Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng I SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Dạng Sự biến thiên hàm tham số Phương pháp: + Tìm tập xác định hàm số + Tính y ' giải phương trình y ' = để tìm nghiệm + Lập bảng biến thiên (hoặc cần bảng xét dấu y ' ) kết luận sở điểm tới hạn Chú ý: Quy tắc xét dấu hàm đa thức phân thức Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: Xét biến thiên hàm số sau đây: a) y = −2 x + x + b) y = x3 − 3x + 3x + 1 x2 d) y = x5 − x − x3 + + x − Lời giải: c) y = x − x − a) y = −2 x + x + Tập xác định: D = R x = Đạo hàm: y′ = −6 x + x = −6 x ( x − 1)  → y ′ = ⇔ −6 x ( x − 1) = ⇔  x =1 Bảng xét dấu đạo hàm: x −∞ − y' + +∞ − Vậy hàm số đồng biến (0; 1) nghịch biến (−∞; 0) (1; +∞) b) y = x3 − 3x + 3x + Tập xác định: D = R Đạo hàm: y′ = x − x + = ( x − 1) ≥  → y′ ≥ 0, ∀x ∈ D Vậy hàm số cho đồng biến tập xác định c) y = x − x − Tập xác định: D = R x = Đạo hàm: y′ = x3 − x = x x −  → y′ = ⇔ x x − = ⇔   x = ±1 Bảng xét dấu đạo hàm: x −∞ −1 ( y' ) ( − + ) − +∞ + Hàm số đồng biến (−1; 0) (1; +∞); hàm số nghịch biến (−∞; −1) (0; 1) 1 x2 d) y = x5 − x − x3 + + x − Tập xác định: D = R  x = −1 Đạo hàm: y′ = x − x − x + x + = ( x + 1) ( x − 1)( x − )  → y ′ = ⇔  x =  x = Do ( x + 1) ≥ 0, ∀x nên dấu y ' phụ thuộc vào biểu thức (x − 1)(x − 2) Bảng xét dấu đạo hàm: Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG −∞ x −1 y' + Facebook: LyHung95 + − 0 +∞ + Hàm số đồng biến (−∞; 1) (2; +∞); hàm số nghịch biến (1; 2) Ví dụ 2: Xét biến thiên hàm số cho đây: x +1 x + 3x + a) y = b) y = 2x − x +1 c) y = − x + d) y = x − x + x +1 2x + e) y = x − x f) y = 3x − Lời giải: x +1 a) y = 2x − Tập xác định: D = R \ {1} Đạo hàm: y′ = −4 ( x − )2 > 0, ∀x ∈ D  → hàm số đồng biến tập xác định x + 3x + x +1 Tập xác định: D = R \ {−1} b) y = Đạo hàm: x + 3)( x + 1) − x − 3x − x + x ( x = y′ = =  → y′ = ⇔ x + x = ⇔  2  x = −2 ( x + 1) ( x + 1) Bảng xét dấu đạo hàm: x −∞ −2 y' + −1 − 0 − || +∞ + Hàm số đồng biến (−∞; 2) (0; +∞); hàm số nghịch biến (−2; −1) (−1; 0) c) y = − x + x +1 Tập xác định: D = R \ {−1} Đạo hàm: y′ = −1 − < 0, ∀x ∈ D  → hàm số nghịch biến tập xác định ( x + 1)2 d) y = x − x + Hàm số xác định x − x + ≥ ⇔ ( x − 1) + > 0, ∀x  → D = R Đạo hàm: y′ = (x − 2x + )′ = x − 2x + Bảng xét dấu đạo hàm: x −1 x − 2x + 2 x y'  → y ′ = ⇔ x = −∞ − +∞ + Hàm số đồng biến (1; +∞) nghịch biến (−∞; 1) e) y = x − x Hàm số xác định x − x ≥ ⇔ x ( x − ) ≤ ⇔ ≤ x ≤  → D = [ 0; 2] ′ 2x − x ) ( y′ = = Đạo hàm: 2 x − x2 Bảng xét dấu đạo hàm: 1− x 2x − x2  → y′ = ⇔ x = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x y' Facebook: LyHung95 + − Hàm số đồng biến (0; 1) nghịch biến (1; 2) 2x + f) y = 3x −  2 x + ≥  x ≥ −     2 Hàm số xác định  ⇔  → D = − ; + ∞ \     3  x ≠ x ≠  ( 3x − ) − x + 3x − − ( x + 1) −3 x − 5 x 2 + Đạo hàm: y′ = = =  → y′ = ⇔ x = − < − 2 ( 3x − ) ( 3x − ) x + ( 3x − ) x + Bảng xét dấu đạo hàm: x − +∞ − y’ || −  2 2  Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến  − ;   ; +∞  3     BÀI TẬP LUYỆN TẬP Xét biến thiên hàm số sau: 1) y = −2 x + 2) y = x − x + 3) y = −2 x3 + 3x + 4) y = x − x + x − 12 5) y = x − x + 6) y = − x + x − 7) y = x + x + x − x +1 9) y = x−2 1− x 11) y = 3x − 13) y = x + x 8) y = x + x + 2x −1 10) y = x +1 x2 + 3x + 12) y = x +1 14) y = x − − x +1 Dạng Sự biến thiên hàm có tham số Phương pháp: Sử dụng tính chất tam thức bậc hai để giải Xét tam thức bậc hai: f ( x ) = ax + bx + c, gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình f(x) = 0, với x1 < x2 + Nếu a > 0:  x > x2 f ( x) > ⇔   x < x1 f ( x ) < ⇔ x1 < x < x2 a > + f ( x ) > 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ <  x < x2 < α < β a >  → + f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( α; β ) :  α < β < x1 < x2 a <  → x1 < α < β < x2 f ( x ) > ⇔ x1 < x < x2 + Nếu a < 0:  x > x2 f ( x) < ⇔   x < x1 a < + f ( x ) < 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ < + f ( x ) < 0, ∀x ∈ ( α; β ) : a >  → x1 < α < β < x2  x1 < x2 < α < β a <  →  α < β < x1 < x2 Các ví dụ điển hình: Ví dụ: Tìm m để hàm số x3 a) y = − x + ( m − 1) x + m đồng biến R Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 b) y = − x3 + mx + ( 3m − ) x + nghịch biến R 3 m − 1) x ( c) y = + mx + ( 3m − ) x + đồng biến R Lời giải: x a) y = − x + ( m − 1) x + m  → y′ = x2 − x + m − Hàm số đồng biến R y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ ⇔ − ( m − 1) ≤ ⇔ m ≥ Vậy hàm số đồng biến R m ≥ b) y = − x3 + mx + ( 3m − ) x +  → y ′ = − x + 2mx + 3m − Hàm số nghịch biến R y′ ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ ⇔ m + ( 3m − ) ≤ ⇔ Vậy hàm số đồng biến R ( m − 1) x + mx + −3 − 17 −3 + 17 ≤m≤ 2 −3 − 17 −3 + 17 ≤m≤ 2 → y ′ = ( m − 1) x + 2mx + 3m − ( 3m − ) x +  Để hàm số đồng biến R y′ ≥ 0, ∀x ∈ R c) y = Khi m − = ⇔ m =  → y′ = x +   Ta thấy hàm số đồng biên  − ; +∞  nên không thỏa mãn yêu cầu   m − > m > m > Khi m − ≠ ⇔ m ≠  → y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  ⇔ ⇔ m − ( m − 1)( 3m − ) ≤ −2m + 5m − ≤  ∆′ ≤ m >  m ≥ ⇔   → m ≥ m ≤   Vậy với m ≥ hàm số cho đồng biến R BÀI TẬP LUYỆN TẬP x3 − x + ( m − 1) x + m đồng biến R 2) Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx + ( 2m − 1) x + đồng biến R 1) Tìm m để hàm số y = 3) Tìm m để hàm số y = − x3 + mx + ( 3m − ) x + nghịch biến R 3 x 4) Tìm m để hàm số y = + ( m − 1) x + ( 2m − 3) x + đồng biến R 3 II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ DẠNG TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC I Phương pháp: + Tìm tập xác định hàm số + Tính y ' giải phương trình y ' = để tìm nghiệm + Lập bảng biến thiên dựa vào bảng biến thiên để kết luận điểm cực đại, cực tiểu hàm số Chú ý: Với số dạng hàm đặc biệt (thường hàm vô tỉ) ta phải tính giới hạn điểm biên bảng biến thiên chặt chẽ Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số sau: a) y = x3 + x − 36 x − 10 b) y = x + x − Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG d) y = c) y = x − x