BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRẦN VĂN MINH THAY ĐỔI BIẾN Ở BẬC PHỔ THÔNG TRUNG HỌC - MỐI LIÊN HỆ GIỮA GIẢI TÍCH VÀ HÌNH HỌC Chun ngành : Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ THỊ HỒI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh - 2007 LỜI CẢM ƠN Trước hết xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS lê Thị Hồi Châu, giảng viên khoa Tốn – Tin trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, người bỏ nhiều cơng sức tận tình hướng dẫn tơi hồn thành luận văn, người mà xem gương phải noi theo nghiên cứu khoa học Tôi xin trân trọng cám ơn q thầy tận tâm truyền thụ cho chúng tơi kiến thức didactic tốn, trang bị cho công cụ khoa học hiệu để nghiên cứu chun mơn, qua giúp tự tin, say mê hạnh phúc bục giảng Lời cảm ơn trân trọng xin gởi đến:  TS Đoàn Hữu Hải, Trưởng phịng đào tạo – ĐHSP TP Hồ Chí Minh  PGS TS Lê Văn Tiến, giảng viên Khoa Toán – Tin trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh  GS TS Claude Comiti, trường ĐH Joseph Fourier Grenoble I, Cộng Hòa Pháp  GS TS Annie Bessot, trường ĐH Joseph Fourier Grenoble I, Cộng Hòa Pháp  GS TS Alain Birebent , trường ĐH Joseph Fourier Grenoble I, Cộng Hòa Pháp Tôi xin cám ơn TS Nguyễn Xuân Tú huyên dành thời gian q báu giúp tơi chuyển dịch luận văn sang tiến pháp Lời cám ơn chân thành xin gởi đến bạn thân yêu học khóa, người chia khó khăn vui buồn với năm tháng học cao họcCuối luận văn khơng sớm hồn thành khơng có hy sinh, động viên Trúc Huyền vợ Luận văn xin đề tặng cho vợ Minh Quốc trai TRẦN VĂN MINH MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài câu hỏi xuất phát Phương pháp đổi biến xuất lời giải nhiều dạng tốn thuộc chương trình bậc trung học phổ thông Việt Nam : khảo sát vẽ đồ thị hàm bậc hai tổng quát, đại số hóa phương trình bất phương trình qui bậc hai, đại số hóa phương trình lượng giác, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ logarit, … Có lẽ mà ta thường xun thấy tác động “phương pháp đổi biến” đề thi tú tài đại học Điều khiến mong muốn tiến hành nghiên cứu diện chương trình tốn bậc trung học phổ thông Việt Nam Chúng bắt đầu quan sát diện đổi biến qua lời giải hai tốn trình bày sách giáo khoa giải tích 12, chương trình chỉnh lý hợp 2000 Hai lời giải giới thiệu ví dụ minh họa, cho dạng tốn khảo sát hàm số, cho dạng tốn tính tích phân Dưới đây, chúng tơi trình bày tóm tắt hai lời giải • Bài tốn (trang 80 sách giáo khoa giải tích 12) : Khảo sát hàm số y = x3+3x2– Tập xác định: R y’ = 3x2+6x = 3x(x+2) y’’ = 6x+6 = 6(x+1) Bảng biến thiên x – –2 y’ y - –1   –2 (I) -4 Sau đó, việc xét dấu y”, người ta nói đồ thị hàm số đường cong lồi khoảng (-∞; -1), lõm khoảng (-1; +∞), nhận I(-1; -2) làm tâm đối xứng Từ kết trên, người ta vẽ đồ thị hàm số Cuối cùng, nhận xét sau nêu :  “Chú ý : Nếu ta tịnh tiến hệ tọa độ theo vectơ OI , tọa độ cũ (x;y) tọa độ (X;Y) điểm M mặt phẳng, có hệ thức sau (gọi cơng thức đổi trục): x  1  X  y  2  Y Thay vào hàm số cho ta Y = X3–3X Đây hàm số lẻ Vậy đồ thị nhận điểm I tâm đối xứng.” Phân tích phần ý cuối lời giải trên, thấy phép đổi hệ trục tọa độ sử dụng để chứng minh điểm I(-1; -2) tâm đối xứng đồ thị hàm số cho ban đầu Việc chuyển sang hệ tọa độ cho phép tránh phép biến đổi đại số phức tạp nhằm chứng minh I thỏa mãn điều kiện tâm đối xứng đồ thị hàm số f – vốn không đề cập sách giáo khoa Ở đây, đường cong ban đầu hoàn toàn giữ nguyên, hệ tọa độ thay đổi Trong hệ tọa độ mới, đường cong trở thành đồ thị hàm số khác, thu từ hàm số ban đầu phép đổi biến Sau đó, sử dụng tính chất giới thiệu phần lý thuyết (“đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng”) người ta suy I(-1; -2) tâm đối xứng đường cong Như thế, trường hợp này, phép tịnh tiến hệ trục tọa độ đặt tương ứng với phép đổi biến số Trong sách giáo khoa phổ thông Việt nam, người ta không giới thiệu định nghĩa tổng quát cho phép