BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thúy Hồng THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU RIEMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thúy Hồng THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU RIEMANN Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Luận văn ñược hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy Nguyễn Thái Sơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc ñến thầy – người ñã bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu ñề tài kinh nghiệm thực ñề tài, cung cấp nhiều tài liệu truyền ñạt kiến thức quý báu suốt trình thực luận văn Chân thành cảm ơn quý thầy tổ Hình học, khoa Toán – Tin trường ðại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh ñã giúp tác giả nâng cao trình ñộ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học cao học Chân thành cảm ơn quý thầy cô phòng khoa học công nghệ sau ñại học ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả thực luận văn Chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu ñồng nghiệp trường THPT Bình ðông – Tiền Giang ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học cao học Sau chân thành cảm ơn bạn lớp ñã trao ñổi, góp ý ñộng viên tác giả nhiều suốt trình thực luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2008 Tác giả Nguyễn Thị Thúy Hồng MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ðẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian phức ℂn 1.2 ðịnh nghĩa hàm chỉnh hình 1.3 ðịnh nghĩa miền chỉnh hình miền lồi chỉnh hình 1.4 Hàm ñiều hòa dưới, hàm ña ñiều hòa 10 1.5 Bao ña ñiều hòa 12 1.6 Nguyên lý môñun cực ñại 15 1.7 Không gian Banch hyperbolic 17 1.8 Tập cực tập ña cực 18 1.9 ðiều kiện lồi – ñĩa yếu tính chất 18 1.10 ðịnh lý Shiffmann 19 Chương THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH QUA SIÊU MẶT 20 2.1 ðịnh lý Kwack 20 2.2 Mở rộng ñịnh lý Kwack sang vô hạn chiều 21 2.3 ðịnh lý thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs 25 Chương THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH QUA CÁC TẬP CỰC 29 3.1 Thác triển chỉnh hình qua tập cực 29 3.1.1 ðịnh nghĩa tập cực tính chất 29 3.1.2 Ký hiệu 30 3.1.3 ðịnh lý thác triển chỉnh hình qua tập ña cực ñóng 31 3.2 Thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn 38 3.2.1 ðịnh lý Noguchi 38 3.2.2 ðịnh nghĩa tập cực loại hữu hạn 39 3.2.3 ðịnh lý thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn ñóng với tập giá trị không gian giả lồi 39 3.2.4 ðịnh lý thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn ñóng với tập giá trị mặt Riemann compact hyperbolic 42 3.3 Miền Hartogs thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn 43 3.3.1.