BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Văn Vĩnh Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BẢNG KÍ HIỆU p : Trường số p-adic p : Bao đóng đại số p : Trường đầy đủ hóa p p p : Giá trị tuyệt đối p-adic ord p  z  : Chỉ số mũ z  : Bán kính hội tụ B  : Quả cầu mở tâm bán kính  B r  : Quả cầu đóng tâm bán kính    r, f  : Số hạng cực đại   r, f  : Chỉ số tâm  1 n  r,   f  : Số không điểm f (kể bội) với trị tuyệt đối  r  1 N  r,   f  : Hàm trị f  1 n  r,   f  : Số không điểm f (không kể bội) với trị tuyệt đối  r  1 N  r,   f   1 : Hàm trị f tương ứng với n  r ,   f  m  r, f  : Hàm bù f T  r, f  : Hàm đặc trưng f p z : Trường hàm hữu tỉ p O 1 : Đại lượng bị chặn O f  : Đại lượng bị chặn so với f o f  : Đại lượng vô bé f MỞ ÐẦU Gần đây, lý thuyết Nevanlinna trở thành lĩnh vực toán học động Chẳng hạn, Khoái [3], Khoái-Quang [6] chứng minh tương tự padic hai “định lí chính” mối quan hệ số khuyết lý thuyết Nevanlinna cổ điển Khoái [4] nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna nhiều biến, chứng minh mối liên hệ số khuyết siêu phẳng vị trí tổng quát Cherry-Yang [13] mô tả số tập xác định với số phần tử hữu hạn hàm nguyên p-adic Có hai “định lí chính” mối quan hệ số khuyết, chúng đóng vai trò trọng tâm lý thuyết Nevanlinna Những kết đóng góp quan trọng việc nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Nevanlinna Trong giải tích phức, ứng dụng bật lý thuyết Nevanlinna ứng dụng phương trình vi phân đại số Cụ thể, lý thuyết Nevanlinna sử dụng việc nghiên cứu tính chất nghiệm hàm nguyên hay hàm phân hình phương trình vi phân Chẳng hạn, lý thuyết Nevanlinna sử dụng để chứng minh định lí Malmquist’s ví dụ điển hình số kết định lí kiểu Malmquist là: “Nếu P  X  Q  X  phần tử nguyên tố vành đa thức biến với hệ số trường hàm hữu tỉ theo biến z với hệ số phức phương trình vi phân f   P f  có Q f  nghiệm phân hình siêu việt f, Q đa thức bậc không theo biến X P có bậc tối đa 2” Kết tảng để xây dựng định lí kiểu Malmquist tổng quát sau giải tích phức Về sau, kết giải tích phức thường xây dựng tương tự giải tích p-adic; vậy, ý tưởng nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân đại số, đặc biệt kết kiểu Malmquist tương tự p-adic điều tất yếu Trong luận văn này, trình bày phương trình vi phân đại số p-adic dạng:   z , w, w, , w n   R  z, w , Trọng tâm phần tập trung vào việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân đại số, cụ thể, ta số phương trình vi phân đại số nghiệm phân hình siêu việt chấp nhận Hơn nữa, kết mở rộng trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn định lí Malmquist-type (I), định lí Malmquist-type (II) nghiên cứu nghiệm chấp nhận số phương trình vi phân cụ thể Các kết nội dung trọng tâm chương Trong chương 3, trình bày tương tự p-adic định lí Baker giải tích phức, định lí nghiên cứu điểm bất động hàm nguyên siêu việt, là: “Nếu f hàm nguyên siêu việt p cấp n, trừ nhiều giá trị