CC DNG BI TP TON C BN CP T D N KHể 0917614559 Bài tập đáp án Bài tập 1: Giải phơng trình bậc hai sau: TT x - 11x + 30 = x2 - 10x + 21 = x2 - 12x + 27 = 5x2 - 17x + 12 = TT 41 42 43 44 10 11 12 13 14 3x2 - 19x - 22 = x2 - (1+ )x + = x2 - 14x + 33 = 6x2 - 13x - 48 = 3x2 + 5x + 61 = x2 - x - - = x2 - 24x + 70 = x2 - 6x - 16 = 2x2 + 3x + = x2 - 5x + = 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 15 16 17 18 19 20 PTBH 2 3x + 2x + = 2x2 + 5x - = x2 - 7x - = 3x2 - x - = -x2 - 7x - 13 = x2 2( 1) x -3 = 21 3x2 - 2x - = 22 x2 - 8x + 15 = 23 2x2 + 6x + = 24 5x2 + 2x - = 25 x2 + 13x + 42 = 26 x2 - 10x + = 27 x2 - 7x + 10 = 28 5x2 + 2x - = 29 4x2 - 5x + = 30 x2 - 4x + 21 = 31 5x2 + 2x -3 = 32 4x2 + 28x + 49 = 33 x2 - 6x + 48 = 34 3x2 - 4x + = 35 x2 - 16x + 84 = 36 x2 + 2x - = 37 5x2 + 8x + = 38 x2 2( + ) x + = 39 x2 - 6x + = 40 3x2 - 4x + = Bài tập Tìm x, y trờng hợp sau: PTBH x - 16x + 84 = x2 + 2x - = 5x2 + 8x + = 55 56 57 58 59 60 x2 2( + 2) x + = 11x2 + 13x - 24 = x2 - 11x + 30 = x2 - 13x + 42 = 11x2 - 13x - 24 = x2 - 13x + 40 = 3x2 + 5x - = 5x2 + 7x - = 3x2 - x - = x2 - 2 x + = x2 - x - = 11x2 + 13x + 24 = x2 + 13x + 42 = 11x2 - 13x - 24 = 2x2 - 3x - = x2 - 4x + = x2 - 7x + 10 = 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 4x2 + 11x - = 3x2 + 8x - = x2 + x + = x2 + 16x + 39 = 3x2 - 8x + = 4x2 + 21x - 18 = 4x2 + 20x + 25 = 2x2 - 7x + = -5x2 + 3x - = x2 - x - = x2 - 9x + 18 = 3x2 + 5x + = x2 + = x2 - = x2 - 2x = x4 - 13x2 + 36 = 9x4 + 6x2 + = 2x4 + 5x2 + = 79 80 2x4 - 7x2 - = x4 - 5x2 + = ( ) a) b) c) d) x + y = 17, x.y = 180 x + y = 25, x.y = 160 x + y = 30, x2 + y2 = 650 x + y = 11 x.y = 28 e) f) g) h) x2 + y2 = 61 , x.y = 30 x - y = 6, x.y = 40 x - y = 5, x.y = 66 x2 + y2 = 25 x.y = 12 Bài tập a) Phng trỡnh x px + = Cú mt nghim bng 2, tỡm p v nghim th hai b) Phng trỡnh x + x + q = cú mt nghim bng 5, tỡm q v nghim th hai c) Cho phng trỡnh : x x + q = , bit hiu nghim bng 11 Tỡm q v hai nghim ca phng trỡnh d) Tỡm q v hai nghim ca phng trỡnh : x qx + 50 = , bit phng trỡnh cú nghim v cú mt nghim bng ln nghim Bi gii: a) Thay x1 = v phng trỡnh ban u ta c : 44p+5 = p = 5 T x1 x2 = suy x2 = = x1 b) Thay x1 = v phng trỡnh ban u ta c 25 + 25 + q = q = 50 50 50 = = 10 T x1 x2 = 50 suy x2 = x1 c) Vỡ vai trũ ca x1 v x2 bỡnh ng nờn theo bi gi s x1 x2 = 11 v theo VI-ẫT ta cú x1 + x2 = , ta x1 x2 = 11 x1 = gii h sau: x1 + x2 = x2 = Suy q = x1 x2 = 18 