BÀI TẬP Đổi biến tích phân bất định a)  cos xdx cos x  Giải  t = sinx, dt = cosxdx I = − ∫ 𝑡 −3 𝑑𝑡 = b) c) e)    x dx x 1 e ar sin x  x  1 x dx e x dx 1 ex d)  x (5x  1) 19 dx x2 dx x 1 1 f)  b) x sin x  cos3 x dx d) arcsin x   x dx f) x sin x e dx  Tích phân phần tích phân bất định a) ln xdx  3x c)  arccos e)  cos(ln x )dx x dx x 1 Tích phân hàm hữu tỷ a) 3x  2x   (x  1) (x  2) dx c) dx  x ( x  1) e) x 1  x  dx b) xdx  (x  1)(x  x  1) d) x dx  (x  1)(x  2) f) x5  x2  x  x  dx b) dx  cos4 x d) sin xdx   sin x f) dx  sh xch x Tích phân hàm lượng giác sin x dx cos x a)  c)  sin x sin 2x sin 3xdx e) dx  (sin x  4)(sin x  1) Tích phân hàm vô tỷ a) c) e)  x x x  dx x  ( x  1) ln xdx  ln x  ln x dx x  8x  dx x  x 1 b)  d) x x  4x  5dx  f)  (x dx  9) 16  x 2 Tính tích phân bất định sau a) arcsin x  x  x  x dx b) x arctan x   x dx c) ln(1  x  x )  (1  x) dx d) 2 x x  ln x  1dx  f) x x  (1  ln x )dx ) n lim   n 4n - k k 1 e)  x 1 x2 x ln 1 x2 dx Tích phân xác định a) Giới hạn tổng tích phân nk lim  2  k 1 n  k n ) ) lim  n ( 2n )! n n! ) lim  1/ n 1 k    (1  )  n  k 1 n  n b) Ước lượng so sánh tích phân 2 )  ) dx  sin x dx  1 x x )  (1  x )(1  x )dx 1 dx  )  e cos xdx ,  e x x cos xdx c) Đạo hàm hàm cận x3 x )  sin(t 1/ x )dt ) dt x ln t x ) lim  cos(t )dt x 0 x lim ) x arctan tdt  x 1 x  d) Giới hạn tích phân ne  t lim  dt  n  t x )  sin(t )dt ) 1/ x 1 e nt lim  dt   t ) lim )  n   t n dt Chứng minh đẳng thức 1/ x a) dt  x > 0, x  t cot anx tan x b) c) d) tdt  1/ e  t Hàm f lẻ  1/ e dt =1 t (1  t ) a a a -a -a  f ( x )dx = 0, hàm f chẵn  f ( x )dx =  f (x )dx  ln(cosx )dx =  f) + dt 1  t Hàm f T – tuần hoàn  a  ℝ : /4 e) = a T T a  f (x )dx =  f (x )dx /4  ln(cos(  x ))dx  suy /2   xf (sin x)dx =   f (sin x )dx /4 suy  ln(1  tan x )dx x sin x 0  cos2 x dx Đổi biến tích phân xác định  a)  dx 2/2 b) x x 1 dx 1 x  2x  c) ln  e) dx 0  cos x d) dx 1 (1  x ) e x e x 1 dx x e 3 ln(1  x ) 0  x dx f) Giải  x = tan(t), dx = (1 + x2)dt 𝜋 𝜋 𝜋 I = ∫0 ln(1 + tan(𝑡 )) 𝑑𝑡 = ∫0 ln ( 𝜋 𝜋 √2 cos( −𝑡) 𝑐𝑜𝑠𝑡 ) 𝑑𝑡 𝜋 𝜋 = ∫04 ln √2 𝑑𝑡 + ∫04 ln cos ( − 𝑡) 𝑑𝑡 - ∫04 ln cos t 𝑑𝑡 = 𝜋 𝑙𝑛2 10 Tích phân phân tích phân xác định arcsin x 0  x