BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ***************************** Trần Thị Thu NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HOÁ NỬA CƯỠNG BỨC BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT VÀ CỦA PHƯƠNG TRÌNH TELEGRAPH PHI TUYẾN Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ HOÀN HOÁ Thành phố Hồ Chí Minh - 2007 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS.TS Lê Hoàn Hoá, khoa Toán – Tin Trường ĐH Sư Phạm Tp.HCM, người thầy giảng dạy hướng dẫn tận tình cho suốt trình học tập làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán – Tin Trường ĐH Sư Phạm Tp.HCM, thầy cô khoa Toán – Tin Trường ĐH Khoa học Tự nhiên Tp.HCM tham gia giảng dạy chúng tôi, thầy cô Phòng Khoa học công nghệ Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho suốt khoá học Tôi xin cảm ơn anh chị bạn lớp giúp vượt qua khó khăn trình học tập Đặc biệt, xin gửi lời tri ân đến thầy Nguyễn Thế Hùng Ban Giám hiệu trường Điện toán Ngoại ngữ CADASA, Ban Giám hiệu Công đoàn trường THPT Long Trường động viên tinh thần giúp đỡ cho hoàn thành khóa học MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Ngày nay, việc tìm hiểu trao đổi thông tin trở nên vô dễ dàng nhờ mạng Internet toàn cầu công cụ truyền thông đại Các công trình Toán học nói chung ngành Giải tích đại nói riêng nhà khoa học nghiên cứu phổ biến rộng rãi đường Với mục đích tìm hiểu tập làm quen với nghiên cứu khoa học đương đại, luận văn chọn đề tài vấn đề tính chất nghiệm bị chặn loại phương trình vi phân phi tuyến mà nhà toán học người Bỉ J Mawhin đề cập tài liệu tham khảo [20] Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu toán xét tồn nghiệm phương trình telegraph : utt + cut – uxx + h(u) = f(t,x) (1) u(t,.) thỏa điều kiện biên thích hợp đoạn compact R u (t , ) bị chặn R chuẩn thích hợp không gian hàm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán (1) dẫn đến việc nghiên cứu nghiệm bị chặn phương trình tiến hóa nửa tuyến tính – phương trình vi phân thường - không gian Hilbert dạng : u  c u  Au  g (t , u )  (2) u nhận giá trị không gian Hilbert H c>0 A : D(A)  H  H tự liên hợp, nửa xác định dương, có giải thức compac g: R x H  H, bị chặn thỏa điều kiện qui thích hợp Mặt khác, dạng phương trình vi phân tuyến tính (3)– trường hợp riêng phương trình (2): u  c u  Au  f (t ) (3) c > A phép đẳng cấu xác định dương, Ghidaglia Team xem xét [6] [14] Họ chứng minh tồn nghiệm phương trình (3) bị chặn R với chuẩn thích hợp Tính xác định dương A thỏa mãn trường hợp đặc biệt (1) u(t,.) thỏa điều kiện biên Dirichlet Trường hợp Neumann hay điều kiện biên tuần hoàn dẫn tới A xác định nửa dương trường hợp phức tạp Đây điều xem xét luận văn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Định lý chứng minh rằng, P ánh xạ chiếu vào ker A, phương trình (2) phân tán điều kiện nửa cưỡng ( g (t , u ), u )   Pu   ( I  P)u   cho (t,u)  R x