BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Nguyễn Thị Ngọc Hiền THUẬT GIẢI LẶP CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CÓ HỆ SỐ CHỨA TÍCH PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP THUẦN NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Ngọc Hiền THUẬT GIẢI LẶP CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CÓ HỆ SỐ CHỨA TÍCH PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP THUẦN NHẤT Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Long Khoa Toán – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh Người nhận xét 1: PGS TS Lê Hoàn Hoá Khoa Toán – Tin học, Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Người nhận xét 2: TS Lê Thị Phương Ngọc Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang Học viên cao học: Nguyễn Thị Ngọc Hiền Luận văn bảo vệ Hội Đồng chấm luận văn Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, vào lúc … giờ… ngày… tháng … năm 2008 Có thể tìm hiểu luận văn Phòng Sau Đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Lời trân trọng kính gửi tới Thầy hướng dẫn, TS Nguyễn Thành Long, lòng biết ơn chân thành sâu sắc Người Thầy ân cần tận tình hướng dẫn, giúp cho nắm bước nghiên cứu giải đáp thắc mắc gặp phải Sự đam mê nghiên cứu khoa học tận tình hướng dẫn Thầy giúp hoàn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn Thầy Lê Hoàn Hóa Cô Lê Thị Phương Ngọc dành thời gian, công sức để đọc cho nhận xét quý báu luận văn Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quý báu cho suốt thời gian học tập trường Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin học, quý Thầy Cô thuộc phòng quản lý Khoa học Công nghệ & Sau Đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm Tp.HCM tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành chương trình học trình làm thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp Xin cảm ơn anh chị lớp Cao học Giải tích Khóa 16, anh chị nhóm xemina Thầy tổ chức động viên nhiệt tình giúp đỡ suốt thời gian qua Tôi không quên gửi lời biết ơn đến gia đình tôi, người hết lòng lo lắng bên lúc khó khăn Sau cùng, kiến thức thân hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận bảo quý Thầy Cô góp ý chân thành bạn bè đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2008 Nguyễn Thị Ngọc Hiền MỤC LỤC Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương 1: MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ .7 1.1 Các không gian hàm thông dụng 1.2 Không gian hàm Lp (0, T ; X ), ≤ p ≤ ∞ 1.4 Đạo hàm Lp (0, T ; X ) 10 1.5 Bổ đề tính compact Lions 11 1.6 Một kết lý thuyết phổ 12 1.7 Một số kết khác 13 Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT 14 2.1 Giới thiệu toán công cụ chuẩn bị 14 2.2 Thiết lập định lý tồn nghiệm thuật giải lặp cấp 16 Chương 3: THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI 37 3.1 Giới thiệu toán 37 3.2 Thiết lập định lý tồn nghiệm thuật giải lặp cấp hai 37 KẾT LUẬN .60 TÀI LIỆU THAM KHẢO .62 MỞ ĐẦU Các toán biên phi tuyến nói chung đề tài quan tâm nhiều tác giả, chẳng hạn [3 – 23] tài liệu tham khảo Loại toán nầy chứa đựng nhiều mô hình toán học đặt lĩnh vực Kỹ thuật, Cơ học,… có nhiều ứng dụng thực tiễn Đó lý chọn đề tài nầy Trong nhiều trường hợp, toán giải dừng lại mức độ tồn nghiệm không cách thiết lập nghiệm Một cách thông dụng mà nhiều nhà nghiên cứu hay làm phương pháp tuyến tính hóa, giống phép xấp xỉ liên tiếp