dx a) Giải  u = arcsinx, dv = 𝑑𝑥 √1+𝑥  𝑑𝑥 du = √1−𝑥 2, v = 2√1 + 𝑥 TPTP I  2√1+𝑥 2√1 + 𝑥 arcsinx – ∫ √1−𝑥 𝑑𝑥 e  ln b) xdx c)  x2  dx x Giải  u = √𝑥 + , dv = I = − √𝑥 + 4| 𝑥 2√3 𝑑𝑥 𝑥2 𝑥𝑑𝑥  du = √𝑥 , v = − +4 𝑥 2√3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 √𝑥 +4 + ∫0 /4 x  cos 2xdx d) /2 (  x ) arctan xdx  e) f) x e  cos xdx 11 Cho n  ℕ*, tính tích phân sau n (  x ) dx  a) Giải  (1 – x2) = ∑𝑛𝑘=0 𝐶𝑛𝑘 (−1)𝑘 𝑥 2𝑘 I = ∑𝑛𝑘=0 𝐶𝑛𝑘 (−1)𝑘 ∫0 𝑥 2𝑘 𝑑𝑥 /4 b) 2n tan xdx  Giải  tan2nx = tan2(n-1)x(1 + tan2x – 1) 𝜋 In = ∫04 tan2(𝑛−1) 𝑥 𝑑𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝐼(𝑛−1) = = 2𝑛−1 2𝑛−1 − 2𝑛−3 xn  c) − 𝐼(𝑛−1) 1 x + 𝐼(𝑛−2) = dx Giải   x = sint t = arcsinx dx = costdt, √1 − 𝑥 = cost, t(0) = 0, t(1) = 𝜋 𝜋  In = − ∫02 sinn 𝑥𝑑𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝜋 = ∫02 sinn−1 𝑥𝑑𝑥 n x x  e dx d) Giải  In = − ∫0 𝑥 𝑛 𝑑𝑒 −𝑥 = −𝑒 −1 + 𝑛 ∫0 𝑥 𝑛−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = − + 𝑛𝐼𝑛−1 𝑒  f(x) = xne-x I(x) = (anxn + + a0)e-x + C  I’(x) = (nanxn-1 + + a1)e-x - (anxn + + a0)e-x = xne-x - an = nan – an-1 = (n-1)an-1 – an-2 = 1.a1 – a0 =    cos e) n x cos nxdx f)  cos nx cos mxdx 0 12 Khảo sát tích phân suy rộng loại   2x  1 x (x  1) dx a)  c) Tính x b) dx  x  2x  dx 1 x Giải b dx 1 x  x  I= = arctanh √2 – arctanh√1+𝑏2 lim ( arctanh√12 – arctanh√1+𝑏 b   )  arctan xdx 1 x d) Giải  f(x) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥2 x2 f(x) = arctanx x  𝜋2    𝜋 K = < ,  = > : TPHT theo   e)  xe  x dx f) ln x 2 x dx Giải  𝑙𝑛𝑥 𝑥𝑘 x    (k > 0) f(x) = 𝑙𝑛𝑥 𝑥2 𝑥 2f(x) = 𝑙𝑛𝑥 𝑥2  x    K = < ,  = > : TPHT theo  g)  ln(1  x ) 1 x dx h) 2 x e  cos xdx  x dx 1  x x sin i) Giải  sin⁡( ) 𝑥 f(x) = ~  𝑥 𝑥 2+𝑥 sin( ) 𝑥 f(x) = 𝑥 sin ( )  𝑥 𝑥2 2+𝑥 x    K = < ,  = > : TPHT theo 13 Khảo sát tích phân suy rộng loại x 1 a)  x5 1 c)  2/3 g) x  b) dx 0 x  4x  d) f) 9x  1 x e 1 x dx /2 dx 1/ dx dx x (1  x ) e)  ln sin x dx x x dx x cos Giải  f(x) = 𝑥 𝑥3 cos( ) ,x0 1 𝑥 2f(x) = 𝑥 cos ( ) 𝑥 x   0  K = < ,  = < : TPHT theo TC Riemann (loại 2)  t= 𝑥  x= dx = − 𝑑𝑡 𝑡2 1 𝑡 , t(+0) = +, t(1) = 𝑑𝑡 +∞ 𝑐𝑜𝑠𝑡 I = ∫+∞ 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 (− ) = ∫1 𝑡 𝑑𝑡 𝑡3 