BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Văn Ðông TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ TRÊN C(X) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Văn Ðông TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ TRÊN C(X) Chuyên ngành : Hình học Tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thái Sơn Thầy nhiệt tình công tác hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tôi chân thành cảm ơn quý Thầy tổ Hình học, khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học Cao học Đặc biệt thầy TS Nguyễn Hà Thanh giúp tìm nhiều tài liệu hay phục vụ cho việc thực đề tài luận văn Trong trình thực luận văn, có liên lạc với giáo sư S.Kundu - tác giả nhiều báo liên quan đến đề tài quan tâm nhận nhiều tài liệu quý báu từ giáo sư Xin chân thành biết ơn Giáo sư S.Kundu Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu trường THPT Bình Thạnh, tỉnh Tây Ninh, toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Tp Hồ Chí Minh, năm 2009 Tác giả Phạm Văn Đông MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tôpô 1.2 Các lớp không gian tôpô 11 1.3 Không gian tuyến tính tôpô 15 1.4 Cái tôpô 17 1.5 Không gian giả-compăc 20 Chương 2: ĐỊNH NGHĨA VỀ TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ 2.1 Các định nghĩa khác tôpô giả compăc-mở 21 2.2 So sánh tôpô giả compăc-mở với tôpô compăc-mở tôpô hội tụ 32 Chương 3: ÁNH XẠ CẢM SINH, TÍNH MÊTRIC HÓA VÀ TÍNH TÁCH ĐƯỢC TRÊN Cps(X) 3.1 Ánh xạ cảm sinh 39 3.2 Tính mêtric hóa tính tách Cps(X) 47 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết, tập hợp C(X) tất hàm liên tục có giá trị thực không gian Tychonoff X có số tôpô tự nhiên Những tôpô sinh từ khái niệm hội tụ dãy hàm Hơn nữa, hàm liên tục độ đo Baire không gian Tychonoff có liên hệ với trình tính tích phân Một số tôpô lồi địa phương không gian hàm liên tục nghiên cứu để làm rõ mối liên hệ Chúng cho phép tạo lý thuyết không gian lồi địa phương đủ mạnh thuận lợi cho việc ứng dụng vào lý thuyết độ đo tôpô Ba tôpô thông dụng C(X) tôpô compăc-mở k, tôpô hội tụ u tôpô hội tụ điểm p Tôpô compăc-mở tôpô hội tụ C(X) trùng với X compăc Bởi tính compăc điều kiện mạnh nên có “lỗ hổng” hai tôpô Đặc biệt, thấy rõ lý thuyết độ đo Chính “lỗ hổng” mà năm thập kỷ qua, có vài tôpô giới thiệu làm cầu nối k u, cụ thể tôpô chặt, tôpô  -compăc-mở, tôpô hội tụ tập  -compăc tôpô hội tụ tập giới nội Trong báo khoa học đăng năm 2006, S.Kundu Pratibha Garg giới thiệu tôpô tự nhiên khác C(X), tôpô giả compăcmở Nó kí hiệu ps không gian tôpô tương ứng Cps(X) Mặc dù, tôpô giả compăc-mở ps đề cập ngẫu nhiên, song đáng nghiên cứu nhiều Chính chọn đề tài luận văn “TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ TRÊN C(X)” Mục đích Nghiên cứu tôpô giả compăc–mở C  X  theo quan điểm tôpô Đối tượng phạm vi nghiên cứu Một số tính chất không gian tôpô giả compăc-mở C ps  X  Ý nghĩa khoa học thực tiễn Giới thiệu thêm tôpô lồi địa phương khác tôpô compăcmở tôpô hội tụ C(X) Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương phần kết luận Trong chương chương phần luận văn, không gian xét không gian Tychonoff Cụ thể: Phần mở đầu: Giới