xác định điều kiện để điểm I(a; b) tâm đối xứng đồ thị hàm số f, nói đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Khái niệm tâm đối xứng, trục đối xứng hình đề cập HH lớp 10, (chương trình 2000) Ta thấy phối hợp uyển chuyển việc sử dụng hệ thống biểu đạt (registre) hai phạm vi (cadre) khác – giải tích (GT) hình học (HH) Cụ thể : đồ thị biểu đạt ngôn ngữ HH (registre géométique) hàm số Nhưng tất tính chất đồ thị thể qua biểu thức GT (registre analytique), hay nói cách khác chứng minh phạm vi GT (cadre analytique) Song, lời giải trên, nhằm tránh phép biến đổi GT phức tạp, người ta lại phạm vi HH (cadre géométrique) để chứng minh tính đối xứng đồ thị Liên tưởng với ý kiến Douady (1986) tầm quan trọng thay đổi phạm vi hệ thống biểu đạt hoạt động tốn học nói chung, dạy học tốn nói riêng, chúng tơi nẩy sinh mong muốn nghiên cứu quan hệ giải tích (GT) hình học (HH) dạy học tốn trường phổ thơng Việt-Nam Quan hệ thể qua nhiều nội dung dạy học, mà đổi biến nội dung Như thế, chúng tơi xác định chủ đề nghiên cứu : Đổi biến : quan hệ giải tích hình học dạy học toán trường trung học phổ thơng • Bài tốn (trang 135 sách giáo khoa giải tích 12) : Tính   2x  1 dx Đặt t = 2x+1 Khi x = t = Khi x = t = dt Ta có dt = 2dx  dx = t4 Do :   2x  1 dx =  t 3dt  21 3  10 Như vậy, để tính tích phân từ đến hàm số f xác định biểu thức (2x+1)3 người ta đổi sang biến t = 2x+1 Khi miền giá trị t biến thiên từ đến Hàm số f theo biến x trở thành hàm f theo biến t, với t hàm theo biến x Về chất, phép đổi biến từ x sang t thiết lập hàm hợp Trong hai lời giải tốn có tác động phương pháp đổi biến Tuy nhiên, việc đổi biến lời giải đặt cách tiếp cận khác : toán thứ nhất, đổi biến tương ứng với phép đổi hệ tọa độ ; toán thứ hai, đổi biến tương ứng với phép lập hàm hợp Chúng tơi nói đổi biến tiếp cận từ hai quan điểm : Về thuật ngữ regisstre cadre bạn đọc tham khảo Douady 1986 Trong luận văn này, để đơn giản, dùng thuật ngữ “đổi biến” thay cho “phương pháp đổi biến” Vả lại, thuật ngữ thứ hai làm người ta nghĩ đến phương pháp giải vấn đề (hay loại vấn đề) cụ thể, lại muốn dùng theo nghĩa có xuất phương pháp đổi biến người ta giải tốn (hay dạng tốn)  Quan điểm 1: xem đổi biến thay đổi hệ trục tọa độ Trong trường hợp này, hệ tọa độ thay đổi, đường cong (đồ thị hàm số ban đầu) giữ nguyên, hệ tọa độ trở thành đồ thị hàm số (thu từ hàm số ban đầu đổi biến) Chúng tơi nói đổi biến theo quan điểm HH  Quan điểm 2: xem việc đổi biến thiết lập hàm hợp Chúng tơi nói đổi biến nhìn từ quan điểm GT Những ghi nhận việc đổi biến lời giải hai toán tác động thường xuyên kỳ thi tú tài tuyển sinh đại học khiến quan tâm Chúng tự hỏi :  Q’1 : Đổi biến đưa vào đâu chương trình tốn bậc trung học phổ thơng Việt nam ? cách ? chúng đóng vai trị ?  Q’2 : Quan điểm - HH hay GT - ưu tiên thể chế dạy học bậc trung học phổ thông Việt nam ?  Q’3 : Sự lựa chọn thể chế tác động lên việc học học sinh ? II Khung lý thuyết tham chiếu II.1 Lí thuyết nhân chủng học Để tìm số yếu tố cho phép trả lời cho câu hỏi trên, đặt nghiên cứu trước hết phạm vi lý thuyết nhân chủng học Tại lại lý thuyết nhân chủng học ? Bởi câu hỏi liên quan đến khái niệm lý thuyết : quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế đối tượng tri thức, tổ chức toán học Dưới chúng tơi trình bày tóm tắt khái niệm cố gắng làm rõ tính thỏa đáng lựa chọn phạm vi lý thuyết Để trình bày khái niệm này, dựa vào giảng didactic công bố sách song ngữ Didactic toán  Quan hệ cá nhân đối tượng tri thức Một đối tượng tồn cá nhân Quan hệ cá nhân cá nhân X với đối tượng tri thức O, ký hiệu R(X, O), tập hợp tác động qua lại mà X có với O R(X, O) cho biết X nghĩ O, X hiểu O, X thao tác O Theo quan điểm việc học tập cá nhân X đối tượng tri thức O điều chỉnh mối quan hệ X O Cụ thể, việc học tập xẩy quan hệ R(X, O) bắt đầu thiết lập (nếu chưa tồn tại), bị biến đổi (nếu tồn tại)  