Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d1 : x - y + 17 = , d2 : x + y - = Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 tam giác cân giao điểm d1, d2 · Phương trình đường phân giác góc tạo d1, d2 là: x - y + 17 x+ y-5 é x + 3y - 13 = (D1 ) = Ûê ë3 x - y - = (D2 ) 12 + (-7)2 12 + 12 Đường thẳng cần tìm qua M(0;1) song song với D1 D2 Câu .NE T KL: x + 3y - = 3x - y + = Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1 : x - y + = THS d2 : x + y – = Lập phương trình đường thẳng qua điểm P(2; –1) cho đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 d2 tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đường thẳng d1, d2 r r · d1 VTCP a1 = (2; -1) ; d2 VTCP a2 = (3;6) uur uur Ta có: a1.a2 = 2.3 - 1.6 = nên d1 ^ d2 d1 cắt d2 điểm I khác P Gọi d đường thẳng qua P( 2; –1) có phương trình: d : A( x - 2) + B( y + 1) = Û Ax + By - A + B = d cắt d1, d2 tạo tam giác cân có đỉnh I Û d tạo với d1 ( d2) góc 450 2A - B é A = 3B Û = cos 450 Û A2 - AB - 3B = Û ê ë B = -3 A A2 + B2 22 + (-1)2 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y + = , d2 : x + y + = điểm VIE Câu TM A * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : x + y - = * Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x - 3y - = Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán d : 3x + y - = ; d : x - 3y - = Câu hỏi tương tự: a) d1 : x - y + 17 = , d2 : x + y - = , P(0;1) ĐS: x + 3y - = ; x - y + = I (1; -2) Viết phương trình đường thẳng D qua I cắt d1, d2 A B cho AB = 2 uur uur · Giả sử A(a; -3a - 5) Ỵ d1; B(b; -3b - 1) Ỵ d2 ; IA = (a - 1; -3a - 3); IB = (b - 1; -3b + 1) uur uur ìb - = k (a - 1) I, A, B thẳng hàng Þ IB = kIA Û í ỵ-3b + = k (-3a - 3) · Nếu a = b = Þ AB = (không thoả) b -1 · Nếu a ¹ -3b + = (-3a - 3) Û a = 3b - a -1 AB = (b - a)2 + éë3(a - b) + ùû = 2 Û t + (3t + 4)2 = (với t = a - b ) + Với t = -2 Þ a - b = -2 Þ b = 0, a = -2 Þ D : x + y + = Û 5t + 12t + = Û t = -2; t = - Trang PP toạ độ mặt phẳng + Với t = Câu Trần Sĩ Tùng -2 -2 Þ a-b = Þ b = , a = Þ D : 7x - y - = 5 5 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + = , d2 : x – y –1 = Lập phương trình đường thẳng (d) qua M(1;–1) cắt (d1) (d2) tương uuur uuur r ứng A B cho MA + MB = · Giả sử: A(a; uuur –a–1),uuur B(b; r2b – 1) Từ điều kiện MA + MB = tìm A(1; –2), B(1;1) suy (d): x – = Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt hai đường thẳng d1 : x + y + = 0, d2 : x – y + = A, B cho MB = 3MA uuur ì A Ỵ (d1 ) ì A(a; -1 - a) ìï uuur MA = (a - 1; -1 - a) Ãớ ịớ B ẻ ( d ) B (2 b 2; b ) ỵ ïỵ MB = (2b - 3; b) ỵ uuur uuur uuur uuur Từ A, B, M thẳng hàng MB = 3MA Þ MB = 3MA (1) MB = -3MA (2) ì ỉ 1ư ì A 0; -1) ïA - ;Þ (d ) : x - y - = (1) ị ỗố 3 ữứ Þ (d ) : x - 5y - = hoc (2) ị ( ợ B(4;3) ù B(-4; -1) ỵ THS NE T Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt hai đường thẳng d1 : 3x - y - = 0, d2 : x + y - = A, B cho Câu TM A MA – 3MB = · Giả sử A(a;3a - 5) Ỵ d1 , B(b;4 - b) Ỵ d2 VIE uuur uuur é2 MA = 3MB (1) uuur Vì A, B, M thẳng hàng MA = 3MB nên ê uuur MA = MB (2) ë ì ỉ 5ư ïa = ì2(a - 1) = 3(b - 1) + (1) ớ ị A ỗ ; ữ , B(2;2) Suy d : x - y = ỵ2(3a - 6) = 3(3 - b) è2 2ø ïỵb = ì2(a - 1) = -3(b - 1) ìa = + (2) Û í Ûí Þ A(1; -2), B(1;3) Suy d : x - = ỵ2(3a - 6) = -3(3 - b) ỵb = Vậy có d : x - y = d : x - = Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1) Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt tia Ox, Oy A B cho (OA + 3OB) nhỏ Câu · PT đường thẳng d cắt tia Ox A(a;0), tia Oy B(0;b): M(3; 1) Ỵ d = x y + = (a,b>0) a b Cô - si + ³ Þ ab ³ 12 a b a b ìa = 3b ï ìa = Mà OA + 3OB = a + 3b ³ 3ab = 12 Þ (OA + 3OB)min = 12 Û í 1 Û í ỵb = ïỵ a = b = x y Phương trình đường thẳng d là: + = Û x + 3y - = Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D qua điểm M(4;1) cắt tia Ox, Oy A B cho giá trị tồng OA + OB nhỏ · x + 2y - = Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1; 2) cắt trục Ox, Oy A, B khác O cho nhỏ + OA2 OB · Đường thẳng (d) qua M(1;2) cắt trục Ox, Oy A, B khác O, nên x y A(a; 0); B(0; b) vi a.b ị Phng trỡnh (d) có dạng + = a b Vì (d) qua M nên + = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có : a b NE T Câu ỉ1 2ư æ1 ö æ öæ ö 9 9 = ỗ + ữ = ỗ + ữ Ê ỗ + 1ữỗ + ữ + + 2 2 b ø è øè a 10 10 b ø a b OA OB èa bø è3 a 2 20 Dấu xảy : = 1: + = Û a = 10, b = Þ d : x + y - 20 = a b a b THS Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng D qua điểm M(3;1) cắt trục Ox, Oy B C cho tam giác ABC cân A với A(2;–2) · x + 3y - = 0; x - y - = Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích S = TM A · Gọi A(a;0), B(0; b) (a, b ¹ 0) giao điểm d với Ox, Oy, suy ra: d : x y + =1 a b ì2 ì2b + a = ab ï + =1 Theo giả thiết, ta có: í a b Ûí ab = ỵ ï ab = ỵ · Khi ab = 2b + a = Nên: b = 2; a = Þ d1 : x + y - = VIE · Khi ab = -8 2b + a = -8 Ta có: b2 + 4b - = Û b = -2 ± 2 + Với b = -2 + 2 Þ d : (1 - ) x + (1 + ) y - = + Với b = -2 - 2 Þ d : (1 + ) x + (1 - ) y + = Câu hỏi tương tự: a) M (8;6), S = 12 ĐS: d : 3x - y - 12 = ; d : 3x - 8y + 24 = Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) đường thẳng d có phương trình x – y + = Lập phương trình đường thẳng (D) qua A tạo với d góc α có cosα = 10 · PT đường thẳng (D) có dạng: a( x – 2) + b( y + 1) = Û ax + by – 2a + b = (a2 + b2 ¹ 0) Ta có: cos a = 2a - b = Û 7a2 – 8ab + b2 = Chon a = Þ b = 1; b = 10 5(a2 + b2 ) Þ (D1): x + y – = (D2): x + 7y + = Trang PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) đường thẳng d : x + 3y + = Lập phương trình đường thẳng D qua A tạo với đường thẳng d góc 450 · PT đường thẳng (D) có dạng: a( x – 2) + b( y - 1) = Û ax + by – (2a + b) = (a2 + b2 ¹ 0) 2a + 3b Ta có: cos 450 = é a = 5b Û 5a2 - 24ab - 5b2 = Û ê ë5a = - b 13 a2 + b2 + Với a = 5b Chọn a = 5, b = Þ Phương trình D : x + y - 11 = + Với 5a = -b Chọn a = 1, b = -5 Þ Phương trình D : x - 5y + = Câu 14 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : x - y - = điểm I(1;1) Lập phương trình đường thẳng D cách điểm I khoảng NE T d góc 45 10 tạo với đường thẳng · Giả sử phương trình đường thẳng D có dạng: ax + by + c = (a2 + b2 ¹ 0) Vì (· d , D) = 450 nên 2a - b 2 a +b é a = 3b Ûê ë b = -3a = 4+c éc = = 10 Û ê ëc = -14 10 -2 + c é c = -8 = 10 Û ê · Với b = -3a Þ D: x - 3y + c = Mặt khác d ( I ; D) = 10 Û ëc = 12 10 THS · Với a = 3b Þ D: 3x + y + c = Mặt khác d ( I ; D) = 10 Û Vậy đường thẳng cần tìm: x + y + = 0; 3x + y - 14 = ; x - 3y - = 0; x - 3y + 12 = TM A Câu 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) hai đường thẳng d1 , d2 có phương trình 3x + y + = x - 3y + = Gọi A giao điểm d1 d2 Viết phương trình đường thẳng qua M, cắt đường thẳng d1 d2 B , C ( B C khác A ) cho + VIE đạt giá trị nhỏ AB AC · A = d1 ầ d2 ị A(-1;1) Ta cú d1 ^ d2 Gọi D đường thẳng cần tìm H hình chiếu vng góc A D ta có: 1 AB + AC = 1 AH ³ AM (không đổi) H º M, hay D đường thẳng qua M AB AC AM vng góc với AM Þ Phương trình D: x + y - = Câu hỏi tương tự: a) Với M(1; -2) , d1 : x + y + = , d2 : x - 3y + = ĐS: D : x + y + = Þ + đạt giá trị nhỏ Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x – 3y – = đường tròn (C ) : x + y – y = Tìm M thuộc (d) N thuộc (C) cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1) · M Ỵ (d) Þ M(3b+4; b) Þ N(2 – 3b; – b) N ẻ (C) ị (2 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = Þ b = 0; b = Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng ỉ 38 ỉ 4ư Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) N(2;2) hoc M ỗ ; ữ , N ỗ - ; ÷ è 5ø è 5ø Câu 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) đường thẳng D: x + 3y + = Tìm điểm B thuộc đường thẳng D cho đường thẳng AB D hợp với góc 450 r ì x = - 3t · D có PTTS: í VTCP u = (-3;2) Giả sử B(1 - 3t; -2 + 2t ) Ỵ D ỵ y = -2 + 2t NE T é 15 uuur r uuur r êt = 13 AB.u ( AB, D) = 45 Þ cos( AB; u) = Û Û 169t - 156t - 45 = Û ê r = AB u 2 êt = - 13 ë æ 32 ỉ 22 32 Vậy điểm cn tỡm l: B1 ỗ - ; ữ , B2 ç ; - ÷ è 13 13 ø è 13 13 ø Câu 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x - 3y - = điểm N(3; 4) TM A THS Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác OMN (O gốc tọa độ) có diện tích 15 uuur · Ta có ON = (3; 4) , ON = 5, PT đường thẳng ON: x - 3y = Giả sử M (3m + 6; m) Ỵ d 2S Khi ta có SDONM = d ( M , ON ).ON Û d ( M , ON ) = DONM = ON 4.(3m + 6) - 3m -13 Û = Û 9m + 24 = 15 Û m = -1; m = ỉ -13 -13 + Với m = -1 Þ M (3; -1) + Với m = Þ M ỗ -7; ữ 3 ứ ố Cõu 19 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) đường thẳng d : x - y + = Tìm VIE đường thẳng d hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông B AB = 2BC · Giả sử B(2b - 2; b), C (2c - 2; c) Ỵ d uuur r ỉ2 6ư 5 Vì DABC vuông B nên AB ^ d Û AB.ud = B ỗ ; ữ ị AB = ị BC = 5 è 5ø éc = Þ C (0;1) BC = 125c - 300c + 180 = Û ê ỉ4 7ư êc = ị C ỗ ; ữ 5 ố 5ø ë Câu 20 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y - = , d2 : x + y - = điểm A(1; 4) Tìm điểm B Ỵ d1, C Ỵ d2 cho tam giác ABC vuông cân A uuur uuur · Gọi B(b;3 - b) Ỵ d1, C (c;9 - c) Ỵ d2 Þ AB = (b - 1; -1 - b) , AC = (c - 1;5 - c) uuur uuur ì(b - 1)(c - 1) - (b + 1)(5 - c) = ì AB AC = DABC vng cân A Û í Ûí 2 2 (*) ỵ AB = AC ỵ(b - 1) + (b + 1) = (c - 1) + (5 - c) Vì c = khơng nghiệm (*) nên Trang PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng ì (b + 1)(5 - c) (1) ïïb - = c -1 (*) Û í (5 - c)2 ï(b + 1)2 + (b + 1)2 = (c - 1)2 + (5 - c)2 (2) ïỵ (c - 1) éb = c - Từ (2) Û (b + 1)2 = (c - 1)2 Û ê ë b = -c + Với b = c - , thay vào (1) ta c = 4, b = Þ B(2;1), C (4;5) + Với b = -c , thay vào (1) ta c = 2, b = -2 Þ B(-2;5), C (2;7) Vậy: B(2;1), C (4;5) B(-2;5), C (2;7) Câu 21 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 1) B(2; –1) đường thẳng có NE T phương trình: d1 : (m –1) x + (m – 2) y + – m = ; d2 : (2 – m) x + (m –1) y + 3m – = Chứng minh d1 d2 ln cắt Gọi P = d1 Ç d2 Tìm m cho PA + PB lớn ì(m - 1) x + (m - 2)y = m - · Xét Hệ PT: í ỵ(2 - m) x + (m - 1)y = -3m + THS ỉ 3ư m -1 m - Ta cú D = = ỗ m - ữ + > 0, "m - m m -1 2ø è Þ d1, d2 ln cắt Ta có: A(0;1) Ỵ d1, B(2; -1) Ỵ d2 , d1 ^ d2 Þ D APB vng P Þ P nằm đường trịn đường kính AB Ta có: ( PA + PB)2 £ 2( PA2 + PB2 ) = AB = 16 Þ PA + PB £ Dấu "=" xảy Û PA = PB Û P trung điểm cung » AB TM A Û P(2; 1) P(0; –1) Û m = m = Vậy PA + PB lớn Û m = m =2 Câu 22 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (D): x – y – = hai điểm A(-1;2) , B(3;4) Tìm điểm MỴ(D) cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ uuur uuur · Giả sử M M (2t + 2; t ) ẻ D ị AM = (2t + 3; t - 2), BM = (2t - 1; t - 4) VIE ỉ 2ư ỉ 26 Ta có: AM + BM = 15t + 4t + 43 = f (t ) Þ f (t ) = f ỗ - ữ ị M ỗ ; - ÷ è 15 ø è 15 15 ø Câu 23 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x - y + = điểm A(1; 0), B(2;1) Tìm điểm M d cho MA + MB nhỏ · Ta có: (2 x A - y A + 3).