0917614559 19 BI TP THPT HAY V KHể Bài tập Cho phng trỡnh : x + ( 4m + 1) x + ( m ) = Tỡm h thc liờn h gia x1 v x2 cho chỳng khụng ph thuc vo m Hng dn: D thy = (4m + 1) 4.2(m 4) = 16m + 33 > ú phng trỡnh ó cho luụn cú nghim phõn bit x1 v x2 Theo h thc VI- ẫT ta cú x1 + x2 = (4m + 1) 4m = ( x1 + x2 ) 1(1) x1.x2 = 2(m 4) 4m = x1 x2 + 16(2) T (1) v (2) ta cú: ( x1 + x2 ) = x1 x2 + 16 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = Bài tập 2: Cho phng trỡnh : mx ( m 1) x + ( m 3) = Tỡm giỏ tr ca tham s m nghim x1 v x2 tho h thc : x1 + x2 = x1.x2 Bi gii: iu kin phng trỡnh c ú nghim x1 v x2 l : m m m m 2 ' = ( m 1) m ' = ( m 2m + 1) 9m + 27 ' = ( m 21) 9(m 3)m 6(m 1) x1 + x2 = m Theo h th c VI- ẫT ta c ú: x x = 9(m 3) m v t gi thi t: x1 + x2 = x1 x2 Suy ra: 6(m 1) 9(m 3) = 6(m 1) = 9(m 3) 6m = 9m 27 3m = 21 m = m m (tho iu kin xỏc nh ) Vy vi m = thỡ phng trỡnh ó cho cú nghim x1 v x2 tho h thc : x1 + x2 = x1.x2 2 Bài tập Cho phng trỡnh : x ( 2m + 1) x + m + = Tỡm m nghim x1 v x2 tho h thc : x1 x2 ( x1 + x2 ) + = Bi gii: iu kin phng trỡnh cú nghim x1 & x2 l : ' = (2m + 1) 4(m + 2) m + 4m + m 4m m x1 + x2 = 2m + Theo h thc VI-ẫT ta cú: v t gi thit x1 x2 ( x1 + x2 ) + = Suy x1 x2 = m + 3(m + 2) 5(2m + 1) + = 3m + 10m + = m = 2(TM ) 3m 10m + = m = ( KTM ) Vy vi m = thỡ phng trỡnh cú nghim x1 v x2 tho h thc : x1 x2 ( x1 + x2 ) + = Bài tập Cho phng trỡnh : mx + ( m ) x + m + = Tỡm m nghim x1 v x2 tho h thc : x1 x2 = 2 Cho phng trỡnh : x + ( m 1) x + 5m = Tỡm m nghim x1 v x2 tho h thc: x1 + x2 = Cho phng trỡnh : x ( 3m ) x ( 3m + 1) = Tỡm m nghim x1 v x2 tho h thc : x1 x2 = HD: 16 15 ( m 4) x1 + x2 = m (1) -Theo VI-ẫT: m + x x = m x1 + x2 = x2 2( x1 + x2 ) = x1 x2 (2) - T x1 x2 = Suy ra: 2( x1 + x2 ) = x1 - Th (1) vo (2) ta a c v phng trỡnh sau: m + 127 m 128 = m1 = 1; m2 = 128 BT1: - KX : m & m BT2: - KX: = m 22m + 25 11 96 m 11 + 96 x1 + x2 = m (1) - Theo VI-ẫT: x1 x2 = 5m x1 = 3( x1 + x2 ) x1 x2 = [ 3( x1 + x2 ) ] [ 4( x1 + x2 ) 1] - T : x1 + x2 = Suy ra: x2 = 4( x1 + x2 ) x1 x2 = 7( x1 + x2 ) 12( x1 + x2 ) (2) m = - Th (1) vo (2) ta cú phng trỡnh : 12m(m 1) = (tho KX) m = BT3: - Vỡ = (3m 2) + 4.3(3m + 1) = 9m + 24m + 16 = (3m + 4) vi mi s thc m nờn phng trỡnh luụn cú nghim phõn bit 3m x1 + x2 = (1) - -Theo VI-ẫT: x x = (3m + 1) - T gi thit: x1 x2 = Suy ra: x1 = 5( x1 + x2 ) + 64 x1 x2 = [ 5( x1 + x2 ) + 6] [ 3( x1 + x2 ) 6] (2) x2 = 3( x1 + x2 ) 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) 12( x1 + x2 ) 36 m = - Th (1) vo (2) ta c phng trỡnh: m(45m + 96) = (tho ) m = 32 15 Bài tập Cho phng trỡnh: ax + bx + c = (a 0) Hóy tỡm iu kin phng trỡnh cú nghim: trỏi du, cựng du, cựng dng, cựng õm Ta lp bng xột du sau: S = x1 + x2 Du nghim x1 x2 m trỏi du cựng du, cựng dng, + + S>0 cựng õm S0 P>0 0 0 iu kin chung ; P < 0 ;P>0 ;P>0;S>0 ; P > ; S < x ( 3m + 1) x + m m = cú nghim trỏi du phng trỡnh cú nghim trỏi du thỡ = (3m + 1) 4.2.