BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trịnh Văn Bé Ba PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN ĐÌNH THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CÁM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy hướng dẫn, TS TRẦN ĐÌNH THANH, tận tình hướng dẫn trình làm luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy NGUYỄN BÍCH HUY tận tình giúp đỡ, động viên dìu dắt suốt trình học tập, nghiên cứu thực luận án Tôi xin chân thành cám ơn quý thầy cô tận tâm giảng dạy cho nhiều kiến thức quý báu suốt trình học cao học Tôi xin chân thành cám ơn quý thầy cô, anh chị làm công tác quản lý phòng sau đại học tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập, nghiên cứu thực luận án Tác giả luận án MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết phương trình toán tử không gian có thứ tự đời từ năm 1950 hoàn thiện Chúng tìm ứng dụng hữu ích việc giải toán xuất phát từ vật lý, sinh học, kinh tế,…Trong lý thuyết này, lớp phương trình chứa tham số chiếm vị trí quan trọng phần lớn toán xuất phát từ thực tế phụ thuộc vào nhiều tham số đưa đến việc cần thiết phải nghiên cứu tính liên tục tập nghiệm, phụ thuộc nghiệm theo tham số… Đó lý chọn đề tài “ phương trình chứa tham số không gian có thứ tự” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày cách hệ thống số kết phương trình chứa tham số không gian Banach có thứ tự Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phương trình chứa tham số không gian Banach có thứ tự Phạm vi nghiên cứu: luận văn trình bày số kết phương trình chứa tham số không gian Banach có thứ tự; Nội dung kết tính liên tục tập nghiệm, phụ thuộc nghiệm theo tham số Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Lý thuyết phương trình không gian Banach có thứ tự ứng dụng việc nghiên cứu lớp phương trình khác phương trình vi phân , phương trình tích phân… Lớp phương trình chứa tham số không gian Banach có thứ tự ứng dụng vào việc giải toán xuất phát từ vật lý, sinh học, kinh tế… Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận ba chương Phần mở đầu nêu lý chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu, ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu đồng thời nêu bố cục luận văn Chương 1: trình bày kiến thức chuẩn bị không gian Banach với thứ tự sinh nón; bậc tô pô toán tử dương, hoàn toàn liên tục, định lí tồn điểm bất động ánh xạ tăng Chương 2: phương trình chứa tham số Chương trình bày số kết phương trình tuyến tính chứa tham số; nhánh liên tục nghiệm dương; phân nhánh tập hợp nghiệm dương; phương trình với toán tử u0  lõm Chương 3: số ứng dụng Chương vận dụng kết chương để khảo sát nghiệm tuần hoàn lớp phương trình vi phân ô tô nôm cấp hai nghiệm yếu dương phương trình logistic Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh nón Các kiến thức