Lý thuyết đàn hồi Lời nói đầu Cơ học vật rắn biến dạng ngành học lớn, nghiên cứu làm việc vật rắn mặt học trạng thái ứng suất, trạng thái chuyển vị biến dạng…dưới tác dụng bên (tải trọng, thay đổi nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức… Do đối tượng nghiên cứu, kiện làm việc mức độ yêu cầu nghiên cứu khác nên trình phát triển, ngành học lớn chia thành nhiều môn học riêng sau: * Sức bền vật liệu học kết cấu: (đàn hồi ứng dụng kỹ thuật): Chủ yếu nghiên cứu hệ Trong trình tính toán đưa giả thiết để đơn giản việc nghiên cứu từ có kết tiện lợi vấn đề tính toán * Lý thuyết đàn hồi : Nghiên cứu vật rắn đàn hồi có hình dạng * Các lý thuyết khác : - Lý thuyết dẻo: Nghiên cứu làm việc vật liệu giai đoạn biến dạng dẻo, hình thành biến dạng dẻo ứng suất tương ứng - Lý thuyết từ biến: Nghiên cứu biến đổi theo thời gian ứng suất biến dạng kết cấu tác dụng ngoại lực ban đầu (kể trường hợp ngoại lực không thay đổi theo thời gian) - Lý thuyết lưu biến (Nghiên cứu chảy vật chất): Nghiên cứu định luật chung phát sinh phát triển biến dạng theo thời gian vật chất nguyên nhân khác điều kiện nhiệt động hóa lý khác Nhìn chung môn học có đối tượng phương pháp nghiên cứu khác mang tính tương đối Trong thực tế ranh giới môn học nhiều bị xóa bỏ xâm nhập lẫn Lý Thuyết Đàn Hồi giải toán liên quan đến việc xác định ứng suất biến dạng, xuất vật thể đàn hồi, tác dụng lực Đây Lý thuyết đàn hồi vấn đề giải môn học sức bền vật liệu Tuy nhiên, giáo trình sức bền vật liệu, nhiều giả thiết tính toán cụ thể khác sử dụng, nhằm thu lời giải gần cho toán riêng biệt đó, áp dụng cho toán Lý Thuyết Đàn Hồi đặt mục tiêu tìm lời giải xác, dựa giả thiết chung tính chất vật thể khảo sát mà không phụ thuộc vào hình dáng vật thể tính riêng biệt tải trọng tác dụng lên vật thể Vật thể khảo sát Lý Thuyết Đàn Hồi giả thiết có tính liên tục, tức, vật thể khảo sát điền đầy không gian mà chiếm chỗ, trước sau bị biến dạng Ta coi thể tích bất kỳ, dù nhỏ đến đâu, chứa vô số phân tử tác dụng phần vật thể bị cắt bỏ lên phần khảo sát đánh giá trị số trung bình thay đổi lực tương tác phần vật thể nằm hai phía mặt cắt Các chuyển vị hàm liên tục toạ độ điểm Tính chất liên tục cho phép ứng dụng giải tích đại lượng vô bé vào việc nghiên cứu biến dạng vật thể đàn hồi Sai số liên quan đến việc sử dụng tính chất nói bỏ qua toán thực tế, đáng kể xác định ứng suất diện tích với kích thước cỡ khoảng cách phân tử xác định chuyển vị điểm mà khoảng cách chúng vào cỡ khoảng cách phân tử Ngoài ra, phải giả thiết rằng, áp dụng định luật