Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập ôn tập Quá trình ngẫu nhiên ứng dụng - PGS.TS Nguyễn Thị Hoàng Lan
BÀI TẬP QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ỨNG DỤNG (IT3061) Phần 1: Xác suất (Bài tờ BT) Cho luật phân phối đồng thời biến X, Y bảng sau: X\Y 0.15 0.1 0.2 0.1 0.25 0.15 0.05 a Xác định xem biến ngẫu nhiên X Y có độc lập hay không? b Tìm luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Z = X+Y W = XY c Tìm đặc trưng thống kê Z W (kì vọng, phương sai, momen cấp k) Giải: a Lấy tổng hàng tổng cột tương ứng, ta thu luật phân phối biến X biến Y: X=xi Y=yi p(xi) 0.25 0.55 0.2 p(yi) 0.35 0.25 0.4 Để X, Y độc lập với cặp (xi, yj): P(X=xi, Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) Ta thấy P(X=1, Y=2) = 0, P(X=1).P(Y=2) = 0.25 * 0.35, rõ ràng khác Suy biến ngẫu nhiên X, Y không độc lập b Z = X+Y, Z thuộc tập {3, 4, 5, 6, 7, 8} P(Z=3) = P(X=1,Y=2) = P(Z=6) = P(X=1,Y=5) + P(X=3,Y=3) = 0.1 P(Z=4) = P(X=1,Y=3) + P(X=2,Y=2) = 0.35 P(Z=7) = P(X=2,Y=5) = 0.25 P(Z=5) = P(X=2,Y=3) + P(X=3,Y=2) = 0.25 P(Z=8) = P(X=3,Y=5) = 0.05 Bảng phân phối xác suất Z: Z=zi p(zi) 0.35 0.25 0.1 0.25 0.05 Với W = XY: làm tương tự, bảng phân phối xác suất W: W=wi 10 p(wi) 0.15 0.2 0.1 0.25 0.25 15 0.05 c Tìm đặc trưng thống kê: Kì vọng: E(Z) = 3.0 + 4.0,35 + 5.0,25 + … + 8.0,05 = 5,4 Phương sai: V(Z) = E(Z2) – E2(Z) = [9.0 + 16.0,35 + 25.0,25 +…+64.0,05] – (5,4)2 = 1,74 Momen cấp k: E(Zk) = 3k.0 + 4k.0,35 + … + 8k.0,051 Biến W: làm tương tự (Bài tờ BT) Tính hệ số tương quan X, Y biết hàm mật độ đồng thời: ( , )= ( + + 1) Giải: Hệ số tương quan xác định công thức: = = [ ]− √ Ta có: ( , ) = = ( + 1) + = ( ( / = ( + 1) = ) + 1) + / cos / 1/(cos = ) cos =1 / = (do x,y đối xứng) Tương tự: Lại có: [ = ]= ( , ) ( + + 1) = ( ) ( ) = ( + + 1) = = ( + 1) (đặ ( + = , + 1) = ) Hàm mật độ biên: ( )= Đặt =√ +1 ( , ) = ( + + 1) , ta có: / 2√ + ( )= ( + 1) cos =⋯= / 3√ + 4( + 1) Suy ra: = ( ) −( ) = −1= 2 Vậy −4 = = −2 2 (Bài tờ BT) Cho biến ngẫu nhiên X, Y tuân theo phân phối chuẩn đồng thời với tham số: = 3; = 4; = 1; = 2; = Tìm luật phân phối f(y|x) g(x|y) Giải: + X, Y tuân theo phân phối chuẩn đồng thời nên có hàm mật độ đồng thời: ( − 1 − − ( , )= exp − + −2 2(1 − ) 1− + Tính hàm mật độ biên: Đặt = ( )= exp −( − ) 2(1 − ) = ) ) ( ) = √2 Áp dụng tích phân: ∫ − 1− ) ) Suy ra: ( − + ( ( = 1− => )( − , ta có: ( )= √2 exp − − 2 + Từ có hàm mật độ biên: ( )= ( , ) = ( )= ( , ) = exp − ( − ) exp − ( − ) √2 √2 + Từ ta có hàm mật độ có điều kiện: ( , ) ( | )= = exp − ( ) 1− √2 ( , ) ( | )= = exp − ( ) 1− √2 Suy ( | ) ~ ( Và ( | ) ~ ( Thay số ta được: + + ( − ( − ); ); (1 − (1 − ( | ) ~ ( + 1; 3) (1 − ) (1 − ) ℎ ~ ( ; ) ℎ ~ ( ; ) − − ( − ) − − ( − ) )) )) ( | ) ~ ( + 2; ) Biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối mũ với tham số biến sau: = , = −5 − = Tìm luật phân phối xác suất Giải: Hàm mật độ X có dạng: ( ) = , >0 