BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Đình Tường Long GIÁ TRỊ ĐẦU CỦA NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI HÀM RÀNG BUỘC TUẦN HOÀN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Lê Hoàn Hoá Thành phố Hồ Chí Minh - 2007 LỜI NÓI ĐẦU Tính chất tiệm cận nghiệm phương trình vi phân tuyến tính x  t   Ax  t   f  t  (1), A  M d   f :  d hàm không tầm thường liên tục tuần hoàn chu kì  , nhiều tác giả nghiên cứu Trong luận văn này, trình bày việc phân loại đầy đủ tập giá trị đầu theo dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình (1) Đặc biệt, việc phân loại đầy đủ tập giá trị đầu theo tính chất bị chặn tính chất tuần hoàn Nội dung luận văn trích báo cáo Hội nghị Quốc tế phương trình vi phân trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh năm 2004 Trong báo cáo này, nhiều chi tiết, bổ đề định lí phát biểu ngắn gọn cố gắng làm sáng tỏ chi tiết chứng minh đầy đủ định lí bổ đề Ngoài ra, luận văn chứng minh ý tưởng phát triển mà tác giả đề xuất cuối báo cáo Luận văn lời nói đầu, phần kết luận, phần tài liệu tham khảo mục lục trình bày chương Chương I phần tổng quan Chương II phần trình bày kí hiệu nhắc lại số kiến thức cần thiết để sử dụng cho chương sau Chương III phần trình bày việc biểu diễn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính sai phân tuyến tính Chương IV phần trình bày việc phân loại đầy đủ tập giá trị đầu theo tính bị chặn, tính tuần hoàn dáng điệu tiệm cận nghiệm Chương V phần phát triển Cho phép gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Hoàn Hoá, người thầy tận tình giúp đỡ, hướng dẫn trình học tập trình thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy cô tận tình truyền thụ kiến thức cho trình học tập trường quý Thầy cô Hội đồng bảo vệ luận văn dành nhiều thời gian để đọc cho nhiều ý kiến sâu sắc quí báu Tôi xin trân trọng cảm ơn đến quý Thầy cô phòng KHCN- SĐH nhiệt tình giúp đỡ hoàn tất thủ tục bảo vệ luận văn Cuối cùng, cho cảm ơn đến tất bạn bè, đồng nghiệp luôn động viên, cổ vũ trình học tập nghiên cứu Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2007 Tác giả luận văn Nguyễn Đình Tường Long Chương 1: TỔNG QUAN Trong luận văn này, nghiên cứu việc xác định giá trị đầu nghiệm bị chặn hay nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân tuyến tính sau: x  Ax  f  t  với A  M d  Đặt   2    f :  , b f   e  s  A d (1) hàm không tầm thường liên tục tuần hoàn chu kì  f  s  ds (2) Nhiều tác giả nghiên cứu tính chất tiệm cận nghiệm (1) Chẳng hạn, Massera đưa kết sau: Định lí: Nếu phương trình (1) có nghiệm bị chặn 0,+  , phưong trình (1) tồn nghiệm tuần hoàn chu kì  Đối với nghiệm tuần hoàn, tầm thường rằng: nghiệm phương trình (1) tuần hoàn chu kì  giá trị đầu w  x   thoả mãn:  E  e w  b A f (3) Chẳng hạn, giả sử A   E  N , với   i , i  1 N ma trận luỹ linh thỏa N m   m  1 Khi đó: A e  e m 1 k m 1 k A  E   N k   k 0 k ! k 0 k ! k phương trình:  E  e A  w  b f biểu diễn là: m 1    k  N k 1  k !  k w  bf Từ biểu diễn trên, ta tính toán thành phần nghiệm w phương trình với b f cho Tuy nhiên, trường hợp không rõ ràng để nghiệm w biểu diễn bởi: Nw   m1 k  k!  