thiệu khái quát đề tài Chương 1: Nhắc lại số kiến thức tôpô đại cương Chương 2: Nêu định nghĩa tôpô giả compăc-mở so sánh tôpô với hai tôpô biết tôpô compăc-mở tôpô hội tụ Chương 3: Trình bày ánh xạ cảm sinh, tính mêtric dưới, tính mêtric hóa tính tách C ps  X  Phần kết luận: Đưa nhận xét vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu sau đề tài Chương : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, luận văn trình bày lại kiến thức tôpô đại cương có liên quan đến chương sau Ở đây, định lí, hệ quả, bổ đề kết phát biểu không chứng minh, trích dẫn từ tài liệu [1], [2], [3] [4] Chúng dùng làm sở lý thuyết phục vụ đề tài 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa không gian tôpô Cho tập X Một họ  tập X gọi tôpô X thỏa điều kiện sau:  ) X ,  thuộc ;  ) Hợp tùy ý tập thuộc  thuộc  ;  ) Giao hữu hạn tập thuộc  thuộc  Tập X với tôpô X gọi không gian tôpô, kí hiệu  X ,  hay ngắn gọn X không cần rõ  tôpô X Các phần tử không gian gọi điểm Cho  X ,  không gian tôpô Tập G  gọi tập mở X Tập F X gọi tập đóng X \ F mở 1.1.2 Lân cận a) Cho  X ,  không gian tôpô x  X Tập V  X gọi lân cận x tồn tập mở G cho x V  G Nếu lân cận V x tập mở V gọi lân cận mở x b) Nhận xét Một tập mở lân cận điểm thuộc 1.1.3 Cơ sở tiền sở Cho  tôpô X Một họ   gọi sở  tập thuộc  hợp họ tập thuộc  Hay, họ   sở  G  , x  G, V   : x V  G Một họ   gọi tiền sở  họ tất giao hữu hạn tập thuộc  sở  Như họ   tiền sở  G  x  G , tồn W1 ,W2 , ,Wn   cho x W1  W2   Wn  G Hiển nhiên, tôpô hoàn toàn xác định biết sở hay tiền sở 1.1.4 Cơ sở lân cận Một họ Ux lân cận x gọi sở lân cận x hay sở địa phương x lân cận V x tồn lân cận U Ux cho U  V 1.1.5 Điểm tụ Cho A tập không gian tôpô X x  X Nếu lân cận V x ta có V \  x   A   x gọi điểm tụ hay điểm giới hạn tập A 1.1.6 Phần trong, bao đóng, trù mật Cho X không gian tôpô tập A  X 1.1.6.1 Các định nghĩa  Ta gọi phần A hợp tất tập mở chứa A, kí hiệu A0  Ta gọi bao đóng A giao tất tập đóng chứa A, kí hiệu Ā hay cl X A  Tập A gọi trù mật hay trù mật khắp nơi X A  X 1.1.6.2 Định lí Tập A trù mật không gian tôpô X x  X lân cận V x, V  A   1.1.7 Không gian tách 1.1.7.1 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi tách tồn tập đếm trù mật 1.1.7.2 Định lí Không gian mà tôpô có sở đếm tách 1.1.7.3 Định lí Cho X không gian mêtric Khi C p  X  tách card(X)  20 1.1.8 Các tiên đề đếm 1.1.8.1 Tiên đề đếm thứ hai Không gian tôpô gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai có sở đếm 1.1.8.2 Tiên đề đếm thứ Không gian tôpô gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm xX có sở lân cận đếm 1.1.8.3 Định lí Không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai thỏa mãn tiên đề đếm thứ 1.1.8.4 Định lí Một không gian rời rạc thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai hữu hạn 1.1.9 Ánh xạ liên tục 1.1.9.1 Định nghĩa Cho X Y không gian tôpô Ánh xạ f : X  Y gọi liên tục x  X lân cận V f  x  Y tồn lân cận U x X cho f U   V Một ánh xạ gọi liên tục X liên tục xX e C ps  X  E0  không gian; f X hầu   giả compăc; g C ps  X  có dạng không-tập-chéo;  h C ps  X  có dạng G  chéo Chứng minh  a    b    c    d    e  Các kết suy