BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH ĐINH NGUYỄN ANH TRUNG NỬA NHÓM TIẾN HÓA FREDHOLM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS.TS LÊ HOÀN HÓA TP HỒ CHÍ MINH - 2009 MỞ ĐẦU Trong luận văn ta trình bày dạng tổng quát định lý Fedholm vô hạn chiều cho phương trình vi phân đặt tốt (Gu )(t ) := −u ' (t ) + A (t ) u (t ) = f (t ) , t ∈ (*) không gian Banach X Các kết chương 1, 2, phần chứng minh điều kiện cần định lý I chương lấy [7], phần chứng minh điều kiện đủ định lý I lấy [8] Kết chính, định lý lưỡng phân I, mô tả đặc trưng tính Fredholm (closure of the) toán tử G Lp ( , X ) xác định số Fredholm dựa theo thành phần phép lưỡng phân mũ nửa đường thẳng họ tiến hóa nghiệm (*) Các toán tử tuyến tính A ( t ) , t ∈ không bị chặn X , ta yêu cầu toán gốc (***) tương ứng đặt tốt (theo nghĩa yếu) Ta chuyển toán việc khảo sát toán tử dịch chuyển không gian dãy có giá trị X đưa chứng minh lý thuyết toán tử cho định lý I dựa dạng rời rạc phương pháp “input-output” từ lý thuyết phương trình vi phân Với trường hợp hữu hạn chiều X =  d , dạng định lý lưỡng phân thiết lập nhiều báo Ở A ( t ) ma trận G=− ( ) d + A (.) định nghĩa không gian Sobolev W 1, p , d dt Trong trường hợp G Fredholm họ tiến hóa {U (t,τ )} t ≥τ nghiệm toán (*) có phép lưỡng phân mũ  −  + Tuy nhiên áp dụng vào phương trình đạo hàm riêng đòi hỏi dạng vô hạn chiều định lý lưỡng phân với toán tử A ( t ) không bị chặn Các nghiên cứu theo hướng thực [2], [8], [9], … Ta nhấn mạnh chứng minh cho dạng hữu hạn vô hạn chiều định lý lưỡng phân khác nhiều khó khăn nảy sinh trường hợp vô hạn chiều trình bày phần [8] Vài tác giả nghiên cứu tính Fredholm toán tử G vấn đề liên quan trường hợp vô hạn chiều đặc biệt Trong [12] dạng phương trình vi phân (*) khôn gian Banach X có tính chất UMD nghiên cứu, miền xác định chung toán tử A ( t ) nhúng compact vào X A ( t ) → A± t → ±∞ Giả sử phổ A± không giao i , ta chứng minh G Fredholm Lp ( , X ) với p ∈(1,∞ ) , số tính theo thành phần the spectral flow A (.) Trong [7] định lý dạng thiết lập cho toán parabolic đặt tốt tổng quát Hướng tiếp cận sau xuất phát từ việc nghiên cứu chi tiết tính quy cực đại nghiệm phương trình vi phân không Trường hợp toán tử A ( t ) bị chặn xem xét [1] mối liên kết với áp dụng cho lý thuyết Morse vô hạn chiều Trong [11] [13], điều kiện cần đủ cho tính Fredholm toán tử G thiết lập cho lớp phương trình vi phân vô hạn chiều có tính chất backward uniqueness (được giới thiệu đây) Công việc có liên hệ với nghiên cứu chi tiết sóng lan truyền với toán elliptic hình trụ Trong hướng nghiên cứu khác, ta bắt đầu với họ tiến hóa tổng quát U ( t, τ ) , t ≥ τ xây dựng toán tử G Lp ( , X ) mô tả Không có điều kiện thu hẹp tính quy hay dáng tiệm cận A (.) Nếu (***) đặt tốt theo nghĩa cổ điển G bao G = − d + A (.) Trong [3] tác giả giả sử thêm trước dt U ( t, τ ) có phép lưỡng phân mũ đường thẳng Khi “toán tử nút” giới thiệu chứng minh G toán tử nút Fredholm đồng thời với số Mặt khác, tác giả [8] yêu cầu X phản xạ đòi hỏi tính chất backward uniqueness cho họ tiến hóa, với giả thiết này, họ mô tả đặc trưng tính Fredholm G ta làm Trong luận văn ta loại bỏ giả thiết thêm thiết lập định lý sau Định lý I Giả sử A = {U ( t, τ ) :t ≥ τ ;t, τ ∈} họ tiến hóa bị chặn mũ, liên tục mạnh không gian Banach X G toán tử sinh nửa nhóm tiến