(m m 6) = ( m 7) 0m < m < m m6 Hai nghim cựng du v P > Hai nghim trỏi du > v P < a.c < Hai nghim dng(ln hn 0) 0; S > v P > Hai nghim õm(nh hn 0) 0; S < v P > Hai nghim i v S = 10.Hai nghim nghch o v P = 11 Hai nghim trỏi du v nghim õm cú giỏ tr tuyt i ln hn a.c < v S < 12 Hai nghim trỏi du v nghim dng cú giỏ tr tuyt i ln hn a.c < v S > b c ( ú: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = ) a a Bi 9: Gii phng trỡnh (gii v bin lun): x2- 2x+k = ( tham s k) Gii = (-1)2- 1.k = k Nu < 1- k < k > phng trỡnh vụ nghim Nu = 1- k = k = phng trỡnh cú nghim kộp x1= x2=1 Nu > 1- k > k < phng trỡnh cú hai nghim phõn bit x1 = 1- k ; x2 = 1+ k Kt lun: Nu k > thỡ phng trỡnh vụ nghim Nu k = thỡ phng trỡnh cú nghim x=1 Nu k < thỡ phng trỡnh cú nghim x1 = 1- k ; x2 = 1+ k Bi 10: Cho phng trỡnh (m-1)x2 + 2x - = (1) (tham s m) a) Tỡm m (1) cú nghim b) Tỡm m (1) cú nghim nht? tỡm nghim nht ú? c) Tỡm m (1) cú nghim bng 2? ú hóy tỡm nghim cũn li(nu cú)? Gii a) + Nu m-1 = m = thỡ (1) cú dng 2x - = x = (l nghim) + Nu m Khi ú (1) l phng trỡnh bc hai cú: =12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) cú nghim = 3m-2 m + Kt hp hai trng hp trờn ta cú: Vi m thỡ phng trỡnh cú nghim 3 b) + Nu m-1 = m = thỡ (1) cú dng 2x - = x = (l nghim) + Nu m Khi ú (1) l phng trỡnh bc hai cú: = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) cú nghim nht = 3m-2 = m = (tho m 1) 1 = =3 Khi ú x = m 1 3 +Vy vi m = thỡ phng trỡnh cú nghim nht x = 2 vi m = thỡ phng trỡnh cú nghim nht x = 3 c) Do phng trỡnh cú nghim x1 = nờn ta cú: (m-1)22 + 2.2 - = 4m = m = Khi ú (1) l phng trỡnh bc hai (do m -1 = -1= 0) 4 3 = = 12 x = Theo inh lớ Viet ta cú: x1.x2 = m Vy m = v nghim cũn li l x2 = Bi 11: Cho phng trỡnh: x2 -2(m-1)x m = ( n s x) a) Chng t rng phng trỡnh cú nghim x1, x2 vi mi m b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim trỏi du c) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim cựng õm d) Tỡm m cho nghim s x1, x2 ca phng trỡnh tho x12+x22 10 e) Tỡm h thc liờn h gia x1 v x2 khụng ph thuc vo m f) Hóy biu th x1 qua x2 Gii 15 a) Ta cú: = (m-1) ( m ) = m + 15 > > vi mi m Do m vi mi m; Phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit Hay phng trỡnh luụn cú hai nghim (pcm) b) Phng trỡnh cú hai nghim trỏi du a.c < m < m > -3 Vy m > -3 c) Theo ý a) ta cú phng trỡnh luụn cú hai nghim Khi ú theo nh lớ Viet ta cú: S = x1 + x2 = 2(m-1) v P = x1.x2 = - (m+3) Khi ú phng trỡnh cú hai nghim õm S < v P > 2(m 1) < m < m < (m + 3) > m < Vy m < -3 d) Theo ý a) ta cú phng trỡnh luụn cú hai nghim Theo nh lớ Viet ta cú: S = x1 + x2 = 2(m-1) v P = x1.x2 = - (m+3) Khi ú A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 6m + 10 Theo bi A 10 4m2 6m 2m(2m-3) m m m m m m m m 2m m Vy m hoc m e) Theo ý a) ta cú phng trỡnh luụn cú hai nghim x1 + x = 2(m 1) x + x = 2m Theo nh lớ Viet ta cú: x1 x = (m + 3) x1 x = 2m x1 + x2+2x1x2 = - Vy x1+x2+2x1x2+ = l h thc liờn h gia x1 v x2 khụng ph thuc m + x2 f) T ý e) ta cú: x1 + x2+2x1x2 = - x1(1+2x2) = - ( +x2) x1 = + x2 + x2 ( x2 ) + x2 2 Bi 12: Cho phng trỡnh: x + 2x + m-1= ( m l tham s) a) Phng trỡnh cú hai nghim l nghch o ca b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x1; x2 tho 3x1+2x2 = 1 c) Lp phng trỡnh n y tho y1 = x1 + ; y = x2 + vi x1; x2 l nghim ca x2 x1 phng trỡnh trờn Gii a) Ta cú = 12 (m-1) = m Phng trỡnh cú hai nghim l nghch o ca Vy x1 = ' m m m=2 m = m = P = Vy m = b) Ta cú = 12 (m-1) = m Phng trỡnh cú nghim m m (*) Khi ú theo nh lớ Viet ta cú: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m (2) Theo bi: 3x1+2x2 = (3) x + x = 2 x + x = x = x = 2 T (1) v (3) ta cú: x1 + x2 = 3x1 + x2 = x1 + x2 = x2 = Th vo (2) ta cú: 5(-7) = m -1 m = - 34 (tho (*)) Vy m = -34 l giỏ tr cn tỡm d) Vi m thỡ phng trỡnh ó cho cú hai nghim Theo nh lớ Viet ta cú: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m (2) x +x 1 = + = 2m y + y = x + x + + = x + x + Khi ú: 2 (m1) x x xx m 1 m 2 1 1 m2 y y = ( x + )( x + ) = x x + + = m + +2= (m1) x x xx m m 1 2m m2 y1; y2 l nghim ca phng trỡnh: y2 y + = (m1) m m Phng trỡnh n y cn lp l: (m-1)y2 + 2my + m2 = Bài 13: Giải biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 = Giải 2 / Ta có = (m + 1) 2m + 10 = m + Nếu / > m2 > m < - m > Phơng trình cho có nghiệm phân biệt: x1 = m + - m x2 = m + + m + Nếu / = m = - Với m =3 phơng trình có nghiệm x1.2 = - Với m = -3 phơng trình có nghiệm x1.2 = -2 / + Nếu < -3 < m < phơng trình vô nghiệm Kết kuận: Với m = phơng trình có nghiệm x = Với m = - phơng trình có nghiệm x = -2 Với m < - m > phơng trình có nghiệm phân biệt x1 = m + - m x2 = m + + Với -3< m < phơng trình vô nghiệm m2 Bài 14: Giải biện luận phơng trình: (m- 3) x2 2mx + m = Hớng dẫn Nếu m = m = phơng trình cho có dạng * Nếu m m Phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số / = m2 (m 3)(m 6) = 9m 18 - Nếu / = 9m 18 = m = phơng trình có nghiệm kép b/ x1 = x2 = = =-2 a 23 - Nếu / > m >2 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt m3 m2 x1,2 = m3 / - Nếu < m < Phơng trình vô nghiệm Kết luận: Với m = phơng trình có nghiệm x = Với m = phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2 m3 m2 Với m > m phơng trình có nghiệm x1,2 = m3 Với m < phơng trình vô nghiệm Bài15: Gọi x1 , x2 nghịêm phơng trình : x2 3x = a) Tính: A = x 12 + x 22 B = x1 x 1 + C= D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) x1 x 1 a) lập phơng trình bậc có nghiệm x1 x2 Giải ; Phơng trình bâc hai x 3x = có tích ac = - < , suy phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x1 + x2 = p = x1x2 = -7 a)Ta có + A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1x2 = S2 2p = 2(-7) = 23 + (x1 x2)2 = S2 4p => B = x1 x = S p = 37 - 6x = x=- 1 ( x1 + x ) S + = = = x1 x ( x1 1)( x 1) p S + 2 + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2 ) + x1x2 = 10x1x2 + (x12 + x22) = 10p + 3(S2 2p) = 3S2 + 4p = - b)Ta có : 1 + = (theo câu a) S= x1 x 1 = = p= ( x1 1)( x 1) p S + +C= 1 nghiệm hơng trình : x1 x2 1 X2 SX + p = X2 + X - = 9X2 + X - = 9 Vậy Bài 16 : Cho phơng trình : x2 ( k 1)x - k2 + k = (1) (k tham số) Chứng minh phơng trình (1 ) có hai nghiệm phân biệt với giá trị k Tìm giá trị k để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu Gọi x1 , x2 nghệm phơng trình (1) Tìm k để : x13 + x23 > Giải Phơng trình (1) phơng trình bậc hai có: = (k -1)2 4(- k2 + k 2) = 5k2 6k + = 5(k2 - k+ ) 5 36 36 = 5(k2 k + + ) = 5(k - ) + > với giá trị k 25 25 5 Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 1 - k2 + k < - ( k2 k + + ) (k 1)[(2k - )2 + ] >0 16 87 k > ( (2k - )2 + > với k) 16 k>1 Vậy k > giá trị cần tìm Bài 17: Cho phơng trình : x2 2( m + 1) x + m = (1) (m tham số) Giải phơng trình (1) với m = -5 Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với m 10 Tìm m để x1 x đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 hao nghiệm phơng trình (1) nói phần 2.) Giải Với m = - phơng trình (1) trở thành x2 + 8x = có nghiệm x1 = , x2 = - Có / = (m + 1)2 (m 4) = m2 + 2m + m + = m2 + m + 1 19 19 = m2 + 2.m + + = (m + )2 + > với m 4 Vậy phơng trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 Vì phơng trình có nghiệm với m ,theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 2( m + 1) x1x2 = m Ta có (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1x2 = 4( m + 1)2 (m 4) 19 = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ] 1 19 19 => x1 x = (m + ) + = 19 m + =0 m=2 2 4 Vậy x1 x đạt giá trị nhỏ 19 m = Bài 18 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 2m)x + m = (m tham số) 1) Giải phơng trình m = 2) Chứng minh phơng trình cho có nghiệm với m 3) Tìm tất giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm Giải: 1) Thay m = vào phơng trình cho thu gọn ta đợc 5x2 - 20 x + 15 = phơng trình có hai nghiệm x1 = , x2= 2) + Nếu: m + = => m = - phơng trình cho trở thành; 5x = x = + Nếu : m + => m - Khi phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số : = (1 2m)2 - 4(m + 2)( m 3) = 4m + 4m2 4(m2- m 6) = 25 > Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt 2m + 2m + 2m 2(m 3) m = = = x2 = x1 = = 2(m + 2) 2(m + 2) 2(m + 2) m + 2m + Tóm lại phơng trình cho có nghiệm với m 3)Theo câu ta có m - phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm gấp lần nghiệm ta sét trờng hợp m3 Trờng hợp : 3x1 = x2 = giải ta đợc m = (đã giải câu 1) m+2 11 Trờng hợp 2: x1 = 3x2 1= m3 11 m + = 3m m = (thoả m+2 mãn điều kiện m - 2) 11 Kiểm tra lại: Thay m = vào phơng trình cho ta đợc phơng trình : 15x2 20x + = phơng trình có hai nghiệm x1 = , x2 = = (thoả mãn đầu bài) 15 Bài 19: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m = (1) với m tham số Biện luận theo m có nghiệm phơng trình (1) Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Giải + Nếu m = thay vào (1) ta có : 4x = x = / + Nếu m Lập biệt số = (m 2) m(m-3) = m2- 4m + m2 + 3m =-m+4 / < m + < m > : (1) vô nghiệm / = - m + = m = : (1) có nghiệm kép b/ m x1 = x2 = - = = = a m 2 / > - m + > m < 4: (1) có nghiệm phân biệt m2 m+4 m2+ m+4 x1 = ; x2 = m m Vậy : m > : phơng trình (1) vô nghiệm m = : phơng trình (1) Có nghiệm kép x = m < : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt: m2+ m+4 m m = : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x = c m3 (1) có nghiệm trái dấu m < m < m < m < m > m > m > Trờng hợp không thoả mãn m < x1 = m2 m+4 m ; 12 x2 = m < 0 => x2 = Vậy với m = - phơng trình (1) có nghiệm x= *)Để tìm nghiệm thứ ,ta có cách làm Cách 1: Thay m = vào phơng trình cho giải phơng trình để tìm đợc x2 = (Nh phần làm) 9 Cách 2: Thay m = - vào công thức tính tổng nghiệm: 2( 2) 2(m 2) 34 = = x1 + x2 = m 34 34 x2 = - x1 = -3= 9 - Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = - vào công trức tính tích hai nghiệm m3 21 21 21 = = x1x2 = => x2 = : x1 = :3= m 9 9 Cách 3: Thay m = - 13 [...]