Thầy AN- 0935.921.949 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH KHẢO SÁT HÀM SỐ Vấn đề 1: ƠN TẬP – CƠNG THỨC III Đạo hàm: I Tam thức bậc hai:  a  b   c     x   , ax  bx  c    a      BẢNG ĐẠO HÀM  a  b   c     x   , ax  bx  c    a      (ku) '  k.u ' (x  ) '  .x 1 (u  ) '  .u '.u ( x)'  ' u' 1    u u (sin x) '  cos x (sin u) '  u '.cos u (cos x) '   sin x (cos u) '  u '.sin u (cot x) '  cos x 1 sin x (ex ) '  ex a      (ln x) '  (cot u) '  (ln u) '  x ln a (a x ) '  a x ln a  Pt có nghiệm phân biệt dương     P  S    Pt có nghiệm phân biệt âm     P  S   II Đa thức bậc ba:  Cho phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = Giả sử phương trình có nghiệm x1; x ; x thì: b c S  x1  x  x   ; x1.x  x x  x x1   ; a a d P  x1.x x a (tan u) '  u' cos u u ' sin u (eu ) '  u '.eu x  log a x  '   Pt có nghiệm trái dấu  P     Pt có nghiệm dấu   P  1    x x (tan x) '  a   Pt có nghiệm kép     1 u ' b c S  x1  x   ; P  x1.x  a a a   Pt có nghiệm phân biệt      u' ( u)'  x  Cho phương trình : ax2 + bx + c = Giả sử phương trình có nghiệm x1 ; x thì: a    Pt vơ nghiệm  b  c   (kx) '  k u' u  loga u  '  u' u ln a (a u ) '  u '.a u ln a Quy tắc tính đạo hàm (u  v) = u  v (uv) = uv + vu  u  uv  vu (v  0)    v2 v yx  yu.ux Đạo hàm số hàm thơng dụng y  ax  b ad  bc  y'  cx  d  cx  d  y  ax  bx  c adx  2aex  be  cd  y'  dx  e  dx  e  Trang Thầy AN- 0935.921.949 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Vấn đề 2: CÁC BƢỚC KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bƣớc khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số  Tìm tập xác định hàm số  Xét biến thiên hàm số: o Tính y Tìm điểm đạo hàm y khơng xác định,xét tính ĐB,NB y‟ = vơ nghiệm  D‟ = b2 – 3ac < a>0 a0 a  Các dạng đồ thị: y‟ = có nghiệm phân biệt  D‟ = b2 – 3ac > a>0 a>0 a II Vị trí tƣơng đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu 2 (S):  x  a    x  b    x  c   R tâm I(a; b;c) bán kính R mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D =  Nếu d(I,(P)) > R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) khơng có điểm chung  Nếu d(I,(P)) = R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) tiếp xúc Khi (P) gọi tiếp diện mặt cầu (S) điểm chung gọi tiếp điểm  Nếu d(I,(P)) < R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) cắt theo giao tuyến đường tròn có phương trình: 2 2   x  a    y  b    z  c   R   Ax  By  Cz  D  Trong bán kính đường tròn r  R  d(I, (P)) tâm H đường tròn hình chiếu tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P) 2  R2 Dạng 2: Viết phƣơng trình mặt cầu đƣờng kính AB  Gọi I trung điểm AB Tính toạ độ I  I tâm mặt cầu  Bán kính R  AB  Viết phương trình mặt cầu Dạng 3: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) tiếp xúc với    : Ax + By + Cz + D =  Mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với    Nên có bán kính Ax I  By I  Cz I  D  R  d  I,      A  B2  C  Viết phương trình mặt cầu Dạng 4: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD  Phương trình mặt cầu (S) có dạng x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By +2Cz + D =  A, B, C, D thuộc (S) Ta có hệ phương trình  Giải hệ phương trình tìm A, B, C, D  Kết luận Trang 39 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Dạng 5: Lập phƣơng trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng Oxy  Gọi I(xI ; yI ; 0) tâm mặt cầu, I   Oxy      Ta có AI2 = BI2 = CI2 AI  BI Ta có hệ phương trình  2 AI  CI Giải hệ phương trình  tâm I  IA = R Kết luận Vấn đề 5: Các dạng tốn tam giác Trong khơng gian Oxyz cho tam giác ABC biết điểm C(a;b;c) hai đường thẳng cắt d1 , d khơng qua C có phương trình tham số : x  x  a t  x  x1  a t   d1 :  y  y1  b1t1 d :  y  y  b t z  z  c t z  z  c t 1 2   Hãy tìm tọa độ đỉnh A, B trường hợp :  d1 , d hai đường cao tam giác  d1 , d hai đường trung tuyến tam giác  d1 , d hai đường phân giác góc A , B  d1 đường cao, d trung tuyến tam giác  d1 đường cao, d phân giác tam giác  d1 trung tuyến, d phân giác tam giác  Phƣơng pháp: Tương tự hình học phẳng Chú ý: Hình học giải tích khơng gian đề thi đại học thường tập trung vào dạng tốn thường gặp phương trình đường thẳng, dạng tốn khoảng cách, điểm đối xứng nên học sinh cần nắm kĩ (vì hình học giải tích Oxy đề thi khai thác yếu tố tam giác) Thầy AN- 0935.921.949 phẳng, hai đường thẳng, góc hai mặt phẳng, đường thẳng mặt phẳng, hai đường thẳng… Vì giải tốn túy hình học đưa tốn hình học giải tích ta xây dựng hệ trục Oxyz hợp lý Nhận xét: - Ƣu: Giải tốn đơn tính tốn, khơng suy nghĩ nhiều - Khuyết: Khơng thấy hay hình học túy, tính tốn phải cẩn thận Một số cách chọn hệ trục Oxyz thƣờng dùng: Với hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' Với hình hộp đáy hình thoi ABCD.A'B'C'D' Với hình chóp tứ giác S.ABCD Với hình chóp tam giác S.ABC Với hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật SA  (ABCD) Với hình chóp S.ABC có ABCD hình thoi SA  (ABCD) Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC)  ABC vng A Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC)  ABC vng B Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân S  ABC vng C 10 Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân S  ABC vng A 11 Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân S  ABC vng cân C Vấn đề 6: Ứng dụng hình học giải tích giải hình học Cơ sở lý luận: Như ta biết với cơng cụ giải tích ta tính diện tích đa giác, thể tích khối đa diện, khoảng cách hai mặt Trang 40 Thầy AN- 0935.921.949 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH SỐ PHỨC Vấn đề 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT I Khái niệm số phức  Tập hợp số phức: C  Số phức (dạng đại số) : z  a  bi (a, b  R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i2 = –1)  z số thực  phần ảo z (b = 0)  z ảo  phần thực z (a = 0)  Số vừa số thực vừa số ảo  Hai số phức nhau: a  a ' a  bi  a ' b 'i   (a, b, a ', b '  R) b  b ' Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b  R) biểu diễn điểm M(a; b) hay  u  (a; b) mp(Oxy) (mp phức) Một cách tổng qt: Chọn trước hệ trục Oxy nằm mặt phẳng đáy dựa tính chất vng góc (O nằm góc vng) Sau dựng tia Oz vng góc với Oxy O Cộng trừ số phức:      a  bi    a ' b'i    a  a '   b  b' i  a  bi    a ' b'i    a  a '   b  b' i Số đối z = a + bi –z = –a – bi   u biểu diễn z, u ' biểu diễn z'     u  u ' biểu diễn z + z‟ u  u ' biểu diễn z – z‟ Nhân hai số phức:   a  bi  a ' b'i    aa ' bb'    ab' ba '  i  k(a  bi)  ka  kbi (k  R) Số phức liên hợp số phức z = a + bi z  a  bi  Trang 41 z  z ; z  z'  z  z'; Thầy AN- 0935.921.949 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH  z  z z.z '  z.z ';     z  z2  z.z  a  b2  z số thực  z  z ; z số ảo  z   z Mơđun số phức: z = a + bi   z  a  b2  zz  OM  z  0, z  C , z 0z0   r  a  b  a  giác z = a + bi (z  0)  cos   r  b  sin   r   acgumen z,   (Ox,OM)  z   z  cos   isin  ( R) z.z '  z z ' z z   z' z' z  z'  z  z'  z  z'  Chia hai số phức:  z 1  z (z  0) z z' z '.z z '.z   z 'z 1   z z.z z z'   w  z '  wz z Căn bậc hai số phức:  z  x  yi bậc hai số phức  11 Nhân, chia số phức dƣới dạng lƣợng giác: z  r(cos   isin ) , z '  r '(cos  ' isin  ') z.z '  rr '.cos(   ')  isin(   ') z r   cos(   ')  i sin(   ') z' r' 12 Cơng thức Moa–vrơ:   10 Dạng lƣợng giác số phức: r(cos   isin )n  r n (cos n  isin n) , ( n  N* )  x  y2  a w  a  bi  z  w    2xy  b  w = có bậc hai z =  w  có hai bậc hai đối  Hai bậc hai a >  a  Hai bậc hai a <  a.i Phƣơng trình bậc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A  )   B2  4AC    : (*) có hai nghiệm phân biệt B   , (  bậc hai ) z1,2  2A    : (*) có nghiệm kép: B z1  z   2A Chú ý: Nếu z0  C nghiệm (*) z0 nghiệm (*) z  r(cos   isin ) (r > 0) dạng lương  cos   i sin n  cos n  i sin n 13 Căn bậc hai số phức dƣới dạng lƣợng giác:  Số phức z  r(cos   isin ) (r > 0) có hai bậc hai là:       r  cos  i sin   r  cos  i sin   2  2       r cos      i sin       2   2  Mở rộng: Số phức z  r(cos   isin ) (r > 0) có n bậc n là:   k2   k2  n  r  cos  i sin  , k  0,1, , n   n n  Vấn đề 2: CÁC DẠNG TỐN I Thực phép tốn cộng trừ, nhân chia số phức  Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, bậc hai số phức  Chú ý tính chất giao hốn, kết hợp phép tốn cộng nhân II Giải phƣơng trình - hệ phƣơng trình số phức: - Giả sử z = x + yi Giải phương trình ẩn z tìm x, y thoả mãn phương trình - Giải phương trình bậc hai tập số phức, kết hợp với định lý Vi-et Trang 42 Thầy AN- 0935.921.949 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH - Chú ý: độ lớn số phức khơng phải trị tuyệt đối (trị tuyệt đối trường hợp riêng độ lớn định nghĩa trục số thực) III Tập hợp điểm - Giả sử số phức z = x + yi biểu diển điểm M(x; y) Tìm tập hợp điểm M tìm hệ thức x y - Chú ý: Các dạng phương trình đường thẳng, đường tròn, conic IV Dạng lƣợng giác - Áp dụng cơng thức nêu Chú ý: Việc kết hợp khai triển nhị thức Newton tập số phức để chứng minh đẳng thức hay sử dụng ĐẠI SỐ TỔ HỢP – XÁC SUẤT Vấn đề 1: HỐN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP V Quy tắc đếm, cộng nhân: Quy tắc đếm: a Quy tắc: Với điều kiện khoảng cách số (cách đều), ta có: số số  số lớn  số nhỏ 1 khoảng cách số liền kề b Các dấu hiệu chia hết:  Chia hết cho 2: số có chữ số tận 0, 2, 4, 6,  Chia hết cho 3: số có tổng chữ số chia hết cho  Chia hết cho 4: số có chữ số tận lập thành số chia hết cho  Chia hết cho 5: số có chữ số tận 0,  Chia hết cho 6: số chia hết cho  Chia hết cho 8: số có chữ số tận lập thành số chia hết cho  Chia hết cho 9: số có tổng chữ số chia hết cho  Chia hết cho 10: số có chữ số tận  Chia hết cho 11: số có hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn chia hết cho 11 (VD: 1345729 (1+4+7+9) – (3+5+2) = 11)  Chia hết cho 25: số có chữ số tận 00, 25, 50, 75 Quy tắc cộng: 1) Nếu q trình (bài tốn) thực hai cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ cho m kết cách thứ hai cho n kết Khi việc thực q trình