Phần I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho điểm M có số đo cung AM α sin α = yM; cos α = xM tan α = sinα π cosα (α ≠ + kπ) ; cot α = (α ≠ kπ) cosα sinα Các tính chất Với α ta có: –1 ≤ sin α ≤ hay |sin α| ≤ 1; –1 ≤ cos α ≤ hay |cos α| ≤ Các hằng đẳng thức lượng giác bản sin² α + cos² α = 1; tan α cot α = 1; + tan² α = cosα2 ; + cot² α = sinα2 Các công thức liên hệ cung cos(–α) = cos α cos(π – α) = –cos α cos(π + α) = –cos α sin(–α) = –sin α sin(π – α) = sin α sin(π + α) = –sin α tan(–α) = –tan α tan(π – α) = –tan α tan(π + α) = tan α cot(–α) = –cot α cot(π – α) = –cot α cot(π + α) = cot α cos(π/2 + α) = –sin α cos(π/2 – α) = sin α sin(π/2 + α) = cos α sin(π/2 – α) = cos α tan(π/2 + α) = –cot α tan(π/2 – α) = cot α cot(π/2 + α) = –tan α cot(π/2 – α) = tan α Công thức cộng cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb tan (a + b) = tan a + tan b − tan a tan b tan (a – b) = Công thức nhân đôi sin 2a = 2sin a cos a cos 2a = cos² a – sin² a = 2cos² a – = – 2sin² a tan 2a = tan a − tan a Công thức hạ bậc cos² α = tan a − tan b + tan a tan b + cos 2α sin² α = − cos 2α Công thức biến đổi tích thành tổng [cos (α + β) + cos (α – β)] sin α sin β = [cos (α – β) – cos (α + β)] sin α cos β = [sin (α + β) + sin (α – β)] cos α cos β = Công thức biến đổi tổng thành tích α+β α −β cos 2 α +β α −β sin cos α – cos β = −2sin 2 cos α + cos β = cos α +β α −β cos 2 α+β α −β sin sin α – sin β = cos 2 sin α + sin β = 2sin tanα + tan β = sin(α + β) cosα cosβ tanα − tan β = sin(α − β) cosα cosβ I Tìm tập xác định hàm số lượng giác Hàm số y = tan x xác định x ≠ π/2 + kπ, k thuộc Z Hàm số y = cot x xác định x ≠ kπ, k thuộc Z Bài Tìm tập xác định các hàm số sau a y = cos x + sin x 1 − sin x cos x + cos x g y = − sin x d y = b y = cos e y = x +1 x+2 +1 cos 2x h y = tan (x + π/4) c y = sin x + f y = − s inx i y = cot (2x – π/3) II Chứng minh tính chẵn, lẻ các hàm số lượng giác Bước Tìm tập xác định D; Với x thuộc D → –x thuộc D Bước Tính f(–x); so sánh với f(x) Có một khả có thể xảy + f(–x) = f(x) → hàm số chẳn + f(–x) = –f(x) → hàm số lẻ + f(–x) ≠ f(x) & f(–x) ≠ –f(x) chọn giá trị xo tính f(–xo), f(xo) thỏa mãn điều kiện suy hàm số không chẳn không lẻ Bài Xét tính chẳn, lẻ các hàm số sau a y = cos x b y = sin x + x c y = sin 2x + d y = –2 tan² x e y = sin |x| + x² f y = |2x + 1| + |2x – 1| III Xét chiều biến thiên hàm số lượng giác Bài Lập bảng biến thiên hàm số a y = –sin x + đoạn [–π; π] b y = –2cos (2x + π/3) đoạn [–2π/3; π/3] IV Tìm GTLN, GTNN hàm số lượng giác Bài Tìm GTLN, GTNN các hàm số a y = sin (x – π/2) + b y = – cos 2x c y = –1 – cos² (2x + π/3) d y = + cos 4x − e y = sin x + f y = sin² x – 4sin x + Bài Tìm GTLN, GTNN các hàm số a y = sin x đoạn [–π/2; π/3] b y = cos x đoạn [–π/2; π/2] c y = sin x đoạn [π/6; 3π/4] d y = cos (πx / 4) đoạn [1; 3] V Phương trình lượng giác Bài Giải các phương trình sau a cos x − sin x = b cos x − sin x = −1 d 3sin 3x − cos 9x = + sin³ 3x π e sin x + cos (x + ) = f cos 7x – sin 5x = (cos 5x – sin 7x) h 3(1 − cos 2x) = cos x 2sin x g tan x – 3cot x = 4(sin x + cos x) i 2sin 2x + 2sin² x = Bài Giải các phương trình sau a cos² x + 5sin x – = c cos x cos 2x = + cos 2x + cos 3x e cos (4x/3) = cos² x g tan x – cot x – = Bài Giải các phương trình sau b cos 2x – cos x + = d (sin4 x + cos4 x) = sin 2x – f (3 + tan² x) cos x = h 6sin² 3x + cos 12x = a sin² x – sin x cos x – cos² x = –2b sin² x – sin x cos x – (2 + 3) cos² x = c sin² x + 3 sin 2x – cos² x = d sin x – cos³ x = sin 2x cos x e sin² x + sin 2x – 2cos² x = 1/2 Bài Giải các phương trình sau a 3(sin x + cos x) + 2sin 2x + = b sin 2x – 12(sin x – cos x) = –12 c 2(cos x + sin x) – sin x cos x – = d cos x – sin x – 2sin 2x – = Bài 10 Giải các phương trình sau a cos 2x + cos x + = b + cos 2x = – sin x c – 4cos² x – 9sin x = d cos 2x + cos x = e 4sin x + 12cos² x = Bài 11 Giải các phương trình sau a 4(sin 3x – cos 2x) = 5(sin x – 1) b + sin (x/2) sin x – cos (x/2) sin² x = cos² (π/4 – x/2) c + tan x = sin 2x d (2cos 2x – 8cos x + 7) cos x = e sin 2x (cot x + tan x) = cos² x f cos² 2x + cos 2x = sin² 2x cos² x g cos 3x – cos 2x – = h sin x + cos x = + tan x i sin 2x + tan x – = j sin² x + sin² 3x = 3cos² 2x k tan³ (x – π/4) = tan x – l sin 2x – cos 2x = sin x + cos x – m sin 2x + cos 2x + tan x = n cos 3x – cos 2x + cos x = Bài 12 Giải các phương trình sau a 2sin² x + 2sin 2x = – 2cos² x b cos³ x – sin³ x = cos x + sin x c sin x sin 2x + 2sin 3x = cos³ x d sin³ x + cos³ x – 2(sin5 x + cos5 x) = e sin³ (x – π/4) = sin x f 3cos4 x – sin² 2x + sin4 x = g 3sin4 x + 5cos4 x – = Bài 13 Giải các phương trình sau a cos³ x + sin³ x = sin 2x + sin x + cos x b cos³ x + cos 2x + sin x = c + sin³ x + cos³ x = (3/2) sin 2x d (cos x – sinx) + sin x cos x + = e sin³ x – cos³ x = + sin x cos x f 1 10 + + sin x + cos x = cos x sin x g 2tan x + 3tan² x + 4tan³ x + 2cot x + 3cot² x + 4cot³ x = 18 h (1 + cot² x) + tan² x + tan x + cot x + = i cos³ x – sin³ x + = j 2cos 2x + sin² x cos x + cos² x sin x = 2(sin x + cos x) Bài 14 Giải các phương trình sau a sin 2x + 2cos 2x = + sin x – 4cos x b sin 2x – cos 2x = 3sin x + cos x – c sin² x + sin² 3x – 3cos² 2x = d cos 3x cos³ x – sin 3x sin³ x = cos³ 4x + 1/4 e sin4 (x/2) + cos4 (x/2) – + 2sin x = f cos 3x – 2cos 2x + cos x = 6 4 g sin x + cos x = sin x + cos x h sin4 x + cos4 x – cos² x = – 2sin² x cos² x cos x + sin x = sin x − cos x i 3sin 3x – cos 9x – 4sin³ 3x + = j k sin² (x/2 – π/4) tan² x – cos² (x/2) = l cot x – tan x + 4sin x = m sin xcos x + cos x = –2sin² x – sin x + n sin 3x = cos xcos 2x (tan² x + tan 2x) o 5(sin x + cos 3x + sin 3x ) = cos 2x + + 2sin 2x sin x p sin² 3x – cos² 4x = sin² 5x – cos² 6x r tan x + = q cos 3x – 4cos 2x + 3cos x – = s tan x + cos x – cos² x = sin x (1 + tan x tan x ) (2 − sin 2x)sin 3x cos x cos 2x + sin x − sin 2x t cot x – = + tan x TỔ HỢP XÁC SUẤT I Quy tắc đếm Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một hai phương án A B Phương án A có thể thực n cách; phương án B có thể thực m cách Khi đó, công việc được thực theo n + m cách Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A B Công đoạn A có thể thực n cách; công đoạn B có thể thực m cách Khi đó, công việc được thực n.m cách II Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp Hoán vị: a Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử Mỗi xếp n phần tử đó theo một thứ tự định trước một phép hoán vị các phần tử tập A b Định lý: Số phép hoán vị tập hợp có n phần tử, kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = Chỉnh hợp: a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử Xét số tự nhiên k ≤ n Khi lấy k phần tử số n phần tử đem xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k n phần tử n! k b Định lý: Số chỉnh hợp chập k n phần tử A n = (n − k)! Tổ hợp: a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử số tự nhiên k ≤ n Một tập hợp A có k phần tử được gọi một tổ hợp chập k n phần tử n! k k b Định lý: Số tổ hợp chập k n phần tử Cn = k!