mục xem [3] 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian Banach thực X  Tập K  X gọi nón nếu: i) K tập đóng, K    ii) K  K  K ,  K  K   iii) K  ( K )     Nếu K  X nón thứ tự X sinh nón K định nghĩa sau: x  y  y  xK x  K \   gọi dương  Đặt K : K \   :  x  X : x    1.1.2 Mệnh đề 1.1.2 Giả sử “  ” thứ tự sinh nón Khi đó: 1) x  y  x  z  y  z ,  x   y z  X ,   2) ( xn  yn (n  N * )),lim xn  x,lim yn  y )  x  y 3) Nếu  xn  dãy tăng, hội tụ x xn  x n  N * 1.1.3 Định nghĩa 1.1.3 Cho X không gian Banach với thứ tự sinh nón K Khi ta nói:  K nón chuẩn N  :   x  y  x  N y  K nón qui dãy tăng, bị chặn hội tụ  K nón hoàn toàn qui dãy tăng, bị chặn theo chuẩn hội tụ  K nón sinh X  K  K hay x  X u , v  K : x  u  v  Kí hiệu K * nón liên hợp K định bởi: K *   f  X * : f ( x)  x  K  1.1.4 Mệnh đề 1.1.4 Giả sử "  " thứ tự sinh nón chuẩn Khi đó: Nếu u  v đoạn  u , v :  x  X : u  x  v bị chặn theo chuẩn Nếu xn  yn  zn (n  N * ) lim xn  a,lim zn  a lim yn  a Nếu dãy  xn  đơn điệu, có dãy hội tụ a lim xn  a 1.1.5 Mệnh đề 1.1.5 Nón qui nón chuẩn 1.1.6 Mệnh đề 1.1.6 Nếu K nón sinh tồn số M  cho x  X , u , v  K : x  u  v, u  M x , v  M x 1.1.7 Mệnh đề 1.1.7 Cho X không gian Banach với thứ tự sinh nón K , K * nón liên hợp K Khi đó: x0  K  f ( x0 )  f  K * 1.2 Bậc tô pô toán tử dương, hoàn toàn liên tục Các kiến thức mục xem [3] 1.2.1 Định nghĩa 1.2.1 Cho X không gian Banach với thứ tự sinh nón K Giả sử G  X tập mở, bị chặn, A : K  G  K ánh xạ compact cho Ax  x, x  K  G A : X  X ánh xạ compact cho Gọi    A( x)  A( x), x  K  G (*)  A( x)  K   Khi x   A( x)   , x G nên bậc tô pô deg(  A, G, ) xác định Ta định nghĩa iK ( A, G ) : deg(  A, G, ) gọi iK ( A, G ) bậc tô pô theo nón K ánh xạ A tập mở G Kiểm tra định nghĩa có lí Thật vậy, giả sử  A mở rộng khác A A( x)  (1  t )  A( x) , ta có: thỏa (*) Xét ánh xạ F ( x, t )  t  F ( x, t )  x, ( x, t )  G   0,1 F ( x,0)   A( x), F ( x,1)   A( x) deg(  A, G, )  deg(  A, G, ) Suy 1.2.2 Mệnh đề 1.2.2 Giả sử A0 , A1 compact đồng luân dương K  G theo nghĩa tồn ánh xạ compact F : ( K  G )   0,1  K cho F ( x, t )  x, F ( x,0)  A0 ( x), F ( x,1)  A1 ( x) iK ( A0 , G )  iK ( A1 , G ) Giả sử G , G1 , G2 tập mở, bị chặn, G1  G2  , Gi  G (i  1,2) A : K  G  K ánh xạ compact thỏa mãn   A( x)  x, x  K  G \ (G1  G2 ) Khi iK ( A, G )  iK ( A, G1 )  iK ( A, G2 ) Nếu A : K  G  K com pắc iK ( A, G )  A có điểm bất động K G 1.2.3 Định lí 1.2.3 Giả sử G tập mở, bị chặn, chứa  Cho A : K  G  K ánh xạ compact Khi iK ( A, G )  ( H1 ) A( x)   x, x  K  G,   iK ( A, G )  ( H ) tồn phần tử x0  K \   cho : x  A( x)   x0 , x  K  G,   1.2.4 Hệ 1.2.4 Giả sử G tập mở, bị chặn, chứa  B : X  X ánh xạ tuyến tính compact, dương véc tơ riêng K với giá trị riêng Khi đó: iK ( B, G )  B vec tơ riêng K với giá trị riêng   iK ( B, G )  B có véc tơ riêng K với giá trị riêng   