hóa liên kết định nghĩa ε (  ) = Lp ( , X ) , p ∈[1,∞ ) ε (  ) = C0 ( , X ) Khi toán tử G Fredholm tồn số thực a ≤ b cho hai điều kiện sau thỏa: (i) Họ tiến hóa A có phép lưỡng phân mũ với họ phép chiếu {P } − t t ≤a { } Pt + t ≥b ( −∞,a ] [ b,∞ ) tương ứng (ii) Toán tử nút N ( b,a ) từ ker Pa− vào ker Pb+ định nghĩa ( ) công thức N ( b,a ) = I − Pb+ U ( b,a ) ker Pa− Fredholm Thêm nửa, G Fredholm dim ker G = dim ker N ( b,a ) , ta có đẳng codim imG = codim imN ( b,a ) thức indG = indN ( b,a ) Đặc biệt tính chất Fredholm G không phụ thuộc vào cách chọn không gian hàm ε (  ) Nửa nhóm tiến hóa T = {T ( t )}t ≥0 đề cập định lý I định nghĩa Lp ( , X ) , p ∈[1,∞ ) C0 ( , X ) công thức (T (t ) f )(τ ) = U (τ ,τ − t ) f (τ − t ) , τ ∈, t ≥ ; xem [4] Đó nhóm liên tục mạnh ta ký hiệu toán tử sinh G Toán tử G mô tả thành phần nghiệm yếu phương trình tiến hóa không bổ đề sau, xem [4, proposition 4.32] Bổ đề II Một hàm u thuộc miền xác định domG toán tử G p ∈[1,∞ ) Lp ( , X ) , tương ứng C0 ( , X ) , u ∈Lp ( , X ) ∩ C0 ( , X ) tương ứng u ∈C0 ( , X ) , tồn hàm số f ∈Lp ( , X ) tương ứng f ∈C0 ( , X ) , u ( t ) = U ( t, τ ) u (τ ) − ∫ U ( t, σ ) f (σ ) d σ t τ cho thỏa: với t ≥ τ  (**) Nếu (**) thỏa Gu = f Bây ta xem xét thử trường hợp phương trình vi phân u ' (t ) = A (t ) u (t ) , t ≥ τ , u (τ ) = x ∈dom ( A (τ )) , (***) đặt tốt theo nghĩa cổ điển , nghĩa toán tử A ( t ) định nghĩa trù mật có họ tiến hóa A cho U ( t, τ ) dom ( A (τ )) ⊆ dom ( A ( t )) với t ≥ τ u ( t ) = U ( t, τ ) x nghiệm C (***) Thì G bao toán tử G = − d + A (.) Lp ( , X ) , p ∈[1,∞ ) tương ứng dt C0 ( , X ) với miền xác định: { } domG = u ∈W 1, p ( , X ) :u ( t ) ∈domA ( t ) , a.e., A (.) u (.) ∈Lp ( , X ) ứng tương {u ∈C ( , X ) :u (t ) ∈domA (t ), for t ∈; u (.), A (.) u (.) ∈C ( , X )} ' 0 , W 1, p ( , X ) , p ∈[1,∞ ) không gian Sobolev thông thường, xem [4,theorem3.12] Tuy nhiên ta biết giả định toán tử A ( t ) nhằm vào tính đặt tốt theo ý nghĩa điều kiện cần thiết, xem khảo sát [14] Cho nên ta giả sử tồn họ tiến hóa A mà không cần điều kiện toán tử A ( t ) Định lý I [8, thoerem1.1] với giả thiết thêm X phản xạ A có tính chất backward uniqueness (BU) (BU.1): u ∈C0 ( , X ) , u ( t ) = U ( t, τ ) u (τ ) với t ≥ τ  , u (τ ) = với τ ∈ u = ( (BU.2): v ∈Cbw,* , X * ) , v (τ ) = U ( t, τ ) v ( t ) với t ≥ τ *  , v (τ ) = với τ ∈ v = Ta làm rõ tính chất không cho họ tiến hóa nghiệm phương trình đạo hàm riêng parabolic Vài điều kiện đủ cho (BU) biết đến cho lớp phương trình đạo hàm riêng đặc biệt Tuy nhiên trường hợp tổng quát khó để kiểm tra (BU) Trong phần ta hai ví dụ mà G fredholm mà (BU) sai Chứng minh ta A thỏa tính chất backward uniqueness (BU) chọn a = b = định lý I, xem mệnh đề 4.7 Sử dụng phương pháp sai phân, kết chứng minh [8, theorem 1.2] cho trường hợp X phản xạ Như ví dụ 4.9, định lý I, trường hợp a = b = sai bỏ qua điều kiện (BU) Chứng minh phần “nếu” định lý I đưa [8] mà không cần giả thiết tính phản xạ tính chất backward uniqueness Phần luận văn loại bỏ giả thiết chứng minh phần “chỉ nếu” Không có giả thiết toán trở nên rộng lớn phức tạp, phương pháp sử dụng luận văn khác so với [8] Ta sử dụng cách tiếp cận Daletskii Krein [5], Levitan Zhikov [10], mà gọi “input-output method” Trong [5] kỹ thuật dùng để mô tả đặc trưng tính ổn định mũ họ tiến hóa A Ý tưởng để giải