của tĩnh học động lực học cho phân tố nhỏ tuỳ ý, từ vật thể khảo sát Các vật thể đàn hồi, đối tượng nghiên cứu môn học, có nhiều tính chất khác mà ta đề cập đến sau thiết lập phương trình Lý thuyết đàn hồi Lý thuyết tổng quát trạng thái ứng suất biến dạng điểm môi trường liên tục Lý thuyết đàn hồi Trong hệ tọa độ Decartes cho vật thể chịu tác dụng ngoại lực, bao gồm: * Lực thể tích: Là lực phân bố không gian vật thể, đặc trưng cường độ f lực đơn vị thể tích, có hình chiếu lên trục tọa độ x, y, z là: fx , fy , fz * Lực diện tích (lực bề mặt): Là lực tác dụng phần hay toàn bề mặt giới hạn vật thể, đặc trưng cường độ f * lực đơn vị diện * tích, có hình chiếu lên ba trục tọa độ x, y, z f *x , f y , f *z Dưới tác dụng này, vật thể nằm trạng thái cân tĩnh động nên phần tử vật chất vật thể nằm trạng thái cân tương ứng Tưởng tượng dùng họ mặt phẳng vuông góc với trục toạ độ cách đoạn vi phân dx, dy, dz cắt qua vật thể (hình vẽ 2.1) ta nhận : a y dx dx dy a Phần tử loại dy b b Phần tử loại (Hình 2.1) x M(x,y,z) z * Những phần tử hình hộp có sáu mặt cắt bên vật thể gọi phần tử loại * Những phần tử có mặt bề mặt vật thể gọi phần tử loại 2, trường hợp tổng quát, phần tử loại khối tứ diện Điều kiện cân vật thể đảm bảo thông qua điều kiện cân tất phần tử loại loại y * Phương trình vi phân cân : ∂τ dz τxy xy P(x,y+dy,z) Trước tiên ta khảo sát cân phần tử loại lấy điểm M(x,y,z) τ xy + dx ∂ σx x σ trục N(x+dx,y,z) x + toạ độ :dx - Ngoại lực lực thể tích f có hình chiếu lên ∂ τ xzf , f , f τ ∂ x Q(x,y,z+dz) τ xz + dx dy a Lực tác dụng lên phầnσtử x : x y z xz ∂x - Nội lực ứng suất dx mặt phần tử, ứng suất hàm x z Lý thuyết đàn hồi số liên tục tọa độ điểm M(x,y,z) (Hình 2.2) • Hai mặt vuông góc với trục x: + Mặt qua điểm M(x,y,z) có thành phần ứng suất : σx , τxy , τxz + Mặt qua điểm N(x+dx,y,z): khai triển theo Taylor bỏ qua số hạng vô bé bậc cao có thành phần ứng suất : σ + x ∂τ ∂σ ∂τ dx ; τ + dx; τ + dx ∂x ∂x ∂x xy x xy xz xz Tương tự: • Hai mặt vuông góc với trục y: + Mặt qua điểm M(x,y,z) có ứng suất : σy , τyx , τyz + Mặt qua điểm P(x,y+dy,z) có ứng suất : σy + ∂σ y ∂τ ∂τ dy ; τ yx + yx dy; τ yz + yz dy ∂y ∂y ∂y • Hai mặt vuông góc với trục z: + Mặt qua điểm M(x,y,z) có ứng suất σz , τzx , τzy + Mặt qua điểm Q(x,y,z+dz) có ứng suất : σz + ∂τ ∂σ z ∂τ dz ; τzx + zx dz; τzy + zy dz ∂z ∂z ∂z Lý thuyết đàn hồi * MẶT CHÍNH - PHƯƠNG CHÍNH - ỨNG SUẤT CHÍNH * Mặt mặt có ứng suất tiếp không; * Phương phương pháp tuyến mặt * Ứng suất ứng suất pháp mặt Ký hiệu σ n  Giả sử có phương n với l = cos (n, x) m = cos (n , y) n = cos (n , z) Trên mặt ứng suất toàn phần Pn có phương vuông góc với mặt có giá trị Pn = σ n Do hình chiếu Pnx, Pny, Pnz Pn lên trục x, y, z : Pnx = σn.l Pny = σn.m (2.9) Pnz = σn.n Thay (2.4) (2.9) ta có hệ phương trình: (σ x − σ n ) l + τ yx m + τ zx n =   τ xy l + (σ y − σ tb ) m + τ xz n =  τ zx l + τ yz m + (σ z − σ tb )n = 0 (2.10) Hệ (2.10) có nghiệm tầm thường l = m = n =0 không thỏa mãn điều kiện l2 + m2 + n2 = (2.11) Để hệ (2.10) có nghiệm không tầm thường định thức hệ số phải không: Lý thuyết đàn hồi τ zx  (σ x − σ n ) τ yx   Det  τ xy (σ y − σ n ) τ xz  =  τ τ yz (σ z − σ n ) zx  (2.12) Khai triển (2.12) ta phương trình bậc ứng suất σ n : σ 3n − I1σ 2n + I σ n − I3 = (2.13) I1 = σ x + σ y + σ z   Trong đó: I = σ x σ y + σ y σ z + σ z σ x − ( τ xy + τ yz + τ zx )  (2.14) I = σ x σ y σ z + 2τ xy τ yz τ zx − (σ x τ 2yz + σ y τ 2zx + σ z τ 2xy ) Các hệ số I1, I2 , I3 phương trình tìm ứng suất giá trị không đổi ta xoay trục Chúng gọi bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai bất biến thứ ba trạng thái ứng suất điểm - Giải phương trình bậc (2.13) ta nhận ba giá trị ứng suất chính, giá trị thực, kí hiệu σ ;σ ;σ theo qui ước σ > σ > σ - Phương : sau có ứng suất σ ;σ ;σ ứng với σ i sử dụng hệ phương trình (2.10) phương trình (2.11) để tìm cosin phương l i, mi, ni ứng suất σ i Kết ta có ba phương tương ứng với ba ứng suất σ ;σ ;σ Ba phương trực giao với lập thành hệ trục tọa độ, ký hiệu trục 1,2,3 Tenxơ ứng suất viết : σ 0  Tσ = 0 σ    0 σ  Các bất biến trạng thái ứng suất : Lý thuyết đàn hồi I1 = σ1 + σ + σ   I = σ1 σ + σ σ + σ σ   I = σ1 σ σ  Tùy theo giá trị ứng suất chính, ta phân loại trạng thái ứng suất thành trạng thái ứng suất đơn; trạng thái ứng suất phẳng trạng thái ứng suất khối * Những bất biến tenxơ ứng suất: σI = σx + σy + σz = const 2 σII = σx σy + σy σz + σz σx - τ xy - τ yz - τzx = const 2 σIII = σx σy σz + 2τxy τyz τzx - σx τ yz - σy τzx - σz τ xy = const * Ứng suất tiếp lớn Ứng suất tiếp lớn tác dụng mặt phân giác góc ứng suất lớn nhỏ τmax = (σ1 − σ3 ) Ứng suất pháp mặt ứng suất tiếp lớn có giá trị: στmax = (σ1 + σ3 ) 1.2 Trạng thái biến dạng * Tenxơ biến dạng nhỏ Biến dạng phân tố hình hộp vô nhỏ phân tích thành sáu thành phần biến dạng: ba thành phần biến dạng thẳng (sự dãn dài cạnh): εx , εy , εz ba thành phần biến dạng góc : γxy , γyz , γxz Trong trường hợp biến dạng vô bé, tenxơ biến dạng biễu diễn sau: Lý thuyết đàn hồi   εx  1γ  yx   γ zx 2 γ xy εy γ zy  γ xz ÷ ÷ ÷ γ yz ÷ ÷ εz ÷ ÷  Tenxơ biến dạng đối xứng, để