Bk k 0 N kbf (4) với Bk số Bernoulli Công thức (4) kết sau Mục đích luận văn đưa phân loại đầy đủ tập giá trị đầu theo dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình (1) Đặc biệt, phân loại đầy đủ tập giá trị đầu theo tính chất bị chặn tính chất tuần hoàn Phương pháp ý tưởng luận văn giải thích đơn giản phương trình vi phân tuyến tính chiều: dx  ax  t   f  t  , x    w dt với a số f hàm vô hướng liên tục tuần hoàn chu kì  Sau đó, tổng quát hoá kết đến phương trình vi phân tuyến tính (1) Phần lại luận văn bao gồm: chương 2, chương 3, chương 4, chương chương kết luận Chương 2: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức nghiệm phương trình sai phân tuyến tính, nghiệm phương trình vi phân tuyến tính, số Bernoulli, không gian riêng suy rộng, … để sử dụng cho chương sau Chương 3: Biểu diễn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính Trình bày phương pháp ý tưởng luận văn phương trình vi phân tuyến tính chiều Sau đó, dựa phương pháp ý tưởng để xây dựng cách biểu diễn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính (1) Hơn nữa, cách biểu diễn nghiệm có tương ứng với cách biểu diễn nghiệm phương trình sai phân tuyến tính Chương 4: Dáng điệu tiệm cận, tính bị chặn, tính tuần hoàn Chương bao gồm hai mục: 4.1 4.2 Mục 4.1 Trình bày phân loại đầy đủ tập giá trị đầu theo tính bị chặn tính tuần hoàn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính (1) Sự phân loại này, có tương ứng đến phân loại tập giá trị đầu theo tính bị chặn nghiệm phương trình sai phân tuyến tính Mục 4.2 Trình bày phân loại đầy đủ tập giá trị đầu theo dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình (1) Chương 5: Phát triển Chương trình bày cách biểu diễn tính bị chặn nghiệm phương trình sai phân tuyến tính tổng quát xn 1  Bxn  b phương trình vi phân tuyến tính x  t   A  t  x  t   f  t  có tương ứng với Chương kết luận nêu vắn tắt số kết trình bày luận văn hướng nghiên cứu dự định tương lai Cuối tài liệu tham khảo Chương 2: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ CÁC KÍ HIỆU Trong chương này, qui ước số kí hiệu nêu lại số kiến thức chuẩn bị cần thiết để sử dụng đến chương sau 2.1 KÍ HIỆU Tập số thực Tập số phức Tập số nguyên E Ma trận đơn vị Re- Phần thực, Im- Phần ảo IdV Ánh xạ đồng từ V vào V N(A) Nhân A R(A) Miền giá trị A f  n   z   n f  z  Đạo hàm cấp n hàm số y  f  z  , f    z   f  z  n z 10 Bk , k  0,1, 2, Số Bernoulli 11 M d   Tập ma trận phức d  d chiều 12 X   xik mn Ma trận cấp m  n mn 13 Lloc  I ,    X   xik mn / xik  , i  1, m, k  1, n mn  Tập ma trận hàm cấp m  n khả tích tập compact nằm I  14  Kết thúc phần chứng minh 2.2 SỐ BERNOULLI Dãy Bk hệ số chuỗi luỹ thừa xác định  z zk   Bk với B1   B2 k 1  với k > z e  k 0 k ! Số Bernoulli Bk có tính chất sau: k n 1 Cnk1Bk  , n = 0, 1, 2, …   n  k 0 2.3 NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính x  t   Ax  t   f  t  (2.3.1) x  0  w với A  M n   , f  t   Lloc  I , (2.3.2) n , w n Bài toán (2.3.1), (2.3.2) có nghiệm Ta tìm nghiệm hệ (2.3.1), (2.3.2) theo phương pháp biến thiên số Nghiệm hệ (2.3.1), (2.3.2) viết dạng: x  t   etA y  t  (2.3.3) với y  t  cần xác định để (2.3.3) nghiệm (2.3.1), (2.3.2) Ta có: w  x  0  y  0 (2.3.4) Lấy đạo hàm hai vế (2.3.3), ta có: x  t   AetA y  t   y  t  etA Thay vào (2.3.1), ta được: y  t   etA f  t  (2.3.5) Vậy y  t  nghiệm (2.3.5) thoả điều kiện (2.3.4), suy t y  t   w   e sA f  s  ds Thay vào (2.3.3), ta có:       t x  t   etA  w   e sA f  s  ds  t Hay x  t   etAw   et  s  A f  s  ds Vậy nghiệm hệ (2.3.1), (2.3.2) là: t x  t   etAw   e t s A f  s  ds  2.4 NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH Xét phương trình sai phân tuyến tính xn  qxn 1  b , n = 1, 2, … x0  a với b, q  số Nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính xn  xn  xn* , xn nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính xn  qxn 1 có dạng xn  cq n  c   , nghiệm n 1 riêng xn* phương trình sai phân tuyến tính không có dạng xn*  c0 