phương trình Gu = f  + cho hàm dạng f ( t ) = ϕ ' ( t )U ( t, s ) x (ở ϕ hàm vô hướng thích hợp) Với hàm f này, sử dụng dạng bổ đề I, thấy u ( t ) = −ϕ ( t )U ( t, s ) x Nếu G khả nghịch  + suy ước lượng mũ cần thiết từ tính bị chặn G −1 Một biến thể của khảo sát không gian ổn định không ổn định A yield a time tùy thuộc vào phép phân hoạch X G khả nghịch  , dẫn đến mô tả đặc trưng phép lưỡng phân mũ  cho [10] Ta làm rõ phương pháp “input-output” khác cách tiếp cận sử dụng [2] [4], công cụ cho việc xây dựng phép lưỡng phân mũ  phép chiếu Riesz nhóm sinh G Trong luận văn ta tập trung xử lý tính Fredholm toán tử G Và đạt phép lưỡng phân mũ A (có thể rời nhau) dòng ( −∞,a ] , [ b,∞ ) , xem ví dụ 4.9 Cho nên ta phải nắm hình dáng U ( t, s ) a, b đoạn Để đạt điều trước tiên ta chia nhỏ toán (xem chương 1) Trong chương ta xử lý không gian ổn định  + không ổn định  − Những không gian tương đối dễ giải chúng tìm hiểu chi tiết thành phần A , xem (2.1) (2.2) Khó khăn cấu trúc phần bù không gian Ở ta cần vài phép phân hoạch X cho bổ đề 2.6 Trong chương ta xây dựng phép lưỡng phân [ b,∞ ) ( −∞,a ] cách di truyền “vết” ker co-ker G điểm a b (bổ đề 3.2 bổ đề 3.7) Trong chương ta làm việc với toán tử “nút” để điều kiện (ii) định lý I, công thức cho số khuyết Cũng chương ta mô tả backward uniqueness property theo thành phần vết ker G coker G ta có a = b = định lý I tính chất backward uniqueness đúng, xem mệnh đề 4.7 Chương1: KÝ HIỆU, ĐỊNH NGHĨA, KẾT QUẢ SƠ LƯỢC Ta đặt  + = {t ∈ :t ≥ 0} ,  − = {t ∈ :t ≤ 0} ,  + = {n ∈ : n ≥ 0} ,  − = {n ∈ : n ≤ 0} , ta dùng a để ký hiệu số thực n, m, j, k để ký hiệu số nguyên Ta viết c chung cho số (dương), A* , domA, ker A, imA liên hợp, miền xác định, hạt nhân, ảnh toán tử A không gian Banach X với không gian đối ngẫu X * AY hạn chế A không gian Y X Tập hợp toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Banach X vào không gian Banach Y ký hiệu B ( X,Y ) ; B ( X, X ) =: B ( X ) Với không gian Y* ⊂ X * ta đặt Y*⊥ = { x ∈X : x, ξ = : ∀ξ ∈Y* } Nếu P, Q phép chiếu liên tục X X = imP ⊕ ker P = imQ ⊕ kerQ , ⊕ phép phân hoạch không gian Banach thành không gian đóng với phần giao rỗng Với phép phân hoạch này, A ∈B ( X ) biển diễn qua ma trận cấp 2: ⎡ PAQ PA(I − Q) A=⎢ ⎢⎣ (I − P)AQ (I − P)A(I − Q) ⎤ ⎥ ⎥⎦ C0 ( , X ) không gian hàm liên tục f :  → X triệt tiêu ±∞ ; ( ) Cbw,* , X * không gian hàm liên tục yếu bị chặn f :  → X * , Lp ( , X ) không gian ( lớp tương đương) hàm p-khả tích Bochner f :  → X với p ∈[1;∞ ) Ta ký hiệu χ M hàm đặc trưng tập M Nếu (ϕ k )k∈ dãy số x ∈X ϕ ⊗ x ký hiệu dãy phần tử lấy giá trị X : (ϕ k x )k∈ 10 Định nghĩa Fredholm operator Cho X Y không gian Banach Một toán tử tuyến tính bị chặn T : X → Y gọi toán tử Fredholm (i) dim kerT < ∞ (ii) imT đóng (iii) dim cokerT < ∞ (nhắc lại cokerT ≡ Y imT ) Nếu T toán tử Fredholm số T số nguyên indT = dim kerT − dim cokerT Một họ tiến hóa A = U ( t, τ )t ≥τ tập J ⊂  họ toán tử U ( t, τ ) ∈B ( X ); t ≥ τ ; t, τ ∈J , thỏa: U ( t, τ )U (τ , σ ) = U ( t, σ ) với t ≥ τ ≥ σ t, τ , σ ∈J Nó gọi liên tục mạnh ánh xạ ( t, τ )  U ( t, τ ) x liên tục với x ∈X t ≥ τ J Nếu U ( t, τ ) ≤ Mew(t −τ ) với số M ≥ , w ∈ t ≥ τ J, A bị chặn mũ Định nghĩa ED Một họ tiến hóa A có phép lưỡng phân mũ J ⊂  tồn họ không gian đóng { X (t )} s t∈J { X (t )} u t∈J X cho: (i ) X = X (t ) ⊕ X (t ) s