cho m + n kết 2) Nếu q trình (bài tốn) thực k cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ cho m1 kết quả, cách thứ hai cho m2 kết quả, …, cách thứ k cho mk kết Khi việc thực q trình cho m1 + m2 + … + mk kết Quy tắc nhân: Trang 43 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH 1) Nếu q trình (bài tốn) thực theo hai giai đoạn (bước) liên tiếp cho có m cách thực giai đoạn thứ nhất, đồng thời ứng với cách có n cách để thực giai đoạn thứ hai Khi có mn cách thực q trình 2) Nếu q trình (bài tốn) thực theo k giai đoạn (bước) liên tiếp cho có m1 cách thực giai đoạn thứ nhất, với cách có m2 cách để thực giai đoạn thứ hai, …, có mk cách thực giai đoạn thứ k Khi đó, tồn q trình có m1.m2…mk cách thực VI Hốn vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp: Hốn vị: Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt  n   Mỗi cách xếp n phần tử X theo thứ tự gọi hốn vị n phần tử Số hốn vị n phần tử ký hiệu Pn Pn = n! = 1.2…n Chỉnh hợp: Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt  n   Mỗi cách chọn k   k  n  phần tử X xếp theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Số chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiệu A kn A kn  n! (n  k)! Tổ hợp: Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt  n   Mỗi cách chọn k   k  n  phần tử X gọi tổ hợp chập k n phần tử Số tổ hợp chập k n phần tử ký hiệu C kn Ckn  n! k!(n  k)! Nhận xét: 1) Điều kiện để xảy hốn vị, chỉnh hợp tổ hợp n phần tử phải phân biệt 2) Chỉnh hợp tổ hợp khác chỗ sau chọn k n phần tử chỉnh hợp có thứ tự tổ hợp khơng Thầy AN- 0935.921.949 VII Phƣơng pháp giải tốn đếm: Phƣơng pháp Bƣớc Đọc kỹ u cầu số liệu đề Phân tốn trường hợp, trường hợp lại phân thành giai đoạn Bƣớc Tùy giai đoạn cụ thể giả thiết tốn để sử dụng quy tắc cộng, nhân, hốn vị, chỉnh hợp hay tổ hợp Bƣớc Đáp án tổng kết trường hợp Phƣơng pháp Đối với nhiều tốn, phương pháp dài Do ta sử dụng phương pháp loại trừ (phần bù) theo phép tốn A  A  X  A  X \ A Bƣớc 1: Chia u cầu đề thành phần u cầu chung X (tổng qt) gọi loại u cầu riêng A Xét A phủ định A, nghĩa khơng thỏa u cầu riêng gọi loại Bƣớc 2: Tính số cách chọn loại loại Bƣớc 3: Đáp án số cách chọn loại trừ số cách chọn loại Chú ý: 1) Cách phân loại loại có tính tương đối, phụ thuộc vào chủ quan người giải 2) Giải phương pháp phần bù có ưu điểm ngắn nhiên nhược điểm thường sai sót tính số lượng loại 3*) Thường ta xử lý điều kiện trước, đơn giản điều kiện giải tốn VIII Phƣơng pháp phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ đại số tổ hợp: Bƣớc 1: Đặt điều kiện cho tốn - Px có điều kiện x   - A kn , C kn có điều kiện k,n    k  n Bƣớc 2: Áp dụng cơng thức tính để đưa tốn phương trình, hệ phương trình quen thuộc Bƣớc 3: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình so điều kiện chọn nghiệm Chú ý: Do tính đặc biệc nghiệm số tự nhiên nên đơi số ta phải nhẩm nghiệm, bất phương trình đơi ta cần liệt kê nghiệm Trang 44 Thầy AN- 0935.921.949 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH  Vấn đề 2: NHỊ THỨC NEWTON I Định nghĩa: Nhị thức Newton khai triển tổng lũy thừa có dạng: a  b n C a n k 1.2C  2.3C3n x  3.4C4n x   (n 1)nCnn x n 2  n(n  1)(1  x)n 2   n b   C b   Ckn a n k bk k n n n k 0 1) Ckn  Cnn k (0  k  n) 2) Ckn  Ckn 1  Ckn 1 (1  k  n) II Phƣơng pháp