n” , f sở hữu vô hạn điểm bất động Chương 1: LÝ THUYẾT NEVANLINNA CỦA HÀM PHÂN HÌNH p-ADIC Trong chương này, trình bày kết quan trọng cần thiết lý thuyết Nevanlinna hàm phân hình p-adic, kiến thức bổ trợ cho phần trọng tâm luận văn chương 1.1 Lý thuyết Nevanlinna hàm phân hình p-adic: Cho p số nguyên tố, gọi adic bao đóng đại số p trường số p-adic, p p p Giá trị tuyệt đối p đầy đủ hóa pp chuẩn hóa cho p p  p 1 Ta dùng kí hiệu ord p  z    log p z p Nhắc lại rằng, không gian mêtric đầy đủ có nhờ chuẩn phi Archimedean, tổng vô hạn hội tụ số hạng tổng quát tiến dần không Khi biểu diễn dạng:  a f  z    an z n n n 0  p  xác định tốt an z n  p Định nghĩa “ bán kính hội tụ  ”   lim sup an n  p n Khi chuỗi hội tụ z p   phân kì z p   Cũng hàm f  z  gọi hàm giải tích p-adic B    ,  B   z  p  zp Nếu    , hàm f  z  gọi hàm nguyên p-adic P Cho f hàm giải tích p-adic khác B          Ta định nghĩa số hạng cực đại:   r , f   max an p r n 0  r    n0 số tâm:     r , f   max n an p r n    r , f  n0 Định nghĩa   0, f   lim  r , f  r 0 Bổ đề 1.1.1: Nếu f h hai hàm giải tích p-adic B    , đó:   r , fh     r , f    r , h  Bổ đề 1.1.2: Chỉ số tâm   r , f  tăng r   , thỏa mãn công thức: r   t , f     0, f  t log   r , f   log a  0, f    p dt    0, f  log r 0  r    Hệ 1.1.3:   r , f  hàm số liên tục  0,   Bổ đề 1.1.4: (Weierstrass Preparation Theorem): Tồn đa thức P bậc   r , f  hàm giải tích p-adic g B  r  cho f  gP ,  B r   z  p zp r  Hơn nữa, g không điểm B  r  , P có   r , f  không điểm, kể bội B  r   1 Gọi n  r ,  số không điểm ( tính bội ) hàm f với trị tuyệt đối  r  f  định nghĩa hàm trị f bởi:  1  1 n  t ,   n  0,  r f   1  f  dt  n  0,  log r N  r,       t  f   f  0  r    Bổ đề 1.1.3  1 n  r,     r, f   f  Khi bổ đề 1.1.2 cho ta công thức Jensen:  1 N  r ,   log   r , f   log a   n 0,   f   f  p  1 Ta kí hiệu số không điểm phân biệt f B  r  n  r ,  định  f  nghĩa  1  1 n  t ,   n  0,  r f   1  f dt  n  0,  log r N  r,       t  f   f  0  r    Với n ta vẽ đồ thị  n  t   ord p  an z n   ord  an   nt hàm t  ord p  z  Khi  n  t  đường thẳng với hệ số góc n Gọi   t , f  bờ giao tất nửa mặt phẳng nằm đường  n  t  Đường thẳng gọi đa giác Newton hàm f  z  Điểm t đỉnh   t , f  gọi đỉnh tới hạn f  z  Một đoạn hữu hạn  ,   chứa số hữu hạn điểm tới hạn Rõ ràng t điểm tới hạn, hàm f  z  có hai số hạng cực đại Hiển nhiên, ta có:   r , f   p   t , f  r  p  t Tính chất 1.1.5: Nếu t  ord p  z  không điểm tới hạn, f  z p  p  t , f     r, f  Định nghĩa 1.1.6: Hàm biểu diễn dạng thương f  g hai hàm giải tích h p-adic g h cho g h nhân tử chung vành hàm giải tích p-adic B    gọi hàm phân hình f B    Ta mở rộng  cho hàm phân hình f    r, f   g cách định nghĩa h   r, g    r, h Ta đặt  t, f    t, g    t, h  Rõ ràng, t  ord p  z  không điểm tới hạn f  z  , hay t không điểm tới hạn g  z  h  z  , f  z p  p  t , f     r, f  Định nghĩa p Khi  p w w   Nếu a : [0, )  p và b : p p    z p z p  [0, ) trù