đơn giản ta biểu diễn dạng:   εx       γ xy εy  γ xz ÷ ÷ ÷ γ yz ÷ ÷ εz ÷ ÷  Tại điểm vật thể tồn ba hướng vuông góc với nhau: gọi trục biến dạng, thớ theo hướng thay đổi độ dài (biến dạng góc trượt theo trục không) Đối với vật liệu đẳng hướng, hướng ứng suất biến dạng trùng * Bất biến tenxơ biến dạng: εI = εx + εy + εz = const εII = εx εy + εy εz + εz εx - ( γ xy + γ 2yz + γ 2zx ) = const 1 2 εIII = εx εy εz + γ xy γ yz γ zx − ( ε x γ yz + ε y γ zx + ε z γ xy ) = const 4 1.3 Lý thuyết tổng quát trường ứng suất biến dạng môi trường liên tục 1.3.1 Phương trình tĩnh học Xét chuyển vị điểm M hệ Oxyz, thành phần chuyển vị theo trục x, y, z u, v, w Giả thiết chuyển vị nhỏ, thành phần hình chiếu gia tốc có ∂2u ∂ 2v ∂ 2w dạng: ; ; ∂t ∂t ∂t Theo định luật II Newton: Lý thuyết đàn hồi ∑X = m ∂2u ∂t ; ∑X = m ∂2v ∂t ∑X = m ; ∂2w ∂t Chiếu lên trục Ox ứng suất pháp ứng suất tiếp song song với trục Ox Khai triển điều kiện cân bằng, ta có: ∂τxy   ∂σ x   σ + dx dydz − σ dydz + τ + dy  dxdz − τ xy dxdz + x x xy    ∂x ∂ y   ∂τxz  ∂ 2u  τ + dz dydx − τ dydx + X ρ dxdydz = ρ dxdydz xz  xz ∂z  ∂t Với: ρ trọng lượng riêng Tương tự, ta khai triển phương trình động học trục Oy, Oz Rút gọn, ta phương trình tĩnh học: ∂σ x ∂τxy ∂τxz ∂ 2u + + + ρ X = ρ  ∂x ∂y ∂z ∂t  ∂2v  ∂τyx ∂σ y ∂τ yz + + + ρ Y = ρ  ∂y ∂z ∂t  ∂x  ∂τ ∂τzy ∂σ z ∂2w zx + + + ρZ = ρ  ∂y ∂z ∂t  ∂x 1.3.2 Liên hệ vi phân độ dãn dài tỉ đối (ε) góc trượt tỉ đối (γ) Phương trình Côsi: εx = ∂u ∂x ; γ xy = ∂u ∂v + ∂y ∂x εy = ∂u ∂y ; γ yz = ∂w ∂v + ∂y ∂z εz = ∂u ∂z ; γ zx = ∂u ∂w + ∂z ∂x 1.3.3 Phương trình liên tục biến dạng Lý thuyết đàn hồi  ∂ 2ε x ∂ 2ε y ∂ γ xy  + = ∂x ∂x∂y  ∂y  ∂ 2ε y ∂ 2ε ∂ γ yz z  + = ∂y ∂y∂z  ∂z  ∂ 2ε ∂ 2ε  2z + 2x = ∂ γ xz ∂z ∂x∂z  ∂x   ∂γ ∂γ  ∂  yz + ∂γ zx − xy ÷ = ∂ ε z  ∂z  ∂x ∂y ∂z  ∂x∂y   ∂  ∂γ zx + ∂γ xy − ∂γ yz  = ∂ ε x ÷  ∂x  ∂y ∂z ∂x  ∂y∂z    ∂  ∂γ xy ∂γ yz ∂γ zx  ∂ 2ε y + −   ÷= ∂x ∂y  ∂z∂x  ∂y  ∂z 1.4 Những phương trình lý thuyết đàn hồi Nhiệm vụ chủ yếu lý thyết đàn hồi tìm nghiệm xác nghĩa tìm hàm ứng suất, chuyển vị biến dạng cho điểm vật thể thỏa mãn điều kiện cân bằng; liên tục điểm bên nội lực cân ngoại lực tác động bề mặt vật thể Để giải toán đàn hồi cần nhóm phương trình sau: a) Các phương trình tĩnh học: ∂σ x ∂τxy ∂τxz ∂ 2u + + + ρ X = 0(hay = ρ )  ∂x ∂ y ∂ z ∂ t   ∂τyx ∂σ y ∂τ yz ∂2v + + + ρY = 0(hay = ρ )  ∂ x ∂ y ∂ z ∂t   ∂τ ∂τzy ∂σ z ∂2w zx + + + ρZ = 0(hay = ρ )  ∂y ∂z ∂t  ∂x (A) b) Các phương trình hình học: 10 Lý thuyết đàn hồi εx = ∂u ∂x ; γ xy = ∂u ∂v + ∂y ∂x εy = ∂u ∂y ; γ yz = ∂w ∂v + ∂y ∂z