giải tốn: Dạng khai triển:  Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp lũy thừa – xen kẽ Khai triển  a  b   a  b  n  C0n  C1n x  C2n x   Ckn x k   Cnn x n   Đạo hàm vế (1) Thay số thích hợp vào (1) sau đạo hàm b Đạo hàm cấp 2:  Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp lũy thừa tăng (giảm) dần từ 1.2 đến (n–1).n tăng (giảm) dần từ 12 đến n2  Xét khai triển (1): 1  x   n n 1 n  C  C x  C x   C x n n n n 1 1  x  n  C0n  C1n x  C2n x   Cnn 1x n 1  Cnn x n  Lấy tích phân vế (1) từ a đến b ta được: b C x n n Đạo hàm vế (1) ta (2): C1n  2C2n x  3C3n x   nCnn x n 1  n 1  x  n 1 b b b a a a n n  1  x  dx  Cn  dx  Cn  xdx   Cn  x dx n a  Cộng trừ hai vế khai triển Dạng đạo hàm: a Đạo hàm cấp 1:  Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp lũy thừa tăng dần từ đến n (hoặc giảm dần từ n đến 1)  Xét khai triển (1): n Đạo hàm vế (4) ta (5): n Dạng tích phân:  Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp (và lũy thừa) phân số giảm 1 dần từ đến tăng dần từ n 1 n 1 đến  Xét khai triển (1):  Các hệ số C tính theo cơng thức tổ hợp chập dựa vào tam giác Pascal sau: Tính chất 1  x   n(1  nx)(1  x)n 2 k n n n 1 C  22 C2n x  32 C3n x   n 2Cnn x n 1  Số hạng thứ k+1 Tk 1  Ckn a n k bk thường gọi số hạng tổng qt  Nhân x vào vế (2) ta (4): C1n x  2C2n x  3C3n x   nCnn x n  nx 1  x   C0n a n  C1n a n 1b  Cn2 a n 2 b  k n Tiếp tục đạo hàm vế (2) ta (3): n 1  x   n 1 b n 1 b b x x2 x n 1 C  C1n   Cnn 1a a n 1 a b n a b  a b2  a b n 1  a n 1 n  Cn  Cn   Cn n 1 (1  b)n 1  (1  a) n 1  n 1 Chú ý: Trong thực hành, ta dễ dàng nhận biết giá trị n Để nhận biết cận a b ta nhìn vào b n 1  a n 1 n Cn số hạng n 1 Tìm số hạng khai triển nhị thức Newtơn: a Dạng tìm số hạng thứ k:  Số hạng thứ k khai triển (a  b)n Ckn 1a n (k 1) bk 1 b Dạng tìm số hạng chứa xm: n  Số hạng tổng qt khai triển (a  b)n Ckn a n k bk  M(k).x f (k) (a, b chứa x) Trang 45 Thầy AN- 0935.921.949 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH  Giải phương trình f (k)  m  k , số hạng cần tìm Ckn0 a n k0 bk0 hệ số số hạng chứa xm M(k0) Chú ý: Số hạng khơng chứa x m = c Dạng tìm số hạng hữu tỉ:  Số hạng tổng qt khai triển (a  b)n k n k n C a m p r q b  C   ( ,  hữu tỉ) k k n  m  p   Giải hệ  (k  ,  k  n)  k  r   q  Số hạng cần tìm Ckn0 a n k0 bk0 d Dạng tìm hệ số lớn khai triển Newton:  Xét khai triển (a  bx)n có số hạng tổng qt Ckn a n k bk x k  Đặt u k  Cnk a n k bk ,  k  n ta có dãy hệ số u k   Để tìm số hạng lớn dãy ta giải hệ u k  u k 1  k0 bất phương trình  u k  u k 1  Hệ số lớn Ckn0 a n k0 bk0 P( A)  Vấn đề 3: XÁC XUẤT I a Khái niệm: Cho phép thử T - Biến cố A liên quan đến phép thử T kiện mà việc xảy hay khơng xảy A phụ thuộc vào kết phép thử T - Mỗi kết phép thử T làm cho A xảy gọi kết thuận lợi cho A Tập hợp kết thuận lợi cho A kí hiệu : A Khi ta nói biến cố A mơ tả tập A b Chú ý: - Biến cố phép thử ta hay kí hiệu : A , B , C , D … A1 , A2 , … - Ta ln có : A   - Biến cố chắn biến cố ln xảy thực phép thử T Biến cố chắn mơ tả tập  khơng gian mẫu phép thử T - Biến cố khơng thể biến cố khơng xảy thực phép thử T Biến cố khơng thể mơ tả tập rỗng  II Xác suất biến cố Định nghĩa: - Cho phép thử T với khơng gian mẫu  tập hữu hạn phần tử kết phép thử T đồng khả - Gọi A biến cố liên quan đến phép thử T A tập hợp kết