mật hàm giá trị thực, ar  br nghĩa với số dương hữu hạn  R   , có tập hữu hạn E p   0, R  cho a r   br , r zp p   0, R   E Bằng cách sử dụng kí hiệu trên, ta có   r, f   f  z  p hàm phân hình p-adic f B    Định nghĩa hàm đếm n  r , f  hàm trị N  r , f  f cực điểm  1 n  r, f   n  r,  ,  h  1 N  r, f   N  r,   h Áp dụng công thức Jensen cho g f , ta thu công thức Jensen cho hàm phân hình:  1 N  r ,   N  r , f   log   r , f   C f  f  C f số phụ thuộc vào f Định nghĩa m  r , f   log    r , f   max 0,log   r , f  Cuối cùng, ta định nghĩa hàm đặc trưng: T  r, f   m  r, f   N  r, f  Tính chất 1.1.7: Cho f i  M   k N  r,   i 1 Tính chất 1.1.9:   i  1, 2, , k  Khi với r  , ta có:  k f i    N  r , fi ,  i 1 Tính chất 1.1.8: Cho f i  M   k m  r,   i 1 p p  k N  r,   i 1  k fi    N  r , f i   i 1   i  1, 2, , k  Khi với r  , ta có  k  fi   max m  r , f i  , m  r ,   1i k  i 1 Cho f i  M   k T  r,   i 1 p  k f i    m  r , fi   i 1   i  1, 2, , k  Khi với r  , ta có  k  k fi    T  r , f i , T  r ,   i 1  i 1  k fi    T  r , f i   i 1 Tính chất 1.1.10: Cho w  M      N r , w m r , w p  Khi với  số nguyên dương tùy ý, ta có   N  r, w   N  r, w    1 N  r, w   w    m  r, w  m  r,   m  r , w   O 1  w   từ suy  w    1 N  r,    N  r , w   N  r ,   w   w  Sau số kết quan trọng lý thuyết Nevanlinna sử dụng phần sau Định lí 1.1.11: ( Định lí thứ ) Cho f hàm phân hình khác B    Khi với a  p ta có:     m  r,   N  r,   T  r , f   O 1  f a  f a  r    Định lí 1.1.12: ( Tính chất đạo hàm logarit ) Cho f hàm phân hình khác B    Với số nguyên dương n bất kì, ta có  f  n  m  r,   O 1  f    r    Định lí 1.1.13: ( Định lí thứ hai ) Cho f hàm phân hình khác B    gọi a1 , a2 , , aq số đôi khác q  j 1   q  1 T  r , f   N  r , f    N  r , f  aj p Khi    N1  r , f   log r  O 1  q    N  r, f    N  r,  log r  O 1  f  a  j 1 j   điều xảy k  m   m   k  k    1 l  l  Định lí chứng minh Hệ 2.4.3: Nếu k  w   a j  z  w j 15  n  k  n j 0 có nghiệm phân hình khác chấp nhận được, (15) viết dạng 16   w n  ak  z   w  b  z   , k b z  ak 1  z  kak  z  Chứng minh: Cho P  w Q  , dễ dàng kiểm tra deg  P   deg  Q  ,   P    Q  thỏa mãn điều kiện định lí 2.4.2 nên hệ chứng minh Hệ 2.4.4: Nếu n  k n  k không ước số n , (15) với hệ số a j nghiệm phân hình khác chấp nhận Chứng minh: Giả sử (15) có nghiệm phân hình khác chấp nhận được, theo hệ 2.4.3, ta có:  w Gọi z0  p n  ak  w  b  , k b z  ak 1 kak cho : w  z0   b  w b  z0     0w n  z0   k   Mặt khác: w  z   b   z  z0  w0  z  , w0  z0    suy w  z     z  z0   1 w0  z    z  z0  w0  z  , w0  z0    Do đó, 0w  z0   n   1 n suy n   1  k   n  k    n Điều mâu thuẩn với giả thiết Hệ chứng minh Giả thuyết 2.4.5: Phương trình (15) nghiệm phân hình siêu việt chấp nhận Trong trường hợp hệ số hằng, giả thuyết 2.4.5 chứng minh sau: Định lí 2.4.6: Nếu phương trình (15) với hệ số a j có nghiệm phân hình khác w , n  k ước n , w viết dạng sau w z   a  z  c n nk  b  b, c  p  n