εz = ∂u ∂z ; γ zx = ∂u ∂w + ∂z ∂x (B) c) Các phương trình vật lý: σx = 2G εx + λθ ; τxy = G γxy σy = 2G εy + λθ ; τyz = G γyz σz = 2G εz + λθ ; τzx = G γzx (C) Như ta có 15 ẩn với 15 phương trình, mặt toán học toán giải Từ hệ (A), (B), (C) ta suy hệ phương trình sau: pxν = σx cos(x,ν) + τxy cos(y,ν) + τxz cos(z,ν) pyν = τyx cos(x,ν) + σy cos(y,ν) + τyz cos(z,ν) (D) Pzν = τzx cos(x,ν) + τzy cos(y,ν) + σz cos(z,ν) Và:  ∂ ε x ∂ ε y ∂ γ xy  + = ∂x ∂x∂y  ∂y  ∂ ε y ∂ 2ε ∂ γ yz z  + = ∂y ∂y∂z  ∂z  ∂ 2ε ∂ 2ε  2z + 2x = ∂ γ xz ∂z ∂x∂z  ∂x   ∂γ ∂γ  ∂  yz + ∂γ zx − xy ÷ = ∂ ε z  ∂z  ∂x ∂y ∂z  ∂x∂y   ∂  ∂γ zx + ∂γ xy − ∂γ yz  = ∂ ε x ÷  ∂x  ∂y ∂z ∂x  ∂y∂z    ∂  ∂γ xy ∂γ yz ∂γ zx  ∂ 2ε y + −   ÷= ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂z∂x    (E) 11 Lý thuyết đàn hồi Nghiệm có nhóm phương trình (A), (B), (C) tìm theo hướng chính: + Lấy chuyển vị làm ẩn số + Lấy ứng suất làm ẩn số + Phương pháp hỗn hợp: ẩn số vừa chuyển vị, vừa ứng suất GIẢI BÀI TẬP THEO LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Đề bài: Cho Một dầm bê tông cốt thép hình hộp chữ nhật có chiều dài lớn (u z=0, biến dạng phẳng), chiều cao h=0,8m, chiều rộng b=0,3m, vật liệu Bê tông cốt thép có mô đun đàn hồi E=27.103kN/m2, hệ số poatxong µ=0,15 Dưới tác dụng tải trọng phân bố P=100kN/m2 tựa nhẵn ( y x=0), tuyệt đối cứng (ux=0) ,như hình vẽ Hãy xác định trạng thái ứng suất biến dạng 12 Lý thuyết đàn hồi Giải toán theo Lý thuyết đàn hồi: Sử dụng phương pháp giải hàm ứng suất- chuyển vị Các thành phần chuyển vị theo phương x phương y xác định theo phương trình: ux = ∂ 2ϕ + ay + b ∂ x∂ y  ∂2 ∂2  u y =  2(1 − µ ) + (1 − µ )  ϕ − ax + c ∂x ∂y   (1) (2) Các thành phần ứng suất xác định theo công thức E1 E (1 − µ ) ∂ µ ∂2 ∂2 σx = (exx + µ1.eyy ) = ( − )ϕ − µ12 (1 + µ ) ∂y − µ ∂y ∂x (3) E1 E (1 − µ ) ∂ ∂ 2 − µ ∂ ( e + µ e ) = ( + )ϕ yy xx − µ12 (1 + µ ) ∂y ∂y − µ ∂x (4) σy = ∂u x ∂u y E1 E ∂  ∂2 ∂2  τ yz = τ xz = ( + )= (1 − µ ) − µ )ϕ  2(1 + µ1 ) ∂y ∂x (1 + µ ) ∂x  ∂x ∂y  (5) Cho hàm ϕ dạng đa thức bậc ba: ϕ = Ax y + By 13 Lý thuyết đàn hồi Trong A, B số chưa biết: Theo phương trình (1) đến (5) ta tìm ứng suất chuyển vị: u x = 2Ax + ay + b u y = [ 2(1 − µ ) A + 3(1 − µ ) B ] y − ax + c σx = E (1 − µ ) 3µ ( B − A) (1 + µ ) − µ σy = E (1 − µ ) 2−µ (3B + A) (1 + µ ) 1− µ τxz= τyz=0 Điều kiện biên toán: Với x=0 ux = τxz = Với x=h σx = -P; τxz = Với y= ± b σy = τyz = Cho thõa mãn điều kiện ta : A= (1 − µ ) p B = − − µ A ; 3(1 − σ ) 2E Cuối ta có: Chuyển vị theo phương x: ux = − (1 − µ ) p x E Chuyển vị theo