ln(1  x ) 0 e x  dx l h) 10 Giải  ex – ~ x, 0 ln (1 + 𝑥 ) 𝑥 f(x) =  0 𝑥 ln(1+𝑥 ) ~ x2/3 𝑒 𝑥 −1 x   0 K = < ,  = < : TPHT theo TC Riemann (loại 2) i) dx 0 e x  cos x Giải  ex – cosx = x + xf(x) =  𝑥 𝑒 𝑥 −𝑐𝑜𝑠𝑥 ~x 0 x   0 K = > ,  =  : TPPK theo TC Riemann (loại 2) 14 Tính độ dài đường cong a) y2 = 27 (x – 1)3 bị chắn y2 = 2x Giải  27 (x – 1)3 = 2x  x=4 s = 2s(C) C : x = + 𝑦 ,  y  √8  b) 8y2 = x2(1 – x2) với –1  x  c) x = a(3cost – cos3t), y = a(3sint – sin3t) với  t   11 𝑎 d) x = a(t2 + 1), y = (t3 – 3t) với –1  t  e) r = 1– cos nằm đường tròn r = f) r = acos3( ) với     g) x2 = 4y, 9z2 = 16xy nằm hai mặt phẳng x = x = i) x = t – sint, y = – cost, z = 4cos( ) nằm hai giao điểm với mặt phẳng Oxz 𝜑 𝑡 15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong a) y = x2, y = x2, y = 2x c) x = 2t – t2, y = 2t2 – t3 d) x = 2cost – cos2t, y = 2sint – sin2t e) r2 = a2sin2 g) (x2 + y2)2 = a2(x2 – y2) b) y2 = 2x, y2 = 4(x – 1)3 f) h) r = √3sin, r = – cos x4 + y4 = x2 + y2 16 Tính thể tích vật thể tạo a) mặt cong x = a, 2x = z2, y = 0, 2y = x2 z = b) mặt cong 2z = x2 + 2y2 x2 + 2y2 + z2 = c) hình phẳng 2y = x2 2x + 2y – = quay quang Ox d) hình phẳng y = x, y = x + sin2x,  x   quay quang Oy e) hình phẳng x = acost, y = asin2t, y = quay quang Ox f) hình phẳng x = acos3t y = asin3t quay quang Ox g) hình phẳng r = asin2 quay quang trục cực h) hình phẳng r2 = a2cos2 quay quang trục cực 17 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo đường cong a) 4x2 + y2 = quay quanh Ox 12 b) 9y2 = 4x3 (0  x  1) quay quanh Oy c) x = 3cost – cos3t, y = 3sint – sin3t quay quanh Ox d) x = a(t – sint), y = a(1 – cost) quay quanh trục đối xứng e) r = a(1 + sin) quay quanh trục cực d) r = a2sin2 quay quanh trục cực 13 Bài giải Tích phân bất định 1) 𝑑𝑥 ∫ 1+𝑠𝑖𝑛𝑥 Giải 𝑥  t = tan( ), sinx = , dx = 2) ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 Giải  u = arctanx, dv = 3) ∫𝑥 𝑑𝑥 𝑥2  𝑑𝑥 √4+𝑥 Giải  t = √𝑥 +  x = t2 – 4, dx = , 4) ∫ (𝑥−1)(𝑥+2) 𝑑𝑥 3𝑥 +2𝑥−1 Giải  5) 3𝑥 +2𝑥−1 (𝑥−1)(𝑥+2) =3+ 𝐴 𝑥−1 + 𝐵 , 𝑥+2 𝑥 ∫ (𝑥−1)(𝑥 2+1) 𝑑𝑥 Giải 6) 𝑥−1 ∫ √1−4𝑥−𝑥 𝑑𝑥 Giải 14  – 4x – x2 = – (x + 2)2, Tích phân xác định 1) ∫0 𝑒 √𝑥+1 𝑑𝑥 Giải  t = √𝑥 +  x = t2 – 1, dx = , 2) ∫0 ln⁡(1 + √𝑥)𝑑𝑥 Giải  t = √ 𝑥  x = t2 dx = 2tdt, t(0) = 0, t(1) = 1 I = ∫0 ln⁡(1 + 𝑡)2𝑡𝑑𝑡   u = ln(1 + t), dv = 2tdt 𝑡2 I = 𝑡 ln⁡(1 + 𝑡)|10 − ∫0 1+𝑡 du = 𝑑𝑡 1+𝑡 , v = t2 𝑑𝑡 = 3) 𝜋2 𝜋 ∫0 sin( + √𝑥)𝑑𝑥 Giải  t = √𝑥  x = t2, dx = , 4) ∫0 x 2𝑥 𝑑𝑥 Giải  2x = exln2, 15 𝜋 5) ∫02 cos n 𝑥 cos𝑛𝑥𝑑𝑥 Giải 𝜋  ∫02 cos n−1 𝑥 cos⁡(𝑛 + 1)𝑥𝑑𝑥  u = cosnx, dv = cos(nx)dx, 6) ∫1 (1 + 𝑥 − 𝑥)𝑒 𝑥+ 𝑥 𝑑𝑥 Giải  ∫1 (1 + 𝑥 (1 − 𝑥 ))𝑒 I= 𝑥+ 𝑥 𝑑𝑥 2 = ∫1 𝑒 𝑥+𝑥 𝑑𝑥 + ∫1 𝑥𝑑𝑒 𝑥+𝑥 2 𝜋 7) ∫04 𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 Giải  8) 𝑒 ∫1 (𝑥𝑙𝑛𝑥 )2𝑑𝑥 Giải  9) ∫0 𝑥(2 − 𝑥 )12 𝑑𝑥 Giải 16  Tích phân suy rộng loại 1) +∞ ∫1 𝑑𝑥 (p, q > 0) 𝑥 𝑝 +𝑥 𝑞 Giải  0 0) Giải  p>1: xp f(x) = ln𝑞 𝑥 x  = K   K < ,  = p > : TP hội tụ  p < : p = – 2r x(1-r)f(x) = 𝑥𝑟 ln𝑞 𝑥 x  + = K   K > 0,  = – r < : TP phân kỳ  p=1 +) q > +∞ ∫2 𝑑𝑥 𝑥 ln𝑞 𝑥 = 1 |+∞ = 1−𝑞 ln𝑞−1 𝑥 −1 1−𝑞 ln𝑞−1 +) q  : phân kỳ 17 3) +∞ 𝑥 𝑝 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 ∫1 2+𝑥 𝑞 𝑑𝑥 (p, q > 0) Giải 𝑥 𝑝 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥  f(x) =  q–p>1  q–p1 4) ∫1 𝑥 √1+𝑥 +𝑥 10 f(x) ~ ~ 2+𝑥 𝑞 +∞ 𝜋 𝑥 𝑞−𝑝 𝑑𝑥 Giải   𝑥 = g(x) Tp g(x) ht , SR Tp f(x) 5) +∞ 𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 ∫1 (1+𝑥 2)2 Giải  x2f(x) = 𝑥 𝑙𝑛𝑥 (1+𝑥 )2 x  = K   K < ,  = > : TP ht 6) +∞ ∫0 𝑑𝑥 (1+𝑥 2)2 Giải  f(x) = (1+𝑥 )2 liên tục x  +∞ ∫0 𝑑𝑥 (1+𝑥 2)2 = ∫0 𝑑𝑥 (1+𝑥 )2 +∞ + ∫1 𝑑𝑥 (1+𝑥 )2 TP VT  x4f(x) 18 7) +∞ ln⁡(1+𝑥 ) ∫1 𝑑𝑥 𝑥2 Giải  x3/2f(x) = x2 ln⁡(1+𝑥 ) 𝑥2 x  = K   8) 𝑥2 +∞ ∫1 𝑥 −𝑥 +1 𝑑𝑥 Giải  x2f(x) = 9) ∫1 +∞ √𝑥 +2 𝑥 3√𝑥 +1 𝑑𝑥 Giải  x11/15f(x) = +∞ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 10) ∫1 2+𝑥 𝑑𝑥 Giải  x3f(x) = Tích phân suy rộng loại 1) ∫0 𝑑𝑥 (2−𝑥)√1−𝑥 Giải  f(x) = (2−𝑥)√1−𝑥 liên tục [0, 1) Chọn g(x) = (1−𝑥)2 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 2−𝑥 x  = K 1 19 K < , Tp g(x) hội tụ, suy TP f(x) hội tụ √𝑥 ∫0 2) 𝑒 𝑥 −1 𝑑𝑥 Giải  f(x) = √𝑥 𝑒 𝑥 −1 Chọn g(x) = liên tục (0, 1] 1 𝑥5 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) x  = K 1 K < , TP g(x) hội tụ, suy TP f(x) hội tụ 3) ln(1+ √𝑥 ) 𝑑𝑥 ∫0 𝑥 Giải  f(x) = ln(1+ √𝑥 ) 𝑥 Chọn g(x) = liên tục (0, 1] 1 𝑥3 4) ∫0 𝑑𝑥 ln⁡(𝑥+1) Giải  f(x) = ln(𝑥+1) Chọn g(x) = liên tục (0, 1] 𝑥 5) ∫0 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 Giải 20 Ứng dụng hình học 21 [...]