H số dương  ,  ,  Định lý chứng tỏ từ phân tán phương trình (2) suy tồn nghiệm u cho u u bị chặn R với chuẩn thích hợp Các chứng minh Định lý Định lý đòi hỏi số kết bước đầu toán Cauchy phương trình (2) phương trình (3) , điều trình bày Chương Các Định lý dùng để chứng minh Định lý - điều kiện cần đủ để tồn nghiệm bị chặn phương trình (3) A xác định nửa dương Đối với phương trình telegraph (1) với điều kiện biên Neumann x, với  sup  f (t , x)dx   tR h( z ) h cho : h(  ) : zlim  h() : lim h( z ) tồn tại, z  tồn nghiệm u(t,x) thỏa  sup  u (t , x)  u x (t , x)  ut (t , x) dx   tR chứng minh Định lý 4, f thỏa điều kiện Landesman-Lazer có dạng: 1  1  h( )  AL   f (t , x) dx   AU   f (t , x) dx   h( )     AL AU tương ứng gía trị trung bình bé hay giá trị trung bình lớn hàm liên tục bị chặn Tineo giới thiệu [18] Một điều kiện tương tự giới thiệu phương trình vi phân thường cấp hai [15], [16] Kết thúc, luận văn trình bày vài ứng dụng cho phương trình đạo hàm riêng nêu số điều kiện bị chặn khác phương trình (1) nghiên cứu thêm Luận văn bao gồm: Chương 1, ghi lại kiến thức chuẩn bị Chương 2, trình bày tính chất nghiệm phương trình tiến hóa nửa cưỡng bậc hai ( phương trình (2) phương trình (3)) không gian Hilbert Chương 3, trình bày áp dụng lý thuyết chương vào việc nghiên cứu nghiệm bị chặn phương trình telegraph phi tuyến (phương trình (1)) Phần kết luận nêu lại kết đạt đặt vấn đề nghiên cứu toán trường hợp điều kiện thay đổi Với khả hạn hẹp, qua luận văn hy vọng phần vận dụng kiến thức Thầy Cô truyền đạt vào việc tìm hiểu tài liệu bước đầu làm quen với nghiên cứu toán học đương đại Rất mong nhận góp ý quí Thầy Cô anh chị Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Cho  tập khác rỗng Rn Với < p < : u:   R đo cho: ký hiệu Lp(  )chỉ p  u( x) dx   tập hàm số (1)  u = Lp(  ) có nghĩa u(x) = a.e  Mệnh đề : (i) < p <  , Lp(  ) không gian vectơ (ii)  p <  , Lp(  ) không gian Banach với chuẩn u L p ( )   p    u( x) dx    p Đặc biệt, p = 2, ta có L2(  ) không gian Hilbert tích vô hướng (u,v) =  u ( x)v( x)dx  Một hàm số u:   R đo  gọi bị chặn cốt yếu (essentially bounded)  :  K  R : /u(x)/  K a.e x     Đặt esssup/u(x)/ = inf K  : u ( x)  K , a.e.x   Ký hiệu L  (  ) tập hàm số u:   R bị chặn cốt yếu  Mệnh đề : L  (  ) không gian Banach chuẩn u L (  ) Cho u :   ess sup u ( x)  x R, ta định nghĩa giá u (support) tập hợp suppu = bao đóng tập {x   : u(x)  0} Rn - D(  ) không gian hàm số u :   R khả vi vô hạn có giá compact  - Xét đa số  = (  1,…,  n)  Rn, /  / =  + …+  n Với   C/  /(  ), ta ký hiệu : D  1         = D1 Dn     x1   x n 1 n n         x1  n n  - Hội tụ D(  ) Cho {  m}  D(  ) Ta nói  m hội tụ D(  ), ký hiệu  m  D(  ) nếu: (i)  tập K compact   : supp  m  K,  m (ii)    Nn, sup/D   m(x)/  m   D’(  ) không gian hàm phân bố  (distribution) hay hàm suy rộng, xác định D’(  ) = {T : D(  )  R/ T tuyến tính, liên tục} (tập phiếm