trực tiếp  e    f  Nếu C ps  X  E0  không gian, hàm xác định X G  tập Gọi 0  n1 0, An ,  n , An giả compăc X  n  Chúng ta cần chứng minh X   n 1 An Giả sử x0  X \  n1 An Vì tồn hàm f : X   0,1 cho f  x   với x   n1 An f  x0   Vì f  x   với x  An nên f  0, An ,  n với n f  n1 0, An ,  n  0 Điều có nghĩa f  x   với x  X Nhưng f  x0   Từ mâu thuẫn này, kết luận X hầu   giả compăc  f    a  Gọi   An : n   An giả compăc Đặt S   An : n  tập trù mật X ,  tổng họ An gọi  : S  X ánh xạ tự nhiên Khi ánh xạ cảm sinh   : C ps  X   C ps  S  xác định    f   f   liên tục Vì  ánh xạ hầu lên, theo Định lí 3.1.3  ii  ,   ánh xạ một-một Theo Định lí 3.1.15, C ps   An : n   đồng phôi với C  A  : n   ps n Nhưng C ps  An  mêtric hóa, tôpô sinh mêtric cận trùng với tôpô giả compăc-mở miền giả compăc ( xem Định lí 2.2.3  ii  ) Vì C ps  S  không gian mêtric hóa   đơn ánh liên tục nên C ps  X  không gian mêtric  a    g    h    e  Các kết suy từ Chú ý 3.2.2  i  3.2.5 Định lí Giả sử X   hầu giả compăc Nếu K tập C ps  X  phát biểu sau tương đương a K compăc; b K compăc theo dãy; c K compăc đếm được; d  K giả compăc Chứng minh  b    c    d  Các kết suy trực tiếp  a   b  d    a  Theo Định lí 3.2.4 ta có C ps  X  K không gian mêtric Một không gian giả compăc mêtric không gian mêtric không gian compăc (xem [20]) Hơn nữa, không gian mêtric hóa loại tập compăc đồng Do  a    b   d    a  Tiếp theo, C ps  X  có số tính chất tôpô tương đương với tính mêtric hóa Vì trước hết cần định nghĩa tính chất tôpô 3.2.6 Các định nghĩa 3.2.6.1 Tập có đặc tính đếm Một tập S không gian X gọi có đặc tính đếm có dãy tập mở Wn : n   X cho S  Wn với n W tập mở chứa S Wn  W với n 3.2.6.2 Không gian có kiểu đếm Một không gian X gọi có kiểu đếm với tập compăc chứa tập compăc có đặc tính đếm Một không gian X gọi có kiểu đếm điểm với điểm chứa tập compăc có đặc tính đếm 3.2.6.3 q-không gian Một không gian X gọi q  không gian với điểm x  X , tồn dãy lân cận U n : n  với n  xn : n   x cho xn U n  có điểm tụ 3.2.6.4 M-không gian Một không gian X gọi M  không gian tồn f : X  Y ánh xạ lên, liên tục, đóng ảnh ngược điểm tập compăc đếm được, Y không gian mêtric 3.2.6.5 Chú ý  Không gian có kiểu đếm điểm M  không gian q  không gian  Một không gian mêtric hóa không gian có kiểu đếm (Để có kết vừa nêu xem [5], [23], [24] [27]) 3.2.7 Định lí Với không gian X phát biểu sau tương đương a C ps  X  không gian mêtric hóa; b C ps  X  không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất; c C ps  X  không gian có kiểu đếm được; d  C ps  X  không gian có kiểu đếm điểm; e C ps  X  có không gian có kiểu đếm điểm trù mật; f C ps  X  M  không gian; g C ps  X  q  không gian;  h X nửa giả compăc; tức là, tồn dãy tập giả compăc  An : n   X cho với tập giả compăc A X A  An với n Chứng minh a  c  d    g , a   f    g   a    b    g  Những kết suy từ Định nghĩa 3.2.6  d    e  Ta có D tập trù mật không gian X A tập compăc D A có đặc tính đếm D A có đặc tính đếm X Vì C ps  X  không gian lồi địa phương nên không gian Từ hai kết ta có  g    h   d    e  Giả sử C ps  X  q  không gian Do tồn dãy lân cận U n : n   f n U n với n hàm hằng–không C ps  X  cho  fn : n   có điểm tụ thuộc C ps  X  Với n có tập đóng giả compăc An X  n  cho  0, An ,  n  U n Gọi A tập giả compăc X Giả sử A không tập An với n Khi đó, với n  với n  tồn an  A \ An Vì tồn hàm liên tục f n : X   0,1 cho f n  an   n f n  x   0, với x  An Rõ ràng f n  0, An ,  n Nhưng dãy  f n n điểm tụ C ps  X  Nếu giả sử dãy có điểm tụ f C ps  X  Khi đó, với k  tồn số nguyên dương nk  k     cho f nk  f , A,1 Vì với k  , f ank  f nk ank   nk   k Nhưng điều có nghĩa f không giới nội tập giả compăc A Vì dãy  f n n điểm tụ C ps  X  Suy C ps  X  không q  không gian Do X phải nửa giả compăc  h    a  Ở đây, cần đến kết biết tôpô không gian Hausdorff lồi địa phương sinh họ nửa chuẩn đếm không gian mêtric hóa (xem [27]) Vì tôpô lồi địa phương  C  X  sinh họ nửa chuẩn đếm p An : n   mêtric hóa thô tôpô giả compăc-mở Tuy nhiên, với tập giả compăc A X tồn An cho A  An nên tôpô lồi địa phương   sinh họ nửa chuẩn p A : A  PS  X  , tôpô giả compăc-mở, thô  tôpô sinh họ nửa chuẩn p An : n   Do C  X  không gian ps mêtric hóa Trong phần lại chương ta nêu số kết sau 3.2.8 Định lí Cho X không gian bất kì, khẳng định sau tương đương (a ) C ps ( X ) không gian tách được; (b) Ck ( X ) không gian tách được; (c) C p ( X ) không gian tách được, với C p ( X ) không gian tôpô hội tụ điểm C ( X ) ; (d ) X có tôpô mêtric hóa tách yếu hơn; (e) X không gian mêtric có tập trù mật có số nhỏ 20 Chứng minh  a    b    c  Các kết suy trực tiếp  c    d  (xem [ 30])  d    e  Gọi f : X  Y song ánh liên tục, Y không gian mêtric tách Vì card X  card Y Nhưng Y không gian tách nên card Y  20  e    a  Vì X không gian mêtric nên với tập giả compăc X compăc Suy C ps ( X )  Ck ( X ) Mà  e    b  (xem [29]) nên ta có điều cần chứng minh 3.2.9 Hệ Nếu C ps ( X ) không gian tách C ps ( X )  Ck ( X ) 3.2.10 Các ví dụ 3.2.10.1 Giả sử X không gian giả compăc không không gian mêtric hóa Vì không gian giả compăc mêtric không gian mêtric hóa (xem [20]) nên X không không gian mêtric Do C ps ( X ) không tách Đặc biệt, với X   0, 1  X   0, 1  C ps ( X ) Ck ( X ) không tách Với X   0, 1  C p  X   Ck  X   C ps  X  , với X   0, 1  C p  X   Ck  X   C ps  X  3.2.10.2 Vì không gian mêtric tách nên C ps ( ) không gian tách Đối với không gian ta có Cp    Ck    C ps   3.2.10.3 Xét không gian Fortissimo F (xem [28]), F không đếm Không gian Lindelof với tập compăc F tập hữu hạn Suy với tập giả compăc F tập hữu hạn Nhưng F không không gian mêtric dưới, tồn điểm dạng G  tập F Do C p  F  không tách Đối với không gian ta có C p  F   Ck  F   C ps  F  3.2.10.4 Giả sử X không gian rời rạc đếm Khi C ps  X  không gian tách Đối với không gian ta có C p  X   Ck  X   C ps  X  KẾT LUẬN Tương tự tôpô hội tụ điểm tôpô compăc-mở có ba cách để định nghĩa tôpô giả compăc-mở C  X  , điều thể mục 2.1.2 Các định nghĩa tương đương với khẳng định Định lí 2.1.4 Nhằm mục đích hiểu rõ tôpô giả compăc-mở, so sánh tôpô với tôpô compăc-mở tôpô hội tụ Sự so sánh minh họa thông qua ví dụ cụ thể cho tất trường hợp Một cách tổng quát ta có kết sau Với không gian X ta có Ck  X   C ps  X   Cu  X  Trong  i  Ck  X   C ps  X  X không gian p-isocompăc, với họ không gian p-isocompăc bao gồm: không gian mêtric, không gian paracompăc, không gian realcompăc, P-không gian, không gian metacompăc para-Lindelof  ii  C ps  X   Cu  X  X giả compăc Ánh xạ cảm sinh công cụ thường sử dụng không gian hàm Kết hợp theo cặp, Định lí 3.1.3  iii  Định lí 3.1.9; Định lí 3.1.11 Định lí 3.1.12 ta nêu lại kết ánh xạ cảm sinh sau:  Cho X không gian p-isocompăc yếu Y S4 -không gian, chuẩn tắc hàm Khi f  : C Y   C ps  X  ánh xạ hầu lên f : X  Y ánh xạ một-một  Cho f : X  Y ánh xạ liên tục tập giả compăc Y đóng Khi f  : C ps Y   C ps  X  phép nhúng f : X  Y ánh xạ p  phủ Ngoài ra, để nghiên cứu tính mêtric hóa C ps  X  phạm vi rộng ta giới thiệu số tính chất tương đương với tính mêtric Định lí 3.2.4 vài hệ trực tiếp tính chất khẳng định Định lí 3.2.5 Sau đó, ta chứng minh tính mêtric hóa tương đương với số tính chất tôpô, điều cụ thể hóa Định lí 3.2.7 Trong phần cuối chương 3, kết đặc trưng không gian tách C ps ( X ) nêu Định lí 3.2.8 Thêm vào đó, số ví dụ minh họa cho kết Qua nội dung trình bày luận văn ta thấy, nghiên cứu thức tôpô giả compăc–mở Nó tôpô lồi địa phương tự nhiên đáng quan tâm C ( X ) theo quan điểm tôpô Ngoài nội dung trình bày, tôpô giả compăc–mở C ps  X  họ tính chất quan trọng khác cần tiếp tục nghiên cứu tính đầy đủ tính đếm Song, có hai vấn đề khó khăn việc nghiên cứu C ps  X  cần phải lưu ý là:  Trong không gian Tychonoff tập compăc C- nhúng tập đóng giả compăc không thiết Cnhúng  Một tập đóng không gian compăc tập compăc tập đóng giả compăc không gian giả compăc không thiết tập giả compăc Vì thời gian có hạn đặc biệt trình độ thân hạn chế, chắn nhiều vấn đề đáng quan tâm khác mà chưa nhận thấy Bản luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý độc giả Chúng xin chân thành cảm ơn độc giả đã, quan tâm đóng góp ý kiến cho luận văn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đậu Thế Cấp (2005), Tôpô đại cương, Nhà xuất Giáo dục J L Kelli (1973), Tôpô đại cương (Hồ Thuần, Hà Huy Khái, Đinh Mạnh Tường dịch), Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hoàng Tụy (2002), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội Hoàng Xuân Sính–Đoàn Quỳnh (1987), Tôpô ?, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Tiếng Anh A.V Arhangel’skii (1963), On a class of spaces containing all metric and all locally bicompact spaces, Soviet Math Dokl , 4, pp 1051-1055 C E Aull (1968), Sequences in topological spaces, Prace Mat, 11, pp 329- 336 (1969), Notes on separation by continuous functions, Nederl Akad Wetensch Proc Ser A 72 = Indag Math, 31, pp 458-461 (1975), On C- and C  - embeddings, Nederl Akad Wetensch Proc Ser A 78 = Indag Math, 37, pp 26-33 (1980), Absolute C – embedding in functionally normal spaces and related spaces, Topology, Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai, 23 Amsterdam- New York: North-Holland, Vol II, pp 129-136 10 Robert L Blair and Eric K v Douwen (1992), Nearly realcompact spaces, Topology Appl, 47 (3), pp 209-221 11 Robert L Blair and Mary Anne Swardson (1990), Spaces with an Oz Stone–Čech compactification, Topology Abbl, 36 (1), pp 73-92 12 Brian M Scott (1979), Pseudocompact, metacompact spaces are compact, Topology Proc, (2), pp 577-587 13 Dennis K Burke, Covering properties, Kunen and Vaughan, pp 347-422 14 D K Burke and S W David (1982), Pseudocompact para-Lindelof spaces are compact, Abstracts Amr Math Soc, 3, pp 213 15 Ralph H Fox (1945), On topologies for function spaces, Bull Amer Math Soc, 51, pp 429-432 16 Leonard Gillman and Meyer Jerison(1960), Rings of Continuous Functions, The University Serries in Highr Mathematics Princeton, New Jersey: D Van Nostrand, Co., Inc 17 Gary Gruenhage, Generalized metric spaces, Kunen and Vaughan, pp 423-501 18 Mohammad Ismail and Peter Nyikos (1980), On spaces in which countably compact sets are closed, and hereditary properties, Topology Appl, 11 (3), pp 281-292 19 J E Jayne (1974), Spaces of Baire functions I, Ann Inst Fourier (Grenoble), 24 (4), pp 47-76 20 S Kundu and R A McCoy (1993), Topologies between compact and uniform convergence on function spaces, Int J Math Math Sci, 16 (1), pp 101-109 21 S.Kundu and A.B Raha (1997), ADDENDUM to the paper The Bounded-Open Topology and its Relatives, Rend.Istit.Mat.Univ Trieste (Vol XXIX), pp 163-166 22 R A McCoy and I Ntantu (1988), Topological Properties of Spaces of Continuous Functions, Lecture Notes in Mathematics, 1315 Berlin: Springer-Verlag 23 E Michael (1966), 0 - spaces, J Math Mech, 15, pp 983-1002 24 Kiiti Morita (1964), Products of normal spaces with metric spaces, Math Ann, 154, pp 365-382 25 Beckenstein E, narici L and Suffel C.(1977), Topological algebras, Notasde Matèmatica(60), North Holland Publishing company, Amsterdam, Brian M Scott (1980), Psedocompact, metacompact spaces are compact, Topology Proc, 4(2), pp.577-587 26 Angus Ellis Taylor and David C Lay (1980), Introduction to Functional Analysis, 2nd ed New York: John Wiley & Sons 27 Frank Siwiec (1975), Generalizations of the first axiom of countability, Rocky Mountian J Math, 5, pp 1-60 28 Lynn Arthur Steen and J Arthur Seebach, Jr (1978), Counterexamples in Topology 2nd ed New York: Springer-Verlag 29 Aaron R.Todd (1991), Pseudocompact sets, Adabsolutely Warner bounded sets and continuous function spaces, Arch.Math, 56(5), pp 474-481 30 S Warner (1958), The topology of compact convergence on continuous function spaces, Duke Math, 25, pp 265-282 [...]...  1 ) Ta kí hiệu X 1  X 2 , X 1  X 2 và X 1  X 2 để chỉ rằng tôpô trên X 2 là trùng với tôpô trên X 1 , tôpô trên X 2 là mịn hơn hay trùng với tôpô trên X 1 và tôpô trên X 2 là chặt chẽ mịn hơn trên X 1 Hai tôpô mà cái này mịn hơn cái kia là so sánh được với nhau 1.1.10.2 Định lí Cho hai tôpô  1 và  2 trên cùng một tập hợp X , các khẳng định sau đây là tương đương a)  1 mịn hơn  2 ; b) Với... Bởi vì tôpô này được sinh bởi tập hợp nửa chuẩn nên nó là tôpô lồi địa phương 2.1.3 Nhận xét  Một tập con đóng của một tập giả compăc có thể không là giả compăc  Một miền con đóng của một tập giả compăc là giả compăc (Một tập con A của một không gian X thỏa mãn điều kiện A  int A được gọi là một miền đóng.) 2.1.4 Định lí Với bất kì không gian X , tôpô giả compăc-mở trên C  X  trùng với tôpô hội... ii  