j u với t ∈J U ( t, τ ) X s (τ ) ⊆ X s ( t ) , U ( t, τ ) Xu (τ ) ⊆ Xu ( t ) với t ≥ τ J; (ii ) U (t,τ ) ( ) khả nghịch từ X (τ ) vào X (t ) với t ≥ τ (iii ) Có số N,v > cho Xu τ j u u J; j U ( t, τ ) Xs (τ ) ≤ Ne − v( t − τ ) với t ≥ τ J , (U (t,τ ) ) Xu (τ ) −1 ≤ Ne− v(t −τ ) 11 Ta ký hiệu Pt phép chiếu vào X s ( t ) song song với Xu ( t ) Nếu J = [ b;∞ ) J =  ∩ [ b;∞ ) ta viết X s,+ u ( t ) Pt + tương ứng cho không gian lưỡng phân phép chiếu lưỡng phân; J = ( −∞;a ] J = Z ∩ ( −∞;a ] ta viết X s,− u ( t ) Pt − tương ứng cho không gian lưỡng phân phép chiếu lưỡng phân Nếu A liên tục mạnh bị chặn mũ ( ) ( ) khoảng không bị chặn J i j − iii j thỏa hàm t  Pt liên tục mạnh bị chặn J Để chứng minh định lý I, ta thay toán tử G phát biểu định lý I toán tử sai phân D định nghĩa biểu thức D ( xn )n∈ = ( xn − U ( n,n − 1) xn−1 )n∈ (1.1) Toán tử D tác động không gian dãy ε (  ) , ε (  ) = l p ( , X ) ε (  ) = Lp ( , X ) , p ∈[1;∞ ) ε (  ) = co ( , X ) ε (  ) = Co ( , X ) Với c0 (, X) không gian hàm f :  → X thỏa f ( z ) → z → ±∞ Sự thay thỏa mãn theo định lý 4.2 bổ đề 4.3 sau Những kết nói A có phép lưỡng phân mũ  ± có phép lưỡng phân mũ  ± imG đóng imD đóng, dim ker G = dim ker D , codim imG = codim imD Đặc biệt toán tử G Fredholm D Fredholm, indG = indD Ta tập trung ý vào chứng minh điều kiện cần định lý I, nên suốt chương 1-3 ta giả sử D toán tử Fredholm Sau ta xét vài tính chất không gian sau: { = {ξ ∈X : ∃(ξ ) Xn = x ∈X : ∃( xk )k∈ ∈ker D : cho x = xn Xn,* * k k∈ ∈ker D* : cho ξ = ξn với n ∈ Bằng tính toán đơn giản ta có ( } D* (ξn )n∈ = ξn − U ( n + 1,n ) ξn+1 * ) n∈ , (1.2) } (1.3) 44 ker Pt + = Xu ( t ) cho ta phép phân hoạch cần có Chứng minh cho phần bổ đề suy trực tiếp  Kết đặc trưng cho toán tử Fredholm, dùng để chứng minh tính Fredholm toán tử D Bổ đề 4.4 Giả sử toán tử tuyến tính bị chặn A tác động tổng trực tiếp X1 ⊕ X2 không gian Banach có ma trận biểu diễn sau: ⎛ A11 A=⎜ ⎜⎝ A21 ⎞ ⎟ với A11 ∈L ( X1 ) , A21 ∈L ( X1 , X2 ) , A22 ∈L ( X2 ) A22 ⎟⎠ (4.2) Thì A Fredholm khẳng định sau đúng: (i) imA11 đóng codim imA11 < ∞ ; (ii) imA22 đóng dim ker A22 < ∞ : (iii) Nếu L1 = { x ∈X1 : x ∈ker A11 and A21 x ∈imA22 } dim L1 hữu hạn; (iv) Nếu L2 = imA22 + A21 ( ker A11 ) codim L2 X2 hữu hạn Nếu (i)-(iv) thỏa dim ker A = dim ker A22 + dim L1 codim imA = codim imA11 + codim L2 Bây ta đưa chứng minh cho định lý I Chứng minh định lý I Điều kiện đủ Giả sử (i) (ii) định lý I thỏa Ta phải chứng minh G toán tử Fredholm Theo định lý 4.2 ta cần chứng minh tính Fredholm cho toán tử D Ta đưa chứng minh cho trường hợp l p , trường hợp c0 tương tự Chuyển sang [ a ] − , [ b ] + cần, [.] 45 hàm phần nguyên, ta giả sử (1): a, b ∈ định lý I; (2): họ tiến hóa rời rạc {U ( n, m )}n≥m , n, m ∈ có phép lưỡng phân {P } + n n≥b ( {P } − n n≤a ) ; (3): toán tử nút rời rạc N ( b,a ) = I − Pb+ U ( b,a ) ker Pa− toán tử Fredholm từ ker Pa− đến ker Pb+ Trước tiên xét biểu diễn D (4.2) l p ( , X ) = X1 ⊕ X2 X2 = l p (  ∩ [ b + 1,∞ ) , X ) Thì X1 = l p (  ∩ ( −∞,b ], X ) , với A11 = Db− , Db− = D l p ( ∩( −∞,b ], X ) ; A22 = Db+ , Db+ : ( xn )n≥b+1  ( xb+1 , xb+2 − U ( b + 2,b + 1) xb+1 , ) ; A21 = Db± , Db± : ( xn )n≤b  ( −U ( b + 1,b ) xb ,0, ) Khi {( x ) : ( x ) ∈ker D and ( −U (b + 1,b ) x ,0, ) ∈imD } = {( x ) + ( −U ( b + 1,b ) x ,0, ) : ( x ) ∈imD and ( x ) ∈ker D } L1 = n n≤b L2 n n≥b+1 − b n n≤b + b b b (4.3) + b n n≥b+1 − b n n≤b (4.4) Ta cần dạng [2, corollary 1] Với dãy ( xn )n≥b+2 ký hiệu ∞ x ' b+1 ( = − ∑ U ( b + + k,b + 1) ker Pb+1 + k=1 ) −1 (I − P )x + b+1+k b+1+k (4.5) Chuỗi (4.5) hội tụ ước lượng lưỡng phân không ổn định Ta cần bổ đề sau: Bổ đề 4.5 Toán tử Db+ khả nghịch trái l p (  ∩ [ b + 1,∞ ); X ) imDb+ = {( x ) n n≥b+1 ( ) + ' : I − Pb+1 xb+1 = xb+1 ( ) Chứng minh Để xây dựng Db+ −1 } (4.6) , nghịch đảo trái Db+ , ý Db+ = I − Tb+ , Tb+ : ( xn )n≥b+1  ( 0, U ( b + 2,b + 1) xb+1 , ) Phân hoạch + + + + Tb+ = Tb,s ⊕ Tb,u , Tb,s , tương ứng, Tb,u , hạn chế Tb+ 46 không gian dãy ( xn )n≥b+1 thuộc l p (  ∩ [ b + 1,∞ ); X ) cho + xn ∈imPn+ , tương ứng, xn ∈ker Pn+ , n ≥ b + Khi Tb,u khả nghịch trái ( ) + −1 b,u với nghịch đảo trái T ( ⎛ : ( xn )n≥b+1  ⎜ U ( n + 1,n ) ker Pn+ ⎝ (( ( ) ) + + < sprad Tb,u Theo giả thiết lưỡng phân, sprad Tb,s (D ) + −1 b ( ) Db+ Db+− −1 ( ) − ∑ (T ) + = ∑ k=0 Tb,s ∞ ∞ k k=1 + −k b,u −1 ) ⎞ xn+1 ⎟ ⎠ n≥b+1 −1 ) < , Bằng tính toán thấy ( ) + ' xb+1 + xb+1 , xb+2 , , xem biến dãy ( xn )n≥b+1 thành dãy Pb+1 ( ( ) (4.5) Do imDb+ = im Db+ Db+ −1 ) ta có (4.6) Sử dụng phép phân hoạch  l p (  ∩ ( −∞,b ]; X ) = X1 ⊕ X2 với X1 = l p (  ∩ ( −∞,a − 1]; X ) X2 = l p (  ∩ [ a,b ]; X ) , xét biểu diễn (4.2) − = D l p ( ∩( −∞,a−1];X ) , A22 = Da,b với cho A = Db− Ta có A11 = Da−1 Da,b : ( xn )a≤n≤b  ( xa , xa+1 − U ( a + 1,a ) xa , , xb − U ( b,b − 1) xb−1 ) Trong biểu diễn l p (  ∩ [ a,b ]; X ) = X ⊕ ⊕ X ( ( b − a ) -lần), toán tử Da,b tam giác với đường chéo đồng nhất, khả nghịch { } Sử dụng phép lưỡng phân Pn− n≤a−1 , tương tự chứng minh bổ đề 4.5 − ta suy Da−1 khả ngịch phải Do Db− tam giác với đường − chéo Da−1 Da,b , ta có Db− khả nghịch phải Điều bổ đề 4.5 suy với biểu diễn tam giác (4.2) D khẳng định (i) (ii) Nên để suy D Fredholm phải chứng minh dim L1 < ∞ codim L2 < ∞ với L1 L2 cho (4.3) (4.4) Đối với L1 , lưu ý ( −U ( b + 1,b ) xb ,0, ) ∈imDb+ có ( yn )n≥b+1 ∈l p (  ∩ [ b + 1,∞ ); X ) cho yn = −U ( n,b ) xb , n ≥ b + Sử 47 { } dụng phép lưỡng phân Pn+ n≥b , điều tương đương với xb ∈imPb+ Mặt khác ( xn )n≤b ∈ker Db− , nghĩa xn = U ( n, m ) xm với m ≤ n ≤ b Đặc biệt xb = U ( b,a ) xa xa = U ( a,n ) xn với n ≤ a Sử dụng phép lưỡng phân {P } − n n≤a ta suy xa ∈ker Pa− Nên: { } dim L1 = dim x ∈ker Pa− :U ( b,a ) x ∈imPb+ = dim ker N ( b,a ) < ∞ Đối với L2 , ký hiệu Z phần bù trực tiếp imN ( b,a ) cho ker Pb+ = imN ( b,a ) ⊕ Z ký ( xn )n≥b+1 ∈l p (  ∩ [b + 1;∞ ); X ) ⎡⎣( xn )n≥b+1 ⎤⎦ L hiệu với lớp tương đương không gian thương l p (  ∩ [ b + 1,∞ ); X ) L2 (P x ) ∈imDb+ ⊂ L2 Cho nên: ⎡⎣( xn )n≥b+1 ⎤⎦ = ⎡ I − Pn+ xn L ⎣ + n n n≥b+1 ( Do bổ ( ' + Dùng (4.3), bổ đề 4.5 ta suy xb+1 , I − Pb+2 đề 4.5 ta có (( ) ) ⎤⎦ ) x , ) ∈imD ⊂ L , nên + b b+2 ( n≥b+1 L2 ) + ' ⎡⎣( xn )n≥b+1 ⎤⎦ = ⎡⎣( yb+1 ,0, ) ⎤⎦ , ta ký hiệu yb+1 = I − Pb+1 x − x b+1 b+1 L L + Nhớ yb+1 ∈ker Pb+1 tìm yb ∈ker Pb+ cho yb+1 = U ( b + 1,b ) ker Pb+ yb Sử dụng phân hoạch ker Pb+ = imN ( b,a ) ⊕ Z , tìm biểu diễn yb = y + z , y ∈imN ( b,a ) z ∈Z Do y ∈imN ( b,a ) , có xa ∈ker Pa− cho y = U ( b,a ) xa Sử dụng phép { } lưỡng phân Pn− ( , đặt xn = U ( a,n ) ker Pn− n≤a ) −1 nghĩa xn = U ( n,a ) xa với n ∈[ a,b ] Thì xa với n ≤ a Cũng định ( xn )n≤b ∈l p (  ∩ ( −∞;b ]) xn = U ( n, m ) xm với m ≤ n ≤ b Cho nên ( xn )n≤b ∈ker