Quan hệ thể chế đối tượng tri thức Phân tích sinh thái Thế nhưng, cá nhân tồn lơ lửng mà ln ln phải thể chế Từ suy việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải đặt thể chế I có tồn X Hơn thế, I O phải có quan hệ xác định Đối tượng O tồn độc lập thể chế Nói cách khác, O sống mối quan hệ chằng chịt với đối tượng khác O sinh ra, tồn phát triển mối quan hệ Theo cách tiếp cận sinh thái (écologie) O phát triển có lý tồn (raison d’être), nuôi dưỡng quan hệ, ràng buộc Chevallard dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để tập hợp mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O R(I, O) cho biết O xuất đâu, cách nào, tồn sao, đóng vai trị I, … Phân tích sinh thái phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) Hiển nhiên, thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi ràng buộc R (I, O) Với định nghĩa trả lời cho câu hỏi Q’1, Q’2 làm rõ quan hệ thể chế I mà quan tâm đối tượng O Đối tượng O “đổi biến”, thể chế dạy học I với khn khổ luận văn giới hạn phạm vi lớp 12 Những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q’3 tìm thấy khơng qua việc làm rõ R(I, O) mà qua nghiên cứu quan hệ cá nhân học sinh O, vì, nói trên, tác động thể chế I lên chủ thể X (tồn I) thể qua quan hệ R(X, O) Một câu hỏi đặt tức : làm để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) quan hệ cá nhân R(X, O) ?  Tổ chức toán học Hoạt động toán học phận hoạt động xã hội Do đó, cần thiết xây dựng mơ hình cho phép mơ tả nghiên cứu thực tế Xuất phát từ quan điểm mà Chevallard (1998) đưa vào khái niệm praxeologie Theo Chavallard, praxeologie gồm thành phần [T,  ,  ,  ], : T kiểu nhiệm vụ,  kỹ thuật cho phép giải T,  cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật  ,  lí thuyết giải thích cho  , nghĩa cơng nghệ cơng nghệ  Một praxeologie mà thành phần mang chất toán học gọi tổ chức toán học (organisation mathématique) Theo Bosch.M Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với đối tượng tri thức O tiến hành thơng qua việc nghiên cứu tổ chức tốn học gắn liền với O : “ Mối quan hệ thể chế với đối tượng […] định hình biến đổi tập hợp nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm vị trí thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào kỹ thuật xác định (tham khảo Bosch M Chevallard Y., 1999) Hơn thế, theo Bosch M Chevallard Y, việc nghiên cứu tổ chức toán học gắn liền với O cịn cho phép ta hình dung số yếu tố quan hệ cá nhân chủ thể X tồn O, : “Chính việc thực nhiệm vụ khác mà cá nhân phải làm suốt đời thể chế khác nhau, chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân với đối tượng nói trên” Như thế, việc chúng tơi lấy lý thuyết nhân chủng học làm tham chiếu cho nghiên cứu dường hồn tồn thỏa đáng II.2 Hợp đồng didactic Hợp đồng didactic liên quan đến đối tượng dạy - học mơ hình hóa quyền lợi nghĩa vụ ngầm ẩn giáo viên học sinh đối tượng Nó “[…] tập hợp quy tắc (thường không phát biểu tường minh) phân chia hạn chế trách nhiệm thành viên, học sinh giáo viên, tri thức giảng dạy” (Bessot tác giả) Những điều khoản hợp đồng tổ chức nên mối quan hệ mà Thầy Trị trì tri thức : “Hợp đồng chi phối quan hệ thầy trò kế hoạch, mục tiêu, định, hoạt động đánh giá sư phạm Chính hợp đồng lúc vị trí tương hỗ đối tác nhiệm vụ phải hoàn thành rõ ý nghĩa sâu sắc hoạt động tiến hành, phát biểu lời giải thích Nó quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà học tập nhà trường phải trải qua” (Tài liệu dẫn) Như vậy, khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta "giải mã" ứng xử giáo viên học sinh, tìm ý nghĩa hoạt động mà họ tiến hành, từ giải thích cách rõ ràng xác kiện quan sát lớp học Theo định nghĩa trên, rõ ràng yếu tố trả lời cho câu hỏi ban đầu Q’1, Q’2 Q’3 chúng tơi tìm thấy qua việc nghiên cứu quy tắc hợp đồng diadactic liên quan đến đối tượng đổi biến III Trình bày lại câu hỏi luận văn Giới hạn