(2 x B - yB + 3) = 30 > Þ A, B nằm phía d Gọi AÂ l im i xng ca A qua d ị AÂ(-3;2) ị Phng trỡnh AÂB : x + 5y - = Với điểm M Ỵ d, ta có: MA + MB = MA¢ + MB ³ A¢B Mà MA¢ + MB nhỏ Û A¢, M, B thẳng hàng Û M giao điểm A¢B với d ỉ 17 Khi đó: M ç - ; ÷ è 11 11 ø Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng TĐP 02: ĐƯỜNG TRÒN Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B giao điểm đường thẳng (d): x – y – = đường tròn (C’): x + y - 20 x + 50 = Hãy viết phương trình đường trịn (C) qua ba điểm A, B, C(1; 1) · A(3; 1), B(5; 5) Þ (C): x + y - x - 8y + 10 = , A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm DABC nằm đường thẳng d : 3x – y – = Viết phương trình đường trịn qua điểm A, B, C · Tìm C (1; -1) , C2 (-2; -10) 11 11 16 + Với C1(1; -1) Þ (C): x + y - x + y + =0 3 91 91 416 + Với C2 (-2; -10) Þ (C): x + y - x + y + =0 3 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1 : x + y - = , THS NE T Câu d2 : x + y + = , d3 : x + 3y + = Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc d1 tiếp xúc với d2 d3 · Gọi tâm đường trịn I (t;3 - 2t ) Ỵ d1 3t + 4(3 - 2t ) + 4t + 3(3 - 2t ) + ét = = Û ê 5 ët = 49 Vậy có đường trịn thoả mãn: ( x - 2)2 + ( y + 1)2 = ( x - 4)2 + ( y + 5)2 = 25 25 Câu hỏi tương tự: a) Với d1 : x – y –10 = , d2 : x + y + = , d3 : x - 3y - = TM A Khi đó: d (I , d2 ) = d ( I , d3 ) Û 2 æ 10 ỉ 70 ỉ ĐS: ( x - 10) + y = 49 hoc ỗ x - ữ + ỗ y + ữ = ỗ ữ 43 ø è 43 ø è 43 ø è VIE Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : x + 3y + = , D ' :3x - y + 10 = điểm A(–2; 1) Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng D , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng D¢ Câu · Giả sử tâm I (-3t - 8; t ) Ỵ D Ta có: d ( I , D¢ ) = IA Û 3(-3t - 8) - 4t + 10 +4 = (-3t - + 2)2 + (t - 1)2 Û t = -3 Þ I (1; -3), R = PT đường trịn cần tìm: ( x - 1)2 + ( y + 3)2 = 25 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng D : x - 3y + = D ' : x - y - 31 = Lập phương trình đường trịn (C ) tiếp xúc với đường thẳng D điểm có tung độ tiếp xúc với D ' Tìm tọa độ tiếp điểm (C ) D ' Câu · Gọi I (a; b) tâm đường tròn (C) (C ) tiếp xúc với D điểm M(6;9) (C ) tiếp xúc với D¢ nên Trang PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng ì ì 4a - 3b + 3a - 4b - 31 54 - 3a ìduuu (rI , D) = d (I , D ') ï ï 4a - + = 6a - 85 = Ûí Ûí r í 5 ỵ IM ^ uD = (3; 4) ïỵ3(a - 6) + 4(b - 9) = ïỵ3a + 4b = 54 ì ï 25a - 150 = 6a - 85 é a = 10; b = Ûí Ûê 54 - 3a b = ë a = -190; b = 156 ïỵ Vậy: (C ) : ( x - 10)2 + ( y - 6)2 = 25 tiếp xúc với D ' N(13;2) (C ) : ( x + 190)2 + ( y - 156)2 = 60025 tiếp xúc với D ' N(-43; -40) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường trịn qua A(2; -1) tiếp xúc với trục toạ độ é( x - a)2 + ( y + a)2 = a2 (a) · Phương trình đường trịn có dạng: ê 2 êë( x - a) + ( y - a) = a (b) a) Þ a = 1; a = b) Þ vơ nghiệm .NE T Câu Kết luận: ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = ( x - 5)2 + ( y + 5)2 = 25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : x - y - = Lập phương trình đường trịn tiếp xúc với trục tọa độ có tâm đường thẳng (d) · Gọi I (m;2m - 4) Ỵ (d ) tâm đường trịn cần tìm Ta có: m = 2m - Û m = 4, m = THS Câu 2 TM A ỉ 4ư ỉ 16 · m = phương trình ng trũn l: ỗ x - ữ + ỗ y + ÷ = 3ø è 3ø è · m = phương trình đường trịn là: ( x - 4)2 + ( y - 4)2 = 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) B(3;3), đường thẳng (D): 3x – y + = Lập phương trình đường tròn qua A, B tiếp xúc với đường thẳng (D) Câu VIE · Tâm I đường tròn nằm uuurtrên đường trung trực d đoạn AB d qua M(1; 2) có VTPT AB = (4;2) Þ d: 2x + y – = Þ Tâm I(a;4 – 2a) éa = Ta có IA = d(I,D) Û 11a - = 5a2 - 10a + 10 Û 2a2 – 37a + 93 = Û ê 31 êa = ë · Với a = Þ I(3;–2), R = Þ (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25 æ 31 ö æ 31 ö 4225 31 65 · Vi a = ị I ỗ ; -27 ữ , R = ị (C): ỗ x - ữ + ( y + 27)2 = 2 2ø è ø è Câu Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d : x + y - = D : x + 3y - = Lập 10 , có tâm thuộc d tiếp xúc với D · Tõm I ẻ d ị I (-2a + 3; a) (C) tiếp xúc với D nên: phương trình đường trịn có bán kính d (I , D) = R Û a-2 10 = 10 éa = Ûê ë a = -2 Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng Þ (C): ( x + 9)2 + ( y - 6)2 = 8 (C): ( x - 7)2 + ( y + 2)2 = 5 Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y + x - = Tia Oy cắt (C) A Lập phương trình đường trịn (C¢), bán kính R¢ = tiếp xúc với (C) A · (C) có tâm I(-2 3;0) , bán kính R= 4; A(0; 2) Gọi I¢ tâm (C¢) .NE T ì PT đường thẳng IA : í x = 3t , I ' ẻ IA ị I Â(2 3t;2t + 2) ỵ y = 2t + uur uur AI = I ¢A Û t = Þ I '( 3;3) Þ (C¢): ( x - 3)2 + ( y - 3)2 = Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y – y – = Hãy viết ỉ4 2ư phương trình đường trịn (C¢) đối xứng với đường trịn (C) qua im M ỗ ; ữ ố 5ứ Ã (C) có tâm I(0;2), bán kính R = Gọi I’ điểm đối xứng I qua M 2 ổ 8ử ổ 6ử ỗx - ữ +ỗy+ ữ = 5ø è 5ø è THS æ -6 ị IÂ ỗ ; ữ ị (CÂ): ố5 ø Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y - x + y + = Viết AB = TM A phương trình đường trịn (C¢) tâm M(5; 1) biết (C¢) cắt (C) hai điểm A, B cho · (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = PT đường thẳng IM: 3x - y - 11 = AB = VIE ì H Ỵ IM ì3 x - y - 11 = ï ï Û Gọi H ( x; y ) trung điểm AB Ta có: í í 2 2 ïỵ IH = R - AH = ïỵ( x - 1) + ( y + 2) = é 29 ê x = - ; y = - 10 ỉ 29 ổ 11 11 ị H ỗ - ; - ữ hoc H ỗ ; - ữ è 10 ø è 10 ø ê x = 11 ; y = - 11 10 ë ổ 29 Ã Vi H ỗ - ; - ữ Ta cú RÂ2 = MH + AH = 43 ị PT (CÂ): ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 43 è 10 ø ỉ 11 11 · Với H ỗ ; - ữ Ta cú RÂ2 = MH + AH = 13 ị PT (CÂ): ( x - 5)2 + ( y - 1)2 = 13 è 10 ø Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = điểm K(3;4) Lập phương trình đường trịn (T) có tâm K, cắt đường trịn (C) hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I tâm đường tròn (C) · (C) có tâm I(1;2) , bán kính R = SD IAB lớn Û DIAB vuông I Û AB = 2 Mà IK = 2 nên có hai đường trịn thoả YCBT + (T1 ) có bán kính R1 = R = Þ (T1 ) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = Trang PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng + (T2 ) có bán kính R2 = (3 2)2 + ( 2)2 = Þ (T1 ) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 20 Câu 14 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC ỉ1 với cỏc nh: A(2;3), B ỗ ;0 ữ , C (2;0) ố4 ứ ổ1 Ã im D(d;0) ỗ < d < ÷ thuộc đoạn BC chân đường phân giác góc A è4 ø NE T ổ9ử ỗ ữ + ( -3) d DB AB 4= è ø = Û Þ 4d - = - 3d Þ d = DC AC 2-d + ( -3 ) x +2 y-3 x +2 y -3 = Û x + y - = ; AC: = Û 3x + y - = -3 -3 Giả sử tâm I đường trịn nội tiếp có tung độ b Khi hồnh độ 1- b bán kính b Vì khoảng cách từ I tới AC phải b nên ta có: é (1 - b ) + 4b - ê b - = 5b Þ b = - = b Û b - = 5b Þ ê 2 ê b - = -5b Þ b = +4 ë Rõ ràng có giá trị b = hợp lý THS Phương trình AD: 2 TM A ỉ 1ư ỉ 1ư Vậy, phương trình đường trịn nội tiếp DABC l: ỗ x - ữ + ỗ y - ữ = 2ø è 2ø è Câu 15 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): x - 3y - 12 = (d2): x + 3y - 12 = Tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác có cạnh nằm (d1), (d2) trục Oy · Gọi A = d1 Ç d2 , B = d1 ầ Oy, C = d2 ầ Oy ị A(3; 0), B(0; -4), C (0;4) Þ DABC cân đỉnh A VIE AO phân giác góc A Gọi I, R tâm bán kính đường trũn ni tip DABC ổ4 ị I ỗ ;0 ÷ , R = è3 ø Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x - y - = hai đường trịn có phương trình: (C1): ( x - 3)2 + ( y + 4)2 = , (C2): ( x + 5)2 + ( y - 4)2 = 32 Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I thuộc d tiếp xúc với (C1) (C2) · Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 tâm bán kính (C), (C1), (C2) Giả sử I (a; a –1)Ỵ d (C) tiếp xúc với (C1), (C2) nên II1 = R + R1, II = R + R2 Þ II1 – R1 = II – R2 Û (a - 3)2 + (a + 3)2 - 2 = (a - 5)2 + (a + 5)2 - Û a = Þ I(0; –1), R = Þ Phương trình (C): x + ( y + 1)2 = Câu 17 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9), M(–2; –7) Viết phương trình đường thẳng qua M tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp DABC Trang 10 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng a) AB :12 x - y - 23 = , BC : x - 5y + = , M(3;1) b) AB : x - y + = , BC : x - 3y - = , M(3;2) ĐS: AC : 8x + y - 33 = ĐS: AC : x + y - = Câu 65 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm A(2; 3), đường phân giác góc A có phương trình x - y + = , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I(6; 6) diện tích tam giác ABC gấp lần diện tích tam giác IBC Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC · Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (C) có tâm I(6;6) bán kính R = IA = NE T Þ (C): ( x - 6)2 + ( y - 6)2 = 25 Gọi D giao điểm (C) với đường thẳng x - y + = Þ D(9;10) uur Ta có: ID ^ BC Þ ID = (3; 4) VTPT BC Þ Phương trình BC có dạng : 3x + y + m = Theo đề ta có SD ABC = 3SDIBC Û d ( A, BC ) = 3d (I , BC ) Û 18 + m = 42 + m é m = -54 Ûê ë m = -36 Vậy có hai đường thẳng thỏa YCBT : x + y - 54 = x + y - 36 = THS Câu 66 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(-1; 4) , tâm đường trịn ngoại tiếp I(-3; 0) trung điểm cạnh BC M(0; -3) Viết phương trình đường thẳng AB, biết điểm B có hồnh độ dương uuur uuur · Giả sử N trung điểm AC Vì DABH ~ DMNI HA // MI nên HA = MI Þ A(-7;10) TM A 2 ì Ta có: IA = IB, IM ^ MB Þ Toạ độ điểm B thoả hệ: í( x + 3) + y = 116 ị B(7; 4) ợ-3 x + 3( y + 3) = Vậy: Phương trình AB : x + y - 49 = Câu 67 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 3), B(2; –1), C(11; 2) Viết phương trình đường thẳng qua A chia DABC thành hai phần có tỉ số diện tích · 3x + y –15 = 0; x + 5y –12 = VIE Câu 68 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d1 :2 x + 5y + = ; d2 :5x - y - = cắt A điểm P(-7;8) Viết phương trình đường thẳng d3 qua 29 · Ta có A(1; -1) d1 ^ d2 PT đường phân giác góc tạo d1 , d2 là: P tạo với d1 , d2 thành tam giác cân A có diện tích D1: x + 3y - = D2: 3x - 7y - 10 = d3 tạo với d1 , d2 tam giác vuông cân Þ d3 vng góc với D1 D2 Þ Phương trình d3 có dạng: x + 3y + C = hay 3x - y + C ¢ = Mặt khác, d3 qua P(-7;8) nên C = 25 ; C¢ = 77 Suy : d3 : x + 3y + 25 = hay d3 :3 x - y + 77 = Theo giả thiết tam giác vng cân có diện tích Trang 45 29 Þ cạnh huyền 58 PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Suy độ dài đường cao A H = 58 = d ( A, d3 ) 58 ( thích hợp) 87 · Với d3 : 3x - y + 77 = d ( A; d3 ) = ( loại ) 58 · Với d3 : x + 3y + 25 = d ( A; d3 ) = Câu 69 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), D(3;5) Tìm toạ NE T độ điểm M thuộc đường thẳng (D) : 3x - y - = cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích ìx = t · Phương trình tham số ca D: M ẻ D ị M(t; 3t – 5) ỵ y = 3t - ỉ7 SMAB = SMCD Û d ( M , AB) AB = d ( M , CD ).CD Û t = -9 Ú t = Þ M (-9; -32), M ç ;2 ÷ è3 ø Câu 70 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có phương trình cạnh AB, AC THS x + y - = x + y + = , điểm M(1;2) thuộc đoạn BC Tìm tọa độ điểm D uuur uuur cho DB.DC có giá trị nhỏ · Phương trình BC có dạng: a( x - 1) + b( y - 2) = 0, a2 + b2 > a + 2b 2a + b é a = -b Ûê ëa = b a2 + b2 a2 + b2 æ -2 ö · Với a = - b : chọn b = -1, a = Þ BC: x - y + = ị B(0;1), C ỗ ; ữ Þ M không thuộc è 3ø đoạn BC · Với a = b : chọn a = b = Þ BC : x + y - = Þ B(4; -1), C (-4; 7) Þ M thuộc đoạn BC uuur uuur uur uur uur uur BC BC Gọi trung điểm BC I(0;3) Ta có: DB.DC = (DI + IB).