BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thị Thu Trang CÁC BẤT BIẾN CỦA MỘT LỚP CON CÁC ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC CHIỀU Chuyên ngành : Hình học Tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Lê Anh Vũ Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, Thầy tạo hội cho làm quen với lý thuyết nhóm Lie đại số Lie, hiểu thuật toán tính bất biến đại số Lie từ tự giải toán Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy tổ Hình học, khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học Cao học Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Huệ, Bến Cầu, Tây Ninh toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Tp Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2008 Tác giả Lê Thị Thu Trang DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Aut(V) : Nhóm tự đẳng cấu tuyến tính không gian vectơ V GL(V) : Giống hoàn toàn Aut(V) exp : Ánh xạ mũ exp G : Không gian đối ngẫu đại số Lie G GL(n, Lie(G) Mat(n, ) : Nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực : Đại số Lie nhóm Lie G ) : Tập hợp ma trận vuông cấp n hệ số thực : Trường số thực : Trường số phức TeG : Không gian tiếp xúc G điểm đơn vị e C   G*  : Không gian hàm khả vi vô hạn lần G * Aut( G ) : Nhóm tự đẳng cấu tuyến tính G End(V) : Không gian đồng cấu không gian vectơ V Der( G ) : Tập hợp toán tử vi phân G F : Quỹ đạo Kirillov qua F MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số Lie thực với số chiều thấp có nhiều ứng dụng lĩnh vực Toán học Vật lí học Cụ thể phân loại lớp đẳng cấu đại số Lie với số chiều thấp tảng sở ban đầu để hình thành phương pháp tính bất biến đại số Lie cách thay đổi hệ tọa độ Lý thuyết biểu diễn ngành thuộc lĩnh vực Hình học – Tôpô Đối tượng quan trọng lý thuyết biểu diễn nhóm Lie đại số Lie Vấn đề nghiên cứu phân loại biểu diễn nhóm Lie đại số Lie hướng nghiên cứu lớn lĩnh vực Để giải toán này, năm 1962, A A Kirillov (xem [Ki]) phát minh phương pháp quỹ đạo nhanh chóng trở thành phương pháp hiệu để nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm Lie Phương pháp cho phép ta nhận tất biểu diễn bất khả quy unitar nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải từ K – quỹ đạo nguyên Trong khoảng thập niên 60 70 kỷ trước, phương pháp quỹ đạo Kirillov nghiên cứu cải tiến, mở rộng áp dụng lý thuyết biểu diễn nhóm Lie nhiều nhà toán học giới L Auslander, B Kostant, Đỗ Ngọc Diệp,… Đóng vai trò then chốt phương pháp quỹ đạo K – quỹ đạo biểu diễn đối phụ hợp Do đó, việc nghiên cứu K – biểu diễn nhóm Lie, nhóm Lie liên thông giải được, có ý nghĩa đặc biệt quan trọng lý thuyết biểu diễn nhóm Lie Các nhóm Lie đại số Lie giải có cấu trúc không phức tạp, nhiên việc phân loại chúng chưa giải triệt để Năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp đề nghị xét lớp nhóm Lie đại số Lie thực giải mà đơn giản phương diện phân tầng K – quỹ đạo Đó lớp MD – nhóm MD – đại số Một nhóm Lie thực giải mà K – quỹ đạo không chiều chiều cực đại gọi MD – nhóm Khi số chiều cực đại số chiều nhóm nhóm gọi MD – nhóm Đại số Lie MD – nhóm (tương ứng, MD – nhóm) gọi MD – đại số (tương ứng, MD – đại số) Năm 1982, Hồ Hữu Việt phân loại triệt để lớp MD – đại số Lớp gồm đại số Lie giao hoán n – chiều chiều aff n (n  1) , đại số Lie – đại số Lie – chiều aff Việc phân loại lớp MD – đại số đến toán mở Để đơn giản hơn, ta phân nhỏ lớp MD – nhóm MD – đại số theo số chiều Tức xét lớp MDn – nhóm (và MDn – đại số) gồm MD – nhóm (và MD – đại số) n – chiều Vì tất đại số Lie – chiều liệt kê hết từ lâu nên ta xét lớp MDn – nhóm MDn – đại số với n  Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tra]) liệt kê toàn lớp MD4 – đại số Đến năm 1990, báo luận án Tiến sĩ mình, Lê Anh Vũ (xem [Vu1], [Vu2], [Vu3]) phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) MD4 – đại số Hiện tại, lớp MD5 – đại số chưa liệt kê phân loại đầy đủ Tuy nhiên, lớp MD5 – đại số với ideal dẫn xuất giao hoán Lê Anh Vũ liệt kê phân loại năm 2006 Mới đây, báo: “Computation of Invariants of Algebras by Means of Moving frames”, arXiv: math–ph/0602046 v2 11 Apr 2006, tác giả Vyacheslav Boyko, Jiri Patera Roman Popovych giới thiệu phương pháp cho việc tính toán toán tử bất biến (toán tử Casimir tổng quát) đại số Lie – thuật toán tính toán tử Casimir tổng quát đại số Lie Thuật toán sử dụng phương pháp thay đổi tọa độ Cartan kiến thức nhóm phép tự đẳng cấu đại số Lie Đặc biệt, thuật toán ứng dụng để tính toán bất biến đại số Lie thực số chiều thấp Khác với phương pháp thông thường không dẫn đến việc giải hệ phương trình vi phân mà thay việc giải hệ phương trình đại số, tức làm việc lĩnh vực đại số túy – thuận lợi chủ yếu phương pháp Hơn nữa, việc tính toán đơn giản hay không phụ thuộc vào việc lựa chọn sở đại số Lie Hiện chưa có giải vấn đề tính bất biến MD– đại số Bởi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu bất biến MD–đại số Cụ thể, muốn hệ thống lại khái niệm đại số Lie, lớp MD–đại số Lie Đồng thời sở thuật toán tác giả Vyacheslav Boyko, Jiri Patera Roman Popovych đưa báo “Computation of Invariants of Algebras by Means of Moving frames”, cố gắng tính bất biến vài MD4–đại số Bởi vậy, đề tài mang tên: “Các bất biến lớp đại số Lie giải chiều” Mục đích Dùng thuật toán nhà toán học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera Roman Popovych đưa để nghiên cứu bất biến đại số Lie Đối tượng nội dung nghiên cứu Lớp MD4–đại số với ideal dẫn xuất giao hoán bất biến chúng Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tính tường minh sở bất biến lớp MD4–đại số với ideal dẫn xuất giao hoán Và áp dụng thuật toán để tính toán bất biến MD5–đại số, MD6–đại số vài MDn (5 < n) đặc biệt Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, chương nội dung phần kết luận Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ vấn đề đặt toán nghiên cứu Chương 1: Giới thiệu khái niệm đại số Lie, nhóm Lie, lớp MD – nhóm, MD – đại số Phần trình bày kiến thức cần thiết liên quan đến toán xét Chương 2: Giới thiệu thuật toán nhà toán học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera Roman Popovych nghiên cứu để tính toán bất biến đại số Lie Chương 3: Áp dụng thuật toán để tính bất biến lớp đại số Lie giải chiều Phần kết luận: Đưa nhận xét vấn đề mở cần phải tiếp tục nghiên cứu tiếp sau đề tài Các nghiên cứu đạt dựa việc tính toán tuý đại số trợ giúp máy tính Các kí hiệu dùng luận văn ký hiệu thông dụng giải thích dùng lần đầu (xem Danh mục ký hiệu) Chương ĐẠI SỐ LIE VÀ NHÓM LIE Chương chủ yếu đưa sở lý thuyết cho kết nghiên cứu chương sau, giới thiệu đối tượng nghiên cứu lớp MD – nhóm lớp MD – đại số mà quan tâm Trước hết, ta nhắc lại khái niệm tính chất đại số Lie (thực) nhóm Lie Một số mệnh đề định lý phát biểu không chứng minh Độc giả quan tâm đến chứng minh muốn tìm hiểu sâu khái niệm xin xem tài liệu [Ha-Sch], [Ki] 1.1 Đại số Lie 1.1.1 Định nghĩa Cho K trường G không gian vectơ K Ta bảo G đại số Lie K hay K – đại số Lie G cho phép nhân mà gọi móc Lie: .,. : G  G  G  x, y    x, y (tích Lie hay móc Lie x y) cho tiên đề sau thoả mãn: (L1) Móc Lie hoán tử song tuyến tính Tức là: x  y,z     x,z     y,z ,  x, y  z     x, y    x, z ; x, y, z  G, ,   K (L2) Móc Lie phản xứng Tức là: [x,x] = 0, x  G (L3) Móc Lie thoả mãn đồng thức Jacôbi Tức là:  x, y  ,z    y,z  , x    z, x  , y   Nhận xét  x, y, z  G  Nếu K trường có đặc số khác (L2) tương đương với  L2  :  x, y    y, x , x, y  G Nếu [x,y] = 0, x, y  G ta bảo móc Lie tầm thường G đại số Lie giao hoán Số chiều đại số Lie G số chiều không gian vectơ G Cho G không gian hữu hạn chiều trường K Giả sử số chiều G n Cấu trúc đại số Lie G cho móc Lie cặp vectơ thuộc sở e1 , e2 , , en  chọn trước G sau: n ei , e j    cijk ek ,  i[...]... sau đó, lớp các MD – đại số và MD – đại số đã được Vương Mạnh Sơn và Hồ Hữu Việt xét năm 1982 Hồ Hữu Việt đã phân loại triệt để lớp MD – đại số; Vương Mạnh Sơn đã đưa ra một điều kiện cần để một đại số Lie thực giải được là MD – đại số Mệnh đề Giả sử G là một MD – đại số Khi đó G 2   G, G  , G, G  là một đại số con giao hoán trong G Chương 2 THUẬT TOÁN TÍNH CÁC BẤT BIẾN CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE BẰNG... nào là các bất biến của một đại số Lie? 2.1 Khái niệm về các bất biến của đại số Lie Xét đại số Lie G có số chiều dim G = n <  trên trường hoặc và G là nhóm Lie liên thông tương ứng Ở đây ta chỉ xét trong trường hợp đại số Lie thực Bất kỳ cơ sở (cố định) e1, e2, …, en của G cũng đều thỏa mãn các hệ thức [ei ,e j ] =  cijk ek , trong đó cijk là các thành phần tensor của các hằng số cấu trúc của G trong... vectơ bất biến trái}, thì G là đại số Lie con của X(G) và gọi là đại số Lie của nhóm Lie G Đôi khi ta ký hiệu là G =Lie( G) Các ví dụ Ví dụ 1: Đại số Lie tương ứng với nhóm Lie G = ( ,+) là G = Lie( G) = Ví dụ 2: Đại số Lie tương ứng với nhóm Lie G = ( * , ) là G = Lie( G) = Ví dụ 3: Đại số Lie tương ứng với nhóm Lie G = GL(n, G = Lie( G) = Mat(n, ) ) là 1.3.2 Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại. ..    Dễ thấy rằng, tâm của G là tầm thường, do đó biểu diễn ad ở đây là khớp Nói cách khác, đại số Lie G = 3 với móc Lie là tích có hướng thông thường đẳng cấu với đại số Lie các trận thực phản xứng cấp 3 1.1.5 Đại số Lie giải được và đại số Lie luỹ linh Cho G là một đại số Lie và M là một không gian con của G Ta bảo M là đại số con của G nếu  M,M   M Ta bảo M là ideal của G nếu  G ,M   M ...Định lý (Định lý Ado) Mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có ít nhất một biểu diễn tuyến tính khớp hữu hạn chiều Định lý quan trọng này nói lên rằng, có thể quy tất cả các phép chứng minh của đại số Lie về trường hợp đại số Lie ma trận 1.1 .4 Biểu diễn chính quy của đại số Lie Cho G là đại số Lie Der( G ) = {f: G  G / f là toán tử vi phân} là đại số Lie Đồng cấu đại số Lie ad : G  Der  G   End... bản) của Inv( AdG* ), vì vậy tập các SymFl(e1, e2, …, en), l = 1, …, N G được gọi là cơ sở của Inv( G ) Nếu đại số Lie G phân tích được thành tổng trực tiếp của các đại số Lie G 1 và G 2 thì hợp của các cơ sở của Inv( G 1) và Inv( G 2) là một cơ sở của Inv( G ) 2.2 Thuật toán tính các bất biến của đại số Lie Phương pháp cơ bản của việc xây dựng các toán tử Casimir tổng quát là phép lấy tích phân của. .. aij  (đại số các ma  0 , 1  j