... = 1 – r < 1 : TP phân kỳ  p =1 +) q > 1 +∞ ∫2 𝑑𝑥 𝑥 ln𝑞 𝑥 = 1 1 |+∞ = 1 𝑞 ln𝑞 1 𝑥 2 1 1 1 𝑞 ln𝑞 1 2 +) q  1 : phân kỳ 17 3) +∞ 𝑥 𝑝 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 1 2+𝑥 𝑞 𝑑𝑥 (p, q > 0) Giải 𝑥 𝑝 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥  f(x) =  q–p >1  q–p 1 4) 1 𝑥 1+ 𝑥 5 +𝑥 10 f(x) ~ ~ 2+𝑥 𝑞 +∞ 𝜋 1 2 𝑥 𝑞−𝑝 𝑑𝑥 Giải  1 6  𝑥 = g(x) Tp g(x) ht , SR Tp f(x) 5) +∞ 𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 1 (1+ 𝑥 2)2 Giải  x2f(x) = 𝑥 3 𝑙𝑛𝑥 (1+ 𝑥 2 )2 x  0 = K   K < ,  = 2 > 1. .. 𝑑𝑥 (1+ 𝑥 2)2 Giải  1 f(x) = (1+ 𝑥 2 )2 liên tục x  0 +∞ ∫0 𝑑𝑥 (1+ 𝑥 2)2 1 = ∫0 𝑑𝑥 (1+ 𝑥 2 )2 +∞ + 1 𝑑𝑥 (1+ 𝑥 2 )2 TP VT  x4f(x) 18 7) +∞ ln⁡ (1+ 𝑥 3 ) 1 𝑑𝑥 𝑥2 Giải 3  x3/2f(x) = x2 ln⁡ (1+ 𝑥 3 ) 𝑥2 x  0 = K   8) 𝑥2 +∞ 1 𝑥 4 −𝑥 2 +1 𝑑𝑥 Giải  x2f(x) = 9) 1 5 +∞ √𝑥 3 +2 𝑥 3√𝑥 +1 𝑑𝑥 Giải  x 11/ 15f(x) = +∞ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 10 ) 1 2+𝑥 3 𝑑𝑥 Giải  x3f(x) = 4 Tích phân suy rộng loại 2 1) 1 ∫0 𝑑𝑥 (2−𝑥) 1 𝑥... t (1) = 1 1 I = ∫0 ln⁡ (1 + 𝑡)2𝑡𝑑𝑡   u = ln (1 + t), dv = 2tdt 1 𝑡2 I = 𝑡 2 ln⁡ (1 + 𝑡) |10 − ∫0 1+ 𝑡 du = 𝑑𝑡 1+ 𝑡 , v = t2 𝑑𝑡 = 3) 𝜋2 𝜋 ∫0 sin( 4 + √𝑥)𝑑𝑥 Giải  t = √𝑥  x = t2, dx = , 4) ∫0 x 2 2𝑥 𝑑𝑥 1 Giải  2x = exln2, 15 𝜋 5) ∫02 cos n 𝑥 cos𝑛𝑥𝑑𝑥 Giải 𝜋  ∫02 cos n 1 𝑥 cos⁡(𝑛 + 1) 𝑥𝑑𝑥  u = cosnx, dv = cos(nx)dx, 6) 1 (1 + 𝑥 − 𝑥)𝑒 2 1 𝑥+ 1 𝑥 𝑑𝑥 2 Giải  2 1 1 (1 + 𝑥 (1 − 𝑥 2 ))𝑒 I= 𝑥+ 1 𝑥 𝑑𝑥 2 2 1. .. 1 2 1 = 1 𝑒 𝑥+𝑥 𝑑𝑥 + 1 𝑥𝑑𝑒 𝑥+𝑥 2 2 𝜋 7) ∫04 𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 Giải  8) 𝑒 1 (𝑥𝑙𝑛𝑥 )2𝑑𝑥 Giải  9) 1 ∫0 𝑥(2 − 𝑥 )12 𝑑𝑥 Giải 16  3 Tích phân suy rộng loại 1 1) +∞ 1 𝑑𝑥 (p, q > 0) 𝑥 𝑝 +𝑥 𝑞 Giải  0 0) Giải  p >1: xp f(x) = 1 ln𝑞 𝑥 x  0 = K   K < ,  = p > 1 : TP hội tụ  p < 1 : p = 1 – 2r x (1- r)f(x)... = 2) ∫ 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 Giải  u = arctanx, dv = 3) ∫𝑥 𝑑𝑥 𝑥2  𝑑𝑥 √4+𝑥 Giải  t = √𝑥 + 4  x = t2 – 4, dx = , 4) ∫ (𝑥 1) (𝑥+2) 𝑑𝑥 3𝑥 2 +2𝑥 1 Giải  5) 3𝑥 2 +2𝑥 1 (𝑥 1) (𝑥+2) =3+ 𝐴 𝑥 1 + 𝐵 , 𝑥+2 𝑥 ∫ (𝑥 1) (𝑥 2 +1) 𝑑𝑥 Giải 6) 𝑥 1 ∫ 1 4𝑥−𝑥 2 𝑑𝑥 Giải 14  1 – 4x – x2 = 5 – (x + 2)2, 2 Tích phân xác định 1) 3 ∫0 𝑒 √𝑥 +1 𝑑𝑥 Giải  t = √𝑥 + 1  x = t2 – 1, dx = , 2) ∫0 ln⁡ (1 + √𝑥)𝑑𝑥 1 Giải  t = √ 𝑥  x = t2... (2−𝑥) 1 𝑥 Giải  f(x) = 1 (2−𝑥) 1 𝑥 liên tục [0, 1) 1 Chọn g(x) = 1 (1 𝑥)2 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 1 2−𝑥 x  1 = K 1 0 19 K < , Tp g(x) hội tụ, suy ra TP f(x) hội tụ 5 1 √𝑥 4 ∫0 2) 𝑒 𝑥 1 𝑑𝑥 Giải 5  f(x) = √𝑥 4 𝑒 𝑥 1 Chọn g(x) = liên tục (0, 1] 1 1 𝑥5 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) x  1 = K 1 0 K < , TP g(x) hội tụ, suy ra TP f(x) hội tụ 3 3) 2 1 ln (1+ √𝑥 ) 𝑑𝑥 ∫0 𝑥 Giải 3  f(x) = ln (1+ √𝑥 2 ) 𝑥 Chọn g(x) = liên tục (0, 1] .. .Giải  ex – 1 ~ x, 0 2 ln (1 + 𝑥 3 ) 1 𝑥 f(x) =  0 2 𝑥 3 ln (1+ 𝑥 3 ) 1 3 ~ x2/3 𝑒 𝑥 1 x  1  0 1 K = 1 < ,  = < 1 : TPHT theo TC Riemann (loại 2) 3 1 i) dx 0 e x  cos x Giải  ex – cosx = x + xf(x) =  𝑥 𝑒 𝑥 −𝑐𝑜𝑠𝑥 ~x 0 x  1  0 K = 1 > ,  = 1  1 : TPPK theo TC Riemann (loại 2) 14 Tính độ dài của đường cong a) y2 = 8 27 (x – 1) 3 bị chắn bởi y2 = 2x Giải  8 27 (x – 1) 3 =... quay quang trục cực 17 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường cong a) 4x2 + y2 = 4 quay quanh Ox 12 b) 9y2 = 4x3 (0  x  1) quay quanh Oy c) x = 3cost – cos3t, y = 3sint – sin3t quay quanh Ox d) x = a(t – sint), y = a (1 – cost) quay quanh trục đối xứng e) r = a (1 + sin) quay quanh trục cực d) r = a2sin2 quay quanh trục cực 13 Bài giải 1 Tích phân bất định 1) 𝑑𝑥 ∫ 1+ 𝑠𝑖𝑛𝑥 Giải 𝑥  t = tan( ),... 1) 3 = 2x  x=4 s = 2s(C) 3 2 C : x = 1 + 𝑦 3 , 0  y  √8 2  b) 8y2 = x2 (1 – x2) với 1  x  1 c) x = a(3cost – cos3t), y = a(3sint – sin3t) với 0  t   2 11 𝑎 d) x = a(t2 + 1) , y = (t3 – 3t) với 1  t  1 e) r = 1 cos nằm trong đường tròn r = 1 f) r = acos3( ) với 0     g) x2 = 4y, 9z2 = 16 xy nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 4 i) x = t – sint, y = 1 – cost, z = 4cos( ) nằm giữa hai giao... 1 0 K < , TP g(x) hội tụ, suy ra TP f(x) hội tụ 3 3) 2 1 ln (1+ √𝑥 ) 𝑑𝑥 ∫0 𝑥 Giải 3  f(x) = ln (1+ √𝑥 2 ) 𝑥 Chọn g(x) = liên tục (0, 1] 1 1 𝑥3 4) 1 ∫0 𝑑𝑥 ln⁡(𝑥 +1) Giải  f(x) = 1 ln(𝑥 +1) Chọn g(x) = liên tục (0, 1] 1 𝑥 5) 1 ∫0 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 Giải 20 5 Ứng dụng hình học 21 ...