hàm tuyến tính liên tục D(  )) (i ) T : D()  R tuyeán tính (ii)  m  D()  T( m )  Nói khác T  D’(  )   Chú y : Ta thường viết T(  m) = = T  m < , > cặp tích đối ngẫu D’(  ) D(  ) - Đẳng thức D’(  ) T1, T2  D’(  ), T1 = T2  =    D(  ) - Hội tụ D’(  ) Tm, T  D’(  ), ta nói Tm hội tụ T D’(  ) (hay hội tụ theo nghĩa phân bố), ký hiệu Tm  T D’(  )    D(  ),  m   - Chú ý : Cho f  L2(  ), ta liên kết f với phân bố Tf  : =  f ( x) ( x)dx Ta có kết quả:  D(  ) trù mật L2(  ) L2(  )  D’(  ) Anh xạ đồng từ L2(  ) vào D’(  ) gọi phép nhúng tắc từ L2(  ) vào D’(  ) phép nhúng liên tục, nghĩa : Nếu fm  f L2(  ), fm  f (Tfm  Tf) D’(  ) Đạo hàm theo nghĩa phân bố Cho T  D’(  ), ta định nghĩa T T T : D(  )  R < ,  > = - < T, >,    D(  ) xi xi xi Ta nghiệm lại T  D’(  ) (đạo hàm phân bố T theo biến xi) xi - Chú ý rằng, f hàm khả vi liên tục  , đạo hàm f (đạo hàm f xi theo nghĩa cổ điển) trùng với đạo hàm theo nghĩa phân bố - Tổng quát, T  D’(  ),   Nn đa số nguyên D  T : D(  )  R (đạo hàm cấp  T)   = (-1)/  /   T ) (D T= 1 x1 x n n  Như phân bố  có đạo hàm cấp theo nghĩa phân bố Ta nghiệm lại : Anh xạ T  D  T tuyến tính, liên tục từ D’(  ) vào D’(  ) theo nghĩa sau: Nếu T, Tm  D’(  ), Tm  T D’(  ) D  Tm  D  T D’(  ) Không gian Sobolev Cho v  L2(  ), ta đồng v với phân bố  ký hiệu v, ta xác định đạo hàm phân bố nó: bố  Tổng quát ta v ,  i  n mà phân xi v  L (  ) xi Định nghĩa Ta nói không gian Sobolev cấp  không gian H1(  ) = {v  L2(  ): v  L (  ),  i  n} xi Ta trang bị H1(  ) tích vô hướng n (u,v) H1(  ) =  (uv   i 1  u v )dx xi xi (*) Chuẩn sinh tích vô hướng tương ứng : v H ()  (v, v ) H1 () Định lý H1(  ) không gian Hilbert tích vố hướng (*) Không gian Sobolev Hm(  ) Định nghĩa m số nguyên  Ta gọi không gian Sobolev cấp m  không gian Hm(  ) = { v  L2(  ): D  v  L2(  ),/  /  m} Ta trang bị Hm(  ) tích vô hướng : (u,v) Hm(  ) = (u,v) m,  = D  u.D  vdx   m (**) ký hiệu chuẩn tương ứng v H m ()  v m ,  ( v, v ) m ,  Định lý Không gian Hm(  ) không gian Hilbert tách tích vô hướng (**) Chương II: NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA NỬA CƯỠNG BỨC BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính không gian Hilbert H có dạng: u  c u  Au  g (t , u )  (2) đó: c>0 A : D(A)  H  H ánh xa, nửa xác định dương, có giải thức compact g : R x H  H, bị chặn qui, thỏa điều kiện nửa cưỡng Vấn đề đặt Chương nghiên cứu xem phương trình (2) nói có tính chất tồn nghiệm bị chặn R hay có tính chất chất phân tán (dissipative) 2.1 Khái niệm tính chất nghiệm Cho A toán tử tuyến tính không bị chặn tự liên hợp không gian Hilbert H, cho với  0 g : R x H  H liên tục, Lipschitz liên tục theo biến u, nghĩa : g (t , x)  g (t , y )  L x  y (4) với L>0 với x,y  H, t  R g bị chặn, nghĩa : sup g (t , u )   ( t ,u )RxH Ở  chuẩn theo tích vô hướng (.,.) H Nếu n  dãy giá trị riêng tương ứng với vetơ riêng  n  , cho:  1  2   n  , lim n  , n  ta xét