1.2.5 Định lí 1.2.5 Giả sử A : K r  K compact, A( )   , có đạo hàm theo nón K  A' A' K vec tơ riêng với giá trị riêng Khi iK ( A, B( ,  ))  iK ( A' , B ( ,  )) với   đủ nhỏ Giả sử A : K \ K r  K compact , có đạo hàm theo nón K  A' A' K vec tơ riêng với giá trị riêng Khi iK ( A, B( ,  ))  iK ( A' , B ( ,  )) với   đủ lớn 1.3 Ước lượng bán kính phổ toán tử tích phân tuyến tính Giả sử G :[0,1]  [0,1]   hàm Green cho toán biên :  x ''  y (0,1) x(0)  x(1)  , tức là: t (1  s ),0  t  s  1, G (t , s )    s (1  t ),0  s  t  Giả sử a :[0,1]  [0, ) hàm liên tục không đồng đoạn [ ,  ]  [0,1] a :[0,1]  [0, ) hàm cho a (t )  a (t ) ( ,1   ) , a (t )  [0,  ]  [1   ,1] Xét toán tử tích phân tuyến tính Bx(t )   G (t , s )a ( s )x( s )ds , B x(t )   G (t , s )a ( s )x( s )ds Ta có B, B hoàn toàn liên tục từ C[0,1] vào C[0,1] Ta ký hiệu r ( B), r ( B ) bán kính phổ B B Định lí 1.3 [2] Ký hiệu K nón hàm không âm C[0,1] Ta có : i) lim r ( B )  r ( B )  0 ii) r(B) giá trị riêng B với hàm riêng thuộc K iii) Nếu  x  B x với x  K \ { }   r ( B ) Nếu B x   x với x  K \ { } r ( B )   Các khẳng định tương tự cho toán tử B, với bất đẳng thức nghiêm ngặt kết luận x không véc tơ riêng B 1.4 Định lí điểm bất động ánh xạ tăng Mục xem [8] 1.4.1 Định lí 1.4.1 Giả sử X không gian Banach nón K, M  X tập đóng F : M  X ánh xạ tăng, thỏa mãn: i) F ( M )  M , x0  M : x0  F ( x0 ) ii) F biến dãy tăng thuộc M thành dãy hội tụ Khi F có điểm bất động M 1.4.2 Hệ 1.4.2 Giả sử F : u , v  X ánh xạ tăng, thỏa mãn: i) u  F (u ); F (v)  v ii) F ( u , v ) tập compact tương đối, K nón chuẩn Khi F có điểm bất động  u , v  1.4.3 Hệ 1.4.3 Giả sử F : u , v  X ánh xạ tăng, thỏa mãn: i) u  F (u ); F (v)  v ii) K nón qui Khi F có điểm bất động  u , v   m  xn  M với n  N , với đoạn [c, d ]  (0,1) Theo định lí giá trị trung bình mệnh đề (3.1.5) ta có: xn (t )  xn ( s) x (u ) M  xn' (u )  n  , ts u (1  u ) c(1  d ) với t , s, u  [c, d ] Như dãy  xn  đồng liên tục [c,d] Sử dụng dịnh lí Ascoli kỹ thuật   dãy đường chéo, ta kết luận tồn tạy dãy xnk hàm x liên tục   hội tụ điểm (0,1) hàm x (0,1) cho xnk M  x(t )  mt (1  t ) xnk (t )  F (nk , xnk )   nk Từ   ' G t s f x s x s ( , ) ( ) , ( )  nk  ds nk 0  nk     Ta suy   ' xnk (t )   G (t , s ) f  xnk ( s ) , xnk ( s )  ds   G (t , s ) g1 ( xnk ( s ))ds nk    nk 1   Qua giới hạn k   bất đẳng thức trên, định lí hội tụ chặn ta di đến mâu thuẫn là:   G (t , s ) g1  x( s )  ds t  [0,1] Vậy tất điều kiện mệnh đề (2.2.4) thõa mãn Định lí chứng minh 3.1.6 Định lí 3.1.6 Giả sử giả thiết (H1), (H2) thỏa mãn ta có (H3) lim x 0 g1 ( x) g ( x)  a0  a  lim x  x x Khi phương trình (3.8) có nghiệm P \   với giá trị  thỏa mãn     ,   a a      Chứng minh Ta sẻ chứng minh tất điều kiện định lí (2.2.6) nghiệm cho toán (3.8) Điều kiện 1) chứng minh định lí 3.1.6 Điều kiện 2) suy từ giả thiết ( H ) Tiếp theo ta kiểm tra điều kiện 3) định lí 2.2.6 Giả sử : x  F ( , x ) , x  [r , R] Ta có: q   x c x(t )    G (t , s)  g  x( s )   q q ds q   s (1 s )      Rq r     2c1   2q c q ds , q  s s (1 )   0 Suy Với c1  sup  g ( x) x  [0, R ] Từ ta thấy tập A   ( x) : x  S , x  [r , R] bị chặn dưới số dương Nếu A không bị chặn ta tìm dãy  xn   S , n   cho: xn  F (n , xn ), xn  [r , R], n  1,2,   hội Lặp lại lý luận dùng để chứng minh định lí 3.1.6 ta tìm dãy xnk tụ điểm (0,1) hàm x liên tục (0,1) thỏa x(t )  rt (1  t ) Khi qua giới hạn bất đẳng thức sau suy từ (H1) mệnh đề (3.1.5) xnk (t ) n2 k   G (t , s ) g1 ( xnk ( s ))ds Ta gặp điều vô lý   G (t , s ) g1  x( s )  ds t  [0,1] Vậy điều kiện 3) định lí 2.2.6 nghiệm Cuối để kiểm tra điều kiện 4) định lí 2.2.6 thỏa mãn ta sẻ rằng: lim sup  ( x)   a0 x 0 lim inf  ( x)   x  a Ta chứng minh (3.9) Xét số dương m  a0 Do lim x 0 g1 ( x)  a0  m nên tồn số r  thỏa mãn x g1 ( x)  m x, x  [0, r ] Với x  S , x  r ta có từ giả thiết (H1) x(t )   ( x)  G (t , s ) g1  x( s )  ds   ( x)m  G (t , s ) x( s )ds 2 Ta đặt Bx(t )   G (t , s ) x( s )ds (3.9) (3.10) B toán tử tuyến tính, B có giá trị riêng lớn 1  2 , giá trị riêng trùng với bán kính phổ r(B) toán tử B 1     x '(t )  dt  0  1,2    inf  : x W0 (0,1), x   1  x (t )dt     (3.11) Từ bất đẳng thức cuối áp dụng định lí 1.3.1 cho toán tử B ta  ( x)m   Từ ta có: lim sup  ( x)  x 0  m Cho m  a0 ta có (3.9) Để chứng minh (3.10) ta xét số   đủ nhỏ số m1  a Do g ( x)  a  m12 x  x lim nên tồn số r '  cho: g ( x)  m12 x, x  r ' Đặt M  sup  g ( x) :  x  r ' ta có: Xét x  S , x  g ( x)  M  m12 x, x  [0, ) r' 2  r ' Nhân hai vế (3.1) với x(t) lấy tích phân phần ta có   x '(t )  dt      f  x(t ),  x '(t )  x(t )dt q  c  x(t )   x(t )dt (do (H1) mệnh     g  x(t )   q q q   t (1 t )   0  đề (3.1.5)) Ta có x(t )  x t (1  t )  r    r t  [ ,1   ] nên 1 1  g  x(t )  x(t )dt   m x (t )dt   m x (t )dt 2 2 Đặt E  [0,  ]  [1   ,1] ta có  g  x(t )  x(t )dt  2 x  M  m x  2 E Do ta có  21  2 q x '( t ) dt  m x ( t ) dt  x M m x x         1   c1 0   2 q 1 (3.12) Đặt 1 h( x)   x (t )dt , k   t (1  t )dt 0 Chú ý h( x)  k x , từ (3.11) (3.12) ta có 1    x '(t )  dt  h( x )  2  M    2q x    m1   m1     c1 k  x   k  q 1 (3.13) Nếu lim inf  ( x)   hiển nhiên (3.10) Trường hợp ngược lại x  từ (3.13) ta có     lim inf  ( x).m12 1  x  2   k  (3.14) Cho   m1  a , từ (3.14) ta (3.10) Định lí chứng minh 3.1.7 Định lí 3.1.7 Giả sử giả thiết (H1), (H2) thỏa mãn với c  điều kiện (H1) ta có: (H4) lim x 0 g ( x) g ( x)  a0  a  lim x  x x Khi toán (3.8) có nghiệm P \   với  thỏa mãn     ,   a a      Chứng minh Lý luận tương tự chứng minh định lí 3.1.7 ta thấy giả thiết 1), 2), 3) dịnh lí 2.2.6 nghiệm Ta chứng minh giả thiết 4) định lí 2.2.6 thõa mãn, muốn ta chứng minh rằng: lim inf  ( x)  x 0 lim sup  ( x)  x   a0  a Để chứng minh (3.15) ta xét số m  a0 Ta có lim x 0 g ( x)  m2 x Nên có số r  cho g ( x )  m x, Với x  S , x  [0,r] x  r ta có x(t )   ( x)  G (t , s ) g  x( s)  ds (3.15) (3.16)   ( x)m  G (t , s) x( s)ds   ( x)m B( x) 2  Trong ta đặt Bx(t )  G (t , s ) x( s )ds B toán tử tuyến tính, B có giá trị riêng lớn 1  2 , giá trị riêng trùng với bán kính phổ r(B) toán tử B Do theo định lí (1.3.1) ta có: 1 Từ ta có r ( B )    ( x)m 2 lim inf  ( x)  x 0  m Cho m  a0 ta có (3.15) Bây chứng minh (3.16) Xét số   đủ nhỏ số k  a Ta chọn r đủ lớn cho g1 ( x)  k x Với x  S , x  r 2 x  r ta có x(t )  x t (1  t )  r 2    r t  [ ,1   ] Do g1  x(t )   k x(t ) t  [ ,1   ] g1  x(t )   k a (t ) x(t ) t  [0,1] , a (t )  t  [ ,1   ] , a (t )  t  [0,  ]  [1   ,1] Từ ta có x(t )   ( x)  G (t , s ) g1  x( s )  ds   ( x)k 2  G(t , s)a ( s) x(s)ds  ( x)k B ( x) B ( x)   G (t , s )a ( s ) x( s)ds Trong theo định lí 1.3.1 ta có  r ( B )  ( x)k 2 Do lim sup  ( x)  x  k r ( B ) Cho   0, k  a ý lim r ( B )  r ( B)  x  2 , ta có (3.16) chứng minh 3.2 Nghiệm yếu dương phương trình logistic Trong mục muốn nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm yếu dương toán biên chứa tham số sau: u   m( x)u  u     u  (3.17) Trong   R N tập mở, bị chặn, có biên trơn;      1,  số dương hàm m(x) thuộc Lq () với q thỏa điều kiện (2* )'  2* q.2* q hay  2*    q  2* Với 2*  2N N 2 (3.18) Phương trình (3.17 ) gọi phương trình logistic, mô tả số tượng y học sinh học Ta sử dụng kí hiệu thông thường cho không gian Sobolev: H  W01,2 , H 1  ( H )* , chuẩn H Lp kí hiệu tương ứng là: H, P 3.2.1 Định nghĩa 3.2.1 Xét phương trình u  f ( x, u ) ; u   (3.19 ) Trong   R N tập mở, bị chặn, có biên trơn; f :   R  R hàm thỏa điều kiện Caratheodory Ta nói hàm u  H gọi nghiệm yếu phương trình (3.19 ) nếu: f ( x, u )  L1 () , uf ( x, u )  L1 ()  udx   f ( x, u )dx,    H  L  Ta có định lí sau tồn nghiệm yếu 3.2.2 Định lí 3.2.2 Giả sử hàm Caratheodory g :   R  R thỏa mãn điều kiện sau: i) g ( x,0)  x   , g(x,u) tăng theo biến u, ii) Với số t  tồn hàm t  L1 () cho sup g ( x, u )  t ( x) u t Khi với h  H 1 () toán u  g ( x, u )  h  u   Có nghiệm yếu u thỏa mãn điều kiện ug ( x, u )  L1 () 3.2.3 Định lí 3.2.3 Giả sử kiện toán (3.17 ) thỏa mãn điều kiện sau: i) 0    , ii) m( x)  Lq với q thỏa điều kiện (3.18 ) tồn số m0  , tập mở 0 cho 0   , m( x)  m0 x  0 Khi tập nghiệm yếu dương (3.17 ) liên tục, không bị chặn, xuất phát từ  Chứng minh Ta sẻ áp dụng định lí 3.2.2 để đưa toán tìm nghiệm yếu (3.17) toán tìm nghiệm phương trình dạng (2.1) không gian H với thứ tự sinh nón K hàm không âm áp dụng định lí (2.2.5) để có kết cần chứng minh Bước Đưa phương trình dạng (2.1) Chọn p số thỏa mãn điều kiện (2* )'  qp q  p (3.20) Thì (3.18) ta có p 2* Do ánh xạ I nhúng H vào Lp com pắc Vì * * * H  L2 nên H 1  L(2 ) ' Do vậy, với h  L(2 ) ' theo định lí (3.2.2), toán v  v   h , v   (3.21) có nghiệm yếu, kí hiệu Ph Ta sẻ chứng minh rằng, ánh xạ P liên tục từ * * L(2 ) ' vào H Thật vậy, với h, h '  L(2 ) ' , theo định nghĩa nghiệm yếu (3.21) ta có  ( Ph  Ph ') dx   [( Ph)    ( Ph ')  ] dx   (h  h ') dx   H chọn    Ph  Ph ' ta có    ( Ph  Ph ') dx   [( Ph) ( Ph ') ]( Ph  Ph ')dx   (h  h ')( Ph  Ph ')dx    ý số hạng thứ hai vế trái không âm áp dụng bất đẳng thức Holder ta Ph  Ph ' H  h  h ' (2* ) ' Ph  Ph ' 2* Từ ta Ph  Ph ' H  C h  h ' (2* ) ' * Với ( , u )  R  H , u  ta có u  L2  m( x)u  L1 với q 2* t  (2* )' Do toán * q  v  v    m( x)u , v   có nghiệm yếu, ta kí hiệu F ( , u ) Như ta có ánh xạ F : R  K  K , nghiệm phương trình u  F ( , u ) sẻ nghiệm yếu (3.17) Do đó, ta cần chứng minh tập nghiệm yếu phương trình u  F ( , u ) có tính chất nêu định lí (2.2.5) Xét ánh xạ N : ( , u )   m( x)u Do định nghĩa số p lí luận tương tự * ta thấy N tác động từ Lp vào L(2 ) ' , theo định lí Krasnoselskii liên tục Vì ta có F  P0 N I nên F ánh xạ hoàn toàn liên tục Như chứng minh [8] F đơn điệu tăng theo biến u Bước Xây dựng ánh xạ chặn đơn điệu Ta sẻ chứng minh G (u ) : F (1, u ) thỏa điều kiện định lí (2.2.5) Trước tiên ta có G đơn điệu tăng F ( , u )  F (1,  1/  u )  G ( 1/  u ) Gọi  vec tơ riêng tương ứng với giá trị riêng toán u  u 0 , u  0 Và xét hàm u0   0 , u0   \0 Như chứng minh [4],   đủ nhỏ ta có  u dx   m( x)u    dx   H ,  (3.22) Xét t  (0,1) , G (tu0 )  F (1, tu0 ) nghiệm yếu (3.10) với h  m( x)(tu0 ) nên ta có   G (tu0 )dx    G(tu0 )  dx  m( x)(tu0 )  ,   H0   (3.23)  Nhân (3.11) với t trừ (3.12) cho   (tu0  G (tu0 ))  ta       (tu0  G(tu0 )) dx    G(tu0 )   m( x)u0 (t  t ) (tu0  G(tu0 ))dx (3.24)    A  tu0  G (tu0 ) Gọi g thừa số thứ tích phân vế trái (3.24) Ta có g  A   \ 0 , A  0 ta có g  (tu0 )   m0u0 (t   t )  (tu0 ) (tu0 )    m0  m0t1  Vì hàm u0 bị chặn nên từ ta thấy g  A t đủ nhỏ Do từ (3.24) ta thấy t đủ nhỏ (tu0  G (tu0 ))   hkn hay G (tu0 )  tu0 Vậy G thỏa mãn điều kiện i) định lí (2.2.5) Tiếp theo ta sẻ chứng minh ánh xạ t  t  G (tu0 ) tăng Thật vậy, với 0t  s ta đặt u  G (tu0 ), v  G ( su0 ) Từ (3.23) ta có  (t   u  s  v) dx   (t  u   s  v  ) dx    H  Cho   (t  u  s  v)  ta           (t u  s v) dx   (t u  s v )(t u  s v)dx  ,  A   A  t  u  s  v Trên A ta có  t     1  t u  s v  s v    s         Ở ta sử dụng giả thiết   Do từ (3.25) ta (3.25) ((t  u  s  v)   0) hay t  u  s  v hkn Từ điều chứng minh ta có với t  G (tu0 )  t  G (u0 ) Do điều kiện ii) định lí (2.2.5) thỏa mãn với chuẩn  2* Định lí chứng minh KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách hệ thống số kết phương trình chứa tham số không gian Banach có thứ tự (phương trình dạng (2.8)) sở tham khảo, nghiên cứu số tài liệu, công trình nghiên cứu tác giả khác (xem danh mục tài liệu tham