WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net ? LUYN THI VO LP 10 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Chuyên đề 1: Biến đổi đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử A biến đổi đẳng thức I Các đẳng thức mở rộng (a b)2 = a2 2ab + b2 a2 - b2 = (a + b)(a - b) (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab +b2) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1), n số tự nhiên an + bn = (a + b)(an-1 - an-2b + - abn-2 + bn-1), n lẻ II Bài tập Bài So sánh hai số A B biết: A = 2004.2006 B = 20052 Giải Ta có A = (2005 - 1)(2005 + 1) = 20052 - < 20052 =B Vậy A < B Bài So sánh hai số A B biết: A = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) B = 232 Giải Ta có A = (2 - 1)(2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = 232 -1 < 232 = B Vậy A < B Bài So sánh hai số A B biết: A =(3 + 1)(32 +1)(34 + 1)(38 + 1)(316 +1) B =332 -1 Giải Ta có 2A = (3 - 1)(3 + 1)(32 +1)(34 + 1)(38 + 1)(316 +1) = 332 - = B Vậy A < B Bài Chứng minh rằng: (m2 + m - 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2, với m Giải VT: (m2 + m - 1)2 + 4m2 + 4m = m4 + m2 + + 2m3 - 2m2 - 2m + 4m2 + 4m = m4 + 2m3 + 3m2 + 4m + VP: (m2 + m + 1)2 = m4 + m2 + +2m3 + 2m2 + 2m = m4 + 2m3 + 3m2 + 2m +1 Trang WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Bài Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 -3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab -ac -bc) Giải Ta có a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) thay vào VT VT = (a + b)3 - 3ab(a + b) + c -3abc = [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b +c) = (a + b +c)[(a + b)2 + c2 - c(a + b) -3ab] = (a + b +c)(a + b2 + c2 + 2ab - ac - bc - 3ab) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = VP Bài Cho ab = Chứng minh rằng: a5 + b5 = (a3 + b3)(a2 + b2) - (a + b) Giải (a3 + b3)(a2 + b2) - (a + b) = a5 + a3b2 + a2b3 + b5 - (a - b)= a5 + b5 +a2b2(a + b) (a - b) = a5 + b5 Bài Cho a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = Chứng minh rằng: a = b = c Hỡng dẫn Từ: a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = (a b)2 +(a - c)2 + (b - c)2 = a = b = c.(đpcm) Bài Cho a, b, c đôi khác nhau, thoả mãn: ab + bc + ca = CMR (a + b)2(b + c)2(c + a)2 =1 (1+ a2 )(1+ b2 )(1+ c2 ) Hỡng dẫn Ta có: + a2 = ab + bc + ca +a = b(a + c) + a(a + c) = (a + c)(a + b) Tơng tự: + b2 = (b + a)(b + c) + c2 = (c +a)(c + b) Thay vào suy (đpcm) Bài Cho a > b > 0, thoả mãn: 3a2 + 3b2 =10ab Chứng minh rằng: a b = a+ b Giải Đặt P = a b P > nên P = a +b Ta có P2 = P2 a2 + b2 2ab 3a2 + 3b2 6ab 10ab 6ab = = = Vậy P = 1/2 a2 + b2 + 2ab 3a2 + 3b2 6ab 10ab + 6ab WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Bài 10 Cho a + b + c = 1 + + = Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 =1 a b c Giải Từ: a + b + c = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = a2 + b2 + c2 = 1- 2(ab + ac + bc) Mặt khác: 1 ab + ac + bc + + = = ab + ac + bc = Vậy: a2 + b2 + c2 =1 a b c abc Bài 11 Cho 1 1 1 + + = (1) a + b + c = abc Chứng minh rằng: + + = a b c a b c Giải (1) 1 1 1 1 a+ b + c + + + 2( + + ) = + + + 2( ) = a b c ab ac bc a b c abc Thay a + b + c = abc vào ta có 1 1 1 + + + = + + = 2 a b c a b c Bài 12 Cho a b c x y z x2 y2 z2 + + = 1(1), + + = 1(2) CMR: A = + + = x y z a b c a b c Giải x2 y2 z2 xy xz yz xy xz yz cxy + bxz + ayz + + + 2( + + ) = A = 2( + + ) = 2( ) a b c ab ac bc ab ac bc abc : (2) cxy + bxz + ayz = Vậy A = xyz Bài 13 Cho 1 1 1 + + = 0.(1) Chứng minh rằng: + + = a b c a b c abc Giải (1) Vậy 1 1 1 1 1 1 1 = ( + ) = ( + + ( + ) = [ + + ( )] a b c a b c bc b c a b c bc a 1 + 3+ 3= a b c abc Bài 14 Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 =14 Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 = 98 Giải Trang WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Từ: a + b + c = a = -(b + c) a2 = (b + c)2 a2 = b2 + c2 +2bc a2 - b2 - c2 = 2bc (a2 - b2 - c2)2 = 4b2c2 a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2a2c2 + 2b2c2 = 4b2c2 a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 2(a4 + b4 + c4) = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 - 2b2c2 + 2a2c2 2(a4 + b4 + c4 ) = (a2 + b2 + c2 )2 = 142 =196 Vậy a4 + b4 + c4 = 98 Bài 15 Cho xyz = 1, Chứng minh rằng: 1 + + = 1+ x + xy 1+ y + yz 1+ z + zx Giải Ta có: 1 z x + + = + + = 1+ x + xy 1+ y + yz 1+ z + zx z + xz + xyz x + yx + xyz 1+ z + zx = z x z+ x z+ xz + + = + = + z + xz + x + yx + 1+ z + zx 1+ x + xz x + xy + 1+ x + xz xz + xyz + z = z+1 xz z + 1+ xz + = = 1+ x + xz xz + 1+ z 1+ x + xz B Phân tích đa thức thành nhân tử Bài Phân tích tam thức bậc hai x2 - 6x + thành nhân tử Giải Cách 1: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đa đa thức dạng hiệu hai bình phơng x2 - 6x + =(x - 3)2 - = (x - - 1)(x - + 1) = (x - 4)(x - 2) Cách 2: Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x + = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Bài Phân tích đa thức x3 + 3x2 - thành nhân tử Giải Nhẩm thấy x = nghiệm đa thức chứa nhân tử x - ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử x - C1: x3+ 3x2- =x3-x2+4x2- 4=x2(x - 1)+4(x2-1)=(x-1)(x2 + 4x + 4)=(x-1)(x+2)2 C2: x3+3x2- =x3-1+3x2- = (x-1)(x2+x+1)+ 3(x-1)(x+1) = (x-1)(x2+ 4x + 4) Bài WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Phân tích đa thức (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 thành nhân tử Giải (x +1)(x +3)(x +5)(x +7) +15 = [(x +1)(x +7)][(x +3)(x +5)] +15 = (x2 +8x+7) (x2+8x +15) +15 Đặt: t = x2+8x+7 x2+8x+15 = t + ta có: t(t + 8) +15 = t2 + 8t +15 =(t + 4)2 - = (t + + 1)(t + - 1) = (t + 5)(t + 3) Vậy: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) = (x2 + 6x + 2x + 12)(x2 + 8x +10) = (x + 6)(x + 2)(x2 + 8x + 10) BTVN Bài Cho x > y > 2x2 + 2y2 = 5xy, Tính: P = x+y (tơng tự 9) xy Bài Cho x + y + z = 0, Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 = 3xyz (tơng tự 13) Bài Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2 )2 (tơng tự 14) Bài Cho a, b, c khác không a + b + c = Chứng minh rằng: 1 + 2 + 2 = 2 a +b c b +c a a +c b Từ: a + b + c = a = - (b + c) a2 = (b + c)2 a2=b2 + c2 + 2bc b2 + c2 a2 = - 2bc Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ 4x2 - 3x - b/ x3 + 6x2 + 11x +6 c/ (x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3 Hỡng dẫn: x + y + z = x3 + y3 + z3 = 3xyz Trang WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Chuyên đề 2: Bất đẳng thức - Giá trị lớn nhất, nhỏ A Bất đẳng thức I Một số tính chất bất đẳng thức 1/ a > b b > c a > c (t/c bắc cầu) 2/ a > b a + c > b + c (t/c cộng vào hai vế số) ac > bc c > 3/ a > b (t/c nhân hai bđt với số âm, dơng) ac < bc c < 4/ a > b c > d a + c > b + d (t/c cộng hai bất đẳng thức chiều) a > b > 5/ c > d > ac > bd (t/c nhân hai bất đẳng thức dơng chiều) an > bn 6/ a > b > n (n nguyên dơng) a > n b 7/ a a > a,b,c R + a+ b a + b + c 8/ a c a a+ c c > > > a,b,c,d R + b d b b+ d d 9/ Nếu a, b, c cạnh tam giác ta có: */ a > 0, b > 0, c > */ b - c < a < b + c; a - c < b < a + c; a - b < c < a + b */ Nếu a > b > c A > B > C II Bài tập Bài Cho số a, b, c, d, e CMR: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a( b + c + d + e)(1) Giải (1) 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae (a - 2b)2 + (a - 2c)2 + (a - 2d)2 + (a - 2e)2 (đpcm) Bài Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: a/ a2 + b2 1/2, b/ a3 + b3 1/4, c/ a4 + b4 1/8 Giải a/ Từ (a - b)2 a2 + b2 2ab 2(a2 + b2) a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 = WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Vậy a2 + b2 1/2 b/ Ta có a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) = a2 - ab + b2 2(a3 + b3) = 2a2 - 2ab + 2b2 = (a - b)2 + a2 + b2 a2 + b2 mà a2 + b2 1/2 2(a3 + b3) 1/2 a3 + b3 1/4 (đpcm) c/ Từ (a2 - b2)2 a4 + b4 2a2b2 2(a4 + b4) a4 + b4 + 2a2b2 = (a2 + b2)2 a4 + b4 (a + b2)2 (1) Mặt khác: (a - b)2 a2+ b2 2ab 2(a2 + b2) a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 = a2 + b2 1/2 (a2 + b2)2 1/4 thay vào (1) ta có a4 + b4 Bài Cho a,b > 0, a + b = Chứng minh rằng: 1 a/ (1+ )(1+ ) ; a b Giải b/ 1 + a+ b + 1 a+ b + ab + a + b + )( ) 1+ a/ (1+ )(1+ ) ( a b a b ab ab 4ab (a + b)2 4ab (đpcm) b/ 1 + 3(a + + b +1) 4(a + 1)(b + 1) 4(ab + a + b + 1) a+ b + 4ab + 4ab (a + b)2 4ab (đpcm) Bài Cho a, b, c R+ Chứng minh rằng: Giải a a a+ b > a+ b + c b b > b + c a+ b + c c c c + a > a+ b + c 1< a b c + + a+ b b + c c + a Mặt khác: Trang WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net c a a+ b < c a b < b+ c a b c c+ a < b Vậy: 1< a a+ c < a+ b a+ b + c b b+ a a b c < + + < b + c a+ b + c a+ b b + c c + a c b+ c < c + a a+ b + c a b c + + AB - BM Xét ACM có: AM > AC - MC Cộng vế ta có: 2AM > AB + AC - BC ma > M B C b+ c a D Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MA = MD AB = CD Xét ACD có: AD < AC + CD = AC + AB 2AM < AC + AB ma < b+ c Bài 10 CMR tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức: AB + CD < AC + BD Giải Gọi O giao điểm hai đờng chéo ta có: B AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD) = = (OA + OB) + (OC + OD) AC + BD > AB + CD BTVN O A C D Bài Cho tam giác ABC, kẻ đờng cao AH, gọi C1 điểm đối xứng H qua AB, B1 điểm đối xứng H qua AC Gọi giao điểm B 1C1 với AC AB I K Chứng minh đờng BI, CK đờng cao tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC cân A H trung điểm cạnh BC Gọi I hình chiếu vuông góc H lên cạnh AC O trung điểm HI Chứng minh hai tam giác BIC AOH đồng dạng với AO vuông góc với BI Trang 56 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Chuyên đề Hệ thức lợng đờng tròn I/ Lý Thuyết 1/ Định nghĩa xác định đờng tròn */ ĐN Tập hợp điểm cách điểm O cho trớc khoảng không đổi R > gọi đờng ròn tâm O bán kính R, ký hiệu: (O; R) */ Cho (O; R) điểm M Đặt d = OM ta có: d < R M bên (O; R) d = R M thuộc (O; R) d > R M bên (O; R) */ Hình tròn tạp hợp điểm bên đờng tròn điểmcủa đờng tròn M yhuộc hình tròn (O; R) d R */ Cung tròn phần đờng tròn đợc giới hạn hai điểm gọi mút cung - Đoạn thẳng nối hai mút cung gọi dây trơng cung - Dây qua tâm gọi đờng kính - Đờng kính dây cung lớn đờng tròn */ Quỹ tích điểm M nhìn đoạn AB cho trớc dới góc vuông đờng tròn tâm I bán kính AB/2, ký hiệu (I; AB/2) 2/ Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn Cho đờng tròn (O; R) đờng thẳng , gọi H hình chiếu O lên đờng thẳng ta có: OH > R không cắt đờng tròn (O; R) OH = R cắt đờng tròn (O; R) điểm H, gọi tiếp tuyến, H gọi tiếp điểm OH < R cắt đờng tròn (O; R) điểm 3/ Vị trí tơng đối hai đờng tròn Cho hai đờng tròn (O; R) (O'; R') OO' > R + R' Hai đờng tròn OO' = R + R' Hai đờng tròn tiếp xúc R - R'< OO' < R + R' Hai đờng tròn cắt WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 57 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net R - R'= OO' Hai đờng tròn tiếp xúc R - R'> OO' Hai đờng tròn đựng 4/ Tiếp tuyến đờng tròn, dây cung đờng tròn */ Qua điểm nằm đờng tròn có tiếp tuyến với đờng tròn đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng nói tâm với tiếp điểm */ Qua điểm nằm đờng tròn có hai tiếp tuyến với đờng tròn đó, khoảng cách từ điểm tới tiếp điểm */ Trong đờng tròn hai dây cung cách tâm */ Trong đờng tròn hai dây cung khác nhau, dây lớn gần tâm II/ Bài tập Bài Cho tam giác ABC M điểm thuộc đáy BC vẽ MD AB ME AC Trên tia BD CE lần lợt lấy điểm I, K cho D trung điểm BI, E trung điểm CK a/ Chứng minh bốn điểm A, D, M, E thuộc đờng tròn b/ Với vị trí M đáy BC điểm B, I, K ,C thuộc đờng tròn Giải K A a/ Ta có D E nhìnđoạn AM dới góc vuông nên bốn điểm A, D, M, E thuộc I đờng tròn đờng kính AM b/ MD trung trực BI nên MB = MI E D B C M ME trung trực CK nên MC = MK Để điểm B, I, K ,C thuộc đờng tròn phải có MB = MI = MK = MC M trung điểm BC Bài Cho hình vuông ABCD, gọi O giao điểm hai đờng chéo AC BD, M trung điểm đoạ OA, N trung điểm cạnh BC Chứng minh bốn điểm C, M, N, D thuộc đờng tròn DN > MC Giải Gọi H trung điểm OC ta có NH OC A M NH đờng trung bình OBC NH = OB Trang 58 B N O WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net H D C WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net NH = OM = OA (vì OA = OB) Vậy OMD = HNM (vì MH = OD = AC O = H = 900, NH = OM) HMN = ODM DMN = 900 C, M nhìn DN dới góc vuông bốn điểm C, M, N, D thuộc đờng tròn đờng kính DN DN > MC DN đờng kính MC dây cung đờng tròn qua bốn điểm C, M, N, D Bài Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB, điểm P di động đờng tròn cho PA < PB Dựng hình vuông APQR phía đờng tròn, tia PR cắt đờng tròn C a/ Chứng minh cung AC = cung CB b/ Chứng minh C tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AQB c/ Gọi O' tâm đờng tròn nội tiếp tam giác APB Chứng minh O ' thuộc đờng tròn qua A, Q, B Giải a/ Ta có: ABC = APC = 450 ( chắn cung AC ) P CA = CB cung AC = cung CB b/ Ta có: PC đờng trung trực AQ CA = CQ kết hợp với câu (a) CA = CQ = CB C tâm Q O' ACB vuông C có B = 450 ACB cân C A B R C đờng tròn ngoại tiếp AQB c/ O' tâm đờng tròn nội tiếp APB O' thuộc đờng phân giác PC, vẽ đờng phân giác BO' ta có: BO'C = O'BP + O'PB (góc tổng hai góc không kề với nó) mà O'BP = O'BA, O'PB = ABC = 450 BO'C = O'BA + ABC = O'BC O'CB tam giác cân CB = CO' O' thuộc đờng tròn qua A, Q, B Bài Cho nửa đờng tròn đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đờng thẳng AB chứa nửa đờng tròn ngời ta kẻ tiếp tuyến Ax dây AC bất kỳ, tia phân giác góc CAx cắt nửa đờng tròn D Các tia AD BC cắt E WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 59 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net a/ Chứng minh ABE cân B b/ Các dây AC BD cắt K Chứng minh EK AB c/ Tia BD cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác AKEF hình thoi d/ Cho BAC = 300 Chứng minh AK = 2KC Giải a/ Ta có: ABE cân B từ A1 =A2 cung AD = cung DC B1 = B2 E ABE cân E b/ ABC có hai đờng cao AC BD cắt F D C K K trực tâm EK AB c/ Ta có: A K 1 B FK AE, AFK cân A AF = AC FB đờng trung trực AE AK = KE, EF = FA AKEF hình thoi d/ BAC = 300 ABC = 600 ABE K trọng tâm AK = 2KC C2: ABC có BK đờng phân giác KC BC = = sin BAC = AK = 2KC KA BA Bài Từ điểm đờng tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN đờng tròn đó, gọi I trung điểm MN a/ Chứng minh điểm