không gian H  (u , u )  BC ( R, V1 xH ) (13) Chứng minh Gọi un(t) nghiệm phương trình (2) với điều kiện đầu :  un(-n) = , u n(-n) = Do định nghĩa, tồn T,  >0 cho 2  un (t )  Pun (t )  un (t )   (14) với t  T – n Ta giả thiết, mà không làm tính tổng quát , có u0  V1 v0  H cho  un(0)  u0 yếu V1, u n (0)  v0 yếu H Gọi u(t) nghiệm (2) với điều kiện đầu:  u(0) = u0 , u (0) = v0 Áp dụng bổ đề ta có với t  R  un(t)  u(t) yếu V1, u n (t )   u (t ) yếu H Hơn theo (14) 2  u (t )  Pu (t )  u (t )   với t  R ta có (13) Chúng ta áp dụng Định lý để chứng minh tồn nghiệm bị chặn phương trình tuyến tính (3) u  c u  Au  f (t ) với f  BC(R , H), toán nghiên cứu [6] [14]  1>0 Trong trường hợp  1= cần phải có thêm giả thiết Ta xét hai trường hợp Định lý đây, chứng minh định lý cần áp dụng Bổ đề - kết Ortega [15] - phương trình vi phân tuyến tính bậc hai Bổ đề Cho p : R  R liên tục c  Khi phương trình y’’(t) + cy’(t) = p(t) (15) có nghiệm bị chặn p  BP(R , R ) Chứng minh Điều kiện cần: Cho y nghiệm bị chặn phương trình (15) (nghĩa y y’ bị chặn R ), đặt t P(t )   p( s)ds (16) Thì ta có y’(t) – y’(0) + c[y(t) – y(0)] = P(t) Vậy P bị chặn Điều kiện đủ: Cho p  BP(R, R ) xét phương trình u’ (t) + cu(t) = P(t) (17) với P định nghĩa (16) Theo kết [17], phương trình (17) có nghiệm bị chặn u Từ phương trình ta thấy u’ bị chặn P  C1 u  C1 thỏa phương trình (15) Định lý Nếu  > 0, tất nghiệm phương trình (3) bị chặn vô cực phương trình (3) có nghiệm u(t) thỏa  (u , u )  BC(R, V1 x H) Nếu  = 0, ta có kết tương tự (18) Pf  BP(R, ker A) Chứng minh Nếu  > 0, điều kiện (10) với P = cho g(t,u) = - f(t)  = 1,  = suptR f (t ) ,  =1 Áp dụng Định lý suy phương trình (3) dissipative Do đó, theo Định lý ta có đpcm Nếu  1=0, m = dimkerA, đặt ~ ~ H : span  m 1 ,  m  ,  phần bù trực giao ker A Toán tử thu hẹp A ~ A lên H  D( A)   xác định dương ta suy phương trình ~ u  c u  Au  ( I  P ) f (t ) ~ ~ ~ ~ có nghiệm bị chặn u (t ) thỏa  u , u   BC ( R, V x H )    ~ ~ ~ với V  V1  H ) với chuẩn  Mặt khác, theo Bổ đề 4, phương trình   u  c u  Pf (t ) (19) không gian hữu hạn chiều ker A có nghiệm bị chặn, ghi u0(t), ~ Pf  BP(R ,ker A) Như hàm u (t )  u0 (t )  u (t ) nghiệm phương   trình (3) thỏa (13) Hơn tất nghiệm phương trình u  c u  Au  bị chặn vô cực điều dẫn đến tất nghiệm (3) bị chặn vô cực Ngược lại, phương trình (3) có nghiệm bị chặn u(t), Pu(t) nghiệm bị chặn (19) Vì điều kiện (18) cần đủ để tồn nghiệm bị chặn phương trình (19), nên ta có (18) Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH TELEGRAPH PHI TUYẾN Ta sử dụng kết có Chương để nghiên cứu bị chặn nghiệm phương trình telegraph phi tuyến với điều kiện bị chặn Neumann utt + cut - uxx + h(u) = f(t,x) (t  R, x  (0,  )) (20) ux(t,0) = ux(t,  )=0, (t  R ) (21) Với: - c số thực dương - h : R  R Lipschitz liên tục - f : R x(0,  )  R hàm số không gian BC(R,L2(0,  )) Ta giả sử h bị chặn tồn giới hạn h    : lim