a thỏa mãn a nk  n     ak nk  Chứng minh: Theo hệ 2.4.3 2.4.4, phương trình (15) viết dạng  *  w  n  ak  w  b  , k b ak 1 kak n  k ước n Giả sử z0 cực điểm w  bội số suy w nhận z0 cực điểm có bội số   So sánh bội số cực điểm z0 hai vế đẳng thức (*) suy n   1  k điều mâu thuẩn n  k , chứng tỏ w cực điểm nên w p hàm nguyên, theo hệ 2.4.4 không điểm w  b có bội số l  n , nk tồn hàm nguyên f thỏa mãn w  b  f l Khi (*) trở thành:  lf l 1 f    ak  f l   l n  f    ak f n k n lk  n l 1  ak Điều dẫn tới, f có dạng sau f  z   A z  c với l n An  ak Đặt a  Al , ta có n w  f l  b   A  z  c    b  a  z  c  nk  b l Định lí chứng minh Bổ đề 2.4.7: Giả sử 17    z , w, w, , w   n   B  z, w P  z, w, w, , w    Q  z, w, w, , w    n n   P  Q  đa thức vi phân w , B  z , w  q xác định B  z , w    b j  z  w j ( b0 , b1 , , bq   M  j 0 p  với b  ) q Nếu   q  deg  B     Q  ,deg  Q     Q  1   w      q  deg  Q   T  r , w     Q   deg  Q   1 N  r , w  N  r , 1   N  r , B1   o T  r , w      Chứng minh: Giả sử BP  k ( số ), suy Q  BP phương trình (17) trở thành: k Q  1   1   BP  k Vì P Q đa thức vi phân nên suy T  r , ci   T  r , b j   o T  r , w   Theo định lí 2.3.2 ta có:   q  deg  B     Q  ,deg  Q     Q  1   w     trái với giả thiết, BP  BP không số,   không Q Q Q số, hay , Q độc lập tuyến tính Do  Q   Q*     Q  Q  Nhận thấy rằng,    BP  Q   BP  Q     BP  BP  Q    B  P  Q   Q       BP B P BP  B P Q  Q       B P BP  BP    B P  Đặt P*      P Suy  B P P*  Q  Q  B  B  Q     Q  Q  * BP*  B     Q  Q     Q  Q   B  B Q  Suy P*  * Q B q  deg  B   deg  Q   deg  Q*   k  k   nên theo bổ đề 2.3.1, ta có:  q  m  r , P    m  r , ci    m  r , di   O   m  r , b j   m  r ,  b  j 0 iI iJ  q  *      m  r , ci   m  r , di   m  r , b j   o T  r , w   (do P Q đa thức vi phân  Q      P   B  m  r ,   m  r ,   m  r ,   m  r ,   O 1 ), BP*  Q* nên    P  B  Q m  r , b j   o T  r , w   Suy m  r , P*   o T  r , w   Theo bổ đề 1.2.4 ta có ước lượng: m  r , Q*   deg  Q  m  r , w   o T  r , w   Theo định lí nhất, ta thu   T  r , *   T  r , P*   O 1  P  Hay     m  r , *   m  r , P*   N  r , P*   N  r , *   O 1  P   P     N  r , P*   N  r , *   o T  r , w    P  Khi  Q*  qm  r , w   m  r , B   o T  r , w    m  r , *   o T  r , w    P     m  r , *   m  r , Q*   o T  r , w    P  (*)    deg  Q  m  r , w   N  r , P*   N  r , *   o T  r , w    P  Tiếp theo ta ước lượng không điểm cực điểm P* Lấy z0  p cố định Nếu  w  z0   z0 không cực điểm hay không điểm hệ số B, P Q, suy  P  z0    B P       B P 1 Do đó,  P  z0    deg  Q   w  z0     Q   deg  Q    q w  z0  , * (do  w  z0     Q   deg  Q  ) Nếu  w  z0   z0 không cực điểm hay không điểm hệ số B, P Q, Q  z0   deg  Q   w  z0    deg  Q   w  z0     Q   deg  Q   1, * nữa,  P*  z0   0, đó:  P  z0   Q / B  z0   deg  Q   w  z0     Q   deg  Q    q w  z0  * * ngược lại  P*  z0   0, đó: 1/ P  z0    B/ Q  z0   q  w  z0   deg  Q   w  z0     Q   deg  Q   1 * * Kết hợp tất trường hợp