(n − k)! = k! A n c Hai tính chất bản tổ hợp: C kn = Cnn −k ; C kn +1 = C kn + C kn −1 III Khai triển nhị thức Newton n k n −k k (a + b)n = ∑ Cn a k =0 b = C0n a n + C1n a n −1b + + Ckn a n −k b k + + Cnn b n + Trong khai triển nhị thức Newton bậc n có n + số hạng Trong số hạng tổng số mũ a b n Số hạng tổng quát thứ k + Tk+1 = Ckn a n −k bk IV XÁC SUẤT Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta không đoán trước được kết quả nó, ta biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có phép thử đó Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy một phép thử được gọi không gian mẫu phép thử kí hiệu Ω Biến cố một tập không gian mẫu Gọi n(A) số phần tử biến cố A, còn n(Ω) số kết quả có thể xảy phép thử Khi đó xác suất biến cố A, kí hiệu P(A) = n(A)/n(Ω) Nếu A ∩ B = ϕ ta nói A B xung khắc Khi đó P(A U B) = P(A) + P(B) Định lý: P(ϕ) = 0, P(Ω) = 1, ≤ P(A) ≤ A B biến cố độc lập P(A.B) = P(A).P(B) Bài Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi cỡ 40 41 Cỡ 40 có màu khác nhau, cỡ 41 có màu khác Hỏi X có cách chọn? Bài Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4} Có số chẵn mà số gồm ba chữ số khác chọn số các phần tử A? Bài Từ tập A = {1; 2; 3; 4; 5} hỏi có thể lập được số có chữ số cho chữ số xuất ba lần, còn các chữ số khác xuất một lần? Bài Bạn X mời hai bạn nam ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài Hỏi X có cách xếp đặt? Bài Trong mặt phẳng cho điểm A, B, C, D, E, M, N khác Có vectơ nối hai điểm các điểm đó? Bài Từ tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được số có chữ số khác nhau? Bài Cho điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng Từ điểm có thể lập được tam giác? Bài Một lớp có 30 học sinh Cần chọn một bạn làm lớp trưởng, một bạn làm lớp phó một bạn làm thư ký Hỏi có cách chọn, biết rằng học sinh có khả làm lớp trưởng, lớp phó thư ký Bài Tìm số tự nhiên n, nếu 6n – + C3n ≥ C3n +1 Bài 10 Từ chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} có thể lập được số gồm chữ số đôi một khác a Nếu số đó số lẻ b Nếu số đó số chẵn c số đó không chia hết cho 10 Bài 11 Trong khai triển (2 x − 10 ) , với x > 0, tìm số hạng không chứa x x Bài 12 Tìm hệ số x8 khai triển [1 + x²(1 – x)]8 Bài 13 Cho khai triển: (1 + 2x)10 = ao + a1x + a2x² + + a10x10 Tìm hệ số lớn nhất Bài 14 Tìm số hạng a thứ 13 khai triển (3 – x)25 b thứ 18 khai triển (2 – x²)25 c không chứa x khai triển (x + 1/x)12 d không chứa x khai triển (x x + x )12 e hữu tỉ khai triển ( − 15) f đứng chính khai triển (1 + x)10 g chứa x³ khai triển (11 + x)11 Bài 15 Tìm hệ số số hạng chứa a x4 khai triển (x/3 – 3/x)12 b x8 khai triển (2/x³ + x²)9 c x5 khai triển (1 + x + x² + x³)10 d x³ khai triển (x² – x + 2)10 e x³ khai triển S(x) = (1 + x)³ + (1 + x)4 + (1 + x)5 + + (1 + x)50 f x³ khai triển S(x) = (1 + 2x)³ + (1 + 2x)4 + (1 + 2x)5 + + (1 + 2x)22 Bài 16 Tính tổng a S1 = C0n + C1n + C2n + + Cnn b S2 = C0n − C1n + C2n − + ( −1) n Cnn 2n c S3 = C02n + C22n + C42n + + C 2n 2n −1 d S4 = C12n + C32n + C52n + C2n e T = C0n − 2C1n + 22 C2n − 23 C3n + + (−2) n Cnn Bài 17 Có số tự nhiên lẻ có chữ số đôi một khác nhỏ 600000 Bài 18 Có số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác chia hết cho Bài 19 Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; có thể lập được số tự nhiên mà số có chữ số khác phải có chữ số Bài 20 Với các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; có thể lập được số chẵn có chữ số khác không lớn 789 Bài 21 Một nhóm học sinh gồm 10 nam, nữ Chọn một tổ gồm người Hỏi có cách chọn để tổ có nhiều nhất nữ Bài 22 Một lớp học có 40 học sinh, lớp cần cử một ban cán lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó ủy viên Hỏi có mấy cách lập ban cán lớp Bài 23 Có cách xếp học sinh A, B, C, D E vào một băng ghế dài cho a Bạn C ngồi chính b Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế Bài 24 Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp đó Hỏi có cách chọn để số bi lấy không có đủ ba màu Bài 25 Trong một phòng có hai bàn dài, bàn có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 hoc sinh gồm nam nữ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu: a Các học sinh ngồi tùy ý b Các học sinh nam ngồi một bàn các học sinh nữ ngồi bàn còn lại Bài 26 Có nhà toán học nam, ba nhà toán học nữ bốn nhà vật lý nam Lập một đoàn công tác người cần có cả nam nữ, cần có cả nhà toán học nhà vật lý Có cách chọn Bài 27 Một đội văn nghệ có 20 người, đó có 10 nam 10 nữ Có cách chọn năm người cho a Có hai nam b Có ít nhất hai nam ít nhất một nữ Bài 28 Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ Tính xác suất để a Số được chọn số nguyên tố b Số được chọn chia hết cho Bài 29 Có tấm thẻ đánh số từ đến Chọn ngẫu nhiên tấm thẻ Tính xác suất để tích hai số hai tấm thẻ một số chẵn Bài 30 Tìm xác suất để gieo xúc xắc lần độc lập, không lần xuất mặt có số chấm một số chẵn Bài 31 Một bình chứa 16 viên bi, đó có viên bi trắng, viên bi đen, viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi Tìm xác suất để rút được viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ Bài 32 Một đoàn tàu có toa đổ một sân ga Có hành khách từ sân ga lên tàu, người độc lập với chọn một cách ngẫu nhiên lên một toa Tìm xác suất để có một khách lên toa tàu Bài 33 Gieo súc sắc một cách ngẫu nhiên Tính xác suất biến cố “ Các mặt xuất có số chấm bằng nhau” Bài 34 Gieo ngẫu nhiên đồng thời đồng xu Tính xác suất để ít nhất hai đồng xu lật ngửa Bài 35 Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu sắc lấy ngẫu nhiên một viên bi, lấy tiếp một viên bi Tính xác suất biến cố: “lấy lần thứ hai được một viên bi xanh” Bài 36 Hai hộp chứa các quả cầu Hộp thứ nhất chứa quả đỏ quả xanh, hộp thứ chứa quả đỏ quả xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp một quả Tính xác suất cho hai quả a đỏ b màu c khác màu Bài 37 Mọt hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ đến 10 20 quả cầu xanh được đánh số từ đến 20 Lấy ngẫu nhiên một quả Tìm xác suất cho quả được chọn a có ghi số chẵn b màu đỏ c màu đỏ ghi số chẵn d màu xanh ghi số lẻ Bài 38 Một tổ có nam nữ Chọn ngẫu nhiên ba người Tìm xác suất cho người đó a nữ b không nữ c ít nhất một người nữ d có một người nữ CẤP SỐ CỘNG Định nghĩa: Cấp số cộng một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tổng số hạng đứng trước nó với một số không đỗi gọi công sai Gọi d công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2, ) Khi d = cấp số cộng có các số hạng bằng Số hạng tổng quát CSC Định lí: Số hạng tổng quát un một cấp số cộng có số hạng đầu u1 công sai d được cho công thức: un = u1 + (n – 1)d Tính chất các số hạng cấp số cộng Định lí: Trong một cấp số cộng, số hạng kể từ số hạng thứ hai (và trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn), trung bình cộng hai số hạng kề bên nó, tức uk = u k −1 + u k +1 (k ≥ 2) Tổng n số hạng đầu một cấp số cộng Sn = n(u1 + u n ) n[2u1 + (n − 1)d] = 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Xác định số hạng cần tìm cấp số cộng đây: a 2, 5, 8, Tìm u15 b + 3, 2, − 3, Tìm u20 Bài Xác định cấp số cộng có công sai 3, số hạng cuối 12 có tổng bằng 30 u + u − u = 10 u + u = 26 Bài Cho cấp số cộng  Tìm số hạng đầu công sai nó Bài Tìm cấp số cộng có số hạng biết tổng 25 tổng các bình phương chúng 165 Bài Tìm số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu tích số chúng 1140 Bài Tìm chiều dài các cạnh một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai 25 Bài Cho cấp số cộng (un) Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 Tính u1 + u6 + u11 + u16 Bài Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80 Tìm tổng S15 15 số hạng cấp số cộng đó Bài Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng chúng 176 Hiệu số hạng cuối số hạng đầu 30 Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng đó Bài 10 Cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = –3 Tính a10 Bài 11 Tính u1, d các cấp số cộng sau đây:  u + u = 14 a  S13 = 129 u = 19 b  u = 35 S4 =  c  45 S6 =    u + u10 = −31  2u − u = d  Bài 12 Cho cấp số cộng (un) có u3 = –15, u14 = 18 Tính tổng 20 số hạng Bài 13 Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = Tính u20 S20 Bài 14 Cho cấp số cộng (un) có a10 = 10, d = –4 Tính u1 S10 Bài 15 Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 u11 = –1 Tính d S11 Bài 16 Cho cấp số cộng (un) có u3 = –15, u4 = 18 Tìm tổng 20 số hạng CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa: Cấp số nhân một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), đó kể từ số hạng thứ hai số hạng tích số hạng đứng trước nó với một số không đỗi gọi công bội Gọi q công bội, theo định nghĩa ta có un+1 = un.q (n = 1, 2, ) Khi q = cấp số nhân một dãy số dạng u1, 0, 0, , 0, Khi q = cấp số nhân một dãy số dạng u1, u1, , u1, Nếu u1 = với q, cấp số nhân dãy số 0, 0, Số hạng tổng quát CSN Định lí: Số hạng tổng quát một cấp số nhân được cho công thức un = u1.qn–1 Tính chất Định lí: Trong một cấp số nhân, số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) có giá trị tuyệt đối trung bình nhân hai số hạng kề bên nó, tức |uk| = u k −1.u k +1 với k ≥ Tổng n số hạng đầu cấp số nhân với số hạng đầu u1 công bội q ≠ Sn = u1 qn − q −1 (q ≠ 1) Với q = 1, Sn = nu1 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài a Tìm các số hạng cấp số nhân có số hạng biết u1 = 243 u6 = b Cho cấp số nhân có q = 1/4, S6 = 2730 Tìm u1 u6 Bài Cho cấp số nhân có u3 = 18 u6 = –486 Tìm số hạng u1 công bội q CSN đó u − u = 72 u − u = 144 Bài Tìm u1 q cấp số nhân biết:  Bài Tìm u1 q cấp số nhân (un) có: u3 = 12, u5 = 48 u1 + u + u = 13 u + u + u = 351 Bài Tìm u q cấp số nhân (un) biết:  Bài Tìm các số hạng cấp số nhân (un) biết cấp số đó có số hạng có tổng bằng 360 số hạng cuối gấp lần số hạng thứ hai Bài Tổng số hạng liên tiếp một cấp số cộng 21 Nếu số thứ hai trừ số thứ ba cộng thêm ba số đó lập thành một cấp số nhân Tìm ba số đó GIỚI HẠN DÃY SỐ A Lý thuyết: + Nếu |un| < với n, lim = lim un = + lim un = L → lim|un| = |L| + lim un = L → lim u n = L + lim un = L, un > với n → L > lim u n = L n–1 + Với cấp số nhân mà |q| < S = lim (u1 + u1q + u1q² + + u1q u1 (1 − q n ) u = ) = lim 1− q 1− q + lim |un| = +∞ → lim (1/un) = + lim qn = nếu |q| < + lim nk = với k > + lim nk = +∞ với k > + lim qn = +∞ nếu q > + lim un = L lim (k.un) = k.L + lim un = L, lim = M lim (un + vn) = L + M + lim un = L, lim = M lim (un.vn) = L.M + lim un = L, lim = M ≠ lim (un / vn) = L / M B BÀI TẬP Bài Tìm các giới hạn sau: a lim d lim 2n + n +1 n(2n + 1)(3n + 2) b lim e lim 2n + −3n + 4n + c lim 2n − 3n + n +1 f lim n2 − n3 + 5n + n n(n + 1) (n + 4)3 Bài Tìm các giới hạn sau: a lim n +1 n +1 e lim c lim( 3n + 2n − − 3n − 4n + 8) e lim(n − n + 3) g lim( n − n + 1) Bài Tìm các giới hạn sau: − 4n b lim + 4n Bài Tìm các giới hạn sau: sin nπ n +1 b lim Bài Tìm các giới hạn sau: a lim + + + + (2n + 1) 3n + 1 c lim[ 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) ] Bài Tính các giới hạn sau: 1 n a lim[1 − + − + ( −1) 3n ] n + n3 + + n n n n2 +1 + n + 3n + n − 4n + Bài Tìm các giới hạn sau: a lim( n + − n ) a lim c lim n+2 d lim n + n−2 a lim 3 b lim n + n + b lim( n + 5n + − n − n ) d lim( n − 4n − n) f lim( n − n + n) h lim( n − 3n + − n + 4n ) 3n − 4n +1 c lim 3n + + 4n 3n − n + 5n 3n + n − 5n sin10n + cos10n n + 2n b lim + + + + n n2 − 12 + 22 + 32 + + n d lim n(n + 1)(n + 2) b lim (2 + 0,3 + 0,3² + 0,3³ + + 0,3ⁿ) Bài Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn phân số a 1,111 b 2,333 c 0,222 d 0,2121… e 0,23111 GIỚI HẠN HÀM SỐ A Lý thuyết: x →±∞ x lim f (x) = L ⇔ lim− f (x) = lim+ f (x) = L x = x với x + xlim o o →x o + lim ( ) = x k = +∞ với k > + xlim →+∞ + x →x x →x x →x [cf (x)] = c lim f (x) + xlim →x o x →x o f (x) + lim g(x) [ f (x) + g(x)] = xlim + xlim →x o →x o x →x o f (x) lim g(x) [ f (x)g(x) ] = xlim + xlim →x o →x o x →x o lim f (x) f (x) x →x o g(x) ≠ [ ]= + xlim nếu xlim →x o → x o g(x) lim g(x) x →x o B Bài tập Bài Tính các giới hạn sau: x2 − x →3 x − a lim x →+∞ Bài Tìm các giới hạn sau: (2x − 3x) a xlim →2 d lim x + 5x + x →−∞ 2x + x2 + 5x + x →1 x + b lim Bài Tìm các giới hạn sau: (x + 2x) a xlim →+∞ 2x − b lim (x + 2x) b xlim →−∞ 3x + e lim 2x + x →+∞ x + 2x + g lim x →+∞ x +1 x + 2x h xlim →+∞ j lim 3x +2 x − 5x k lim x →+∞ 2x + 4x − x + + 4x x →−∞ 4x + − x 5x + 3x + c lim x →+∞ f lim x →−∞ 2x + 3x + 2x + i lim 4x + 3x − l lim 9x + − 4x + 2x x +1 x →−∞ x →+∞ Bài Tìm các giới hạn sau: a xlim →3 5x + (x − 3) b lim− x →3 5x + x −3 c lim+ x →2 Bài 2x + 3x − 1, x ≥  f (x) = Cho hàm số:   3x + 7, x < Tìm các giới hạn sau: f (x) a xlim →1 Bài f (x) b xlim →3 f (x) c xlim →2 1 − 2x , x <  f (x) = Cho hàm số:   5x + 4, x ≥ Tìm các giới hạn sau: f (x) f (x) a xlim b xlim →0 →3 Bài Tìm các giới hạn sau f (x) c xlim →1 x + 5x + x−2 a x x ≤ b f (x) =  ( − a ) x x >   x x < a f (x) =   2ax − x ≥   x + 2x − x ≥  4x − x < Bài Cho hàm số f(x) =  Xét tính liện tục hàm số tập xác định Bài Tìm a để hàm số liên tục tại xo  1− x − 1+ x  x+2 −2 x <  x ≠  x −1 f (x) = a f(x) =  x − tại xo = b tại xo =  a x = a + − x x ≥   x+2 Bài Chứng minh rằng phương trình x³ + 3x² + 5x – = có ít nhất một nghiệm (0; 1) Bài Chứng minh phương trình x³ – 3x + = có nghiệm phân biệt Bài Chứng minh phương trình x5 – 3x4 + 5x – = có ít nhất nghiệm phân biệt khoảng (–2; 5) Bài Chứng minh các phương trình sau có nghiệm: a ax² + bx + c = với 2a + 3b + 6c = b ax² + bx + c = với a + 2b + 5c = c a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = d cos x + m cos 2x = Bài 10 Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm phân biệt a x² – 3x + = b x³ + 6x² + 9x + = ĐẠO HÀM Định nghĩa đạo hàm tại một điểm + Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) xo thuộc (a; b) f (x) − f (x o ) ∆y = lim x →x o ∆x x − xo o f′(xo) = xlim →x + Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo nó liên tục tại điểm đó Ý nghĩa đạo hàm + f′(xo) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) tại M (xo; f(xo)) + Khi đó phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) tại M (xo; f(xo)) y = f′(xo)(x – xo) + yo Qui tắc tính đạo hàm + (C)′ = 0; x′ = 1; (xn)′ = n.xn–1 với số thực n + (u + v)′ = u′ + v′; (u.v)′ = u′.v + v′.u; (u / v)′ = (u′v – v′u) / v²; (ku)′ = ku′; (1/v)′ = –v′ / v² (v ≠ 0) + Đạo hàm hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x u′ (x) hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u f′(u) hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x y′ = f′(u).u′(x) Đạo hàm hàm số lượng giác sin u(x) u(x) = = nếu xlim →xo u(x) o 1 + (cos x)′ = – sin x + (tan x) ' = + (cot x) ' = − cos x sin x sin x =1 x →0 x + Giới hạn bản lim + (sin x)′ = cos x + xlim →x Vi phân + dy = y′dx + f(xo + Δx) ≈ f(xo) + f′(x) Δx (n) (n –1) Đạo hàm cấp cao f (x) = [f (x)]′ với n ≥ VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) tại điểm xo bằng định nghĩa ta thực các bước Bước 1: Giả sử ∆x số gia đối số tại xo Tính ∆y = f(xo + ∆x) – f(xo) ∆y Bước 2: Tính xlim suy f′(xo) →x o ∆x Bài Dùng định nghĩa tính đạo hàm các hàm số sau tại điểm được ra: a y = f(x) = 2x² – x + tại xo = b y = f(x) = − 2x tại xo = –3 2x + tại xo = –1 x −1 c y = f(x) = d y = f(x) = sin