Facebook: LyHung95 x − x3 + Lời giải: a) y = x3 + x − 36 x − 10 Tập xác định: D = R  x = −3 Đạo hàm: y ' = x + x − 36 = x + x −  → y ' = ⇔ x2 + x − = ⇔  x = Bảng biến thiên: x −∞ −3 ( ) y' + − 0 +∞ + +∞ 71 y −∞ −54 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến (−∞; 3) (2; +∞); hàm số nghịch biến (−3; 2) Hàm số đạt cực đại x = −3; y = 71 đạt cực tiểu x = 2; y = −54 b) y = x + x − Tập xác định: D = R Đạo hàm: y′ = x3 + x = x x +  → y ′ = ⇔ x = ( ) Bảng biến thiên: −∞ x − y' +∞ + +∞ +∞ y −3 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến (−∞; 0) nghịch biến (0; +∞) Hàm số đạt cực tiểu x = 0; y = −3 c) y = x − x Tập xác định: D = R x = Đạo hàm: y′ = x − x3 = x − x  → y′ = ⇔ x − x = ⇔   x = ±1 Bảng biến thiên: ( x ) −∞ y' ( −1 + ) − y −∞ + +∞ − −∞ Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến (−∞; −1) (0; 1); hàm số nghịch biến (−1; 0) (1; +∞) Hàm số đạt cực đại x = −1; y = x = 1; y = Hàm số đạt cực tiểu x = 0; y = d) y = x − x3 + Tập xác định: D = R x = Đạo hàm: y′ = x − x = x ( x − 3)  → y ′ = ⇔ x ( x − 3) = ⇔  x = Dấu y’ phụ thuộc vào dấu biểu thức (x − 3) nên ta có bảng biến thiên hình vẽ Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG −∞ x Facebook: LyHung95 − y' − +∞ + +∞ +∞ y − 15 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến (3; +∞) hàm số nghịch biến (−∞; 3) 15 Hàm số đạt cực tiểu x = 3; y = − Ví dụ 2: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số sau: x +1 a) y = x − x b) y = x + x + c) y = x+3 Lời giải: a) y = x − x Hàm số xác định − x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤  → D = [ −1;1] x2 Đạo hàm: y′ = − x − 1− x = − 2x2 1− x  → y′ = ⇔ − x = ⇔ x = ± 2 Bảng biến thiên: x −1 − − y' 2 + +1 − y −   1     Hàm số đồng biến  − ; ;1  ; hàm số nghịch biến  −1; −   2 2     1 1 Hàm số đạt cực đại x = ;y= đạt cực tiểu x = − ;y =− 2 2 b) y = x + x + Tập xác định: D = R Đạo hàm: y′ = + 3x x +1 = x + + 3x  → y ′ = ⇔ x + + x = ⇔ x + = −3 x x +1 x <  x <  x <  ⇔ ⇔ ⇔ →x = −  4 x + = x 5 x =  x = ±  Giới hạn:     lim x + x + = lim  x + x +  = lim x  − +  = +∞ x  → −∞ x  →−∞ x  x → −∞  x       lim x + x + = lim  x + x +  = lim x  + +  = +∞ x  → +∞ x  →+∞ x  x → +∞  x   Bảng biến thiên: ( ) ( ) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x −∞ − − y' Facebook: LyHung95 +∞ +∞ + +∞ y     ; +∞  Hàm số đồng biến  −∞; −  ; hàm số nghịch biến  5    Hàm số đạt cực tiểu x = − ; y = 5 x +1 c) y = x+3 Hàm số xác định x + > ⇔ x > −3  → D = [ −3; + ∞ ] Đạo hàm: y′ = x +1 ( x + 3) +  x+5 x + = ( x + 3) − x − = = → y ′ > 0, ∀x ∈ D x+3 ( x + 3) x + ( x + 3) x + ( x + 3) x + x+3 − Bảng biến thiên: x −3 +∞ y' + +∞ y −∞ Hàm số cho đồng biến miền xác định cực trị BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Tìm cực trị hàm số sau quy tắc I: 1) y = 3x − x3 4) y = x4 − x + 2) y = x3 − x2 + x − 5) y = x − x + 3) y = − x + x − 15 x x4 6) y = − + x + 2 DẠNG TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC II Phương pháp: + Tìm tập xác định hàm