Db− Cũng vây, y = xb Do (4.4) nên ⎡⎣( −U ( b + 1,b ) y, , ) ⎤⎦ L2 = ⎡⎣(U ( b + 1,b ) z, , ) ⎤⎦ L2 Kết ta có ánh xạ định nghĩa tốt j : x = ⎡⎣( xn )n≥b+1 ⎤⎦  z từ L 48 l p (  ∩ [ b + 1,∞ ); X ) L2 Z ≅ ker Pb+ imN ( b,a ) vào cho ⎡⎣( xn )n≥b+1 ⎤⎦ = ⎡⎣(U ( b + 1,b ) z,0, ) ⎤⎦ với jx = z Điều suy j đơn L L ánh Nó toàn ánh z ∈Z x = ⎡⎣(U ( b + 1,b ) z,0, ) ⎤⎦ thỏa L jx = z Điều kiện cần Giả sử G Fredholm Như xem chương I, định lý 4.2 suy giả thiết cho A , ta giả sử a = mà không tổng quát Khi định lý 3.5 3.10 A có phép lưỡng phân mũ [ b,∞ ) ∩  +  − Bổ đề 4.3 suy A có phép lưỡng phân mũ  − [ b,∞ ) Ta cần chứng minh phần (ii), tức tính chất Fredholm toán tử ( ) nút N ( b,0 ) = I − Pb+ U ( b,a ) : ker P0+ → ker Pb+ Bổ đề 2.6(i) (3.5) có: ker P0− = Xu− ( ) = Z ⊕ X0 ker Pb+ = Xu+ ( b ) = Z ( b ) ⊕ Y + ( b ) (4.7) Nhắc lại từ bổ đề 1.1 (3.3) X0 Y + ( b ) hữu hạn chiều Cho nên tính Fredholm N ( b,0 ) suy từ ker N ( b,0 ) = X0 imN ( b,0 ) = Z ( b ) ( (4.8) ) Với x = ( xn )n∈ ∈ker D ta có N ( b,0 ) x0 = I − Pb+ xb = theo (1.4), X0 ⊆ ker N ( b,0 ) Đảo lại, cho x ∈ker N ( b,0 ) ⊆ ker P0− Theo (4.7) có z2 ∈Z x0 ∈X0 với x = z2 + x Ta N ( b,0 ) z2 = N ( b,0 ) x = X0 ⊆ ker N ( b,0 ) Do U ( b,0 ) z2 ∈Z ( b ) ⊆ Xu+ ( b ) = ker Pb+ (3.1) (3.5), ta có = N ( b,0 ) x = U ( b,0 ) z2 Bây bổ đề 3.1(i) suy z2 = x = x0 ∈X0 Bằng lý luận tương tự ta suy ( ) imN ( b,0 ) = N ( b,0 ) Z = I − Pb+ Z ( b ) = Z ( b ) 49 Cuối ta công thức số số chiều định lý I với giả sử Fredholm Ta định nghĩa R0 : ker D → X0 Rb,* : ker D* → Xb,* R0 ( xn )n∈ = x0 Rb,* (ξn )n∈ = ξb tương ứng Ánh xạ R0 Rb,* toán tử tuyến tính toàn ánh (1.4) (1.5) Bổ đề 1.1(iii) (iv) R0 Rb,* song ánh Cho nên dim ker D = dim X0 dim ker D* = dim Xb,* Sử dụng định lý 4.2 (4.8) ta suy dim ker G = dim ker D = dim X0 = dim ker N ( b,0 ) Sử dụng (3.3) (4.7) ta suy codim imG = codim imD = dim ker D* = dim Xb,* = dimY + ( b ) = codim imN(b,0)  Đinh lý I dược thiết lập Mệnh đề 4.6 Cho G Fredholm ε (  ) Khi f ∈imG ∫  ∀ v ∈ε * (  ) ∩ Cbw,* ( , X ) f (σ ) ,v (σ ) d σ = v (τ ) = U ( t, τ ) v ( t ) ∀t ≥τ * { thỏa } ε * (  ) = v :  → X * : v is weakly measurable, v (.) ∈Lq (  ) , q =1 ε (  ) = C0 ( , X ) 1 + = ε (  ) = Lp ( , X ) với p ∈[1,∞ ) p q Chứng sử minh Giả f ∈imG v ∈ε * (  ) ∩ Cbw,* ( , X ) với v (τ ) = U ( t, τ ) v ( t ) với t ≥ τ Theo bổ đề II, có hàm * u ∈ε (  ) ∩ C0 ( , X ) thỏa (**) Nên ta tính: ∫ t τ f (σ ) ,v (σ ) d σ = ∫ t τ = f (σ ) ,U ( t, σ ) v ( t ) d σ = ∫ U ( t, σ ) f (σ ) ,v ( t ) d σ * ∫ U (t, σ ) f (σ ) dσ ,v (t ) t τ t τ = U ( t, τ ) u (τ ) ,v ( t ) − u ( t ) ,v ( t ) 50 = u (τ ) ,v (τ ) − u ( t ) ,v ( t ) ∫ với t ≥ τ Cho τ → −∞ t → ∞ ta có  f (σ ) ,v (σ ) d σ = giá trị trung bình u ∈C0 ( , X ) v ∈Cbw,* ( , X ) Giả sử f ∈ε (  ) thỏa điều kiện mệnh đề Ta định nghĩa toàn tử R : ε (  ) → ε (  ) cách đặt: ( Rg )n = − ∫n−1U ( n,τ ) g (τ ) dτ n với n ∈ Ta cần chứng minh Rf ∈imD , từ tính Fredholm toán tử G, định lý 4.2 có imD đóng ( imD = ker D* ) ⊥ Với ξ = (ξn )n∈ ∈ker D* ta định nghĩa v :  → X * v (τ ) = U ( n, τ ) ξn với * τ ∈( n − 1,n ] n ∈ Theo (1.5) ta có v ∈ε * (  ) ∩ Cbw,* ( , X ) v (τ ) = U ( t, τ ) v ( t ) với t ≥ τ Thêm * Rf , ξ = − ∑ ∫ n = −∑ ∫ n n∈ n∈ U ( n, τ ) f (τ ) dτ , ξn = − ∑ ∫ n−1 n−1 n∈ f (τ ) ,v (τ ) dτ = − ∫  n n−1 f (τ ) ,U ( n, τ ) ξn dτ * f (τ ) ,v (τ ) dτ = Sử dụng bổ đề 4.1(iv) ta suy f ∈imG  VỀ TÍNH CHẤT BACKWARD UNIQUENESS Trong phần ta mô tả backward uniqueness property(BU) theo thành phần không gian Xn Xn,* Mệnh đề 4.7 Giả sử toán tử G Fredholm ε (  ) Khi khẳng định sau đúng: (i) (BU.1) dim Xn với n ∈ (ii) (BU.2) dim Xn,* với n ∈ 51 (iii).(BU.1) (BU.2) chọn a = b = định lý I Chứng minh (i) Giả sử (BU.1) Lấy x ∈X m thỏa U ( n, m ) x = với n ≥ m Khi có dãy x = ( xk )k∈ ∈ker D cho xm = x (1.2) Ta định nghĩa hàm u :  → X u ( t ) = U ( t, j ) x j với t ∈[ j, j + 1) j ∈ Dễ kiểm tra u ∈C0 ( , X ) u ( t ) = U ( t, τ ) u (τ ) với t ≥ τ (1.4) Do u ( n ) = U ( n, m ) xm = U ( n, m ) x = , (BU.1) cho ta u ( m ) = x = Có nghĩa ánh xạ U ( n, m ) : X m → Xn đơn ánh, song ánh bổ đề 1.1(i) Suy dim X m = dim Xn với n ≥ m Giả sử dim Xn  Cho u ∈C0 ( , X ) thỏa u ( t ) = U ( t, τ ) u (τ ) với t ≥ τ u (τ ) = với τ ∈ Hiển nhiên u ( t ) = với t ≥ τ Bởi định lý I, A có phép lưỡng phân mũ ( −∞,a ] với a ∈ Cho nên, sử dụng supτ Pτ− < ∞ ta có ước lượng Pt − u ( t ) = U ( t, τ ) Pt − u (τ ) ≤ Ne− v(t −τ ) Pτ− u (τ ) ≤ N ' e− v(t −τ ) u ∞ với τ ≤ t ≤ a Cho τ → −∞ ta có Pt − u ( t ) = , nghĩa u ( t ) ∈Xu− ( t ) với t ≤ a Nên ta có bất đẳng thức u ( t ) = U u− ( a,t ) u ( a ) ≤ Ne− v( a−t ) u ( a ) −1 với t ≤ a Kết ( u ( n ))n∈ ∈ker D kéo theo u ( n ) ∈Xn với n ∈ (xem (1.4) (1.2)) Đẳng thức dim Xn = dim X m bổ đề 1.1 kéo theo tính khả nghịch U ( n, m ) : X m → Xn với n ≥ m Nên u ( n ) = với n ∈ Pτ+ x,v (τ ) = Pτ+ x,U ( t, τ ) * với n lớn (ii) Giả sử (BU.2) Lấy ξ ∈Xn,* với U ( n, m ) ξ = Thì * có dãy ξ = (ξk )k∈ ∈ker D* cho ξn = ξ (1.3) Ta định nghĩa hàm 52 v :  → X * v ( t ) = U ( j,t ) ξ j với t ∈( j − 1, j ] j ∈ Ta thấy * ( v ∈Cbw,* , X * ) v (τ ) = U ( t, τ ) v ( t ) * với t ≥τ Do v ( m ) = U ( n, m ) * ξn = U ( n, m ) * ξ = , (BU.2) kéo theo v = ξ = Bây bổ đề 1.1(ii) suy dim Xn,* = dim X m,* với n ≥ m Giả sử dim Xn,*  Lấy v ∈Cbw,* ( , X ) thỏa v (τ ) = U ( t, τ ) v ( t ) với t ≥ τ v (τ ) = với τ ∈ Nên * v (τ ) = với τ ≤ τ Định lý I A có phép lưỡng phân mũ [ b,∞ ) Do đó, theo supτ Pτ+ < ∞ , ta có ước lượng: Pτ+ x,v (τ ) = Pτ+ x,U ( t, τ ) v ( t ) = U ( t, τ ) Pτ+ x,v ( t ) ≤ N ' e− v(t −τ ) v * ∞ x với t ≥ τ ≥ b x ∈X Cho t → ∞ ta Pτ+ x,v (τ ) = với τ ≥ b x ∈X Bây ta suy ra: x,v (τ ) = U (τ ,b )U u+ (τ ,b ) −1 ( I − P ) x,v (τ ) + τ = U u+ (τ ,b ) −1 ( I − P ) x,v (b ) + τ ≤ Ne− v(τ −b ) I − Pτ+ x v ( b ) v (τ ) ≤ ce− v(τ −b ) v ( b ) với τ ≥ b x ∈X Hệ là, ( v ( n ))n∈ ∈ker D* v ( n ) ∈Xn,* (xem (1.5) (1.3)) Do dim Xn,* = dim X m,* với n ≥ m , bổ đề 1.1 suy tính khả nghịch ánh xạ U ( n, m ) : Xn,* → X m,* với n ≥ m Nên ta * v ( n ) = với n ∈ , v = (iii) Khẳng định cuối có từ (i), (ii) định nghĩa a b cho theo sau (1.5)  53 Ta đưa ví dụ đề cập phần mở đầu Lưu ý X không gian Hilbert A sinh toán tử A ( t ) = A+ với t ≥ A ( t ) = A− với t ≤ Ví dụ 4.8 Cho X = L2 (  + ) , f0 = χ[ 0,1] , P0 : X → X , P0 f = f , f0 f0 phép chiếu trực giao vào span { f0 } , đặt Q0 = I − P0 Định nghĩa ( S (t ) f )(τ ) = e f (t + τ ) với t,τ ≥ với t ≥ f ∈X Cho A = {U ( t, τ )} −t t ≥τ f ∈X S2 ( t ) f = et P0 f + e−t Q0 f họ tiến hóa liên tục mạnh ⎧ S (t − τ ), t ≥ τ ≥ ⎪⎪ X cho U ( t, τ ) = ⎨ S1 ( t ) S2 ( −τ ) , t ≥ ≥ τ ⎪ ⎪⎩ S2 ( t − τ ) , ≥ t ≥ τ G toán tử sinh nhóm tiên hóa liên kết định nghĩa L2 ( , X ) Ta cần dim ker G = nữa, ker G tập hàm u cho u ( t ) = S1 ( t ) u ( ) t ≥ 0, với u ( t ) = S2 ( t ) u ( ) u ( ) ∈span { f0 } Thật vậy, u ∈ker G u ( t ) = U ( t,0 ) u ( ) = S1 ( t ) u ( ) với với t ≤ 0, bổ đề II suy t≥0 u ( ) = U ( 0,t ) u ( t ) = S2 ( −t ) u ( t ) với t ≤ Do u ∈L2 ( , X ) ta phải có Q0 u ( ) = Chứng minh cho bao hàm thức ngược lại hiển nhiên Cho f ∈L2 (  + ) định nghĩa u :  → L2 (  + ) t ⎧ τ −t t −τ − e Q f τ d τ + ( ) ⎪ ∫−∞ ∫t e P0 f (τ ) dτ , u (t ) = ⎨ t ⎪ − ∫ S1 ( t − τ ) f (τ ) dτ − S1 ( t ) Q0 ∫ eτ f (τ ) dτ , −∞ ⎩ t[...]... )n∈ = ( xn+a )n∈ Nếu Da là toán tử sai phân liên kết với A a như ở (1.1) thì Da = Sa DSa−1 và vì thế Da và D có cùng tính Fredholm Cho nên chọn a thích hợp ta có: dim Xn ( A a ) và dim Xn,* ( A a ) là hằng với n ≤ 0 Không mất tính tổng quát, để kết hợp các điều trên, ta thiết lập giả thiết sau Giả thiết 1 A là một họ tiến hóa bị chặn mũ, rời rạc trên  , D là một toán tử Fredholm, dim Xn và dim Xn,*... trên và tính Fredholm của D ta có 0 ≤ dim Xn+1 ≤ dim Xn ≤ dim ker D < ∞ và 0 ≤ dim Xn,* ≤ dim Xn+1,* ≤ dim ker D* < ∞ với mọi n ∈ Vậy có a, b ∈ : a ≤ b để dim Xn và dim Xn,* là hằng với n ≤ a và n ≥ b Không mất tổng quát ta có thể giả sử a = 0 và b ≥ 1 theo lý luận sau: với a ∈ xét họ tiến hóa liên tục mạnh A a định nghĩa bởi U a ( t, τ ) = U ( t + a, τ + a ) với t ≥ τ trong  , và toán tử dịch... với n ≥ b bởi (1.5) * * Từ bổ đề 1.1(iv) có ξn = 0 với n ≥ b , suy ra Db,* là đơn ánh Tiếp theo lấy η = lim n→∞ Db,*ξn với ξn ∈Fb,* Do D* là Fredholm, imD* là đóng nên ta có ( ζ ∈ε (  ) để η = D*ζ Hơn nữa tồn tại một toán tử D † ∈B ε (  ) * * ) và một 16 toán tử R có hạng hữu hạn sao cho D † D* = I + R và imR ⊆ ker D* Chú ý rằng D* (ζ − ξn ) → 0 khi n → ∞ , ta có được ζ − ξn + wn → 0 khi n → ∞... F → F là toàn ánh (ii) .Toán tử D0 = D F0 : F0 → F là khả nghịch (iii) Db,* = D*F b ,* là nội xạ đều, nghĩa là, Db,*ξ (ε ( ))* ≥ c ξ (ε ( ))* với mọi ξ ∈Fb,* và hằng số c > 0 nào đó ⊥ ⊥ Chứng minh (i) Với xn ∈Xn,* và xn−1 ∈Xn−1,* thì rõ ràng ⊥ xn − U ( n,n − 1) xn−1 ∈Xn,* nên suy ra DF ⊆ F Để chứng minh D F : F → F là toàn ánh, trước tiên ta cần chỉ ra rằng F ⊆ imD Do D là Fredholm nên miền giá trị... k > m ⎝ j=m+1 ⎠ k (2.5) lưu ý 2.2 và (2.3) chứng tỏ rằng x ∈F0 , xem (1.8) Có thể kiểm tra trực tiếp rằng y = Dx = D0 x Trước tiên ta lấy (ϕ k )k∈ = χ{m+1} Bổ đề 1.2(ii) và tính bị chặn mũ của họ tiến hóa A cho ta : U ( n, m ) x = n ∑ j=m+1 ≤ c D0 x ε ( ) =c y χ{m+1} ( j )U ( n, m ) x ≤ x ε ( ) ε ( ) = c U ( m + 1, m ) x ≤ cMew x với mọi n ≥ m + 1 Dẫn đến : U s+ ( k, j ) ≤ c với mọi k ≥ j ≥ 0... định nghĩa một không gian con đóng của X bởi : Xu+ ( b ) = Z 2 ( b ) ⊕ Y + ( b ) (3.5) Dưới đây ta sẽ thấy rằng Xu+ ( b ) thật sự là không gian con không ổn định Ta di truyền các không gian này bởi họ tiến hóa Ta đặt 29 Xu+ ( k ) = U(k,b)Xu+ ( b ) và Y + ( k ) = U ( k,b )Y + ( b ) (3.6) với mọi k ≥ b Cuối cùng ta đặt U u+ ( n, m ) = U ( n, m ) Xu+ ( m ) với n ≥ m ≥ b Ở đây lấy k ≥ b theo thứ tự để đảm... n, m ) X s+ ( m ) ⊆ X s+ ( n ) với mọi n ≥ m ≥ 0 (2.3) U ( n, m ) Xu− ( m ) = Xu− ( n ) với mọi m ≤ n ≤ 0 (2.4) Đặt U s+ ( n, m ) : X s+ ( m ) → X s+ ( n ) và U u− ( n, m ) : Xu− ( m ) → Xu− ( n ) là toán tử tuyến tính được định nghĩa bởi U s+ ( n, m ) x = U ( n, m ) x với n ≥ m ≥ 0 và x ∈X s+ ( m ) ; và U u− ( n, m ) x = U ( n, m ) x với m ≤ n ≤ 0 và x ∈Xu− ( m ) Bổ đề sau chỉ ra rằng trong trường