ðịnh nghĩa 43 3.3.2 Tính chất thác triển chỉnh hình thực qua tập cực loại hữu hạn (SPEP) 43 3.3.3 ðịnh lý quan hệ tính chất (SPEP) không gian giải tích Banach miền Hartogs 48 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ðẦU Lý chọn ñề tài: Thác triển chỉnh hình toán trung tâm Giải tích phức hữu hạn vô hạn chiều Trên giới có nhiều nhà toán học quan tâm tới vấn ñề khoảng thập kỷ qua ñã có nhiều kết nghiên cứu quan trọng Shiffman, Nguyen Thanh Van, Ahmed Zeriahi, … Ở Việt Nam hình thành nhóm mạnh nghiên cứu toán này, ñó bật nhà khoa học Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khoái, ðỗ ðức Thái Lê Mậu Hải Cho ñến việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng ñáng ý: Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, hay gọi thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Trong ñó trường hợp ñặc biệt quan trọng với ñiều kiện không gian phức X ánh xạ chỉnh hình từ H ( r ) → X thác triển chỉnh hình tới ∆ , ñây < r < H (r ) = {( z1 , z2 ) ∈ ∆ :| z1 | < r} ∪ {( z1 , z2 ) ∈ ∆ :| z2 | > − r} với ∆ = { z ∈C: |z| cho ∂∆ ε e ∩ S = ∅ Ta viết B = ℂe ⊕ F với E = ℂe ⊕ E1 , E1 ⊂ F Do tính compact ∂∆ ε e × ta tìm ñược lân cận D ∈ F cho ( ∂∆ ε e × D ) ∩ S = ∅ fˆ ( ∂∆ ε e × D ) compact tương ñối X Giả sử φ hàm ña ñiều hòa vét cạn X, nguyên lý môñun cực ñại ta có: sup φfˆ = sup φfˆ < ∞ ∆ε e×D ∂∆ε e× D Do φ hàm vét cạn nên fˆ ( ∆ ε e × D ) compact tương ñối X Theo (i), tập fˆ ( ∆ ε e × D ) có lân cận hyperbolic W Từ ñẳng thức { d ∆ e×D ( z,z / ) = inf d ( ε ( z, z ) : dim E < ∞, z, z ∈ E} , / ∆εe×D )∩ E / ta suy d w fˆ ( z ) ,fˆ ( z / ) ≤ d ∆ e×D ( z, z / ) ( ) ε Vậy fˆ liên tục ñó f chỉnh hình ∆ ε e × D (v) Cuối cùng, cách lặp lại lặp luận (ii), {f } ⊂ H ( Z \ S,X ) = H ( Z,X ) k hội tụ tới f H ( Z \ S,X ) f k ( z k ) → f ( z ) với {z k } ⊂ Z \ S, z k → z ðiều suy f k → f H ( Z,X ) 42 ðịnh lý ñã ñược chứng minh xong Trên ñây ta ñã tìm hiểu ñược toán thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn trường hợp X không gian giả lồi ðể có nhìn toàn diện nội dung này, sau ñây ta xem xét trường hợp X mặt Riemann compact hyperbolic ðó nội dung ñịnh lý sau ñây: 3.2.4 ðịnh lý Cho X mặt Riemann compact hyperbolic Khi ñó, H ( Z ,X ) ≅ H ( Z \ S ,X ) với tập mở Z không gian Banach B tập cực loại hữu hạn ñóng S ⊂ Z Chứng minh ɺɺ , ánh xạ thu hẹp R : H ( ∆,X ) → H ( ∆ \ S,X ) song ánh với Theo Jarvi tập ñóng cực loại hữu hạn S Z Theo tính ñầy ñủ hyperbolic X, ta suy H (∆,X) ≅ H (∆ \ S,X) Do ñịnh lý 3.2.3 ta suy H ( Z,X ) ≅ H ( Z \ S,X ) với tập mở Z không gian Banach B tập cực loại hữu hạn ñóng S Z Trong khuôn khổ ñề tài xem xét toán thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn, muốn tìm hiểu thêm quan hệ không gian giải tích banach miền Hartogs mối tương quan với việc thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn 43 3.3 Miền Hartogs thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn Trước hết ta ñịnh nghĩa tính thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn 3.3.1 ðịnh nghĩa • ðịnh nghĩa Miền Hartogs D với mặt phẳng ñối xứng z n = a n miền với z o = ( z1o , , z on ) ∈ D ñiểm ( ) z = z1o , , zon −1 , a n + ( zon − a n ) eiθn ∈ D ∀θ n ( ≤ θ n ≤ 2π ) • ðịnh nghĩa Một không gian giải tích Banach X ñược gọi có tính chất thác triển chỉnh hình thực qua tập cực loại hữu hạn ( gọi tắt có tính chất (SPEP)) H ( Z,X ) ≅ H ( Z \ S,X ) , ñây Z miền không gian Banach B S tập cực loại hữu hạn ñóng Z Bây ta xét X không gian phức φ hàm ñiều hòa X Xét miền Hartogs Ωφ ( X ) cho Ωφ ( X ) = {( x, λ ) ∈ X × ℂ : λ < e − φ( x ) } Trước tiên ta có ñịnh lý sau ñây: 3.3.2 ðịnh lý Giả sử X không gian phức φ hàm ña ñiều hòa X Giả sử ρ metric Hermit X 44 Nếu X có tính chất (SPEP) lim sup  ε log ρ ( x,a ) − φ ( x )  < với x →a ε > moi a ∈ X Ωφ ( X ) có tính chất (SPEP) ɺ Chứng minh Quá trình chứng minh mệnh ñề ñược chia làm bước: Bước 1: Ta chứng minh H ( Z, Ωφ ( X ) ) ≅ H ( Z \ S, Ωφ ( X ) ) với tập cực ñóng S tập mở Z ℂ (i) Giả sử f := ( f1 ,f ) : Z \ S → Ωφ ( X ) ánh xạ chỉnh hình Nếu fj thác triển chỉnh hình tới fˆj Z, hàm ψ ( z ) = log fˆ2 ( z ) + φ fˆ1 ( z ) < Z \ S Do ψ ñiều hòa ( ) nên theo nguyên lý môñun cực ñại ψ(z) < với z ∈ Z fˆ = fˆ1 ,fˆ2 ∈ H ( Z, Ωφ ( X ) ) ( ) Do giả thiết, f1 thác triển chỉnh hình thành ánh xạ chỉnh hình fˆ1 : Z → X Cho s ∈ S Chọn lân cận Stein U fˆ1 ( s ) X cho U ñẳng cấu với tập giải tích hình cầu mở ℂ m Khi ñó tồn lân cận W s Z cho fˆ1 ( z ) ∈ U, ∀z ∈ W 45 Do φ hàm ña ñiều hòa nên theo Fornaess Narashimhan [2], π −1 ( U ) không gian Stein, ñây π phép chiếu tắc Ωφ ( U ) = {( x,λ ) ∈ U × ℂ : λ < e− φ( x ) } lên U xác ñịnh π ( x,λ ) = x Do ñó ta cần chứng minh f2 có thác triển chỉnh hình tới fˆ2 Cố ñịnh s / ∈ S ∩ W tùy ý Viết h ( z ) := fˆ1 ( z ) − fˆ1 ( s / ) = ( h1 ( z ) , h ( z ) , ,h m ( z ) ) , z ∈ W p h1 ( z ) = ( z − s / ) g ( z ) , g ( s / ) ≠ Ta chon ε > saocho εp ( p + ) < ɺ Do giả thiết ñối với φ , tồn δ > cho ε log x − fˆ1 ( s / ) − φ ( x ) < ∀x ∈ U : x − fˆ1 ( s / ) < δ hay tương ñương e − φ( x ) ≤ với x ∈ U cho x − fˆ1 ( s / ) < δ ε / x − fˆ ( s ) Ta chọn lân cận W1 s/ W cho fˆ1 ( z ) − fˆ1 ( s / ) < δ ∀z ∈ W1 r = inf g ( z ) > z∈W1 Khi ñó f2 ( z ) < e − φ fˆ1 ( z ) ( ) ≤ với z ∈ W1 \ S ≤ fˆ1 ( z ) − fˆ1 ( s / ) C z pε g (z) pε ≤ ε < C ( C pε r pε z { max h1 ( z ) , , h m ( z ) }) ε 46 Ở ñây C số không phụ thuộc vào z ∈ W1 \ S Bất ñẳng thức suy f2 khả tích bậc p + W1 Bởi Λ 2−p ( S) = với p / = / p+2 số liên hợp p + với p ≥ , p +1 nên f2 ñược thác triển chỉnh hình ñến fˆ2 W1 Vậy f thác triển chỉnh hình tới fˆ := fˆ1 ,fˆ2 : Z → Ωφ ( X ) ( ) Giả sử {f k = ( f1k ,f 2k )} dãy ánh xạ chỉnh hình từ Z \ S vào (ii) Ωφ ( X ) cho dãy hội tụ tới f = ( f1, f2) với tập cực ñóng S tập mở Z ℂ Theo (i), f ik fi ( i = 1, 2) ñược thác triển chỉnh hình thành ánh xạ chỉnh hình