phạm vi lý thuyết didactic chọn, chúng tơi trình bày lại câu hỏi ban đầu mà việc tìm kiếm yếu tố cho phép trả lời chúng trọng tâm nghiên cứu luận văn Hệ thống câu hỏi xoay quanh yếu tố cho phép xác định quan hệ thể chế I thể chế dạy học toán lớp 12, với đối tượng O - “đổi biến”, quan hệ cá nhân học sinh lớp 12 với O  Câu hỏi (Q1) : Trong I, O xuất nào? lưu trú đâu (habitat), tổ chức tốn học nào? tồn phát triển sao? có chức (niche), cho phép giải kiểu nhiệm vụ gì? v.v…  Câu hỏi (Q2) : Đâu ràng buộc thể chế hai quan điểm đổi biến HH GT ? Quan điểm ưu tiên thể chế mà xem xét ?  Câu hỏi (Q3) : Ứng xử giáo viên học sinh bị chi phối quy tắc hợp đồng didactic? Việc thể chế ưu tiên quan điểm hay quan điểm ảnh hưởng đến việc hình thành quan hệ cá nhân họ với O? Cụ thể hơn, học sinh lớp 12 vận hành O để giải kiểu nhiệm vụ nào? Tuy nhiên, trước tìm yếu tố trả lời cho ba câu hỏi trên, việc tiến hành nghiên cứu tri thức luận đối tượng O cần thiết Nghiên cứu giúp hiểu rõ O trước nghiên cứu sống I Vì thế, đặt thêm câu hỏi cần phải xem xét trước gọi câu hỏi Q  Q : mặt tốn học O xuất đâu, qua tổ chức toán học nào, phạm vi ? có quan điểm gắn với O ? IV Phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Luận văn chúng tơi nhắm đến việc tìm yếu tố trả lời cho bốn câu hỏi nêu  Đối với câu hỏi Q , khơng có điều kiện tư liệu thời gian, dấn thân vào nghiên cứu khoa học luận đầy đủ dựa tài liệu lịch sử tốn Vì vậy, chúng tơi giới hạn việc phân tích vài giáo trình tốn dùng bậc đại học, xem sở tham chiếu cho việc nghiên cứu tồn đổi biến thể chế dạy học bậc phổ thông Đây nhiệm vụ chúng tơi Kết nghiên cứu trình bày chương Trong chương phải rõ : mặt toán học, đổi biến xuất đâu ? với vai trị ? theo quan điểm nào? Tham chiếu vào kết thu từ nghiên cứu tri thức luận, chúng tơi tiến hành phân tích sách giáo khoa toán lớp 12, nhằm vạch rõ sống đổi biến thể chế mà quan tâm Trước phân tích sách giáo khoa, chúng tơi lướt qua chương trình tốn bậc trung học phổ thơng để thấy tiến triển đối tượng “đổi biến” tồn chương trình, phần làm rõ mong đợi thể chế phát biểu tường minh Việc xem xét số đề thi tú tài tuyển sinh đại học, thực sau phân tích sách giáo khoa, giúp thấy rõ hơn, hay khẳng định cho yêu cầu thể chế rút từ phân tích chương trình Ba phân tích trình bày chương 2, chương “Một nghiên cứu thể chế đổi biến” Nghiên cứu thực chương nhằm mục đích trả lời cho câu hỏi Q1, Q2 nêu Hơn thế, cho phép đưa giả thuyết liên quan đến hợp đồng didactic chi phối ứng xử giáo viên học sinh Nó cịn mang lại cho yếu tố trả lời cho câu hỏi Q3 : ưu tiên thể chế quan điểm hay quan điểm ảnh hưởng đến việc học học sinh ? Chương dành cho việc kiểm chứng tính thỏa đáng giả thuyết qua nghiên cứu thực nghiệm mà chúng tơi tiến hành với hai thành viên thể chế : người dạy người học  Về phía người học : Chúng tơi tìm kiếm xây dựng số tốn thực nghiệm giải hai cách đổi biến nêu Sau đó, quan sát, thu thập phân tích số liệu thực nghiệm để làm rõ vai trò quan điểm thay đổi biến hệ thống dạyhọc tốn bậc phổ thơng trung học  Về phía người dạy : Chúng tơi dự định thăm dò ý kiến số giáo viên dạy toán lớp 12 qua câu hỏi điều tra, nhằm tìm hiểu quan điểm họ vai trị đổi biến dạy-học toán bậc trung học phổ thơng , đồng thời kiểm tra tính thỏa đáng giả thuyết mà đưa chúng tơi dự đốn chiến lược S1 KS có khả xuất nhiều III.2 Bài toán III.2.1 Biến didactic Chúng lựa chọn giá trị biến sau : V1 : Không cho trước đồ thị đường cong (C) V2 : Các hệ số số vô tỉ số nguyên V3 : Đồ thị đường cong (C) Elip V4 : Hoạt động cá nhân V5 : Tính tốn Chúng tơi lựa chọn giá trị muốn tìm hiểu quan hệ cá nhân học sinh với hai quan điểm đổi biến III.2.2 Dự đoán chiến lược  Chiến lược S2 HH : Đổi trục tọa độ  Học sinh Áp dụng công thức đổi trục tọa độ theo vecto OI =  -1,  - Công thức đổi trục x  1  X  y  Y - Đưa phương trình đường cong dạng tắc - Áp dụng cơng thức