BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Trác BÀI TOÁN BIÊN TUẦN HOÀN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn, khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí minh, người dạy dỗ, động viên, giúp đỡ học tập thời gian học cao học tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu đọc, góp ý phản biện cho luận văn Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa Toán – Tin học hai trường, trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh tận tình dạy dỗ truyền đạt kiến thức cho Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm khoa Toán – Tin học, Phòng Khoa học Công nghệ Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian học trường Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Hội đồng Giáo viên trường CĐSP Kiên Giang động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho hoàn thành khóa học Cuối xin tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn hữu động viên, giúp đỡ hoàn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 Nguyễn Ngọc Trác DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU  I   a, b  , R=  ,   , R    0,    R n - không gian vectơ cột n chiều x   xi i 1 , với xi  R (i  1, , n) n n chuẩn x   xi i 1  R n  n - không gian ma trận cấp n  n X   xik i ,k 1 , với xik  R n n (i, k  1, , n) chuẩn X   xik i ,k 1  R n   R n n  x    x n i i 1   R n : xi  0, i  1, , n  n ik i ,k 1   R n  n : xik   i, k  1, , n   Với x, y  R n X , Y  R n  n x  y  y  x  R n , X  Y  Y  X  R n n  Với x   xi i 1  R n X   xik i ,k 1  R n  n n n x   xi  n i 1 X   xik  n i , k 1  detX - định thức ma trận X  X 1 - ma trận nghịch đảo X  r  X  - bán kính phổ ma trận X  E - ma trận đơn vị   - ma trận không  C  I ,R n  - không gian hàm vectơ liên tục x : I  R n với chuẩn x C    max x  t  : t  I  Với x   xi i 1  C  I ,R n  x C  xi  n  n C i 1  L  I , R n  - không gian hàm vectơ x : I  R n có thành phần khả       x  t  dt  a  b tích bậc  với     chuẩn x  L   Với x   xi i 1  L  I ,R n  x L   xi n  L  n i 1  L  I ,R n  n  - không gian hàm ma trận khả tích X : I  R nn  Nếu X   xik i ,k 1 : I  R nn n  max  X  t  : t  I   max  xik  t  : t  I    n i ,k 1 ess sup  X  t  : t  I   ess sup  xik  t  : t  I   n i ,k 1  Nếu Z  C  I ,R n  n  hàm ma trận với cột z1 , , zn g : C  I ,R n   L  I ,R n  toán tử tuyến tính ta kí hiệu g  Z  hàm ma trận với cột g  z1  , , g  zn   C  0,   , R n  - không gian hàm vectơ liên tục x :  0,    R n với chuẩn x C    max x  t  :  t    C  R n  - không gian hàm vectơ liên tục   tuần hoàn x : R  R n với   chuẩn x C    max x  t  :  t     Nếu x   xi i 1  C  R n  x C  xi n   n C i 1  L  0,   ,R n  - không gian hàm vectơ x : R  R n có thành  phần khả tích  0,   với chuẩn x L   x  t  dt  L  R n  - không gian hàm vectơ   tuần hoàn x : R  R n có thành phần khả tích  0,   với chuẩn x  L   x  t  dt  L  R n  n  - không gian hàm ma trận X : I  R nn với phần tử thuộc L  R   Nếu Z : R  R n  n hàm ma trận liên tục   tuần hoàn với cột z1 , , zn g : C  R n   L  R n  toán tử tuyến tính ta kí hiệu g  Z  hàm ma trận với cột g  z1  , , g  zn  MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân thường phương trình vi phân hàm đời từ kỷ 18, song đến nhiều người quan tâm nhờ ứng dụng rộng rãi lĩnh vực vật lý, học, kinh tế, nông nghiệp, … Đặc biệt, toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm đạt nhiều kết năm 1995 nhờ kết tác I.T Kiguradze, B Puza, … cho hệ phương trình vi phân hàm tổng quát Vì chọn đề tài làm nội dung nghiên cứu luận văn nhằm học tập phát triển đề tài theo hướng tác giả Mục đích nghiên cứu Trong luận văn nghiên cứu tính giải được, tính nghiệm tính xấp xỉ nghiệm toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính Từ đó, áp dụng kết đạt cho hệ phương trình vi phân đối số chậm, đối số lệch Đối tượng nghiên cứu Bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính Phạm vi nghiên cứu Lý thuyết toán biên, giải tích hàm Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Luận văn tài liệu tham khảo cho tất người quan tâm đến lý thuyết toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính Đây chương sở luận văn, nội dung chương nghiên cứu tính giải được, tính nghiệm tính xấp xỉ nghiệm toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính Chương 2: Bài toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính Ở chương nghiên cứu tính giải được, tính nghiệm tính xấp xỉ nghiệm toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính áp dụng kết hệ phương trình vi phân đối số chậm, đối số lệch Chương 1: BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH 1.1 Giới thiệu Xét hệ phương trình vi phân hàm dx  t   p  x  t   q  t  dt (1.1) l  x   c0 (1.2) với điều kiện biên p : C  I , R n   L  I ,R n  l : C  I ,R n   R n toán tử tuyến tính bị chặn, q  L  I ,R n  , I   a, b  c0  R n Trường hợp riêng điều kiện (1.2) điều kiện đầu x  t0   c0 (1.3) t0  I hay điều kiện biên tuần hoàn x  b   x  a   c0 (1.4) Nghiệm (1.1), (1.2) hàm vectơ x : I  R n liên tục tuyệt đối thỏa mãn (1.1) hầu khắp nơi I thỏa (1.2) Các trường hợp riêng toán (1.1), (1.2) toán tồn nghiệm hệ phương trình vi phân đối số lệch dx  t   P  t  x   t    q0  t  dt (1.5) thỏa điều kiện sau x  t   u  t  với t  I , l  x   c0 (1.6) x  t   u  t  với t  I , x  t0   c0 (1.7) x  t   u  t  với t  I , x  b   x  a   c0 (1.8) P  L  I ,R n  n  , q0  L  I ,R n  ,  : I  R hàm đo u : R  R n hàm vectơ liên tục bị chặn, đặt a  t   a    t     t  a    t   b   t   b b (1.9) p  x  t    I   t   P  t  x   t   (1.10)   q  t     I   t   P  t  u   t    q0  t  (1.11)  I hàm đặc trưng I 1.2 Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính Xét toán (1.1), (1.2) với toán tương ứng dx  t   p  x  t  dt (1.10) l  x  (1.20) Xuyên suốt mục giả thiết: (i) p : C  I ,R n   L  I ,R n  toán tử tuyến tính cho tồn hàm  : I  R khả tích thỏa p  x  t     t  x C với t  I , x  C  I ,R n  (ii) l : C  I ,R n   R n toán tử tuyến tính bị chặn (iii) q  L  I ,R n  , c0  R n Chú ý: Từ điều kiện (i) ta suy p toán tử tuyến tính bị chặn 1.2.1 Sự tồn nghiệm Định lý 1.1 Bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toán tương ứng (1.10), (1.20) có nghiệm tầm thường Chứng minh Đặt B  C  I ,R n   R n không gian Banach gồm phần tử u   x, c  , x  C  I ,R n  c  R n , với chuẩn u B  x C  c Lấy tùy ý u   x, c   B điểm cố định t0  I ta đặt: t   f  u  t    c  x  t0    p  x  s  ds, c  l  x   với t  I ,   t0   (1.12) t  h  t     q  s  ds, c0  với t  I t  0  Khi toán (1.1), (1.2) tương đương với phương trình B u  f u   h , (1.13) u   x, c  nghiệm (1.13) c  x nghiệm toán (1.1), (1.2) Mặt khác, từ (i)-(iii) (1.12), ta có f : B  B toán tử tuyến tính compact Do theo định lý Fredholm cho phương trình toán tử điều kiện cần đủ để phương trình (1.13) có nghiệm phương trình toán tử u  f u  (1.14) có nghiệm tầm thường Tuy nhiên, điều tương đương với toán (1.10), (1.20) có nghiệm tầm thường   p  x  s  ds  B x C với x  C  R n  (2.17)   r B   21 B  (2.18) Khi hệ (2.1) có nghiệm   tuần hoàn Chứng minh Để chứng minh hệ ta kiểm tra giả thiết định lý 2.3 thỏa với k  m  Từ (2.14), (2.15) (2.17) ta có t p  x  t    p  x  s  ds, p 2,1   x  t   p  x  t     p  v  p1  x     s  ds 1 p 2,1  x  t   B x C   21 B v  p1  x    C với t   0,   , x  C  R n  Mặt khác, theo (2.8) t v  p  x    t    p  x  s  ds  t   0 p  x  s  ds   t t  t   1    p  x  s  ds   p  x  s  ds t   0 Do  v  p  x    t    p  x  s  ds  B x C với t   0,   , x  C  R n     p 2,1  x  t   B   21 B x C với t   0,   , x  C  R n   Do thỏa điều kiện (2.16) với k  , m  ma trận A  B   21 B thỏa r  A   Khi theo định lý 2.3, hệ chứng minh Với hàm ma trận V  L  R n  n  , ta đặt V  t   ,0  , V  t   ,1  V  t  , V  t   ,i 1  V  t   t   V  s  ,i ds  i  1,2,  Khi từ định lý 1.17 định lý 2.1 ta suy hệ sau: Hệ 2.5 Giả sử tồn số nguyên dương k  m cho ma trận k 1   k     P  s   ,i ds i 1 không suy biến r  Ak ,m    Ak ,m m 1    1     P  s   ds   E     P  s   ds   k   P  s   ds  ,m  ,i  ,k i 0 0   Khi hệ (2.2) có nghiệm   tuần hoàn Với k  m  hệ 2.5 phát biểu sau: Hệ 2.6 Giả sử ma trận     p  s  ds không suy biến r  A2,1    s   A2,1   P  s  ds     P  s   P  t  dt  ds   0   1  Khi hệ (2.2) có nghiệm   tuần hoàn Cùng với hai hệ (2.1) (2.2) với điều kiện (2.3)-(2.6), ta xét hệ phương trình vi phân sau dx  t    p  x  t   q  t  dt (2.19) dx  t    P  t  x   t    q  t  dt (2.20)  tham số dương nhỏ Hệ 2.7 Nếu ma trận     p  E  s  ds không suy biến tồn   cho hệ (2.19) có nghiệm   tuần hoàn với    0,   Chứng minh Vì toán tử p : C  R n   L  R n  bị chặn nên tồn ma trận B  R n n thỏa bất đẳng thức (2.17) Giả sử A  B   21 B 0  r  A (2.21) Đặt  p  x  t    p  x  t  ,  2,   p  E  s  ds, B   B Khi  2,   không suy biến với   Mặt khác, theo (2.17) (2.21) ta có   p  x  s  ds  B x C với x  C  R n     r B   2,1 B2  r  A   với    0,   Khi áp dụng hệ 2.4 hệ (2.19) có nghiệm   tuần hoàn với    0,   Đối với hệ (2.20), hệ 2.7 phát biểu sau: Hệ 2.8 Nếu ma trận   P  s  ds không suy biến tồn số   cho hệ (2.20) có nghiệm   tuần hoàn với    0,   Như ta nhận xét phần đầu mục này, tính liên tục,   tuần hoàn nghiệm tùy ý toán (2.12), (2.11) biểu diễn nghiệm   tuần hoàn hệ dx  t   p  x  t  dt (2.22) Do từ hệ 1.8 ta suy hệ sau: Hệ 2.9 Giả sử tồn hàm ma trận P0  L  R n  cho t  t    P0   d  P0  t   P0  t    P0   d  s  s  (2.23) thỏa với hầu hết s , t  I ma trận   A0  E  exp   P0  s  ds  0  không suy