nguyên lý ánh xạ co Cách làm nầy bảo đảm hội tụ mặt toán học, thực tế hệ số co nhỏ gần 1, phép lặp nầy hội tụ chậm đòi hỏi số bước lặp phải lớn, chí lớn Phương pháp lặp kiểu nầy người ta gọi phép lặp cấp hay lặp đơn Cải tiến phương pháp nầy, người ta thường tìm kiếm thuật giải có tốc độ hội tụ nhanh hơn, chẳng hạn thuật giải lặp cấp hai [17] cao [22] Ví dụ thuật giải xác định dãy lặp {um } gọi thuật giải cấp hai ta có đánh giá sai lệch số hạng um với nghiệm xác u theo bất đẳng thức (với chuẩn thích hợp ⋅ ) um − u ≤ C um−1 − u ∀m ∈ `, (0.1) C số độc lập với m Với đánh giá nầy, bước lặp u0 chọn đủ gần với nghiệm xác u cho β = C u0 − u < 1, ta có đánh giá sai số um − u ≤ 2m β = Rm(2) ∀m ∈ ` C Trong trường hợp lặp cấp ta có đánh giá (0.2) um − u ≤ C1α m = Rm(1) ∀m ∈ `, (0.3) ≤ α < 1, C1 số độc lập với m So sánh với hai đánh giá sai số (0.2) (0.3), ta thấy (0.2) có tốc độ hội tụ nhanh (0.3), ⎛ ⎞ m Rm(2) −2m ⎜⎝ ln(1/ β ) − 2m ln(1/ α ⎟⎠ = → 0, m → ∞ e Rm(1) CC1 (0.4) Trong luận văn này, xét số thuật giải lặp (cấp cấp hai) cho toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến có hệ số chứa tích phân thuộc dạng đây: ( utt − B u x (t ) )u xx ( + f (u , ut ) = F x, t , u , u x (t ) ), t ∈ (0, T ), x ∈ (0,1), (0.5) u x (0, t ) − u (0, t ) = u (1, t ) = 0, (0.6) u ( x,0) = u0 ( x), ut ( x,0) = u1 ( x), (0.7) u0 , u1 , f , F , B hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta ( sau Trong phương trình (0.5), số hạng phi tuyến F x, t , u , u x (t ) ( B u x (t ) 2 ), ) , hàm có phụ thuộc vào tích phân u x (t ) = ∫ u x2 ( x, t )dx (0.8) Trong [13], Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định Trần Ngọc Diễm nghiên cứu toán ( ( utt − b0 + B ∇u )) ∆u = f ( x, t, u, u , u ), x ∈ (0,1), t ∈ (0,T ), x t (0.9) u (0, t ) = u (1, t ) = 0, (0.10) u ( x,0) = u0 ( x), ut ( x,0) = u1 ( x) (0.11) Trong [14], Nguyễn Thành Long Bùi Tiến Dũng nghiên cứu tồn nghiệm toán 2 utt − B( ∇u )∆u = f ( x, t , u, u x , ut , ∇u ), x ∈ (0,1), t ∈ (0, T ), (0.12) u x (0, t ) − h0u (0, t ) = u (1, t ) = 0, (0.13) u ( x,0) = u0 ( x), ut ( x,0) = u1 ( x), (0.14) B, f , u0 , u1 hàm cho trước h0 ≥ cho trước Trong [10, 12], tác giả nghiên cứu tồn nghiệm phương trình utt + λ∆ 2u − B ( ∇u )∆u + ε ut α −1 ut = F ( x, t ), x ∈ Ω, t > 0, (0.15) λ > 0, ε > 0, < α < số cho trước Ω tập mở bị chặn \ n Trong luận văn này, tập trung giải hai vấn đề Vấn đề thứ nhất: Khảo sát thuật giải lặp cấp Chúng chứng minh tồn nghiệm địa phương toán (0.5) – (0.7) Ý tưởng công cụ để khảo sát tồn nghiệm thiết lập dãy quy nạp tuyến tính liên kết với toán, sau sử dụng xấp xỉ Galerkin phương pháp compact để chứng minh dãy hội tụ mạnh nghiệm yếu toán (0.5) – (0.7) không gian hàm thích hợp với giả thiết mà ta đặt thêm Sự tồn nghiệm nhờ vào việc vận dụng định lý ánh xạ co (toán tử co dạng lặp) nghiệm chứng minh nhờ vào bổ đề Gronwall sau số phép tính toán đánh giá cụ thể Vấn đề thứ hai: Khảo sát thuật giải lặp cấp hai Bài toán (0.5) xét với F = F ( x, t ), f = f (u ) = K u q−2 u, q > B ∈ C (\ + ), b0 ≤ B ( z ) ≤ d z p + d0 , B′( z ) ≤ d1 z p −1 + d1 , b0 > 0, p > 1, d , d0 , d1 , d1 ≥ số cho trước Chúng liên kết phương trình (0.1) với dãy quy nạp phi tuyến {um } xác định ( ∂ 2u m − B ∇um (t ) ∂t 2 ) ∂ 2u m = F ( x, t ) − f (um−1 ) − f ′(um−1 )(um − um−1 ), ∂x với um thỏa (0.6), (0.7) Khi đó, luận văn chứng tỏ dãy lặp {um } hội tụ bậc hai nghiệm yếu toán (0.5) – (0.7) Trong