d) Vỡ vai trũ ca x1 v x2 bỡnh ng nờn theo bi gi s x1 = x2 v theo VI-ẫT ta cú x1 x2 = 50 Suy x = x22 = 50 x22 = 52 x2 = Vi x2 = th ỡ x1 = 10 Vi x2 = th ỡ x1 = 10 Bài tập Cho x1 = ; x2 = lp mt phng trỡnh bc hai cha hai nghim trờn S = x1 + x2 = Bài giải: Theo h thc VI-ẫT ta cú vy x1 ; x2 l nghim ca phng trỡnh cú dng: P = x1 x2 = x Sx + P = x x + = Bài tập Cho phng trỡnh : x 3x + = cú nghim phõn bit x1 ; x2 Khụng gii phng trỡnh trờn, hóy lp phng trỡnh bc cú n l y tho : y1 = x2 + 1 v y2 = x1 + x1 x2 Bài giải: Theo h th c VI- ẫT ta c ú: 1 1 x +x S = y1 + y2 = x2 + + x1 + = ( x1 + x2 ) + + ữ = ( x1 + x2 ) + = + = x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 1 1 P = y1 y2 = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + + + = +1+1+ = x1 x2 x1 x2 2 y Sy + P = 9 y2 y + = y2 y + = hay 2 Bài tập Tỡm hai s a, b bit tng S = a + b = v tớch P = ab = Bài giải: Vỡ a + b = v ab = nờn a, b l nghim ca phng trỡnh : x + x = gii phng trỡnh trờn ta c x1 = v x2 = Vy nu a = thỡ b = nu a = thỡ b = Bài tập Tỡm s a v b bit a + b = v a2 + b2 = 41 a b = v ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30 Hng dn: 1) Theo bi ó bit tng ca hai s a v b , vy ỏp dng h thc VI- ẫT thỡ cn tỡm tớch ca a v b 81 ( a + b ) 2 T a + b = ( a + b ) = 81 a + 2ab + b = 81 ab = = 20 x1 = Suy : a, b l nghim ca phng trỡnh cú dng : x x + 20 = x2 = Vy: Nu a = thỡ b = nu a = thỡ b = 2) ó bit tớch: ab = 36 ú cn tỡm tng : a + b Cỏch 1: t c = b ta cú : a + c = v a.c = 36 x1 = Suy a,c l nghim ca phng trỡnh : x x 36 = x2 = Do ú nu a = thỡ c = nờn b = nu a = thỡ c = nờn b = 2 2 Cỏch 2: T ( a b ) = ( a + b ) 4ab ( a + b ) = ( a b ) + 4ab = 169 Vy phng trỡnh cn lp cú dng: a + b = 13 ( a + b ) = 132 a + b = 13 x1 = *) Vi a + b = 13 v ab = 36, nờn a, b l nghim ca phng trỡnh : x + 13x + 36 = x2 = Vy a = thỡ b = x1 = *) Vi a + b = 13 v ab = 36, nờn a, b l nghim ca phng trỡnh : x 13 x + 36 = x2 = Vy a = thỡ b = 3) ó bit ab = 30, ú cn tỡm a + b: a + b = 11 T : a2 + b2 = 61 ( a + b ) = a + b + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 112 a + b = 11 x1 = *) Nu a + b = 11 v ab = 30 thỡ a, b l hai nghim ca phng trỡnh: x + 11x + 30 = x2 = Vy nu a = thỡ b = ; nu a = thỡ b = x1 = *) Nu a + b = 11 v ab = 30 thỡ a, b l hai nghim ca phng trỡnh : x 11x + 30 = x2 = Vy nu a = thỡ b = ; nu a = thỡ b = Bài tập Cho phng trỡnh x x + = cú nghim x1 ; x2 , khụng gii phng trỡnh, tớnh Q= x12 + 10 x1 x2 + x22 x1 x23 + x13 x2 x12 + 10 x1 x2 + x22 6( x1 + x2 ) x1 x2 6.