biến (2.24) Giả sử với nghiệm   tuần hoàn hệ (2.22) t  t  t  A exp   P0   d   p  x  s   P0  s  x  s   ds  A x C với t   0,   s  1 A  R n n thỏa r  A   Khi toán (2.1) có nghiệm   tuần hoàn Nếu p  x  t   P  t  x   t   nghiệm   tuần hoàn hệ (2.22) biểu diễn nghiệm hệ (2.13) Do với nghiệm này, ta có p  x  t   P0  t  x  t     P  t   P0  t   x   t    P0  t   t   P  s  x   s   ds  Q  t  x t C Q  t   P  t   P0  t   P0  t   t   P  s  ds (2.25) t Từ nhận xét này, theo hệ 2.9 ta suy hệ sau: Hệ 2.10 Giả sử tồn hàm ma trận P0  L  R n  cho đẳng thức (2.23) thỏa với hầu hết s , t  I , ma trận (2.24) không suy biến t  t t  A exp   P0   d  Q  s  ds  A với t   0,   s  1 (2.26) Q hàm ma trận xác định (2.25) A  R n n ma trận thỏa r  A  Khi toán (2.2) có nghiệm   tuần hoàn Hệ 2.11  i, k  1, , n  Giả sử tồn số  i  1,1 , b0i  bik  R  cho phần thực giá trị riêng ma trận  bik   ik b0i i ,k 1 n (2.27) âm,  ik ký hiệu Kronecker bất đẳng thức  i pii  t   b0i  i  1, , n  1   ik  pik  t   pii  t   t  (2.28) pik  s  ds  bik  i, k  1, , n   (2.29) t thỏa hầu khắp nơi  0,   Khi toán (2.2) có nghiệm   tuần hoàn Chứng minh Trước hết ta nhận xét phần thực giá trị riêng ma trận (2.27) âm ma trận n b  A   ik   b0i i ,k 1 (2.30) thỏa r  A   Giả sử P0  t  ma trận đường chéo với phần tử p11  t  , , pn n  t  Khi (2.28) nên ma trận A0 xác định (2.24) không suy biến t  n A exp   P0   d    ik gi  t , s  i ,k 1 s  1 (2.31)  t   gi  t , s   exp   pii   d  1  exp  pii   d  s   t i t  g  t , s  ds  b  p  s  g  t , s  ds  i t  0i t  ii i 1  t    1  exp   pii   d   exp   pii   d   b0i  t   0  1 với t   0,   Nhưng pii   tuần hoàn nên  t  p   d   p   d ii ii t Do t  gi  t , s  ds  t  với t   0,   b0i (2.32) Mặt khác, theo (2.25) (2.29) ta có bất đẳng thức Q  t    bik i ,k 1 n (2.33) thỏa hầu khắp nơi  0,   Từ (2.30)-(2.33) suy bất đẳng thức (2.26) Vậy tất giả thiết Hệ 2.10 thỏa mãn Hệ chứng minh Chú ý: Điều kiện phần thực giá trị riêng ma trận (2.27) âm bỏ qua Thật vậy, giả sử pii   i  1, , n  ma trận (2.27) có giá trị riêng với phần thực không âm Khi ma trận (2.30) thỏa mãn bất đẳng thức r  A  Do có số phức  ci  i  1, , n  cho   1, n c i 1 i 0 n b c k 1 ik k  b0i ci  i  1, , n  Do n  b k 1 ck  b0i ci i ik i   0,1  i  1, , n  Vì vậy,  ci  i  1, , n  ,  n i 1 biểu diễn nghiệm   tuần hoàn không tầm thường hệ phương trình vi phân dx  t   P t  x t  dt P  t   ibik   ik b0i i ,k 1 Mặt khác, hệ xét thỏa mãn tất n giả thiết hệ 2.11 ngoại trừ tính âm phần thực giá trị riêng ma trận (2.27) Mâu thuẫn 2.3 Tính xấp xỉ nghiệm Cùng với toán (2.1), (2.2), với số k  1,2, , ta xét hệ phương trình vi phân sau: dx  t   pk  x  t   qk  t  dt (2.1k) dx  t   Pk  t  x  k  t    qk  t  , dt (2.2k) pk : C  R n   L  R n  toán tử tuyến tính cho tồn hàm k  L  R  thỏa pk  x  t   k  t  x C với t  R, x  C  R n  qk  L  R n  , Pk  L  R n  n  hàm  k : R  R đo thỏa  k  t     k  t    k  t  , k hàm lấy giá trị nguyên Ta ký hiệu vk phần nguyên số  k t  đặt   k  t    k  t   vk  t   Giả sử g : C  R n   L  R n  toán tử tuyến tính bị chặn tùy ý ký hiệu  chuẩn nó, M g tập hợp tất hàm vectơ   tuần hoàn y : R  R n liên tục