khảo) Trọng tâm kết nhánh liên tục nghiệm dương định lí 2.2.2, định lí 2.2.3 mệnh đề 2.2.4, định lí 2.2.5; Tập giá trị tham số để phương trình 2.8 có nghiệm lấp đầy khoảng định lí 2.2.6; Bên cạnh ứng dụng kết vào việc khảo sát nghiệm tuần hoàn lớp phương trình vi phân ô tô nôm cấp hai (phương trình 3.2) nghiệm yếu dương phương trình logistic (phương trình 3.17) Thông qua luận văn thực làm quen với việc nghiên cứu tài liệu khoa học cách sâu sắc hơn, hệ thống hết học phương pháp nghiên cứu khoa học từ người thầy tận tình hướng dẫn Tuy nhiên, với hiểu biết hạn chế nên không phát triển kết tác giả khác Tôi mong nhận góp ý quý báu quý thầy, cô hội đồng bảo vệ luận văn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Duy Thanh, Trần Đình Thanh, (2007), “tính liên tục tập nghiệm yếu phương trình logistic chứa tham số”, tạp chí khoa học ĐHSP TP HCM, (12), tr 76 – 81 Trần Đình Thanh (2004), ứng dụng lý thuyết phương trình không gian có thứ tự vào số lớp phương trình vi phân, luận án tiến sĩ toán học, Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh Amann H, (1976), Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach space, SIAM Rev., (18), 673 – 675 Boccardo L., Orsina L., (1994), Sublinear equations in Ls, Houston J Math., (20), 99 – 144 Deimling K, (1985), nonlinear funtional analysis, Springer – Verlag, Berlin Krasnoselskii M A., Zabreiko P, (1984), Geometrical methods of nonlinear analysis, Springer – Verlag, Berlin Nguyen Bich Huy, (1999), Global continua of positive solutions for equations with nondifferentiable operaters, J Math Anal 239, 449 – 456 N B Huy, (2002), positive weak solution for some semilinear elliptic equations, Nonl Analysis 48, 939 – 945 Zeidler E., (1987), Nonlinear funtional analysis and its applications, Springer – Verlag , Berlin [...]...Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ 2.1 Phương trình tuyến tính chứa tham số 2.1.1 Định nghĩa 2.1.1 Cho không gian Banach X có thứ tự sinh bởi nón K Một ánh xạ tuyến tính A : X  X được gọi là dương nếu: x    A( x)   Hay A( K )  K Nếu A là tuyến tính, dương thì nó cũng có tính đơn điệu: x  y  A( x)  A( y ) 2.1.2 Bổ đề 2.1.2 Cho u0   K và x  K Khi đó tồn tại số cực đại t x ... nghĩa 2.3.1 Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K và f :    K  K là ánh xạ thỏa mãn f (., )   Khi đó 0    được gọi là điểm phân nhánh của phương trình x  f ( , x) ( tương ứng với nghiệm tầm thường) nếu với mọi lân cận U của (0 , ) trong   K đều tồn tại một điểm ( , x) U với x  f ( , x) và x   2.3.2 Mệnh đề 2.3.2 Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón... ,  , x)  [0,1]  [0, )  K của phương trình x  tA  F ( , x)  (1  t )b A( x) (2.11) thỏa mãn bất đẳng thức sau: x  h( , x Y ) (2.12) trong đó hàm h(x,t) tăng theo biến thứ hai và lim h( ,   c ab  1 )0 (2.13) thì tập