tính diện tích (E) : S = πab  Chiến lược S2 GT : Đặt ẩn số phụ x  1  - Đưa pt dạng : y =  - Lập pt hoành độ giao điểm (C) với Ox 1 - Diện tích hình phẳng : S =  1 2 x  1  1 dx - Đặt x + = sin t t = x+1 t = sin u để tính S  Chiến lược S2 DT : Áp dụng cơng thức tính diện tích - Nhận xét đường cong (C) có dạng (E) với a = b = - Áp dụng cơng thức diện tích (E) suy kết Chúng tơi dự đốn chiến lược S2 ĐT xuất nhiều III.3 Bài toán III.3.1 Biến didactic Bài toán chọn với giá trị biến : V1 : Cho trước đồ thị đường cong (C) V2 : Các hệ số số nguyên V3 : Đồ thị đường cong (C) đường tròn V4 : Hoạt động cá nhân V5 : Tính toán Giá trị biến lựa chọn với mục đích kiểm tra quan hệ cá nhân học sinh với kỹ thuật sử dụng đổi biến theo quan điểm HH III.3.2 Dự đoán chiến lược  Chiến lược S3 HH : Đổi trục tọa độ - Lập phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cong : y =   x   y = m (x+2) - Áp dụng công thức đổi trục x = X -  y = Y - Đưa phương trình hai đường cong dạng y =  X2 y = m X - Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình  Chiến lược S3 GT : Đặt ẩn số phụ - Đặt t = x +2 - Dựa vào đồ thị y =  t y = m t biện luận số nghiệm phương trình dùng phương pháp đại số biện luận số nghiệm phương trình  Chiến lược S3 ĐS : Bình phương hai vế phương trình - Đặt điều kiện bình phương vế phương trình - Áp dụng phép biến đổi đại số giải biện luận số nghiệm phương trình Chúng tơi dự đốn chiến lược S3 BP S3 GT xuất nhiều IV Phân tích a posteriori Chứng tơi tiến hành thực nghiệm tốn lớp 12 hai trường trung học phổ thông nguyễn hữu Cầu nguyễn hữu Tiến gồm 154 học sinh Đây hai trường sử sử dụng sách giáo khoa chỉnh lý hợp năm 2000 Ở trường trung học phổ thông nguyễn hửu cầu thực nghiệm với 117 học sinh lớp 12A , 12A 12A Như phân tích, cơng thức đổi trục vận dụng đối tượng học sinh khá, giỏi nên tiến hành thực nghiệm thêm 37 học sinh lớp chọn ( lớp 12A gồm học sinh khá, giỏi học ban tốn- lýhóa) trường trung học phổ thông Nguyễn hữu Tiến Riêng hai toán toán 4, với mục đích tìm hiểu quan hệ cá nhân học sinh hai quan điểm đổi biến, tiến hành với đối tượng học sinh vừa thi tốt nghiệp xong (khóa 2006-2007), chúng tơi mời ngẫu nhiên 80 học sinh thuộc đối tượng tham gia thực nghiệm Bài toán Cho hàm số y = có đồ thị hình vẽ x Vẽ đồ thị hàm số y = x  Em cố gắng tìm nhiều cách khác tốt giải thích cách vẽ em Bảng số liệu thu (154 học sinh) : Chiến lược S1 ks Chiến lược S1 ĐB Chiến lược S1 HH Khảo sát hàm số Tìm điểm đặc biệt Cơng thức đổi trục 133 26 39 Bảng thống kê cho thấy:  Có 133/154 học sinh áp dụng chiến lược S1 ks để vẽ đồ thị hàm số Điều cho phép khẳng định tồn qui tắc hợp đồng R1 liên quan đến giả thuyết H : “Muốn vẽ đồ thị hàm số trước hết phải dùng đạo hàm để khảo sát hàm số đó”  Có 26/154 học sinh áp dụng chiến lược S1 ĐB để vẽ đồ thị hàm số Khi áp dụng chiến lược họ ln tìm giao điểm hai đường tiệm cận đứng ngang, sau tìm thêm số điểm đặc biệt (xem phụ lục 3, làm số 82,117) Điều cho phép khẳng định tồn qui tắc hợp đồng R2 liên quan đến giả thuyết H : “Học sinh có quyền thừa nhận điểm uốn (đối với hàm số dạng ax3 + bx² + cx + d) giao điểm hai đường tiệm cận (đối với hàm số dạng ax +bx+c ax + b hay ) cx + d a' x+b' tâm đối xứng”  Có 39/154 học sinh áp dụng chiến lược S1 ĐB để vẽ đồ thị hàm số Điều cho phép khẳng định tồn giả thuyết H : “Phép đổi biến theo quan điểm HH không thực công cụ sẵn có học sinh giải tốn thuộc kiểu nhiệm vụ T vđt , T pt , T dt ”.Trong tiến hành thực nghiệm quan sát : Đầu tiên học sinh ý đến câu hỏi vẽ đồ thị hàm số, liền sau họ chọn chiến lược tiến hành bước khảo sát để vẽ đồ thị hàm số cho Do câu hỏi nêu : em chọn nhiều cách khác nhau, dẫn đến việc có số học sinh tỏ phân vân tốn có cho sẳn đồ thị hàm số y  1 để làm ? họ liên hệ hàm số với hàm số y  x x 1 tìm cách đặt X = x+1, từ họ vận dụng cơng thức đổi trục Tuy nhiên, có số học sinh đặt X = x+1 họ lại khơng thấy đổi biến theo quan điểm đổi trục tọa độ, họ lập luận sơ sài theo suy nghỉ thân vẽ đồ thị theo cách đổi trục (xem phần phụ lục 3, làm số… ) Như vậy, nói học sinh khơng quen với việc trình bày cách tường minh cơng thức đổi trục thực hành giải tốn Bài tốn Cho đường cong (C) có phương trình : y 2 x  1   1 với y0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục Ox Em cố gắng tìm nhiều cách giải khác tốt Bảng số liệu thu (80 học sinh) Chiến lược S2 HH Chiến lược S2 GT Chiến lược S2 DT Đổi trục tọa độ Đặt ẩn số phụ cơng thức tính diện tích 16 76  Có 76/80 học sinh có lời giải dùng chiến lược Chiến lược S2 GT để “tính diện tích hình phẳng”.Nghĩa họ dùng đổi biến theo quan điểm giải tích (kỹ thuật  tp2 ) để giải kiểu nhiệm vụ T dt Điều chứng tỏ đổi biến theo quan điểm giải tích có ành hưởng mạnh mẽ lên kiểu nhiệm vụ T dt  có 16/80 áp dụng chiến lược cơng thức đổi trục để “tính diện tích hình phẳng” Tỉ lệ khẳng định thất bại, khó khăn học sinh họ buộc phải trình bày tường minh kỹ thuật cơng thức đổi trục lời giải toán khẳng định thêm tồn giả thuyết H (xem phụ lục 3, làm số 37) Bài toán a) Chứng minh đồ thị hàm số y =  x2 nửa đường tròn Hãy vẽ đồ thị hàm số b) Cho phương trình :   x    mx  2m , với m tham số Biện luận theo m số nghiệm phương trình Em tìm hai cách giải khác Bảng số liệu thu (80 học sinh) Chiến lược S3 HH Chiến lược S3 GT Chiến lược S3 ĐS Đổi trục tọa độ Đặt ẩn số phụ Bình phương hai vế phương trình 70 36 Bảng số liệu cho thấy:  Có 70/80 học sinh áp dụng chiến lược S3 GT để biện luận số nghiệm phương trình Họ chọn cách đổi biến theo quan điểm giải tích để đại số hóa phương trình chứa bậc hai sau biện luận số nghiệm phương trình nhiều cách: - Dùng đạo hàm bảng biến thiên biện luận số nghiệm phương trình (xem phụ lục 3, làm số 49) - Dùng qui trình biện luận số nghiệm phương trình bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình (xem phụ lục 3, làm số 61)  Có 36/80 học sinh áp dụng chiến lược Chiến lược S3 ĐS để biện luận số nghiệm phương trình Tuy nhiên, họ thường gặp khó khăn hay thất bại dùng chiến lược Như vậy, họ thường áp dụng cách cách giải có sẳn sách giáo khoa để giải kiểu nhiệm vụ  Đặc biệt lời giải tốn khơng xuất chiến lược dùng cơng thức đổi trục để biện luận số nghiệm phương trình, tạo điều kiện tối ưu cho chiến lược ( chứng minh đường cong cho đường tròn vẽ đường tròn này) Điều cố thêm tồn giả thuyết H mà đưa KẾT LUẬN Qua việc phân tích chương trình tốn chỉnh lý hợp năm 2000 bậc trung học phổ thơng Việt Nam sách tốn giải tích 12 phân tích sâu kết thu từ chương nghiên thực nghiệm cho phép trả lời câu hỏi trọng tâm đặt từ đầu nghiên cứu luận văn  Về chương trình : Trong chương trình tốn chỉnh lý hơp năm 2000 bậc phổ thông trung học Việt Nam, đổi biến theo quan điểm hình học xuất lần lớp 10 với vai trò vẽ đồ thị hàm parabol tổng quát : y = ax2 + bx +c ( a  ) Người ta giới thiệu cách dùng công thức đổi trục để vẽ hàm bậc hai tổng quát mà không ý đến việc áp dụng để vẽ đồ thị hàm số khác Vai trò “biến mất” lớp 12, khơng có nội dung tập sách giáo khoa 12 đề cập đến vai trò Việc vẽ đồ thị tiến hành theo qui trình khảo sát hàm số, trình bày cách chi tiết sách giáo khoa Thay vào đổi biến theo quan điểm HH cịn đóng vai trị “ngầm ẩn” việc xác định tâm đối xứng đồ thị hàm đa thức bậc 3, hàm phân thức dạng y  ax  b cx  d ax2  cx  d hàm phân thức dạng y  Như vai trò đổi biến theo quan điểm HH kiểu a' x  b' nhiệm vụ vẽ đồ thị giải toán không khai thác Đổi biến theo quan điểm giải tích xuất lần đầu lớp 10 với vai trị đại số hóa phương trình bất phương trình chứa bậc hai Cũng vậy, xuất lớp 11 với vai trị đại số hóa phương trình lượng giác, đại số hóa phương trình, bất phương trình mũ logarit Riêng lớp 12, đổi biến theo quan điểm giải tích xuất hầu hết nội dung lý thuyết sách giáo khoa với vai trị: tìm đạo hàm hàm hợp, hổ trợ cho