x tại xo = π/6 e y = f(x) = x tại xo = x2 + x +1 tại xo = x −1 f y = f(x) = Bài Dùng định nghĩa tính đạo hàm các hàm số sau a y = f(x) = x² – 3x + b y = f(x) = x³ – 2x c y = f(x) = x + (–1; +∞) d y = f(x) = sin x với x ≠ 3/2 2x − e y = f(x) = f y = f(x) = (0; π/2) cos x VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức Bài Tính đạo hàm các hàm số sau: − x x x2 3 +x−2 e y = x+2 1+ x − x2 h y = 1− x + x2 a y = 2x − x + x − b y = d y = x²(x² – 1)(x² – 4) g y = 2x − 4x + x +1 c y = (x³ – 2)(1 – x²) f y = 2x + 1 − 3x Bài Tính đạo hàm các hàm số sau a y = (x² + x + 1)³ d y = (x + 2) (2x − 1) b y = (1 – 2x²)5 e y = (2 − x )3 Bài Tính đạo hàm các hàm số sau: a y = 2x − 5x + b y = x + x d y = ( + x + − x )3 e y = + x x +1 c y = (x + 2x + 5) f y = ( 2x + ) x −1 c y = (x − 2) x + 2x + f y = + x x +1 Bài Tính đạo hàm các hàm số sau sin x ) + cos x d y = cot 2x a y = ( g y = cos ( x +1 ) x −1 b y = xcos x e y = sin x + c y = sin³ (2x + 1) f y = sin (tan x) h y = tan5 2x – tan³ 2x + tan 2x Bài Cho n số nguyên dương Chứng minh rằng a (sinn x.cos nx)′ = n sinn–1 x cos (n + 1)x b (sinn x.sin nx)′ = n sinn–1 x sin (n + 1)x c (cosn x.sin nx)′ = n cosn–1 x cos (n + 1)x d (cosn x.cos nx)′ = –n cosn–1 x sin (n + 1)x VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(xo; f(xo)) y = f′(xo) (x – xo) + f(xo) Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) qua điểm A(x1; y1) cho trước: Cách 1: + Đường thẳng (d) qua điểm A có hệ số góc k có dạng (d): y = k(x – x1) + y1 + Đường thẳng (d) đồ thị (C) tiếp xúc hệ sau có nghiệm  k = f '(x) (1)   k(x − x1 ) + y1 = f (x) + Giải hệ phương trình (1) với ẩn x suy k Từ đó viết phương trình (d) Cách 2: + Gọi tiếp điểm M(xo; f(xo)) + Phương trình tiếp tuyến tại M(xo; f(xo)) có dạng y = f′(xo) (x – xo) + f(xo) + Tiếp tuyến qua điểm A(x1; y1) y1 = f′(xo) (x1 – xo) + f(xo) + Giải phương trình theo ẩn xo Viết phương trình tiếp tuyến Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) song song với đường thẳng (Δ) y = ax + b + Gọi tiếp điểm M(xo; f(xo)) + Hệ số góc tiếp tuyến k = f′(xo) = a + Tìm xo, sau đó viết phương trình tiếp tuyến Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) vuông góc với đường thẳng (Δ) y = ax + b + Gọi tiếp điểm M(xo; f(xo)) + Hệ số góc tiếp tuyến k = f′(xo) = –1 / a + Tìm xo, sau đó viết phương trình tiếp tuyến Bài Cho hàm số y = f(x) = x² – 2x + với đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C): a Tại điểm thuộc (C) có hoành độ xo = b Song song với đường thẳng (Δ) 4x – 2y + = c Vuông góc với đường thẳng (Δ) x + 4y = d Vuông góc với đường phân giác thứ nhất góc hợp các trục tọa độ Bài Cho hàm số y = f(x) = − x + x2 với đồ thị (C) x −1 a Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại điểm M(2; 4) b Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = Bài Cho hàm số y = f(x) = 3x + với đồ thị (C) 1− x a Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại điểm A(2; –7) b Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại giao điểm (C) với trục hoành c Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại giao điểm (C) với trục tung d Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (Δ) y = (1/2)x + e Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (Δ): 2x + 2y – = Bài Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3x² với đồ thị (C) a Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) tại điểm I(1; –2) b Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác đồ thị(C) không qua I Bài Cho hàm số y = f(x) = − x − x với đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a Tại điểm có hoành độ xo = 1/2 b Song song với đường thẳng (Δ) x + 2y = VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao B1 Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, , từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n B2 Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức Bài Cho hàm số f(x) = 3(x + 1)cos x a Tính f′(x), f′′(x) b Tính f′′(π/2), f′′(0), f′′(π) Bài Tính đạo hàm các hàm số đến cấp ba a y = cos x b y = 5x4 – 2x³ + 3x² – c y = xsin x d y = e y = tan x x −3 x+4 f y = 1− x Bài Cho n số nguyên dương Chứng minh các công thức đạo hàm cấp n sau (n) ( −1) n n! ) = a ( 1+ x (1 + x) n +1 b (sin x)(n) = sin (x + nπ nπ )c (cos x)(n) = cos (x + ) 2 Bài Tính đạo hàm cấp n các hàm số sau: x+4 1− x d y = x +1 a y = b y = x + 3x + e y = sin² x c y = x x −1 f y = sin4 x + cos4 x Bài Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được a xy′′ + 2(y′ – sin x) + xy = 0, y = x sin x b y³y′′ + = 0, y = 2x − x c x²y′′ – 2(x² + y²)(1 + y) = 0, y = x tan x d 2(y′)² = 2(y – 1)y′′, y = (x – 3) / (x + 4) VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn hàm số lượng giác Bài Tính các giới hạn sau: a lim ( x →0 sin 3x ) sin 2x b lim x →0 Bài Tính các giới hạn sau: − cos x x c lim ( x →0 tan 2x ) sin 5x − 4sin x sin(π / − x) lim (π / − x) tan x lim lim ( ) b xπ/2 c d xπ/2 → → (π − 2x) x →0 xπ/3 → − cos x VẤN ĐỀ 6: Các toán khác Bài Giải phương trình f ′(x) = với a f(x) = cos x – sin x + 5x b f(x) = cos x + sin x + 2x − c f(x) = sin² x + cos x d f(x) = sin x – (1/4)cos 4x – (1/6)cos 6x e f(x) = – sin (π + x) + 2cos (x/2 + 3π/2) f f(x) = sin 3x − cos 3x + 3(cos x − sin x) Bài Giải phương trình f ′(x) = g(x) với a f(x) = sin4 3x & g(x) = sin 6x b f(x) = sin³ 2x, g(x) = 4cos 2x – 5sin 4x c f(x) = 2x² cos² (x/2), g(x) = x – x² sin x d f(x) = 4x cos² (x/2), g(x) = cos (x/2) – – 2x sin x Bài Giải bất phương trình f ′(x) > g′(x) với a f(x) = x³ + x – 2, g(x) = 3x² + x + b f(x) = x − 2x − & g(x) = x c f(x) = 4x³ – 2x² + ; g(x) = 2x³ + x² d f(x) = 2/x, g(x) = x – x³ Bài Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm với x thuộc R: a f ′(x) > 0, f(x) = mx³/3 – 3x² + mx – b f ′(x) < 0, f(x) = 2mx³ – 3mx² + 6(m + 1)x + Bài Cho hàm số y = x³ – 2x² + mx – Tìm m để: a f ′(x) = có nghiệm kép b f ′(x) ≥ với x − sin x − cos x ) + sin x − cos x a lim ( Bài Cho hàm số f(x) = − mx mx + − (3 − m)x + Tìm m để: a f ′(x) < với x b f ′(x) = có hai nghiệm phân biệt dấu c Trong trường hợp f ′(x) = có hai nghiệm phân biệt, tìm hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc vào m BÀI TẬP ÔN ĐẠO HÀM Bài Tính đạo hàm các hàm số sau: a y = x³ (x² – 4) d y = x − 3x + 2x − b y = x − x + e y = x − 2x c y = ( x + 1) (2x² + 1) f y = (3 – 2x²)³ Bài Tính đạo hàm các hàm số sau: a y = x − 3x + b y = 1+ x 1− x c y = x − 3x x2 Bài Tính đạo hàm các hàm số sau: a y = sin (x³ – x) d y = sin x + cos x sin x − cos x b tan (cos x) e y = cos 2x + c y = sin x x f y = cos3 + x Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) các hàm số, với: a y = x³ – 3x² + tại điểm M(–1, –2) x + 4x + tại điểm có hoành độ xo = x+2 c y = 2x + biết hệ số góc tiếp tuyến k = 1/3 b y = Bài Cho hàm số y = x³ – 5x² có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) cho tiếp tuyến a Song song với đường thẳng y = –3x + b Vuông góc với đường thẳng y = (1/7)x – c Đi qua điểm A(0; 2) Bài Cho hàm số y = f(x) = cos x Tính giá trị f ′(π/6), f ′(π/3) cos 2x Bài Tìm m để f ′(x) > với x thuộc R a f(x) = x³ + (m – 1)x² + 2x + b f(x) = 3sin x – 3m sin 2x – sin 3x + 6mx Bài Chứng minh rằng f ′(x) > với x thuộc R a f(x) = 2x + sin x b f(x) = (2/3)x9 – x6 + 2x³ – 3x² + 6x – PHẦN II HÌNH HỌC BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(3; 2) Tìm tọa độ điểm M’ ảnh M qua phép r tịnh tiến theo vectơ v = (–2; 1) Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(4; 5) Tìm điểm B cho A ảnh điểm B r qua phép tịnh tiến theo v = (2; 1) Bài Trong mặt phẳng Oxy Cho điểm M(2; 3) Phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M thành M’ Tìm tọa độ điểm M’ Bài Trong mặt phẳng cho đường thẳng d có phương trình: x + y – = Tìm ảnh r đường thẳng d qua phép tịnh tiến vectơ v = (1; 1) Bài Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 3x + 5y – = Tìm ảnh d’ d qua phép đối xứng trục Ox Bài Trong mặt phẳng Oxy cho diểm M (2; 3) Phép đối xứng qua gốc tọa độ biến điểm M thành điểm N Tìm tọa độ điểm N Bài Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y – = 0, phép đối xứng qua gốc tọa độ biến d thành d’ Tìm phương trình d’ Bài Trong mặt phẳng cho đường tròn (C) có phương trình (x – 5)² + (y – 4)² = 36 Phép r tịnh tiến theo vectơ v = (1; 2) biến (C) thành (C’) Tìm phương trình (C’) Bài Trong mặt phẳng cho đường tròn (C) có phương trình (x – 5)² + (y – 4)² = 25 Phép đối xứng qua gốc tọa độ biến (C) thành (C’) Tìm phương trình (C’) Bài 10 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x – 1)² + (y – 3)² = 16 Phép dời hình có được bằng cách thực liên tiếp phép đối xứng qua gốc tọa độ phép r tịnh tiến v = (1; 4) biến (C) thành (C’’) Tìm phương trình (C’’) Bài 11 Cho hình vuông ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo Thực phép quay tâm O biến hình vuông ABCD thành chính nó Tìm số đo góc quay đó Bài 12 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(–2; 4) Phép vị tự tâm O tỉ số k = –2 biến điểm M thành điểm N Tìm tọa độ điểm N Bài 13 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – = Phép vị tự tâm O tỉ số k = biến d thành đường thẳng d’ Tìm phương trình d’ Bài 14 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: (x – 1)² + y² = 16 Phép vị tự tâm O tỉ số k = biến (C) thành đường tròn (C’) Tìm phương trình (C’) Bài 15 Cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 2)² = Phép đồng dạng bằng cách thực liên r tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = phép tịnh tiến theo vectơ v = (1; 2) biến (C) thành (C’) Viết phương trình (C’) Bài 16 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: x + y + = Phép đồng dạng có được bằng cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 1/2 phép đối xứng qua trục ox biến d thành d’ Tìm phương trình d’ BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Vấn đề 1: Tìm giao TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) ta tìm hai điểm chung A; B (P) (Q) Khi đó (P) ∩ (Q) = AB Bài Cho tứ diện ABCD có E trung điểm AB Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC); (ABD); (BCD); (ACD) Bài Cho tứ diện SABC một điểm I đoạn SA; d đường thẳng (ABC) cắt AB; BC tại J; K Tìm giao tuyến mặt phẳng (I, d) với các mặt phẳng sau: (SAB); (SAC); (SBC) Bài Cho tứ giác lồi ABCD điểm S không nằm mặt phẳng chứa tứ giác Tìm giao tuyến a (SAC) (SBD) b (SAB) (SCD) c (SAD) (SBC) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD một tứ giác lồi; M điểm cạnh CD Tìm giao tuyến các mặt phẳng a (SAM) (SBD) b (SBM) (SAC) Bài Cho tứ diện ABCD; M điểm nằm ΔABC; N điểm nằm ΔACD Tìm giao tuyến a (AMN) (BCD) b (CMN) (ABD) Bài Cho tứ diện ABCD M nằm AB cho AM = MB / 4; N nằm AC cho AN = 3NC; điểm I nằm ΔBCD Tìm giao tuyến của: a (MNI) (BCD) b (MNI) (ABD) c (MNI) (ACD) Bài Cho tứ diện ABCD; gọi I; J lần lượt trung điểm AD; BC a Tìm giao tuyến của: (IBC) (JAD) b M điểm AB; N điểm AC Tìm giao tuyến (IBC) (DMN) Bài Cho hai đường thẳng a; b mặt phẳng (P) điểm S không thuộc (P) Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng chứa a S với mặt phẳng chứa b S Bài Cho tứ diện ABCD; AB; AC lần lượt lấy hai điểm M N cho: AM / MB ≠ AN / NC Tìm giao tuyến (DMN) (BCD) Bài 10 Trong mặt phẳng (P) cho hình thang ABCD có đáy AB; CD; S điểm nằm mặt phẳng hình thang Tìm giao tuyến của: a (SAD) (SBC) b (SAC) (SBD) Bài 11 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang hai đáy AD; BC Gọi M; N trung điểm AB; CD G trọng tâm ΔSAD Tìm giao tuyến a (GMN) (SAC) b (GMN) (SBC) VẤN ĐỀ 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Bài Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d Trên (P) lấy hai điểm A; B không nằm d O điểm hai mặt phẳng Các đường thẳng OA; OB lần lượt cắt (Q) tại A’; B’ AB cắt d tại C Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng Bài Trong không gian cho ba tia Ox; Oy; Oz không đồng phẳng Trên Ox lấy A; A’; Oy lấy B; B’ Oz lấy C; C’ cho AB cắt A’B’ tại D; BC cắt B’C’ tại E; AC cắt A’C’ tại F Chứng minh D; E; F thẳng hàng Bài Cho A; B; C không thẳng hàng mặt phẳng (P) Gọi M; N; P lần lượt giao điểm AB; BC; AC với (P) Chứng minh M; N; P thẳng hàng Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành; O giao điểm hai đường chéo; M; N lần lượt trung điểm SA; SD Chứng minh ba đường thẳng SO; BN; CM đồng quy Bài Cho tứ diện ABCD Mặt phẳng (P) không song song AB cắt AC; BC; AD; BD lần lượt tại M; N; R; S Chứng minh AB; MN; RS đồng quy Bài Chứng minh một tứ diện các đường thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng quy Bài Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang hai đáy AD; BC Gọi M; N trung điểm AB; CD G trọng tâm ΔSAD a Tìm giao tuyến (GMN) (SAB); (GMN) (SCD) b Gọi giao điểm AB CD I; J giao điểm hai giao tuyến câu a Chứng minh S; I; J thẳng hàng Vấn đề 3: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU, VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG Bài Cho A, B, C, D không đồng phẳng a Chứng minh ba số điểm không thẳng hàng b Chứng minh AB chéo với CD Bài Cho hai đường thẳng chéo a b Trên a lấy hai điểm A, B Trên b lấy hai điểm C, D a Chứng minh AC BD chéo b Lấy M đoạn AC; N đoạn BD Đường thẳng MN có song song AB CD không? c O trung điểm MN Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng Bài Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng b c Hỏi ba đường thẳng a, b, c có đồng phẳng không? Tại sao? Bài Cho tứ diện ABCD Gọi I; J trung điểm AD; BC Chứng minh rằng a AB CD chéo b IB JA chéo Vấn đề 4: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài Cho tứ diện ABCD có M trung điểm AB, N P lần lượt các điểm nằm AC, AD cho AN / AC = / 4, AP / AD = / a Tìm giao điểm MN với (BCD) b Tìm giao điểm BD với (MNP) c Gọi Q trung điểm NP Tìm giao điểm MQ với (BCD) Bài Cho A; B; C; D bốn điểm không đồng phẳng M; N lần lượt trung điểm AC; BC Trên đoạn BD lấy P cho BP = 2PD Tìm giao điểm CD với (MNP) AD với (MNP) Bài Cho hình chóp S.ABC có O điểm ΔABC; D E các điểm năm SB; SC Tìm giao điểm DE với (SAO) SO với (ADE) Bài Cho tứ diện SABC I; H lần lượt trung điểm SA; AB Trên đoạn SC lấy điểm K cho CK = 3KS a Tìm giao điểm đường thẳng BC với (IHK) b Gọi M trung điểm HI Tìm giao điểm đường thẳng KM với (ABC) Bài Cho hình chóp SABCD đáy hình thang ABCD đáy lớn AB I; J; K ba điểm SA; SB; SC Tìm giao điểm IK (SBD); giao điểm (ỊJK) SD; SC Bài Gọi I; J lần lượt hai điểm nằm ΔABC; ΔABD tứ diện ABCD M điểm tuỳ ý CD Tìm giao điểm IJ mặt phẳng (AMB) Bài Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành ABCD M trung điểm SD a Tìm giao điểm I BM (SAC) Chứng minh: BI = 2IM b Tìm giao điểm J của SA (BCM) Chứng minh J trung điểm SA c N điểm tùy ý BC Tìm giao điểm MN với (SAC) Vấn đề 5: THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG VỚI KHỐI ĐA DIỆN Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M; N; P lần lượt trung điểm