chứng minh tồn nghiệm địa phương, định lý điểm bất động Banach sử dụng Luận văn trình bày theo chương mục sau Phần mở đầu tổng quan toán khảo sát luận văn, điểm qua kết có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương 1, trình bày số kết chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại số không gian hàm, số kết phép nhúng compact không gian hàm quan trọng Chương 2, sử dụng kỹ thuật tuyến tính hoá số hạng phi tuyến, kết hợp với phương pháp Galerkin, với đánh giá tiên nghiệm, hội tụ yếu tính compact Phương pháp nầy dẫn đến thuật giải cấp hội tụ nghiệm toán (0.5) – (0.7) Trong phần xấp xỉ Galerkin, luận văn sử dụng định lý ánh xạ co việc chứng minh tồn nghiệm hệ phương trình vi phân Tính nghiệm chứng minh cách sử dụng bổ đề Gronwall Chương 3, phần khảo sát thuật giải lặp cấp hai Trong mục này, toán giá trị đầu giá trị biên xét với f = f (u ) = K u q−2 u, B = B( z ) điều kiện cho cụ thể Một lần định lý ánh xạ co đựơc sử dụng việc chứng minh tồn nghiệm Kế đến phần kết luận sau danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm thông dụng Ta đặt ký hiệu Ω = (0,1), QT = Ω × (0, T ), T > bỏ qua định nghĩa không gian hàm thông dụng: C m (Ω), Lp (Ω), H m (Ω), W m , p (Ω) Để cho gọn, ta ký hiệu lại sau: Lp (Ω) = Lp , W m, p (Ω) = W m, p , H m (Ω) = W m ,2 (Ω) = H m Có thể xem [1, 2] Ta định nghĩa L2 = L2 (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng u , v = ∫ u ( x)v( x)dx, u , v ∈ L2 (1.1) Ký hiệu ⋅ để chuẩn sinh tích vô hướng (1.1), nghĩa 1/ ⎛1 ⎞ u , u = ⎜ ∫ u ( x)dx ⎟ ⎝0 ⎠ u = , u ∈ L2 (1.2) Ta định nghĩa không gian Sobolev cấp H = {v ∈ L2 : vx ∈ L2 } (1.3) Không gian không gian Hilbert với tích vô hướng u, v H1 ⋅ Kí hiệu u H1 = u , v + u x , vx H1 = (1.4) để chuẩn sinh tích vô hướng (1.4), nghĩa u, u H1 ( = u + ux ) 1/ , u ∈ H (1.5) Liên hệ hai không gian H C (Ω) ta có bổ đề sau: Bổ đề 1.1 Phép nhúng H v C0 (Ω) ≤ v H1 C (Ω) compact , ∀v ∈ H (1.6) Bổ đề 1.2 Đồng L2 với L2 ≡ ( L2 )′ (đối ngẫu L2 ) Khi ta có 50 2 Gm( k ) (0, t ) ≤ F C ( QT ) + 3(q − 2) K M q −2 (3.63) (q − 1) K M q −4 Sm( k ) (t ) b0 + a ( Gm( k ) ( s ), Gm( k ) ( s ) ) = ∇Gm( k ) ( s ) + Gm( k ) (0, s ) ≤3 F C1 ( QT ) + 3(q − 2) [1 + (q − 1) ]K M q − [1 + (q − 1) ](q − 1) K M q − S m( k ) ( s ) (3.64) b0 + t I 3* = ∫ a ( Gm( k ) ( s ), um( k ) ( s ) ) ds t t 0 ≤ ∫ a ( Gm( k ) ( s ), Gm( k ) ( s ) ) ds + ∫ S m( k ) ( s )ds ≤ 3T F C1 ( QT ) + 3T (q − 2) [1 + (q − 1) ]K M q − t t (3.65) 2 2 q−4 (k ) + [1 + (q − 1) ](q − 1) K M ∫ S m ( s )ds + ∫ S m( k ) ( s )ds b0 0 t Tích phân thứ tư I = ∫ um( k ) ( s ) ds * Tương tự (2.66) định lý 2.4 ta có t t I =∫ t um( k ) ( s ) ds ≤ 2∫ (bm( k ) ( s )) ∆um( k ) ( s ) ds + 2∫ Gm( k ) ( s ) ds * 0 (3.66) Dùng giả thiết ( H ) từ (3.54) suy t t ( I = ∫ u ( s ) ds ≤ 2∫ d ∇um( k ) ( s ) (k ) m * 0 ( + 4T F C ( QT + (q − 2) KM q −1 ) t 2 + 4(q − 1) K M q −4 ) 2p Sm( k ) ( s )ds ∫ b0 + d0 ) 2 ∆um( k ) ( s ) ds 51 p ⎛ ⎛1 ⎞ ⎞ ≤ ∫ ⎜ d ⎜ S m( k ) ( s ) ⎟ + d0 ⎟ Sm( k ) ( s )ds ⎜ ⎝ b0 ⎟ b0 ⎠ 0⎝ ⎠ t ( +4T F C ( QT ) + (q − 2) KM q −1 ) t 2 +4(q − 1) K M ( = 4T F C ( QT q−4 S m( k ) ( s )ds ∫ b0 + (q − 2) KM q −1 ) 2 + d + 2(q − 1) K M q −4 b0 ( + p +1 b t d d0 ∫ ( S ( s ) ) (k ) m p +1 ) t )∫S (k ) m (3.67) ( s )ds t p +1 2d ds + p +1 ∫ ( S m( k ) ( s ) ) ds b0 Từ (3.42), (3.50), (3.55), (3.65), (3.67) ta có ( S m( k ) (t ) ≤ S m( k ) (0) + 6T F + 3T F C1 ( QT ) C0 + (q − 2) KM q −1 (Q ) T ) + 3T (q − 2) [1 + (q − 1) ]K M q −2 t 2 2 q −4 + [1 + (q − 1) ](q − 1) K M ∫ S m( k ) ( s )ds b0 t ⎛ 2 2 q −4 ⎞ (k ) + ⎜ + (q − 1) K M ⎟ ∫ Sm ( s )ds b0 ⎝ ⎠0 2 + d + 2(q − 1) K M q −4 b0 ( t t )∫ S (k ) m ( s )ds + d1b0−3/ ∫ ( S m( k ) ( s ) ) ds t − −p ⎞ ⎛ p +1  + ⎜ p +1 d d + d1b0 ⎟ ∫ ( S m( k ) ( s ) ) ds ⎝ b0 ⎠0 2 p +1 2d t + p +1 ∫ ( S m( k ) ( s ) ) ds, b0 hay (3.68) 52 t S (t ) ≤ S (0) + TD0 ( M , T ) + D1 ( M ) ∫ Sm( k ) ( s )ds (k ) m (k ) m t t + D2 ∫ ( S ( s ) ) ds + D3 ∫ ( S ( s ) ) (k ) m (k ) m p +1 t ds + D4 ∫ ( Sm( k ) ( s ) ) p +1 ds, (3.69) ( D0 ( M , T ) = F C + (q − 2) KM q −1 (Q ) T ) + 3(q − 2) [1 + (q − 1) ]K M 2 2 +3 F q −2 C1 ( QT ) (3.70) , 2d02 + ( + (q − 1) ) (q − 1) K M q −4 , D1 ( M ) = + b0 b0 (3.71) D2 = d b −3/2 1 − −p 2d  , D3 = p +1 d d + d1b0 , D4 = p +1 b0 b0 (3.72) Từ hội tụ (3.11) ta chọn số M > 0, không phụ thuộc k m cho M2 S (0) ≤ (k ) m (3.73) Sử dụng bất đẳng thức 2 p −1 ⎧ 2 p +1 x ≤ x + , ⎪⎪ p +1 p +1 ⎨ ⎪ x p +1 ≤ p + x p +1 + p , ⎪⎩ p +1 p +1 ∀x ≥ 0, ∀p ≥ , (3.74) ∀x ≥ 0, ∀p > 0, suy t t S (t ) ≤ η0 + η1 ∫ S ( s ) ds + η2 ∫ ( S m( k ) ( s ) ) (k ) m (k ) m p +1 ds, (3.75) 53 ⎧ ⎡ ⎤ 2 p −1 p D2 + D3 ⎥ , ⎪η0 = η0 ( M , T ) = M + T ⎢ D0 ( M , T ) + p +1 p +1 ⎦ ⎣ ⎪ ⎪ ⎨η1 = η1 ( M ) = D1 ( M ), ⎪ p +1 ⎪η2 = D2 + D3 + D4 2 p p + + ⎪⎩ (3.76) Bổ đề 3.3 Tồn T > độc lập k m cho S m( k ) (t ) ≤ M , ∀t ∈ [0, T ], ∀k , m Chứng minh Đặt t t S (t ) = η0 + η1 ∫ S ( s ) ds + η2 ∫ ( Sm( k ) ( s ) ) (k ) m p +1 ds, ≤ t ≤ T (3.77) Khi đó, ta có ⎧ S (t ) > 0, ≤ S m( k ) (t ) ≤ S (t ), ≤ t ≤ T , ⎪ p +1 ⎨ S ′(t ) − η1S (t ) ≤ η2 ( S (t )) , ≤ t ≤ T , ⎪ S (0) = η ⎩ (3.78) Đặt Z (t ) = S −2 p (t ), lấy tích phân (3.78) ta ⎛ η ⎞ η Z (t ) ≥ ⎜η0−2 p + ⎟ exp(−2 pη1t ) − η1 ⎠ η1 ⎝ ⎛ η ⎞ η ≥ ⎜η0−2 p + ⎟ exp(−2 pη1T ) − , ∀t ∈ [0, T ] η1 ⎠ η1 ⎝ (3.79) Chú ý từ (3.73) ta có ⎡⎛ −2 p η2 ⎞ η2 ⎤ ⎛ M ⎞ lim ⎢⎜η0 + ⎟ exp(−2 pη1T ) − ⎥ = ⎜ T →0 + η1 ⎠ η1 ⎦ ⎝ ⎟⎠ ⎣⎝ −2 p > 0, ⎡⎛ ⎤ 36 p − η ⎞ η lim+ ⎢⎜η0−2 p + ⎟ exp(−2 pη1T ) − − M −4 p ⎥ = > (3.80) 4p T →0   η η M ⎠ ⎣⎝ ⎦ Như vậy, từ (3.80) ta chọn số T > cho 54 ⎧⎛ −2 p η2 ⎞ η2   + exp − p T − > 0, η η ( ) ⎪⎜ ⎟   η η ⎠ ⎪⎝ ⎨ ⎪ ⎛η −2 p + η2 ⎞ exp −2 pη T − η2 − M −4 p > ( ⎟ ) ⎪⎜  η η1 ⎠ ⎩⎝ (3.81) Kết hợp (3.78) – (3.79) (3.81) ta thu ≤ Sm( k ) (t ) ≤ S (t ) = ≤ M , ∀t ∈ [0, T ] 2p Z (t ) (3.82) Vậy bổ đề 3.3 chứng minh xong.„ Từ kết này, ta có um( k ) ∈W1 ( M , T ) với m k Khi lý luận tương tự định lý 2.4, ta chứng minh giới hạn um ∈W1 ( M , T ) dãy {u } (k ) m k → +∞ nghiệm toán biến phân (3.2) – (3.3) Định lý 3.1 chứng minh.„ Kết sau cho ta hội tụ cấp hai dãy nghiệm yếu toán Định lý 3.4 Giả sử ( H1 ) , ( H ) – ( H ) Khi tồn số M > T > cho (i) Bài toán (3.1) có nghiệm yếu u ∈W1 ( M , T ) (ii) Mặt khác, dãy quy nạp phi tuyến {um } xác định (3.2), (3.3) hội tụ cấp hai nghiệm u toán (3.1) mạnh không gian W1 (T ) theo nghĩa um − u W1 (T ) ≤ C um−1 − u W1 (T ) , (3.83) C số thích hợp Hơn ta có ước lượng um − u ≤ W (T ) m β2 , µT (1 − β ) ∀m, (3.84) 55 µT = 2(1 + 2) + ⎛1 ⎞ T K (q − 1) M q −1 exp ⎜ TK M(1) ⎟ , b0 ⎝2 ⎠ (3.85) ⎛ 1⎞ K M(1) = ⎜1 + ⎟ ⎡⎣1 + K (q − 1) M q −1 + 2(1 + C1 )(d1M p + d1M ) ⎤⎦ , ⎝ b0 ⎠ (3.86) β = M µT < (3.87) Chú ý điều kiện cuối thỏa mãn chọn số T > thích hợp Chứng minh Trước hết, ta chứng minh {um } dãy Cauchy W1 (T ) Đặt vm = um+1 − um Khi {vm } thỏa mãn toán biến phân sau ⎧ vm (t ), v + bm+1 (t )a ( vm (t ), v ) ⎪ ⎨− ( bm+1 (t ) − bm (t ) ) ∆um (t ), v = Gm+1 (t ) − Gm (t ), v , ∀v ∈V , (3.88) ⎪v (0) = v (0) = 0, m ⎩ m với Gm+1 − Gm = − f (um ) + f (um−1 ) − f ′(um )(um+1 − um ) − f ′(um−1 )(um − um−1 ) f ′′( zm−1 )(um − um−1 ) − f ′(um )(um+1 − um ) − f ′(um−1 )(um − um−1 ) = − f ′(um−1 )(um − um−1 ) − = − f ′(um )vm − = − K (q − 1) um f ′′( zm )vm2 −1 q−2 q−4 vm − K (q − 1)(q − 2) zm zmvm2 −1 , zm = um−1 + θ vm−1 , < θ < Thay v = vm (3.88), sau lấy tích phân theo t ta thu (3.89) (3.90) 56 vm (t ), vm (t ) + bm+1 (t )a ( vm (t ), vm (t ) ) − ( bm+1 (t ) − bm (t ) ) ∆um (t ), vm (t ) (3.91) = Gm+1 (t ) − Gm (t ), vm (t ) , hay 1d 1d vm (t ) + ( bm+1 (t )a ( vm (t ), vm (t ) ) ) dt dt = ( bm+1 (t ) − bm (t ) ) ∆um (t ), vm (t ) + bm′ +1 (t )a ( vm (t ), vm (t ) ) + Gm+1 (t ) − Gm (t ), vm (t ) , lấy tích phân theo t ta t vm (t ) + bm+1 (t )a ( vm (t ), vm (t ) ) = ∫ bm′ +1 ( s )a ( vm ( s ), vm ( s ) ) ds t ( +2 ∫ ⎡ B ∇um+1 ( s ) ⎣ ) − B ( ∇u (s) )⎤⎦ ∆u (s), v (s) ds m t t 0 m m +2 ∫ vm f ′(um ), vm ( s ) ds + ∫ vm2 −1 f ′′( zm ), vm ( s ) ds = J1* + J 2* + J 3* + J 4* (3.92) Ta có ( bm+1 (t ) = B ∇um+1 (t ) ( ), bm′ +1 (t ) = B′ ∇um+1 (t ) ( = d1 ∇um+1 (t ) ) ∇u p−2 ≤ 2(d1M p + d1M ) m +1 (t ) ∇um+1 (t ) ) + d1 ∇um+1 (t ) ∇um+1 (t ) 57 t J ≤ 2(d1 + d1 ) M p ∫ a ( vm ( s ), vm ( s ) ) ds * (3.93) t ≤ 2(d1M p + d1M ) ∫ vm ( s ) V ds t ( J = ∫ [ B ∇um+1 ( s ) * ( ) − B ( ∇u (s) )] ∆u (s), v (s) ds, 2 m ) − B ( ∇u ( s ) ) = B′ ( ζ ( s ) ) ( ∇ u ( s ) B ∇um+1 ( s ) m m m m +1 m − ∇u m ( s ) 2 ), ζ m ( s ) = θ m ∇um+1 ( s) + (1 − θ m ) ∇um ( s) , < θ m < ≤ ζ m ( s ) = θ m ∇um+1 ( s ) + (1 − θ m ) ∇um ( s ) ≤ θ m M + (1 − θ m ) M ≤ M , B′ (ζ m ( s ) ) ≤ d1 ζ m ( s ) ( B ∇um+1 ( s ) + d1 ≤ d1M p −2 + d1 , p −1 ) − B ( ∇u ( s ) ) m = B′ (ζ m ( s) ) ∇um+1 ( s ) − ∇um ( s ) 2 ≤ M (d1M p −2 + d1 ) ∇vm ( s ) , t * J ≤ 4(d1M 2p + d1M ) ∫ vm ( s ) V vm ( s ) ds (3.94) t J = ∫ vm f ′(um ), vm ( s ) ds * t ≤ K (q − 1) M q −2 ∫v m ( s ) vm ( s ) ds t ≤ K (q − 1) M q −2 ∫v m ( s ) V vm ( s ) ds (3.95) 58 t * J = ∫ vm2 −1 ( s ) f ′′( zm ), vm ( s ) ds t ≤ K (q − 1)(q − 2) M q −3 ∫ vm2 −1 ( s ), vm ( s ) ds t ≤ K (q − 1)(q − 2) M q −3 ∫v m −1 ( s ) V vm ( s ) ds ≤ K (q − 1)(q − 2) M q −3 vm−1 t W1 (T ) ∫ v ( s ) ds m (3.96) Từ (3.93) – (3.96) ta suy từ (3.92) 2 vm (t ) + b0 vm (t ) V t ≤ 2(d1M 2p + d1M ) ∫ vm ( s ) V ds t +2(2d1M 2p + 2d1M + K (q − 1) M q −2 ) ∫ vm ( s ) V vm ( s ) ds + K (q − 1)(q − 2) M q −3 vm−1 W1 (T ) t ∫ v m ( s ) ds (3.97) Đặt 2 Z m (t ) = vm (t ) V + vm (t ) (3.98) Ta suy từ (3.97), (3.98) 1⎛ 1⎞ Z m (t ) ≤ ⎜1 + ⎟ TK (q − 1) (q − 2) M q −6 vm−1 ⎝ b0 ⎠ W1 (T ) t (3.99) + K M(1) ∫ Z m ( s )ds, ⎛ 1⎞ K M(1) = ⎜1 + ⎟ ⎡⎣1 + 4d1M p + 4d1M + K (q − 1) M q −2 ⎤⎦ ⎝ b0 ⎠ (3.100) 59 Sử dụng bổ đề Gronwall cho (3.98) – (3.100), ta suy vm ≤ µT vm−1 W (T ) W1 (T ) , (3.101) µT = + ⎛1 ⎞ T K (q − 1)(q − 2) M q −3 exp ⎜ TK M(1) ⎟ b0 ⎝2 ⎠ (3.102) Từ (3.101) ta có um − um + p W1 (T ) ≤ m β , ∀m, p, µT (1 − β ) (3.103) β = 2M µT < (3.104) Vậy {um } dãy Cauchy W1 (T ) Nên tồn u ∈W1 (T ) cho um → u mạnh W1 (T ) Khi với chứng minh tương tự định lý 2.5, ta có u ∈W1 ( M , T ) nghiệm yếu toán (3.1) Chuyển qua giới hạn p → +∞, với m cố định ta thu ước lượng (3.84) từ (3.103) Vậy định lý chứng minh.