ta thu được:    1  1 N  r , P*   N  r , *   N  r ,   N  r ,    q  deg  Q   N  r , w   P     B     Q   deg  Q   1 N  r , w   o T  r , w   ** Từ (*) (**) suy ra:  q  deg  Q   T  r , w     Q   deg  Q   1 N  r , w  1  1  N  r ,   N  r ,   o T  r , w      B Định lí chứng minh Định lí 2.4.8: Giả sử 18   z , w, w, , w   n     wq P z , w, w, , w n    Q z , w, w, , w n  N ,   P  Q  đa thức vi phân w với q  max deg  Q   2,   Q  Nếu k  N , (12) nghiệm phân hình khác chấp nhận Chứng minh: Giả sử, ngược lại (12) có nghiệm phân hình khác chấp nhận w Khi  k  N  r ,    N  r ,  a j w j   kN  r , w   o T  r , w   ,  j 0  N  r ,    N N  r , wq P  Q   N qN  r , w   o T  r , w   , Khi đó, k  N q>0 nên N  r , w   o T  r , w   Ta đặt P0  wq P , q  max deg  Q   2,   Q  nên deg  P0   deg  Q  , Theo định lí 2.4.2 suy   P0     Q    z , w, w, , w  Đặt 1  wq P z , w, w, , w n n   a  z   w  b  z  , k k b z    Q  z, w, w, , w   suy  n ak 1  z  kak  z  N  ak  z   w  b  z   k Khi đó, bổ đề 2.4.7 cho ta       N  r , q   o T  r , w    w    q  deg  Q   T  r , w     Q   deg  Q   1 N  r , w  N  r , 1     1  N  r,   N  r ,   o T  r , w    2T  r , w   o T  r , w   ,  wb  w điều xảy q  deg  Q   Định lí chứng minh Định lí 2.4.9: Giả sử  định nghĩa (18) với q    Q   Khi (14) nghiệm phân hình khác chấp nhận với số nguyên dương k N Chứng minh: Giả sử (14) có nghiệm phân hình khác chấp nhận w  Đặt 1  wq P z , w, w, , w n   Q  z, w, w, , w   suy  n N  ak  z   w  b  z   k Khi đó, bổ đề 2.4.7 cho ta       N  r , q   o T  r , w    w    q  deg  Q   T  r , w     Q   deg  Q   1 N  r , w  N  r , 1     1     Q   deg  Q   1 N  r , w   N  r ,   N  r ,   o T  r , w    wb  w     Q   deg  Q   3 T  r , w   o T  r , w   điều xảy q    Q   Định lí chứng minh Chương 3: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA HÀM NGUYÊN P-ADIC Trong chương này, trình bày tương tự p-adic định lí Baker giải tích phức Định nghĩa 3.1: Cho f hàm nguyên siêu việt p-adic, định nghĩa: f n  z   f   f  z  f hợp thành n lần Điểm z0 gọi điểm bất động hàm f f  z0   z0 Tổng quát hơn, ta gọi điểm z0 điểm bất động cấp n f n  z0   z0 điểm bất động cấp n n số nguyên dương nhỏ thỏa mãn f n  z0   z0 Định nghĩa 3.2: Cho a f hai hàm phân hình D    Hàm a  z  gọi tiến chậm hàm f T  r, a   hay T  r , a   o T  r , f   x  T  r , f  lim Định lí 3.3: Nếu f hàm nguyên siêu việt p-adic với số nguyên dương k n cho k  n , ta có: lim r  T  r, f n  T  r, f k      hay T  r , f k   o T  r , f n  Chứng minh: Theo định lí 1.2.8 ta có: lim r  T  r, f n  T  r, f k   lim x  T  r , f nk  f k  T  r, f k   , hay   T  r, f k   o T  r, f n  Định lí 3.4: Cho f hàm phân hình khác phân hình phân biệt p p a1 , a2 , a3 hàm Khi    log r  S  r  , T  r, f    N  r,  f  a j  j 1   S  r   4T  r , a1   4T  r , a2   5T  r , a3   O 1 Chứng minh: Đặt  f  a1 a2  a3 f  a3 a2  a1 Áp dụng định lí 1.1.13 cho  số a1  0, a2  , ta có:   1  T  r,    N  r,    N  r,   N  r,   log r  O 