AA’; AD; DC Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) với hình lập phương Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M; N; P lần lượt trung điểm DC; AD; BB’ Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) với hình hộp Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi E; F; K lần lượt trung điểm SA; AB; BC Xác định thiết diện hình chóp mặt phẳng qua ba điểm E; F; K Bài Cho hình chóp S.ABCD Gọi A’; B’; C’ lần lượt các điểm nằm SA; SB; SC Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp Bài Cho tứ diện ABCD; điểm I nằm BD BD cho ID = 3IB; M; N hai điểm thuộc cạnh AD; DC cho 2MA = MD; 2ND = NC a Tìm giao tuyến PQ (IMN) với (ABC) b Xác dịnh thiết diện tạo (IMN) với tứ diện c Chứng minh MN; PQ; AC đồng qui Bài Cho tứ diện ABCD; điểm I; J lần lượt trọng tâm ΔABC; ΔDBC; M trung điểm AD Tìm tiết diện tạo (MJI) tứ diện Bài Cho hình chóp S.ABCDE Lấy ba điểm M; N; K lần lượt SA; BC; SD Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (MNK) với hình chóp Bài Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang với AB đáy Gọi M; N trung điểm SB; SC a Tìm giao tuyến (SAD) (SBC) b Tìm giao điểm SD với mặt phẳng (AMN) c Tìm tiết diện tạo mặt phẳng (AMN) với hình chóp Bài Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SC a Tìm giao điểm I AM với (SBD) Chứng minh IA = 2IM b Tìm giao điểm F SD với (AMB) Chứng minh F trung điểm SD c Xác định hình dạng tiết diện tạo (AMB) với hình chóp d Gọi N một điểm cạnh AB Tìm giao điểm MN với (SBD) Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M; N; P lần lượt trung điểm SB; SD; OC a Tìm giao tuyến (MNP) với (SAC) b Dựng thiết diện (MNP) với hình chóp c Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA; BC; CD Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành; gọi M trung điểm SB; G trọng tâm ΔSAD a Tìm giao điểm I GM với (ABCD) b Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD c Chứng minh (CGM) qua trung điểm SA d Dựng thiết diện (CGM) với hình chóp Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi I; J lần lượt trọng tâm ΔSAB; ΔSAD a Tìm giao điểm JI với (SAC) b Dựng thiết diện tạo (JIO) với hình chóp Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD Gọi I; M; N ba điểm SA; AB; CD a Tìm giao tuyến (SAN) (SDM) b Hãy xác định thiết diện tạo (IMN) với hình chóp BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Cho tứ diện ABCD; I điểm nằm đoạn BD Mặt phẳng (P) qua I cắt AB; BC; CD; DA tại M; N; P; Q a Chứng minh I; M; Q thẳng hàng ba điểm I; N; P thẳng hàng b Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SD; E điểm thuộc BC a Tìm giao điểm N SC với (AME) b Tìm giao tuyến (AME) với (SAC) c Gọi K giao điểm SA với (MBC) Chứng minh K trung điểm SA Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi F trung điểm CD; E điểm cạnh SC cho SE = 2EC Tìm tiết diện tạo (AEF) với hình chóp Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I trung điểm SD; E trung điểm cạnh SB a Tìm giao điểm F CD với mặt phẳng (AIE) b Tìm giao tuyến d (AIE) với (SBC) c Chứng minh BC; AF; d đồng qui Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi F trung điểm SC; E điểm cạnh BC cho BE = 2EC a Tìm tiết diện tạo mặt phẳng (AEF) với hình chóp b Tìm giao điểm SB với mặt phẳng (AEF) Bài Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SB G trọng tâm ΔSAD a Tìm giao điểm I GM với (ABCD) chứng minh I nằm đường thẳng CD IC = 2ID b Tìm giao điểm J (OMG) với AD Tính tỉ số JA/JD c Tìm giao điểm K (OMG) với SA Tính KA/KS Bài Cho tứ diện ABCD; AD lấy N cho AN = 2ND; M trung điểm AC; BC lấy P cho BP = BC/4 a Tìm giao điểm I MN với (BCD) Tính IC / ID b Tìm giao điểm J BD với (MNP) Tính JB / JD Bài Cho tứ diện ABCD Gọi I; J hai điểm cố định nằm AB; AC IJ không song song với BC Mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt cạnh CD; BD tại M; N a Chứng minh MN qua điểm cố định b Tìm tập hợp giao điểm IN JM c Tìm tập hợp giao điểm IM JN Bài Cho hình chóp S.ABC Gọi A’; B’; C’ lần lượt các điểm di động SA; SB; SC thỏa mãn: SA’ = SA/(n + 1); SB’ = SB/(2n + 1); SC’ = SC/(3n + 1) a Chứng minh A’B’ qua một điểm cố định I A’C’ qua điểm cố định J n thay đổi b Chứng minh (A’B’C’) chứa một đường thẳng cố định Vấn đề 6: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ CHÉO NHAU Bài Cho tứ diện ABCD có I, J trọng tâm ΔABC, ΔABD Chứng minh rằng: I J // CD Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang đáy lớn AB Gọi M, N lần lượt trung điểm SA, SB a Chứng minh rằng: MN // CD b Tìm giao điểm P SC (AND) c AN cắt DP tại I Chứng minh rằng: SI // AB // CD Tứ giác SABI hình gì? Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành, có M, N, P, Q lần lượt nằm BC, SC, SD, AD cho MN // SB, NP // CD, MQ // CD a Chứng minh rằng: PQ // SA b Gọi K giao điểm MN PQ Chứng minh rằng: SK // AD // BC Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình bình hành Gọi M, N, P, Q lần lượt trung điểm BC, CD, SB, SD a Chứng minh rằng: MN // PQ b Gọi I trọng tâm ΔABC, J thuộc SA cho JS / JA = 1/2 Chứng minh rằng: I J // SM Bài Cho hình chóp S ABCD đáy hình bình hành a Tìm giao tuyến (SAD)&(SBC); (SAB)&(SCD) b Lấy M thuộc SC Tìm giao điểm N SD (ABM) Tứ giác ABMN hình gì? Bài Cho hình chóp S ABCD đáy hình bình hành Gọi M, H, K lần lượt trung điểm AD, SA, SB a Tìm giao tuyến d (SAD) (SBC) b Tìm giao tuyến (SCD) (MHK) c Tìm giao điểm N BC (MHK) Tứ giác MHKN hình gì? Bài Cho hình chóp S ABCD đáy hình thang (AB đáy lớn) Gọi I, J, K trung điểm AD, BC, SB a Tìm giao tuyến (SAB) (SCD); (SCD) (I JK) b Tìm giao điểm M SD (I JK) c Tìm giao điểm N SA (I JK) d Xác định thiết diện hình chóp (I JK) Thiết diện hình gì? Bài Cho hình chóp S ABCD, đáy hình bình hành Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, SD a Tìm giao tuyến (SCD) (MNP) b Tìm giao điểm CD (MNP), AB (MNP) c Tìm giao tuyến (SAC) (MNP), suy thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) Bài Cho hình chóp S.ABCD, có ABCD hình thang với hai đáy AD BC (AD > BC) Gọi M, E, F trung điểm AB, SA, SD a Tìm giao tuyến (MEF) (ABCD) b Tìm giao điểm BC (MEF) c Tìm giao điểm SC (MEF) d Gọi O = AC ∩ BD Tìm giao điểm SO (MEF) Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N, P lần lượt trung điểm OB, SO, BC a Tìm giao tuyến (NPO) (SCD); (SAB) (AMN) b Tìm giao điểm E SA (MNP) c Chứng minh rằng: ME // PN d Tìm giao điểm MN (SCD) xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) Bài 11 Cho hình chóp S.ABC Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, SC Cho SB = AC a Tìm giao điểm E SA (MNP) b Chứng minh rằng: NP // ME // SB Tứ giác MNPE hình gì? c Tìm giao tuyến (ANP) (SMC) d Tìm giao điểm SM (ANP) Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N, P trung điểm SB, SD, OD a Tìm giao điểm I BC (AMN); tìm giao điểm J CD (AMN) b Tìm giao điểm K SA (CMN) c Tìm giao tuyến (NPK) (SAC) d Tìm giao điểm SC (NPK) Tìm thiết diện hình chóp tạo mặt phẳng (AMN) Vấn đề 7: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành Gọi M, N, P lần lượt trung điểm AB, CD, SA a Chứng minh MN // (SBC); MN // (SAD) b Chứng minh SB // (MNP); SC // (MNP) c Gọi I, J trọng tâm Chứng minh rằng: I J // (SAB), I J // (SAD), I J // (SAC) Bài Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm ΔABD, M thuộc BC cho MB = MC Chứng minh rằng: MG // (ACD) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi I, J trung điểm BC, SC K thuộc SD cho 2SK = KD a Chứng minh OJ // (SAD), OJ // (SAB) b