SỬ DỤNG ÁNH XẠ TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP MÃ: TO10 Lý thuyết 1.1 Định nghĩa + Cho hai tập hợp X Y (khác rỗng) Một ánh xạ f từ X lên Y quy tắc cho tương ứng phần tử x∈X với phần tử y = f(x)∈Y + Tập X gọi tập nguồn, tập Y gọi tập đích + Ánh xạ f gọi đơn ánh với x1, x2∈X, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 (Hay với x1, x2∈X, x1 π x fi f (x ) π f (x )) + Ánh xạ f gọi toàn ánh với y∈Y, ∃x∈X cho f(x) = y + Ánh xạ f gọi song ánh f vừa đơn ánh vừa toàn ánh 1.2 Định lí Với A, B tập hợp hữu hạn Xét f ánh xạ từ A vào B • Nếu f đơn ánh |A| ≤ |B| • Nếu f toàn ánh |A| ≥ |B| • Nếu f song ánh |A| =|B| 1.3 Định lí Cho tập hợp A B có n phần tử, số lượng song ánh f: A Æ B n! BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Cho k, n số nguyên dương Tìm số nghiệm nguyên không âm phương trình : x + x + + x k = n (*) ( Bài toán chia kẹo EULER ) Lời giải Gọi A họ {x ; x ; ; x k } thoả mãn, B họ dãy nhị phân có độ dài n + k -­‐ gồm k -­‐ bit Xét ánh xạ f : A Æ (x ; x ; x ) k a B 1,1, ,1, 0,1,1, ,1, 0, , 0,1,1, ,1 1442 443 14442 4443 1442x 443 x x1 k Dễ dàng chứng minh f song ánh Vậy số nghiệm phương trình (*) tương ứng với số dãy nhị phân nhị phân có độ dài n + k -­‐ gồm k -­‐ bit n bit Mặt khác dãy nhị phân tương ứng với cách chọn k -­‐ vị trí cho bit nên số dãy nhị phân thoả mãn C nk +-­‐ 1k -­‐ Bài Có số nguyên dương có dạng abcde thỏa mãn: a £ b ... + Xét ánh xạ: f : T Æ U Hiển nhiên f song ánh Vậy T = U = C 115 Như số số thỏa mãn toán là: C115 Bài Cho A = {1; 2; ;8} Có tập X A chứa không chứa 2? Lời giải Gọi T số tập X A thỏa mãn đề Gọi... H Lời giải Ta phát biểu lại toán: Tìm tất song ánh f : A Æ A cho không tồn i để f (ai ) = , " i Œ{1;2; ; n } Ta có số song ánh f : A Æ A n ! Gọi Ai tập hợp song ánh f : A Æ A mà f (ai ) = Dễ... hai hàng cho hàng có số HS nam số HS nữ Chứng minh số cách cắt hàng thỏa mãn yêu cầu cách gấp đôi số cách cắt hàng không thỏa mãn yêu cầu toán Bài Từ số 10, 11, 12,…, 99 ta thành lập tập S tuỳ ý