1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dương Quang Hoà CÁC MD5-ĐẠI SỐ VỚI IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN CHIỀU VÀ CÁC PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG TƯƠNG ỨNG Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng cá nhân hướng dẫn PGS.TS Lê Anh Vũ Những kết luận văn mà không trích dẫn kết nghiên cứu Tác giả MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cam đoan Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU Chương – LỚP CÁC MD-NHÓM VÀ MD-ĐẠI SỐ 1.1 Nhắc lại khái niệm nhóm Lie 10 1.2 Nhắc lại khái niệm đại số Lie 11 1.3 Sự liên hệ nhóm Lie đại số Lie 16 1.4 Biểu diễn phụ hợp K-biểu diễn lớp MD-nhóm MD-đại số 19 Chương – LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ CÓ IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN CHIỀU VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K-QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN TƯƠNG ỨNG 2.1 Nhắc lại phương pháp mô tả K-quỹ đạo 22 2.2 Lớp MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán chiều 25 2.3 Bức tranh hình học K-quỹ đạo MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với MD5-đại số xét 29 Chương – KHÔNG GIAN PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD-NHÓM ĐÃ XÉT 3.1 Phân – Phân đo 36 3.2 Các MD5-phân liên kết với MD5-nhóm xét 41 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Aut (V): nhóm tự đẳng cấu không gian vectơ V Aut G : nhóm tự đẳng cấu tuyến tính G B: tập hoành Borel : trường số phức C∞ (V ) : không gian hàm khả vi vô hạn lần đa tạp V End(V) : không gian đồng cấu không gian vectơ V exp : ánh xạ mũ exp G* : không gian đối ngẫu đại số Lie G GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực J ( F ) : ideal dạng vi phân triệt tiêu F Lie(G) : đại số Lie nhóm Lie G Mat(n; R) : tập hợp ma trận vuông cấp n hệ số thực : trường số thực TeG không gian tiếp xúc G tạo điểm đơn vị e V / F : không gian phân Ω F : quỹ đạo Kirillov qua F ∧ : độ đo hoành (đối với phân lá) MỞ ĐẦU Một toán quan trọng lý thuyết biểu diễn toán phân loại biểu diễn hay gọi toán đối ngẫu unita Tức cho trước nhóm G, phân loại tất biểu diễn unita bất khả quy G (sai khác đẳng cấu) Đối tượng quan trọng lý thuyết biểu diễn nhóm Lie đại số Lie Vấn đề nghiên cứu phân loại biểu diễn nhóm Lie đại số Lie hướng nghiên cứu lớn Hình học – Tôpô có nhiều ứng dụng Vật lý, đặc biệt vật lý lượng tử Để giải toán này, năm 1962, A.A.Kirillov (xem [Ki]) phát minh phương pháp quỹ đạo để nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm Lie, phương pháp cho phép ta nhận tất biểu diễn unita bất khả quy nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải từ K-quỹ đạo nguyên Đóng vai trò then chốt phương pháp quỹ đạo Kirillov K-quỹ đạo biểu diễn đối phụ hợp (hay gọi K-biểu diễn) Do đó, việc mô tả K-quỹ đạo nhóm Lie, nhóm Lie liên thông giải được, có ý nghĩa quan trọng lý thuyết biểu diễn nhóm Lie Các nhóm Lie đại số Lie giải có cấu trúc không phức tạp, nhiên việc phân loại chúng chưa giải triệt để Năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp (xem [Di]) đề nghị xét lớp nhóm Lie đại số Lie thực giải đơn giản phương diện phân tầng Kquỹ đạo (tức quỹ đạo Kirillov) Đó lớp MD-nhóm MD-đại số Một nhóm Lie thực giải mà K-quỹ đạo 0-chiều có chiều cực đại gọi MD-nhóm Khi số chiều cực đại số chiều nhóm nhóm gọi MD -nhóm Đại số Lie MD-nhóm (tương ứng, MD -nhóm) gọi MD-đại số (tương ứng, MD -đại số) Năm 1982, Hồ Hữu Việt (xem [So-Vi]) liệt kê phân loại triệt để lớp MD -đại số Lớp bao gồm đại số Lie giao hoán n-chiều ( n ≥ 1), đại số Lie 2-chiều aff đại số Lie 4-chiều aff n Về phương diện hình học, không gian K-quỹ đạo MD-nhóm đơn giản Theo số chiều, MD-nhóm gồm tầng K-quỹ đạo: tầng quỹ đạo 0-chiều tầng quỹ đạo chiều cực đại Xét riêng tầng quỹ đạo chiều cực đại MD-nhóm liên thông ta thu quỹ đạo đa tạp liên thông đôi rời số chiều, điều cho ta liên tưởng đến phân Các phân xuất khảo sát lời giải hệ khả tích phương trình vi phân thường Tuy nhiên, phải đến công trình Reeb (xem [Re]) đời năm 1952 phân thực trở thành đối tượng nghiên cứu mang tính chất hình học nhanh chóng phát triển thành ngành tôpô phân – ngành thuộc lĩnh vực Hình học – tôpô Tôpô phân tìm nhiều ứng dụng Toán học, vật lý, học Việc phân loại MD-đại số đến toán mở Để đơn giản, ta phân nhỏ lớp MD-nhóm MD-đại số theo số chiều Khi ta kí hiệu MDn-nhóm MDn-đại số MD-nhóm MD-đại số có số chiều n Vì tất đại số Lie 4-chiều liệt kê hết từ lâu nên ta xét lớp MDn-nhóm MDn-đại số với n ≥ Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tra]) liệt kê, chưa phân loại, toàn lớp MD4-đại số Năm 1990, báo luận án tiến sĩ mình, Lê Anh Vũ ((xem [Vu2], [Vu6], [Vu7]) phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) MD4-đại số Đồng thời, Lê Anh Vũ chứng minh họ K-quỹ đạo chiều cực đại tất MD4nhóm liên thông bất khả phân tạo thành phân đo theo nghĩa Connes Hơn nữa, Lê Anh Vũ phân loại tôpô MD4-phân đặc trưng C*- đại số tương ứng với MD4-phân phương pháp KK-song hàm tử Như vậy, ta coi lớp MDn-nhóm MDn-đại số giải triệt để trường hợp n ≤ Do ta xét toán trường hợp n ≥ Cụ thể với n = toán chưa giải trọn vẹn Thật có nhiều MD5-nhóm MD5-đại số khả phân, việc xét chúng quy xét MDn-nhóm MDn-đại số với n ≤ Điều khẳng định minh họa [Vu7] Do ta xét MD5-đại số bất khả phân Nếu không sợ lầm lẫn ta dùng thuật ngữ MDđại số thay cho MD-đại số bất khả phân Để đơn giản Lê Anh Vũ xét lớp MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán k chiều (với k 0, ϕ ∈ ( 0; π )} Ta kí hiệu chúng F1, F2 ,F3 2.