( DI + IC ) = DI ³4 uuur uuur Dấu "=" xảy Û D º I Vậy DB.DC nhỏ D(0; 3) = VIE TM A DABC cân A nên cos B = cos C Û Câu 71 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;–3), B(3;–2), tam giác ABC có diện tích ; trọng tâm G DABC nằm đường thẳng (d): 3x – y – = Tìm bán kính đường trịn nội tiếp D ABC · Gọi C(a; b), (AB): x –y –5 =0 Þ d(C; AB) = é a - b = (1) Þ a-b-5 =3Û ê ; ë a - b = (2) S · (1), (3) Þ C(–2; 10) Þ r = = p 2+ S · (2), (3) Þ C(1; –1) Þ r = = p +2 a-b-5 = 2SDABC AB ỉ a+5 b-5ư Trọng tâm G ỗ ; ữ ẻ (d) ị 3a b =4 (3) ø è 3 65 + 89 Câu 72 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích 96 Gọi M(2;0) Trang 46 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng trung điểm AB, phân giác góc A có phương trình: d : x - y - 10 = Đường thẳng AB tạo với d góc a thỏa mãn cos a = Xác định đỉnh tam giác ABC · Gọi M ' đối xứng với M(2;0) qua d : x - y - 10 = Þ M '(10; -8) PT đường thẳng AB qua M(2;0) có dạng: a( x - 2) + by = AB tạo với d : x - y - 10 = góc a Þ a-b a2 + b2 = cos a = é a = 7b Ûê ë b = 7a · Với a = 7b Þ AB: x + y - 14 = AB cắt d A Þ A(3; -7) Þ B(1; 7) Þ AB = 10 uuur uuuur 1 Þ SD AM ' B = AB.d ( M ', AB) = 48 = SD ABC Þ AC = AM ' Þ C (17; -9) 2 NE T · Với b = 7a Þ AB: x + y - = AB cắt d A Þ A(9; -1) Þ B(-5;1) Þ AB = 10 uuur uuuur 1 Þ SD AM ' B = AB.d ( M ', AB) = 48 = SD ABC Þ AC = AM ' Þ C (11; -15) 2 Vậy, A(3; -7), B(1;7), C (17; -9) A(9; -1), B(-5;1), C (11; -15) Câu 73 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Đỉnh B(1; 1) Đường thẳng AC có phương trình: x + 3y - 32 = Trên tia BC lấy điểm M cho BC BM = 75 Tìm THS 5 · Đường thẳng (AB) qua B vuông góc với (AC) Þ ( AB) : 3x - y + = Þ A(5;4) Gọi E rlà giao điểm uur uuu uuur uuu r đường trịn ngoại tiếp tam giác AMC với BA ta có: BA.BE = BM BC = 75 ( M nằm tia BC ) Þ tìm E(13;10) đỉnh C biết bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AMC TM A Vì DAEC vng A nên CE đường kính đường trịn ngoại tiếp DAMC Þ EC = 5 Do C giao đường trịn tâm E bán kính r = 5 với đường thẳng AC ì4 x + 3y - 32 = é x = 2; y = Þ Toạ độ C nghiệm hệ í Û ê 2 ë x = 8; y = ỵ( x - 13) + ( y - 10) = 125 Vậy: C(2;8) C(8;0) VIE Câu 74 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vng A, phương trình đường thẳng BC: x - y - = , đỉnh A B nằm trục hồnh bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC ì · Toạ độ điểm B nghiệm hệ: í x - y - = ị B(1; 0) ợy = ng thẳng BC có hệ số góc k = nên · ABC = 60 Þ đường phân giác BE tam 3 nên có phương trình: y = x 3 Tâm I (a; b) đường tròn nội tiếp DABC thuộc BE d ( I , Ox ) = nên: b = giác ABC có hệ số góc k ¢ = + Với b = Þ a = + Þ I(1 + 3;2) + Với b = -2 Þ a = - Þ I(1 - 3; -2) Đường phân giác AF có dạng: y = - x + m Vì AF qua I nên: + Nếu I(1 + 3;2) m = + Þ ( AF ) : y = - x + + Þ A(3 + 3; 0) Trang 47 PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Do AC ^ Ox nên AC có phương trình: x = + Từ suy C(3 + 3;6 + 3) ỉ4+4 6+2 ; Suy toạ trng tõm G ỗ ữ 3 ố ứ + Nếu I(1 - 3; -2) m = -1 - Þ ( AF ) : y = - x - - Þ A(-1 - 3; 0) Do AC ^ Ox nên AC có phương trình: x = -1 - Từ suy C ( -1 - 3; -6 - ) æ -1 - + ö Suy toạ trng tõm G ỗ ; ữ 3 ố ø ỉ4+4 6+2 ỉ -1 - + Vậy có hai điểm tho YCBT: G ỗ ; ; ữ hoc G ỗ ÷ 3 ø 3 è è ø NE T Câu 75 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A Đỉnh A có toạ độ số dương, hai điểm B, C nằm trục Ox, phương trình cạnh AB : y = 7( x - 1) Biết chu vi DABC 18, tìm toạ độ đỉnh A, B, C · Ta có: B = ( AB) Ç Ox Þ B(1; 0) Giả sử A ( a;3 7(a - 1) ) ( a > x A > 0, y A > ) Gọi AH đường cao DABC Þ H (a;0) Þ C (2a - 1;0) VIE TM A Vậy: A ( 2;3 ) , B(1; 0) , C(3;0) THS Þ BC = 2(a - 1), AB = AC = 8(a - 1) PD ABC = 18 Û a = Þ C (3;0), A ( 2;3 ) Trang 48 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng TĐP 05: TỨ GIÁC Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vng ABCD vng A D có đáy lớn CD, đường thẳng AD có phương trình d1 : 3x - y = , đường thẳng BD có phương trình Câu d2 : x - y = , góc tạo hai đường thẳng BC AB 450 Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang 24 điểm B có hồnh độ dương r · D = d1 ầ d2 ị D(0; 0) O VTPT đường thẳng AD BD n1 = (3; -1) , r n2 = (1; -2) Ta có: cos· ADB = Þ· ADB = 450 Þ AD = AB BC , AB) = 450 nên · BCD = 450 Þ DBCD vng cân B Þ DC = 2AB Vì (· NE T AB2 S ABCD = 24 Û ( AB + CD ) AD = = 24 Þ AB = Þ BD = 2 uuur ỉ 10 10 ỉ xB 10 ổ xB Gi B ỗ x B ; ữ ẻ d2 , x B > BD = x B + ỗ ữ = x B = ị Bỗ ; ữ ç ÷ ø 5 è è ø è ø Đường thẳng BC qua B vng góc với d2 ÞPhương trình BC là: x + y - 10 = THS Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AB// CD, AB < CD) Biết A(0; 2), D(–2; –2) giao điểm I AC BD nằm đường thẳng có phương trình d : x + y - = Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình thang góc · AOD = 450 Câu · I Ỵ d Þ I ( x; - x ) AD = 5; IA = x - x + ; ID = x - 8x + 40 TM A IA2 + ID - AD éx = = cos· AID Þ ê 2IA.ID ëx = uur ID uur + Với x = Þ IA = 2, ID = Þ ID = - IB IB Trong D AID có: Þ B ( + 2;2 + ) , C ( + 2;2 + ) VIE + Với x = Þ B ( + 2;2 + ) , C ( + 2; -2 ) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = điểm A(0; –4), B(4; 0) Tìm tọa độ điểm C D cho đường tròn (C) nội tiếp hình thang ABCD có đáy AB CD Câu · (C ) : ( x - 1)2 + ( y + 1)2 = có tâm I(1; -1) R = PT cạnh AB: x - y - = PT cạnh CD có dạng: x - y + c = 0; c ¹ -4 CD tiếp xúc với (C) Þ d ( I , CD ) = R Û 1+1+ c = Û c = Þ PT cạnh CD: x - y = Nhận thấy đường thẳng x = 0, x = tiếp tuyến (C) Giả sử phương trình cạnh AD có dạng: kx - y - = (k ¹ 1) Ta có: d ( I , AD ) = R Û k - = 2(k + 1) Û k + 6k - = Û k = -7 æ -1 -1 ỉ1 1ư Þ PT cạnh AD: x + y + = ị D ỗ ; ữ PT cạnh BC: x + y - = ị C ỗ ; ữ ố 2 ø è2 2ø Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích Biết Trang 49 PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng A(1; 0), B(0; 2) giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng y = x Tìm tọa độ đỉnh C D uuur · Ta có: AB = (-1;2) Þ AB = Phương trình AB: x + y - = I Ỵ (d ) : y = x Þ I (t; t ) I trung điểm AC BD nên: C (2t - 1;2t ), D(2t;2t - 2) Mặt khác: S ABCD = AB.CH = (CH: chiều cao) Þ CH = é ỉ 8ư ỉ8 2ư 6t - 4 t = Þ C ỗ ; ữ,Dỗ ; ữ Ngoi ra: d (C; AB) = CH Û = Û è3 3ø è3 3ø ê 5 ( t = Þ C -1; 0), D(0; -2) êë NE T æ 8ử ổ8 2ử Vy C ỗ ; ữ , D ç ; ÷ C (-1;0), D(0; -2) è3 3ø è3 3ø Câu hỏi tương tự: a) Với S ABCD = , A(2; 0), B(3; 0), I = AC ầ BD , I ẻ d : y = x ĐS: C (3; 4); D(2; 4) C (-5; -4); D(-6; -4) b) Với S ABCD = , A(0; 0), B(–1; 2), I = AC Ç BD , I Ỵ d : y = x - Câu THS ỉ -2 -8 ỉ -14 ö ĐS: C(2; 0), D(3; –2) C ç ; ÷ , D ç ; ÷ è 3 ø è3 ø Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A(0; 1), B(3; 4) nằm parabol (P): y = x - x + , tâm I nằm cung AB (P) Tìm tọa độ hai đỉnh C, D cho tam giác IAB có diện tích lớn d ( I , AB) = TM A · I nằm cung AB ( P) nên I (a; a2 - 2a + 1) với < a thuộc đường thẳng (d ) : x - y - = có honh x I = ổ9 3ử Ã I ỗ ; ữ Gi M = d ầ Ox l trung điểm cạnh AD, suy M(3;0) AB = IM = è2 2ø S 12 S ABCD = AB AD = 12 Û AD = ABCD = = 2 AB ì AD ^ (d ) í M Ỵ AD , suy phương trình AD: x + y - = ỵ NE T Lại có MA = MD = Vậy tọa độ A, D nghiệm hệ phương trình: ìï x + y - = ìy = -x + ìx = ìx = í Vậy A(2;1), D(4;–1), Ûí Ûí í 2 2 ỵy = ỵ y = -1 ỵ( x - 3) + y = îï ( x - 3) + y = THS ì x A + xC ïï x I = ì x = xI - x A = - = ổ9 3ử I ỗ ; ữ trung điểm AC, suy ra: í Ûí C è2 2ø ỵ yC = yI - y A = - = ï y = y A + yC I ïỵ Tương tự I trung điểm BD nên ta có: B(5;4) Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật A(2;1), B(5; 4), C (7;2), D(4; –1) Câu hỏi tương tự: a) Giả thiết với tâm I = d1 Ç d2 , d1 : x - y - = d2 : x + y - = , M = d1 Ç Ox TM A ĐS: A(2;1), B(5; 4), C (7;2), D(4; –1) Câu 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) giao điểm đường chéo AC BD Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng D: x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB VIE · I (6; 2); M (1; 5) D : x + y – = 0, E ẻ D ị E(m; m); Gi N trung điểm AB ìï x N = xI - xE = 12 - m I trung điểm NE Þ í Þ N (12 – m; m – 1) y = y y = + m = m ïỵ N I E uuuur uur MNr uu =r (11 – m; m – 6); IE = (m – 6; – m – 2) = (m – 6; – m) uuuu MN IE = Û (11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = Û m – = 0uuuu hay r 14 – 2m = Û m = hay m = + m = Þ uuuu MNr = (5; 0) Þ PT (AB) y = + m = Þ MN = (4; 1) Þ PT (AB) x – 4y + 19 = Câu hỏi tương tự: a) Với I(2;2) , M(–3;1) , E Ỵ D : x + y - = ĐS: x - y + = x - 5y + 14 = Câu 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đường thẳng AB, AD qua điểm M (2;3), N (-1;2) Hãy lập phương trình đường thẳng BC CD, ỉ5 3ư biết hình ch nht ABCD cú tõm l I ỗ ; ữ độ dài đường chéo AC 26 è2 2ø r · Giả sử đường thẳng AB có VTPT nAB = (a; b) (a2 + b2 ¹ 0) , AD vng góc với AB nên r đường thẳng AD có vtpt nAD = (b; - a) Do phương trình AB, AD là: Trang 52 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng AB : a( x - 2) + b( y - 3) = 0; AD : b( x + 1) - a( y - 2) = Ta có AD = 2d ( I ; AB) = a - 3b a2 + b2 ; AB = 2d ( I ; AD ) = 7b + a a2 + b2 é a = -b Û 3a2 - ab - 4b2 = Û ê 4b êa = a2 + b2 ë Gọi M', N' điểm đối xứng M, N qua I suy M ¢(3;0) Î (CD ), N ¢(6;1) Î ( BC ) r r + Nếu a = - b , chọn a = 1, b = -1 suy nAB = (1; -1), nAD = (1;1) r PT đường thẳng CD có VTPT nAB = (1; -1) qua điểm M ¢(3;0) : (CD) : x - y - = r PT đường thẳng BC có VTPT nAD = (1;1) qua điểm N ¢(6;1) : (BC ) : x + y - = Do đó: AC = AB + AD Û 26 = (a - 3b)2 + (7b + a)2 4b r r , chọn a = 4, b = suy nAB = (4;3), nAD = (3; -4) r PT đường thẳng CD có VTPT nAB = (4;3) qua điểm M ¢(3;0) : (CD ) : x + 3y - 12 = r PT đường thẳng BC có VTPT nAD = (3; -4) qua điểm N ¢(6;1) : ( BC ) : 3x - y - 14 = NE T + Nếu a = THS Vậy: (BC ) : x + y - = , (CD) : x - y - = ( BC ) : x - y - 14 = , (CD ) : x + 3y - 12 = Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có cạnh đơn vị, biết toạ TM A độ đỉnh A(1; 5), hai đỉnh B, D nằm đường thẳng (d): x - y + = Tìm toạ độ đỉnh B, C, D ì B, D Ỵ d · C đối xứng với A qua đường thẳng d Þ C(3; 1) í AB = AD = ị B(2; 1), D(6; 5) ợ Câu 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng D: x + y –1 = , điểm A( 0; –1), B(2; 1) Tứ giác ABCD hình thoi có tâm nằm đường thẳng D Tìm tọa độ điểm C, D · Gọi I(a;uur b) tâm hìnhuurthoi Vì I Ỵ D nên a + b – = hay b = – a (1) Ta có: AI = (a; b + 1) BI = (a – 2; b –1) Do AI ^ BI Þ a(a - 2) + (b + 1)(b - 1) = (2) VIE Từ (1) (2) Þ a2 - 2a = Û a = Ú a = · Với a = I(0; 1) Þ C(0;2) D(–2;1) · Với a = I(2; –1) Þ C(4; –1) D(2; –3) Vậy có hai cặp điểm thỏa mãn: C(0;2) D(–2;1) C(4;–1) D(2;–3) Câu 15 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD với A(1;0), đường chéo BD có phương trình d : x – y + = Tìm toạ độ đỉnh B, C, D , biết BD = · AC ^ BD Þ Phương trình AC: x + y - = Gi I = AC ầ BD ị I(0;1) ị C ( -1;2 ) BD = Þ IB = 2 PT đường tròn tâm I bán kính IB = 2 : x + ( y - 1) = ìï ì é B(2;3), D(-2; -1) Toạ độ B, D nghiệm hệ : í x + ( y - 1) = Û í x = Û ê î y = x + ë B(-2; -1), D(2;3) ïỵ x - y + = Câu 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình đường chéo d : x + y - = , điểm B(0;–3) Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình thoi biết diện tích hình thoi 20 Trang 53 PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng · Ta cú B(0; -3) ẽ d ị A, C ẻ d Ph.trình BD: x - 3y - = Gi I = AC ầ BD ị I(3; -2) Þ D(6; -1) BD = 10 Gọi A(a;7 - 3a) Ỵ d S ABCD = d ( A, BD ).BD Þ a - 3(7 - 3a) - 12 + 32 é A (2;1); C1(4; -5) éa = 2 10 = 20 Û ê Þ ê ëa = ë A2 (4; -5); C2 (2;1) Câu 17 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(3;3) AC = BD NE T ỉ 4ư ỉ 13 im M ỗ 2; ữ thuc ng thng AB , im N ỗ 3; ữ thuc ng thng CD Viết è 3ø è 3ø phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hồnh độ nhỏ ỉ 5ư · Tọa độ điểm N¢ đối xứng