1     1  Chú ý T  r , f   T  r , f  a3   T  r , a3     T  r,   T  r , a3   O 1  f  a3   a a     T  r,   T  r,   T  r , a3   O 1  f  a3   a3  a1   a a   T  r ,1    T  r , a1   2T  r , a3   O 1 f  a3    f  a1   T  r,   T  r , a1   2T  r , a3   O 1 f  a    a a   T  r ,    T  r ,   T  r , a1   2T  r , a3   O 1  a2  a3   T  r ,    2T  r , a1   2T  r , a2   3T  r , a3   O 1 Nhận thấy rằng, phương trình   z   0,1,  có nghiệm f  z  aj  z   j  1, 2,3 hai số hàm a j Do đó:   1  N  r,    N  r,   N  r,      1            N  r,  N  r,  N  r,  N  r,      f a  a a a a a a    j 1 j 2 3         3     N  r,  2T  r , a1   2T  r , a2   2T  r , a3   O 1  f  a  j 1 j   Từ suy   T  r, f    N  r,   log r  S  r    f a j 1 j   Hệ 3.5: Cho f hàm phân hình siêu việt phân hình phân biệt p p a1 , a2 , a3 hàm Nếu a j  j  1, 2,3 tiến chậm hàm f , ta có   T  r, f    N  r,  o T  r , f    f  a j  j 1   Chứng minh: Theo định lí 3.4 ta có   T  r, f    N  r,  log r  S  r   f  a j  j 1   Mặt khác, a j  j  1, 2,3 tiến chậm hàm f nên S  r   o T  r , f   , nữa, f hàm phân hình siêu việt Hệ chứng minh p nên log r  o T  r , f   Định lí 3.6: ( Tương tự p-adic định lí Baker ) Nếu f hàm nguyên siêu việt p , f sở hữu vô hạn điểm bất động cấp n , trừ nhiều giá trị n Chứng minh: Giả sử f có số hữu hạn điểm bất động cấp k , gọi chúng a1 , a2 , , aq , giả sử n  k Nếu phương trình f n  z   f n k  z   có nghiệm z0 , z0 thỏa mãn: f k  f n  k  z0    f n  z0   f n  k  z0  , w  f n k  z0  điểm bất động f k Do đó, w  a j với j đó, w điểm bất động cấp l nhỏ k , z0 nghiệm phương trình f nk l  z   f n k  z   Khi  N  r, n nk  f f  k 1     N  r , n k l  f nk  l 1  f  q     N  r , n k  aj  j 1  f    Theo định lí 3.3 suy  N  r, n nk  f f  n   o T  r, f     Áp dụng định lí 3.4 cho f n hàm a1  z   z , a2  z   f n k  z  , a3  z   , ta thu     1 n n T  r , f n   N  r , n   N  r , n   N  r , f  z    o T  r , f  nk  f  z  z   f z  f z      n  N  r , n   o T  r , f   f z  z    (do f hàm nguyên nên cực điểm ) Nhận thấy rằng,    n1  N r O T  r, f l    o T  r, f n  , ,       l l 1  l 1   f  z  z   n 1  nên từ bất đẳng thức suy hàm f sở hữu vô hạn điểm bất động cấp n , có nhiều giá trị k mà hàm f có số hữu hạn điểm bất động cấp k Định lí 3.7: Nếu f hàm nguyên siêu việt p , f sở hữu số vô hạn điểm bất động cấp n với n  Chứng minh: Theo tính chất 1.1.14 ta có:   n N  r , n   T  r , f  z   z   O 1  f  z  z   T  r , f n   O  log r     T  r, f n   o T  r, f n  Ta chứng minh định lí quy nạp Với n  , f sở hữu số vô hạn điểm bất động cấp Giả sử với n  Vì hàm trị điểm bất động cấp l  n nhiều   n1 l n N r ,     T  r , f   O  log r   o T  r , f   l l 1  f  z   z  l 1 n 1 nên f sở hữu số vô hạn điểm bất động cấp n   KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình bày kết tương tự p-adic định lí Malmquist-type (I), (II), nghiên cứu tính chất nghiệm số phương trình vi phân tương tự p-adic định lí Baker điểm bất động hàm nguyên