„ 60 KẾT LUẬN Qua luận văn này, thực bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học cách nghiêm túc có hệ thống Tôi học tập phương pháp nghiên cứu việc đọc tài liệu, thảo luận nhóm sinh hoạt xemina Thầy hướng dẫn tổ chức Chúng học tập công cụ Giải tích hàm phi tuyến để khảo sát tồn nghiệm yếu toán phi tuyến, chẳng hạn phương pháp Galerkin liên hệ với kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm, kỹ thuật tính compact Lions hội tụ yếu Chúng có dịp vận dụng định lý ánh xạ co việc chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ Galerkin Mặt khác, nội dung luận văn kết thu chứa đựng chương Ở chương 2, xét thuật giải lặp cấp cho phương trình sóng phi tuyến ( utt − B u x (t ) )u xx ( + f (u , ut ) = F x, t , u , u x (t ) ) , < x < 1, < t < T , với giá trị biên ban đầu u x (0, t ) − u (0, t ) = u (1, t ) = 0, u ( x,0) = u0 ( x), ut ( x,0) = u1 ( x), u0 , u1 , f , F , B hàm cho trước thỏa điều kiện luận văn Chúng thu kết tồn nghiệm thuật giải lặp cấp phương pháp nói với F ∈ C1 ([0,1] × \ + × \ × \ + ) Ở chương 3, xét thuật giải lặp cấp hai cho toán giá trị đầu giá trị biên với f = f (u ) = K u q−2 u, F = F ( x, t ) điều kiện cho 61 cụ thể Một lần phương pháp đựơc sử dụng việc chứng minh tồn nghiệm Tuy nhiên, lực kiến thức hạn chế nên khó tránh khỏi sai sót, mong nhận bảo thêm từ quý Thầy Cô bạn đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO R.A Adams (1995), Sobolev Spaces, Academic Press, NewYork, 1975 H Brézis (1983), Analyse fonctionnele, Théorie et Applications, Masson Paris, 1983 C.F Carrier (1945), On the vibration problem of elastic string, Q J Appl Math, (1945), 151–165 Zh N Dmitriyeva (1979), On stable solutions in nonlinear oscillations of rectangular plates under random loads, Prikl Mat Mekh L 4, (1979), 189– 197 Y Ebihara, L.A Medeiros, M Milla Miranda (1986), Local solutions for a nonlinear degenerate hyperbolic equation, Nonliear Anal TMA, 10 (1986), 27– 40 M Hosoya, Y Yamada (1991), On some nonlinear wave equations I: local existence and regularity of solutions, J Fac Sci Univ Tokyo Sect IA, Math 38 (1991), 225–238 G R, Kirchhoff (1876), Vorlesungen übcr Mathematische Physik: Machanik, Teuber, Leipzig, 1876, Section 29.7 J L Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non–linéaires, Dunod; Gauthier-Villars, Paris, 1969 L.A Medeiros (1994), On some nonlinear perturbation of Kirchhoff– Carrier operator, Comp Appl Math 13 (1994), 225–233 10 Nguyễn Thành Long đồng tác giả (1993), On the nonlinear vibrations equation with a coefficient containing an integral, Zh Vychisl Mat i Mat Fiz 33 (9) (1993), 1324–1332; translation in Comput Math Math Phys 33 (9) (1993), 1171–1178 11 Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc (2007), On a nonlinear Kirchhoff–Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic 63 convergence and asymptotic expansion of solutions, Demonstratio Math 40 (2) (2007), 365–392 [http://demmath.mini.pw.edu.pl/pdf/dm40_2.pdf] 12 Nguyễn Thành Long, Trần Minh Thuyết (1999), On the existence, uniqueness of solution of a nonlinear vibrations equation, Demonstratio Math 32 (4) (1999), 749 – 758 13 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm (2002), Linear recursive schemes and asymptotic expansion associated with the Kirchhoff-Carrier operator, J Math Anal Appl 267 (1) (2002), 116–134 [ http://dx.doi.org/10.1006/jmaa.2001.7755 ] 14 Nguyễn Thành Long, Bùi Tiến Dũng (2003), On the nonlinear wave 2 equation utt − B( u x )u xx = f ( x, t , u , u x , ut , u x ) associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal., Ser A: Theory Methods, 55 (5) (2003), 493–519 [http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2003.07.002] 15 Nguyễn Thành Long (2002), On the nonlinear wave equation ( utt − B t, ux )u xx ( = f x,t,u,ux ,ut , ux ) associated with the mixed homogene-ous conditions, J Math Anal Appl 274 (1) (2002), 102–123 [ http://dx.doi.org/10.1016/S0022-247X(02)00264-0 ] 16 Nguyễn Thành Long (2005), On the nonlinear wave equation 2 2 utt − B(t, u , ux )uxx = f (x,t,u,ux ,ut , u , ux ) associated with the mixed homogeneous conditions, J Math Anal Appl 306, (1) (2005), 243–268 [ http://dx.doi.org/10.1016/j.jmaa.2004.12.053 ] 17 Nguyễn Thành Long (2005), Nonlinear Kirchhoff–Carrier wave equation in a unit membrane with mixed homogeneous boundary conditions, Electron J Differential Equat 2005, (2005) No 138, 18 pp ISSN: 1072–6691 URL: http://ejde.math.txstate.edu 64 or http://ejde.math.unt.edu 18 Lê Thị Phương Ngọc, Lê Nguyễn Kim Hằng, Nguyễn Thành Long (2008), On a nonlinear wave equation associated with the boundary conditions involving convolution, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applica-tions, Series A: Theory and Methods (accepted for publication) [http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2008.08.004] 19 S I Pohozaev (1975), On a class of quasilinear hyperbolic equation, Math USSR Sb 25 (1975), 145 – 158 20 R.E Showalter (1994), Hilbert space methods for partial differential equations, Electronic J Diff Equat., Monograph 01, 1994 21 Lê Xuân Trường, Lê Thị Phương Ngọc, Alain Phạm Ngọc Định, Nguyễn Thành Long (2008), The regularity and exponential decay of solution for a linear wave equation associated with two-point boundary conditions, (Submitted) [HAL: hal-00294600, version 1; [http://hal.archivesouvertes.fr/index.php?halsid=cj2heosk2a4budruq6sj9l3 ff0&view_this_doc=hal-00294600&version=1] [arXiv:0807.1510; http://fr.arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0807/0807.1510v1.pdf ] 22 Lê Xuân Trường, Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long (2008), The N–order iterative schemes for a nonlinear Kirchhoff–Carrier wave equation associated with the mixed inhomogeneous conditions, (Submitted) 23 Y Yamada (1987), Some nonlinear degenerata wave equation, Nonlinear Anal TMA 11 (1987), 1155–1168 [...]... hàm cho trước Trong chương này ta sẽ thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài tốn (2.1) – (2.4) bằng thuật giải lặp cấp một kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu Trước hết ta sử dụng một khơng gian Sobolev đặc biệt hơn đó là khơng gian V = {v ∈ H 1 (0,1) : v(1) = 0} (2.5) Khi đó V là một khơng gian con đóng của H 1 và do đó V cũng là khơng gian Hilbert đối với tích. .. phổ Một số kết quả về lý thuyết phổ dưới đây được áp dụng trong nhiều bài tốn biên Trước hết ta làm một số giả thiết sau Cho V và H là hai khơng gian Hilbert thực thỏa mãn các điều kiện (i) Phép nhúng V H là compact, (1.15) (ii) V trù mật trong H (1.16) Cho a : V × V → \ là một dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trên V × V và cưỡng bức trên V Chính xác hơn, ta gọi a là một dạng song tuyến tính... 1.1 Cho X là khơng gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ D ( (0, T ) ) vào X gọi là một phân bố có giá trị trong X , ký hiệu là D′(0, T ; X ) = L( D(0, T ); X ) = {u : D(0, T ) → X : u là tuyến tính liên tục} Chú thích 1.3 Ta ký hiệu