A là tập giả- compăc   Chương 2: ĐỊNH NGHĨA VỀ TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ 2.1 Các định nghĩa khác nhau về tôpô giả compăc-mở 2.1.1 Nhắc lại định nghĩa không gian giả compăc Một không gian X được gọi là giả compăc nếu f  X  là một tập con với mỗi f  C  X  giới nội của 2.1.2 Các định nghĩa khác nhau về tôpô giả compăc-mở Với bất kì tập con giả compăc A của X và bất kì tập mở V của , ta định nghĩa ... nghĩa 2.2.1.1 Tôpô compăc-mở trên C(X) Cho trước tập con A của không gian X , f  C  X  và   0, gọi  f , A,   g  C  X  : f  x   g  x    , x  A Nếu K  X  là tập hợp tất cả những tập con compăc của X  thì với mỗi f  C  X  , tập hợp f , K ,  : K  K  X  ,   0 tạo thành một cơ sở lân cận tại f trong tôpô compăc-mở k trên C  X  Khi C  X  được trang bị tôpô compăc-mở k... thực sự trong Ck  X  2.2.1.2 Tôpô hội tụ đều trên C(X) Đối với tôpô hội tụ đều u trên C  X  , tập hợp  f , X ,  :   0 tạo thành một cơ sở lân cận của f  C  X  Khi X được trang bị tôpô u , không gian tôpô tương ứng sẽ được kí hiệu là Cu  X  Nhưng tập f , X ,  không nhất thiết phải là tập mở trong Cu  X  Từ những định nghĩa của các không gian tôpô nêu trên ta có kết quả sau 2.2.2 Định... tập con giả compăc của X 2.1.2.1 Định nghĩa 1 Tôpô giả compăc-mở trên C  X  được xác định bởi tiền cơ sở là {[A,V ]: A Î PS (X ), với V là tập mở của R} và kí hiệu không gian tương ứng với tôpô này là C ps  X  ● Chú ý  Ta có  A,V    f  C  X  : f  A  V        f  C  X  : f  A  V   f  C  X  : f A  V   A,V  Bởi vì bao đóng của một tập con giả compăc là tập giả compăc... A là tập giả compăc nên cl X A   X Gọi f1 là ánh xạ thu hẹp của f  trên cl X A Bởi vì cl X A là compăc nên f1  cl X A    a, b  với a, b  R nào đó Ta lấy ánh xạ liên tục f 2 là mở rộng của f1 từ  X vào  a, b  Nếu g là ánh xạ thu hẹp của f 2 vào X thì g  f , A,   C   X  Vậy C   X  là tập trù mật trong C ps  X  2.2 So sánh tôpô giả compăc-mở với tôpô compăc-mở và tôpô hội... trang bị một cấu trúc tôpô Khi ấy ta có một không gian vừa tuyến tính vừa tôpô Một không gian tuyến X trên đó có một tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi là một không gian tuyến tính tôpô (hay không gian vectơ tôpô) 1.3.2 Định lí i) V là một lân cận của gốc khi và chỉ khi V  a là một lân cận của a ii) Nếu V là lân cận của gốc thì với mọi   0, V cũng là lân cận của gốc Như vậy, tôpô của không gian... con giả- compăc của X thì ta có F  X   K  X   KC  X   PS  X   Nếu A  PS  X  thì f  A   f  A  với f : X  là ánh xạ liên tục  Bao đóng của một tập giả compăc lại là một tập giả compăc  Nếu A là một tập con đóng trong một không gian Hausdorff chuẩn tắc X thì các phát biểu sau là tương đương i  A là tập compăc đếm được;  ii  A là tập giả- compăc   Chương 2: ĐỊNH NGHĨA VỀ TÔPÔ GIẢ... không gian tôpô Đặt X   I X I và   : X  X  là phép chiếu hay ánh xạ tọa độ thứ  Các không gian X  gọi là không gian tọa độ Ta gọi tôpô tích trên X là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu   liên tục Như vậy, tôpô tích có tiền cơ sở là họ tất cả các tập  1 U  , U    ,  I hay có cơ sở là họ tất cả các tập có dạng    ni1 i1 U i ,U i  i , 1 , , n  I Tôpô tích