Với biến = : hàm z=x3 đơn điệu tăng khả vi, tồn hàm ngược nhất: ( )= Gọi = ( ) hàm mật độ Z, ta có: ( ) = [ ( )]| Với biến ( )| = = = − 7: hàm w=-5x-7 đơn điệu giảm khả vi, tồn hàm ngược nhất: ( )= − −7 ( ) hàm mật độ W, ta có: Gọi ( ) = [ ( )]| ( )| = 3 = 5 (Bài tờ BT) Cho X, Y biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn đồng thời với tham số: = 10; = 0; = 2; = 1; = a Tìm tham số phân phối chuẩn biến ngẫu nhiên: Z = X+Y, W = X – Y b Tìm luật phân phối đồng thời Z W Giải: a Tìm tham số + Với Z = X + Y, ta có: = ( )= ( + )= ( )+ ( ) = + = 10 = ( ) = [( − ) ] = ( + − 10) = [( − 10) + ( − 0) + 2( − 10) ] = [( − ) ] + [( − ) ] + [( − )( − )] = + +2 = + + 2.0,5.2.1 = ( ) Vậy ~ ; với = 10, = + Với W = X – Y, tương tự ~ ( ; ) với = 10, = b Tìm luật phân phối đồng thời Z W Theo câu a, ta có: = 10, = 10, = 7, =3 Ta tính hệ số tương quan: [ ] − ( ) ( ) = = [ ] = [( + )( − )] = [ ] − [ = + 100 − − = 103 Suy ra: = thời: ( , )~ √ = ) )−( +( ) ) 10, 10, 7, 3, (−1 < < 4) ( ạ) a Chứng minh f(x) hàm mật độ b Tìm hàm mật độ biến Y = 2X2 < +( Vậy Z, W biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn đồng Cho hàm mật độ: ( ) = c Tìm ]=( < d Tìm ( > 1) e Tìm ( > 2) f Tìm hàm phân phối Y Giải: a Dễ tính được: ∫ ( ) =∫ b Phân tích thành khoảng: −1 < = 1, có ( ) ≥ ∀ Suy f(x) hàm mật độ ≤1⇔0< ≤ < ≤4⇔2< ≤ 32 Trường hợp 1: < ≤ ( ) = ( < ) = (2 < )= | |< = +1− − − = ≤ 32 ( ) = ( < ) = (2 − = = < < = | |< = ế ⎨ ⎪ ⎩260√2 ế 2< √ = Vậy: ⎧ ⎪ 130√2 − < < 0< 1) = (2 d ( ) ∫ =1− > 1) = √ =2 65 ( ) = −1 < =⋯= 3√3 − 260 √ 2) = (2 < f Với < 32) = ∫ ( ) < 32) = ∫ ( ) = ( ) = < 0: Với < ≤ 2: Với < ≤ 32: Với < 2) + (2 < > 32: ( )=∫ ( )=∫ ( )=1 () ( ) =∫ +∫ √ √ ( ) = = √ + √ +∫ √ Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối dưới, tính: ( ≥ 0.5), 0, ≤0 ⎧ ⎪ , ∈ [0,1) ⎪ ( )= , ∈ [1,2) ⎨3 ⎪ , ∈ [2,3) ⎪3 ⎩ 1, ≥ (0.5 < ≤ 2.5) Giải: + ( ≥ 0.5) = − ( < 0.5) = − (0.5) Với x = 0.5 F(x)=x/3=0.5/3=1/6 Do ( ≥ 0.5) = − = + (0.5 < ≤ 2.5) = (2.5) − (0.5) = , − , = 2/3 Cho biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối đoạn (-1; 2) Tìm hàm mật độ Y = X2 Giải: −1< ( )= Ta có: Trường hợp 1: < = = 0, = = 2, ( )= √2 exp − ( − ) = 2√ exp − + Nếu y < 0, hiển nhiên FY(y)=0, suy fY(y)=0 + Nếu y>=0: ( )= ( < )= ( < )= − < < = − − Hàm mật độ: ( )= ( )= − = Do fX(x) hàm chẵn nên: Vậy: ( )= exp − √ 0, − = ( )= => 2√ √4 = + Phương sai: − = √ − √ √ ] exp − ≥0 =∫ exp − √ = Áp dụng công thức hàm Gamma: Γ( ) = ∫ = [ √ Đặt y/4 =t, ta có: 4 1 = Γ +1 = Γ 2 √ √ Γ √ = √ =∫ ( ) = −( 16 √ ) = √ ∫ −4= √ ∫ ( ) −4 16 3√π −4= −4=8 √ Γ Vậy EY = 2, VY = ( )= 10 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ Tìm hàm Y = g(X) để Y có hàm mật độ: ( )= √ >0 1 [ ] [ ] [ ] = 1 Σ 1 = 1 0 + Ma trận HPS: Σ = Σ ), tra bảng để tìm ( ) ∫ =1− √21 √21 = 0.5 − = 0.139 √21 21 ; 12 −2 1 = = −1 −2 1 21 1 = −1 = −1 0 1 ; Σ = √ ~ (5; 21) ) ~ 12 Phần 2: Quá trình ngẫu nhiên 20 (Bài 