fˆik fˆi giả thiết, fˆ1k hội tụ fˆ1 H(Z, X) { } Mặt khác, theo nguyên lý môñun cực ñại fˆ2k hội tụ fˆ2 H(Z) { } Do ñó, fˆ k hội tụ fˆ H ( Z, Ωφ ( X ) ) { } Bước 2: Do ñịnh lý 3.1.3, Ωφ ( X ) có tính chất H ( Z, Ωφ ( X ) ) ≅ H ( Z \ S, Ωφ ( X ) ) với tập cực ñóng S tập mở Z ℂ n 47 Bước 3: Giả sử f := ( f1 ,f ) : Z \ S → Ωφ ( X ) ánh xạ chỉnh hình Ở ñây, S tập cực loại hữu hạn ñóng tập mở Z không gian Banach B Do giả thiết, f1 thác triển chỉnh hình thành ánh xạ chỉnh hình fˆ1 : Z → X Theo bước 2, f2 ñược mở rộng tới hàm chỉnh hình Gateaux fˆ2 Z Do ñó theo ñịnh lý Zorn, fˆ2 chỉnh hình W Do s tùy ý nên fˆ2 chỉnh hình Z Vậy f ñược thác triển chỉnh hình tới fˆ : Z → Ωφ ( X ) Bước 4: Giả sử {f k = ( f1k ,f 2k )} dãy ánh xạ chỉnh hình từ Z \ S vào Ωφ ( X ) cho dãy hội tụ tới f = ( f1 ,f ) , ñây S Z bước Theo giả thiết, fˆ1k hội tụ tới fˆ1 H(Z, X) Ta cần kiểm tra lại { } {fˆ } hội tụ tới fˆ k 2 H(Z) Khi ñó, fˆ k hội tụ tới fˆ H ( Z, Ωφ ( X ) ) { } Thật vậy, cho s ∈ S Không làm tính tổng quát ta giả sử s = Vì S tập cực loại hữu hạn nên theo ñịnh nghĩa, tồn không gian hữu hạn chiều E B hàm ñiều hòa φ lân cận U E cho φ ≠ −∞ φ U∩S = −∞ Chọn e ∈ U ñể φ ( e ) ≠ −∞ viết B = ℂe ⊕ F , ñây F không gian B với E = ℂe ⊕ E1 với E1 ⊂ F 48 Do ℂe ∩ S tập cực nên tồn ε > cho ∂∆ ε e ∩ S = ∅ Vậy tồn lân cận D ∈ F cho ( ∂∆ ε e × D ) ∩ S = ∅ Ta có fˆ2k hội tụ fˆ2 ñều tập compact ∂∆ ε e × D Theo nguyên lý môñun cực ñại, fˆ2k hội tụ fˆ2 ñều tập compact ∆ ε e × D lân cận s = Z ðịnh lý ñã ñược chứng minh xong ðến ñây vấn ñề ñược ñặt cách tự nhiên liệu ñiều ngược lại có ñúng hay không ðể trả lời câu hỏi này, có ñịnh lý sau ñây: 3.3.3 ðịnh lý Giả sử X không gian phức φ hàm ña ñiều hòa X Giả sử ρ metric Hermit X Nếu Ωφ ( X ) có tính chất (SPEP) X có tính chất (SPEP) liminf  ε log ρ ( x,a ) − φ ( x )  < với ε > a ∈ X x →a Chứng minh Vì X ñóng Ωφ ( X ) nên X có tính chất (SPEP) Bây ta chứng minh liminf ε logρ x,a − φ ( x )  < x →a với ε > moi a ∈ X ɺ 49 Thật vậy, giả sử tồn a ∈ X ε cho liminf ε log x − a − φ ( x )  ≥ x →a Do ε  liminf  log x − a − φ ( x )  = limsup ε log x − a − φ ( x )  x →a x →a 2   ε  + liminf − − log x a   = +∞ x →a Ta tìm ñược ε < r0 < cho log x − a − φ ( x ) > ∀x : x − a < r0 hay tương ñương x −a ε/2 < e − φ( x ) ∀x : x − a < r0 Chọn số nguyên dương k, l cho k ε < l ðặt a = ( a1 ,a , ,a n ) Xác ñịnh ánh xạ chỉnh hình f : ∆* ( a ,r0 ) → Ωφ ( X ) bởi:  l f ( z ) =  a1 + ( z − a1 ) ,a2 , ,an , k  ( z − a1 )     Ở ñây ta ký hiệu ∆ ( a , r0 ) ∆* ( a , r0 ) ñĩa ñĩa thủng có tâm a1 bán kính r0 Vì theo giả thiết, f thác triển chỉnh hình tới ∆ ( a1 , r0 ) ðiều vô lý Vậy ñịnh lý ñã ñược chứng minh xong Nhận xét 50 Ta có nhận xét ñiều kiện ñịnh lý 3.3.2 ñược thỏa với φ hàm liên tục ∆ Tuy nhiên ðỗ ðức Thái ñã xây dựng hàm φ gián ñoạn 0∈ ∆ , ñiều hòa ∆ thỏa mãn ñiều kiện limin f φ ( z ) = −∞,φ ∆ ∈ ℂ ∞ limsup ε log z − φ ( z )  < Hơn Ωφ ( ∆ ) z →0 * z →0 không hyperbolic Áp dụng ñịnh lý 3.3.2 ta suy Ωφ ( ∆ ) có tính chất (SPEP) Thông qua ñịnh lý ñã trình bày, phần ta ñã tìm hiểu chứng minh ñược ba kết quan trọng Kết thứ nói tính chất thác triển chỉnh hình qua tập cực ñóng kết thứ hai ñề cập ñến khía cạnh việc thác triển chỉnh hình qua tập cực vô hạn chiều Cuối tìm hiểu tính chất thác triển chỉnh hình thực qua tập cực loại hữu hạn mà gọi có tính chất (SPEP) Chúng tìm hiểu ñược có hai lớp không gian có tính chất ñó Lớp thứ miền Riemann compact hyperbolic lớp thứ hai miền Hartogs Ωφ ( X ) trường hợp có thêm vài tính chất mà ñây ñã trình bày ðến ñây, vấn ñề ñược ñặt phải có không gian phức có tính chất thác triển chỉnh hình qua tập cực ∆ có tính chất thác triển chỉnh hình qua tập cực ñóng ña tạp phức? Câu trả lời cho câu hỏi ñây theo có lẽ không ñơn giản mà thời gian trình ñộ hạn chế, chưa thể trả lời ðó nội dung mà thời gian cho phép ñược tiếp xúc với tài liệu có liên quan, tiếp tục tìm hiểu thêm 51 KẾT LUẬN Thông qua Luận văn này, ñã tìm hiểu toán thác triển chỉnh hình kiểu Riemann tương ñối toàn diện Trước hết xuất phát từ ðịnh lý Kwack, tìm hiểu tính chất ∆* − thác triển (xem mở rộng ðịnh lý Kwack lên vô hạn chiều) Trong lộ trình này, tìm hiểu việc thác triển chỉnh hình qua siêu mặt Sau ñó, tìm hiểu việc thác triển chỉnh hình qua tập cực tập cực loại hữu hạn ðồng thời tìm hiểu tính thác triển chỉnh hình thực qua tập cực loại hữu hạn miền Hartogs Ωϕ ( X ) Các kiến thức có liên quan ñến Luận văn chủ yếu tài liệu mà giảng viên hướng dẫn cung cấp Do ñó cố gắng tìm hiểu, thời gian có hạn nên Luận văn chưa ñược trình bày cách mạch lạc Về việc khắc phục ñược Ngoài ra, việc nghiên cứu thêm việc thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs (tức thác triển lên bao chỉnh hình) hướng tích cực mà muốn tìm hiểu thời gian cho phép 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải (2001), Hàm biến phức, Nxb ðại Học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Văn Khuê – Vũ Tuấn (1990), Hàm số biến số phức, Nxb GiáoDục B.V Sabat, Nguyễn Thủy Thanh Hà Huy Khoái dịch ( 1979), Nhập môn giải tích phức, Nxb ðại học Trung Học Chuyên Nghiệp Nguyễn Thái Sơn (1998), Thác triển Riemann – Hartogs ánh xạ chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến, Luận án tiến sĩ khoa học toán lý, Trường ðHSP Tp HCM, TpHồ Chí Minh Tiếng Anh S Dineen, R Timoney and J P Vigue ( 1985), Psuedodistances invariants sur les domains d’ un espace localement convexe, Ann Nor Sup Pisa 12, 515 – 529 J E Fornaess and Narashimhan ( 1980), The levi Problem on complex spaces with singularities, Math Ann 248, 47 – 72 R Harvey and J Polking ( 1975), Extending analytic objects, Comm Pure and Appl Math 28, 701 – 727 L L Helms ( 1975), Introduction to potential theory, NewYork ɺɺ ( 1991), Generalizations of Picard’s theorem for Reimann surfaces, P Jarvi Trans Amer Math Soc 2, 749 – 763 Maciej Klimek ( 1991), Pluripotential Theory, Departement of 53 Mathematics, University College Dublin, Oxford New York Tokyo Clarendon Press B Shiffman ( 1990), Hartogs theorem for separately holomorphic mapping into complex spaces, C R Acad Sci Paris Ser I310, 89 – 94 Nguyen Thai Son ( 1998), Separately holomorphic functions on compact sets, Acta Math, Vietnamica, Volume 23, Number 2, 207 – 216 Do Duc Thai, Nguyen Thi Tuyet Mai and Nguyen Thai Son ( 1991), Noguchi – type convergence – extension theorems for ( n,d ) - sets, Mathematics Subject Classification 10 Do Duc Thai and Nguyen Thai Son ( 1998), Extensions of holomorphic maps through hypersurfaces and relations to the Hartogs extensions in infinite dimension, Proceedings of the American Mathemmatical Society 11 M Zorn ( 1945), Charaterization of analytic functions in Banach spaces, Ann of Math (2) 46, 185 – 193 [...]... Như vậy, nằm trong khuôn khổ nghiên cứu việc thác triển chỉnh hình qua các tập mỏng, ñịnh lý Kwack ñã chứng minh sự thác triển qua ñĩa thủng, nghĩa là thác triển qua góc của mặt phẳng phức Sau ñó ðỗ ðức Thái ñã mở rộng sự nghiên cứu sang thác triển chỉnh hình qua siêu mặt Trong Luận văn này chúng tôi chủ yếu tìm hiểu tính chất thác triển chỉnh hình kiểu Riemann Tuy nhiên ñể thuận lợi trong một số chứng... về bách khoa toàn thư toán học 20 Chương 2 THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH QUA SIÊU MẶT Như mục ñích ñề ra của Luận văn này, chúng tôi muốn tìm hiểu về tính chất thác triển chỉnh hình Riemann, tức là thác triển chỉnh hình qua các tập mỏng ðể bắt ñầu, chúng tôi tìm hiểu ñịnh lý Kwack Vào năm 1972, Muyung H Kwack ñã phát biểu và chứng minh tính chất thác triển chỉnh hình qua ñĩa thủng như sau: 2.1 ðịnh lý Kwack... 0 ∈ ℂ n , ñược gọi là hàm chỉnh hình tại ñiểm z 0 Hàm chỉnh hình tại mỗi ñiểm của tập mở nào ñó Ω ⊂ ℂ n ( ñặc biệt là các miền) ñược gọi là chỉnh hình trên tập Ω , kí hiệu là H ( Ω ) 1.3 ðịnh nghĩa miền chỉnh hình và miền lồi chỉnh hình • ðịnh nghĩa 1 Miền G chứa miền Ω trong ℂn gọi là mở rộng chỉnh hình của Ω nếu mọi hàm chỉnh hình trên Ω có thể mở rộng tới một hàm chỉnh hình trên G a) Giả sử Ω là... minh 29 CHƯƠNG 3 THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH QUA CÁC TẬP CỰC Trong chương 2 chúng ta ñã tìm hiểu việc thác triển chỉnh hình qua siêu mặt như là một sự mở rộng của ñịnh lý Kwack từ hữu hạn sang vô hạn chiều Tuy nhiên như trong phần mở ñầu chúng ta ñã ñề cập ñến, trong luận văn này chúng tôi muốn tìm hiểu việc thác triển chỉnh hình qua các tập mỏng khác ðó là nội dung của việc thác triển chỉnh hình qua tập cực,... liên thông, thì Ω là miền mở rộng chỉnh hình của Ω \ K nếu n > 1 b) Nếu