BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Phạm Minh Đăng BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN VÀ GIÁ TRỊ ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HÒA CẤP HAI Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành nhất, sâu sắc đến Thầy PGS.TS Lê Hoàn Hóa tận tình giảng dạy hướng dẫn hoàn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy, Cô Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên tận tình giảng dạy suốt khóa học Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy, Cô thuộc Phòng quản lý Sau Đại Học tạo điều kiện thuận lợi thủ tục hành suốt khóa học Xin chân thành cảm ơn Sở Giáo Dục Đào tạo Đồng Nai, Ban Giám Hiệu Trường THPT Điểu Cải, tổ Toán – Tin Trường tạo điều kiện thuận lợi mặt để yên tâm học tập làm việc Cảm ơn bạn học viên cao học giải tích khóa 16 giúp đỡ hỗ trợ cho nhiều suốt khóa học Xin cảm ơn gia đình chỗ dựa tốt cho yên tâm học tập Tp.Hồ Chí Minh tháng năm 2008 Tác giả Phạm Minh Đăng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân thường cho phương trình vi phân trung hòa nhiều tác giả nghiên cứu sử dụng định lý liên tục Leray – Schauder, phương pháp biến đổi bậc tôpô… Ví dụ [5, 7, 8, 9, 10, 12] Trong [8], tác giả chứng minh tồn nghiệm toán d  x(t )  g (t , xt )   f  t , xt , x(t )  ,  t   dt  xo   , x(1)   với f :  0,1  C    C,   n n  n , g :  0,1  C  n hàm liên tục, Trong [ 12], tác giả nghiên cứu tồn tại, tính phụ thuộc liên tục vào tham số thực  cho nghiệm toán sau :  (t ) x(t )   f  t , xt , x(t )  , xo   ,  t  T, Ax(T )  Bx(T )   với  (t ) ma trận cấp n  n liên tục xác định  0,T  , A B ma trận cấp n  n ,   n  ,  C  C   r ,0; n  Trong [ 7, 10], tác giả nghiên cứu toán giá trị biên u  f (t , u )  0,  t  f :  0,1   liên tục, với điều kiện biên u (0)  0, u (1)   u ( ) u(0)  0, u(1)   u( ) … Chính vậy, luận văn trình bày số kết “Bài toán giá trị biên giá trị đầu cho phương trình vi phân trung hòa cấp hai” Mục đích nghiên cứu Sử dụng định lý điểm bất động để tìm lời giải cho toán giá trị biên giá trị đầu cho phương trình vi phân trung hòa cấp hai Đối tượng nội dung nghiên cứu Với giả thiết thích hợp hàm f, chứng minh tồn tại, phụ thuộc liên tục cho nghiệm toán Ý nghĩa khoa học thực tiễn Định lý điểm bất động công cụ mạnh nhiều nhà toán học sử dụng để chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân Luận văn kết đẹp cho toán Cấu trúc luận văn Luận văn chia thành chương sau : Mở đầu : Nêu lý chọn đề tài Chương : Giới thiệu toán Trong chương giới thiệu toán số không gian hàm Chương : Một số định lý bổ đề Nội dung chương trình bày số định lý bổ đề cần dùng để chứng minh kết chương Chương : Các kết Sử dụng kết chương hai để giải số toán giới thiệu chương Chương : Ứng dụng kết vào