(i) Các MD5–phân thuộc dạng F1 phân tầm thường địa phương với thớ liên thông S3 (ii) Các MD5–phân thuộc dạng F2 ,F3 phân sinh tác động ( ) ∗ đa tạp phân V4 ≅ × Chứng minh: ¾ Ta xét ánh xạ: h4,1( λ ,λ ,λ ) :V4 ≅ × ( ( x , y , z ,t , s ) ) ∗ →V4 ⎛ ⎜ x , sign ( y ) y ⎝ λ1 , sign ( z ) z λ2 h4,2( λ ,λ ) :V4 →V4 ( x , y , z ,t , s ) ⎛ ⎜ x , sign ( y ) y ⎝ λ1 , sign ( z ) z λ2 ⎞ ,t , s ⎟ ⎠ h4,3( λ ) :V4 →V4 ( x , y , z ,t , s ) ⎛ ⎜ x , sign ( y ) y ⎝ λ ⎞ , sign ( z ) z λ ,t , s ⎟ ⎠ , sign (t ) t λ3 ⎞ ,s ⎟ ⎠ 44 h4,4( λ ) :V →V4 ⎛ ⎜ x , sign ( y ) y ⎝ ( x , y , z ,t , s ) λ ⎞ , z ,t , s ⎟ ⎠ h4,6( λ ,λ ) :V4 →V4 ⎧⎛ ⎪⎜ x , sign ( y ) y ⎪⎝ ⎨ ⎪⎛ x , sign ( y ) y ⎪⎩⎜⎝ ( x , y , z ,t , s ) λ1 λ1 , sign ( z ) z λ2 , sign ( z ) z λ2 ⎞ ,t , s − t ln t ⎟ , t ≠ ⎠ ⎞ ,0, s ⎟ , ⎠ t =0 h4,7( λ ) :V4 →V4 1 ⎧⎛ ⎞ λ λ ⎪⎜ x , sign ( y ) y , sign ( z ) z ,t , s − t ln t ⎟ , t ≠ ⎪⎝ ⎠ ⎨ 1 ⎪ ⎛ x , sign ( y ) y λ , sign ( z ) z λ , 0, s ⎞ , t =0 ⎟ ⎪⎩ ⎜⎝ ⎠ ( x , y , z ,t , s ) h4,8( λ) :V4 →V4 ( x, y ,z ,t ,s ) ⎧ ⎛ λ ⎪ ⎜ x,sign( y ) y λ ,sign⎛ z − y ln y ⎞ z − y ln y ,t ,s −t ln t ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ λ ⎝ λ ⎠ ⎪ ⎝ ⎪ ⎛ ⎪ ⎜ x,0,sign( z ) z λ ,t ,s −t ln t ⎞⎟, ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎞ ⎪⎛ λ 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎪ x,sign( y ) y λ ,sign⎜ z − y ln y ⎟ z − y ln y ,0,s ⎟ , ⎟ λ ⎝ λ ⎠ ⎪⎜ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎛ ⎞ λ ,0,s , ,0,sign x z z ( ) ⎪⎜ ⎟ ⎠ ⎩⎝ h4,9( λ ) :V →V ( x , y , z ,t , s ) x = x ( x , y , z ,t , s ) ⎞ ⎟, y ≠ 0,t ≠ ⎟ ⎠ y = 0,t ≠ y ≠ 0,t = y = 0,t = 45 y = sign ( y) y λ z=z ⎧t − z ln z , z ≠ t =⎨ , z =0 ⎩t ⎧ ln s t z − − (t − z ln z ) ln t − z ln z , z ≠ 0,t ≠ z ln z ⎪ 2 ⎪ ⎪ s = ⎨ s − t ln z , z ≠ 0,t = z ln z ⎪ s, z =0 ⎪ ⎪ ⎩ h4,10 : V4 → V4 ( x, y, z, t, s ) ( x, y, z, t , s ) x = x; y = y ⎧z − y ln y , y ≠ z =⎨ , y =0 ⎩z ⎧ ln t z y − − ( z − y ln y ) ln z − y ln y , y ≠ 0, z ≠ y ln y ⎪ 2 ⎪ ⎪ t = ⎨ t − z ln y , y ≠ 0, z = y ln y ⎪ t, y =0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ 1⎛ 1⎛ ⎞ ⎞ ⎪s − t ln y − ⎜t − z ln y ⎟ ln y + ⎜ −t + z ln y − y ln y ⎟ ln y , y ≠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 1 ⎪ s − t ln z − (t − z ln z ) ln t − z ln z , y = 0, z ≠ 0,t ≠ z ln z s =⎨ 2 ⎪ ⎪ s − t ln z , y = 0, z ≠ 0,t = z ln z ⎪ ⎪⎩ s, y = 0, z = 46 Kiểm tra trực tiếp ta h4,1( λ ,λ ,λ ) (tương ứng h4,2( λ ,λ ) , h4,3( λ ) , h4,4( λ ) , h4,6( λ ,λ ) , h4,7( λ ) , h4,8( λ ) , h4,9( λ ) , h4,10 ) đồng phôi chuyển (V ,F (tương ứng (V ,F (V ,F (V ,F 4,8( λ ) ) , (V ,F 4,2( λ1 ,λ2 ) 4,9( λ ) ) , (V ,F 4,3( λ ) ) , (V ,F 4,4( λ ) ) , (V ,F 4,6( λ1 ,λ2 (V ,F ( ) ) , (V ,F 4,1 λ1 ,λ2 ,λ3 ) 4 4,7( λ ) ) ), ) , (V ,F ) ) thành (V ,F ) Do phân 4,10 4,5 ) , (V ,F ( ) ) , (V ,F ( ) ) , (V ,F ( ) ) , (V ,F ) , (V ,F ( ) ) , ) , λ , λ , λ , λ ∈ \ {0,1} kiểu ( ) ) , (V ,F ( ) ) , (V ,F ( ) ) , (V ,F 4,1( λ1 ,λ2 ,λ3 ) 4,7 λ 4 4,2 λ1 ,λ2 4,8 λ 4,3 λ 4,9 λ 4,10 4,4 λ 4,5 4,6 λ1 ,λ2 tôpô ¾ Tương tự trên, ta xét ánh xạ: h4,11( λ ,λ ,ϕ) :V4 ≅ ×( × ( x, r e iθ ) ∗ →V4 1 ⎛ ( ln r +iθ ).( −ie iϕ ) ⎞ λ1 , sign ( s ) s λ2 x , e , sign t t ( ) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ,t ,s ) h4,12( λ,ϕ ) :V4 →V4 1 ⎛ ( ln r +iθ ).( −ie iϕ ) λ λ x e sign t t sign s s , , , () ( ) ⎞⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ( x , r e iθ ,t ,s ) h4,13( λ ,ϕ ) :V4 →V4 ( x , r e iθ ⎧⎛ ( ln r + i θ ).( − ie iϕ ) ⎞ λ ,s − , , t ln t ⎟ , t ≠ x e sign t t ( ) ⎪⎪⎜ λ ⎝ ⎠ ⎨ ⎛ x ,e ( ln r +iθ ).( − ie iϕ ) ,0, s ⎞ , ⎪ t =0 ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎝ ⎠ ,t , s ) Các ánh xạ h4,11( λ ,λ ,ϕ ) ( tương ứng h4,12( λ ,ϕ ) , h4,13( λ ,ϕ ) ) đồng phôi chuyển ( V4 ,F 4,11( λ ,λ ,ϕ ) ) ( ) ( ) (tương ứng V4 ,F 4,12( λ ,ϕ ) , V4 ,F 4,13( λ ,ϕ ) ) thành 47 ⎛ ⎞ ⎜V4 ,F 4,12(1,π ) ⎟ Do phân V4 ,F 4,11( λ1 ,λ2 ,ϕ ) , V4 ,F 4,12( λ ,ϕ ) , V4 ,F 4,13( λ ,ϕ ) ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) λ1 , λ2 , λ ∈ \ {0} ,ϕ ∈ ( 0; π ) kiểu tôpô ¾ Hoàn toàn tương tự, ta có ánh xạ: h4,14( λ ,μ ,ϕ ) :V4 ≅ × ( × ( x , r e iθ ∗ ) →V4 ⎛ ⎞ ⎧⎛ μ λ ⎟⎞ −i ln r '+iθ ').⎜ ( 2 2 ⎜ ⎪⎜ ( ln r +iθ ).( −ie iϕ ) ⎜ λ( λ +μ ) ( λ +μ ) ⎟⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ,e ⎪⎜ x ,e ⎟, λ ≠ ⎪⎜ ⎟ ⎨⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎛ x ,e ( ln r +iθ ).( −ie iϕ ) ,e ( ln r '+iθ ') μ ⎞ , λ =0 ⎟⎟ ⎪ ⎜⎜ ⎠ ⎩⎝ , r '.e iθ ' ) ⎛ ⎞ đồng phôi chuyển (V4 ,F 4,14( λ ,μ ,ϕ ) ) thành ⎜ V4 ,F π ⎟ Do 4,14(0,1, ) ⎝ ⎠ phân (V4 ,F 4,14( λ ,μ ,ϕ ) ) , μ , λ ∈ , μ > 0, ϕ ∈ ( 0; π ) kiểu tôpô (i) Xét toàn ánh P ,5 :V ≅ ( ) ∗ ≅S3× × + → S3 × ( s , u ,v ) Rõ ràng, phân thớ P4,5 : S × + × →S s cảm sinh phân (V ,F ) Hơn thớ liên thông đơn liên Do phân (V ,F ) phân sinh phân thớ tầm thường địa phương Do 4 4,5 4,5 phân thuộc dạng F1 phân tầm thường địa phương Hơn thớ liên thông đơn liên (ii) Xét tác động sau P4,12 : 2 × V4 → V4 V4: 48 P4 ,12 ( ( r , a ) , ( x , y + iz, t , s ) ) = ( x + r , ( y + iz ) e − ia , t e a , s e a ) ( r , a ) ∈ , ( x , y + iz ,t , s ) ∈V4 ≅ P4,14 : × ( × ) ∗ × V4 → V4 P4 ,14 ( ( r , a ) , ( x , y + iz, t + is ) ) = ( x + r , ( y + iz ) e − ia , ( t + is ) e − ia ) ( r , a ) ∈ , ( x , y + iz ,t + is ) ∈V ≅ ×( × ∗ ) Dễ dàng thấy tác động P4,12 , P4,14 cảm sinh phân ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜V ,F 4,12(1,π ) ⎟ , ⎜ V4 ,F 4,14(0,1,π ) ⎟ Và hiển nhiên phân ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (V ,F 4,12( λ ,ϕ ) ) , (V ,F 4,13( λ ,ϕ ) ), λ1 , λ2 , λ ∈ \ {0} ,ϕ ∈ ( 0; π ) , (V ,F 4,11( λ1 ,λ2 ,ϕ ) (V ,F 4,14( λ , μ ,ϕ ) ), ), μ , λ ∈ , μ > 0, ϕ ∈ ( 0; π ) có tính chất tương tự Do MD5–phân thuộc dạng F2 ,F3 phân sinh tác động đa tạp phân V4 ∎ Từ việc mô tả tôpô MD5-phân trên, áp dụng định lí A.Connes (trong [Co]) ta có hệ sau: 3.2.2 Hệ 3.5: (về C*-đại số MD5-phân thuộc dạng F1) Gọi (V4 ,F ) phân thuộc dạng F1 Thế thì: C ∗ (V4 ,F ) ≅ C0 ( S ) ⊗ K K C*-đại số toán tử compact không gian Hilbert vô hạn chiều tách L2 (thớ) Nhận xét : phân thuộc dạng F2, F3 việc mô tả C*-đại số liên kết không đơn giản trên, mà phải sử dụng phương pháp KK-song hàm tử Đây vấn đề phức tạp tốn nhiều công sức hướng nhiên cứu mở cần quan tâm 49 KẾT LUẬN Qua phần trình bày, nắm phương pháp mô tả kết tranh K-quỹ đạo nhóm Lie liên thông, đơn liên ứng với MD5-đại số G5,4,1( λ ,λ ,λ ) , G5,4,2( λ ,λ ) , G5,4,3( λ ) , G5,4,4( λ ) , G5,4,5 , G5,4,6( λ1 ,λ2 ) , G5,4,7( λ ) , G5,4,8( λ ) , G5,4,9( λ ) , G5,4,10 , G5,4,11( λ1 ,λ2 ,ϕ ) , G5,4,12( λ ,ϕ ) , G5,4,13( λ ,ϕ ) , G5,4,14( λ , μ ,ϕ ) , đồng thời phân loại mô tả chi tiết mặt tôpô MD5-phân liên kết với chúng Một điều cần nói thêm là, kết nhóm Lie liên thông (không thiết đơn liên) ứng với MD5-đại số nêu Cụ thể hơn, G MD5-nhóm liên thông (không thiết đơn liên) tương ứng với MD-đại số nói tranh K-quỹ đạo G hoàn toàn trùng với tranh K-quỹ đạo phủ đơn liên G Họ K-quỹ đạo chiều cực đại G lập thành MD5-phân phủ đơn liên G Từ kết trên, cách tự nhiên, chúng gợi ý cho ta hướng mở cần nghiên cứu sau: ¾ Cũng với hướng nghiên cứu với MD5-đạisố mà ideal dẫn xuất không giao hoán MDn-đại số (có ideal dẫn xuất giao hoán) với n ≥ ¾ Mô tả C*-đại số liên kết với MD5-phân thuộc dạng F2, F3 Xa tất C*-đại số liên kết với MD5-phân ¾ Xây dựng lượng tử hóa biến dạng K-quỹ đạo tất MD5-nhóm xét Do hạn chế nhiều mặt như: trình độ, thời gian,… Luận văn dừng lại khuôn khổ định mà thân tác giả tha thiết tiếp tục nghiên cứu Tác giả mạnh dạn đề nghị độc giả (nếu có 50 quan tâm) hoàn toàn tự nghiên cứu trao đổi với thân tác giả để tiếp tục việc nghiên cứu theo hướng vạch Sau cùng, có nhiều cố gắng việc soạn thảo, sai sót tránh khỏi, tác giả xin chân thành lắng nghe cảm ơn độc giả đã, đóng góp ý kiến cho luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2007 Tác giả 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [Tra] Đào Văn Trà (1984), “Về lớp đại số Lie số chiều thấp”, Tuyển tập báo cáo Hội thảo Khoa học Viện Toán học Việt Nam lần thứ 12 Hà Nội [Vu1] Lê Anh Vũ (1987), “Phân tạo K-quỹ đạo chiều cực đại nhóm kim cương thực”, Tạp chí Toán học, số 3, tr – 10 [Vu2] Lê Anh Vũ (1990), Không gian phân tạo K-quỹ đạo chiều cực đại lớp nhóm Lie MD4, Luận án phó tiến sĩ khoa học Toán Lý, Viện Toán học Việt Nam, Hà Nội [Vu3] Lê Anh Vũ (2004), Không gian phân tạo K-quỹ đạo chiều cực đại lớp nhóm Lie giải chiều, Báo cáo tổng kết đề tài khoa học công nghệ cấp sở , MS: CS2004.23.54, Tp.HCM [Tri] Nguyễn Công Trí (2004), “Không gian phân tạo K-quỹ đạo chiều cực đại vài MD5-nhóm liên thông đơn liên”, Luận văn thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Sư Phạm Tp.HCM, Tp.HCM [Vu-Tri] Lê Anh Vũ, Nguyễn Công Trí (2005), “Vài ví dụ MD5-đại số MD5-phân đo liên kết với MD5nhóm tương ứng”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư Phạm Tp.HCM, số (42), Tp.HCM [Vu4] Lê Anh Vũ (2006), Về lớp MD5-đại số phân tạo K-quỹ đạo chiều cực đại MD5-nhóm tương ứng, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp Bộ, MS: B2005.23.70, Tp.HCM 52 [Tha] Dương Minh Thành (2006), Về lớp MD5-đại số phân tạo K-quỹ đạo chiều cực đại MD5-nhóm tương ứng, Luận văn thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Sư Phạm Tp.HCM, Tp.HCM Tiếng Anh [Co] Alain Connes (1982), A Survey of Foliations and Operator Algebras, Proc Symp, Pure Math 10 [Di] Do Ngoc Diep (1999), Method of Nocommutative Geometry for Group C*-algebras, Chapman and Hall/ CRC Press Research Notes in Mathematics Series, #416 11 [Ha-Sch] M Hausner and J T Schwartz (1968), Lie Group – Lie Algebra, Gordon and Breach, Sci Publisher, New York – London – Paris 12 [Ki] A A Kirillov (1976), Elements of the Theory of Representations, Springer – Verlag, Berlin – Heidenberg – New York 13 [Mi]John Milnor (1969), Foliation and Foliated Vector Bundles, M.I.T 14 [Vu5] Le Anh Vu (1990) “On the Structure of the C*-algebra of the Foliation Formed by the K-obits of Maximal Dimension of the Real Diamond Group”, J Operator 24, p.p 227 – 238 15 [Vu6] Le Anh Vu (1990), “On the Foliations Formed by the Generic K-orbits of the MD4-Groups”, Acta Math Vietnam, (2), pp 39 – 55 16 [Vu7] Le Anh Vu (1993), “Foliations Formed by Orbits of Maximal Dimension in the Co-adjoint Representation of a Class of Solvable Lie Groups, Vest Moscow Uni., Math Bullentin, Vol 48 (3), p.p 24 – 27 53 17 [Vu8] Le Anh Vu (2003) “Foliation Formed by K – orbits of Maximal Dimension of Some MD5 – Groups”, East – West Journal of Mathematics, Vol (2), pp 159 – 