q n  b q k k 0 Do nghiệm phương trình sai phân tuyến tính là: n 1 xn  aq n  b q k k 0 2.5 KHÔNG GIAN RIÊNG SUY RỘNG 2.5.1 Vec tơ riêng giá trị riêng tự đồng cấu   Cho  :V  V tự đồng cấu không gian vectơ V trương K Vectơ x  V mà     x   x , với  K, gọi vectơ riêng  ứng với giá trị riêng    Tập tất vectơ riêng  ứng với giá trị riêng   K với vectơ làm thành không gian vectơ V, kí hiệu  gọi không gian riêng ứng với giá trị riêng   ;  chẳng qua   N    IV  Đa thức đặt trưng tự đồng cấu  kí hiệu P   xác định P     det    IdV  2.5.2 Không gian riêng suy rộng tự đồng cấu a Định nghĩa: Cho tự đồng cấu  K-không gian vectơ hữu hạn chiều V Với   K , xét tập x V / m  0, m   :    IdV  m  x   0 không gian vectơ V Khi khác 0    gọi không gian riêng suy rộng  ứng với   K kí hiệu M  b Tính chất: Rõ ràng  giá trị riêng  không gian riêng   M  Với không gian riêng suy rộng M  ,  phải giá trị riêng  Với giá trị riêng   , dim  gọi số chiều hình học  , dim M  gọi số chiều đại số  Số chiều đại số  bội nghiệm  đa thức đặc trưng c Định lí:  tự đồng cấu không gian vectơ hữu hạn chiều V trường K mà đa thức đặc trưng P phân tích thành tích nhân tử tuyến tính: P        1     2     m  m s s s ( k (k  1, 2, , m) khác cặp) V tổng trực tiếp không gian riêng suy rộng: V  M 1  M 2   M m 2.6 Định lí 2.6: Nếu f :  nn ánh xạ liên tục tuần hoàn chu kì  f bị chặn Chứng minh định lí 2.6 Đặt K  0,   Khi đó, K tập compact Vì f ánh xạ liên tục nên f  K  tập compact Vì f tuần hoàn chu kì  nên suy f bị chặn nn  Do đó, f bị chặn K Chương 3: BIỂU DIỄN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 3.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH MỘT CHIỀU Phương pháp ý tưởng luận văn trình bày với phương trình vi phân tuyến tính chiều: dx  ax  t   f  t  , x    w dt (5) với a số f hàm vô hướng liên tục tuần hoàn chu kì  Nghiệm phưong trình (5) biểu diễn: t x  t  : x  t;0,    eatw   eat  s  f  s  ds (6) Tuy nhiên, cách biểu diễn không dể thấy dáng điệu tiệm cận nghiệm Do đó, cần đưa biểu diễn khác nghiệm mà với cách biểu diễn dể dàng nhận biết dáng điệu tiệm cận nghiệm Định lí 3.1: Nghiệm x  t  phưong trình (5) biểu diễn sau: 1) Giả sử e a  Nếu công thức (6) viết lại:  x  t   eat  w     với u t , b f  eat  b  u t, bf a f  1 e   t a t s b   e   f  s  ds , u t , b f a f 1 e   (7)  nghiệm tuần hoàn chu kì  2) Giả sử ea  Nếu công thức (6) viết lại: t   x  t   eat  w  b f   v t , b f     với v t , b f  e at t  t bf   e at  s       hàm tuần hoàn chu kì  , f  s  ds , v t , b f (8) nhiên, không cần thiết nghiệm (5) Chứng minh định lí 3.1: Ta có: t  0 e a  t   s   f  s  ds   e a  t   s  f  s  ds  t  e  a  t   s  f  s  ds  t 0  eat  ea  s  f  s  ds   eat  z  f  z  dz ( đặt z = s -  ) t  e bf   e at at  s  f  s  ds 1) Giả sử ea  Khi đó: u t     e a  t    eat b   ea f t  0 e a  t   s  f  s  ds ea at  s  at f  s  ds a b f  e b f   e 1 e t t at  s  e f  s  ds  u  t  a b f   e 1 e at 2) Giả sử ea  Khi đó: v  t     e a  t   t   bf  t  0 e a  t   s  f  s  ds t t  eat b f  eat b f  eat b f   eat  s  f  s  ds  v  t    Từ biểu diễn nghiệm định lí 3.1, ta dễ dàng đạt dáng điệu tiệm cận nghiệm sau: Hệ 3.1.1: I) Trường hợp ea  1) Giả sử w  b  ea f Khi nghiệm x(t;0, w ) nghiệm tuần hoàn chu kì  , xác định   x  t;0, w   u t , b f 2) Giả sử w  b  ea f   tuần hoàn chu kì  t   b) Nếu Re a  , nghiệm x(t;0, w ) hội tụ đến nghiệm u  t , b  tuần hoàn chu kì  t   a) Nếu Re a  , nghiệm x(t;0, w ) hội tụ đến nghiệm u t , b f f c) Nếu Re a  , nghiệm x(t ;0, w ) tuần hoàn II) Trường hợp ea   A  r E  mr   X Pr w , Pr b f , A  r E  * Trường hợp r  i   + Nếu mr  , r  1, 2, , l , ta có: Y P w , P b f , A  r E  r r + Nếu mr số nguyên dương, chứng minh tương tự ta được:  A  r E  mr 1     Y Pr w , Pr b f , A  r E   A  r E  r Y Pr w , Pr b f , A  r E  m Đối với    A , ta kí hiệu số mũ theo thứ tự tăng m    Định lí 4.5: Cho P x  t  phép chiếu nghiệm x  t  với x    w lên M  I) Trường hợp   i (1) Cho Re > Nếu m     , P x  t  tuần hoàn chu kì  Nếu m     , P x  t  không bị chặn  0,   cho  P x  t     et  s  A P f  s  ds t  et  m  1 t    A   E    X Pw , P b f , A   E  et t m 1  m    1! m  1     t    (2) Cho Re < Nếu m     , P x  t  tuần hoàn chu kì  Nếu m     , P x  t  tiệm cận tuần hoàn chu kì  cho P x  t   t e  t  s  A P f  s  ds m  1 t   e  A   E    X Pw , P b f , A   E  et t m 1  m    1! t m  1     t    (3) Cho Re = Nếu m     , P x  t  tuần hoàn chu kì  Nếu m     , P x  t  tuần hoàn Nếu m     , P x  t  không bị chặn 0,    ,0 cho  m  1 m  1 t   P x  t   e  A   E    X Pw , P b f , A   E  t    m    1! m  1 t     t    II) Trường hợp   i (1) Nếu m     , P x  t  tuần hoàn chu kì  (2) Nếu m     , P x  t  không bị chặn 0,    ,0  cho   m   1 m   t   A  E Y Pw , P b f , A   E  t  m   !  m P x  t   et    t    Chứng minh định lí 4.5: I) Trường hợp   i (1) Re      Nếu m     , ta có: X Pw , P b f , A   E  Khi đó, theo định lí 3.4, ta có: P x  t   u t , b f   Do đó, P x  t  tuần hoàn chu kì   Nếu m     , áp dụng định lí 3.4, ta có:    P x  t   etA X Pw , P b f , A   E  u t , b f e với  t m   1 i i t A   E  X  Pw , P b f , A   E   u  t , b f    i 0 i ! t  u t , b f  etA X   A P b f   e Do  A   E  m   1  t-s  A P f  s  ds   X Pw , P b f , A   E  nên P x  t  không bị chặn 0,   * Ta chứng minh  P x  t     e t s A P f  s  ds t + et  m  1 t    A   E    X Pw , P b f , A   E  et t m 1  m    1! m  1     t    Thật vậy, ta biểu diễn lại P x  t  sau:  P x  t  =   e t t s  A m  1 t   P f  s  ds  e  A   E    X Pw , P b f , A   E  m    1! t m  1   + e m    i m   1 i i i t t t A   E  X Pw , P b f , A   E  e   A   E  X   A P b f  i! i 0 i !  i 0 t   + 0 e  t  s   m   1  i 0 t  s  i! i  A  E i P f  s  ds  m  1 t    A   E    X Pw , P b f , A   E    t   m    1! m  1  t s A    e  P f  s  ds et t   với   t   et m    i m   1 i i i t t t A E X P P b A E e A   E  X   A P b f   w , ,          f i! i 0 i !  i 0  0 e +   t  s  m   1  i 0  t  s  i! i  A  E i P f  s  ds   m  1 Khi đó, ta cần chứng minh:   t   et t    t    Viết lại   t  :  t   e t m    i i t A   E  X  Pw , P b f , A   E    i 0 i ! m  1  m    t i  i m   1 t    e   A   E   m    1 !  A   E   X   A P b f  i 0 i !   t +e = et t  m   1  i 0  A  E i   i Ci j t i  j   s  0 e  j 0 i!  s j P f  s  ds m    i i t A   E  X  Pw , P b f , A   E    i 0 i ! m  1  m    t i  i m   1 t     e   A   E   m    1 !  A   E   X   A P b f  i 0 i !   t +e t  m   1  i 0  A  E i i! i   Ci t  1  e s s j P f  s  ds  j 0 j i j j Do lim t   t   t m   1 e t  A  E    m    1! m  1   X   A P b f   A  E    m    1! m  1  m   1 C 0 e  s P f  s  ds Từ X   A  m   1  i 0  i   i  A  E ,  A  E i! i i P  với i  m    Suy lim t   A   E      P b    f  m     1! m  1  t    m  1 e t t    A   E     e s P f s ds     m    1! 0 m  1   A   E      e s P f s ds     e s  A P f s ds             m    1!  0  m  1 = Vì e   s  A lim P  e m   1  m  1 e t t    0 e s  i 0   s  i  A  E i! i P ,     nên e 1   A   E      e s P f s ds  e  e s P f s ds          e  0   m    1!  