thuận lợi cho A - Khi xác suất A số , kí hiệu P(A) , xác định cơng thức : Phép thử ngẫu nhiên khơng gian mẫu Phép thử ngẫu nhiên: a Khái niệm: Phép thử ngẫu nhiên (phép thử ) thí nghiệm hay hành động mà: - Kết khơng đốn trước - Có thể xác định tập hợp kết sảy phép thử b Kí hiệu: Phép thử ngẫu nhiên hay kí hiệu : T Khơng gian mẫu phép thử: a Khái niệm : Tập hợp tất kết xảy phép phép thử gọi khơng gian mẫu phép thử b Kí hiệu Khơng gian mẫu kí hiệu :  Biến cố phép thử: A  Trong + A số phần tử A +  số phần tử  Vậy để tính xác suất biến cố A phép thử T ta làm theo bƣớc sau : - Xác định khơng gian mẫu  đếm số phần tử (số kết xảy phép thử T ) - Xác định số kết thuận lợi cho A ( số phần tử A) - Áp dụng cơng thức Chú ý:   P(A)   P() = , P() =  Xác suất số dương nhỏ 1, xác suất biến cố chắn 1, xác suất biến cố khơng thể III Biến cố đối Trang 46 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Định nghĩa Cho A biến cố Khi biến cố “ khơng xảy A ”, kí hiệu A , gọi biến cố đối A Nhận xét:  Gọi  khơng gian mẫu  Gọi A tập kết thuận lợi cho A Khi tập kết thuận lợi cho A : A =  \ A IV Quy tắc cộng xác suất: Biến cố hợp: Cho hai biến cố A B Biến cố “A B xảy ra” gọi biến cố hợp hai biến cố A B, kí hiệu A  B Biến cố xung khắc: Cho hai biến cố A B Hai biến cố A B gọi xung khắc biến cố xảy biến cố khơng xảy Quy tắc cộng xác suất: Nếu A B hai biến cố xung khắc, thì: P  A  B  P  A   P  B  V Quy tắc nhân xác suất Biến cố giao Cho hai biến cố A B Biến cố “Cả A B xảy ra” gọi biến cố giao hai biến cố A B kí hiệu : AB Vậy AB biến cố: “Cả A B xảy ra” Hai biến cố độc lập a Khái niệm: Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay khơng xảy biến cố khơng làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố b Nhận xét: Nếu hai biến cố A B độc lập với A B ; A B; A B độc lập với Quy tắc nhân xác xuất  Nếu A B hai biến cố độc lập với : P(AB) = P(A).P(B)  Nếu A1 ; A2 ; A3 ba biến cố đơi độc lập với : P(A1 A2 A3) = P(A1).P(A2).P(A3) Chú ý: Học kĩ cơng thức kết hợp phương pháp đếm phần đại số tổ hợp Thầy AN- 0935.921.949 BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ Dạng tốn dạng tốn khó thường nằm câu V đề thi đại học Ở xin nêu ngắn gọn phương pháp Bạn xem kĩ “Chun đề bất đẳng thức – cực trị” Vấn đề 1: Các tính chất  a, b  R có ba quan hệ: a > b, a = b, a < b  a, b, c  R mà a > b, b > c a > c  a, b  R mà a > b a + c > b + c Nếu a > b c > d a + c > b + d ( Khơng trừ hai bất đẳng thức) Nếu a > b c > ac > bc ( c < ac < bc) Nếu a > b > c > d > ac > bd > Nếu a > b > < a n  b n  n 1  a b a  n b  A  Vấn đề 2: Bất đẳng thức Cauchy I Phát biểu:  Cho số a, b khơng âm: a + b  ab hay a2 + b2  2ab Dấu „=‟ xảy a = b  Cho số a, b, c khơng âm: a + b + c  3 abc Dấu „=‟ xảy a = b = c  Tổng qt: Cho n số x1, x2, x3, …, xn khơng âm: (trung bình cộng lớn trung bình nhân) x1  x  x   x n n  x1x x x n n Dấu xảy x1 = x2 = x3 = …= xn II Một số lƣu ý: Khi áp dụng phương pháp lại “tọa độ điểm rơi” phải ln đảm bảo Nếu đề u cầu: Cho a, b, c > Chứng minh ta xét miền a  b  c  , (do bất đẳng thức với (a, b,c) với (ta, tb, tc)) Cố gắng chọn miền hợp lý để tốn đơn giản Trang 47 Thầy AN- 0935.921.949        a  b  a  b Đẳng thức xảy a,b LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Vấn đề 3: Bất đẳng thức B.C.S I Phát biểu:  Cho cặp số: hướng    a1.b1  a b2  (a12  a 22 )(b12  b22 ) Dấu „=‟ xảy (Nếu bỏ dấu a1 a  b1 b cần thêm điều kiện  0)  Cho cặp số: a1.b1  a b2  a 3b3  (a12  a 22  a 32 )(b12  b22  b32 ) Dấu „=‟ xảy (Nếu bỏ dấu a1 a a   b1 b b3  Cho n cặp số: a1.b1   a n bn  (a   a )(b   b ) Dấu „=‟ xảy (Nếu bỏ dấu n 2 n a1 a a    n b1 b bn cần thêm điều kiện  0) Dấu “=” xảy a1 a a    n b1 b bn II Một số lƣu ý: Dùng nhập tổng bình phương thành Hệ B.C.S cho phép gộp mẫu Chú ý: kĩ thuật thêm bớt Vấn đề 4: Bất đẳng thức Vectơ I Phát biểu: Sử dụng quy tắc ba điểm bất đẳng thức tam giác, ý trường hợp bất đẳng thức trở thành đẳng thức Các bất đẳng thức:        a b  a.b Đẳng thức xảy a,b phương        a  b  a  b Đẳng thức xảy a,b hướng Bài tốn: Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện G(x, y)  (hoặc G(x, y)  0;G(x, y)  ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) P  F(x, y) Cách giải: Đặt F(x,y) = m Ta có hệ: Hệ quả: Cho số khơng âm: a12 a 22 a  a  a   a n     n  b1 b bn b1  b   bn II Một số lƣu ý: Chọn điểm có tọa độ thích hợp Thường dùng để đưa nhiều thức bậc hai thức bậc hai Vấn đề 5: Dùng điều kiện có nghiệm hệ tìm max, cần thêm điều kiện  0)     a1  a   a n  a1  a   a n Đẳng    thức xảy a1 ,a1 , ,a n hướng   Trong Oxy : a  (a1 ,a );b  (b1 , b2 )   Trong Oxyz : a  (a1 ,a ;a );b  (b1, b2 ;b3 ) G(x, y)  G(x, y)  G(x, y)  (  ;  F(x, y)  m F(x, y)  m F(x, y)  m Biện luận m để hệ có nghiệm Từ suy giá trị lớn giá trị nhỏ P Lƣu ý: Các phương pháp giải hệ phương trình, hệ bất phương trình Vấn đề 6: Cơng cụ đạo hàm I Chứng minh bất đẳng thức: Phƣơng pháp:  Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc [...]... tuyệt đối đã nêu ở trên   f (x)  g(x) dx   Nếu tích S giới hạn bởi x = f(y) và x = g(y) thì ta đổi vai trò x cho y trong cơng thức trên Trang 19 Thầy AN- 0935.921.949 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Chun đề: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I Kiến thức cơ bản: 1 Kiến thức hình học 9 – 10: 1.1 Hệ thức lƣợng trong tam giác vng: Cho tam giác ABC vng tại A có đường cao AH, đường trung tuyến AM Ta có:  AB2  AC2  BC2  AH2 ... thì thêm bớt 1 - Nếu có tanx,cotx có thể đưa về sinx,cosx rồi đặt t - Nếu có sina.cosb,sina.sinb,cosa.cosb thì dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng - Nhiều bài chúng ta phải biến đổi các hàm lượng giác để đưa về các dạng có khả năng tính được Chú ý: Tích phân trong các đề thi đại học thường ra dưới dạng kết nhiều dạng tính tích phân Vì thế, từ tích phân ban đầu ta biến đổi về tổng hoặc hiệu các tích... Chú ý: Đề thi đại học thường sử dụng các tính chất đối xứng tâm (điểm), đối xứng trục (đường) – liên quan đến Phép biến hình 11 Ngồi ra sự kết hợp giữa các tính chất của đường tròn và tam giác cũng là dạng tốn rất thường gặp Trang 33 Thầy AN- 0935.921.949    2 Vectơ tích có hướng c  a, b  vng góc vơi   hai vectơ a và b       3 a, b   a b sin(a, b) LÝ THUYẾT TỐN LTĐH HÌNH HỌC TỌA... pháp này chủ yếu dựa vào các bất đẳng thức, đạo hàm để dánh giá so sánh vế trái và vế phải Nghiệm bài tốn là khi ta đi giải quyết dấu bằng xảy ra khi nào của các đẳng thức trái và phải 2 Bất phƣơng trình vơ tỷ: Phương pháp giải bất phương trình cũng được chia thành các dạng giống như giải phương trình Chú ý:  Ln đặt điều kiện trước khi bình phương  Một số cơng thức bổ sung: f (x)  0 f (x)  0 f... tham số, hằng số biến thi n: Phương pháp: Coi các giá trị tham số, hằng số là biến Còn biến được coi làm hằng số IV Phƣơng trình a f (x)  b.f (x).g(x)  c g(x)   0 2 2 Trong đó bậc f(x) và g(x)  2  Xét g(x) = 0 thỏa phương trình?  