việc khảo sát hàm số, tìm nguyên hàm tính tích phân xác định Số lượng tập kèm kiểu nhiều vụ liên quan đổi biến theo quan điểm giải tích lớn so với số lượng tập kèm với kiểu nhiệm vụ liên quan đổi biến theo quan điểm hình học (như thống kê trên) Ở lớp 12 vai trò đổi biến theo quan điểm giải tích tỏ lấn át vai trị đổi biến theo quan điểm hình học thể chế day-học  Về giả thuyết qui tắc hợp đồng liên quan đến đổi biến theo quan điểm HH Phân tích sách giáo khoa chương trình chỉnh lý hợp năm 2000 liên quan đến đổi biến theo hai quan điểm GT HH nhận thấy : + Sách giáo khoa trình bày chi tiết kỹ thuật đổi biến theo quan điểm GT + Đổi biến theo quan điểm HH đóng vai trị cơng nghệ cho kiểu nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ vẽ đồ thị + Việc vẽ đồ thị hàm số trình bày chi tiết phần khảo sát hàm số chương trình giải tích 12 với nhiều ví dụ tập kèm với dạng đồ thị + Đổi biến theo quan điểm hình học vận dụng để vẽ đồ thị hàm số bậc tổng quát lớp 10 Các phân tích với kết nghiên cứu thực nghiệm cho phép khẳng định tồn hai giả thuyết:  Giả thuyết H : tồn hai qui tắc hợp đồng R1 R2 R1 Muốn vẽ đồ thị hàm số trước hết phải dùng đạo hàm để khảo sát hàm số R2 Học sinh có quyền thừa nhận điểm uốn (đối với hàm số dạng ax3 + bx² + cx + d) giao điểm hai đường tiệm cận (đối với hàm số dạng ax + bx + c ax + b hay ) tâm đối cx + d a ' x + b' xứng  Giả thuyết H : Phép đổi biến theo quan điểm HH không thực cơng cụ sẵn có học sinh giải toán thuộc kiểu nhiệm vụ T vđt , T pt , T dt  Về quan hệ cá nhân học sinh giáo viên hai quan điểm đổi biến Đối với HS, giải toán liên quan đến hai phép đổi biến, họ thường áp dụng phép đổi biến theo quan điểm GT trường hợp đổi biến theo quan điểm HH giúp cho việc giải toán dể dàng nhiều Đối với GV, họ có ý đến việc áp dụng đổi biến theo quan điểm HH để giải tốn tiện ích Tuy nhiên, theo họ vẩn khơng nên khuyến khích học sinh áp dụng kỹ thuật việc giải tốn họ cho kỹ thuật khó khơng tồn thể chế TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt ĐOÀN QUỲNH, VĂN NHƯ CƯƠNG & HOÀNG XUÂN SÍNH, Đại số tuyến tính Hình học (Tập 2) (1988) NXB Giáo dục, TP HCM LÊ THỊ HOÀI CHÂU (2004), Phương pháp dạy – học hình học NXB ĐHQG TP HCM, TP HCM ABESSOT C.COMITI (2000-2001) Hợp đồng didacticque, lý thuyết nhân chủng học, giảng lớp thạc sĩ Didacticque Toán, Đại Học Sư Phạm TP.HCM NGƠ THÚC LANH (1985), Đại số (Giáo trình sau đại học) NXB Giáo dục, TP HCM LÊ VĂN TIẾN (2000), Một số quan điểm khác giảng dạy giải tích trường PT Tạp chí Nghiên cứu giáo dục số 338 339 VŨ TUẤN-PHAN ĐỨC THÀNH-NGƠ XN SƠN (1981), Giải tích tốn học.(Sách Đại học sư phạm) NXB Giáo dục, TP HCM NGUYỄN THỊ NHU HÀ (2004), Máy Tính Bỏ Túi Trong Dạy-Học Tốn Luận văn Thạc Sĩ Khoa Học Đại học Sư phạm TP HCM, TP HCM NGÔ THÚC LANH (2000) chủ biên, Sách giáo khoa Giải tích 12 NXB Giáo dục, Hà Nội LÊ VĂN TIẾN (2005), Phương pháp dạy – học mơn tốn trường phổ thơng (Các tình dạy học điển hình).NXB ĐHQG TP HCM, TP HCM 10 NGUYỄN MỘNG HY (2000), Hình học cao cấp NXB Giáo dục, TP HCM 11 NIKOLSKI S M (1997) chủ biên, Từ điển bách khoa phổ thơng tốn học NXB Đại từ điển bách khoa Nga, Moskva (Bản dịch Hoàng Quý – Nguyễn Văn Ban – Hoàng Chúng – Trần Văn Hạo – Lê Thị Thiên Hương, NXB Giáo dục, Hà Nội – 2004) 12 HỒNG XN SÍNH-TRẦN PHƯƠNG DUNG (1999), Bài tập đại số tuyến tính NXBGD 13 Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 10, 11, 12 (2000) Bô giáo dục đào tạo 14 sách giáo khoa Tốn 10 (2005) chương trình phân ban NXBGD 15 sách giáo khoa Tốn 11 (2006) chương trình phân ban NXBGD 16 TRẦN VĂN HẠO (2000) chủ biên, Sách giáo khoa Đại số Giải tích 10 NXB Giáo dục, Hà Nội 17 TRẦN VĂN HẠO (2000) chủ biên, Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 NXB Giáo dục, Hà Nội 18 TRẦN VĂN HẠO (2000) chủ biên, Sách giáo khoa Đại số Giải tích 12 NXB Giáo dục, Hà Nội 19 VĂN NHƯ CƯƠNG (2000) chủ biên, Sách