phương y: uy = − µ (1 + µ ) p y E Các thành phần ứng suất: σx= -p, σy = τyz = τxz = Thay thông số vật liệu : µ=0,15 ; E=27.103kN/m2 ; p=100kN/m2 ; h= 0,8m ; b=0,3m vào ta có : 14 Lý thuyết đàn hồi Chuyển vị : ux = − (1 − µ ) p (1 − 0,152 )100 x = − 0,8 = 2,896.10 −3 m = 2,896mm E 27.103 µ (1 + µ ) p 0,15(1 + 0,152 )100 uy = − y = − 0,3 = 1,917.10−4 m = 0,192mm E 27.10 Ứng suất: σx= p=100kN/m2 Giải toán theo Lý thuyết sức bền vật liệu: Để giải toán theo lý thuyết sức bền vật liệu giả thiết theo lý thuyết đàn hồi, ta cần tuân thêm giả thuyết sau: - Trong trình biến dạng mặt cắt ngang luôn phẳng vuông góc với trục - Trong qua trình biến dạng thớ dọc không ép lên không đẩy lên Với giả thuyết trên mặt cắt ngang tồn ứng suất pháp σx ứng suất tiếp Ứng suất pháp σz: σx = Nx = P = 100kN / m F Chuyển vị theo phương x: ux = N x l P.h 100.0,8 = = = 2,963.10−3 m=2,963mm EF E 27.10 Chuyển vị theo phương y: u y = µ u y = µ N z l P.b 100.0,3 =µ = 0,15 = 1, 666.10 −4 m=0,167mm EF E 27.103 NHẬN XÉT 1)Nguyên nhân sai khác kết phương pháp tính theo lý thuyết đàn hồi sức bền vật liệu là: 15 Lý thuyết đàn hồi + Các công thức tính sức bền vật liệu dựa vào giả thiết tiết diện phẳng vaì giả thiết có tính đơn giản hóa + Lý thuyết đàn hồi giải toán cách chặt chẽ với số lượng giả thiết + Việc tính toán Lý thuyết đàn hồi dựa vào giả thiết hơn, nhờ mà tìm kết xác gần với thực tế; nhiên việc tính toán có phần phức tạp Sức bền vật liệu nhiều 2)Khi giải toán phẳng, vật thể bị chịu nén dọc truc theo phương thẳng đứng rút nhận xét sau: Chỉ tồn thành phấn ứng suất nén có giá trị độ lớn tải trọng tác dụng lên vật thể ngược chiều Thành phần ứng suất pháp tuyến theo phương trục y trục z không Thành phần ứng suất phương x y không Thành phần chuyển vị theo phương chịu tải trọng lớn chuyển vị phương lại Độ lớn chuyển vị phụ thuộc vào tải trọng tác dụng, mô đun đàn hồi hệ số nở hông vật liệu 16 [...]... sai khác về kết quả giữa phương pháp tính theo lý thuyết đàn hồi và sức bền vật liệu đó là: 15 Lý thuyết đàn hồi + Các công thức tính của sức bền vật liệu chỉ dựa vào giả thiết tiết diện phẳng và một vaì giả thiết có tính đơn giản hóa + Lý thuyết đàn hồi giải bài toán một cách chặt chẽ hơn với số lượng giả thiết ít nhất + Việc tính toán trên Lý thuyết đàn hồi dựa vào ít giả thiết hơn, nhờ đó mà tìm được... vào ta có : 14 Lý thuyết đàn hồi Chuyển vị : ux = − (1 − µ 2 ) p (1 − 0,152 )100 x = − 0,8 = 2,896.10 −3 m = 2,896mm E 27.103 µ (1 + µ 2 ) p 0,15(1 + 0,152 )100 uy = − y = − 0,3 = 1,917.10−4 m = 0,192mm 3 E 27.10 Ứng