Xét g(x)  0 chia hai vế cho  g(x) đặt t 2 f (x) g(x) Vấn đề 3: PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ I Các cơng thức: 1 Các hằng đẳng thức đáng nhớ: A, A ... hai căn thức: a  cx  b  cx  d  a  cx  b  cx   n Cách giải: Đặt t  a  cx  b  cx  a  b  t  2 a  b  Dạng 5: Phƣơng trình dạng: x  a 2  b  2a x  b  x  a 2  b  2a x  b  cx  m Cách giải: Đặt t  x  b điều kiện: t  0 Trang 12 Thầy AN- 0935.921.949 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Đưa phương trình về dạng: t  a  t  a  c(t 2  b)  m Dạng 6: Phƣơng pháp tham số, hằng số biến thi n 6x... THUYẾT TỐN LTĐH MŨ - LOGARIT 2 a f (x)  a g(x) Vấn đề 1: CƠNG THỨC I Hàm số mũ y = ax (a > 0) 1 Tập xác định: D   2 Tập giá trị: G  (0; )  b  0  a b f (x)  log a b 3     b  0 0  a  1   x   : f (x)   f (x ) 3 Tính đơn điệu:  0 < a < 1: Hàm nghịch biến trên   a > 1: Hàm số đồng biến trên  4 Một số cơng thức cơ bản:  a n   a m a n  a mn  a m : a n  a mn a... là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC 1.2 Hệ thức lƣợng trong tam giác thƣờng: Cho tam giác ABC có các cạnh lần lượt là a, b, c, đường trung tuyến AM  Định lý hàm cos: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA cos A  b2  c2  a 2 2bc  Định lý hàm sin: a b c    2R sin A sin B sin C  Định lý đƣờng trung tuyến: ma2  AM 2  2(b 2  c2 )  a 2 4 1.3 Các cơng thức tính diện tích: Tam giác ABC: 1 SABC  BC.AH... 3 cạnh tam giác, trung điểm AH, BH, CH, và các chân đường cao nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm OH được gọi là đường tròn Euler Trang 21 Thầy AN- 0935.921.949 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH 2 Kiến thức hình học 11: Quan hệ song song: Bài 1: ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Định nghĩa: Một đường thẳng và một mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng khơng có điểm chung a a / / (P)  a  (P)   (P)... cụt: là hình đa diện tạo ra từ hình chóp có hai đáy là hai đa giác đồng dạng nằm trong hai mặt phẳng song song, các mặt bên là các hình thang Trang 26 Thầy AN- 0935.921.949 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH 3 Kiến thức hình học 12: Diện tích – thể tích khối đa diện:  Diện tích xung quanh: bằng tổng diện tích các mặt bên  Diện tích tồn phần: bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy 1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V ... P(A1).P(A2).P(A3) Chú ý: Học kĩ cơng thức kết hợp phương pháp đếm phần đại số tổ hợp Thầy AN- 0935.921.949 BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ Dạng tốn dạng tốn khó thường nằm câu V đề thi đại học Ở xin nêu ngắn... Tương tự hình học phẳng Chú ý: Hình học giải tích khơng gian đề thi đại học thường tập trung vào dạng tốn thường gặp phương trình đường thẳng, dạng tốn khoảng cách, điểm đối xứng nên học sinh cần... g(y) ta đổi vai trò x cho y cơng thức Trang 19 Thầy AN- 0935.921.949 LÝ THUYẾT TỐN LTĐH Chun đề: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I Kiến thức bản: Kiến thức hình học – 10: 1.1 Hệ thức lƣợng tam giác vng: Cho