0 m  1  t  t  * Ta tính   s  P f  s  ds Do P f  s  tuần hoàn chu kì  nên  0 e s P f  s  ds  e  2 e   s P f  s  ds  … = e n  n 1   e n 1  s  P f  s  ds ( n  ) Suy ra, với n  , n  2 0  s s s  e P f  s  ds   e P f  s  ds   e P f  s  ds n     = e s  e n 1   s  n P f  s  ds + e n  s P f  s  ds   1 P f  s  ds    e  s P f  s  ds  2  e  s P f  s  ds e e  n + … +  n1  e  s P f  s  ds   e  s P f  s  ds e n  n  1  = 1    2    n 1   e  s P f  s  ds   e s P f  s  ds e e  e 0 n = 1 1 e n e  0 e s n P f  s  ds   e s P f  s  ds n n 1 1 s  e P f  s  ds  Vậy e n e  n n s s  e P f  s  ds   e P f  s  ds Mặt khác, P f  s  liên tục tuần hoàn chu kì  nên M  : P f  s   M , s  (Định lí 2.6) Suy n e n n Vậy e n  s  s n P f  s  ds  M  e Re  s ds  n M  1   Re  n   Re n Re   e e   ( Re   )  P f  s  ds hội tụ Do đó:  0 e s n P f  s  ds  lim  e  s P f  s  ds n   1  en  lim  n    1 e      s s 0 e P f  s  ds  n e P f  s  ds    n  e e s P f  s  ds   e 1 Vậy lim t  Hay  t   A   E      e s P f s ds  e  e s P f s ds           e  0   m    1!  0    m  1 e t t   m  1   t   et t m 1  t    (2) Re     Nếu m     , ta có:  X Pw , P b f , A   E    Do đó, theo định lí 3.4, ta có: P x  t   u t , b f Vậy P x  t  tuần hoàn chu kì   Nếu m     , ta có:    P x  t   etA X Pw , P b f , A   E  u t , b f   m   1  i 0 ti  A  E  X Pw , P b f , A   E  u t , b f e  t i! i     ti  với i  0,1, , m     1 nên P x  t  tiệm cận tuần hoàn chu kì  t  e   t Do lim * Ta chứng minh P x  t   t e  t  s  A P f  s  ds m  1 t    A   E    X Pw , P b f , A   E  et t m 1  m    1! m  1  et      t    Thật vậy, ta biểu diễn lại P x  t  sau: t P x  t  = e t  s  A  m  1 t   P f  s  ds e  A   E    X Pw , P b f , A   E  m    1! m    i  i 0 + et  e t e t  s  A t  s   m   1  i 0 với   t   e t  s  P f  s  ds et  t   m   1 i i i t t t   w , ,    A E X P P b A E e A   E  X   A P b f       f i! i 0 i !   m  1 t i! i   A  E i P f  s  ds  m  1 t    A   E    X Pw , P b f , A   E    t   m    1! m  1   m    i e i t A   E  X  Pw , P b f , A   E    i 0 i ! t i m   1 t  s  i i t t  s  A   E  P f  s  ds A   E  X   A P b f   e    i! i! i 0  m   1 i  i 0   m  1 Khi đó, ta cần chứng minh:   t   et t    t    Chứng minh tương tự trường hợp Re   , ta có kết quả:      s  A  E  e  s lim  t m  1   e P f s ds  e P f s ds         t  e  0 e t  m    1!     t  * Tính e   s m  1 P f  s  ds Do P f  s  tuần hoàn chu kì  nên  0   s   s 2   e P f  s  ds  e  e P f  s  ds  e = …= e 1 n   2 n   e 1 n   s  P f  s  ds  e  n 2 e 1 n    n  s P f  s  ds e  s P f  s  ds ( n  ) Suy ra, với n  , e n  s P f  s  ds =  n e n s P f  s  ds   2    n e s e  1 n   s  P f  s  ds e s P f  s  ds   e  s P f  s  ds   =  e   e  n 1 e s   en =  e P f  s  ds   2 n   +…+ 1 n  e  s P f  s  ds  Chứng minh tương tự trường hợp Re   , ta có P f  s  ds   n e n  n n e s s  n e n s P f  s  ds P f  s  ds P f  s  ds hội tụ Do   e  s P f  s  ds  lim n  n e  s P f  s  ds 1  e n  lim  n    e   s  e P f  s  ds    n n e  s  P f  s  ds    e s      e P f s ds e  s P f  s  ds    e   e  0 Vậy      s  A  E  e  s lim  t m  1   e P f s ds  e P f s ds      =0  t  e  0 e t   m    1!   m  1  t    m  1 Hay   t   et t    t    (3) Re  =  Nếu m     , ta có:   X Pw , P b f , A   E    Do đó, theo định lí 3.4, ta có: P x  t   u t , b f Vậy P x  t  tuần hoàn chu kì   Nếu m     , ta có:  P x  t   et  Pw    Do  Pw      u t , b f  Pb e 1  f       nên P x  t  tuần hoàn  Pb e 1  f   Nếu m     , ta có: P x  t   et Do  A   E  m   1 m   1 i i t A   E  X  Pw , P b f , A   E   u  t , b f    i 0 i !   X Pw , P b f , A   E  nên P x  t  không bị chặn 0,    ,0  * Ta chứng minh P x  t   et  m  1 m  1 t    A   E    X Pw , P b f , A   E  t    m    1! m  1     t    Thật vậy, P x  t  viết lại: m  1 t   P x  t  = e  A   E    X Pw , P b f , A   E  m    1! m  1 t + et = et  với   t   e t i t A   E  X  Pw , P b f , A   E   u  t , b f    i 0 i ! m  1 t    A   E    X Pw , P b f , A   E    t   m    1! m  1 Vậy t   i t A   E  X  Pw , P b f , A   E   u  t , b f    i 0 i !  lim  m    i Vì u t , b f hàm liên tục Do  m    i Do vậy, ta cần chứng minh    t  t m   1   t   t   t   t  ( t   ) II) Trường hợp   i  ( t   ) tuần hoàn chu kì  nên bị chặn  m   1 m   1 ( Định lí 2.6)  (1) Nếu m     , ta có:  Y Pw , P b f , A   E    Do đó, theo định lí 3.4, ta có: P x  t   et Pw  v t , b f Vậy P x  t  tuần hoàn chu kì  (2) Nếu m     , ta có: et  j t j 1 A   E  Y Pw , P b f , A   E + et Pw  v t , b f P x  t;0, w      j 0  j  1! Do  A   E  m   1 m 1      Y Pw , P b f , A   E  nên P x  t  không bị chặn 0,    ,0 Ta viết lại P x  t  : m   1 t   A  E Y Pw , P b f , A   E P x  t  = e  m   !  t m    m   t j 1 j +   A   E  Y Pw , P b f , A   E  et Pw  v t , b f   j 0  j  1!    m   1 t   A  E Y Pw , P b f , A   E    t  =e  m   !  t với  t   m     j 0  Vì hàm v t , b f m   j t j 1 A   E  Y Pw , P b f , A   E  et Pw  v t , b f   j  1!   liên tục  t   t  t m   1  hay     tuần hoàn chu kì  nên v t , b f bị chặn ( Định lí 2.6) Suy lim    ( t   )   t   t m      Chương 5: PHÁT TRIỂN Xét phương trình sai phân tuyến tính tổng quát có dạng: x0  w xn 1  Bxn  b, (34) Nếu đặt B = U( ,0), b  b f , định lí phát biểu sau rằng: phương trình (34) có tương ứng (về cách biểu diễn tính bị chặn nghiệm) đến phương trình vi phân tuyến tính: x  A  t  x  f  t  với A  t     A  t  - ma trận vuông cấp d  d hệ số phức f :  d hàm không tầm thường liên tục tuần hoàn chu kì  Giả sử   B  phổ B, bao gồm s phần tử i với số di , i = 1,…,s   M   N  B  i E  i Đặt i d không gian riêng suy rộng B ứng với giá trị riêng i d Đặt Qi phép chiếu từ lên M i Để tính toán đơn giản, ta gọi  giá trị riêng B d số  Nghiệm tổng quát phương trình (34) n 1 xn  wB n  bSn  B  với Sn  B    B k ( n  ) k 0  Tính thành phần Q  xn  nghiệm xn Q  xn  thoả mãn phương trình: Q  xn   B nQw  Sn  B  Q b n n Ta có: B nQ   B   E    E  Q   Cni  n i  B   E  Q i i 0 Vì  B   E  Q  0, i  d0 nên B Q = i Do n n 1  d0 1 d0 1 Cni  n i  B   E  Q  i 0  Sn  B  Q     Cki  k i  B   E   Q i k   i 0 = d0 1 n 1   C   i 0  k 0 i k k i  i   B   E  Q ( k  i )  i Đặt Eni  z   n 1 Cki z k i  k 0 i k i k  Nếu z  , ta có: C z d i  zk   i  dz  k !  d i  n 1 z k  d i  z n  1    i   dz i   dz  z  i !  k 0 i !  Suy ra: Eni  z   Đặt a  z    z  1 Khi đó: 1 n n d i  a  z   z  1  d i  a  z  z  d i  a  z   E z  i  i     dz  i !  dz i  i !  dz  i! i n  Vì  n k d i  a  z  z  i    1 Cni k a k 1 z ni k  nên i dz  i !  k 0   E  z  i n i   1 k i k n C k 0 a k 1 n  i  k  z a i   z   i! Do đó: d0 1  Sn  B  Q    i 0 i   1  k 0  d0 1 i k C i k n     1 C a i 0 k 0 k i k n a k 1 k 1      n  i  k  n  i  k  a      i   B   E  Q  i!  i  a i     i  B   E  Q   B   E  Q  i! i 0 i d0 1 d0 1 a   i i C i k k n i k    n a          B   E  Q   B   E  Q  i! i 0 i 0 k 0 k ! i  d0 1 i k k ( a     1 k !a k 1 ) Mặt khác d0 1 i i Cni  k  k  n i k a        B   E  Q   i 0 k 0 k ! d0  a     d0 1 i ni a     i i +  B   E C B E Q Cni  n i  B   E  Q           n 0! i 0 1! i 0 + + a d0 1    B   E d 1 C0  n Q    n  d0  1! Vì  B   E  Q  với i  d0 nên i d0 1 i i Cni k  k  n i k a        B   E  Q   i 0 k 0 k ! d0 1 a      d0 1 i n i a     i i C B E Q Cni  n i  B   E  Q +  B   E           n 0! i 0 1! i 0 + +  a d0 1    B   E d 1 d 1 C i  ni B   E i Q    n     d0  1! i 0 0 d0 1 a i     i i B   E    Cni  ni  B   E  Q  i! i=0 i 0 d0 1 Suy d0 1 Sn  B  Q   i=0 d0 1 d0 1   a   a     i i i i n i B   E   C  B  E Q B   E  Q   n      i! i! i 0 i 0 i i d0 1  X   B   Cni  n i  B   E  Q  X   B  Q i i 0 a     i với X   B    B  E i! i=0 i d0 1 d0 1 Q xn   Cni  n i  B   E  Q w + X   B  Q b   X   B  Q b Vậy i i 0  B n Q w + X   B  Q b   X   B  Q b Eni  Nếu z  1, ta có: n 1  z    Cki  Cni 1 k 0 S n  B  Q  Do d0 1  C  B   E  Q i 0 i i 1 n Suy d0 1 d0 1 Q xn   C  B   E  Q w   Cni 1  B   E  Q b i 0 i n d0 1 i i i 0 d0 1   Cni 1  B   E  Qw   Cni 1  B   E  Q b  Qw i 1 i 0 d0 1 i i 0   Cni 1  B   E   B   E  Qw + Q b   Qw i i 0 Tóm lại kết trên, ta có Định lí 5.1: Cho    B  Nghiệm xn w, b  phương trình (34) biểu diễn: I) Nếu   , Q xn w, b   B n Qw + X   B  Q b   X   B  Q b , d0 1 với X   B    i=0 a     i B  E i! i II) Nếu   , d0 1 Q xn w, b    Cni 1  B   E   B   E  Q w + Q b   Q w i i 0 Sử dụng định lí 5.1, ta dể dàng chứng minh định lí sau Định lí 5.2: I) Nếu   , Q xn  bị chặn Q w   X   B  Q b Q xn  Qw II) Nếu   , Q xn  bị chặn  B   E  Qw + Q b  Q xn  Q w Định lí 5.3: Các phát biểu sau tương đương: 1) Phương trình (34) có nghiệm bị chặn 2) Q b   B   E  M  với   1  B  Chứng minh định lí 5.3: Rõ ràng, phương trình (34) có nghiệm bị chặn Q xn n 0 bị chặn với     B   Giả sử phương trình (34) có nghiệm bị chặn Khi đó, theo định lí 5.2, ta có:  B   E  Qw + Q b  với   1  B  Suy Q b   B   E  M  với   1  B  Với cách chứng minh ta có phần suy ngược lại  KẾT LUẬN Qua trình thực luận văn này, học cách truy cứu tài liệu, học phương pháp nghiên cứu để đào sâu mở rộng kiến thức cho thân, hội để vận dụng kiến thức quí báu Thầy cô truyền đạt trình học tập trường đồng thời hội cho bước đầu tập tiếp cận với nghiên cứu khoa học Trong trình thực luận văn, thân cố gắng, nổ lực làm việc với mong muốn hoàn thành luận văn cách tốt Về bản, luận văn hoàn thành yêu cầu đặt đồng thời thu kết sau: + Trong chương III, cung cấp chứng minh bổ đề 3.1.1 ( báo [7] nêu mà không chứng minh ) + Trong chương IV, cung cấp chứng minh chi tiết hầu hết kết từ báo [7], chẳng hạn định lí 4.1, 4.3, 4.4, 4.5 (bài báo [7] nêu mà không chứng minh ) + Trong chương V, cung cấp chứng minh chi tiết ý tưởng phát triển tác giả báo [7], chẳng hạn định lí 5.1 ( báo [7] nêu mà không chứng minh ) Hơn nữa, phát biểu chứng minh hai định lí 5.2, 5.3 Trong tương lai, tiếp tục nghiên cứu thêm  TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt Nguyễn Đình Phư (2000), Rẽ nhánh phương trình vi phân, Nxb Giáo dục Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Hoàng Xuân Sính (1988), Đại số tuyến tính hình học, tập 2, Nxb Giáo dục Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, Nxb Giáo dục Tiếng Anh J Kato, T Naito anh J.S.Shin (2002), “Bounded solutions and periodic solutions to linear differential equations in Banach spaces”, Proceeding in DEAA, Vietnam J of Math.30, pp 561 – 575 J Kato, T Naito anh J.S.Shin, A characterization of solutions in linear differential equations with periodic forcing functions, to appear J.L Massera (1950), “The existence of periodic solutions of systems of differential equations”, Duke Math J.17, pp 457 – 475 T Naito, J.S.Shin, J Kato (2004), Initial values of bounded solutions of linear differential equations with periodic forcing functions, Hochiminh [...]...  (26) với et Pw và et  t j t j 1 v  t , b f  :  A   E  Y  A P b f   et  s  A P f  s  ds (27)    j 0  j  1! 0 là hàm tuần hoàn chu kì  , mà không cần thiết là nghiệm của phương trình (25) m 1 Chương 4: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN, TÍNH BỊ CHẶN, TÍNH TUẦN HOÀN 4.1 TÍNH BỊ CHẶN VÀ TÍNH TUẦN HOÀN 4.1.1 Phương trình sai phân tuyến tính (21): xn  e A xn 1  b Rõ ràng, nghiệm. .. 3.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH Ta xem xét trở lại vi c biểu diễn nghiệm của phương trình x  Ax  t   f  t  (1) Để áp dụng ý tưởng ở trên đối với phương trình (1) với x  0   w là điều kiện đầu của nghiệm, ta sẽ tịnh tiến nghiệm x  t;0, w  của phương trình (1) như sau: x  t;0, w   e Atw  z  t   g  t  (16) t g  t   z  t    e At  s  f  s  ds với (17) 0 Ta sẽ tìm một hàm. ..  ik E  M ik với ik    A Dễ dàng chứng minh được (30), khi đó theo định lí 4.1, ta có P xn  bị chặn, suy ra Phương trình (21) có nghiệm bị chặn  4.1.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH (1): x  Ax  t   f  t  Chúng ta có kết quả tương ứng với định lí 4.1 Định lí 4.3: Trong phương trình (1), những phát biểu sau là đúng 1) Nếu Re > 0, thì nghiệm P x  t ;0, w  bị chặn trên 0, ... đây ta đưa ra một lớp đầy đủ của tập giá trị đầu theo dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình (1) bằng vi c sử dụng định lí 3.4 Đặt   Y  P w, P b , A  E     A  E  P w  Y X Pw , P b f , A   E  Pw  X   A P b f   f    A P b f Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình (1) có thể được mô tả bằng một chỉ số tăng  m1 , m2 , , ml  với giá trị ban đầu w được xác định bởi: *... lí 3.2, phương trình (18) có nghiệm duy nhất P z  t  và được biểu diễn bởi P z  t   P z  s  n   P  s   P e sA xn  0  (19) với xn  0  là nghiệm của phương trình sai phân xn  e A xn 1  b f , x0  0 (20) và điều kiện đối với hàm ban đầu trở thành P  0   P     e A P b f 3.3.1 TRƯỜNG HỢP RỜI RẠC Xét phương trình sai phân xn  e A xn 1  b , x0  w (21) Nghiệm. .. g(t) là một hàm liên tục và tuần hoàn chu kì  Rõ ràng, g(t) là một hàm liên tục và tuần hoàn chu kì  khi và chỉ khi z(t) là một nghiệm liên tục của phương trình: z  t     z  t   e At b f , t    z  t   1 e At b f , t  đó là , Vì g(t) là một hàm tuần hoàn chu kì  và số hạng thứ hai của vế phải (17) được xác định trên , cho nên ta chỉ cần xét z(t) trên 0,     * Ta tính 1... A là phổ của A, bao gồm r phần tử i với chỉ số mi , i = 1,…,r Đặt M i  N  A   E   mi i là không gian riêng suy rộng của A ứng với giá trị riêng i Khi đó ta có sự phân tích tổng trực tiếp d Đặt Pi là phép chiếu từ  M 1  M 2   M r d lên M i cảm sinh từ sự phân tích này Để tính toán đơn giản, ta gọi  là một trong các giá trị riêng của A và m là số chỉ số của  Xét phương trình P... 0, i  0,1, , m  1 nên P xn  là bị chặn với bất kì x0 nào  n  e Định lí 4.2: Các phát biểu sau là tương đương: 1) Phương trình (21) có nghiệm bị chặn 2) Pik b   A  ik E  M ik với ik    A Chứng minh định lí 4.2: 1)  2) Giả sử phương trình (21) có nghiệm bị chặn Áp dụng định lí 4.1, ta có:   A  ik E  Pik x0  Yik  A Pik b  0 với một vài số nguyên k * Nếu m =1, ta có:... thì mỗi nghiệm x(t ;0, w ) là một nghiệm tuần hoàn chu kì  2) Nếu b f  0 , thì tất cả nghiệm x(t;0, w ) là không bị chặn Ý tưởng cơ bản đã được phát biểu một cách đơn giản trong định lí 3.1 Chúng tôi sẽ tổng quát hoá những kết quả ở trên đến phương trình (1) Khi đó vấn đề là tìm những hàm tưong ứng với eat t  1 b , 1  ea f eat b f trong (7) và (8) Để làm được như vậy, ta vi t lại nghiệm của (6):...  t Vì lim    bị chặn trên 0,   nên P x  t ;0, w  bị chặn trên 0,   với bất kì w nào  Một kết quả dưới đây có tương ứng với định lí 4.2 Định lí 4.4: Những phát biểu sau là tương đương: 1) Phương trình (1) có nghiệm bị chặn trên 0,   2) Pik b f   A  ik E  M ik với ik    A 3) b f  R  A  ik E  với mọi k   1 4) Pik fˆk   A  ik E  M ik với ik    A