nghiệm S liên tục không bị chặn trong X, xuất phát từ  Chứng minh Lấy G là một lân cận mở, bị chặn của  Trong chứng minh sau đây, số  được giả định là đủ lớn, viết... từ điều kiện 2(a) và (2.10) ta có xn  g (bu )  abu Từ bất đẳng thức này và kết hợp với bất đẳng thức thứ nhất trong (2.10) cho ta xn  g (n abu ) Do đó các số n với n như trên bị chặn đều do K là nón chuẩn, tính bị chặn của  xn  và điều kiện 2(b) Định lí đã được chứng minh Bây giờ chúng ta xem xét trường hợp toán tử f trong (2.8) thuộc loại Hammerstein Cho không gian Banach ( X , ),(Y , Y )... chứng minh 2.4 Phương trình với toán tử u0  Lõm 2.4.1 Định nghĩa 2.4.1 Cho không gian Banach X với thứ tự sinh bởi nón K Ánh xạ A : K  K gọi là u0  lõm nếu: i) A tăng ii) x  K \    A( x)  Ku0 :  y  K :  ,   0,  u0  y   u0  iii) x  Ku0 , t  (0,1)   0 : A(tx)  (1   )tAx 2.4.2 Mệnh đề 2.4.2 Giả sử A : K  K là ánh xạ u0  lõm Khi đó 1) A có trong K \   không quá một... hàm riêng bên phải ứng với biến thứ hai 2.3.3 Mệnh đề 2.3.3 Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K và f :    K  K là ánh xạ hoàn toàn liên tục thỏa mãn f (., )   Giả sử 0    là một điểm phân nhánh của phương trình x  f ( , x) thỏa mãn: D2 f (0 , ) tồn tại Nếu ánh xạ f (., x) x 1 :    K liên tục tại 0 , đều trên những dãy hội tụ đến  trong K Khi đó 1 là giá trị riêng...   Giả sử rằng C bị chặn Khi đó tồn tại một số dương   01 thỏa: Q  C   và  1 không phải là một giá trị riêng dương của T0 ứng với một vec tơ riêng dương Đặt C1 : C  [0,  ]       và gọi  là số dương thỏa   min  ,   , trong đó   là số thỏa mãn: Với mỗi   (0,   ) thì: i) iK  f (  ,.), K   1 nếu D2 f (  , ) không có vec tơ riêng tương ứng với giá trị riêng lớn... cả hai vế của đẳng thức đó, kết hợp với 2(a), 2(b) ta được: L( x)  aL  tF ( , x)  (1  t )b x   a (b L( x)  c) (2.14) L( x)  a A[tF ( , x)  (1  t )b x (2.15) Y a x Y Từ (2.14) và (2.15) suy ra: xY c ab  1 Từ đây kết hợp với (2.12) ta có : (2.16) x  h ( , c ab  1 ) Từ bất đẳng thức cuối và (2.13) và inf  x : x  K  G  0 suy ra rằng phương trình (2.11) không có nghiệm trên K... nếu t cũng thỏa x  tu0 thì t  t x ) Chứng minh: Đặt T  t  0 : x  tu0  Ta có T   , bị chặn trên Số t x : sup T là số cần tìm 2.1.3 Định lí 2.1.3 Giả sử i) A : X  X là ánh xạ tuyến tính, dương, hoàn toàn liên tục ii) Tồn tại phần tử u  K  K , u   K và số   0 , p  * thỏa mãn: A p (u )   u Ki đó A có trong K vec tơ riêng với giá trị riêng tương ứng lớn hơn hoặc bằng p  Chứng minh... như sau: Cho (X,K) là không gian Banach có thứ tự và f :    K  K là ánh xạ hoàn toàn liên tục thỏa : f (., )   và f (0,.)   Tồn tại một toán tử tuyến tính T0  L( K  K , X ) và một ánh xạ g 0 :    K  K với D2 g 0 (., )   thỏa (H0 ) f ( , x)  T0 x  g 0 ( , x), ( , x)     K Ánh xạ g 0 (., x) x 1 :    K liên tục, đều trên những dãy hội tụ đến  trong K Từ giả thiết (