với im N qua I l N Â ỗ 3; ữ Þ N¢ nằm đường thẳng AB è 3ø Đường thẳng AB qua M, N¢ có PT: x - 3y + = Þ IH = d (I , AB) = Do AC = BD nên IA = IB Đặt IB = a > IA + IB = IH Û a 3-9+2 + 10 4a = = 10 Ûa= Đặt B( x; y ) Do IB = B Ỵ AB nên tọa độ B nghiệm hệ: TM A THS ì 14 x= ìï x - + y - = 2 ï ì ) ( ) Û í5y - 18y + 16 = Û í Ú ìí x = > í( ỵy = ỵ x = 3y - ïy = ỵï x - 3y + = ỵ ỉ 14 Do xB < nờn ta chn B ỗ ; ÷ Vậy, phương trình đường chéo BD là: x - y - 18 = è 5ø Câu hỏi tương tự: ỉ 1ư a) I(2;1) , AC = BD , M ỗ 0; ữ , N(0;7) , x B > ĐS: B(1; -1) è 3ø Câu 18 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo BD nằm đường thẳng D : x - y - = Điểm M(4; -4) nằm đường thẳng chứa cạnh BC, điểm VIE N(-5;1) nằm đường thẳng chứa cạnh AB Biết BD = Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD, biết điểm D có hồnh độ âm · Lấy M¢ điểm đối xứng với M qua BD Þ M ¢(-2;2) Đường thẳng AB qua N(-5;1) M ¢(-2;2) Þ Phương trình AB : x - 3y + = ìx - y - = Tọa độ điểm B nghiệm hệ: í Þ B(7;5) ỵ x - 3y + = Giả sử D(d ; d - 2) Ỵ D , BD = Û (d - 7)2 + (d - 7)2 = 128 Û d = -1 Þ D(-1; -3) Gọi I tâm hình thoi Þ I(3;1) , đường thẳng AC qua I vng góc với BD Þ Phương trình AC : x + y - = ìx + y - = Tọa độ điểm A nghiệm hệ: í Þ A(1;3) Þ C(5; -1) î x - 3y + = Câu 19 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình hai cạnh AB AD x + y - = x + y + = Điểm M(1;2) thuộc đường thẳng BD Tìm tọa độ đỉnh hình thoi Trang 54 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng ỉ 5ư ì x + 2y - = · Tọa độ nh A l nghim ca h: ị Aỗ - ; ữ ợ2 x + y + = è 3ø é( d ) : x - y + = x + 2y - 2x + y + PT đường phân giác góc A là: =± Û ê 5 ë( d ) : x + y - = • Trường hợp (d1 ) : x - y + = Đường thẳng (BD) qua M vng góc với (d1) nên (BD ) : x + y - = Suy B = AB ầ BD ị B(4; -1) , D = AD ầ BD ị D(-4; 7) ỉ 13 Gọi I = BD Ç (d1) Þ I (0;3) Vì C đối xứng với A qua I nờn C ỗ ; ữ ố3 ø • Trường hợp (d2 ) : x + 3y - = NE T Đường thẳng (BD) qua M vng góc với (d2 ) nên ( BD ) : x - y + = THS ỉ 1ư Suy B = AB ầ BD ị B(0;1) , D = AD ầ BD ị D ỗ - ; ữ ố 3ø ỉ 2ư ỉ2 1ư Gọi I = BD ầ (d2 ) ị I ỗ - ; ữ Vì C đối xứng với A qua I nên C ỗ ; - ữ ố 3ứ ố 3ø ỉ 5ư ỉ 13 Vậy: A ỗ - ; ữ , B(4; -1) , C ç ; ÷ , D(-4;7) è 3ø è3 ø ỉ 5ư ỉ2 1ư ỉ 1ư A ỗ - ; ữ , B(0;1) , C ỗ ; - ữ , D ỗ - ; ữ ố 3ø è 3ø è 3ø Câu 20 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường trịn (C) có TM A phương trình ( x - 2)2 + ( y + 1)2 = điểm A thuộc đường thẳng (d): x - y + = Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D, biết BD = AC hoành độ điểm A khơng nhỏ · (C) có tâm I(2; -1) , bán kính R = 2 , IB = 2IA 1 Trong tam giác vng IAB ta có: + 2= Þ = Þ IA = 10 Þ IB = 10 2 IA IB IH IA VIE Giả sử A(2t - 3; t ) Ỵ d x A ³ Ta có IA = 10 Û (2t - 5)2 + (t + 1)2 = 10 Û t = Suy A(1;2) , I trung điểm AC nên C(3; -4) Gọi D đường thẳng qua I vng góc với AC Þ D : x - 3y - = Ta có B, D Ỵ D IB = ID = 10 Þ Toạ độ B, D nghiệm hệ: ì x - 3y - = é x = 8; y = Û ê Þ B(8;1), D(-4; -3) B(-4; -3), D(8;1) í 2 ë x = -4; y = -3 ỵ( x - 2) + ( y + 1) = 40 Vậy: A(1;2) , B(8;1), C (3; -4), D(-4; -3) A(1;2) , B(-4; -3), C (3; -4), D(8;1) æ 5ö è2 2ø B nằm đường thẳng d1 : x + y - = đường thẳng d2 : x + y - = Tìm tọa độ đỉnh hình vng uur ỉ uur ỉ 5 · Giả sử A(a;3 - a) Ỵ d1; B(b; - b) ẻ d2 ị IA = ỗ a - ; - a ữ ; IB = ỗ b - ; - b ÷ 2 2 è ø è ø Câu 21 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD có tâm I ỗ ; ữ , hai im A, Trang 55 PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng ì IA = IB ìa = ìa = ABCD vng tâm I nên í uur uur Ûí Úí ỵb = ỵb = ỵ IA.IB = · Với a = 2; b = Þ A(2; 1); B(1; 3), C(3; 4); D(4; 2) · Với a = 1; b = Þ A(1; 2); B(3; 1), C(4; 3); D(2; 4) Câu 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD ngoại tiếp đường trịn (C): ( x - 2)2 + ( y - 3)2 = 10 Xác định toạ độ đỉnh A, C hình vng, biết cạnh AB qua điểm M(–3; –2) điểm A có hồnh độ xA > · (C) có tâm I(2; 3) bán kính R = 10 NE T PT AB qua M(–3; –2) có dạng ax + by + 3a + 2b = (a2 + b2 ¹ 0) | 2a + 3b + 3a + 2b | é a = -3b Û 10(a2 + b2 ) = 25(a + b)2 Û ê Ta có d ( I , AB) = R Û 10 = b = -3a 2 ë a +b · Với a = -3b Þ AB: 3x - y + = Gọi A(t;3t + 7),(t > 0) Ta có IA = R Þ t = 0; t = -2 (khơng thoả mãn) · Với b = -3a Þ AB: x - 3y - = Gọi A(3t + 3; t ), (t > -1) THS ét = Þ A(6; 1) Þ C(–2; 5) Ta có IA = R Þ ê ë t = -1 (loại) ỉ3 1ö è2 2ø qua điểm M(-4; -1) , N(-2; -4) Tìm toạ độ đỉnh hình vng biết B có hồnh độ âm · Gọi M¢, N¢ điểm đối xứng với M, N qua I ị M Â(7;2) , N Â(5;5) Ta cú: NÂ ẻ AB TM A Cõu 23 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD có tâm I ỗ ; ữ Cỏc ng thng AB, CD VIE ỉ1 Phương trình AB: x - 3y + = Gọi H hình chiếu ca I lờn AB ị H ỗ ;2 ữ ố2 ø ì2a - 3b = -5 ï ì B Ỵ AB ìa = -1 Gọi B(a; b), a < Ta có í Û íỉ Ûí Þ B(-1;1) 1ö 13 HA HI b = = a b ợ + ( 2) = ợ ữ ùỗ 2ø ỵè Khi A(2;3), C (1; -2), D(4; 0) Câu 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD A thuộc đường thẳng d1 : x + y - = C , D nằm đường thẳng d2 : x - y + = Tìm tọa độ đỉnh hình vng biết hình vng có diện tích -7 · Giả sử A(a;1 - a) Ỵ d1 Ta có S ABCD = Û d ( A, d2 ) = Û a = a = + Với a = Þ A(1; 0) Þ Phương trình cạnh AD : x + y - = Þ D(-1;1) ìC Ỵ d2 Giả sử C ( x; y ) Ta có: í Þ C(0;3) C(-2; -1) ỵ DC = ỉ1 3ư – Với C(0;3) ị Trung im I ca AC l I ỗ ; ữ ị B ( 2;2 ) ố2 2ứ ổ 1ư – Với C(-2; -1) Þ Trung điểm I ca AC l I ỗ - ; - ữ ị B ( 0; -2 ) è 2ø Trang 56 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng æ -7 10 ỉ -1 ỉ -4 -7 ị A ỗ ; ữ Tng t nh trờn ta tỡm c: D ỗ ; ữ ,C ç ; ÷ , è 3ø è 3ø è 3ø ỉ -10 ỉ -1 ỉ 13 ỉ -4 16 Bỗ ; ữ hoc D ỗ ; ữ , C ç ; ÷ , B ç ; ÷ è 3ø è 3ø è3 ø è 3ø Vậy có hình vng ABCD