tuyệt đối có biểu diễn sau: t y  t   z     g  z  s  ds  t   0 g  z  s  ds với t   0,   z  C  R n  , z C  Định lý 2.12 Giả sử hệ (2.1) có nghiệm   tuần hoàn x nhất,  t  sup    pk  y  s   p  y  s   ds : t   0,   , y  M pk   k     (2.34) với hàm   tuần hoàn y : R  R n liên tục tuyệt đối ta có:  lim   pk k      p y s p y s ds              0,   (2.35) 0  k  t Giả sử  lim   pk k     t   q  s   q  s  ds   0,  k  (2.36) Khi tồn số nguyên dương k0 cho với k  k0 hệ (2.1k) có nghiệm   tuần hoàn xk lim x  xk k  C  Chứng minh Giả sử p0 : C  0,   ,R n   L  0,   ,R n  toán tử xác định (2.8), (2.9) p0k  y  t   pk  v  y    t  với y  C  I , R n  (2.37) Ta ký hiệu M p0 k tập hợp tất hàm vectơ y :  0,    R n liên tục tuyệt đối có biểu diễn sau t y  t   z     pk  v  z    s  ds (2.38) z  C  0,   ,R n  , z C  (2.39) Khi theo định lý 1.14, để chứng minh định lý ta cần kiểm tra điều kiện sau:  t  sup    p0 k  y  s   p0  y  s   ds : t   0,   , y  M p0 k   k     (2.40)  lim   p0 k k      q s q s ds            0,   0  k  t (2.41)  lim   p0 k k    t    p 0k   y  s   p0  y  s  ds    với y :  0,    R n liên tục tuyệt đối Theo (2.8) ta có v  y  Khi từ (2.37) suy C 3 y C (2.42)  k  1, 2,  p0 k  pk (2.43) Do từ (2.36) suy điều kiện (2.41) Với hàm vectơ y :  0,    R n liên tục tuyệt đối Khi y  v  y  hàm liên tục tuyệt đối   tuần hoàn Mặt khác, từ (2.9) (2.37) ta có t t   p  y  s   p  y  s  ds    p  y  s   p  y  s   ds 0k 0 k (2.44) kết hợp với (2.35) (2.43) ta suy điều kiện (2.42) Giả sử y  M p0 k với k  1,2, Khi ta biểu diễn (2.38) với z thỏa điều kiện (2.39) Nếu ta đặt y  t   v  y  t  , z  t   v  z  t  t y  t   z     pk  z  s  ds  t   0 pk  z  s  ds  k  1, 2,  z C 3 (2.45) Khi ta có trường hợp sau: - Nếu z  t   y  t   y  t   - Nếu z  t   y0  z 1 y  M pk C Do từ (2.44) (2.45) ta có t t   p  y  s   p  y  s  ds    p  y   s   p  y   s  ds 0k 0 k 0 với t   0,   Từ (2.34) kết hợp với bất đẳng thức ta suy điều kiện (2.40) Từ định lý ta suy hệ sau: Hệ 2.13 Giả sử hệ (2.1) có nghiệm   tuần hoàn x với hàm vectơ   tuần hoàn y : R  R n liên tục tuyệt đối ta có: t lim   pk  y  s   p  y  s   ds   0,   k  Giả sử t lim   qk  s   q  s   ds   0,   k  giả sử tồn hàm  :  0,    R  khả tích cho pk  y  t     t  y C thỏa hầu khắp nơi  0,   với y  C  R n  Khi tồn số nguyên dương k0 cho với k  k0 hệ (2.1k) có nghiệm   tuần hoàn xk lim x  xk k  C  Nghiệm   tuần hoàn hệ (2.2) (2.2k) thu hẹp  0,   nghiệm hệ phương trình vi phân dx  t   P  t  x   t    q  t  dt (2.46) dx  t   Pk  t  x  k  t    qk  t  dt (2.47) với điều kiện biên (2.11) Mặt khác, nghiệm liên tục,   tuần hoàn toán (2.46), (2.11) (2.47), (2.11) biểu diễn nghiệm hệ (2.2) (2.2k) Từ nhận xét trên, hệ 2.14 suy hệ sau: Hệ 2.15 Giả sử hệ (2.2) có nghiệm   tuần hoàn x t lim   Pk  s   P  s   ds   0,   , k  t lim   qk  s   q  s   ds   0,   , k    ess sup  k  t     t  : t  I  k   Giả sử tồn hàm  :  0,    R  khả tích cho Pk  t     t   k  1,2,  thỏa hầu khắp nơi  0,   Khi tồn số nguyên dương k0 cho với k  k0 hệ (2.2k) có nghiệm   tuần hoàn xk lim x  xk k  C  KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề lý thuyết toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính từ nghiên cứu chi tiết lý thuyết toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính, cụ thể nghiên cứu tính giải được, tính nghiệm tính xấp xỉ nghiệm Luận văn gồm hai chương Chương Luận văn nghiên cứu tồn tại, nghiệm tính xấp xỉ nghiệm toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính với kết định lý 1.2, 1.6, 1.14 Đặc biệt, hệ phương trình vi phân hàm với toán tử Volterra xây dựng điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm với kết định lý 1.12 Chương Trên sở kết nghiên cứu chương 1, luận văn tiếp tục xét tồn tại, nghiệm tính xấp xỉ nghiệm toán biên tuần hoàn cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính với kết định lý 2.3, 2.12 Qua đó, áp dụng kết đạt cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính đối số chậm, đối số lệch Từ vấn đề mà luận văn nêu trên, cách tự nhiên ta thấy kết trình bày luận văn có hay không cho toán biên nhiều điểm hay toán biên dạng tuần hoàn, kết có hay không toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao Tuy nhiên, với trình độ nhiều hạn chế tác giả thời gian có hạn khóa luận, luận văn xin trình bày nội dung nêu Tác giả mong góp ý bảo quý thầy cô hội đồng Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 TÀI LIỆU THAM KHẢO I Kiguradze, B Puza (1997), Conti – Opial type theorems for systems of functional differential equations, (In Russian) Differentsial’nye Uravneniya 33, No 2, 185-194 I Kiguradze, B Puza (1997), On boundary value problems for systems of linear functional differential equations, Czech Math J.47, No 2, 341-373 I Kiguradze (1997), On periodic solutions of systems of linear functional differential equations, Arch Math 33, 197-212 I Kiguradze (1986), On periodic solutions of systems of non-autonomous ordinary differential equations, (In Russian) Mat Zametki 39, No 4, 562-575 J Cronin (1997), Periodic solutions of some nonlinear differential equations, J Differential Equations 3, 31-46 J.K Hale (1964), Periodic and almost periodic solutions of functionaldifferential equations, Arch Rational Mech Anal 15, 289-304 N.V Azbelev, V.P Maksimov, L.F Rakhmatullina (1991), Introduction to the theory of functional differential, (In Russian) Nauka, Moscow [...]... mâu thuẫn với (1.68) Hệ quả được chứng minh 1.3 Các trường hợp riêng của bài toán biên tổng quát 1.3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm Theo chú ý được nêu trong phần giới thiệu, bài toán (1.5), (1.6) có thể được vi t lại thành dạng (1.1), (1.2), trong đó toán tử p và hàm vectơ q được cho bởi đẳng thức (1.10) và (1.11) và hàm  0 được cho bởi đẳng thức (1.9) Do đó, định lý 1.1 cho bài toán (1.5), (1.6) có... 1.2.3 Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát Cùng với bài toán (1.1), (1.2) ta xét các bài toán sau dx  t   pk  x  t   qk  t  dt (1.1k) lk  x   c0 k (1.2k) với k nguyên dương, trong đó (i) pk : C  I ,R n   L  I ,R n  là toán tử tuyến tính sao cho tồn tại hàm k : I  R  khả tích thỏa pk  x  t   k  t  x C với t  I , x  C  I ,R n  (ii) lk : C  I ,R n   R n là toán. .. ma trận hàm P0   I ,R n  