Chứng minh IO // (SCD), I J // (SBD) c Gọi M giao điểm AI BD Chứng minh rằng: MK // (SBC) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thoi tâm O Gọi M, N, P trung điểm SB, SO, OD a Chứng minh rằng: MN // (ABCD), MO // (SCD) b Chứng minh rằng: NP // (SAD), NPOM hình gì? c Gọi I điểm cạnh SD cho SD = ID Chứng minh rằng: PI // (SBC), PI // (SAD) Bài Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không đồng phẳng có tâm lần lượt I J a Chứng minh I J // (ADF) I J // (BCE) b Gọi M, N lần lượt trọng tâm ΔACE ΔADF Chứng minh rằng: MN // (CDEF) Vấn đề 8: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi H, I, K lần lượt trung điểm SA, SB, SC a Chứng minh (HIK) // (ABCD) b Gọi M giao điểm AI KD, N giao điểm DH CI Chứng minh (SMN) // (HIK) Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a Chứng minh (BA’D) // (B’D’C) b Chứng minh AC’ qua trọng tâm G G’ tam giác A’BD CB’D’ Bài Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N lần lượt trung điểm SA, CD a Chứng minh (OMN) // (SBC) b Giả sử tam giác SAD, ABC cân tại A Gọi AE, AF các đường phân giác tam giác ACD SAB Chứng minh EF // (SAD) Bài Cho hai hình vuông ABCD, ABEF không nằm một mặt phẳng Trên các đường chéo AC, BF lần lượt lấy các điểm M, N cho AM = BN Các dường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M’, N’ a Chứng minh (CBE) // (ADF).b Chứng minh (DEF) // (MNN’) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N, P, Q lần lượt trung điểm SA, SD, AB, ON a Chứng minh (OMN) // (SBC) b Chứng minh PQ // (SBC) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N, P trung điểm SA, CD, AD a Chứng minh rằng: (OMN) // (SBC) b Gọi I điểm MP Chứng minh rằng: OI // (SCD) Bài Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình bình hành Gọi M, N, P, Q trung điểm BC, AB, SB, AD a Chứng minh (MNP) // (SAC) PQ // (SCD) b Gọi I giao điểm AM BD, J thuộc SA cho AJ = 2JS Chứng minh IJ // (SBC) c Gọi K thuộc AC Tìm giao tuyến (SKM) (MNP) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành Gọi I, J, G, P, Q trung điểm DC, AB, SB, BG, BI a Chứng minh (I JG) // (SAD) PQ // (SAD) b Tìm giao tuyến (SAC) (I JG); (ACG) (SAD) Bài Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không đồng phẳng Gọi I, J, K trung điểm AB, CD, EF Chứng minh rằng: (ADF) // (BCE) (DIK) // (JBE) Vấn đề 9: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN & QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài Cho tứ diện ABCD uuu r uuu r uuu r uuu r a Chứng minh rằng: AC + BD = AD + BC b Gọi I,r J lần lượtuuu trung điểm AD, BC; G trọng tâm tam giác BCD Chứng minh rằng: uuu r uuu ur r uuu r uuur uuur AB + DC = 2IJ AB + AC + AD = 3AG uuur uuu r uuu r uuu r r Bài Cho tứ diện ABCD Xác định điểm G thỏa mãn điều kiện: GA + GB + GC + GD = uuur uuu r uuu r uuu r uuur Chứng minh với điểm O bất kỳ, ta có OA + OB + OC + OD = 4OG Bài Cho hai tứ diện ABCD A’B’C’D’ Chứng minh rằng hai tứ diện có trọng tâm uuur uuur uuur uuur r khi: AA ' + BB' + CC ' + DD ' = Bài Cho tứ diện ABCD Lấy M, N lần lượt thuộc đoạn AB, CD cho: MA = 2MB ND = 2NC Các điểm I, J, P lần lượt thuộc các đoạn AD, MN, BC cho IA/ID = JM/JN = PB/PC = k Chứng minh I, J, K thẳng hàng uuu r uuu r uuur uuur Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh AB + AD + AA ' = AC ' uuur uuuur uuuur uuuu r AB' + B' C ' + D ' D = A ' C uuuu r r uuu r r uuu r r Bài Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ Đặt AA ' = a, AB = b, AC = c Gọi G trọng tâm uuur uuur uuur r r r A’B’C’ Hãy biểu diễn B' C, BC ', AG (xvii) theo a, b, c Bài Cho hình chóp S.ABC LấyuM, N lần lượt thuộc các đoạn SA, BC cho MB = 2MA uu r uuur uur CN = 2NB Chứng minh rằng: AB, MN, SC đồng phẳng Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi K giao điểm AD’ DA’; I giao điểm BD’ uuu r uur uuuur DB’ Chứng minh rằng: AC, KI, B'C ' đồng phẳng Bài Cho tứ diện ABCD LấyuuM, Nrlầnuuu lượt thuộc hai đoạn AD, BC cho AM = 3MD u r uuu r NB = 3NC Chứng minh rằng AB, DC, MN đồng phẳng Bài 10 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi I, J lần lượt trung điểm BB’, A’C’ Lấy K đoạn B’C’ cho KC’ = 2KB’ Chứng minh rằng A, I, J, K đồng phẳng Vấn đề 10: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG Bài Cho hình chóp S ABC đáy ABC vuông cân tại B, SA vuông góc với (ABC) a Chứng minh rằng: các mặt bên hình chóp các tam giác vuông b Kẻ đường cao AD ΔSAB đường cao AE ΔSAC Chứng minh ΔADE vuông SC vuông góc với DE Bài Cho hình chóp S ABCD đáy hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) a Chứng minh rằng: BC vuông góc với (SAD) CD vuông góc với (SAD) b Chứng minh rằng: BD vuông góc với (SAC) c Kẻ AE vuông góc với SB Chứng minh rằng: SB vuông góc với (ADE) Bài Cho hình chóp S ABCD đáy hình vuông, SA = SB = SC = SD a Chứng minh SO vuông góc với (ABCD) BD vuông góc với (SAC) b Gọi I trung điểm AB Chứng minh rằng: AB vuông góc với (SOI) c Kẻ đường cao OJ SOI Chứng minh rằng: SA vuông góc với OJ Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông tâm O cạnh a SA vuông góc với (ABCD) SA = a√(3) a Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b Tính góc SD (ABCD); SC (SAD) c Vẽ AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD Chứng minh rằng: AH vuông góc với (SBC); SC vuông góc với (AHK) d Chứng minh rằng: BD vuông góc với (SAC) Tính góc SD (SAC) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thoi tâm O Hai tam giác SAB SAC vuông A, cho SA = a, AC = 2a√(3) a Chứng minh SA vuông góc với (ABCD) BD vuông góc với SC b Vẽ AH đường cao SAO Chứng minh rằng: AH vuông góc với (SBC) c Tính góc AO (SBD) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vuông tâm O, SO vuông góc với (ABCD), SO = a√(3), AB = a√(2) a Chứng minh rằng: BD vuông góc với SA; AC vuông góc với SB b Vẽ CI vuông góc với SD, OJ vuông góc với SC Chứng minh rằng: SD vuông góc với (ACI); SC vuông góc với (BDJ) c K trung điểm SB Chứng minh rằng: OK vuông góc với OI d Tính góc SA (ABCD) Vấn đề 11: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) a Chứng minh rằng: (SAC) vuông góc với (SBD) b Gọi BE, DF đường cao ΔSBD Chứng minh: (AFC) vuông góc với (SBC); (AEF) vuông góc với (SAC) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông tâm O cạnh a, SA = a, SA vuông góc với (ABCD) a Chứng minh: (SBC) vuông góc với (SAB); (SCD) vuông góc với (SAD) b Chứng minh rằng: (SAC) vuông góc với (SBD) c Gọi AI, AJ đường cao SAB, SAC Chứng minh rằng: (SCD) vuông góc với (AI J) d Tính góc hai mặt phẳng (SBC) & (ABCD), (SBD) & (ABCD) Bài Cho tứ diện ABCD, AD vuông góc với (ABC), DE đường cao ΔBCD a Chứng minh rằng: (ABC) vuông góc với (ADE) b Vẽ đường cao BF đường cao BK ΔABC ΔBCD Chứng minh rằng (BFK) vuông góc với (BCD) c Gọi I, J trực tâm Chứng minh rằng: I J vuông góc với (BCD) Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi I, J trung điểm AB, CD Trên đường thẳng vuông góc (ABCD) tại I lấy S a Chứng minh rằng: BC vuông góc với (SAB), CD vuông góc với (SI J) b Chứng minh rằng: (SAD) vuông góc với (SBC), (SAB) vuông góc với (SI J) c Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: (SIM) vuông góc với (SBD) d SI = a Tính góc (SCD) (ABCD) Bài Cho hình chóp S ABCD, O tâm ABCD Gọi I trung điểm AB, cho SA = a, AB = a a Chứng minh rằng: (SAC) vuông góc với (SBD), (SOI) vuông góc với (ABCD) b Chứng minh rằng: (SIO) vuông góc với (SCD) c Gọi OJ đường cao SOI Chứng minh rằng: OJ vuông góc với SB d Gọi BK đường