168, Bangkok, Thailand 18 [Vu9] Le Anh Vu (2006), “On a Subclass of 5-dimensional Solvable Lie Algebras Which Have 3-dimensional Commutative Derived Ideal”, East – West Journal of Mathematics, Vol (1), pp 13 – 22, Bangkok, Thailand 19 [Vu-Tha] Le Anh Vu, Duong Minh Thanh (2006), “The Geometry of K-orbits of a Subclass of MD5-Groups and Foliations Formed by Their Generic K-orbits”, Contributions in Mathematics and Applications (Proceedings of the International Conference in Mathematics and Applications, December 2005, Bangkok, Thailand), pp 1-16, Bangkok, Thailand 20 [Vu10] Le Anh Vu (2007), “On a Subclass of 5-dimensional Solvable Lie Algebras Which Have Commutative Derived Ideal” (gởi đăng) Tiếng Pháp 21 [Bo] N.Bourbaki (1972), Groupes et Algégres de Lie, Hermann Paris 22 [Re] G.Reeb (1952), Sur certains propriétés topologiques de variétés feuilletées, Actualité Sci Indust 1183, Hermann, Paris 23 [Sa] M Saito, “Sur Certains Groupes de Lie Resolubles”, Sci Papers of the College of General Education, Uni Of Tokyo (7), p.p – 11, 157 – 168 24 [So-Vi] V M Son et H H Viet, “Sur la Structure des C*-algebres d’une Classe de Groupes de Lie”, J Operator (11), p.p 77 – 90 [...]... G5 ,4, 6( , ) , 1 2 3 1 2 1 2 G5 ,4, 7( ) , G5 ,4, 8( ) , G5 ,4, 9( ) , G5 ,4, 10 , G5 ,4, 11( 1 ,2 , ) , G5 ,4, 12( , ) , G5 ,4, 13( , ) , G5 ,4, 14( , , ) u l MD5-i s Do ú cỏc nhúm Lie G5 ,4, 1( , , ) , G5 ,4, 2( ) , G5 ,4, 3( ) , G5 ,4, 4( ) , 1 2 3 1 2 G5 ,4, 5 , G5,3,6( 1 ,2 ) , G5,3,7( ) , G5 ,4, 8( ) , G5 ,4, 9( ) , G5 ,4, 10 , G5 ,4, 11( 1 ,2 , ) , G5 ,4, 12( , ) , G5 ,4, 13( , ) , G5 ,4, 14( , , ) u l MD5-nhúm 36... G5 ,4, 11( , , ) , G5 ,4, 12( , ) , G5 ,4, 13( , ) , 1 2 G5 ,4, 14( , , ) thỡ G l nhúm exponential Do ú F ( G ) = F Nu G l mt trong cỏc nhúm G5 ,4, 11( , , ) , G5 ,4, 12( , ) , G5 ,4, 13( , ) , G5 ,4, 14( , , ) 1 2 thỡ ta vn cú c ng thc F ( G ) = F nh vo b 2.2 Nh bc tranh qu o, ta cú ngay h qu sau õy: 2.3.5 H qu 2.10 Cỏc i s Lie G5 ,4, 1( , , ) , G5 ,4, 2( , ) , G5 ,4, 3( ) , G5 ,4, 4( ) , G5 ,4, 5 , G5 ,4, 6(... ng vi MD5-i s G = G5 ,4, 1( , , ) Cỏc h MD5-nhúm ny u bt 1 2 3 kh phõn 2.3 Bc tranh hỡnh hc cỏc K-qu o ca cỏc MD5-nhúm liờn thụng n liờn tng ng vi cỏc MD5-i s ó xột Gi G l mt trong cỏc nhúm Lie G5 ,4, 1( , , ) , G5 ,4, 2( , ) , G5 ,4, 3( ) , G5 ,4, 4( ) , 1 G5 ,4, 5 , G5 ,4, 6( 1 ,2 ) , G5 ,4, 7( ) , G5 ,4, 11( 1 ,2 , ) , G5 ,4, 12( , ) , G5 ,4, 13( , ) , G5 ,4, 8( ) , 2 G5 ,4, 9( ) , 3 1 G5 ,4, 10 , , 1 , 2 \ {0}... MD5-i s cú ideal dn xut giao hoỏn 4 chiu, ta cú nh lớ phõn loi sau: 26 nh lý 2.5 (xem [Vu10] trong ph lc) Cho G l mt MD5-i s v G1 = [ G, G ] 4 (i s Lie giao hoỏn 4 chiu): Nu G kh phõn thỡ nú cú dng G = h R , ú h l mt MD4-i s Nu G bt kh phõn thỡ ta luụn cú th chn c mt c s thớch hp ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 ) trong G sao cho G 1 =< X 2 , X 3 , X 4 , X 5 > R 4 , ad X1 End ( G1 ) Mat4 ( ), v G... mt trong cỏc nhúm lie G5 ,4, 2( ) , G5 ,4, 3( ) , G5 ,4, 4( ) , G5 ,4, 5 , 1 2 G5,3,6( 1 ,2 ) , G5,3,7( ) , G5 ,4, 8( ) , G5 ,4, 9( ) , G5 ,4, 10 ; 1 , 2 , 3 , \ {0,1} Khi ú: (i) Nu = = = = 0 thỡ F = {F } , (qu o 0_chiu) (ii) Nu 2 + 2 + 2 + 2 0 thỡ 34 x, .ea1 , ea2 , ea , ea , x, a khi G = G5 ,4, 2( 1 ,2 ) , 1, 2 \ {0,1} x, .ea , ea , ea , ea , x, a khi G = G5 ,4, 3( ) , \ {0,1} x,... , + i e , 1, 2 , ( 0; ) ( ) 5 ,4, 11( 1 ,2 , ) ( a.ei ) , ea ,.ea , x, a khi G = G F = x, ( + i ) e , , ( 0; ) 5 ,4, 12( , ) ( a.ei ) , ea , aea +.ea , x, a khi G = G x , + i e , , ( 0; ) ( ) 5 ,4, 13( , ) (qu o 2_chiu) {( {( ) ) } } 35 Hon ton tng t, ta cú mnh sau: 2.3 .4 Mnh 2.9 Cho G l nhúm Lie G5 ,4, 14( , , ) , , ng nht , G 5 ,4, 14 ( , , ) vi , >0; ( 0; ) Bng... G5 ,4, 1( , , ) 1 2 3 ad X1 1 0 0 2 = 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 ; 1 , 2 , 3 0 1 \ {0,1} , 1 2 3 1 2) G = G5 ,4, 2( , ) 1 2 ad X1 1 0 0 2 = 0 0 0 0 ad X1 0 0 0 0 0 0 ; = 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ; 1 , 2 , 0 1 \ {0,1} , 1 2 3) G = G5 ,4, 3( ) \ {0,1} 27 4) G = G5 ,4, 4( ) ad X1 0 = 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ; 0 1 ad X1 1 0 = 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 \ {0,1} 5) G = G 5 , 4. .. G = G5 ,4, 4( ) , \ {0,1} x, .ea , ea , ea , ea , x, a khi G = G5 ,4, 5 x, .ea1 , ea2 , ea , aea + ea , x, a khi G = G5 ,4, 6( 1 ,2 ) , 1, 2 \ {0,1} F = x, .ea , ea , ea , aea + ea , x, a khi G = G5 ,4, 7( ) , \ {0,1} x, .ea , .aea + ea , ea , aea + ea , x, a khi G = G5 ,4, 8( ) , \ {0,1} a2ea a a a a x e e ae e , , , , + + aea + ea , x, a khi G = G5 ,4, 9( )... , , , + + + + + + khi G = G5 ,4, 10 2 6 2 {( {( } ) {( {( ) ) {( } } } ) {( {( } ) ) } } ) (qu o 2_chiu) 2.3.3 Mnh 2.8 Cho G l mt trong cỏc nhúm Lie G5 ,4, 11( 1 ,2 , ) , G5 ,4, 12( , ) , G5 ,4, 13( , ) , 1 , 2 , vi ì ì , ( 0; ) Bng cỏch ng nht G 5 ,4, 11( , 1 2 v F vi ( , + i , , ) , 1 , 2 , 2 , ) , G 5 ,4, 9 ( , ) , G 5 ,4, 13( , ) ; ( 0; ) Ta c: (i) Nu + i = ... ng v xem xột khụng gian phõn lỏ to bi cỏc K-qu o chiu cc i ca cỏc MD5-nhúm ny 22 Chng 2 LP CON CC MD5-I S Cể IDEAL DN XUT GIAO HON 4 CHIU V BC TRANH HèNH HC CC K-QU O CA CC MD5-NHểM LIấN THễNG N LIấN TNG NG Trong chng ny, chỳng ta s nhc li nh lý phõn loi cỏc MD5-i s cú ideal dn xut giao hoỏn 4 chiu ca Lờ Anh V, ng thi mụ t bc tranh hỡnh hc cỏc K-qu o ca cỏc MD5-nhúm liờn thụng n liờn tng ng vi cỏc MD-i