n  sao cho hệ phương trình vi phân dx  t   P0  t  x  t  dt (1.30) với điều kiện biên (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường và b  G  t , s   p  x  s   P  s  x  s  ds  A x 0 a 0 C (1.31) thỏa với mọi x nghiệm của bài toán (1.10), (1.20), trong đó G0 là ma trận Green của bài toán (1.30), (1.20) và A  R n n là ma trận thỏa r  A   1 Khi đó bài toán (1.1),... trên I Khi đó bài toán (1.5), (1.7) có nghiệm duy nhất Hệ quả 1.21 Giả sử det  B0   0 và   r B  B01 B 2  1 trong đó b b a a B0    I   s   P  s  ds, B    I   s   P  s  ds Khi đó bài toán (1.5), (1.8) có nghiệm duy nhất Định lý 1.22 Giả sử tồn tại hàm ma trận P0  L  I,R n  n  sao cho hệ phương trình vi phân dx  t   P0  t  x  t  dt với điều kiện biên l  x   0...  b  a   q  t  Do đó, kết hợp với (1.35), bất đẳng thức (1.34) bao hàm bất đẳng thức (1.31) Khi đó tất cả các giả thiết của định lý 1.6 được thỏa mãn Do vậy hệ quả được chứng minh 1.2.2 Hệ phương trình vi phân hàm với toán tử Volterra Trong mục này, ta xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) khi p là toán tử Volterra Lấy tùy ý t0 , t  I và x  C  I , R n  , ta đặt:  ... Giả sử bài toán (1.1), (1.2) có một nghiệm duy nhất, khi đó bài toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường Giả sử x là một nghiệm tùy ý của hệ (1.10) ta có: x  t   c  p1  x  t  với c  x  t0  hay  E  p   x  t   c 1 Theo bổ đề 1.11 ta có:  x  t   X  t  c trong đó X  t    p i  E  t  i 0 Vì bài toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường nên hệ các phương trình đại... dưới đây: Định lý 1.16 Bài toán (1.5), (1.6) có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu bài toán thuần nhất tương ứng dx  t    I   t   P  t  x  0  t   dt l  x  0 chỉ có nghiệm tầm thường Do l : C  I ,R n   R n là tuyến tính liên tục nên theo định lý Riesz tồn tại duy nhất hàm ma trận  : I  R n  n sao cho các thành phần của  có biến phân bị chặn trên I và không mất tính tổng quát ta giả... nguyên dương Từ đó, theo định lý 1.2 hệ quả được chứng minh Chú ý: Trong hệ quả 1.3, với điều kiện r  A   1 , dấu bằng không thể xảy ra Thật vậy, xét hệ phương trình vi phân 1 dx  t   2  x  s  ds dt 0 (1.21) trên đoạn I   0,1 với điều kiện đầu x 0  1 (1.22) Mỗi nghiệm của hệ (1.21) có dạng x  t   ct trong đó c  R n là một vectơ hằng tùy ý Do đó bài toán giá trị đầu (1.21), (1.22) không... cho các điều kiện (1.74) và (1.75) được thỏa, trong đó  k và Ak ,m là các ma trận được xác định bởi các đẳng thức (1.71)-(1.73) Hệ quả 1.19 Giả sử tồn tại số nguyên dương m sao cho r  Am   1 với  t    Am  max    P  s   ds : t  I   ,m  t0  Khi đó bài toán (1.5), (1.7) có nghiệm duy nhất Hệ quả 1.20 Giả sử hàm  đơn điệu, liên tục tuyệt đối và tồn tại ma trận A  R n  n sao cho. .. ,R n   R n là toán tử tuyến tính bị chặn (iii) qk  L  I ,R n  , c0 k  R n Với mỗi toán tử bị chặn g : C  I ,R n   L  I ,R n  , ta ký hiệu chuẩn của nó là g và M g là tập các hàm vectơ liên tục tuyệt đối y : I  R n được biểu diễn bởi t y  t   z  a    g  z  s  ds a trong đó z : I  R n là hàm vectơ liên tục bất kỳ sao cho z C  1 Bổ đề 1.13 Giả sử bài toán (1.10), (1.20) chỉ có