siêu việt Qua luận văn này, học tập khả tự học làm quen dần với khả tự nghiên cứu Trong trình làm luận văn, số vấn đề thân đặt chưa đủ khả giải được, chẳng hạn giả thuyết 2.4.4 Hy vọng rằng, bậc học cao sau này, có đủ điều kiện khả để tiếp tục nghiên cứu vấn đề bỏ ngỏ tiếp tục nghiên cứu sâu ứng dụng rộng lớn lý thuyết Nevanlinna Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Trường ĐHSP tp.HCM, phòng KHCN&SĐH, Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy suốt khóa học Đặc biệt, xin biết ơn sâu sắc PGS TS Mỵ Vinh Quang, người trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tận tình giúp đỡ suốt khóa học TÀI LIỆU THAM KHẢO A Boutabaa, A Escassult and L Haddad, On uniqueness of p-adic entire functions, Indag Math (1997), 145-155 H H Khoái and M V Tu, P-adic Nevanlinna-Cartan theorem, Internat J Math (1995), 719-731 Hà, Huy Khoái, On p-adic meromorphic functions, Duke Math J.50(1983) 695-711 Hà, Huy Khoái, Heights for p-adic holomorphic functions of several variables, Max-Plank Institut Fur Mathematik 89-83 (1989) Hà, Huy Khoái & Mai, Van Tu, p-adic Nevanlinna-Cartan theorem International J of Math 6(1995), 719-731 Hà, Huy Khoái & Mỵ, Vinh Quang, On p-adic Nevanlinna theory, Lecture Notes in Math 1351(1988), 146-158, Springer-Verlag Hu, P.C., Value distribution and admissible solutions of algebraic differential equations, J of Shandong University (2)28(1993), 127-133 Hu, P.C & Yang, C.C Value distribution theory of p-adic, meromorphic functions, Izvestiya Natsionalnoi Academii Nauk Armenii (National Academy of Siences of Armenia) 32(3)(1997), 46-67 Hu, P.C & Yang, C.C., Malmquist type theorem and factorization of meromorphic solutions of partial differential equations, Complex Variables 27(1995), 269-285 10 Hu, P.C & Yang, L.Z., Admissible solutions of algebraic differential equations, J.C Shandong University (1)26(1991), 19-25 11 Koblitz, N p-adic analysis: a short course on recent work, Cambridge University, 1980 12 Pei-Chu Hu, Chung Chun Yang, Meromorphic functions over Non-Archimedean Fields, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London 13 W.Cherry and C.C.Yang, Uniqueness of non-Archimedean entire functions sharing sets of values counting multiplicity, Proc Amer Math Soc., to appear [...]... một hàm phân hình p-adic trên    z  được gọi là hàm siêu vi t Hiển p p là siêu vi t nếu và chỉ nếu T  r, f    r  log r lim Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ p-ADIC Trong chương này, tôi sẽ trình bày tương tự phi archimedean định lí Malmquisttype trong phương trình vi phân 2.1 Phương trình vi phân đại số p-adic: Định nghĩa 2.1.1: Phương trình vi phân đại số p-adic là phương trình có... w có bậc       n  Trong đó,      max    1 i   2n iI  0  Định lí được chứng minh 2.2 Định lí Malmquist-type (I): Trong phần này, ta tiếp tục nghiên cứu phương trình vi phân (1) cho trường hợp tổng quát hơn của R  z , w  Định lí 2.2.1: Cho R  M  p  Nếu phương trình vi phân sau đây:   z , w, w, , w có một nghiệm khác hằng w  M  p   R  w n  thỏa mãn  T ... n    Q z, w, w, , w n  , l trong đó P là đơn thức vi phân của w và Q là đa thức vi phân của w với deg  P   deg  Q  ,   P    Q  Nếu k  l , và nếu (12) có một nghiệm phân hình khác hằng chấp nhận được, khi đó (12) có dạng sau đây  14   z , w, w, , w n   a  z   w  b  z  , k k b z  ak 1  z  kak  z  Chứng minh: Trường hợp k  1 là hiển nhiên Giả sử ngược lại... lí được chứng minh w 2.4 Nghiệm chấp nhận được của một số phương trình vi phân Trong phần này, ta sẽ bàn đến phương trình vi phân sau đây  12   z , w, w, , w n  k  aj zwj j 0 đối với một số dạng đặc biệt của  Với w  M   , ta gọi   z, w, w, , w   là n p đa thức vi phân của w nếu T  r , ci   o T  r , w   Bổ đề 2.4.1: Nếu w0 , w1  M  p i  I   là độc lập tuyến tính,... tỉ và khi đó T  r , a j   T  r , b j   O 1 Suy ra k q j 0 j 0  T  r , ci    T  r , di    T  r , a j    T  r , b j   o T  r , w  iI iJ Theo định lí 2.3.2 suy ra  deg  A   min     ,deg         1        deg  B   min     ,deg         1   w     Định lí được chứng minh w 2.4 Nghiệm chấp nhận được của một số phương trình vi phân. ..    1   w          Hệ quả 2.1.8: Cho R  z , w  là một hàm hữu tỉ của z và w Nếu có tồn tại một hàm phân hình siêu vi t w  w  z  trên p thỏa mãn n  dw     R  z, w  dz  khi đó R  z , w  là một đa thức theo w có bậc  2n  n Chứng minh: Đặt  z , w, w, , w    dw     dz   n n  z , w, w, , w  , R  z , w  và w  z  thỏa mãn các tính chất trong hệ quả 2.1.7... Malmquist-type (II): Trong phần này, ta sẽ xem xét phương trình vi phân sau đây: 10   n   R  z, w   z, w, w, , w   ,  n   d w  z , w, w, , w n trong đó 11  z , w, w, , w jJ i i0  w  i1   w n in  CardJ  , d  M    i p Ta có kết quả quan trọng sau đây: Bổ đề 2.3.1: Cho R  z , w  được xác định như (6) và w là một nghiệm của (10) Nếu q  k , khi đó k  q    T ... T  r ,    o T  r , w   Theo chứng minh của định lí 2.1.6, ta có:   T  r ,    min     ,deg         1   w     T  r , w   o T  r , w   Suy ra   q  min     ,deg         1   w     Phương trình (10) cũng có thể được vi t theo cách khác   z , w, w, , w n   BA  zz,, ww   z, w, w, , w   n Chứng minh tương tự như trên ta cũng thu... w n   BA  zz,, ww   z, w, w, , w   n Chứng minh tương tự như trên ta cũng thu được:   k  min     ,deg         1   w     Định lí được chứng minh Định lí 2.3.3: Cho R  M  p  Nếu phương trình vi phân sau đây   z , w, w, , w n có một nghiệm khác hằng w  M    R  w   z, w, w, , w   p n  thỏa mãn:  T  r , c    T  r , d   o T  r , w   iI...  1  N  r,   T  r , f   O 1  f a 1.2 Cấp tăng của hàm phân hình p-adic: Gọi M  p  là không gian các hàm phân hình p-adic trên p Định nghĩa k A  r , w   a j  z  w j , j 0 trong đó a j  M  p  với a k Định nghĩa 1.2.1: Cho a   0 p   , gọi  af  z0  là bội số của f giá trị a tại z0 , tức là  af  z0   m nếu và chỉ nếu  a   z  z0  m h  z  : a    f z  