19 tờ BT) Cho X1(t) X2(t) trình Poisson độc lập với tham số , tương ứng Chứng minh trình X(t)=X1(t)+X2(t) trình Poison với tham số = + Giải: Ta có: { ( )= }= { { = = ( ) ! ( )+ ( ) = } { ( ) = ( − )! ( )= }= ( )= ( { − } ) ( )= , ( )= − } ( ) ( ) độ ậ ) ( ( ) ( ) = ( ) [( ) ] + ! Vậy X(t) trình Poison với tham số cường độ 21 Cho X(t) trình Poisson với tham số = + = Tính { (2)}, { (1)}, { (1) (7)} Giải: + Ta có X(2) biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Poison với tham số = = 3.2 = Do { (2)} = = + X(1) biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Poisson với tham số = 3.1 = Do đó: { (1)} = { (1)} + { (1)} = + = + = 12 + X(1) X(8) – X(1) biến ngẫu nhiên độc lập tuân theo phân phối Poisson Suy ra: { (1) (7)} = { (1) [ (8) − (1)]} = { (1) − (0)} { (8) − (1)} = = 63 22 (Bài 18 tờ BT) Cho biết số gọi đến tổng đài trình Poison với tốc độ trung bình gọi đơn vị thời gian Hãy tính: a { (1) = 2} { (1) = 2, (3) = 6} b { (1) = 2| (3) = 6} { (3) = | (1) = 2} Giải: = a Ta có X(t) trình Poison với tham số Áp dụng công thức: { ( ) = } = ( ) ! , ta được: =2 2! Do X(t) trình Poison, trình có gia số độc lập, tức với thời điểm bắt đầu t0 với t0 < t1 = Từ đó: { (8)} = = , { (8)} = , { ( )} = = , b Ta có: X(2) biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Poison với Do đó: { (2) ≤ 3} = ∑ ( ) ! = =⋯ c Ta có biến ngẫu nhiên Z = X(2) W = X(4) – X(2) độc lập với (theo t/c trình Poison) { (4) ≤ 5, (2) ≤ 3} { ≤ − , ≤ 3} { (4) ≤ 5| (2) ≤ 3} = = { (2) ≤ 3} { ≤ 3} Mà: { ≤5− , ≤ 3} = ∑ ∑ ( ) ! ( ) ! { ≤ 3} = ⋯ â =⋯ ) 25 Cho trình X(t) ổn định theo nghĩa rộng (WSS) với hàm tự tương quan: ( ) = a Tìm momen cấp biến ngẫu nhiên X(13) b Tìm momen cấp biến ngẫu nhiên X(t+13) – X(t+9) | | Giải: { (13)} = { (13) (13)} a Momen cấp X(13) là: { (13) (13)} = (13 − 13) = (0) = Vì X(t) trình ổn định WSS nên: (do trình X(t) WSS nên hàm R(t) phụ thuộc vào sai khác hai số thời gian) Vậy { (13)} = b Momen cấp X(t+13) – X(t+9) là: {[ ( + 13) − ( + 9)] } = { ( + 13)} + { ( + 9)} − { ( + 13) ( + 9)} Lập luận tương tự câu a, ta có: { ( + 13)} = { ( + 9)} = (0) = Và có: { ( + 13) ( + 9)} = [( + 13) − ( + 9)] = (4) = ) Vậy: {[ ( + 13) − ( + 9)] } = + − = 2(1 − 26 (Bài 16 tờ BT) Cho trình X(t) ổn định theo nghĩa rộng (WSS) với trung bình Chứng minh ( )=2 trình ( ) = ( ) ta có: ( ) Giải: Ta có: ( )= ( ) − { ( )} = { ( + ) ( )} − { ( )} (0) { ( )} = (0) = { ( + ) ( )} − (0) + ( ) Mặt khác: { ( + ) ( )} = { ( + )} + { ( + ) ( )} = Vì X(t) trình ổn định WSS với trung bình { ( )} = nên: ( )= ( ) − { ( )} = ( ) ( )= (0) + ( )− (0) = ( )=2 Do đó: ( ) Ta có điều phải chứng minh 27 (Bài 17 tờ BT) a Chứng minh X(t) trình ngẫu nhiên với trung bình có hàm tự tương ( , quan: )= ( ) ( ) ( ) trình ( ) = − ( ) ( ) trình WSS với hàm tự tương quan ( ) b Chứng minh X(t) trình nhiễu trắng với hàm tự tương quan có dạng ( ) ( − ( ) ) trình ( ) = ( ) ( , )= trình nhiễu trắng WSS Giải: Để trình A(t) WSS thì: E{A(t)} = số hàm tự tương quan RAA(t1, t2) phụ thuộc vào hiệu số (t1 – t2) a Ta có: { ( )} = Và: ( ) ( ) ố (do { ( )} = theo giả thiết) = = ℎằ ( ) ( ) ( , ) = { ( ) ( )} = ( ) ( ) = (t1 – t2) Do Y(t) trình WSS với hàm tự tương quan b Tương tự câu a), ta có: Và: ( , )= { ( )} = ( , ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ) = ( = ( − ), phụ thuộc vào ( ) = = ℎằ ( ) ( ) ( ( , ) ( ) ( ) − ố )= ( ) Suy Z(t) trình WSS với hàm tự tương quan ( ) Ta có : với t1 ≠t2 Czz(t1 ,t2) = Rzz(t1,t2) –µz(t1)µz(t2 ) = Rzz(t1,t2) (do µz(t1)=µz(t2 )=0) (do (1) ( )= ( )) = δ(t1-t2) = (do t1 ≠t2 ) => Z(t) trình nhiễu trắng (2) Từ (1) (2) suy Z(t) trình nhiễu trắng WSS 28 (Bài 14 tờ BT) Cho X(t) trình Gauss ổn định bậc với tham số: ( ) = 5, ( , ) = ) ( Tìm { (5) < 2}, {| (8) − (5)| ≤ 1} Giải: ( , )= ( , )− ( ) ( )= ( , ) − 25 Ta có: ( ) ( , )= ( , ) + 25 = 25 + Suy ra: + X(5) biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn với trung bình (5) = 5, phương sai = (5,5) = 4, viết gọn lại là: X(5) ~ N(5, 4) Do đó: { (5) < 2} = (2), với ( ) = √ ∫ exp − ( ) { (5) < 2} = (2) = + = + , ( )= √ ∫ exp − = 0.5 + (−1.5) = 0.5 − (1.5) = 0.07 (tra bảng = để tìm ( )) + S = X(8) – X(5) biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn với trung bình 0, phương sai = (8,8) + (5,5) − (8,5) = + − 2.4 = 8(1 − Suy ra: (| (8) − (5)| ≤ 1} = =2 = (8) − (5) = ) = 2.0,2 = 0,4 29 Cho X(t) trình ngẫu nhiên xác định bởi: ( ) = ∑ , với biến ngẫu nhiên không tương quan, có trung bình phương sai Tìm hàm tự tương quan ( , ) X(t) Xét xem X(t) có trình WSS không? Giải: Ta có: ( , )= { ( ) ∗( )} = Vì biến ngẫu nhiên không tương quan có trung bình phương sai ( , )= { }− { } { }= { }=0 ( , )= { }− { }= Do đó: ( = ) Vậy hàm tự tương quan X(t) là: ( , )= Có: { ( )} = ∑ =∑ { Hàm tự tương quan phụ thuộc vào ( ( ) }=∑ { } = = ℎằ − ), nên X(t) trình WSS ố nên ta có: 30 Cho trình ngẫu nhiên ( ) = acos( + ), với ~ (− ; ) ( ℎâ ℎố đề ) Tính đặc trưng X(t) (trung bình, hàm tự tương quan) Chứng minh X(t) trình WSS Giải: + Trung bình: { ( )} = }=∫ (do { ∈ (− ; ) ~ (− ; ) => ( ) = , 0, ℎ {cos( { }− + )} = ( ) = ∫ =0= { }) + Hàm tự tương quan: ( , ) = { ( ) ( )} = {cos( { }=0 + ) cos( + )} {cos ( − )+ ( + )+2 }= ( ( − )) 2 Ta thấy, trình X(t) có trung bình số hàm tự tương quan phụ thuộc vào t1-t2, nên trình WSS = 31 CMR trình X(t) Y(t) WSS {| (0) − (0)| } = 0, ( )= ( )= Giải: Vì X(t) Y(t) trình WSS nên ta có: {| ∗ ( ) − ∗ ( )| } = {| (0) − (0)| } = ( )− ( ) Hơn nữa: { ( + )[ ∗ ( ) − ∗ ( )]} = ∗ ∗ Và: | { ( + )[ ( ) − ( )]}| ≤ {| ( + )| } {| ∗ ( ) − ∗ ( )| } = ( )− ( ) = 0, ℎ ( )= ( )= Vì vậy: ( ) Tương tự có: ( ) ( ) 32 Cho trình: ( ) = với Y biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối (0; 1) a Tìm E{X(t)} b Tìm hàm tự tương quan ( , ) c Tìm hàm tự hiệp phương sai ( , ) Giải: a Y tuân theo phân phối (0;1) nên có: ( )= ( ) ( ) Từ đó: =∫ Do vậy: { ( )} = { = , { }=∫ }= b ( , ) = { ( ) ( )} = { c ( , )= = 1, 0, ∈ (0; 1) ∉ (0; 1) = }= { } ( , ) − { ( )} { ( )} = cos( ) cos( ) − cos( = cos( ) cos( ) 12 = cos( ) cos( ) cos( ) ) 33 Xét việc tung đồng xu có xác suất sấp/ngửa Gọi X(t) trình xác định bởi: = ( ), ế ( )= = ( ), ế ấ { ( )} a Tìm b Tìm F(x,t) với t = 0.25, t=0.5, t=1 Giải: a { ( )} = ( ) ( ) + ( ) ( ) = + (2 ) = + b Ta có: 34 Cho trình ( ) = , A biến ngẫu nhiên có hàm mật độ { ( )} Tìm , ( , ) ( , ) theo ( ) Giải: + { ( )} = { + ( , + ( , )= }=∫ ( ) ) = { ( ) ( )} = ( , ) = | | ( ) , ( ) =∫ ( ) ( ) >0 35 Cho trình Poison X(t) thoả mãn { (9)} = d Tìm kì vọng phương sai X(8) e Tìm { (2) ≤ 3} f Tìm { (4) ≤ 5| (2) ≤ 3} Giải: d Vì X(t) trình Poison nên { ( )} = Mà { (9)} = = => = , { ( )} = , Từ đó: { (8)} = = , { (8)} = = e Ta có: X(2) biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Poison với Do đó: { (2) ≤ 3} = ∑ ( ) = =⋯ ! f Ta có biến ngẫu nhiên Z = X(2) W = X(4) – X(2) độc lập với (theo t/c trình Poison) { (4) ≤ 5, (2) ≤ 3} { ≤ − , ≤ 3} { (4) ≤ 5| (2) ≤ 3} = = { (2) ≤ 3} { ≤ 3} Mà: { ≤5− , ≤ 3} = { ≤ − } { ≤ 3} = ∑ { ≤ 3} = ⋯ â ) ∑ ( ) ! ( ) ! =⋯ 36 Xét trình Gausian X(t) ổn định theo nghĩa rộng WSS với đặc trưng: ( ) = 2, ( , ) = | | Xét biến ngẫu nhiên Z = X(7) – X(5) giả sử X(t) đầu vào hệ thống không nhớ Đầu hệ thống không nhớ trình Y(t) a Tính { ≤ 1} b Giải thích quan hệ Y(t) X(t) Quá trình Y(t) có phải trình phân phối chuẩn ổn định WSS không? Giải thích? c Tính hàm tương quan chéo ( , ) d Trong trường hợp X(t) trình Gauss ổn định có trung bình 0, cho biết quan hệ ( ) ( ) Nhận xét hàm tương quan chéo trường hợp so với hàm tương quan chéo tính câu c Giải: a Biến ngẫu nhiên Z tuân theo phân phối Gauss với: + Kì vọng: = { (7) − (5)} = { (7)} − { (5)} = − = + Phương sai: = (7,7) + (5,5) − (7,5) = + − 2.4 = 8(1 − ) Do đó: ~ (0; 8(1 − ) Từ đó: { ≤ 1} = Với ( ) = √ ∫ (1) = = + ) ≈ 2.637 = (0.62) = + (0.62) = 0.5 + 0.23 = 0.73 √ ∫ = + ( ), ( ) tra bảng xstk b Đối với hệ thống không nhớ, đầu Y(t) hệ thống phụ thuộc vào giá trị đầu vào X(t) Do Y(t) trình ổn định WSS, trình Gaussian ( , ) = { ( ) ( )} =?? (vì ko biết Y(t) nên tính c Hàm tương quan chéo: đc ??) ( ) d Khi X(t) trình Gaussian ổn định có trung bình 0, ta có quan hệ ( ) là: ( )= ( ), = { ( )}, với hàm g(.) biểu diễn cho hệ thống không nhớ Thật vậy: Nhận xét: Hàm tương quan chéo trường hợp tỉ lệ với hàm tự tương quan trình đầu vào X(t) Phần 3: Ước lượng 37 Tìm ước lượng ngẫu nhiên X phân bố khoảng −1 ≤ ≤ 1, ước lượng ( ) = ( ) tốt X theo tiêu chí LMS Biết tín hiệu quan sát Y = X + N, với N nhiễu phân phối khoảng −a ≤ N ≤ a, N độc lập với X, cho E[X] = E[Y] = E[Z] = Hãy chứng tỏ tìm ước lượng: ( )= ( , ) + ( − +1 )= Tìm sai số MSE kết ước lượng Giải: X phân phối (-1; 1) nên ( )= N phân phối (-a; a) nên ( )= Và: ( ) =∫ Ta có: ( ) =∫ = 0; ( , )= [ Có: = ( , ) = ]− ∉ (−1; 1) , ∈ (− ; ) 0, ∉ (− ; ) − − + = [ = = = = 0; = + ] = [ ( + )] = [ ( , ) + ( − = + ]= [ ]+ [ )= =√ ( Vậy sai số MSE: 0, =∫ ( )= Như vậy: ∈ (−1; 1) =∫ = 0; Vì N độc lập với X nên suy ra: Có: , ) ( )− = (1 − )= 38 Xét xem quan sát x[n], phát sinh từ mô hình mức tín hiệu DC, s[n] = s[n,θ] = θ: x[n] = θ + ω[n] Tìm ước lượng tuyến tính bình phương cực tiểu (Linear LSE) Giải: Với ϴ tham số chưa biết cần ước lượng Ta có hàm tiêu phụ thuộc tham số sau: ]= ( [ ] − [ ]) = J(ϴ) = ( [ ]− ) ( ) Áp dụng kỹ thuật đạo hàm hàm tiêu đặt ta có: x[n] − -2 = [ ]− =0 = [ ] Vậy ước lượng tuyến tính bình phương cực tiểu là: = Sai số ước lượng bình phương cực tiểu: =0 = [ ] ( [ ]− = x[n]) Độ xác mô hình đạt với giá trị biến ngẫu nhiên có trung bình 39 Xét tín hiệu cố định A, nhúng vào nhiễu Gausian trắng (WGN-White Gausian Noise) w[n]: x[n] = A + w[n] (n = 0,1, ,N-1) với = tham số cần ước lượng từ liệu quan sát Hàm ước lượng: = [ ] có phải ước lượng MVU (Minimum Variance Unbiassed) cho A hay không? Giải: + Ta có: ∑ = [ ] = ∑ ( [ ]) = Σ = = Suy ước lượng độ lệch (unbiassed) + Và có: Mặt khác: Mà: = ∑ [ ] = ∑ ( [ ]) = Σ = = (1) Theo giới hạn Cramer-Rao Lower Bound (CRLB): ≥ ( ; ) − Suy ra: = (2) Từ (1) (2) rút KL: Vậy mẫu ước lượng MVU cho A 40 Xét tín hiệu cố định A, nhúng WGN: x[n] = A + w[n] Xét ( ) = ∑ Tìm hàm g để: { [ ( )]} = = [ ] Giải: Ta có: Do đó: Vì = ( ) = ∑ [ ] = [ ], hàm g cần tìm, đồng thời ước lượng MVU cho (như chứng minh 42) 41 Tìm ước lượng hợp lí (ML) tham số theo phân phối Gausian ( ; ) Giải: Ta có: ( , ,…, ; )= (2 exp − ( ) − ) Và hàm hợp lí: ( ; ) = ln ( , ,…, ; ) = − ln(2 )− ( − ) Hệ phương trình hợp lí theo nguyên lí Maximum Likelihood (ML): ( ; ) = ( − ) =0 (1) ( ; ) ( Từ (1) suy ra: ∑ + ( ² ( − ) = => ∑ + Từ (2) suy ra: = − − ) =0 = => = ∑ ( )= − μ)² = 0, đó: (2) ( )= ∑ => ( − μ)² 42 Tìm ước lượng hợp lí tham số theo phân phối Gamma với tham số , : ( ,…, ; , )= exp − Γ( ) Giải: Ta có hàm hợp lí: ( ; ) = ln ( ,…, ; , )= Hệ phương trình hợp lí nhất: ( ; ) = ( ; ) − ln[Γ( )] + ( − 1) ln ln = ln Γ( ) − − =0 =0 ln − (1) (2) Từ (2) suy ra: = n (lnα –lnx Nhận thấy : ln[Γ(α)]) + ∑ ln[Γ(α)] =R(α) =ln(α) - Thay vào (3): n(lnα – lnx –lnα + n( α= = ∑ +∑ ̅ , ℎ (1) |θ=θ = (3) (R hàm digamma) =0 - lnx) = - ∑ , Phần 4: Lý thuyết Câu 1: Thế hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian LTI (Linear Time-Invariant)? Giải thích quan hệ đầu đầu vào hệ thống? Trả lời: Hệ thống LTI hệ thống đảm bảo hai tính chất: tuyến tính bất biến theo thời gian, đó: Hệ thống tuyến tính: hệ thống thoả mãn hai tính chất: tính cộng tính tỉ lệ, nghĩa với y1(t), y2(t) đáp ứng hệ thống với ngõ vào x1(t), x2(t) đáp ứng hệ thống với ngõ vào k1x1(t) + k2x2(t) k1y1(t) + k2y2(t) Hệ thống bất biến theo thời gian: hệ thống mà đó, đầu vào làm trễ khoảng thời gian T, dạng tín hiệu đầu cũ, bị trễ khoảng thời gian T Quan hệ đầu vào x(t) đầu y(t) xác định bởi: ( ) = ℎ( ) ∗ ( ) = ( ) ∗ ℎ( ) = ℎ( ) ( − ) = ( )ℎ ( − ) Trong đó: h(t) đáp ứng xung hệ thống (impulse response), biểu thức h(t) * x(t) gọi tích chập đáp ứng xung đầu vào Câu 2: Thế ước lượng tuyến tính theo phương pháp MVU với mô hình tín hiệu quan sát = + , x vector n thành phần, vector tham số m thành phần, H ma trận quan sát biết, w vector nhiễu Gausian n thành phần So sánh phương pháp MVU với phương pháp LSE ước lượng tuyến tính Trả lời: + Ước lượng tuyến tính theo pp MVU với mô hình quan sát + So sánh: ước lượng phương sai cực tiểu MVU mô hình tuyến tính có kết quả: ) =( Trùng với ước lượng tuyến tính bình phương cực tiểu LSE Phần 5: Một số công thức quan trọng: + Hàm gamma: Γ( ) = ∫ Tính chất: Γ Γ , >0 = √ , Γ( + 1) = Γ( ) ( ∈ ), Γ( + 1) = ! ( ∈ = −1 ) − … √ + Nonlinear MSE: cần tìm hàm g(x) cho: {[ − ( )] } = [ − ( )] Chứng minh được: ( ) = { | } = ∫ ( , ) → ( | ) + Linear MSE: cần xác định A, B cho: = {[ − ( Chứng minh được: = + Cặp công thức biến đổi Fourier: ( )=∫ = ( ) + )] } → = , ( ) = , − ( )= ∫ + Phổ công suất với trình WSS (chỉ nghiên cứu trình ổn định): ( ) ( ) [...]... phải chứng minh 27 (Bài 17 tờ BT) a Chứng minh rằng nếu X(t) là quá trình ngẫu nhiên với trung bình bằng 0 và có hàm tự tương ( , quan: )= ( ) ( ) ( ) thì quá trình ( ) = − ( ) ( ) là quá trình WSS với hàm tự tương quan là ( ) b Chứng minh rằng nếu X(t) là quá trình nhiễu trắng với hàm tự tương quan có dạng ( ) ( − ( ) ) thì quá trình ( ) = ( ) ( , )= là quá trình nhiễu trắng WSS Giải: Để một quá trình. .. ∑ ( ) ! ( ) ! =⋯ 36 Xét quá trình Gausian X(t) ổn định theo nghĩa rộng WSS với các đặc trưng: ( ) = 2, ( , ) = | 4 | Xét biến ngẫu nhiên Z = X(7) – X(5) và giả sử X(t) là đầu vào của hệ thống không nhớ Đầu ra của hệ thống không nhớ là quá trình Y(t) a Tính { ≤ 1} b Giải thích quan hệ giữa Y(t) và X(t) Quá trình Y(t) có phải là quá trình phân phối chuẩn và ổn định WSS không? Giải thích? c Tính hàm... biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn với trung bình 0, phương sai = (8,8) + (5,5) − 2 (8,5) = 4 + 4 − 2.4 = 8(1 − Suy ra: (| (8) − (5)| ≤ 1} = 2 =2 = (8) − (5) = ) = 2.0,2 = 0,4 29 Cho X(t) là quá trình ngẫu nhiên xác định bởi: ( ) = ∑ , với ai là các biến ngẫu nhiên không tương quan, có trung bình bằng 0 và phương sai Tìm hàm tự tương quan ( , ) của X(t) Xét xem X(t) có là quá trình WSS không?... tờ BT) Cho biết số cuộc gọi đến tổng đài là quá trình Poison với tốc độ trung bình 2 cuộc gọi trong một đơn vị thời gian Hãy tính: a { (1) = 2} và { (1) = 2, (3) = 6} b { (1) = 2| (3) = 6} và { (3) = 6 | (1) = 2} Giải: = 2 a Ta có X(t) là quá trình Poison với tham số Áp dụng công thức: { ( ) = } = ( ) ! , ta được: 2 =2 2! Do X(t) là quá trình Poison, là quá trình có gia số độc lập, tức là với thời điểm... quá trình Poisson độc lập với tham số , tương ứng Chứng minh rằng quá trình X(t)=X1(t)+X2(t) là quá trình Poison với tham số = + Giải: Ta có: { ( )= }= { { = = ( ) ! ( )+ ( ) = } { ( ) = ( − )! ( )= }= ( )= ( { − } ) ( )= , ( )= − } ( ) à ( ) độ ậ ) ( ( ) ( ) = ( ) [( ) ] + ! Vậy X(t) là quá trình Poison với tham số cường độ là 21 Cho X(t) là quá trình Poisson với tham số = + = 3 Tính { (2)},... Ta có: ( , )= { ( ) ∗( )} = Vì ai là các biến ngẫu nhiên không tương quan có trung bình bằng 0 và phương sai ( , )= { }− { } { }= { }=0 ( , )= { }− { }= Do đó: ( = ) Vậy hàm tự tương quan của X(t) là: ( , )= Có: { ( )} = ∑ =∑ { Hàm tự tương quan chỉ phụ thuộc vào ( ( ) }=∑ { } = 0 = ℎằ − ), nên X(t) là quá trình WSS ố nên ta có: 30 Cho quá trình ngẫu nhiên ( ) = acos( + ), với ~ (− ; ) ( ℎâ ℎố đề... tương quan) Chứng minh X(t) là quá trình WSS Giải: + Trung bình: { ( )} = }=∫ (do { 1 ∈ (− ; ) ~ (− ; ) => ( ) = 2 , 0, ℎ {cos( { }− + )} = ( ) = ∫ =0= { }) + Hàm tự tương quan: ( , ) = { ( ) ( )} = {cos( { }=0 + ) cos( + )} {cos ( − )+ ( + )+2 }= ( ( − )) 2 2 Ta thấy, quá trình X(t) có trung bình bằng hằng số và hàm tự tương quan chỉ phụ thuộc vào t1-t2, nên là quá trình WSS = 31 CMR nếu quá trình X(t)... ngẫu nhiên X Gausian Dễ dàng tính được: Và: ~ (7; 13) = [2 1 1] => 1 1 [ ] [ ] [ ] = 2 1 1 Σ 2 1 1 = 2 1 1 1 4 0 0 + Ma trận HPS: Σ = Σ ), tra bảng để tìm ( ) ∫ 5 =1− √21 √21 5 = 0.5 − = 0.139 √21 21 6 9 ; 6 12 −2 1 2 1 1 9 = 5 = 1 −1 1 −2 2 1 1 0 2 1 21 2 1 1 = 1 4 0 1 −1 = 6 1 −1 1 0 0 9 1 1 ; Σ = √ ~ (5; 21) ) ~ 6 12 Phần 2: Quá trình ngẫu nhiên 20 (Bài 19 tờ BT) Cho X1(t) và X2(t) là các quá trình. .. δ(t1-t2) = 0 (do t1 ≠t2 ) => Z(t) là quá trình nhiễu trắng (2) Từ (1) và (2) suy ra Z(t) là quá trình nhiễu trắng WSS 28 (Bài 14 tờ BT) Cho X(t) là quá trình Gauss ổn định bậc 2 với các tham số: ( ) = 5, ( , ) = ) 4 ( Tìm { (5) < 2}, {| (8) − (5)| ≤ 1} Giải: ( , )= ( , )− ( ) ( )= ( , ) − 25 Ta có: ( ) ( , )= ( , ) + 25 = 25 + 4 Suy ra: + X(5) là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn với trung... = ! ! = ⋯ 24 Cho quá trình Poison X(t) thoả mãn { (9)} = 6 a Tìm kì vọng và phương sai của X(8) b Tìm { (2) ≤ 3} c Tìm { (4) ≤ 5| (2) ≤ 3} Giải: a Vì X(t) là quá trình Poison nên { ( )} = Mà { (9)} = 6 = 9 => = Từ đó: { (8)} = 8 = , { (8)} = , { ( )} = = , b Ta có: X(2) là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Poison với Do đó: { (2) ≤ 3} = ∑ ( ) ! = =⋯ c Ta có 2 biến ngẫu nhiên Z = X(2) và W ... = √ ~ (5; 21) ) ~ 12 Phần 2: Quá trình ngẫu nhiên 20 (Bài 19 tờ BT) Cho X1(t) X2(t) trình Poisson độc lập với tham số , tương ứng Chứng minh trình X(t)=X1(t)+X2(t) trình Poison với tham số = +... X(t) trình ổn định WSS với trung bình { ( )} = nên: ( )= ( ) − { ( )} = ( ) ( )= (0) + ( )− (0) = ( )=2 Do đó: ( ) Ta có điều phải chứng minh 27 (Bài 17 tờ BT) a Chứng minh X(t) trình ngẫu nhiên. .. Cho X(t) trình ngẫu nhiên xác định bởi: ( ) = ∑ , với biến ngẫu nhiên không tương quan, có trung bình phương sai Tìm hàm tự tương quan ( , ) X(t) Xét xem X(t) có trình WSS không? Giải: Ta có: