BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trương Văn Chính BÀI TOÁN PARABOLIC LIÊN QUAN ĐẾN SỰ XUYẾN THẤU CỦA TỪ TRƯỜNG TRONG MỘT VẬT CHẤT Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thành Long Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn này, trân trọng kính gởi đến Thầy Nguyễn Thành Long người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ vượt qua khó khăn để hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân thành sâu sắc Xin bày tỏ lòng biết ơn Quý Thầy, Cô Khoa Toán–Tin học, trường Đại Học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức hỗ trợ khác tinh thần tư liệu cho suốt thời gian học tập làm việc Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Ban Chủ nhiệm Khoa Toán –Tin học, Quý Thầy, Cô thuộc Phòng Quản lý Khoa học Công nghệ Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện thuận lợi thủ tục hành cho suốt trình học tập Chân thành cảm ơn Quí Thầy Nguyễn Bích Huy, Trần Minh Thuyết đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn Xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp bạn lớp cao học giải tích khóa 15 động viên quan tâm thời gian học tâp làm luận văn Vì kiến thức thân nhiều hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong bảo Quý Thầy, Cô góp ý chân thành bạn bè đồng nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2007 Trương Văn Chính MỞ ĐẦU Trong luận văn xét toán giá trị biên ban đầu sau: (0.1) u t  A  u   F(x,u)  f (x, t), (x, t)  x(0,T), (0.2) u  x(0,T), (0.3) u(x,0)=uo (x),  (0.4)  N  t   u    A(u) a    0 u(x, ) d ,   x x i  i  i    N u    ,  u     x  i    i1  miền mở, bị chận N có biên đủ trơn  Các giả thiết hàm a, F, f uo cần thiết rõ sau Bài toán xét Laptev [4] với f=0, F=0 mà ý nghĩa xuyên thấu từ trường vào vật chất Để mô tả tượng sinh vật dẫn đặt từ trường thay đổi bên ngoài, trường hợp xấp xỉ dừng, Laptev [4] đề nghị hệ phương trình B c  rot[ rot H], div B=0, t 4  H, B cường độ cảm ứng từ trường,  suất dẫn điện vật chất số c vận tốc ánh sáng chân không Ta thu phương trình thứ (0.5) việc khử E từ hệ: (0.5) (0.6) B  rot E   , div B  0,  c t  rot E  4 j, j  E  c Xuyên thấu vào vật chất, biến thiên từ trường bên sinh vật chất điện trường biến thiên có cường độ E Đây nguyên nhân xuất dòng điện có mật độ j Dòng điện sinh nhiệt vật chất có nhiệt độ , phụ thuộc vào suất dẫn điện  Giả sử suất dẫn điện       phụ thuộc vào nhiệt độ , ta thêm vào (0.5) phương trình gây nhiệt nhờ nóng lên Joule: (0.7) Cv   j, t  C v nhiệt dung vật chất mà trường hợp tổng quát phụ thuộc vào nhiệt độ  Để hệ đơn giản ta giả sử độ thấm từ   B=H Do đó, dựa vào định luật j  E từ (0.6), hệ (0.5), (0.7) viết theo dạng đây: (0.8) H c  rot[()rot H], div H=0, t 4 (0.9)  c C v ()  () rot H , t 4 ta đặt      Hệ (0.8), (0.9) bỏ qua số hiệu ứng vật    lý, chẳng hạn tính dẫn nhiệt môi trường tác động bên Tuy nhiên, theo quan điểm toán học, làm phức tạp thêm việc trình bày, ta cần xét (0.8), (0.9) Laptev biến đổi (0.8), (0.9) thành phương trình hàm s(  ) đây: (0.10) Cv    d o     s      Để đơn giản ta giả sử trình bắt đầu lúc t = nhiệt độ vật chất lúc tương ứng với số o Chia (0.9) cho     Khi đó, từ (0.10) ta suy ra: C      c s    v  rot H t     t 4 (0.11) Tích phân (0.11) theo biến thời gian ta thu (0.12) s     t c rot H d 4 Các hàm C v (),     dương nhờ vào ý nghĩa vật lý chúng, hàm s    đơn điệu tăng Do có hàm ngược, ký hiệu   s 1 Từ hệ thức    s     , (0.13) ta suy  t c     s         rot H d   4    (0.14) Thế (0.14) vào phương trình (0.8), ta viết (0.8) thành (0.15) (0.16) ta đặt (0.17) (0.18) w  rot a  t div w = 0,   rot w  x, d rot w , t c2 c    s   , w= H 4 4 Giả sử trường w có dạng a s  w=  0,0,u  , u   x, y, t  , u hàm nhận giá trị thực Khi phương trình (0.16) tự động thoả mãn Nếu hàm số     bị chận, tức  o       1 , a(s) c2 c2 vậy, tức o  a  s   1 4 4 Hiện tượng ý hai trường hợp bán dẫn plasmas Trong [4] Laptev thiết lập định lý tồn nghiệm cho phương trình (0.1) với f  F  0, u o  H1o    a  C1   ,  điều kiện: (0.19) 2b  a o  a  s   a1 , s  0, (0.20)   b    s a '  s  ds       2 Để nới rộng kết Laptev, báo [6], Long Alain Phạm chứng minh định lý tồn tại, dáng điệu nghiệm t   cho toán (0.1)-(0.4) f (x, t)  0, F  F  u  , F  Co  , , trường hợp u o  L2    , F    cho F  u   u hàm không giảm, với   đủ nhỏ, F biến tập bị chận L2    thành tập bị chặn L2    hàm a  C1   ,  thoả điều kiện (0.19), (0.20) Trong [6], Long Alain Phạm thu nghiệm u thuộc L2  0,T;H  H1o   L  0,T;H1o  , tăng cường thêm giả thiết u o  H1o ; F  C1  ;  , F    0,F'  ,   F Lipschitz địa phương Gần đây, T.A Jangveladze, Z.V Kiguradze [3], nghiên cứu dáng điệu tắt dần nghiệm toán tương tự với miền chiều   (0,1) Luận văn trình bày theo chương mục sau: Phần mở đầu tổng quan toán khảo sát luận văn, điểm qua kết có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương 1, trình bày số công cụ chuẩn bị, bao gồm việc nhắc lại số không gian hàm, số kết phép nhúng compact không gian hàm Chương 2, trình bày tồn nghiệm yếu toán (0.1)–(0.4), QT    (0,T), F  Co    , , giả thiết u o  L2    , f  L2  QT  , F(x,0)  cho F  u   F(x,u)  u hàm không giảm theo biến u, với   đủ nhỏ, F biến tập bị chận L2    thành tập bị chận L2    hàm a  C1   ,  thoả điều kiện (0.19), (0.20) Chương phần nghiên cứu tính trơn nghiệm yếu toán (0.1) – (0.4), theo tính trơn điều kiện đầu Cụ thể tăng cường giả thiết điều kiện đầu u o  H1o    với số điều kiện hàm f, F, a, chứng tỏ nghiệm yếu u thuộc L2  0,T;H  H1o   L  0,T;H1o  u t  L2  QT  Chương 4: Nghiên cứu tính bị chận nghiệm yếu toán (0.1) – (0.4) theo tính bị chận điều kiện đầu Trong chương này, u o  L    với số điều kiện khác hàm f, F, a, luận văn chứng tỏ nghiệm yếu u thuộc L  QT  Chương đề cập đến dáng điệu tiện cận nghiệm yếu toán (0.1)–(0.4) t   Cuối phần kết luận tài liệu tham khảo CHƯƠNG CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ Các không gian hàm thông dụng Ta kí hiệu   N miền mở, bị chận, có biên  đủ trơn, QT    (0,T), T  , bỏ qua định nghĩa không gian hàm thông dụng: Cm (), Lp (), H m (), W m,p () Để cho gọn, ta kí hiệu lại sau: Lp  Lp (), H m  H m ()  W m,2 (), W m,p =W m,p () Có thể xem [1, 2] Ta định nghĩa L2  L2 () không gian Hilbert với tích vô hướng: (1.1)  u, v    u(x)v(x)dx, u, v  L2  Kí hiệu để chuẩn sinh tích vô hướng (1.1), nghĩa là: (1.2)   u   u,u     u (x)dx  , u  L2   Định nghĩa không gian Sobolev cấp (1.3)   v H1   v  L2 :  L2 , i  1,2, , N  x i   Không gian không gian Hilbert tích vô hướng: (1.4) u, v N H1  u, v   i 1 u v , x i x i Kí hiệu H1 để chuẩn sinh tích vô hướng (1.4), nghĩa là: (1.5) u H1  u,u H1 , u  H1 Ta có bổ đề liên hệ hai không gian L2 H1 sau: Bổ đề 1.1 Phép nhúng H1  L2 compact (1.6) v  v H1 , v  H1 Chứng minh bổ đề 1.1 tìm thấy [2] Ta sử dụng không gian Sobolev đặc biệt không gian (1.7) H  D() H1 H1  c  C ( ) (bao đóng không gian H1 không gian hàm khả vi vô hạn có giá compact  ) H10 không gian đóng H1 , đó, H10 không gian Hilbert tích vô hướng H1 Mặt khác, H10 , v H1 chuẩn H1 v H1  N v    dx  nửa chuẩn H1 hai chuẩn tương   i 1 x i    đương Điều cho bất đẳng thức Poincaré sau: Bổ đề 1.2 (Bất đẳng thức Poincaré) Tồn số C  C phụ thuộc vào  , cho (1.8)  N v  v  C    dx  , v  H1o   i1 x i    Chứng minh bổ đề 1.2 tìm thấy [2] Một cách đặc trưng khác để xác định H1o là: (1.9) H1o  v  H1 :  o v  0 Chú thích 1.1 Trong [2] chứng minh tồn ánh xạ tuyến tính liên tục  o : H1 ()  L2 () cho  o v  v  (hạn chế v  ), với v  C1 () Khi  o gọi ánh xạ vết Bổ đề 1.3 Đồng L2 với ( L2 )’ (đối ngẫu L2 ) Khi ta có H1  L2  (L2 )' (H1 )' với phép nhúng liên tục nằm trù mật Chứng minh Trước hết ta chứng minh L2 nhúng (H1)’ Vì H1  L2 , với w  L2 , ánh xạ (1.10) Tw : H1  v  Tw (v)  w,v   w(x)v(x)dx  tuyến tính, liên tục H1, tức Tw  (H1 ) ' Ta xét ánh xạ T : L2  (H1 ) ' w  T(w)  Tw (1.11) Khi ta có Tw , v (1.12)  H  '  w,v , v  H , w  L Ta chứng minh toán tử T thỏa tính chất sau: (i) T : L2  (H1 ) ' đơn ánh, (ii) Tw (iii) T(L2 )  Tw : w  L2  trù mật (H1)’ (H1 ) '  w , w  L2 , Chứng minh (i): Dễ thấy w,v  Tw , v T tuyến tính Nếu Tw=0,  0, v  H1 (H1 ) ',H 1 Do H1o trù mật L2, nên ta có w,v  0, v  L2 Do w = Vậy T đơn ánh, nghĩa T phép nhúng từ L2 vào (H1)’ Chứng minh (ii): Ta có, với w  L2 , Tw (H1 ) '  sup vH1 , v  1 H1 w v  sup vH1 , v Tw , v  sup vH1 , v sup vH1 , v 1 H1 w, v 1 H1 w v 1 H1 H1  w Chứng minh (iii): Ta chứng minh phiếm hàm tuyến tính liên tục (H1)’ triệt tiêu T(L2) triệt tiêu (H1)’ Coi L  (H1 )", với L, Tw (H1 )",(H1 ) '  0, Tw  T(L2 ) Ta chứng minh L = Thật vậy, H1 phản xạ, tức (H1)” = H1, theo nghĩa (1.13) L  (H1 )", v  V : L,z (H1 )",(H1 ) '  z, v (H1 ) ',(H1 ) Lấy z  Tw  (H1 ) ', ta có  L,Tw (H1 )",(H1 ) '  Tw , v (H1 ) ',(H1 )  w,v , w  H1 , z  (H1 )' J * 2 N  u n L2 (Q1 ) 2 Di2 T1meas()  u n  i 1 N  2 Di2 T1meas()  T1 M T  (3.28) i 1 N  2T  Di2  meas()  M T  i 1 L2 (Q1 )   MT 2a o MT   M (1) T  , 2a o đó, ta ký hiệu M (i) T , i=1,2, số độc lập với n, phụ thuộc vào T T1 (iii) Đánh giá số hạng J   f (t), u(t) dxdt * T1 J   f (t) u n (t) dt *  f (3.29)  f  f L2 (Q1 ) u n L2 (Q1 ) L2 (QT ) u n L2 (QT ) L (QT ) MT  M(2) T 2a o Dựa vào đánh giá (3.3), (3.14), (3.15), (3.16), (3.25), (3.28), (3.29) ta suy ra: T1 u n (T1 )  2(a o  2bC* )  u n (t) dt (3.30)  MT (2)  2M (1) T  2M T  C o  M*, ao với T1, < T1 < T, hay (3.31) u n  L  u n (0,T;L ) 2 L2 (QT )  M (3) T , với n Ta ý (3.32) Au n (t)  a(s n (x, t))u n (t)  n (x, t) Do (3.18), (3.32) giả thiết (B2)(ii) ta có Au n L2 (Q1 ) (3.33)  a(s n )u n  n L2 (Q1 )  a(s n )u n  n  a1 u n L2 (Q1 ) L2 (Q1 ) L2 (Q1 )  2bC* u n L2 (Q1 ) , T1 ,  T1  T Do đó, thay Q1 QT , kết hợp (3.31) ta (3.34) Au n  L2 (QT )  (a1  2bC* ) u n L2 (QT )   M T(4) , từ (3.5), giả thiết B3(iv) ta có tồn Với B  v  H1o : v  M (3) T số KB > cho: F(x,u n (t)) (3.35) L (QT  K B u n ) L (QT  KB ) MT  M (5) T 2a o Từ (3.34), (3.35) ta có đánh giá tiên nghiệm cuối cùng: (3.36) (u n ) t L2 (QT )  Au n L2 (QT )  F(x,u n ) L2 (QT )  f L2 (QT )  M (6) T Do (3.5), (3.31), (3.36) ta suy từ dãy u n  trích dãy ký hiệu u n  cho: (3.37) u n  u L (0,T;H10 ) yếu *, (3.38) u n  u L2 (0,T;H10  H ) yếu, (3.39) (u n ) t  u t L2 (QT ) yếu Từ (3.38), (3.39), áp dụng bổ đề tính compact Lions [5], ta có dãy u n  có chứa dãy ký hiệu u n  cho: u n  u L2 (0,T;H10 ) mạnh (3.40) Từ (3.40) theo định lý Riesz – Fischer, tồn dãy u n  ký hiệu (3.41) u n  cho u n  u u n  u hầu khắp nơi QT Do F(x,.) liên tục nên từ (3.40), ta có (3.42) F(x, u n )  F(x, u) hầu khắp nơi QT Do (3.35) (3.42), theo bổ đề 1.11 ta (3.43) F(x,u n )  F(x,u) L2(QT) yếu Mặt khác, (3.40) nên ta lại có t   u (3.44) t () d   u() d dx n QT 0    u t  2 n ()  u() QT  d dx t    u n ()  u() u n ()  u() ddx QT t   u n  u u n  u dxd QT t    u n  u L2 (QT ) u n  u L2 (QT )  T u n  u L2 (QT ) u n   u L2 (QT ) d  Từ (3.44) cho ta kết luận t (3.45) t  u n () d  u() d mạnh L (QT ) hầu khắp 2 nơi QT Do (3.41), (3.45) tính liên tục a, ta (3.46) t  t  2 a   u n () d  u n  a   u() d  u hầu khắp nơi 0  0  QT Mặt khác, ta có: (3.47) t  a   u n () d  u n 0   a12 u n L2 (QT )  M T(7) , L2 (QT ) M (7) T số độc lập với n Từ (3.46), (3.47), áp dụng bổ đề 1.11 ta có: (3.48) t  t  a   u n () d  u n  a   u() d  u (L2(QT))N yếu 0  0  Nhân phương trình (2.36) với  D(0,T), lấy tích phân theo biến thời gian ta được: T  (3.49) T u n t (t), w j (t)dt   t  a   u n () d  u n (t), w j (t)dt 0  T T 0   F(x,u n (t)), w j (t)dt   f (t), w j (t)dt Từ (3.39), (3.43), (3.48), qua giới hạn (3.49) ta T  (3.50) T u t (t), w j (t)dt   t  a   u() d  u(t), w j (t)dt 0  T T 0   F(x,u(t)), w j (t)dt   f (t), w j (t)dt Đẳng thức (3.50) với   D(0,T) j  Do ta có T  (3.51) T u t (t), v(t) dt   t  a   u() d  u(t), v(t) dt 0  T T 0   F(u(t)), v(t) dt   f (t), v(t) dt, v  L2 (0,T;H10 ), hay T (3.52)  u t (t)  Au(t)  F(x,u(t))  f (t), v(t) dt  0, v  L2 (0,T;H10 ) Nghĩa là: (3.53) u t  Au  F(u)  f  L2 (Q T ) Lấy w  L2 (), u n , u  C(0,T;L2 ) nên dùng tích phân phần, ta có T (3.54)  T u n t (t),(T  t)w dt   u on , w T   u n (t), w dt Qua giới hạn (3.54) n   , nhờ vào (3.38), (3.39) ta T  (3.55) T u t (t),(T  t)w dt   u o , w T   u(t), w dt Mặt khác, lại có T  (3.56) T u t (t),(T  t)w dt   u(0), w T   u(t), w dt Từ (3.55), (3.56) ta có điều kiện đầu u(0) = uo Như tồn nghiệm yếu toán (2.1) – (2.4) chứng minh Chứng minh nghiệm Giả sử u, v nghiệm yếu hệ (2.1) - (2.4) Đặt w=u-v Khi w nghiệm yếu hệ  w t  Au  Av  F(x, u)  F(x, v)  0,   w =   (0,T), w(x,0)=0 (3.57) Chứng minh tương tự chứng minh định lý 2.1 ta có: T1 w(T1 )   Au(t)  F(x,u(t))  Av(t)  F(x, v(t)),u(t)  v(t) dt  0, hay T1 w(T1 )   Au(t)  Av(t),u(t)  v(t) dt (3.58) T1   F(x,u(t))  F(x, v(t)),u(t)  v(t) dt  0 Từ giả thiết (B3)(ii) ta có, g (x, u)  F(x,u)   u,   không giảm biến u nên 2 F(x,u)  F(x, v),u  v   u  v   w (3.59) Nhờ vào bổ đề (2.1) (3.59), từ (3.58) ta có T1 T1 w(T1)  2(ao  2b)  w(t) dt 2 w(t) dt, (3.60) w = u-v, T1,  T1  T Suy 2 (3.61) T1 w(T1 )  2  w(t) dt, T1 ,  T1  T 2 Áp dụng bổ đề Gronwall, ta có w(T1 )  0, T1 ,  T1  T nên w(T1 )  0, T1 ,  T1  T tức w = Tính nghiệm chứng minh Định lý 3.1 chứng minh CHƯƠNG TÍNH BỊ CHẬN CỦA NGHIỆM Trong chương nghiên cứu tính bị chận nghiệm yếu toán giá trị biên ban đầu (0.1) – (0.4) theo tính bị chận điều kiện đầu Cụ thể là, u o  L () với số điều kiện khác hàm f, F, a Luận văn chứng tỏ nghiệm yếu u thuộc L (QT ) Phương pháp chứng minh tương tự [8] Trước hết thành lập giả thiết sau: (A1' ) u o  L () (A3' ) Hàm F thỏa giả thiết (A3) thỏa điều kiện: uF(x, u)  0, u  , u  u o L (  ) với x   (A '4 ) f  L2 (QT ), f(x,t)  với hầu hết (x, t)  QT    (0,T) Khi đó, ta có định lý sau: Định lý 4.1 Giả sử giả thiết (A1' ), (A ), (A 3' ), (A '4 ) Khi đó, toán (2.1) – (2.4) có nghiệm yếu u  L (QT ) Chứng minh định lý 4.1 * Đặt M  u o L (  ) Khi z = u – M nghiệm toán giá trị biên ban đầu sau: (4.1) z t  A(z  M)  F(x,z  M)  f (x, t), (4.2) z(x, t)   M, (x, t)    (0,T), z(x,0)  u o (x)  M  (4.3) Nhân phương trình (4.1) với v  H10 lấy tích phân theo x ta được:  z (x, t).v(x)dx   A  z(x, t)  M .v(x)dx t (4.4)     F(x,z(x, t)  M).v(x)dx   f (x, t).v(x)dx   Do v  H10 nên v =  Từ suy ra:  A  z(x, t)  M .v(x)dx (4.5)  t  z         a   z() d   v(x)dx  x i 1  x i    i N t  z v dx    a   z() d  x x   i 1   i i  N t    a   z() d  zvdx  0  Từ (4.4), (4.5) ta được: (4.6) t      z (x, t).v(x)dx a z( ) d  zvdx  t   0    F(x,z(x, t)  M).v(x)dx   f (x, t).v(x)dx   Vì giả thiết định lý 2.1 chương thoả mãn nên toán (2.1) – (2.4) có nghiệm yếu z cho z  M  u  L2 (0,T;H10 )  L (0,T;L2 ) Trong (4.6) chọn v  z   z  z  , ta có v  z   ,  v  L2 (0,T;H10 )  L (0,T;L2 ) Khi đó, miền thoả z(x,t) > ta có z = z+, zt = (z+)t , z  z  nên  z (x).v(x)dx   t  (4.7) (4.8) z t (x).z  (x)dx  , z 0  d  z (x) dx dt  ,z 0  d d    z (x) dx z (t) , dt  dt t       A z(x, t) M v(x)dx a z( ) d     zvdx    0  t   2   a   z() d  z  dx  , z 0   t  2   a   z() d  z  dx  0  2  a o  z  (x) dx  a o z  (t)  Do (4.7), (4.8), từ (4.6) giả thiết A '4 ta được: d  z (t)  a o z  (t) dt   F(x,z  (x, t)  M).z  (x)dx (4.9)    f (x, t).z  (x)dx   Mặt khác, tính đơn điệu F(x,u)  u theo u giả thiết ( A 3' ) ta lại có  F(x,z  (x, t)  M).z  dx     (4.10)  , z 0 F(x,z  (x, t)  M).z  dx  , z 0  F(x,z  (x, t)  M)  F(x, M)  z  dx      z  dx   , z 0  F(x,M).z  dx  , z 0 2    z  dx   z  (t)  Do (4.10) nên từ (4.9) ta thu được: (4.11) 2 d  z (t)  2a z  (t)  2 z  (t) dt Suy d  z (t)  2 z  (t) dt Tích phân (4.12) theo biến thời gian cho ta (4.12) (4.13) 2 t z (t)  z (0)  2  z  () d     , z 0 F(x,M).z  dx Vì z  (0)  (u o (x)  M)   dụng bổ đề Gronwall  u o  M  (u o  M)   nên từ (4.13), áp ta z  (t)  Suy z+ = 0, u(x, t)  M  z  z   nên (4.14) u(x, t)  M với hầu hết (x, t)  QT * Tương tự, ta xét v  z  (4.15) z = u + M thay cho z  z  ta thu z- =  u(x, t)   M với hầu hết (x, t)  QT Từ (4.14), (4.15) cho ta (4.16) u(x, t)  M với hầu hết (x, t)  QT Tức u  L (Q T ) Định lý 4.1 chứng minh z = u - M chọn CHƯƠNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM YẾU Trong chương 2, theo định lý 2.1 toán (2.1) – (2.4) có nghiệm u  L2 (0,T;H10 )  L (0,T;L2 ) Trong chương nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu toán giá trị biên ban đầu (0.1) – (0.4) t   Trước hết thành lập giả thiết bổ sung thay cho giả thiết (A4) sau đây: f  L2 (Q )  L2 (0, ;L2 ), Q    (0, ), cho tồn số (A"4 ) dương K1 , 1 , thỏa (5.1) f (t)  K1e1t , t  Khi ta có định lý sau Định lý 5.1 Giả sử giả thiết (A1 )  (A ), (A"4 ) Khi đó, toán (2.1) – (2.4) có nghiệm yếu u  L2 (0, ;H10 )  L (0, ;L2 ), thỏa đánh giá (5.2) u(t)  K*.e *t , t  0, K* ,  * hai số dương Chứng minh: Chú ý đến (2.93) chứng minh Định lý 2.1, giả thiết (A"4 ) u 0n  u mạnh L2, nên từ (2.93) ta thu t u n (t)  2b  u n (s) ds  u 0n 2 (5.3)  u 0n 2 T Co2  f (s) ds  2b Co2  2b   M* số độc lập với n t Từ ta có (5.4) un L (0, ;L2 )  ess sup u n (t)  M* , 0[...]... có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact Bổ đề 1.10 (Bổ đề về tính compact của Lions[5]) Với giả thiết (1.20), (1.21) và nếu 1  pi  , i=0,1 thì phép nhúng W(0,T)  Lpo (0,T;X) là compact Chứng minh Có thể tìm thấy trong Lions[5], trang 57 6 Bổ đề về sự hội tụ yếu trong Lq(Q) Bổ đề 1.11 Cho Q là tập mở, bị chặn của IRN và Gm, G  Lq(Q), 1< q < + sao cho, G m Lq  C , trong đó C là hằng... (2.99) F(x,u n )  C(3) T , là hằng số độc lập với n trong đó C(3) T Từ (2.95), (2.98), (2.99) suy ra, tồn tại dãy con của {un} vẫn kí hiệu là {un} sao cho: (2.100) u n  u trong L (0,T;L2 ) yếu *, (2.101) u n  u trong L2 (0,T;H10 ) yếu, (2.102) Au n   trong L2 (0,T;H 1 ) yếu, (2.103) F(x,u n )  1 trong L (0,T;L2 ) yếu *, (2.104) u n (T)   trong L2 yếu Bước 3 Qua giới hạn Nhân (2.36) với ... miền mở, bị chận trong N có biên đủ trơn  Các giả thiết trên các hàm a, F, f và uo cần thiết sẽ được chỉ rõ ra sau đó Chứng minh được dựa vào phương pháp Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, từ đó rút ra các dãy con hội tụ yếu trong các không gian thích hợp nhờ một số các phép nhúng compact và phương pháp đơn điệu Trong phần này định lý Schauder về điểm bất động được sử dụng trong việc chứng... j , w j   j w j   j , 1  j  n Từ (2.43) ta có (2.50) u(t) = n  c (t)w j1 j j n n j1 j1   c j (t) w j   c j (t)  M Do (A3)(iii) ánh xạ F xác định bởi F(v)(x)  F(x, v(x)), v  L2 , biến mọi tập bị chận trong L2 () thành một tập bị chận trong L2 () nên từ (2.50) ta được (2.51) F(x, u(s))  F(u(s))  C1 (M), trong đó C1(M) là hằng số phụ thuộc vào M Từ (2.51) ta có t (2.52)  qc i (t)... u0n bị chận trong L2 Vì vậy, từ (2.92) ta được (2.93) t u n (t)  2b  u n ( ) d  u 0n 2 2 0 2 t Co2 2 2   f ( ) d  CT  , 2b 0 trong đó C(2) là hằng số độc lập với n T Từ (2.93) ta suy ra: (2.94) un T 2 L2 (0,T;H10 ) T   u n (t) dt   u n (t) dt  TC(2) T  0 2 2 0 Từ (2.93) và (2.94) ta có, (2.95) u n  bị chận trong L (0,T;L2 )  L2 (0,T;H10 ) b/ Đánh giá 2 Chú ý rằng toán tử A :... tính chất sau: T  (v(s)  C)(s)ds  0,  D(0,T) 0 T 1 Nếu w  L (0,T;X) và  w(t)(t)dt  0,   D(0,T) thì w(t)  0 với 0 hầu hết t  [0,T] Có được điều này do ánh xạ w  T từ L1(0,T;X) vào D’(0,T;X) là một đơn ánh (theo tính chất ii/ trên) Từ các bước 1, 2, 3 ta suy ra f = H + C theo nghĩa phân bố Tương tự ta có bổ đề sau: Bổ đề 1.9 (Lions[5]) Nếu f, f’  Lp(0,T;X) thì f bằng hầu hết một hàm liên. ..  T T Do đó Tv ,  j  0 trong X khi j  + Vậy Tv  D '(0, T; X) ii/ Ánh xạ v  Tv là một đơn ánh, tuyến tính từ Lp(0,T;X) vào D’(0,T;X) Do đó, ta có thể đồng nhất Tv = v Khi đó ta có kết quả sau: Bổ đề 1.7 (Lions[5]) Lp (0, T; X)  D '(0,T; X) với phép nhúng liên tục 4 Đạo hàm trong Lp(0,T;X) Do Bổ đề 1.7, f  Lp(0,T;X) ta có thể coi f  D’(0,T;X) và do đó df là dt phần tử của D’(0,T;X) Ta có kết...  , a.e.x  , a o  2b ở đây, Co  0 là hằng số thỏa Co2 , v  H10 F(v)(x)  F(x, v(x)), v  L2 , F biến một tập bị chận trong L2 () thành một tập bị chận trong L2 () (A4) f  L2 (QT ), QT =  x (0,T), T > 0 Ta có định lý sau: Định lý 2.1 Giả sử các giả thiết (A1) – (A4) đúng Khi đó, bài toán (2.1) – (2.4) có duy nhất nghiệm yếu u  L2 (0,T;H1o )  L (0,T;L2 ) , với mỗi T > 0 Chứng minh Chứng... j là một cơ sở của H10 và trực chuẩn trong L2 Đặt (2.35) n u n (t)   c nj (t)w j , j1 trong đó các hàm hệ số c nj (t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân phi tuyến (2.36) t  2 (u n ) t , w i  a   u n ( ) d  u n (t), w i 0   F(x,u n (t)), w i  f (x, t), w i , 1  i  n, (2.37) u n (0)  u 0n , (2.38) u 0n   ni w i  u 0 mạnh trong L2 n i 1 Hệ (2.36), (2.37) có thể viết thành một dạng... mật trong L2 nên ta có w,v  0, w  L2 Vậy v = 0 Theo (1.13) ta có L, z (H1 )",(H1 ) '  z, v (H1 ) ',H1  0, z  (H1 ) ' Vậy L triệt tiêu trên (H1)’ Chú thích 1.2 Từ Bổ đề 1.3, ta dùng ký hiệu tích vô hướng , chỉ cặp tích đối ngẫu , trong L2 để giữa H1o và (H1)’ (H1 ) ',H1 Chuẩn trong L2 được ký hiệu bởi Ta cũng ký hiệu X để chỉ chuẩn trong không gian Banach X và gọi X’ là không gian đối ngẫu của