giáo khoa Hình học 12 NXB Giáo dục, Hà Nội Tiếng pháp 20 GASQUET S et CHUZEVILLE R (1994), Fenêtres sur courbes C.R.D.P de Grenoble,Grenoble, France 21 GUNTHER Martine (1997-1998), De l’utilite’ du changement d’origine PHỤ LỤC 1: BỘ CÂU HỎI ĐIỀU TRA GIÁO VIÊN PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN GIÁO VIÊN Kính thưa quý thầy cô Chúng tiến hành nghiên cứu nhỏ mà để hoàn thành xin tham khảo ý kiến quý thầy cô Xin quý thầy cô vui lòng trả lời câu hỏi sau (dấu tên) Phần I : Câu hỏi : Dưới toán nêu cho học sinh Đối với mổi bài, xin thầy/cơ nêu tóm tắt lời giải (hay lời giải) mà thầy/cô mong đợi học sinh Bài : Vẽ đồ thị hàm số y = x 1 Lời giải mà thầy cô mong đợi hoc sinh : ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Bài : Cho phương trình :   x    mx  2m , với m tham số Bằng hai cách khác nhau, em biện luận theo m số nghiệm phương trình cho Những lời giải mà thầy cô mong đợi học sinh : ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Bài : Cho đường cong (C) có phương trình : y =   x  12 với y0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục Ox Lời giải mà thầy/cô mong đợi học sinh: ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Phần II : Câu hỏi : Sau lời giải mà số học sinh lop 12 đưa cho tóan : Lời giải : y 2 x  1   1 y x  1  1 y   y  2   x  1 Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (Ox) : 2   x  1     x  1   x  1  2,x  1  2 1 Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm Ta có : S = Đặt x+1 = sin t  dx = cost dt x -1- Đổi cận -1+   Diện tích hình phẳng cần tìm :  t S    cos t cos t.dt  2   1  cos 2t dt    sin 2t  2    = t         2 2 2 Lời giải : Đặt y =Y, x = -1 +X (đvdt)  1 2   x  1 dx Hàm số cho trở thành : Y2 = 1- X2 X2   Y  (1) 2 (1) phương trình elip có dạng : x2 y2   , a = a2 b 2 b = Vì y  nên hình phẳng cho nửa phía trục hồnh elip có phương trình (1) Ta biết cơng thức tính diện tích hình elip : ab Suy ra, diện tích hình phẳng cần tìm : S =  ab   2 Đối với lời giải,Thầy cô đánh dấu x vao ô : điểm, hoàn toàn tán thành điểm, tán thành điểm, phân vân điểm, không tán thành điểm, hồn tồn khơng tán thành Xin thầy/cơ cho biết lý lựa chọn Thầy/Cô trường hợp điểm Lời giải Lời giải Lời giải điểm điểm điểm điểm Lý Câu hỏi : thầy/cơ có thường cho hoc sinh sử dụng công thức đổi trục hay khơng ? Nếu có để làm ? Nếu khơng ? Thường xun Để : ……………………………………………………………………………………… …… Ít Để : ……………………………………………………………………………………… …… Khơng Lý : ……………………………………………………………………………………… …… Câu hỏi : thầy /cơ có khuyến khích hoc sinh sử dụng phép đổi trục để vẽ đồ thị hàm số không ? xin thầy/cơ cho biết lý Có Khơng Lý : ……………………………………………………………………………………… PHỤ LỤC 2: BỘ CÂU HỎI DÀNH CHO HỌC SINH Trường trung học phổ thông : Họ tên : lớp : BÀI KIỂM TRA Bài toán Cho hàm số y = Vẽ đồ thị hàm số y = có đồ thị hình vẽ x x 1 Em cố gắng tìm nhiều cách khác tốt giải thích cách vẽ em Bài tốn Cho đường cong (C) có phương trình : y 2 x  1  = 1 với y0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục Ox Em cố gắng tìm nhiều cách giải khác tốt Bài toán a) Chứng minh đồ thị hàm số y =  x2 nửa đường tròn đơn vị phía trục Ox Hãy vẽ đồ thị hàm số b) Cho phương trình :   x    m  x   , với m tham số Hãy biện luận theo m số nghiệm phương trình cho hai cách khác ... hỏi :  Q’1 : Đổi biến đưa vào đâu chương trình tốn bậc trung học phổ thông Việt nam ? cách ? chúng đóng vai trị ?  Q’2 : Quan điểm - HH hay GT - ưu tiên thể chế dạy học bậc trung học phổ thông. .. thể qua nhiều nội dung dạy học, mà đổi biến nội dung Như thế, chúng tơi xác định chủ đề nghiên cứu : Đổi biến : quan hệ giải tích hình học dạy học tốn trường trung học phổ thơng • Bài tốn (trang... hai lời giải tốn có tác động phương pháp đổi biến Tuy nhiên, việc đổi biến lời giải đặt cách tiếp cận khác : toán thứ nhất, đổi biến tương ứng với phép đổi hệ tọa độ ; toán thứ hai, đổi biến tương