h( z ) , h    : lim h( z ) z  z  (22) Lý thuyết Chương áp dụng trường hợp với H=L2(0,  ) toán tử Au= uxx định nghĩa : D(A) = {u  H2(0,  ): ux(0)=ux(  )=0} Toán tử A định nghĩa A u  u x có miền xác định không gian V1 = H1(0,  ) Do đó, nghiệm phương trình (20) – (21) hàm u(t,x) thỏa u  C(R ,H1(0,  ))  C1(R ,L2(0,  )) cho với w  H1(0,  ) ta có :      d2 d u t , x  w  x dx  c  u  t , x  w  x dx   u x  t , x  wx  x dx   h(u  t , x ) w  x dx   f  t , x  w  x dx Không   dt dt 0 0 gian ker A không gian hàm (0,  ), phép chiếu từ L2(0,  ) vào ker A cho công thức: Pu     u  x dx , (u  L2(0,  )) Khi hàm f(t,x) tuần hòan theo chu kỳ  theo t x, [13], [8] chứng minh phương trình (20) có nghiệm u(t,x) tuần hòan theo chu kỳ  theo t x điều kiện sau dạng Landesman – Lazer thỏa: h()   2  2 2 2   f  t, x dxdt  h() (23) 0 Để tìm điều kiện tương tự (23) để đảm bảo tồn nghiệm bị chặn tóan (20) – (21) f(t,x) bị chặn mà không cần tuần hoàn, đưa khái niệm giá trị trung bình nhỏ giá trị trung bình lớn hàm cho trước e  BP(R ,R ) + BC(R ,R) [15] t AL  e  : lim inf e  d r  t  s  r t  s  s t AU  e  : lim sup e  d r  t  s  r t  s  s hai giá trị hàm e(t) tuần hoàn Nếu e = e* + e** phân tích mà e*  BP(R ,R) e** BC(R,R), ta có (Theo [17]): inf e*  AL  e **  AL (e)  AU  e   AU  e **  sup e ** (24) Bổ đề kết Ortega Tineo [16] Bổ đề dùng chứng minh Định lý Bổ đề Cho e  BP(R, R ) + BC(R, R ) hàm cho trước    số thực Các mệnh đề sau tương đương: (i)   AL  e   AU  e    (ii) Tồn phân tích e = e* + e** với e*  BP(R ,R ) e**  BC(R ,R) (25)   inf e **  sup e **   Chứng minh Nếu có (ii) sử dụng (24) ta có (i) Ngược lại, có (i), đặt e = e1 + e2 với e1  BP(R, R) e2  BC(R, R) t đặt Ei (t )   ei (u )du , (i = 1,2) E(t) = E1(t) + E2(t) Nếu t1, t2  R , áp dụng định lý giá trị trung bình Lagrange cho E – E1 ta có E  t1   E  t2   b  a t1  t2 với b = E1 L a = E2 L Lấy  > cho     AL  e   2  AU  e   2   , T > cho t e  u du  AL  e        , inf t sr t  s  s t sup  e  u du  AU  e        t sr t  s s (26) với r  T Khi ta có, với t  R , (27) a   T Đặt e**(t) = T t T  e  u du     t t T  e(u)du , e*(t)=e(t) – e**(t), t ta thấy e**(t)  BC(R ,R ) ta có (25) Để chứng minh e*  BP(R ,R ), đặt E *(t )  E (t )  T (E*)’(t) = e(t) - t T  E  u du t [E(t+T) – E(t)] T  e(t )  T t T  e  u du  e(t) – e**(t)= e*(t) t E* nguyên hàm e* Bây E*(t) = E(t) – E(  ) với   t , t  T  đó, sử dụng (26) ta E *(t )  b  a t    b  aT với t  R ,điều cho thấy e*  BP(R ,R ) Định lý Nếu h()  AL (    f (t, x)dx)  A U (    f (t, x)dx)  h() (28) phương trình (20) – (21) dissipative có nghiệm u(t,x) cho  sup  u (t , x)2  ux (t , x)2  ut (t , x)2  dx   tR (29) Chứng minh Vì ker A không gian chiều, nên ta dùng Bổ đề để thấy Pf có phân tích dạng Pf = f* + f**, với f*, f**  BC(R, ker A) cho f*  BP(R ,ker A) f **(t )  sup f **(t )  h() h( )  inf tR tR với t (30)  R Do ta viết f = f* + f** + (I – P)f, theo Định lý 3, tồn nghiệm