A, B, I, O, C thuộc đờng tròn b/ Nếu AB = OB tứ giác ABOC hình gì? Tính cạnh BC c/ Tính diện tích hình tròn độ dài đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo R Giải a/ ta có: B, I, C nhìn AO dới góc vuông điểm A, B, I, O,C thuộc đờng tròn b/ Nếu AB = OB AB = AC = OB = OC tứ giác ABOC hình thoi B Mặt khác: ABO = 900 ABOC hình vuông BC = OB =R A 2 R2 c/ S = BC ữ = ; C = BC ữ = R Rữ = ữ 2 Trang 60 O M I C WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net N WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Bài Cho tam giác ABC vuông A, gọi I trung điểm BC Vẽ hai đờng tròn (O) (O1) qua A cho chúng tiếp xúc BC B C a/ Chứng minh IA tiếp tuyến chung hai đờng tròn hai đờng tròn tiếp xúc với b/ CMR: OIO1 = 900 đờng tròn ngoại tiếp OIO1 tiếp xúc với cạnh BC Giải a/ IAO = ICO (vì OA = OC, IO chung, IA = IC = BC/2) Do: IA = IC = BC/2 mà IC tiếp tuyến IA tiếp tuyến (O) Tơng tự: IA tiếp tuyến (O1) O1 O A IA tiếp tuyến chung hai đờng tròn hai đờng tròn tiếp xúc với B I C b/ Ta có: OA = OC, IA = IC O thuộc đờng trung trực AC IO AC O1A = O1B, IA = IB O1 thuộc đờng trung trực AB IO1 AB mà BAC = 900 OIO1 = 900 Bài Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính CD = 2R Dựng Cx Dy vuông góc với CD từ điểm E nửa đờng tròn dựng tiếp tuyến với đờng tròn cắt Cx P cắt Dy Q a/ Chứng minh POQ vuông, POQ CED, tính tích CP.PQ theo R b/ Khi PC = R/2 chứng minh tỉ số diện tích POQ/CED = 25/16 Giải a/ Ta có: QE = QD, OE = OD QO đờng trung trực DE QO DE PE = PC, OE = OC PO đờng trung trực CE PO CE mà CED = 900 POQ y = 900 POQ vuông Q Ta có: ODE = OED = EQO ECD = OPQ POQ CED CP.DQ = PE.QE = OE2 = R2 x E P I C O D R R2 = 2R b/ Khi PC = DQ = R /2 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 61 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net PO = R 5R Do POQ CED tỉ số diện tích bình QO = R PQ = 2 phơng tỉ số đồng dạng SPOQ SCED 2 PQ 5R / 25 = ữ = ữ = CD 2R 16 Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) có A = 450, BC = a Vẽ đờng cao BB1 CC1, gọi O1 điểm đối xứng với O qua đờng thẳng B1C1 a/ Chứng minh tứ giác AB1O1C1 nội tiếp đờng tròn b/ Tính B1C1 theo a Giải a/ Ta có: BOC = 2BAC = 900 BC1C = BOC = BB1C = 900 điểm B, C1, O, B1, C đờng tròn A C1OB1 = 180 - C1CB1 = 180 - 45 = 135 0 0 C1O1B1 = C1OB1 = 135 O B1 C1 Tứ giác AB1O1C1 có C1O1B1 + B1AC1 = 1800 O1 Tứ giác AB1O1C1 nội tiếp đờng tròn C B b/ ABB1 vuông cân B1 B1A = B1B mà OB = OA OB1 đờng trung trực AB OB1 AB OB1 // CC1 tứ giác CC1OB1 hình thang mà nội tiếp đợc đờng tròn tứ giác CC1OB1 hình thang cân B1C1 = OC Xét BOC vuông cân O BC = OB2 + OC OC = a a B1C1 = 2 Bài Cho tam giác ABC vuông A có đờng cao AH Gọi I, J, K lần lợt tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, AHB, AHC a/ Chứng minh AI JK b/ Chứng minh tứ giác BJKC nội tiếp đờng tròn Giải a/ Xét AEC, góc AEB = EAC + ACB Ta có: BAE = BAH + EAH Mà EAC = EAH, ACB = BAH AEB = BAE A ABE cân B có BJ tia phân giác BJ AE Tơng tự ta có: CI AD Xét AJK ta có I trực tâm AI JK Trang 62 I K J B D H E WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net C WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net b/ Cộng góc IKJ = CBI CBJ + JKC = 1800 tứ giác BJKC nội tiếp Bài 10 Cho đờng tròn (O1; R1) đờng tròn (O2; R2) tiếp xúc D, từ điểm A thuộc (O1; R1) kẻ tiếp tuyến với (O1; R1) cắt đờng tròn (O2; R2) B C Chứng minh A cách đờng thẳng BD CD Giải Giả sử tiếp tuyến D hai đờng tròn cắt AB F BCD = BDF (cùng chắn cung BD) F A O2 Mặt khác: FA = FD FDA = FAD O1 BDA = BDF + FDA = BDF + + BAD = BCD + BAD = ADE C B D C E DA tia phân giác BDE A cách BD CD WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 63 [...]... 15 (2) 5 19 Giải (1) 17(x - y) + 7(2x + y) = 7.7.17 31x - 10y =833 (2) 19( 4x + y) + 5(y - 7) = 19. 5.15 19x + 6y = 365 31x 10y = 833 93 x 30y = 2 499 x = 23 Vậy hệ phơng trình 19x + 6y = 365 95 x + 30y = 1825 y = 12 Bài 6 Trang 22 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net (1) x + y + z = 1 Giải hệ phơng trình: x + 2y + 4z = 8 (2) x + 3y + 9z = 27 (3) Giải x + y... 6)( 49 20 6) 5 2 6 9 3 11 2 d/ D = 1 2+ 3 + 1 3+ 4 5 3 29 12 5 + + 1 199 8 + 199 9 Bài 2 Trục căn thức ở mẫu a/ A = 6 2 2 2+ 3 4 3 b/ B = 2 3 4+ 3 2+ 2 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 19 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Chuyên đề 4 Phơng trình bậc nhất - Đồ thị hàm số bậc nhất - Hệ phơng trình bậc nhất I/ Phơng trình bậc nhất ĐN: Là phơng trình có dạng: ax + b = 0, trong đó a, b là các. .. 3 Rút gọn biểu thức chứa căn: a/ A = 15 6 6 + 33 12 6 b/ B = 8 2 15 8+ 2 15 c/ C = 4+ 7 4 7 d/ D = 4 + 10 + 2 5 + 4 10 + 2 5 e/ E = f/ F = 4 49 + 20 6 + 4 49 20 6 1 1+ 5 + 1 5+ 9 + 1 9 + 13 + + 1 2001 + 2005 Giải a/ A = 15 6 6 + 33 12 6 = 9 6 6 + 6 + 9 12 6 + 24 = = (3+ 6)2 + (3 2 6)2 = 3+ 6 + 2 6 3 = 3 6 b/ B = 8 2 15 8+ 2 15 = 5 2 15 + 3 5+ 2 15 + 3 = ( 5 3)2 ( 5 + 3)2 = 5 3 ( 5 + 3)... ( 5 + 1)2 = 5 + 1 e/ Ta có: 49 + 20 6 = 25+ 20 6 + 24 = (5 + 2 6)2 = [( 3 + 2)2]2 = ( 3 + 2)4 49 20 6 = 25 20 6 + 24 = (5 2 6)2 = [( 3 2)2]2 = ( 3 2)4 Vậy E = 3 + 2 + 3 2 = 2 3 5 1 9 5 13 9 2005 2001 2005 1 + + + + = 4 4 4 4 4 f/ F = Bài 4 Rút gọn các biểu thức sau: a/ A = x+ 4 x 4 + x 4 x 4 b/ B = x2 + 2 x2 1 x2 2 x2 1 c/ C = 2x 1+ 2 x2 x + 2x 1 2 x2 x Giải a/ A = x + 4 x 4 + x ... + 3z = 7 x + 3y + 9z = 27 y + 5z = 19 x + y + z = 1 y + 3z = 7 2z = 12 x = 6 y = 11 z = 6 IV/ Đồ thị hàm số bậc nhất Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) là đờng thẳng đi qua hai điểm A(0;b) và B(-b/a; 0) Bài 7 Vẽ đồ thị các hàm số sau: a/ y = 2x - 1 b/ y = x 1 c/ y = 2 x2 2x + 1 d/ y = x + 1 + x 2 e/ x + y = 1 BTVN Bài 1 Giải và biện luận các phơng trình sau: a/ m2x = 9x + m2 - 4m + 3 b/ x+... ax + b = 0, trong đó a, b là các số thực, x là ẩn Cách giải: Phơng trình ax = -b Nếu a 0 x = -b/a Nếu a = 0 0x = -b Nếu b = 0 PT vô số nghiệm Nếu b 0 PT vô nghiệm II/ Bài tập Bài 1 Giải và biện luận các phơng trình sau: a/ mx + 2(x - m) = (m + 1)2 + 3 (1) b/ 3(m + 1)x + 4 = 2x + 5(m + 1) (2) c/ m2(x + 1) = x + m (3) d/ x m x 3 + =2 x 2 x (4) Giải a/ (1) (m + 2)x = m2 + 4m + 4 (m + 2)x = (m... nghiệm Giải (1) ( m2 - 5m + 6)x = m - 1 (m - 2)(m + 3)x = m - 1 (m 2)(m+ 3) = 0 m = 2 m = 3 a/ Phơng trình vô nghiệm m 1 0 b/ phơng trình có nghiệm (m - 2)(m + 3) 0 m 2 m -3 III/ Hệ phơng trình bậc nhất Bài 3 2x + my = 1 (1) Cho hệ phơng rình: mx + 2y = 1 (2) a/ Giải hệ khi m = 1 b/ Giải và biện luận hệ phơng trình c/ Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) với x, y là các. .. nghiệm này bằng hai nghiệm kia d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 = x22 Giải a/ ' = m2 - 2m + 1 = (m + 1)2 0 với mọi m phơng trình luôn có nghiệm b/ 2x12 + 2x22 - 5x1x2 = 27 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] - 5x1x2 = 27 2(x1 + x2)2 - 9x1x2 = 27 8m2 - 9( 2m + 1) = 27 8m2 - 18m - 18 = 0 4m2 - 9m - 9 = 0 m = 3 m = -3/4 Trang 26 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net... trình bậc cao Bài 8 Giải các phơng trình sau: a/ x3 - 2x2 - x + 2 = 0 b/ x4 - 3x3 + 6x2 + 3x + 1 = 0 c/ x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 d/ (x2 - 3x + 1)(x2 - 3x + 2) = 2 e/ (x + 9) (x + 10) (x + 11) - 8x = 0 f/ (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 Giải a/ Nhẩm thấy x = 2 là nghiệm phân tích VT làm xuất hiện x - 2 x3- 2x2 - x + 2 = 0 x2(x- 2)- (x- 2) = 0 (x- 2)(x2 - 1) = 0 x = 0 x = 1 Cách khác: x3 - 2x2... WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Chuyên đề 6 Giải phơng trình, bất phơng trình chứa gttđ và căn thức I/ Giải phơng trình chứa GTTĐ */ Dạng cơ bản B 0 B 0 A= B 2 2 A = B A = B A= B A2 = B2 A = B */ Dạng không cơ bản nếu A 0 nếu A < 0 A - Dùng định nghĩa: A= A - Dùng các tính chất của giá trị tuyệt đối: a = a a 0 a = -a a 0 a + b = a + b a.b 0 a + b = a + b a 0 và b 0 Bài 1 Giải các phơng trình sau: a/ ... (1) Giải hệ phơng trình: 4x + y + y = 15 (2) 19 Giải (1) 17(x - y) + 7(2x + y) = 7.7.17 31x - 10y =833 (2) 19( 4x + y) + 5(y - 7) = 19. 5.15 19x + 6y = 365 31x 10y = 833 93 x 30y = 2 499 ... b/ B = + 15 15 (5+ 6)( 49 20 6) 11 d/ D = 2+ + 3+ 29 12 + + 199 8 + 199 9 Bài Trục thức mẫu a/ A = 2 2+ b/ B = 4+ 2+ WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 19 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net... WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Trang 39 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Chuyên đề Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình I/ Các bớc để giải toán cách lập phơng trình, Hệ phơng trình