D(0, T ) thay cho D ( (0, T ) ) hoặc Cc∞ ( (0, T ) ) để chỉ khơng gian các hàm số thực khả vi vơ hạn có giá trị compact trong (0, T ) Định nghĩa 1.2 Cho u... ≤ ∫ Gm ( s ) V ds + ∫ um( k ) ( s ) V ds 0 0 t ≤ Tη ( 2) ( M , T ) + ∫ S m( k ) ( s )ds 0 Tích phân thứ tư Ta có: Phương trình (2.24) được viết lại như sau (2.63) 26 um( k ) (t ), w j − bm (t ) ∆um( k ) (t ), w j = Gm (t ), w j , 1 ≤ j ≤ k (2.64) Thay wj bởi um( k ) (t ) và tích phân hai vế của phương trình trên ta được t t 2 2 t I 4 = ∫ u ( s) ds ≤ 2 ∫ b ( s) ∆u ( s) ds + 2 ∫ Gm ( s ) ds (2.65)... + I 2 + I 3 + I 4 (2.54) Ta tiến hành đánh giá các tích phân trong (2.54) Tích phân thứ nhất Ta có: 2 bm (t ) = B ( ∇um−1 (t ) ), 2 bm′ (t ) = 2 B′( ∇um−1 (t ) ) ∇um −1 (t ), ∇um−1 (t ) Dùng giả thiết ( H1 ) ta có ( = 2 B′ ( ∇u bm′ (t ) = 2 B′ ∇um−1 (t ) m −1 (t ) 2 ) ∇u ) ∇u 2 m −1 m −1 (t ), ∇um−1 (t ) (t ) ∇um−1 (t ) (2.55) ≤ 2 K 1M 2 Kết hợp (2.42) – (2.44) và (2.55) ta được t 2 I1 = ∫ bm′... (2.37) Vậy (2.34) đúng với mọi p ∈ ` Mặt khác, do lim p →∞ cho ( λk K 0 T (2 p )! ) 2p = 0, nên tồn tại một số tự nhiên p0 sao 21 0≤ ( λk K 0 T ) 2 po < 1 (2 p0 )! (2.38) Do đó U p0 c − U p0 d X ≤ ( λk K 0 T ) 2 p0 (2 p0 )! c−d X , ∀c, d ∈ X (2.39) Vậy tốn tử U po : X → X là co, và do đó tốn tử nầy có điểm bất động duy nhất Điểm bất động nầy chính là nghiệm của hệ phương trình (2.29) Vậy bổ đề... dương M và T và một dãy quy nạp tuyến tính {um } ⊂ W1 ( M , T ) được xác định bởi (2.19) – (2.22) 18 Chứng minh Việc chứng minh bao gồm nhiều bước Bước 1 Xấp xỉ Galerkin Trong V ta chọn cơ sở trực chuẩn Hilbert {w j }, với w j = w j / λ j như đã nêu trong bổ đề 2.3 Đặt k (k ) um( k ) (t ) = ∑ cmj (t ) w j , (2.23) j =1 (k ) trong đó cmj thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính um( k ) (t ), w j +... 2.5 Giả sử rằng um−1 thỏa (2.19) Khi đó hệ (2.29) có nghiệm (k ) cmj (t ) trong khoảng 0 ≤ t ≤ T 19 Chứng minh bổ đề 2.5 Bỏ qua chỉ số m, k trong các cách viết và ta k (k ) (k ) (t ), α mj , β mj( k ) , viết c j (t ), α j , β j , u (t ) = ∑ c j (t ) w j lần lượt thay cho cmj j =1 k (k ) (k ) umj (t ) = ∑ cmj (t ) w j j =1 Ta viết lại hệ (2.29) thành phương trình điểm bất động c(t ) = (Uc)(t ), 0... ứng với giá trị riêng λ j sao cho 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λ j ≤ , lim λ j = +∞, j →∞ a ( w j , v) = λ j w j , v , ∀v ∈V , ∀j = 1, 2, { Hơn nữa, dãy w j / λ j (1.17) (1.18) } cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của V đối với tích vơ hướng a (⋅ , ⋅) Chứng minh bổ đề 1.10 có thể tìm thấy trong [20] Định lý 6.2.1, p.127 13 1.7 Một số kết quả khác Bất đẳng thức Gronwall Giả sử f : [0, T ] → \ là hàm khả tích, ... ) và do đó du là phần tử của dt D′(0, T ; X ) Ta có các bổ đề sau đây mà chứng minh có thể tìm thấy trong Lions [8].„ Bổ đề 1.7 (Lions[8]) Nếu f , f ′ ∈ Lp (0, T ; X ), 1 ≤ p ≤ ∞ thì f bằng hầu hết với một hàm thuộc C 0 ([0, T ]; X ) „ 11 1.5 Bổ đề về tính compact của Lions Cho khơng gian Banach B0 , B, B1 với B0 B B1 với các phép nhúng liên tục sao cho: - B0 , B1 phản xạ (1.11) - B0 (1.12) B là phép ... compact Lions Cho khơng gian Banach B0 , B, B1 với B0 B B1 với phép nhúng liên tục cho: - B0 , B1 phản xạ (1.11) - B0 (1.12) B phép nhúng compact Ta định nghĩa W (0, T ) = {v ∈ Lp (0, T ; B0 ) : dv... 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 Luận văn hồn thành Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành