + x + b) y = 2x + 1 + Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng x = − 2 −2 x + x + 2 + Ta có y = f ( x) = = x +1+ ⇒ f ( x) − ( x + 1) = 2x + 2x + 2x + Suy lim [ f ( x) − ( x + 1)] = lim = ⇒ y = x + tiệm cận xiên đồ thị hàm số x  →∞ x  →∞ x + 3x + x + c) y = x+2 + Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng x = −2 a) y = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 3x + x + 13 13 = 3x − + ⇒ f ( x) − (3 x − 5) = x+2 x+2 x+2 13 Suy lim [ f ( x) − (3 x − 5) ] = lim = ⇒ y = 3x − tiệm cận xiên đồ thị hàm số x  →∞ x  →∞ x + + Ta có y = f ( x) = Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số y = x + mx − có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích x +1 Hướng dẫn giải : x + mx − m = 2x + m − − x +1 x +1 Đồ thị có tiệm cận xiên m ≠ Với m ≠ tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = 2x + m – 2, (d) 2−m  + Giả sử A = d ∩ Ox, B = d ∩ Oy uy A  ;0  , B (0; m − 2)   2−m ; OB = − m Tam giác OAB vuông O nên SOAB = OA.OB ⇒ OA.OB = Ta dẽ dàng tính OA = 2 m = 2−m  ⇔ − m = ⇔ (2 − m) = 16 ⇔   m = −2 Vậy m = m = –2 giá trị cần tìm + Ta có y = m2 + Tìm m biết x +1 a) tiệm cận xiên đồ thị vuông góc với đường thẳng y = 3x – Ví dụ 3: Cho hàm số y = 2mx + m + − b) tiệm cận xiên đồ thị cách gốc tọa độ O khoảng 17 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số sau : 2x + a) y = b) y = 1− x x −1 d) y = + x2 e) y = −3x x2 + Bài 2: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau : x2 x + 3x + 1) y = 2) y = x−2 1− x x +2 2x 4) y = 5) y = x −1 x + 11x − 10 −1 7) y = 8) y = ( x − 3) x2 + 5x + x2 c) y = − x2 f) y = x2 + x −1 x + 3x + x2 + − 3x 6) y = − x2 3) y = 9) y = x2 + x + 10) y = x − x + 11) y = 13) y = x − x2 − x + 14) y = x + + x − x + 15) y = 17) y = x − x − x + 18*) y = 16) y = −2 x − x2 + x + 19) y = x − + x + x + x +4 12) y = x x + x +1 2x2 + 2x −1 4x2 − 5x + x −1 20) y = 3x − x + Bài 3: Biện luận theo tham số m số tiệm cận đồ thị hàm số sau Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG b) y = x + mx − x+m c) y = Bài 4: Tim m để đồ thị hàm số y = Bài 5: Cho hàm số y = mx + x+m Facebook: LyHung95 d) y = mx3 − x − 3x + x + 2mx + m − có tiệm cận xiên qua điểm M(1; 2) x +1 x + (m + 1) x − x+m a) Tìm m để đồ thị có tiệm cận xiên đồ thị hàm số qua điểm A(1; 1) b) Tìm m để giao hai tiệm cận thuộc (P): y = x + Bài 6: Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số a) y = x + (m − 2) x + −2 tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích x −1 b) y = x + mx − tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích x −1 c) y = x + 3mx − m + tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích x −1 Bài 7: Cho hàm số y = 2x + m Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang tiệm cận với mx − hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích Bài 8: Cho hàm số y = mx + (3m + 1) x − m + x +1 Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên ∆ biết ∆ tiếp xúc với đường tròn tâm I(1; 2), bán kính R = Bài 9: Chứng minh tích khoảng cách từ điểm đồ thị hàm số sau đến hai tiệm cận số a) y = x2 − x + x −1 b) y = x2 + x − x+3 c) y = x2 + x − x −3 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! ... −  x 2 Ví dụ 2: Biện luận theo m số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = x + 3x + m Hướng dẫn giải : Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho số nghiệm khác phương trình x2 + 3x + m = Đồ thị hàm số tiệm... −3x x2 + Bài 2: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số sau : x2 x + 3x + 1) y = 2) y = x 2 1− x x +2 2x 4) y = 5) y = x −1 x + 11x − 10 −1 7) y = 8) y = ( x − 3) x2 + 5x + x2 c) y = − x2 f) y = x2 +... Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau a) y = x2 + x + x 2 b) y = 2 x + x + 2x + Hướng dẫn giải : c) y = 3x + x + x +2 x2 + x + x 2 + Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng x = x2 + x + 7 +