suất: σx= p=100kN/m2 2 Giải bài toán theo Lý thuyết sức bền vật liệu: Để giải bài toán trên theo lý thuyết sức bền vật liệu thì ngoài các giả thiết cơ bản theo lý thuyết đàn hồi, ta cần... chiều cao h=0,8m, chiều rộng b=0,3m, vật liệu Bê tông cốt thép có mô đun đàn hồi E=27.103kN/m2, hệ số poatxong µ=0,15 Dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều P=100kN/m2 và tựa trên nền nhẵn ( y x=0), tuyệt đối cứng (ux=0) ,như hình vẽ Hãy xác định trạng thái ứng suất và biến dạng 12 Lý thuyết đàn hồi 1 Giải bài toán theo Lý thuyết đàn hồi: Sử dụng phương pháp giải hàm ứng suất- chuyển vị Các thành phần... ∂γ xy ∂γ yz ∂γ zx  ∂ 2ε y + −   ÷= 2 ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂z∂x    (E) 11 Lý thuyết đàn hồi Nghiệm có 3 nhóm phương trình (A), (B), (C) được tìm theo 3 hướng chính: + Lấy chuyển vị làm ẩn số cơ bản + Lấy ứng suất làm ẩn số cơ bản + Phương pháp hỗn hợp: khi ẩn số vừa là chuyển vị, vừa là ứng suất GIẢI BÀI TẬP THEO LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Đề bài: Cho Một dầm bê tông cốt thép hình hộp chữ nhật có chiều dài lớn.. .Lý thuyết đàn hồi εx = ∂u ∂x ; γ xy = ∂u ∂v + ∂y ∂x εy = ∂u ∂y ; γ yz = ∂w ∂v + ∂y ∂z εz = ∂u ∂z ; γ zx = ∂u ∂w + ∂z ∂x (B) c) Các phương trình vật lý: σx = 2G εx + λθ ; τxy = G γxy σy = 2G εy + λθ ; τyz = G γyz σz = 2G εz + λθ ; τzx = G γzx (C) Như vậy ta có 15 ẩn với 15 phương trình, vậy về mặt toán học bài toán có thể giải được Từ các hệ (A), (B),... 2 1 − µ ∂x 2 (4) σy = ∂u x ∂u y E1 E ∂  ∂2 ∂2  τ yz = τ xz = ( + )= (1 − µ ) 2 − µ 2 )ϕ  2(1 + µ1 ) ∂y ∂x (1 + µ ) ∂x  ∂x ∂y  (5) Cho hàm ϕ dưới dạng đa thức bậc ba: ϕ = Ax 2 y + By 3 13 Lý thuyết đàn hồi Trong đó A, B là những hằng số chưa biết: Theo phương trình (1) đến (5) ta tìm ứng suất chuyển vị: u x = 2Ax + ay + b u y = 2 [ 2(1 − µ ) A + 3(1 − 2 µ ) B ] y − ax + c σx = 2 E (1 − µ ) 3µ... lý thuyết sức bền vật liệu thì ngoài các giả thiết cơ bản theo lý thuyết đàn hồi, ta cần tuân thêm 2 giả thuyết sau: - Trong quá trình biến dạng các mặt cắt ngang luôn luôn phẳng và vuông góc với trục thanh - Trong qua trình biến dạng các thớ dọc không ép lên nhau và cũng không đẩy lên nhau Với giả thuyết trên trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại ứng suất pháp σx không có ứng suất tiếp Ứng suất pháp σz: σx... ứng suất tiếp theo phương x và y bằng không 4 Thành phần chuyển vị theo phương chịu tải trọng nó lớn hơn chuyển vị các phương còn lại 5 Độ lớn của chuyển vị nó phụ thuộc vào tải trọng tác dụng, mô đun đàn hồi và hệ số nở hông của vật liệu 16