bị chặn   t  phương trình   u  c u  Au  f *(t )  ( I  P) f (t ) Đổi biến u = z +   t  tóan (20) – (21) trở thành:   z  c z  A z  h( z ,  (t ))  f **(t ) (31) Mặt khác, theo (22) (30) tồn hai số dương a b cho Z(h(z) – f**(t) )  a/z/ - b với z  R suy với u  L2(0,  ) (u, h(u )  f **(t )) L2 (0, )  a   I  P  u L2 (0, )   b Vì giả thiết  , h f** bị chặn, nên suy (10) Theo Định lý ta có phương trình (31) phân tán theo Định lý phương trình(31) có nghiệm z(t) bị chặn toàn trục Như rõ ràng u(t) =  (t) +z(t) nghiệm (20) bị chặn toàn trục số MỘT SỐ NHẬN XÉT Nhận xét Điều kiện (28) điều kiện cần cho tồn nghiệm bị chặn h thỏa h(-  )< h(z) < h(+  ) với z  R , đặc tính phân tán phương trình (20) – (21) cho lớp toán Sau vài ví dụ [20] minh họa cho kết đạt Ví dụ Phương trình utt - cut – uxx + arctan u = (  arctan t + sint2)(1 + 7cos7x) với điều kiện biên Neumann (21) phân tán có nghiệm bị chặn (32) / / < Để chứng minh điều này, cần ý sint2 hàm Fresnel bị chặn toàn trục; giá trị trung bình lớn nhỏ sint2 Mặt khác giá trị trung bình nhỏ lớn arctant    Do điều kiện (28) trở thành điều kiện (32) ta áp dụng Định lý Nhận xét Ví dụ Phương trình  utt+cut–uxx+ sin[(4m+1)arctanu]=(  arctant+sint2)(1+cos7x) với điều kiện biên Neumann (21) m số nguyên  phân tán có nghiệm bị chặn điều kiện (32) thỏa Nhận xét Các kết tương tự nhận phương trình telegraph (20) với điều kiện bị chặn tuần hòan theo x [0,  ] u(t,0) = u(t,2  ), ux(t,0) = ux (t,2  ), (t  R ) (33) phương trình damped beam utt + cut + uxxxx + h(x) = f(t,x) (34) với điều kiện bị chặn tuần hòan theo x [0,2  ] u(t,0) = u(t,2  ), ux(t,0) = ux(t,2  ) uxx(t,0) = uxx(t,2  ), uxxx(t,0) = uxxx(t,2  ), (t  R ) Nhận xét Các giả thiết định lý đòi hỏi h(-  ) < h(+  ) ta đặt vấn đề tồn định lý trường hợp h(-  ) = h(+  ) (chẳng hạn h(u) = u ) Trong [14] 1 u2 ta có phương pháp riêng – phương pháp nghiệm yếu lớn nhỏ – cho nghiệm bị chặn u  L  (R x T), phương trình utt + cut – uxx = F(t,x,u) thỏa điều kiện biên tuần hòan theo x [0,2  ], F (t , x, u )  F (t , x, v) c2  với u  v uv Ta có kết : Nếu h Lipschitz với số c2 L (35) tồn R > cho h(u)u  /u/  R, tóan (20) – (33) có nghiệm u  L  (R x T) với f  BC(R x T, R ) cho 2 2  f (t , x)dx  BP( R, R) Chứng minh cách đổi biến u =  + v, với  nghiệm bị chặn tóan utt + cut – uxx = f(t,x) nghiệm tuần hòan chu kỳ  theo x (nó tồn theo phần Định lý thuộc  L  (R x T) theo Định lý Sobolev), nghiệm phương trình tương đương (theo điều kiện (36)) vtt + cvt – vxx + h(  (t,x) + v)= R* > đủ lớn , -R* nghiệm nhỏ R* nghiệm lớn Ta có tóan mở cần nghiên cứu trường hợp điều kiện (35) KẾT LUẬN Như luận văn trình bày số điều kiện để phương trình telegraph phi tuyến điều kiện Neumann ( điều kiện bị chặn) utt + cut – uxx + h(u) = f(t,x) có nghiệm bị chặn Nếu điều kiện loại Landesman – Lazer (23) thỏa cho f f(t,x) tuần hoàn theo chu kỳ  theo t x nghiệm phương trình telegraph phi tuyến bị chặn R Còn f(t,x) không tuần hoàn điều kiện Landesman – Lazer (23) thay điều kiện “yếu hơn” điều kiện Landesman – Lazer (28) h()  AL (    f (t , x)dx AU (    f (t , x)dx h() Mặc dù giải số vấn đề đặt ra, chẳng hạn trường hợp h(-  )= h(+  ) h(-  ) > h(+  ) điều kiện thay đổi TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đậu Thế Cấp (2003), Giải tích hàm, NXB Giáo dục Lê Hoàn Hoá, Giáo trình cao học giải tích phi tuyến Nguyễn Thành Long, Giáo trình cao học giải tích số Tiếng Anh Alonso J.M., Mawhin J And Ortega R., Bounded solutions of second order semilinear evolution equations and applications to the telegraph equation, J Math Pures Appl 78 (1999), 49 – 63 Alonso J.M And Ortega R., Global asymptotic stability of a forced Newtonian system with dissipation, J Math Anal Appl, 196 (1995), 965 – 986 Babin A.V And Vishik M.I., Attractors of evolution equations, North-Holland, Amsterdam 1992 Coppel W.A., Stability and asymptotic behavior of differential equations, Heath, Boston 1967 Fucik S And Mawhin J., Generalized periodic solutions of nonlinear telegraph equations, Nonlinear Anal 2(1978), 609-617 Ghidaglia J.M And Temam R., Attractors for damped nonlinear hyperbolic equations, J.Math Pure Appl 66 (1987), 273-319 10 Hale J.K., Asymptotic behavior of dissipative system, Mathematical Surveys and Monographs, Provindence 1988 11 Haraux A., Systèmex dynamiques dissipatifs et applications, Masson, Paris 1991 12 Ladyzhenskaya O., Atractors for semigroups and evolution equations, Lezioni Lincee, Cambridge University Press, Cambridge 1991 13 Mawhin J., Periodic solutions of nonlinear telegraph equations, in:”Dynamical systems” (Eds Bednarek and Cesari), Academic Press, New York 1977, 193-210 14 Mawhin J., ORTEGA R., ROBLES-PÉREZA., A maximum principle for bounded solutions of the telegraph equations and applications to nonlinear forcing, J Math Anal Appl 251 (2000) 695-709 15 Ortega R., A boundedness result of Landesman-Lazer type, Differentical and Intergral Equation (1945) 729-743 16 Ortega R And Tineo A., Resmanee and non-resmanee in a problem of boundedness, Proc Amer Math Soc 124(1996) 17 Temam R., Infinite demensional dynamical sestems in mechanics and physics, Springer-Verlag, New York 1988 18 Tineo A., An interactive scheme for periodic solutions of ordinary differential equations, J Differential Equations 116 (1995) 1-15 19 Vishik M.I., Asymptotic behavir of solutions of evolutionary equations, Lezioni Lincee, Cambridge University Press, Cambridge 1992 20 J Mawhin, Bounded solution of second order semicoercive evolution equations in a Hilbert space and of nonlinear telegraph equations, Vol 58, 3(2000) Partial Diff Operator [...]... nếu phương trình (3) có một nghiệm bị chặn u(t), thì Pu(t) là một nghiệm bị chặn của (19) Vì điều kiện (18) là cần và đủ để tồn tại một nghiệm bị chặn của phương trình (19), nên ta có (18) Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH TELEGRAPH PHI TUYẾN Ta sẽ sử dụng các kết quả đã có ở Chương 2 để nghiên cứu sự bị chặn của các nghiệm của phương trình telegraph phi tuyến với các điều kiện bị chặn Neumann utt + cut - uxx... nghĩa trong (16) Theo một kết quả trong [17], phương trình (17) có một nghiệm bị chặn duy nhất u Từ phương trình này ta cũng thấy ngay rằng u’ bị chặn khi P  C1 và u  C1 và thỏa phương trình (15) Định lý 3 Nếu  1 > 0, thì tất cả các nghiệm của phương trình (3) bị chặn ở vô cực và phương trình (3) có một nghiệm u(t) thỏa  (u , u )  BC(R, V1 x H) Nếu  1 = 0, ta sẽ có kết quả tương tự nếu và chỉ... theo Bổ đề 4, phương trình   u  c u  Pf (t ) (19) trong không gian hữu hạn chiều ker A có một nghiệm bị chặn, ghi là u0(t), nếu và chỉ ~ nếu Pf  BP(R ,ker A) Như vậy hàm u (t )  u0 (t )  u (t ) là một nghiệm của phương   trình (3) và thỏa (13) Hơn nữa tất cả các nghiệm của phương trình u  c u  Au  0 là bị chặn ở vô cực và điều đó dẫn đến tất cả các nghiệm của (3) cũng bị chặn ở vô cực... khoảng bị chặn trong R , t0  J, u0  V1 và v0  H Vẫn giả sử rằng A : D(A)  H  H là ánh xạ, nửa xác định dương, có giải thức compact g : R x H  H, bị chặn và chính qui, thỏa điều kiện nửa cưỡng bức nào đó Với các điều kiện này, phương trình (9) cho một nghiệm duy nhất trong J (xem [17]) Bổ đề 3 sẽ cho thấy sự liên tục của nghiệm này trong tôpô yếu Bổ đề 3 Cho u(t) là nghiệm của phương trình (9) và. .. p : R  R liên tục và c  0 Khi đó phương trình y’’(t) + cy’(t) = p(t) (15) có một nghiệm bị chặn khi và chỉ khi p  BP(R , R ) Chứng minh Điều kiện cần: Cho y là một nghiệm bị chặn của phương trình (15) (nghĩa là y và y’ bị chặn trên R ), và đặt t P(t )   p( s)ds (16) 0 Thì ta có y’(t) – y’(0) + c[y(t) – y(0)] = P(t) Vậy P bị chặn Điều kiện đủ: Cho p  BP(R, R ) và xét phương trình u’ (t) + cu(t)... một nghiệm bị chặn của phương trình tuyến tính (3) u  c u  Au  f (t ) với f  BC(R , H), bài toán này được nghiên cứu trong [6] và [14] khi  1>0 Trong trường hợp  1= 0 thì cần phải có thêm giả thiết Ta sẽ xét cả hai trường hợp này trong Định lý 3 dưới đây, chứng minh của định lý này cần áp dụng Bổ đề 4 - một kết quả của Ortega trong [15] - đối với các phương trình vi phân tuyến tính bậc hai Bổ... h và f** bị chặn, nên suy ra (10) Theo Định lý 1 ta có phương trình (31) phân tán và theo Định lý 2 thì phương trình( 31) có một nghiệm z(t) bị chặn trên toàn trục Như vậy rõ ràng u(t) =  (t) +z(t) là một nghiệm của (20) bị chặn trên toàn trục số MỘT SỐ NHẬN XÉT Nhận xét 1 Điều kiện (28) cũng là điều kiện cần cho sự tồn tại của một nghiệm bị chặn khi h thỏa h (-  )< h(z) < h(+  ) với mọi z  R , và. .. Bài toán Cauchy Phần này nhắc lại kết quả về tính chất nghiệm của phương trình (2) được nêu trong [20] Với các giả thiết A là một toán tử tuyến tính không bị chặn tự liên hợp trong một không gian Hilbert H, sao cho với mỗi 