cao SBC Chứng minh rằng: (SCD) vuông góc với (BDK) e Tính góc mặt bên mặt đáy Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình chữ nhật, (SAB) vuông góc với (ABCD) Cho AB = a, AD = a√(2) a Chứng minh rằng: SA vuông góc với (ABCD), (SAD) vuông góc với (SCD) b Gọi AH đường cao ΔSAB Chứng minh rằng AH vuông góc với (SBC), (SBC) vuông góc với (AHC) c Chứng minh rằng: DH vuông góc với SB d Tính góc (SAC) (SAD) Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a tâm O, SA = a Cho (SAB) vuông góc với (ABCD), (SAD) vuông góc với (ABCD) a Chứng minh rằng: SA vuông góc với (ABCD), BD vuông góc với (SAC) b Gọi AH, AK đường cao Chứng minh rằng: AH vuông góc với BD, AK vuông góc với (SCD) c Chứng minh rằng: (SAC) vuông góc với (AHK) d Tính góc (SAC) (SCD) Bài Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vuông cạnh a tâm O, SA vuông góc với đáy, SA = a a Chứng minh: BD vuông góc với SC b Tính các góc SC (ABCD); (SBD) (ABCD) c Tính góc (SCD) & (ABCD) Tính diện tích hình chiếu ΔSCD (ABCD) Vấn đề 12: KHOẢNG CÁCH Bài Cho tứ diện SABC, ΔABC vuông cân tại B, AC = SA = 2a SA vuông góc với (ABC) a Chứng minh rằng: (SAB) vuông góc với (SBC) b Tính d(A, (SBC)) c Gọi O trung điểm AC Tính d(O, (SBC)) Bài Cho hình chóp S ABCD đáy hình vuông cạnh a tâm O SA vuông góc với (ABCD) SA = 2a; dựng BK vuông góc với SC a Chứng minh rằng: SC vuông góc với (DBK) b Tính d(A, (SBC)); d(A, (SDC)); d(O, (SBC)) c Tính d(BD, SC); d(AD, BK) Bài Cho hình chóp S ABCD đều, O tâm hình vuông ABCD, cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a Gọi I, J trung điểm AB, CD a Chứng minh rằng: (SI J) vuông góc với (SAB) b Tính d(O, (SCD)); d(I, (SCD)) c Tính d(SC, BD); d(AB, SD) Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a, góc A = 60° đường cao SO = a Tính d(O, (SBC)) d(AD, SB) Vấn đề 13: DIỆN TÍCH – HÌNH CHIẾU Bài Cho tam giác ABC cạnh a, nằm mặt phẳng (α) Trên đường vuông góc với (α) tại B, C Vẽ BD = a√(2) / 2, CE = a√(2) nằm phía với mặt phẳng (α) a Chứng minh rằng tam giác ADE vuông tính diện tích tam giác ADE b Tìm góc (ADE) (α) Bài Cho tam giác ABC có B, C hình chiếu E, F lên (α) cho tam giác ABF tam giác cạnh a, CF = a, BE = a/2 Gọi I = BC ∩ EF Chứng minh AI vuông góc với AC Tính diện tích tam giác ABC tính góc (ABC) (α) Bài Cho tam giác ABC cân, đáy BC = 3a, BC vuông góc với (α), đường cao a√(3) D hình chiếu A lên (α) cho tam giác DBC vuông tại D Tìm góc (ABC) (α) Bài Cho tam giác ABC cạnh a Từ các đỉnh A, B, C vẽ các nửa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa ABC Trên các nửa đường thẳng đó lần lượt lấy D, E, F cho AD = a, BE = 2a, CF = x a Tìm x để tam giác DEF vuông tại D b Với x vừa tìm được câu trên, tìm góc (ABC) (DEF) [...]... 3x Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau a y = (x² + x + 1)³ d y = (x + 2) 2 (2x − 1) 3 b y = (1 – 2x²)5 e y = (2 − 3 x 2 )3 Bài 3 Tính đạo hàm của các hàm số sau: a y = 2x 2 − 5x + 2 b y = x + x d y = ( 1 + x + 1 − x )3 3 e y = 1 + x x +1 c y = 1 (x + 2x + 5) 2 f y = ( 2 2x + 1 4 ) x −1 c y = (x 2 − 2) x 2 + 2x + 3 2 f y = 4 + x x +1 Bài 4 Tính đạo hàm của các hàm số sau sin x 2 ) 1 +...x 2 + 2x − 15 x →3 x −3 b lim x4 − a4 x →a x − a e lim a lim d lim x 2 + 2x − 3 x2 −1 x →1 x5 + 1 x →−1 x 3 +1 c lim x 2 − 3x + 2 x2 + x − 6 4x 6 − 5x 5 + x f lim x →1 (1 − x )2 x 2 Bài 8 Tìm các giới hạn sau: x −1 x →1 x − 1 3 4x + 2 d lim x → 2 x + 2 a lim x +1 − 2 b lim 2 x −9 x →3 2x + 5 − 7 + x c lim x 2 − 2x x 2 Bài 9 Tìm các giới hạn sau: 1− 3 1− x... →+∞ Bài 11 Tìm các giới hạn sau 1 3 − ) x →1 1 − x 1 − x 3 a lim( b lim [ x →1 1 2 (1 − )] x −1 x +1 c lim( x →1 HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài 1 Xét tính liên tục của hàm số tại điểm xo 1 2 x − 3x + 2 x 4 + x 2 − 1  e f (x) =  3x + 2  1 2 x − 5x + 6 )  x −5  2x − 1 − 3 khi x > 5 b f (x) =  tại xo = 5  3 khi x ≤ 5  2  3 3x + 2 − 2 khi x ≠ 2  khi x ≠ 2 x 2 f (x) = tại xo = 2 d  tại xo = 2. .. – 2x c y = f(x) = x + 1 trên (–1; +∞) d y = f(x) = sin x 1 với x ≠ 3 /2 2x − 3 e y = f(x) = f y = f(x) = 1 trên (0; π /2) cos x VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 3 4 − x x x2 3 3 +x 2 e y = x +2 1+ x − x2 h y = 1− x + x2 a y = 2x 4 − x 3 + 2 x − 5 b y = d y = x²(x² – 1)(x² – 4) g y = 2x 2 − 4x + 7 x +1 3 c y = (x³ – 2) (1 – x²) f y = 2x + 1 1 − 3x Bài. .. →0 x+7 2 x −1 x− x +2 4x + 1 − 3 b lim x 2 e lim 3 x →0 3 c xlim →−1 1+ x − 1− x x x +1 x2 + 3 − 2 f lim x →0 x +1 + x + 4 − 3 x 3 x2 − 23 x +1 x + 9 + x + 16 − 7 h lim x →1 x (x − 1 )2 Bài 10 Tìm các giới hạn sau ( x 2 + 2x − x) a xlim →+∞ (2x − 1 − 4x 2 − 4x − 3) b xlim →+∞ ( x 2 − x + 1 − x 2 + x + 1) c xlim →+∞ 3 ( 8x 3 + x − 2x) d xlim →+∞ 3 x 2 ( x 3 + 1 − x) e xlim →+∞ 3 3 ( x 3 + 5x 2 − x 3... phân biệt, tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m BÀI TẬP ÔN ĐẠO HÀM Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau: a y = x³ (x² – 4) d y = x 2 − 3x + 2 2x − 3 b y = x 6 − 2 x + 2 1 e y = x 2 − 2x c y = ( x + 1) (2x² + 1) f y = (3 – 2x²)³ Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau: a y = x 4 − 3x 2 + 4 b y = 1+ x 1− x c y = x − 3x 2 x2 Bài 3 Tính đạo hàm của các hàm số sau: a y = sin (x³ –... 3 a 2 x 2 khi x ≤ 2 b f (x) =  ( 1 − a ) x khi x > 2   x 2 khi x < 1 a f (x) =   2ax − 3 khi x ≥ 1   x 3 + 2x 2 − 5 khi x ≥ 0  4x − 1 khi x < 0 Bài 4 Cho hàm số f(x) =  Xét tính liện tục của hàm số trên tập xác định Bài 5 Tìm a để hàm số liên tục tại xo  1− x − 1+ x  x +2 2 khi x < 1  khi x ≠ 2  x −1 2 f (x) = a f(x) =  x − 4 tại xo = 2 b tại xo = 1  a khi x = 2 a +... = sin4 3x & g(x) = sin 6x b f(x) = sin³ 2x, g(x) = 4cos 2x – 5sin 4x c f(x) = 2x² cos² (x /2) , g(x) = x – x² sin x d f(x) = 4x cos² (x /2) , g(x) = 8 cos (x /2) – 3 – 2x sin x Bài 3 Giải bất phương trình f ′(x) > g′(x) với a f(x) = x³ + x – 2, g(x) = 3x² + x + 3 b f(x) = x 2 − 2x − 8 & g(x) = x c f(x) = 4x³ – 2x² + 3 ; g(x) = 2x³ + x² d f(x) = 2/ x, g(x) = x – x³ Bài 4 Xác định m để các bất phương trình... x) tan x lim lim ( ) b xπ /2 c d 2 xπ /2 → → (π − 2x) x →0 xπ/3 → 1 − 2 cos x VẤN ĐỀ 6: Các bài toán khác Bài 1 Giải phương trình f ′(x) = 0 với a f(x) = 3 cos x – 4 sin x + 5x b f(x) = cos x + 3 sin x + 2x − 1 c f(x) = sin² x + 2 cos x d f(x) = sin x – (1/4)cos 4x – (1/6)cos 6x e f(x) = 1 – sin (π + x) + 2cos (x /2 + 3π /2) f f(x) = sin 3x − 3 cos 3x + 3(cos x − 3 sin x) Bài 2 Giải phương trình f ′(x)... c Đi qua điểm A(0; 2) Bài 6 Cho hàm số y = f(x) = cos x Tính giá trị của f ′(π/6), f ′(π/3) cos 2x Bài 7 Tìm m để f ′(x) > 0 với mọi x thuộc R a f(x) = x³ + (m – 1)x² + 2x + 1 b f(x) = 3sin x – 3m sin 2x – sin 3x + 6mx Bài 8 Chứng minh rằng f ′(x) > 0 với mọi x thuộc R a f(x) = 2x + sin x b f(x) = (2/ 3)x9 – x6 + 2x³ – 3x² + 6x – 1 PHẦN II HÌNH HỌC BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH Bài 1 Trong mặt phẳng ... + n n2 − 12 + 22 + 32 + + n d lim n(n + 1)(n + 2) b lim (2 + 0,3 + 0,3² + 0,3³ + + 0,3ⁿ) Bài Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn phân số a 1 ,111 b 2, 333 c 0 ,22 2 d 0 ,21 21… e 0 ,2 3111 GIỚI... 2x)³ + (1 + 2x)4 + (1 + 2x)5 + + (1 + 2x )22 Bài 16 Tính tổng a S1 = C0n + C1n + C2n + + Cnn b S2 = C0n − C1n + C2n − + ( −1) n Cnn 2n c S3 = C02n + C22n + C42n + + C 2n 2n −1 d S4 = C12n... 789 Bài 21 Một nhóm học sinh gồm 10 nam, nữ Chọn một tổ gồm người Hỏi có cách chọn để tổ có nhiều nhất nữ Bài 22 Một lớp học có 40 học sinh, lớp cần cử một ban cán lớp gồm một lớp