BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Ý PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN BỊ NHIỄU: XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Ý PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN BỊ NHIỄU: XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN CÔNG TÂM Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin kính gửi đến Thầy Nguyễn Công Tâm lời cảm ơn sâu sắc giúp đỡ Thầy việc hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn thầy Lê Hoàn Hóa thầy Nguyễn Thành Long đọc cho nhiều ý kiến đóng góp bổ ích Xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Đại học khoa học tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy suốt khóa học Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc phòng Khoa học Công nghệ Sau đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban Giám hiệu trường THPT Chuyên Hùng Vương – Bình Dương tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành chương trình học Xin cảm ơn anh chị bạn lớp Cao học giải tích K16 anh chị bạn nhóm xemina Thầy Nguyễn Thành Long chủ trì hỗ trợ nhiều mặt thời gian học tập nghiên cứu Và cuối cùng, lời thân thương xin gửi đến gia đình tôi, nơi tạo cho điều kiện thuận lợi để học tập hoàn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 – 2008 Nguyễn Văn Ý MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương 1: CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm thông dụng 1.2 Không gian hàm Lp (0, T ; X ) , ≤ p ≤ ∞ 1.3 Phân bố có giá trị không gian Banach 1.4 Đạo hàm Lp (0, T ; X ) 1.5 Bổ đề tính compact Lions 1.6 Bổ đề hội tụ yếu Lq (Q) 1.7 Một số kết khác Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 10 2.1 Giới thiệu 10 2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính 10 2.3 Sự tồn nghiệm 21 Chương 3: SỰ HỘI TỤ CẤP HAI 25 3.1 Dãy lặp cấp hai 25 3.2 Sự hội tụ bậc hai 34 Chương 4: DÁNG ĐIỆU NGHIỆM KHI λ → + , δ → + 40 4.1 Dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu theo hai tham số λ , δ 40 4.2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu theo tham số λ 42 4.3 Khai triển tiệm cận theo tham số λ đến cấp N + 45 Chương 5: KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ 54 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 MỞ ĐẦU Các toán biên phi tuyến xuất khoa học ứng dụng ( Vật lý, Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật, ) phong phú đa dạng Đây nguồn đề tài mà nhiều nhà toán học từ trước đến quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn [2, – 12, 14 – 22] tài liệu tham khảo Chính vậy, cho đề tài nghiên cứu cần thiết, có ý nghĩa lý luận thực tiễn Trong luận văn nầy, muốn sử dụng phương pháp Giải tích hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với định lí điểm bất động, phương pháp khai triển tiệm cận nhằm khảo sát toán biên có liên quan đến vấn đề khoa học ứng dụng Trong luận văn này, xét toán giá trị biên ban đầu sau ∂ σ (u , u x ) + λut = F ( x, t ), < x < 1, < t < T , ∂x (0.1) utt − (0.2) u (0, t ) = u (1, t ) = 0, (0.3) u ( x,0) = u0 ( x), ut ( x,0) = u1 ( x), (0.4) σ (u, u x ) = u x + δ f (u ), λ , δ số không âm cho trước; f , F , u0 , u1 , hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau Trường hợp σ = σ (u x , u xt ) có nhiều công trình nghiên cứu Khởi đầu với trường hợp σ = σ (u x , u xt ) = β (u x ) + λu xt , λ > 0, β ∈ C (\), β (0) = 0, β ′ ≥ ε > 0, toán (0.1) – (0.3) xét Greenberg, MacCamy, Mizel [10] Đây mô hình toán học mô tả dao động dọc đàn hồi nhớt phi tuyến, u ( x, t ) độ dịch chuyển so với vị trí cân Từ xuất công trình [10], có nhiều công trình công bố liên quan đến toán nầy, chẳng hạn như: Greenberg [11], Greenberg, MacCamy [12], Dafermos [6], Andrews [2], Clements [4] Phương trình (0.1) với (0.4) mặt hình thức có dạng (0.5) utt − u xx = f ( x, t , u, u x , ut ), f ( x, t , u, u x , ut ) = F ( x, t ) + δ f ′(u )u x − λut , nhiên mặt ý nghĩa có điểm khác biệt riêng Trong [9], Ficken Fleishman chứng minh tồn nghiệm phương trình (0.6) u xx − utt − 2α1ut − α 2u = ε u + b, với ε > bé Trong báo Caughey Ellison [5], hợp xấp xỉ trường hợp trước để bàn tồn tại, tính ổn định tiệm cận nghiệm cổ điển cho hệ động lực phi tuyến liên tục Trong [7], Alain Phạm nghiên cứu tồn tại, dáng điệu tiệm cận ε → nghiệm yếu toán (0.3), (0.5) liên kết với điều kiện biên Dirichlet (0.7) u (0, t ) = u (1, t ) = 0, số hạng phương trình (0.5) cho (0.8) f = ε f1 (t , u, ut ) Nếu f1 ∈ C N ([0,∞] × \ ) thỏa f1 (t ,0,0) = với t ≥ 0, khai triển tiệm cận nghiệm toán (0.3), (0.7), (0.8) đến cấp N + theo ε thu với ε đủ nhỏ Trong [14, 15], Long Alain Phạm nghiên cứu toán (0.3), (0.5) với số hạng phi tuyến có dạng f = f1 (u , ut ) Trong [14], tác giả xét với điều kiện biên hỗn hợp (0.9) u x (0, t ) = hu (0, t ) + g (t ), u (1, t ) = 0, h > số cho trước [15] với điều kiện tổng quát t (0.10) u x (0, t ) = g (t ) + hu (0, t ) − ∫ k (t − s )u (0, s)ds, u (1, t ) = 0 Trong [16], Long Diễm nghiên cứu toán (0.3), (0.5) với điều kiện biên hỗn hợp (0.11) u x (0, t ) − h0u (0, t ) = u x (1, t ) + h1u (1, t ) = 0, h0 , h1 số không âm cho trước với h0 + h1 > số hạng phi tuyến vế phải có dạng (0.12) f = f ( x, t , u, u x , ut ) + ε f1 ( x, t , u, u x , ut ) Trong trường hợp f ∈ C ([0,1] × [0, ∞) × \ ), f1 ∈ C ([0,1] × [0, ∞) × \ ) tác giả thu khai triển tiệm cận nghiệm yếu uε đến cấp hai theo ε , với ε đủ nhỏ [16] Trong luận văn nghiên cứu tồn nghiệm địa phương toán (0.1) – (0.4) Chứng minh nhờ vào phương pháp Galerkin liên kết với đánh giá tiên nghiệm với kỹ thuật hội tụ yếu tính compact Tiếp đến khảo sát tồn dãy lặp cấp hai hội tụ dãy nghiệm yếu toán (0.1) – (0.4) tương ứng Sau nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu uλ ,δ (phụ thuộc λ , δ ) toán (0.1) – (0.4) (λ , δ ) → (0+ ,0+ ) khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán nhiễu theo tham số nhiễu λ đến cấp N + 1, tức nghiệm xấp xỉ đa thức theo λ (0.13) N uλ ( x, t ) ≈ ∑ ulk ( x, t )λ k , k =0 theo nghĩa cần hàm ulk ( x, t ), k = 0,1, , N , thiết lập đánh giá theo dạng (0.14) N uλt − ∑ ulk t λ k k =0 N L∞ (0,T ; L2 ) + uλ − ∑ ulk λ k k =0 L∞ (0,T ; H 01 ) ≤ CT λ N +1 Luận văn trình bày theo chương mục sau: Phần mở đầu, tổng quan toán khảo sát luận văn, điểm qua kết có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn ¾ Chương 1, trình bày số kết chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại số không gian hàm, số kết phép nhúng compact không gian hàm ¾ Chương 2, tập trung nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán (0.1) – (0.4) ¾ Chương 3, tập trung nghiên cứu tồn hội tụ dãy lặp cấp hai nghiệm yếu toán (0.1) – (0.4) ¾ Chương 4, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu toán (0.1) – (0.4) khai triển tiệm cận theo tham số λ đến cấp N + ¾ Chương 5, minh họa cho khai triển tiệm cận theo λ chương trường hợp cụ thể Chương 1: CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm thông dụng Đầu tiên ta đặt kí hiệu sau Ω = (0,1), QT = Ω × (0, T ), T > bỏ qua định nghĩa không gian hàm thông dụng: C m (Ω), Lp (Ω), H m (Ω), W m , p (Ω) Để cho gọn, ta kí hiệu lại sau: Lp = Lp (Ω), H m = H m (Ω) = W m ,2 (Ω), W m, p = W m , p (Ω) ( xem [1, 3]) Ta định nghĩa L2 = L2 (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng (1.1.1) u , v = ∫ u ( x)v( x)dx, u, v ∈ L2 Kí hiệu để chuẩn sinh tích vô hướng (1.1.1), nghĩa ⎛ ⎞ u , u = ⎜ ∫ u ( x) dx ⎟ , u ∈ L2 ⎝0 ⎠ (1.1.2) u = Định nghĩa không gian Sobolev cấp (1.1.3) H = {v ∈ L2 : v′ ∈ L2 } Không gian không gian Hilbert tích vô hướng (1.1.4) u, v Kí hiệu (1.1.5) u H1 H1 H1 = = u, v + u′, v′ để chuẩn sinh tích vô hướng (1.1.4), nghĩa u, u H1 , u ∈ H Ta có bổ đề liên hệ hai không gian L2 H sau Bổ đề 1.1 Phép nhúng H -C (Ω) compact (1.1.6) v C0 (Ω) ≤ v H1 , ∀v ∈ H Chứng minh Xem Adams[1] Ta sử dụng không gian Sobolev đặc biệt không gian (1.1.7) H = D (Ω) H1 H1 ∞ c = C (Ω ) Bổ đề 1.2 Ta có phép nhúng từ H 01 -C (Ω) compact (1.1.8) ⎧ v C ( Ω ) ≤ vx = v H ∀v ∈ H 01 , ⎪ ⎨ v H ≤ vx = v H ≤ v H ∀v ∈ H 01 ⎪ ⎩ Chứng minh bổ đề 1.2 không khó khăn Một cách đặc trưng khác để xác định H 01 (1.1.9) H 01 = {v ∈ H : v(0) = v(1) = 0} Bổ đề 1.3 Đồng L2 với ( L2 )′ (đối ngẫu L2 ) Khi ta có H 01 - L2 ≡ ( L2 )′ - ( H 01 )′ ≡ H −1 với phép nhúng liên tục nằm trù mật Chú thích 1.2 Từ Bổ đề 1.3, ta dùng ký hiệu tích vô hướng ⋅, ⋅ L2 để cặp tích đối ngẫu ⋅, ⋅ H −1 , H 01 ký hiệu Ta ký hiệu ⋅ H 01 H −1 Chuẩn L2 để chuẩn không gian Banach X X gọi X ′ không gian đối ngẫu X 1.2 Không gian hàm Lp (0, T ; X ), ≤ p ≤ ∞ Cho X không gian Banach thực với chuẩn ⋅ X Ta kí hiệu Lp (0, T ; X ), ≤ p ≤ ∞ không gian lớp tương đương chứa hàm u : (0, T ) → X đo cho ⎛ = ⎜ ∫ u (t ) ⎝0 T u p L (0,T ; X ) p ⎞ dt ⎟ < ∞, ≤ p < ∞ X ⎠ p 45 J = 2δ * t ∫ ( f ′(uλ δ ( s)) − f ′(u , t = 2δ ,δ ( s )) ) ∇u0 ,δ ( s ), v( s ) ds f ′′(u0 ,δ ( s ) + θ3v( s ))v( s )∇u0 ,δ ( s ), v( s ) ds ∫ t ≤ 2δ * K ∫ ∇v( s ) ∇u0 ,δ ( s ) v( s ) ds (4.2.6) t ≤ 2δ * K M ∫ ∇v( s ) v( s ) ds t ≤ δ * K M ∫ σ ( s )ds Do (4.2.3) – (4.2.6) ta có t (4.2.7) σ (t ) ≤ λ M 2T + (1 + δ * ( K1 + K M ) ) ∫ σ ( s)ds Do bổ đề Gronwall, ta suy từ (4.2.7) (4.2.8) σ (t ) ≤ λ M 2Te(1+δ ( K + K M ))t ≤ λ M 2Te(1+δ ( K + K M ))T , ∀t ∈ [0, T ] * * Do (4.2.9) uλ ,δ − u0,δ W1 ( T ) ≤ C1λ , (1+δ ( K + K M ) )T với C1 = T Me Định lí 4.2 chứng minh , * 4.3 Khai triển tiệm cận theo tham số λ đến cấp N + Ta định nghĩa số kí hiệu sau: Với đa số α = (α1 , ,α N ) ∈ ] N+ x = ( x1 , , xN ) ∈ \ N , ta đặt (4.3.1) α = α1 + + α N , α ! = α1 ! α N !, xα = x1α xαN N Trước hết ta sử dụng bổ đề sau Bổ đề 4.2 Cho m, N ∈ `, x = ( x1 , , xN ) ∈ \ N , λ ∈ \ Khi m (4.3.2) ⎛ N x λ i ⎞ = mN P[ m ] ( x)λ k , ⎜∑ i ⎟ ∑ k ⎝ i =1 ⎠ k =m 46 hệ số Pk[ m ] ( x), m ≤ k ≤ mN phụ thuộc vào x = ( x1 , , xN ) xác định công thức (4.3.3) m! α ⎧ [m] P ( x ) x , m ≤ k ≤ mN , = ∑ k ⎪⎪ α! α ∈A ⎨ N ⎪ A( m ) = α ∈ ] N : α = m, ∑ iα = k + i ⎪⎩ k i =1 (m) k { } Việc chứng minh bổ đề 4.2 nghiệm lại từ phép tính đại số thông thường nên bỏ qua chi tiết , Bây giờ, giả thiết thêm f ∈ C N + (\) (H6 ) Với tham số δ cố định, < δ ≤ δ * Ta ký hiệu lại u0 ≡ u0,δ ∈W1 ( M , T ) nghiệm yếu (Q ) ≡ (P0,δ ) tương ứng với λ = Ta xét hàm ui , i = 1,2, , N ui ∈W1 ( M , T ), (với M > 0, T > chọn thích hợp), nghiệm toán sau: ⎧ Lui = ui − Δui = Fi , < x < 1, < t < T , ⎪ ⎨ui (0, t ) = ui (1, t ) = 0, ⎪u ( x,0) = u ( x,0) = 0, i = 1, , N , i ⎩ i (Q i ) (4.3.4) ∂ ⎛ i (m) ⎞ Fi = −ui −1 + δ ⎜ ∑ f (u0 ) Pi [ m ] (u ) ⎟ , i = 1, , N ∂x ⎝ m=1 m! ⎠ Giả sử uλ ≡ uλ ,δ ∈W1 ( M , T ) nghiệm yếu toán (Q λ ) ≡ (Pλ ,δ ) Khi (4.3.5) N v = uλ − ∑ λ iui = uλ − h i =0 thỏa toán 47 ∂ ⎧  Lv = − λ v + δ ( f (v + h) − f (h) ) + Eλ ( x, t ), < x < 1, < t < T , ⎪ ∂x ⎪ ⎨v(0, t ) = v(1, t ) = 0, ⎪v( x,0) = v( x,0) = 0, ⎪ ⎩ (4.3.6) N ∂ Eλ ( x, t ) = −λ h + δ ( f (h) − f (u0 ) ) − ∑ λ i Fi ∂x i =1 (4.3.7) Bổ đề 4.3 Giả sử N ≥ 1, λ > 0, δ > ( H ) − ( H ), ( H ) Khi (4.3.8) Eλ L∞ (0,T ; L2 ) ≤ C N λ N +1 , ∀λ ∈ (0, λ* ) Chứng minh Với N = 1, việc chứng minh bổ đề 4.3 đơn giản, bỏ qua chi tiết Xét N ≥ Đặt N h = u0 + ∑ λ iui = u0 + h1 (4.3.9) i =1 Bằng cách dùng khai triển Taylor cho hàm f (h) = f (u0 + h1 ) quanh điểm u0 đến cấp N , sau áp dụng bổ đề 4.2, ta (m) 1 m f (h) = f (u0 ) + ∑ f (u0 )h1 + (1 − θ ) N f ( N +1) (u0 + θ h1 )dθ h1N +1 ∫ N!0 m =1 m ! N ⎡ k ( m) ⎤ = f (u0 ) + ∑ ⎢ ∑ f (u0 ) Pk[ m ] (u ) ⎥λ k + RN (λ ), k =1 ⎣ m =1 m ! ⎦ N (4.3.10) với mN (m) RN (λ ) = ∑ f (u0 ) ∑ Pk[ m ] (u )λ k m = m! k = N +1 1 (1 − θ ) N f ( N +1) (u0 + θ h1 )dθ h1N +1 + ∫ N!0 N (4.3.11) Do 48 (4.3.12) N +1 N ∂ Eλ ( x, t ) = − ∑ λ k uk −1 − ∑ λ k Fk + δ ( f (h) − f (u0 ) ) ∂x k =1 k =1 N ∂ ⎛ k ( m) ⎡ ⎞⎤ f (u0 ) Pk[ m ] (u ) ⎟ ⎥ = −λ N +1u N − ∑ λ k ⎢ Fk + uk −1 − δ ⎜ ∑ ∂x ⎝ m =1 m! k =1 ⎠⎦ ⎣ +δ ∂ ( RN (λ ) ) ∂x mN ⎡⎣ f ( m+1) (u0 ) Pk[ m ] (u )∇u0 + f ( m ) (u0 )∇ ( Pk[ m ] (u ) ) ⎤⎦ λ k ∑ m = m ! k = N +1 ∂ ⎡1 ( N +1) N N +1 ⎤ − + θ f u θ h d θ h +δ (1 ) ( ) 1 ∫ ⎥⎦ N ! ∂x ⎢⎣ N mN ( m+1) f = −λ N +1u N + δ ∑ (u0 ) Pk[ m ] (u )∇u0λ k ∑ m = m ! k = N +1 N mN f ( m ) (u0 )∇ ( Pk[ m ] (u ) ) λ k +δ ∑ ∑ m = m ! k = N +1 1 +δ ∇u0 h1N +1 ∫ (1 − θ ) N f ( N + 2) (u0 + θ h1 )dθ N! 1 +δ ∇h1h1N +1 ∫ θ (1 − θ ) N f ( N + 2) (u0 + θ h1 )dθ N! N +1 N +δ ∇h1h1 ∫ (1 − θ ) N f ( N +1) (u0 + θ h1 )dθ N! N = −λ N +1u N + δ ∑ Ta có đánh giá sau Đánh giá thứ (4.3.13) −λ N +1u N L∞ (0,T ; L2 ) Đánh giá thứ hai ≤ λ N +1 u N L∞ (0,T ; L2 ) 49 mN f ( m+1) (u0 ) ∇u0 ∑ Pk[ m ] (u )λ k m! k = N +1 N δ∑ m=2 (4.3.14) ≤ δ *λ N +1 K ∇u0 ≤ δ *λ N N +1 K ∇ u0 mN ×∑ ∑ ∑ m = k = N +1 α ∈ Ak( m ) với K = sup f ( m ) ( z ) , u0 z ≤C1 1≤ m ≤ N +1 N ∞ L (0,T ; L ) m=2 k = N +1 Pk[ m ] (u ) L∞ (0,T ; L2 ) λ*k − N −1 × L∞ (0,T ; L2 ) m 1⎛ N ⎜∑ u α ! ⎝ i =1 i L∞ (0,T ; L2 ) mN ∑ m! ∑ L∞ (0,T ; L2 ) L∞ ⎞ λ k − N −1 ≡ C λ N +1 , N * (0,T ; L ) ⎟ ⎠ ≤ C1 Đánh giá thứ ba mN f ( m ) (u0 ) ∇u0 ∑ ∇ ( Pk[ m ] (u ) ) λ k m! k = N +1 N δ∑ m=2 L∞ (0,T ; L2 ) mN ∇ ( Pk[ m ] (u ) ) ∑ L (0,T ; L ) ∑ m = m ! k = N +1 N +1 ≤ δ *λ K ∇u0 L (0,T ;L ) × ≤ δ *λ N +1 K ∇u0 N ∞ ∞ (m) k ≤ δ *λ N +1 K ∇u0 N ×∑ m=2 mN ∑ ∑ k = N +1 α ∈ Ak( m ) ≤ δ *λ N +1 K ∇u0 N (4.3.15) ×∑ mN N ∑α uα uα i =1 Đánh giá thứ tư i −1 i −1 i 1 N ∑ α ∇u1 α ! i =1 i uiα −1∇uiuiα+1 u αN i +1 i N L∞ (0,T ; L2 ) λ*k − N −1 α1 L∞ (0,T ; L2 ) ∇u N αN L∞ (0,T ; L2 ) λ*k − N −1 × L∞ (0,T ; L2 ) ∑ ∑ α ! ∇u α m = k = N +1 ∈ Ak( m ) × L∞ (0,T ; L2 ) m ∞ mN m! ∑ ∑ α! m = m ! k = N +1 α ∈ A N ×∑ k − N −1 λ * L (0,T ; L ) α1 L∞ (0,T ; L2 ) ∇u N αN L∞ (0,T ; L2 ) λ*k − N −1 ≡ C N2 λ N +1 50 1 N +1 δ ∇u0 h1 ∫ (1 − θ ) N f ( N + 2) (u0 + θ h1 )dθ N! L (0,T ; L ) K N +1 ≤ δ * ∇u0 L (0,T ; L ) N + ∫ (1 − θ ) N dθ ∇h1 L (0,T ;L ) N! N +1 K N + ⎛ N N +1 i −1 ⎞ ≤ λ δ * ∇u0 L (0,T ; L ) ⎜ ∑ ∇ui L (0,T ; L ) λ* ⎟ ( N + 1)! ⎝ i =1 ⎠ ≡ C λ N +1 , ∞ (4.3.16) ∞ ∞ ∞ ∞ 2 N { N với K m = sup f ( m ) (u ) : u ≤ ∑ ∇ui i =0 L∞ (0,T ; L2 ) }, m = N + 1, N + Đánh giá thứ năm 1 ∇h1h1N +1 ∫ θ (1 − θ ) N f ( N + 2) (u0 + θ h1 )dθ N! L (0,T ; L ) K N +1 ≤ δ * N + ∫ θ (1 − θ ) N dθ ∇h1 L (0,T ;L ) ∇h1 L (0,T ;L ) N! N +1 N  N +1 δ * K N + ⎛ i −1 ⎞ ⎛ N ∇u u λ λi ⎞ ≤λ ∇ ⎜∑ ⎜∑ i L (0,T ; L ) * ⎟ i L (0,T ; L ) * ⎟ ( N + 2)! ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ≡ C λ N +1 δ ∞ (4.3.17) ∞ ∞ ∞ 2 ∞ N Đánh giá thứ sáu (4.3.18) N +1 N δ ∇h1h1 ∫ (1 − θ ) N f ( N +1) (u0 + θ h1 )dθ N! ( N + 1) K N +1 N +1 ≤ δ* (1 − θ ) N dθ ∇h1 L (0,T ;L ) ∫ N! N +1 K N +1 ⎛ N N +1 i −1 ⎞ ≤ λ δ* ⎜ ∑ ∇ui L (0,T ; L ) λ* ⎟ N ! ⎝ i =1 ⎠ N + ≡ C N λ ∞ ∞ L∞ (0,T ; L2 ) 2 Do (4.3.13) – (4.3.18) nên từ (4.3.12) ta suy (4.3.19) C N = u N Eλ L∞ (0,T ; L2 ) L∞ (0,T ; L2 ) ≤ C N λ N +1 , ∀λ ∈ (0, λ* ), + C N1 + + C N5 51 Ta có bổ đề 4.3 chứng minh xong , Bây giờ, ta xét dãy {vm } xác định : v0 ≡ 0, (4.3.20) ⎧ Lvm = −λ vm−1 + δ∇( f (vm−1 + h) − f (h)) ⎪ + Eλ ( x, t ), < x < 1, < t < T , ⎪ ⎨ ⎪vm (0, t ) = vm (1, t ) = 0, ⎪⎩vm ( x,0) = vm ( x,0) = 0, m ≥ Với m = 1, ta có toán (4.3.21) ⎧ Lv1 = Eλ ( x, t ), < x < 1, < t < T , ⎪ ⎨v1 (0, t ) = v1 (1, t ) = 0, ⎪v ( x,0) = v ( x,0) = ⎩1 Nhân hai vế (4.3.21)1 với v1 tích phân theo t, ta (4.3.22) t v1 (t ) + a (v1 (t ), v1 (t )) = ∫ Eλ ( s ), v1 ( s) ds ≤ 2λ N +1C N T v1 L∞ (0,T ; L2 ) Dẫn đến (4.3.23) v1 L∞ (0,T ; L2 ) v1 W1 ( T ) ≤ 2λ N +1C N T Do (4.3.24) ≤ 4λ N +1C N T Tiếp theo ta chứng minh tồn số K T , độc lập với m λ , cho (4.3.25) ηm = ∇vm L∞ (0,T ; L2 ) + vm L∞ (0,T ; L2 ) ≤ K T λ N +1 , ∀m Nhân hai vế (4.3.20)1 với vm tích phân theo t, ta 52 vm (t ) + a (vm (t ), vm (t )) t ≤ 2λ ∫ vm−1 ( s ) ds vm (4.3.26) L∞ (0,T ; L2 ) t + 2δ ∫ ∇( f (vm−1 + h) − f (h)) ds vm L∞ (0,T ; L2 ) t + ∫ Eλ ( s ) ds vm L∞ (0,T ; L2 ) Ta có t (4.3.27) 2λ ∫ vm−1 ( s ) ds vm (4.3.28) L∞ (0,T ; L2 ) ≤ 2λ*T vm−1 L∞ (0,T ; L2 ) vm L∞ (0,T ; L2 ) ∇( f (vm−1 + h) − f (h)) = f ′(vm −1 + h)(∇vm−1 + ∇h) − f ′(h)∇h = ∇h[ f ′(vm−1 + h) − f ′(h)] + f ′(h + vm−1 )∇vm−1 = ∇hvm−1 f ′′(h + η vm−1 ) + f ′(h + vm−1 )∇vm−1 , < η < Ta có (4.3.29) ∇h N ∞ L ≤ ∑ λ*i ∇ui (0,T ; L ) i =0 N ∞ L ≤ M ∑ λ*i ≤ M (1 − λ* ) −1 (0,T ; L ) i =0 Dẫn đến (4.3.30) ∇( f (vm −1 + h) − f (h)) ≤ ∇vm−1 L∞ (0,T ; L2 ) ⎡⎣ MK (1 − λ* ) −1 + K1 ⎤⎦ , với (4.3.31) K i = sup { f ( i ) (u ) : u ≤ M (1 − λ* ) −1 + M } , i = 1,2 t (4.3.32) 2δ ∫ ∇( f (vm−1 + h) − f (h)) ds vm L∞ (0,T ; L2 ) ≤ 2δ *[( MK (1 − λ* ) −1 + K1 ]T ∇vm −1 t (4.3.33) ∫ Eλ ( s) ds vm L∞ (0,T ; L2 ) L∞ (0,T ; L2 ) ≤ 2λ N +1C N T vm Do (4.3.26), (4.3.27), (4.3.32), (4.3.33) nên (4.3.34) ηm ≤ ζηm−1 + τ , m = 1,2, , η0 = 0, vm L∞ (0,T ; L2 ) L∞ (0,T ; L2 ) 53 (4.3.35) ⎧⎪ζ = 2{λ* + δ *[ MK (1 − λ* ) −1 + K1 ]}T , ⎨ N +1 ⎪⎩τ = 2TC N λ Giả sử ζ < (với T > thích hợp) Khi theo bổ đề 1.13, chương 1, ta (4.3.36) ηm = ∇vm L∞ (0,T ; L2 ) + vm L∞ (0,T ; L2 ) ≤ K T λ N +1 , ∀m, 2TC N với K T = 1−ζ Mặt khác, dãy lặp tuyến tính {vm } xác định (4.3.20) hội tụ mạnh không gian W1 (T ) nghiệm yếu v toán (4.3.6) Do đó, cho m → +∞ (4.3.36), ta (4.3.37) ∇v L∞ (0,T ; L2 ) + v L∞ (0,T ; L2 ) ≤ K T λ N +1 hay (4.3.38) N ∇ u λ − ∑ λ i ∇ ui i =0 N L∞ (0,T ; L2 ) + uλ − ∑ λ iui i =0 L∞ (0,T ; L2 ) ≤ K T λ N +1 Vậy, ta có định lí sau Định lí 4.5 Giả sử giả thiết ( H ) − ( H ), ( H ) Khi tồn số M > 0, T > cho, ∀λ , ≤ λ ≤ λ* ≤ 1, toán (Q λ ) có nghiệm yếu uλ ∈W1 ( M , T ) thỏa đánh giá tiệm cận đến cấp N+1 theo λ sau (4.3.39) N uλ = ∑ λ iui + O(λ N +1 ) i =0 theo nghĩa (4.3.40) N ∇uλ − ∑ λ ∇ui i =0 N i L∞ (0,T ; L2 ) + uλ − ∑ λ iui i =0 L∞ (0,T ; L2 ) ≤ K T λ N +1 , 54 Chương 5: KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ Trong chương này, xét ví dụ cụ thể khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán (Qλ ) tương ứng với F ≡ 0, f (u ) = u đến cấp N = Gọi uλ , u0 , u1 , , u5 nghiệm yếu toán sau: (Q λ ) ⎧u − Δu = −λu + 5δ u 4∇u , < x < 1, < t < T , ⎪ ⎨u (0, t ) = u (1, t ) = 0, ⎪u ( x, 0) = u ( x), u ( x, 0) = u ( x), ⎩ (Q ) ⎧u − Δu = 5δ u 4∇u , < x < 1, < t < T , ⎪ ⎨u (0, t ) = u (1, t ) = 0, ⎪u ( x, 0) = u ( x), u ( x, 0) = u ( x), ⎩ (Q k ) ⎧uk − Δuk = Fk , < x < 1, < t < T , ⎪ ⎨uk (0, t ) = uk (1, t ) = 0, ⎪u ( x, 0) = u ( x, 0) = 0, k = 1, , 5, k ⎩ k hàm Fk (k = 1, ,5) tính tường minh sau: (5.1) (5.2) F1 = −u0 + 5δ {4u03∇u0u1 + u04∇u1}, F2 = −u1 + 5δ {u04 (∇u1 + ∇u2 ) + 4u03∇u0u1 + 4u03∇u0u2 + 6u02∇u0u12 + 4u03∇u1u1}, F3 = −u2 + 5δ {6u02∇u0u3 (5.3) + u04∇u3 + 6u02∇u0u1u2 + 4u03∇u1u2 + 4u03∇u2u1 + 4u0∇u0u13 + 6u02∇u1u12 }, F4 = −u3 + 5δ {4u03∇u0u4 + u04∇u4 + 12u02∇u0u1u3 (5.4) + 4u03 (∇u1u3 + ∇u3u1 ) + 6u02∇u0u12 + 4u02∇u2u1 + ∇u0u14 + 4u0∇u1u13}, 55 F5 = −u4 + 5δ {4u03∇u0u5 + u04∇u5 + 12u0∇u0u1u22 + 4u33 (∇u2u3 + ∇u3u2 + ∇u4u1 + ∇u1u4 ) (5.5) + 12u02∇u0 (u1u4 + u2u3 ) + 6u02 (∇u1u22 + u1u2∇u2 )} Khi v = uλ − ∑ λ iui ≡ uλ − h nghiệm yếu toán i =0 ⎧v − Δv = −λ v + 5δ ⎡⎣(v + h) (∇v + ∇h) − h 4∇h ⎤⎦ ⎪ + Eλ ( x, t ), < x < 1, < t < T , ⎪ ⎨ ⎪u (0, t ) = u (1, t ) = 0, ⎪u ( x, 0) = u ( x, 0) = 0, ⎩ (5.6) 5m Eλ ( x, t ) = −λ 6u5 + δ ∑ ∑ (5.7) ∑ α m = k = α1 + + = m α1 + 2α + + 5α = k u1α u5α λ k α1 ! α ! Bằng cách đánh giá tương tự bổ đề 4.3 ta thu Eλ ≤ K λ (5.8) Tiếp theo, cách xây dựng dãy hàm {vm } xác định (4.3.20) thực đánh giá tương tự cho dãy hàm {vm } Khi đó, ta có Định lí 5.1 Cho N = 5, F ≡ 0, f (u ) = u Giả sử giả thiết ( H ) − ( H ), ( H ) Khi đó, tồn số M > 0, T > cho với λ bé, toán (Qλ ) có nghiệm yếu uλ thỏa mãn đánh giá tiệm cận đến cấp sau (5.9) uλ = ∑ λ iui + O(λ ) i =0 theo nghĩa (5.10) ∇ u λ − ∑ λ i ∇ ui i =0 L∞ (0,T ; L2 ) + uλ − ∑ λ iui i =0 L∞ (0,T ; L2 ) K T số phụ thuộc vào M , T , ≤ K T λ , 56 KẾT LUẬN Luận văn sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính để khảo sát phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện Dirichlet Phương pháp giúp ta chứng minh tồn nghiệm khai triển tiệm cận nghiệm mà thân thiết lập nghiệm xấp xỉ tuyến tính hóa thuật giải thích hợp Nội dung luận văn tập trung chương 2, Ở chương 2, nghiên cứu phương trình sóng phi tuyến utt − ( u x + δ f (u ) ) x + λut = F ( x, t ), < x < 1, < t < T , với điều kiện biên đầu u (0, t ) = u (1, t ) = 0, u ( x,0) = u0 ( x), ut ( x,0) = u1 ( x), λ , δ số không âm cho trước; f , F , u0 , u1 hàm cho trước thỏa điều kiện Chúng thu kết tồn nghiệm Trong chương 3, thu tồn dãy lặp cấp hai hội tụ dãy nghiệm toán tương ứng Trong chương 4, thu dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu u = u (λ , δ ) (phụ thuộc λ , δ ) (λ , δ ) → (0+ ,0+ ) khai triển tiệm cận toán nhiễu tương ứng theo tham số λ đến cấp N + Cuối trường hợp cụ thể minh họa cho phần khai triển tiệm cận nghiệm yếu theo λ chương 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO R A Adams (1975), Sobolev spaces, Academic press, New York 1975 G Andrews (1980), On the existence of solutions to the equation utt = u xxt + σ (u x ) x , J Differential Equations 35 (1980) 200 – 231 H Brézis (1983), Analyse fonctionnelle, Théorie Applications, Masson Paris, 1983 J Clements (1975), On the existence and uniqueness of solutions of the equation utt − ∂ σ i (u x ) = Δ N ut = f , Canad Math Bull 18 (1975) 181 ∂xi i – 187 T Caughey, J Elison (1975), Existence uniqueness and stability of solution of a class of nonlinear differential equations, J Math Anal Appl 51(1975), – 32 C M Dafermos (1969), The mixed initial boundary value problem for the equation of nonlinear one dimensional viscoelasticity, J Differential Equations (1969) 71 – 86 Alain Phạm Ngọc Định (1983), Sur un problèmes hyperbolique faiblement nonlinéaire en dimension, Demonstratio Math 16 (1983), 269 – 289 Alain Phạm Ngọc Định, Nguyễn Thành Long (1986), Linear approximation and asymptotic expansion associated to the wave equation in one dimension, Demonstratio Math 19 (1) (1986), 45 – 63 F Ficken, B Fleishman (1957), Initial value problem and time periodic solutions for a nonlinear wave eqution, Communs Pure Appl Math 10 (1957), 331 – 356 10 J M Greenberg, R.C MacCamy, V J Mizel (1968), On the existence, 58 uniqueness and stability of solutions of the equation σ ′(u x )u xx + λu xtx = ρ0utt , J Math Mech 17 (1968) 707 – 728 11 J M Greenberg (1969), On the existence, uniqueness and stability of solutions of the equation ρ0 X tt = E ( X x ) X xx + λ X xtx , J Math Anal Appl 25 (1969) 575 – 591 12 J M Greenberg, R.C MacCamy, On the exponential stability of solutions of E (u x )u xx + λu xtx = ρ utt , J Math Anal Appl 31 (1970) 406 – 417 13 J.L Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non-linéaires, Dunod; Gauthier-Villars, Paris, 1969 14 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định (1992), On the quasilinear wave equation utt − Δu + f (u , u ) = associated with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal 19 (7) (1992) 613 – 623 15 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định (1995), A semilinear wave equation associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal 24 (8) (1995) 1261 – 1279 16 Nguyễn Thành Long, Trần Ngọc Diễm (1997), On the nonlinear wave equation utt − u xx = f ( x, t , u, u x , ut ) associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal 29 (11) (1997) 1217 – 1230 [ http://dx.doi.org/10.1016/S0362-546X(97)87360-9 ] 17 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm (2002), Linear recursive schemes and asymptotic expansion associated with the Kirchhoff-Carrier operator, J Math Anal Appl 267 (1) (2002), 116–134 [ http://dx.doi.org/10.1006/jmaa.2001.7755 ] 18 Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc (2007), On a nonlinear 59 Kirchhoff–Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic convergence and asymptotic expansion of solutions, Demonstratio Math 40 (2) (2007), 365–392 [http://demmath.mini.pw.edu.pl/pdf/dm40_2.pdf] 19 Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường (2007), Existence and asymptotic expansion for a viscoelastic problem with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 67 (3) (2007), 842 – 864 [ http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2006.06.044 ] 20 Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm, Nguyễn Thị Thảo Trúc (2005), On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous condition: Linear approximation and asymptotic expansion of solution, Demonstratio Math 38 (2) (2005), 365 – 386 21 Lê Thị Phương Ngọc, Lê Nguyễn Kim Hằng, Nguyễn Thành Long, (2008), On a nonlinear wave equation associated with the boundary conditions involving convolution, Nonlinear Anal Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods (accepted for publication) [http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2008.08.004] 22 Lê Xuân Trường, Lê Thị Phương Ngọc, Alain Phạm Ngọc Định, Nguyễn Thành Long (2008), The regularity and exponential decay of solution for a linear wave equation associated with two-point boundary conditions, (Submitted) [HAL: hal-00294600, version 1; [http://hal.archives-ouvertes.fr/index.php?halsid=cj2heosk2a4budruq 6sj9l3ff 0&view_this_doc=hal-00294600&version=1] [arXiv:0807.1510; http://fr.arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0807/0807.1510v1.pdf] [...]... sẽ chỉ ra sau Trong chương này, ta sẽ thiết lập một định lí tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (2.1.1) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu Xét một cơ sở trực giao {w j } của H 01 và trực chuẩn trong L2 gồm các hàm w j = 2 sin( jπx), j = 1,2, được lập từ các hàm riêng của toán tử Laplace ∂2 −Δ = − 2 sao cho −Δw j = λ j2 w j , λ j = jπ... (um − um−1 )∇um−1 f ′′(um−1 )} Định lí 3.1 Giả sử ( H1 ) − ( H 3 ) và ( H 5 ) là đúng Khi đó, tồn tại các hằng số M > 0, T > 0 và dãy lặp tuyến tính {um } ⊂ W1 ( M , T ) thỏa (3.1.3) – (3.1.4) Chứng minh Gồm các bước Bước 1 Xấp xỉ Galerkin Đặt (3.1.5) k (k ) u (t ) = ∑ cmj (t ) w j , (k ) m j =1 (k ) (t ) thỏa hệ phương trình vi phân phi tuyến sau trong đó cmj 26 (3.1.6) ⎧⎪ um( k ) (t ), w j + a (um(... Trong chương này, ta xét bài toán (2.1.1) với các giả thiết ( H1 ) − ( H 3 ) và f ∈ C 3 (\) và f ′(0) = 0 (H5 ) Với M > 0, ta đặt (3.1.1) { } K i = K i ( M , f ) = sup f ( i ) (u ) : u ≤ M 2 (i = 1,3) Ta xét thuật giải xấp xỉ tuyến tính sau: Ta chọn u0 ≡ 0 Giả sử (3.1.2) um−1 ∈W1 ( M , T ), và xét bài toán biến phân tuyến tính: Tìm hàm um ∈W1 ( M , T )(m ≥ 1) thỏa (3.1.3) ⎧⎪ um (t ), v + a (um (t... t ) + δ f ′(um−1 ( x, t ))∇um−1 ( x, t ) Sự tồn tại của um được cho bởi định lí sau Định lí 2.1 Giả sử ( H1 ) − ( H 4 ) là đúng Khi đó, tồn tại các hằng số dương M , T và một dãy qui nạp tuyến tính {um } ⊂ W1 ( M , T ) xác định bởi (2.2.9) – (2.2.11) Chứng minh Gồm các bước sau Bước 1 Xấp xỉ Galerkin Xét một cơ sở trực giao Hilbert {w j } của H 01 và trực chuẩn trong L2 như trong mục 2.1 Đặt (2.2.12)... có duy nhất nghiệm yếu u ∈W1 ( M , T ) Mặt khác, dãy qui nạp tuyến tính {um } được xác định bởi (2.2.9) – (2.2.11) hội tụ mạnh về u trong không gian W1 (T ) Hơn nữa, ta cũng có đánh giá sai số (2.3.3) ∇um − ∇u L∞ (0,T ; L2 ) + um − u L∞ (0,T ; L2 ) ≤ CkT m ∀m, trong đó (2.3.4) kT = 2δ ( K1 + MK 2 2)T < 1, và C là một hằng số chỉ phụ thuộc vào T , u0 , u1 và kT Chứng minh (i) Sự tồn tại nghiệm Ta sẽ... ) ≤ M }, T W1 ( M , T ) = {v ∈W ( M , T ) : v∈ L∞ (0, T ; L2 )} Tiếp theo, ta xây dựng dãy {um } trong W1 ( M , T ) bằng qui nạp và chứng minh nó hội tụ về nghiệm yếu của bài toán (2.2.1) – (2.2.3) với sự lựa chọn M > 0, T > 0 thích hợp Ta xét thuật giải xấp xỉ tuyến tính sau: Chọn số hạng đầu u0 ∈W1 ( M , T ) Giả sử rằng (2.2.8) um−1 ∈W1 ( M , T ) Ta liên kết bài toán (2.2.1) – (2.2.3) với bài toán... đề 1.9 (Bổ đề về tính compact của Lions[13]) Với giả thiết (1.5.1), (1.5.2) và nếu 1 < pi < ∞, i = 0,1 thì phép nhúng W (0, T ) - Lp0 (0, T ; X ) là compact Chứng minh Có thể tìm thấy trong Lions[13], trang 57 9 1.6 Bổ đề về sự hội tụ yếu trong Lq (Q ) Bổ đề 1.10 Cho Q là tập Gm , G ∈ Lq (Q), 1 < q < +∞ sao cho, Gm mở, Lq bị chặn của \N và ≤ C , trong đó C là hằng số độc lập với m và Gm → G hầu khắp... nữa, dãy {w j / λ j } cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của H 01 đối với tích vô hướng (2.1.2) u, v H 01 = a (u , v) = u x , vx 2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính Ta thành lập các giả thiết sau: ( H1 ) λ > 0, δ ≥ 0, (H2 ) u0 ∈ H 01 ∩ H 2 , u1 ∈ H 01 , (H3 ) F, ∂F ∈ L∞ (0, ∞; L2 ), thỏa F (0, t ) = F (1, t ) = 0, ∀t ≥ 0, ∂x 11 f ∈ C 2 (\) và f ′(0) = 0 (H4 ) Bài toán (2.1.1) được viết lại (2.2.1)... gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ D((0, T )) vào X được gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có giá trị trong X Tập hợp các phân bố có giá trị trong X kí hiệu là D′((0, T ; X )) = L( D((0, T )); X ) = {u: D((0, T )) →X: u tuyến tính, liên tục} Chú thích 1.4 Ta kí hiệu D(0, T ) thay cho D((0, T )) hoặc Cc∞ ((0, T )) để chỉ không gian các hàm thực khả vi vô hạn và có giá compact trong (0,... [0, T ] vào X Chứng minh của bổ đề 1.8 có thể tìm thấy trong Lions[13] 1.5 Bổ đề về tính compact của Lions Cho ba không gian Banach X 0 , X 1 , X với X 0 - X - X 1 với các phép nhúng liên tục sao cho (1.5.1) X 0 , X 1 là phản xạ, (1.5.2) Phép nhúng X 0 - X là compact Với 0 < T < +∞, 1 ≤ pi ≤ +∞, i = 0,1 Ta đặt { } W (0, T ) = v ∈ Lp0 (0, T ; X 0 ) : v′ ∈ Lp1 (0, T ; X 1 ) (1.5.3) Ta trang bị cho W ... compact Lions Cho ba không gian Banach X , X , X với X - X - X với phép nhúng liên tục cho (1.5.1) X , X phản xạ, (1.5.2) Phép nhúng X - X compact Với < T < +∞, ≤ pi ≤ +∞, i = 0,1 Ta đặt { }... = {v ∈ H : v(0) = v(1) = 0} Bổ đề 1.3 Đồng L2 với ( L2 )′ (đối ngẫu L2 ) Khi ta có H 01 - L2 ≡ ( L2 )′ - ( H 01 )′ ≡ H −1 với phép nhúng liên tục nằm trù mật Chú thích 1.2 Từ Bổ đề 1.3, ta dùng... (0, T ) - Lp0 (0, T ; X ) Ta có kết sau liên quan đến phép nhúng compact Bổ đề 1.9 (Bổ đề tính compact Lions[13]) Với giả thiết (1.5.1), (1.5.2) < pi < ∞, i = 0,1 phép nhúng W (0, T ) - Lp0 (0,