thỏa mãn u cầu toán: A(1; 00, B(2;2), C (0;3), D(-1;1) + Với a = ỉ -7 10 ỉ -10 ö æ -4 ö æ -1 ö A(1; 0), B(0; -2), C (-2; -1), D(-1;1) A ç ; ÷ , B ç ; ÷ ,C ç ; ữ , D ỗ ; ữ ố 3 ø è 3ø è 3ø è 3ø æ -7 10 ö æ -4 16 ö æ 13 ổ -1 hoc A ỗ ; ữ , B ỗ ; ữ , C ỗ ; ữ , D ỗ ; ữ ố 3 ứ è 3 ø è3 ø è 3ø Câu 25 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm E(1; -1) tâm hình vng, NE T cạnh có phương trình d : x - y + 12 = Viết phương trình cạnh cịn lại hình vng · Giả sử cạnh AB nằm đường thẳng d : x - y + 12 = Gọi H hình chiếu E lên đường thẳng AB Þ H(-2;5) Þ AH = BH = EH = 45 THS ì x - y + 12 = ì A, B Ỵ d é x = 4; y = Û í Û ê Þ A(4;8), B(-8;2) Ta có: í 2 ë x = -8; y = ỵ( x + 2) + ( y - 5) = 45 ỵ AH = BH = 45 Þ C(-2; -10) Þ Phương trình cạnh lại: AD : x + y - 16 = ; BC : x + y + 14 = ; CD : x - y - 18 = Câu 26 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD biết điểm M(2; 1); N(4; – TM A 2); P(2; 0); Q(1; 2) thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phương trình cạnh hình vuông r · Giả sử đường thẳng AB qua M có VTPT n = (a; b) (a2 + b2 0) r ị VTPT ca BC l: n1 = (-b; a) AB có dạng: a(x –2) +b(y –1)= Û ax + by –2a –b =0 BC có dạng: –b(x – 4) +a(y+ 2) =0 Û – bx + ay +4b + 2a =0 -b 3b + 4a é b = -2 a Do ABCD hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC) Û = Ûê ë b = -a a2 + b2 a2 + b2 · b = –2a: AB: x – 2y = ; CD: x – 2y –2 =0; BC: 2x +y – 6= 0; AD: 2x + y – =0 · b = –a: AB: –x + y+ =0; BC: –x –y + 2= 0; AD: –x –y +3 =0; CD: –x + y+ =0 VIE Phương trình Câu 27 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y – x + y + 21 = đường thẳng d : x + y - = Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD ngoại tiếp (C) biết A Ỵ d · (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = Ta thấy I Ỵ d Vậy AI đường chéo hình vng ngoại tiếp đường trịn Ta có: x = x = tiếp tuyến (C) nên: – Hoặc A giao điểm đường (d) x = Þ A(2; –1) – Hoặc A giao điểm đường (d) x = Þ A(6, –5) · A(2, –1) Þ B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1) · A(6, –5) Þ B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5) Câu 28 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD có A(-2;6) , đỉnh B thuộc đường thẳng d : x - y + = Gọi M, N hai điểm cạnh BC, CD cho Trang 57 PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng æ 14 ö BM = CN Xác định tọa độ đỉnh C, bit rng AM ct BN ti im I ỗ ; ÷ è5 ø · Giả sử B(2 y - 6; y ) Ỵ d Ta thấy D AMB = DBNC uur uur Þ AI ^ BI Þ IA.IB = Þ y = Þ B(2; 4) Phương trình BC : x - y = Þ C (c;2c) , AB = 5, BC = (c - 2)2 + (2c - 4)2 AB = BC Þ c - = Þ C (0; 0); C (4;8) Vì I nằm hình vng nên I , C phía với đường thẳng AB Þ C(0;0) Câu 29 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD đoạn AC lấy điểm M cho THS NE T AC = 4AM N trung điểm cạnh CD Chứng minh BMN tam giác vuông cân · Goi a độ dài cạnh hình vng ABCD Chọn hệ tọa độ Oxy cho A(0; 0), B(a; 0) , uuuur æ uuur ỉ -1 ỉ1 ổ1 C(a;a) v D(0; a) ị M ỗ a; a ữ , N ỗ a; a ữ ị MN = ỗ a; a ữ , MB = ỗ a; a ÷ è4 ø è2 ø è4 ø è4 ø uuuur uuur Từ có MN MB = MN = MB = a Þ DBMN vuông cân M Câu 30 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vng có đỉnh A(-4;5) đường chéo có phương trình D : x - y + = Viết phương trình cạnh hình vng · Vì A Ï D nên đường chéo BD nằm D PT đường thẳng d qua A có dạng: a( x + 4) + b( y - 5) = ( a2 + b2 ¹ ) d hợp với BD góc 450 Û 7a - b = é a = 3, b = -4 Û ê ë a = 4, b = TM A 50 a2 + b2 Þ ( AB) : x - y + 31 = , ( AD ) : x + 3y + = ỉ 9ư Gọi I tâm hình vng Þ I ỗ - ; ữ ị C(3;4) ố 2ứ Þ (BC ) : x + 3y - 24 = , (CD ) : 3x - y + = Câu 31 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh A(4;5) , đường chéo BD có VIE phương trình y - = Tìm toạ độ dỉnh cịn lại hình vng · Đường chéo AC vng góc với BD nên PT có dạng: x + c = AC qua A nên c = -4 Þ ( AC ) : x - = Þ I(4;3) Đường trịn (C) ngoại tiếp hình vng ABCD có tâm I(4;3) , bán kính R = AI = Þ Phương trình (C): ( x - 4)2 + ( y - 3)2 = ìy = é x = 6, y = Toạ độ điểm B, D nghiệm hệ: í Û ê 2 ë x = 2, y = ỵ( x - 4) + ( y - 3) = Vậy: B(6;3), C (4;1), D(2;3) B(2;3), C (4;1), D(6;3) Câu 32 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD có M trung điểm BC, phương trình đường thẳng DM : x - y - = , đỉnh C(3; -3) , đỉnh A nằm đường thẳng d : x + y - = Xác định toạ độ đỉnh cịn lại hình vng 4t - 2.4 ét = Û ê ë t = -1 2 Þ A(3; -7) A(-1;5) Mặt khác, A C nằm hai phía DM nên có A(-1;5) · Giả sử A(t;2 - 3t ) Ỵ d Ta có: d ( A, DM ) = 2d (C , DM ) Û Trang 58 = Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng NE T thoả mãn uuur uuur Gi D(m; m - 2) ẻ DM ị AD = (m + 1; m - 7) , CD = (m - 3; m + 1) uuur uuur ì(m + 1)(m - 3) + (m - 7)(m + 1) = ì DA.DC = ABCD hình vng nên í Ûí 2 2 Ûm=5 ỵ DA = DC ỵ(m + 1) + (m - 7) = (m - 3) + (m + 1) uuur uuur Þ D(5;3) ; AB = DC Þ B(-3; -1) Vậy: A(-1;5) , B(-3; -1) , D(5;3) VIE TM A THS Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitung_tv@yahoo.com Trang 59 ... định tọa độ giao điểm A, B đường tròn (C) đường thẳng d (cho biết điểm A có hồnh độ dương) Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) cho Trang 19 PP toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng tam giác ABC vuông B · Tọa. .. A(0; 1) B(4; 4) ë è ø Câu 29 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với B(1; -2) đường cao Trang 34 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng AH : x - y + = Tìm tọa độ đỉnh A, C tam giác... c = -117 ï ïc = ùợ 137 59 66 ị (C ) : x + y xy+ =0 13 13 13 Trang 40 -137 26 -59 26 66 13 (a2 + b2 - c > 0) Trần Sĩ Tùng PP toạ độ mặt phẳng Câu 48 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho D ABC có phương