G là mở rộng chỉnh hình của Ω thì f ( Ω ) = f ( G ) với mọi hàm f chỉnh hình trên G Thật vậy nếu không tồn tại hàm f chỉnh hình trên G và ω0 ∈ f ( G ) \ f ( Ω ) Khi ñó hàm g (z) = 1 , z ∈Ω f ( z ) − ω0 chỉnh hình trên Ω không thể mở rộng chỉnh hình tới G 10 c) Nếu Ω là bị chặn còn G là mở rộng chỉnh hình của Ω , thì G bị chặn Thật... cũng muốn trình bày một số nội dung có liên quan ñến tính chất thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Cụ thể ta có ñịnh lý sau ñây: 2.3 ðịnh lý Cho X là một không gian giải tích Banach thỏa mãn ñiều kiện lồi – ñĩa yếu Khi ñó X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs 26 Chứng minh Cho f : Ω → X là một ánh xạ chỉnh hình, ở ñây Ω là một miền Riemann trên một không gian Banach B có cơ sở Schauder Xét sơ... giải tích Banach thỏa mãn ñiều kiện lồi ñĩa yếu thì nó có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs 19 1.10 ðịnh lý Shiffman Giả sử X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs, A là một tập con không ña cực của V và ánh xạ f : U × V → X thỏa ñiều kiện: 1 f z ∈ Hol(V , X ) với mọi z ∈U 2 f w ∈ Hol(U , X ) với mọi w ∈ A Khi ñó f chỉnh hình trên U × V Trên ñây là các ñịnh nghĩa khái niệm mà chúng tôi... gk, g, hk và h là các ánh xạ chỉnh hình Theo ñịnh lý Shiffman và theo tính thác triển chỉnh hình theo từng biến của X, ta chỉ cần chứng tỏ rằng các ánh xạ gk và g ( tương ứng hk và h) là các ánh xạ chỉnh hình theo z ∈ U \ S/ ( tương ứng theo w ∈ W \ S// ) Chúng ta chỉ cần chứng minh cho g và h vì việc chứng minh cho gk, hk, hoàn toàn tương tự Chứng minh g là ánh xạ chỉnh hình theo z ∈ U \ S/ Cố ñịnh... tìm hiểu việc thác triển chỉnh hình qua các tập mỏng khác ðó là nội dung của việc thác triển chỉnh hình qua tập cực, tập cực loại hữu hạn và nghiên cứu tính chất thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực thuộc loại hữu hạn 3.1 Thác triển chỉnh hình qua tập cực 3.1.1 ðịnh nghĩa Cho tập con X của ℝ n ( n ≥ 2 ) Ta nói X là tập cực nếu tồn tại tập mở Z bao hàm X và hàm ñiều hòa dưới φ trên Z sao cho φ X... \ S, X ) là ñồng phôi, ở ñây S là một tập cực ñóng trong ña tạp phức Z và X là một không gian phức Trong trường hợp thứ nhất ta nói X có tính chất thác triển chỉnh hình qua tập cực ñóng S và trong trường hợp còn lại ta nói X có tính chất thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực ñóng S Trước hết, chúng ta chứng minh ñịnh lý sau ñây: 3.1.3 ðịnh lý Cho X là một không gian phức sao cho H ( ∆ ,X ) ≅ H ( ... nghiên cứu tính chất ∆* - thác triển Năm 1995, ðỗ ðức Thái ñã chứng minh ñược X không gian phức có tính chất – thác triển chỉnh hình thực qua tập ña cực có tính chất n - thác triển chỉnh hình... 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Luận văn ñược hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy Nguyễn Thái Sơn Tác giả xin bày