... tra lại: Thay m = vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình : 2 15x2 20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm 5 1 x1 = 1 , x2 = = (thoả mãn đầu bài) 15 3 Bài 19: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m 3 = 0 (1) với m là tham số 1 Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1) 2 Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu 3 Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm thứ hai Giải 3 1 + Nếu m = 0 thay vào (1)... 4[(m + )2 + ] 2 4 1 1 1 19 19 => x1 x 2 = 2 (m + ) 2 + 2 = 19 khi m + =0 m=2 2 2 4 4 1 Vậy x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = 2 Bài 18 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số) 9 1) Giải phơng trình khi m = 2 2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m 3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần... > 0 3 *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm / 0 0 m 4 (*) (ở câu a đã có) - Thay x = 3 vào phơng trình (1) ta có : 9m 6(m 2) + m -3 = 0 4m = -9 m = - 9 4 9 thoả mãn 4 *) Cách 2: Không cần lập điều kiện / 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc 9 9 9 9 9 m = - Sau đó thay m = - vào phơng trình (1): - x2 2(- - 2)x 4 4 4 4 4 3 = 0 -9x2 +34x 21 = 0 x1 = 3 có / = 289 189 = 100... Cách 1: Thay m = vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc 4 7 x2 = (Nh phần trên đã làm) 9 9 Cách 2: Thay m = - vào công thức tính tổng 2 nghiệm: 4 9 2( 2) 2(m 2) 34 4 = = x1 + x2 = 9 m 9 4 34 34 7 x2 = - x1 = -3= 9 9 9 - Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = - 9 vào công trức tính tích hai nghiệm 4 9 3 m3 21 21 21 7 = 4 = x1x2 = => x2 = : x1 = :3= 9 m 9 9 9 9 4 Cách 3: Thay m =... x2 + 8x 9 = 0 và có 2 nghiệm là x1 = 1 , x2 = - 9 2 Có / = (m + 1)2 (m 4) = m2 + 2m + 1 m + 4 = m2 + m + 5 1 1 19 1 19 = m2 + 2.m + + = (m + )2 + > 0 với mọi m 2 4 4 2 4 Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 3 Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 2( m + 1) và x1x2 = m 4 Ta có (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1x2 = 4( m + 1)2 4 (m 4) 1 19 = 4m2 + 4m... = 2 2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m 3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia Giải: 9 1) Thay m = vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc 2 5x2 - 20 x + 15 = 0 phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3 2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành; 5x 5 = 0 x = 1 + Nếu : m + 2 0 => ... x2)2 4x1x2 = 4( m + 1)2 (m 4) 19 = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ] 1 19 19 => x1 x = (m + ) + = 19 m + =0 m=2 2 4 Vậy x1 x đạt giá trị nhỏ 19 m = Bài 18 : Cho phơng trình (m +... có) - Thay x = vào phơng trình (1) ta có : 9m 6(m 2) + m -3 = 4m = -9 m = - 9 thoả mãn *) Cách 2: Không cần lập điều kiện / mà thay x = vào (1) để tìm đợc 9 9 m = - Sau thay m = - vào phơng... kiện m - 2) 11 Kiểm tra lại: Thay m = vào phơng trình cho ta đợc phơng trình : 15x2 20x + = phơng trình có hai nghiệm x1 = , x2 = = (thoả mãn đầu bài) 15 Bài 19: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x