toán giá trị biên hỗn hợp Sử dụng kết chương hai ba khảo sát tồn nghiệm toán giá trị biên (E) – (BC2) Chương : Ứng dụng kết vào toán giá trị đầu Sử dụng kết chương hai ba khảo sát tồn tại, nhất, phụ thuộc liên tục vào tham số cho nghiệm toán giá trị đầu (E) – (IC3) Chương GIỚI THIỆU BÀI TOÁN 1.1 Mở đầu Trong luận văn xét toán giá trị biên ba điểm cho phương trình vi phân trung hòa cấp hai u  f (t , ut , u(t ))  , t  [0,1] uo   với (E) , u (1)  u ( )   C  C ([  r,0], ) ,   (0,1) , f  C [0,1]  C  ,  Với giả thiết thích hợp hàm f, chứng minh tồn tại, phụ thuộc liên tục cho nghiệm toán Cũng ứng dụng phương pháp sử dụng chứng minh toán trên, luận văn nghiên cứu tồn nghiệm cho phương trình (E) với hỗn hợp điều kiện biên uo   , u (1)   [u( )  u(0)] Hoặc với điều kiện đầu uo   , u(0)  Đối với toán giá trị đầu, tính phụ thuộc liên tục cho nghiệm xét đến Hơn nữa, luận văn tập nghiệm toán giá trị đầu tập khác rỗng, compăc liên thông Cách tiếp cận dựa định lý điểm bất động 1.2 Bài toán không gian hàm 1.2.1 Các không gian hàm Chúng ký hiệu : + C[0,1] C1[0,1] , theo thứ tự không gian Banach hàm thực liên tục hàm thực có đạo hàm liên tục [0,1] với chuẩn : u o  sup  u (t ) :  t  1  u  max u o , u o +  với u o  sup  u(t ) :  t  1 L1[0,1] không gian hàm thực x(t) thỏa x(t ) khả tích Lebesgue [0,1] + C  C [  r,0],  , với r > số, không gian Banach hàm liên tục  :[  r,0]  với chuẩn sup:   sup   ( ) :  r    0 + Với hàm liên tục x :[  r,1]  với t  [0,1] , ký hiệu xt phần tử C định : xt ( )  x(t   ),   [  r,0] 1.2.2 Bài toán Trong luận văn, xét phương trình vi phân trung hòa cấp hai sau : u  f (t , ut , u(t ))  , t  [0,1] với f :[0,1]  C   (E) liên tục, với điều kiện sau: uo   , u (1)  u ( ) (BC1) uo   , u (1)   [u( )  u(0)] (BC2) với điều kiện đầu sau : uo   , u(0)  (IC3)   C ,   (0,1),   Nghĩa là, xét toán : (E) – (BC1), (E) – (BC2) (E) – (IC3) Chương MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VÀ BỔ ĐỀ Trong phần chứng minh định lý chương dựa định lý bổ đề sau : 2.1 Định lý 2.1 (Nonlinear Alternative of Leray – Schauder) Cho E không gian Banach  tập mở bị chặn E,   T :   E ánh xạ hoàn toàn liên tục Khi tồn x   cho T ( x)   x với   tồn điểm bất động x   2.2 Định lý 2.2 (xem [6]) Cho  E ,   không gian Banach thực, D tập mở bị chặn E với biên D bao đóng D , T : D  E toán tử compăc, giả sử T thỏa điều kiện sau : i) T điểm bất động D deg(I - T, D, 0)  ii) Với   , tồn ánh xạ compăc T cho với x  D , T ( x)  T ( x)   với h, h   , phương trình x  T ( x)  h có nhiều nghiệm D tập điểm bất động T khác rỗng, compăc liên thông 2.3 Định lý 2.3 (xem [4]) Cho E, F không gian Banach, D tập mở E f : D  F ánh xạ liên tục, với   , tồn f : D  F ánh xạ lipsit địa phương cho : f ( x)  f ( x)   , x  D cof ( D) bao lồi f(D) f ( D)  cof ( D) , với 2.4 Bổ đề 2.4 (xem [7]) Cho y  C[0,1] , toán u  y (t )  , t  (0,1) u (0)  , u (1)  u ( ) với   [0,1] có nghiệm t  0 t t u (t )    (t  s ) y ( s )ds  (  s ) y ( s )ds  (1  s ) y ( s )ds , t  [0,1]     2.5 Bổ đề 2.5 Cho y  C[0,1] toán giá trị biên hỗn hợp u  y (t )  , t  (0,1) u (0)  , u (1)   [u( )  u(0)] , với   (0,1),   có nghiệm t  0 u (t )    (t  s) y ( s )ds   t  y ( s )ds  t  (1  s ) y ( s )ds , t  [0,1] 2.6 Bổ đề 2.6 Cho y  C[0,1] toán giá trị đầu u  y (t )  , t  (0,1) u (0)  , u(0)  có nghiệm t u (t )    (t  s ) y ( s )ds , t  [0,1] Chương CÁC KẾT QUẢ CHÍNH Trong chương khảo sát toán (E) – (BC1) chương giới thiệu 3.1 Định lý 3.1 Cho f :[0,1]  C   liên tục, f (to ,0,0)  với to  [0,1] tồn hàm không âm p, q, r  L1[0,1] thỏa : f (t , u , v)  p (t ) u  q (t ) v  r (t ) , với (t , u , v)  [0,1]  C  ( H1 ) :  0  (H ) : (1  s ) p ( s )ds  (  s)q( s )ds      1 0 ( H ) :   p ( s )  q ( s ) ds  (1  s )  p ( s )  q ( s ) ds     (  s)  p ( s )  q( s )  ds     Khi đó, toán giá trị biên (E) – (BC1) có nghiệm Chứng minh Bước : Trường hợp :  (0)    Đặt Co  u  C1  0,1 u (0)  không gian C1  0,1 t Với u  Co , có : u (t )   u(t )dt Vì : u o  u o (3.1) Với hàm u  Co , ta có : định nghĩa hàm uˆ :  r ,1  bởi: Theo nguyên lý ánh xạ co, tồn u  S cho P(u )  u Dễ thấy u nghiệm toán giá trị đầu (E) – (IC3) Như Định lý 5.3 chứng minh xong Bây giờ, xét toán u  f  t , ut , u(t ),    , t  [0,1] uo   , u(0)  (5.19) với  tham số thực f (t , u , v,  )  f (t , u , v,  )    u  u  v  v   0,1  C  (5.20) ,  số dương thỏa  2  (5.21) f (t , u , v, 1)  f (t , u, v, 2 )  L 1  2 (5.22) với L số dương với 1, 2 5.4 Định lý 5.4 Cho f :  0,1  C    hàm liên tục Nếu (5.20) – (5.22) nghiệm (5.19) phụ thuộc liên tục vào  Chứng minh Đặt u (t )  u (t , 1) v(t )  v(t , 2 ) nghiệm (5.19) với   1   2 , theo thứ tự Từ (5.17), (5.18) (5.22), với t   0,1 , có u (t )  v(t )   f  s, us , u( s), 1   f  s, vs , v( s), 2  ds   f  s, us , u( s ), 1   f  s, vs , v( s), 1  ds    f  s, vs , v( s ), 1   f  s, vs , v( s ), 2  ds    max u (t )  v(t )  max u(t )  v(t )   L 1  2 0t 1  0t 1  Tương tự u(t )  v(t )    max u (t )  v(t )  max u(t )  v(t )   L 1  2 , 0t 1  0t 1  Trong không gian mêtric đầy đủ (S, d) định nghĩa trên, có  d (u , v)  max max max u (t )  v(t ) , max max u(t )  v(t ) 0t 1 0t 1     max u (t )  v(t )  max u(t )  v(t )   L 1  2 0t 1  0t 1   2 d (u , v)  L 1  2 Theo (5.21), có 2  1, d (u , v)  L 1  2  2 Vậy, nghiệm (5.19) phụ thuộc liên tục vào tham số  Định lý 5.4 chứng minh xong Tiếp tục, tập nghiệm (E) – (IC3) khác rỗng, compăc liên thông Chúng ta cần thêm số kết sau 5.5 Mệnh đề 5.5 Cho f :  0,1  C  C  hàm liên tục lipsit địa phương , nghĩa với  t0 , u0 , v0    0,1  C  , tồn số dương  ,  ,    thỏa mãn f (t , u , v)  f (t , u , v )    u  u  v  v  , với t   0,1 , (u, v), (u , v )  C  , với t  t0   , u  u0   , u  u0   , v  v0   , v  v0   Khi đó, toán giá trị đầu (E) – (IC3) có nhiều nghiệm Chứng minh Giả sử toán (E) – (IC3) có hai nghiệm u(t), v(t)  r ,1 Khi đó, u(t) = v(t), với t   r ,0 u(t) = v(t), với t   r ,1 Đặt b  max  : u (t )  v(t ), t   r ,  (5.23) Hiển nhiên, b  Vậy  b  Chúng ta giả sử mâu thuẫn b >1 Từ f lipsit địa phương, với  b, ub , u(b)    0,1  C  , tồn số thực  ,  ,    thỏa mãn f (t , u1, v1 )  f (t , u2 , v2 )    u1  u2  v1  v2  , với t   0,1 , (u1, v1 ), (u2 , v2 )  C  , với t  b   , u1  ub   , u2  ub   , v1  u(b)   , v2  u(b)   Chú ý ub  vb , u(b)  v(b) b    Với u cố định, u  C   r ,1;  có đạo hàm liên tục [0,1], từ ánh xạ s  us , s  u( s ) , với s   0,1 , liên tục, nên tồn    với     2   thỏa mãn us  ub   , vs  ub   , u( s )  u(b)   , v( s )  u(b)   , s  b, b    Gọi Sb không gian hàm liên tục x : b, b     tục b, b    với xb  ub có đạo hàm liên Chúng ta định nghĩa db ( x, y )  max  max b  t  b   x(t )  y (t ) , max b  t  b    x(t )  y(t ) Khi Sb không gian metric đầy đủ với hàm khoảng cách db Dễ thấy u  u   r ,b    Sb v  v   r ,b    Sb Đặt w  u  v , w thỏa mãn w   f  t , ut , u(t )   f  t , vt , v(t )   , t  [b,b+ ] w b  , w (b)  Với t  b, b    , có t w(t)   (1  s ) f  s, us , u( s )   f  s, vs , v( s )  ds b  t   u s  vs  u( s )  v( s )  ds b     max u (t )  v (t )  max u(t )  v(t )  b  t  b    b  t  b    Tương tự, t w(t)   f  s, us , u( s)   f  s, vs , v( s )  ds b     max u (t )  v (t )  max u(t )  v(t )  b  t  b    b  t  b    Theo định nghĩa khoảng cách db , có db  u , v   max  max u (t )  v (t ) , max u(t )  v(t )  b  t  b    b  t  b        max u (t )  v (t )  max u(t )  v(t )  b  t  b    b  t  b     2 db  u , v  (5.24) Từ 2   , suy db  u , v   nghĩa u  v Từ u(t) = v(t), với t   r , b    Điều dẫn đến mâu thuẫn với định nghĩa b (5.23) Việc chứng minh hoàn thành Từ Định lý 5.1, 5.2 Mệnh đề 5.5, có hệ sau 5.6 Hệ 5.6 Cho f :[0,1]  C   liên tục lipsit địa phương C  Giả sử tồn hàm không âm p, q, r  L1[0,1] số thực k , l  [0,1] cho ( I1) : f (t , u , v)  p (t ) u k l  q (t ) v  r (t ) , (t , u , v)  [0,1]  C  1 0 ( I 2) : Q(k )  p( s )ds  Q(l )  q( s)ds  với Q(  ) định nghĩa Định lý 3.2 Khi đó, toán (E) – (IC3) có nghiệm Theo kết áp dụng Định lý 2.2, 2.3, có Định lý sau 5.7 Định lý 5.7 Cho f :[0,1]  C   liên tục thỏa mãn điều kiện (I1) – (I2) ( I1)  ( I 2) Khi tập nghiệm toán (E) – (IC3) khác rỗng, compăc liên thông Chứng minh Bước : Trường hợp  (0)  Chúng ta xét không gian Co, hàm uˆ toán tử T định nghĩa Định lý 5.1 trên, T :       C1  0,1 hoàn toàn liên tục,  với   u  Co : u  m  , m  B A Theo Định lý 5.1, 5.2, tập điểm bất động T khác rỗng Hơn nữa, compăc, liên thông Thật vậy, trước hết, với u   , từ (5.2), (5.3), (5.6) (5.7), có Tu  Am  C , m B C2 , nghĩa Am  C  m  1 A 1 A Do đó, Tu  m Khi đó, có T ()   Mặt khác,  tập lồi nên deg  I  T , ,0   Rõ ràng, T điểm bất động  Kế tiếp, hàm f :[0,1]  C     , tồn ánh xạ f :[0,1]  C  liên tục, theo Định lý 2.3, với  lipsit địa phương C  , thỏa mãn f  t , u , v   f  t , u , v    ,   t , u , v    0,1  C  (5.25) Rõ ràng f liên tục, nữa, f thỏa điều kiện (I1) – (I2) ( I1)  ( I 2) nên từ (5.25), f thỏa điều kiện (I1) – (I2) ( I1)  ( I 2) Cho T :   C1  0,1 định t T u (t )    (t  s) f  s, uˆs , u( s ) ds , t   0,1 Dễ dàng kiểm tra T hoàn toàn liên tục (5.26) T (u )  T (u )     , u   (5.27) Cuối cùng, cần chứng minh với h  mà h   , phương trình u  T (u )  h , (5.28) có nhiều nghiệm Giả sử u1, u2 hai nghiệm (5.28) w1  uˆ1  hˆ , w  uˆ2  hˆ Đặt  (t ) , t   r ,0 hˆ(t )   h(t ) , t   0,1  (t ) , t   r ,0 uˆi (t )   , i = 1,2 ( ) , 0,1 u t t     i Khi đó, w1, w hai nghiệm toán   w   f t , w t  hˆt , w (t )  h(t )  , t  [0,1] w  , w (0)  (5.29) Theo Mệnh đề 5.5, toán (5.29) có nhiều nghiệm, w1  w nghĩa u1  u2 Vậy phương trình (5.28) có nhiều nghiệm Áp dụng Định lý 2.2, có tập điểm bất động T khác rỗng, compăc liên thông Đó tập nghiệm toán (E) – (IC3) Bước chứng minh Bước : Trường hợp  (0)  Bằng phép biến đổi v  u   (0) , toán giá trị đầu (E) – (IC3) viết lại sau : v  f  t , vt   (0), v(t )   ,  t  , v     (0)   , v(0)  (5.30) o với   C  (0)  Theo bước 1, chứng minh không khó khăn tập nghiệm toán (5.30) khác rỗng, compăc liên thông Trong chứng minh này, f thỏa mãn điều kiện ( I1)  ( I 2) , bất đẳng thức (3.18) lại sử dụng Vì vậy, tập nghiệm toán (E) – (IC3) khác rỗng, compăc liên thông Định lý 5.7 chứng minh KẾT LUẬN Trong luận văn với giả thiết thích hợp hàm f sử dụng định lí điểm bất động, luận văn chứng minh tồn tại, phụ thuộc liên tục cho nghiệm toán giá trị biên ba điểm cho phương trình vi phân trung hòa cấp hai u  f (t , ut , u(t ))  , t  [0,1] uo   (E) , u (1)  u ( )   C  C ([  r,0], ) ,   (0,1) , f  C [0,1]  C  ,  Ngoài luận văn nghiên cứu tồn nghiệm cho phương trình (E) với hỗn hợp điều kiện biên uo   , u (1)   [u( )  u(0)] Hoặc với điều kiện đầu uo   , u(0)  Đối với toán giá trị đầu, tính phụ thuộc liên tục cho nghiệm xét đến Hơn nữa, luận văn tập nghiệm toán giá trị đầu tập khác rỗng, compăc liên thông Qua luận văn này, tác giả thực bắt đầu làm quen với công việc đọc tài liệu khoa học cách có hệ thống Tác giả học tập phương pháp chứng minh vấn đề mở rộng vấn đề theo nhiều góc độ khác Tuy nhiên, với hiểu biết hạn chế mình, tác giả mong đóng góp bảo Quý Thầy, Cô Hội đồng TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Lê Hoàn Hóa (2005), Tài liệu Giải tích phi tuyến I dành cho học viên cao học Giải tích Lê Thị Phương Ngọc (2007), “Một thích nghiệm dương toán ba điểm biên”, Tạp chí khoa học tự nhiên, Phòng khoa học công nghệ - Sau đại học, Trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, số 12, trang 29-41 Tiếng Anh Hoan Hoa Le, Thi Phuong Ngoc Le (2006), “Boundary and initial value problems for second-order neutral functional differential equations”, Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2006 (2006), No 62, pp 1–19 K Deimling (1985), Nonlinear Functional Analysis, Springer, NewYork J Henderson (1995), Boundary Value Problems for Functional Differential Equations, World Scientific, Publishing M A Krasnosel’skii, P P Zabreiko (1984), Geometrical Methods of Nonlinear Analysis, Springer - Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo R Ma, “Positive solutions of a nonlinear three-point boundary-value problem”, Electronic J Differential Equations, Vol 1998 (1998), No 34, 1-8 S K Ntouyas (1995), Boundary value problems for neutral functional differential equations, Editor, Johnny Henderson, World Scientific, 239 - 249 Donal O’Regan (1994), Theory of singular boundary problems, World Scientific Publishing 10 Yong-Ping Sun (2004), “Nontrivial solution for a three-point boundaryvalue problem”, Electronic J Differential Equations, Vol 2004 (2004), No 111, 1-10 11 Eberhard Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications, Springer-Verlag New, York Berlin Heidelberg Tokyo, Part I 12 Bo Zhang (1995), Boundary value problems of second order functional differential equations, Editor, Johnny Henderson, World Scientific, 301- 306 PHỤ LỤC Trong phần xin trình bày số kết toán giá trị biên ba điểm khác sau : x(t )  f  t , x(t )  ,  t  (1.1) x(0)  0, x(1)   x( ) (1.2) Trong  ,  (0,1) hàm số f cho trước thỏa số điều kiện thích hợp Xét không gian Banach C  0,1 với chuẩn x  max x(t ) không gian t 0,1 Banach C  0,1 với chuẩn x  max  x , x , x  Chúng ta thành lập giả thiết sau   ( H1 ) :  ,   0,1 ,    0,  cho  cos   cos    2 ( H ) : f :  0,1   0,    hàm liên tục thỏa điều kiện : g (t , x)  f (t , x)   x  0, (t , x)   0,1   0,   Khi toán (1.1) – (1.2) tương đương với toán : x(t )   x(t )  g  t , x(t )  ,  t  (1.3) x(0)  0, (1.4) x(1)   x( ) Các bổ đề Xét toán biên ba điểm : x(t )   x(t )  h(t ),  t  (2.1) x(0)  0, (2.2) x(1)   x( ) Bổ đề 2.1 Giả sử ( H1) Khi : (i) Với h  C  0,1 , toán (2.1) – (2.2) có nghiệm x(t )   G (t , s )h( s )ds  (Th)(t ),  t  (2.3) 1  sin  (t  s),0  s  t  1, G (t , s )     0,  t  s 1   sin  (1  s )   sin  (  s),0  s    cos  t (2.4)    s 1   cos   cos   sin  (1  s ), Mặt khác : (ii)  G (t , s )  M , (t , s )   0,1   0,1 M   sin  1     cos   cos  (2.5)  0  (iii) T : C  0,1  C  0,1 toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục Với h  C  0,1 , h(t )  0, t   0,1 (iv) Th  (t )  0, t  0,1 Bổ đề 2.2 Giả sử ( H1) giả sử thêm tg   sin  Khi :   cos  G (t , s )  M , (t , s )   0,1   0,  M  cos   sin  (1   )   sin      cos   cos   Bổ đề 2.3 Tồn hàm số liên tục  :  0,1   0,   số c   0,1 cho c ( s )  G (t , s)   ( s ), t , s   0,1 Bây đặt K   x  C  0,1 : x(t )  0, t   0,1 với x  K , đặt Fx(t )  g  t , x(t )  , t   0,1 Khi đó, toán tử F : K  K hoàn toàn xác định liên tục Đặt A  T  F Khi A  T  F : K  K toán tử hoàn toàn liên tục Rõ ràng điểm bất động A nghiệm dương toán (1.1) K   x  C  0,1 : x(t )  c x , t   0,1 , – (1.2) ngược lại Đặt chứng minh K  K K nón dương C  0,1 Hơn A( K )  T  F ( K )  K Sự tồn nghiệm dương Giả sử f (t , x) , x t 0,1 f o  lim sup max x 0 f (t , x) , x t 0,1 f   lim sup max x  f (t , x) x t 0,1 f o  lim inf x 0 f (t , x) x t 0,1 f   lim inf x  Định lí 3.1 Giả sử ( H1 ),( H ) tg   sin  Giả sử   cos  hai trường hợp sau xảy : (i ) f o    , f  , (ii ) f o  , f     Khi đó, toán (1.1) – (1.2 ) có nghiệm dương Bổ sung thêm giả thiết sau : (H3) fo  , f   , tồn   cho max 0t 1,c  x    f (t , x)      ,   chọn cho M   ( H ) fo    , f    0t 1,c  x   tồn  0 cho  f (t , x)    c    chọn cho M o   Định lí 3.2 Giả sử ( H1),( H ) tg   sin  Giả sử thêm ( H )   cos  ( H ) Khi đó, toán (1.1) – (1.2 ) có hai nghiệm dương Tính compăc tập hợp nghiệm dương Định lí 4.1 Giả sử ( H1),( H ) tg   sin  Giả sử thêm   cos  fo  , f    Khi tập hợp nghiệm dương toán (1.1) – (1.2) khác rỗng compăc [...]... 0 Bằng phép biến đổi v  u   (0) , bài toán giá trị biên (E) – (BC1) trở thành bài toán giá trị biên sau : v  f  t , vt   (0), v(t )   0 , 0  t  1 , vo     (0)   , v(1)  v( ) , Với   C và  (0)  0 Theo bước 1, bài toán giá trị biên này có ít nhất một nghiệm Bước 2 được chứng minh xong Như vậy Định lý 3.1 được chứng minh 3.2 Định lý 3.2 Cho f :[0,1]  C   liên tục, với to... Định lý 4.2 được chứng minh xong Chương 5 ỨNG DỤNG KẾT QUẢ CHÍNH VÀO BÀI TOÁN GIÁ TRỊ ĐẦU Trước hết, theo như phương pháp trong chương 3, kết hợp Bổ đề 2.6, chúng ta cũng thiết lập các kết quả tồn tại, duy nhất, phụ thuộc liên tục vào tham số thực cho nghiệm của bài toán giá trị đầu (E) – (IC3) 5.1 Định lý 5.1 Cho f :[0,1]  C   liên tục và giả sử tồn tại các hàm không âm p, q, r  L1[0,1] thỏa : (... của (3.25) phụ thuộc liên tục vào tham số  Định lý 3.4 được chứng minh xong Chương 4 ỨNG DỤNG KẾT QUẢ CHÍNH VÀO BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN HỖN HỢP Bây giờ, chúng ta khảo sát sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên (E) – (BC2) Dựa trên Bổ đề 2.5, cách chứng minh các định lý dưới đây cũng tương tự như chứng minh trong chương 3 4.1 Định lý 4.1 Cho f :[0,1]  C   liên tục và giả sử tồn tại các hàm không... ánh xạ co, tồn tại duy nhất u  S sao cho P(u )  u Dễ thấy rằng u là nghiệm duy nhất của bài toán giá trị biên (E) – (BC1) Như vậy Định lý 3.3 được chứng minh xong Nhận xét Chúng ta nhận xét rằng Định lý 3.3 vẫn còn đúng nếu chúng ta xét bài toán giá trị biên u  f  t , ut , u(t ),    0 , t  [0,1] uo   , u (1)  u ( ) (3.25) với  là tham số thực và f (t , u , v,  )  f (t , u , v,...    1 thì bài toán giá trị biên (E) – (BC1) có nghiệm 1     duy nhất Chứng minh Cho S là không gian các hàm liên tục u :  r ,1  thỏa mãn u có đạo hàm liên tục trên  0,1 và u0   Chúng ta định nghĩa   d (u , v)  max max u (t )  v(t ) , max u(t )  v(t ) 0t 1 0t 1 (3.20) Thì S là không gian mêtric đầy đủ với hàm khoảng cách d Theo Bổ đề 2.4, với mỗi u  S , bài toán x  f... đúng thì bài toán giá trị biên (3.25) có nghiệm duy nhất u (t )  u (t ,  ) với mỗi  Chúng ta sẽ chỉ ra rằng nghiệm của (3.25) phụ thuộc liên tục vào tham số  nếu f (t , u, v, 1)  f (t , u, v, 2 )  L 1  2 , (3.28) với L là hằng số dương và với mọi 1, 2 3.4 Định lý 3.4 Cho f :  0,1  C    là hàm liên tục Nếu (3.26) – (3.28) đúng thì nghiệm của (3.25) phụ thuộc liên tục vào  Chứng...  q ( s )ds  1 (M 3 ) : 1  0 0  (2  s)  p(s)  q(s) ds     p(s)  q(s) ds  1 Khi đó, bài toán giá trị biên (E) – (BC2) có ít nhất một nghiệm Chứng minh Trước hết, chúng ta xét trường hợp  (0)  0 và với không gian con Co , hàm uˆ được định nghĩa như trong Định lý 3.1 Định nghĩa toán tử tích phân T : Co  C1  0,1 định bởi : t  0 0 Tu (t )    (t  s ) f  s, uˆs , u( s )  ds   t... chứng minh các Định lý 3.1, 3.2, chúng ta kết luận từ (4.2), (4.3) và ( M 3 ) là tập dưới đây bị chặn u*  : T (u*)  u*,   1 (4.4) Do đó, kết hợp với giả thuyết ( M 2 ) và tính liên tục của hàm f, T có điểm bất động u  Co Trong trường hợp  (0)  0 , dùng phép biến đổi v  u   (0) , chúng ta có thể vi t lại bài toán giá trị biên (E) – (BC2) như sau v  f  t , vt   (0), v(t )   0 ,... 0 b2   (2  s )q ( s )ds    q ( s )ds 0 neáu 0    1 và Q(  )   1 neáu   1 Khi đó, bài toán giá trị biên (E) – (BC2)có ít nhất một nghiệm Chứng minh Trước hết, chúng ta xét trường hợp  (0)  0 và với không gian con Co , hàm uˆ được định nghĩa như trong Định lý 3.1 Định nghĩa toán tử tích phân T : Co  C1  0,1 định bởi : t  0 0 Tu (t )    (t  s ) f  s, uˆs , u( s )  ds   t... chứng minh các Định lý 3.1, 3.2, chúng ta kết luận từ (4.5), (4.6) và ( M 3 ) là tập dưới đây bị chặn u*   : T (u*)  u*,   1 (4.7) Do đó, kết hợp với giả thuyết ( M 2 ) và tính liên tục của hàm f, T có điểm bất động u  Co Trong trường hợp  (0)  0 , dùng phép biến đổi v  u   (0) , chúng ta có thể vi t lại bài toán giá trị biên (E) – (BC2) như sau v  f  t , vt   (0), v(t )   0 ,