số + Tính y ' giải phương trình y ' = để tìm nghiệm + Tính y '' giá trị nghiệm tìm kết luận Chú ý: Quy tắc II tìm cực trị thường áp dụng cho hàm số khó lập bảng biến thiên hàm lượng giác, hàm siêu việt, hàm vô tỉ Các ví dụ điển hình: Ví dụ mẫu: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số sau: a) y = sin x − x b) y = cos x + cos x c) y = x + x − x Lời giải: a) y = sin x − x Tập xác định: D = R π π Đạo hàm: y′ = 2cos x −  → y ′ = ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k π  → x = ± + kπ Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 π  π  y ′′  + kπ  = −4sin  + k 2π  = −2 < 6  3  → Đạo hàm bậc hai: y′′ = −4sin x   π   π  y ′′  − + kπ  = −4sin  − + k 2π  = >     Vậy hàm số đạt cực đại x = Hàm số đạt cực tiểu x = − π π π  π + kπ; y = sin  + k 2π  − − kπ = − − kπ 6 3  π π  π  π + kπ; y = sin  − + k 2π  + − kπ = − + − kπ 6   b) y = cos x + cos x Tập xác định: D = R 2π   cos x = − x=± + k 2π   Đạo hàm: y′ = − sin x − sin x = − sin x (1 + 2cos x )  → y′ = ⇔ 2⇔   sin x =  x = kπ Đạo hàm bậc hai: y′′ = − cos x − 2cos x  2π   2π   4π  + 4nπ  = − cos  ± + 4nπ  − 2cos  ± + 8nπ  = > y ′′  ± + Nếu k = 2n  →       y ′′ ( 2nπ ) = − cos ( 2nπ ) − 2cos ( 4nπ ) = −3 <  2π   2π   4π  + 4nπ + 2π  = − cos  ± + 4nπ + 2π  − 2cos  ± + 8nπ + 4π  = > y ′′  ± + Nếu k = 2n +  →       y ′′ ( π + 2nπ ) = − cos ( π + 2nπ ) − 2cos ( 2π + 4nπ ) = −1 < 3  ; k = 2n Vậy hàm số đạt cực đại x = kπ; y = cos ( kπ ) + cos ( k 2π ) =   − ; k = 2n +   − ; k = 2n 2π  2π   4π   Hàm số đạt cực tiểu x = ± + kπ; y = cos  ± + kπ  + cos  ± + k 2π  =       ; k = 2n +  c) y = x + x − x Hàm số xác định x − x ≥ ⇔ ≤ x ≤  → D = [ 0; 2] Đạo hàm: y′ = + − 2x 2 x − x2 = x − x2 + − x  x ≥  → y′ = ⇔ x − x2 + − x ⇔ x − x2 = x − ⇔  2  x − x = x − x + 2x − x2 x ≥  2+  x ≥ =1+   x = ⇔ ⇔   x − x + =    x = − = −   →x =  Vậy hàm số đạt cực đại x = (1 − x )2 − 2x − x − 2 ′ x − x2 = x − x − x + x − = − Các ví dụ điển hình: Ví dụ mẫu: Cho hàm số y = x − 3mx + x − 3m + Tìm giá trị m để a) hàm số có cực trị b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = c) hàm số đạt cực tiểu điểm có hoành độ x = d) hàm số đạt cực đại điểm có hoành độ x = –1 Lời giải: ′ a) Ta có y = 3x − 6mx + Hàm số cho có cực trị y ' = có nghiệm đổi dấu qua nghiệm  m>  ⇔ y’ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > ⇔ 9m − > ⇔ m > ⇔   m < −  6 Vậy với m > ; m ... x ) −∞ y' ( 1 + ) − y −∞ + +∞ − −∞ Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến (−∞; 1) (0; 1) ; hàm số nghịch biến ( 1; 0) (1; +∞) Hàm số đạt cực đại x = 1; y = x = 1; y = Hàm số đạt cực tiểu... [ 1; 1] x2 Đạo hàm: y′ = − x − 1 x = − 2x2 1 x  → y′ = ⇔ − x = ⇔ x = ± 2 Bảng biến thiên: x 1 − − y' 2 + +1 − y −   1     Hàm số đồng biến  − ; ;1  ; hàm số nghịch biến  1; −... Cho hàm số y = x3 + mx + ( m + ) x − Tìm giá trị m để a) hàm số có cực trị 1 x1 + x1 b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1, x2 thỏa mãn + = x1 x2 c) hàm số đạt cực đại điểm có hoành độ x = d) hàm