(4 3) 2.8 17 = = = HD: Q = x x3 + x x 2 x1 x2 ( x1 + x2 ) x1 x2 5.8 (4 3) 2.8 80 2 Bài tập Cho phng trỡnh : ( m 1) x 2mx + m = cú nghim x1 ; x2 Lp h thc liờn h gia x1 ; x2 cho chỳng khụng ph thuc vo m HD : phng trỡnh trờn cú nghim x1 v x2 th ỡ : m m m m V' 5m m (m 1)(m 4) m Theo h th c VI- ẫT ta cú : 2m x1 + x2 = m x1 + x2 = + m (1) x x = m x x = (2) m m Rỳt m t (1) ta cú : 2 = x1 + x2 m = m x1 + x2 (3) Rỳt m t (2) ta cú : 3 = x1 x2 m = m 1 x1 x2 (4) ng nht cỏc v ca (3) v (4) ta cú: = ( x1 x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) + x1 x2 = x1 + x2 x1 x2 Bài tập 10 Gi x1 ; x2 l nghim ca phng trỡnh : ( m 1) x 2mx + m = Chng minh rng biu thc A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 khụng ph thuc giỏ tr ca m HD: phng trỡnh trờn cú nghim x1 v x2 th ỡ : m m m m ' 5m m (m 1)(m 4) m Theo h thc VI- ẫT ta c ú : 2m x1 + x2 = m x x = m m thay v o A ta c ú: A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 = 2m m4 6m + 2m 8(m 1) + = = =0 m m m m Vy A = vi mi m v m Do ú biu thc A khụng ph thuc vo m Bài tập 11Cho phng trỡnh : x ( m + ) x + ( 2m 1) = cú nghim x1 ; x2 Hóy lp h thc liờn h gia x1 ; x2 cho x1 ; x2 c lp i vi m Hng dn: D thy = ( m + ) ( 2m 1) = m 4m + = ( m ) + > 2 ú phng trỡnh ó cho luụn cú nghim phõn bit x1 v x2 Theo h thc VI- ẫT ta cú m = x1 + x2 2(1) x1 + x2 = m + x1 x2 + x1.x2 = 2m m = (2) T (1) v (2) ta cú: x1 + x2 = x1 x2 + ( x1 + x2 ) x1 x2 = 2 Bài tập 12 Cho phng trỡnh : x + ( 4m + 1) x + ( m ) = Tỡm h thc liờn h gia x1 v x2 cho chỳng khụng ph thuc vo m Hng dn: D thy = (4m + 1) 4.2(m 4) = 16m + 33 > ú phng trỡnh ó cho luụn cú nghim phõn bit x1 v x2 Theo h thc VI- ẫT ta cú x1 + x2 = (4m + 1) 4m = ( x1 + x2 ) 1(1) x1.x2 = 2(m 4) 4m = x1 x2 + 16(2) T (1) v (2) ta cú: ( x1 + x2 ) = x1 x2 + 16 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = Bài tập 13: Cho phng trỡnh : mx ( m 1) x + ( m 3) = Tỡm giỏ tr ca tham s m nghim x1 v x2 tho h thc : x1 + x2 = x1.x2 Bi gii: iu kin phng trỡnh c ú nghim x1 v x2 l : m m m m 2 m ' = ( m 2m + 1) 9m + 27 ' = ( m 1) ' = ( m 21) 9(m 3)m 6(m 1) x1 + x2 = m Theo h th c VI- ẫT ta c ú: x x = 9(m 3) m v t gi thi t: x1 + x2 = x1 x2 Suy ra: 6(m 1) 9(m 3) = 6(m 1) = 9(m 3) 6m = 9m 27 3m = 21 m = m m (tho iu kin xỏc nh ) Vy vi m = thỡ phng trỡnh ó cho cú nghim x1 v x2 tho h thc : x1 + x2 = x1.x2 2 Bài tập 14 Cho phng trỡnh : x ( 2m + 1) x + m + = Tỡm m nghim x1 v x2 tho h thc : x1 x2 ( x1 + x2 ) + = Bi gii: iu kin phng trỡnh cú nghim x1 & x2 l : ' = (2m + 1) 4(m + 2) m + 4m + m 4m m x1 + x2 = 2m + Theo h thc VI-ẫT ta cú: v t gi thit x1 x2 ( x1 + x2 ) + = Suy x1 x2 = m + 3(m + 2) 5(2m + 1) + = 3m + 10m + = m = 2(TM ) 3m 10m + = m = ( KTM ) Vy vi m = thỡ phng trỡnh cú nghim x1 v x2 tho h thc : x1 x2 ( x1 + x2 ) + = Bài tập 15 Cho phng trỡnh : mx + ( m ) x + m + = Tỡm m nghim x1 v x2 tho h thc : x1 x2 = 2 Cho phng trỡnh : x + ( m 1) x + 5m = Tỡm m nghim x1 v x2 tho h thc: x1 + x2 = Cho phng trỡnh : x ( 3m ) x ( 3m + 1) = Tỡm m nghim x1 v x2 tho h thc : x1 x2 = HD: 16 15 ( m 4) x1 + x2 = m (1) -Theo VI-ẫT: x x = m + m x1 + x2 = x2 2( x1 + x2 ) = x1 x2 (2) - T x1 x2 = Suy ra: 2( x + x ) = x 2 - Th (1) vo (2) ta a c v phng trỡnh sau: m + 127 m 128 = m1 = 1; m2 = 128 BT1: - KX : m & m BT2: - KX: = m 22m + 25 11 96 m 11 + 96 x1 + x2 = m (1) - Theo VI-ẫT: x1 x2 = 5m x1 = 3( x1 + x2 ) x1 x2 = [ 3( x1 + x2 ) ] [ 4( x1 + x2 ) 1] - T : x1 + x2 = Suy ra: x2 = 4( x1 + x2 ) (2) x1 x2 = 7( x1 + x2 ) 12( x1 + x2 ) m = - Th (1) vo (2) ta cú phng trỡnh : 12m(m 1) = (tho KX) m = BT3: - Vỡ = (3m 2) + 4.3(3m + 1) = 9m + 24m + 16 = (3m + 4) vi mi s thc m nờn phng trỡnh luụn cú nghim phõn bit 3m x1 + x2 = (1) - -Theo VI-ẫT: (3 m + 1) x x = x1 = 5( x1 + x2 ) + 64 x1 x2 = [ 5( x1 + x2 ) + 6] [ 3( x1 + x2 ) 6] - T gi thit: x1 x2 = Suy ra: x2 = 3( x1 + x2 ) (2) 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) 12( x1 + x2 ) 36 m = - Th (1) vo (2) ta c phng trỡnh: m(45m + 96) = (tho ) m = 32 15 Bài tập 16 Cho phng trỡnh: ax + bx + c = (a 0) Hóy tỡm iu kin phng trỡnh cú nghim: trỏi du, cựng du, cựng dng, cựng õm Ta lp bng xột du sau: S = x1 + x2 Du nghim x1 x2 m trỏi du cựng du, cựng dng, + + S>0 cựng õm S0 P>0 0 0 iu kin chung ; P < 0 ;P>0 ;P>0;S>0 ; P > ; S < x ( 3m + 1) x + m m = cú nghim trỏi du phng trỡnh cú nghim trỏi du thỡ = (3m + 1) 4.2.(m m 6) = ( m 7) 0m < m < m m6 Hai nghim cựng du v P > Hai nghim trỏi du > v P < a.c < Hai nghim dng(ln hn 0) 0; S > v P > Hai nghim õm(nh hn 0) 0; S < v P > Hai nghim i v S = 10.Hai nghim nghch o v P = 11 Hai nghim trỏi du v nghim õm cú giỏ tr tuyt i ln hn a.c < v S < 12 Hai nghim trỏi du v nghim dng cú giỏ tr tuyt i ln hn a.c < v S > b c ( ú: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = ) a a Bi 20: Gii phng trỡnh (gii v bin lun): x2- 2x+k = ( tham s k) Gii = (-1)2- 1.k = k Nu < 1- k < k > phng trỡnh vụ nghim Nu = 1- k = k = phng trỡnh cú nghim kộp x1= x2=1 Nu > 1- k > k < phng trỡnh cú hai nghim phõn bit x1 = 1- k ; x2 = 1+ k Kt lun: Nu k > thỡ phng trỡnh vụ nghim Nu k = thỡ phng trỡnh cú nghim x=1 Nu k < thỡ phng trỡnh cú nghim x1 = 1- k ; x2 = 1+ k Bi 21: Cho phng trỡnh (m-1)x2 + 2x - = (1) (tham s m) a) Tỡm m (1) cú nghim b) Tỡm m (1) cú nghim nht? tỡm nghim nht ú? c) Tỡm m (1) cú nghim bng 2? ú hóy tỡm nghim cũn li(nu cú)? Gii a) + Nu m-1 = m = thỡ (1) cú dng 2x - = x = (l nghim) + Nu m Khi ú (1) l phng trỡnh bc hai cú: =12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) cú nghim = 3m-2 m + Kt hp hai trng hp trờn ta cú: Vi m thỡ phng trỡnh cú nghim 3 b) + Nu m-1 = m = thỡ (1) cú dng 2x - = x = (l nghim) + Nu m Khi ú (1) l phng trỡnh bc hai cú: = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) cú nghim nht = 3m-2 = m = (tho m 1) 1 = =3 Khi ú x = m 1 3 +Vy vi m = thỡ phng trỡnh cú nghim nht x = 2 vi m = thỡ phng trỡnh cú nghim nht x = 3 c) Do phng trỡnh cú nghim x1 = nờn ta cú: (m-1)22 + 2.2 - = 4m = m = Khi ú (1) l phng trỡnh bc hai (do m -1 = -1= 0) 4 3 = = 12 x = Theo inh lớ Viet ta cú: x1.x2 = m Vy m = v nghim cũn li l x2 = Bi 22: Cho phng trỡnh: x2 -2(m-1)x m = ( n s x) a) Chng t rng phng trỡnh cú nghim x1, x2 vi mi m b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim trỏi du c) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim cựng õm d) Tỡm m cho nghim s x1, x2 ca phng trỡnh tho x12+x22 10 e) Tỡm h thc liờn h gia x1 v x2 khụng ph thuc vo m f) Hóy biu th x1 qua x2 Gii 15 a) Ta cú: = (m-1) ( m ) = m + 15 > > vi mi m Do m vi mi m; Phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit Hay phng trỡnh luụn cú hai nghim (pcm) b) Phng trỡnh cú hai nghim trỏi du a.c < m < m > -3 Vy m > -3 c) Theo ý a) ta cú phng trỡnh luụn cú hai nghim Khi ú theo nh lớ Viet ta cú: S = x1 + x2 = 2(m-1) v P = x1.x2 = - (m+3) Khi ú phng trỡnh cú hai nghim õm S < v P > 2(m 1) < m < m < (m + 3) > m < Vy m < -3 d) Theo ý a) ta cú phng trỡnh luụn cú hai nghim Theo nh lớ Viet ta cú: S = x1 + x2 = 2(m-1) v P = x1.x2 = - (m+3) Khi ú A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 6m + 10 Theo bi A 10 4m2 6m 2m(2m-3) m m m m m m m m 2m m Vy m hoc m e) Theo ý a) ta cú phng trỡnh luụn cú hai nghim x1 + x = 2(m 1) x + x = 2m Theo nh lớ Viet ta cú: x1 x = (m + 3) x1 x = 2m x1 + x2+2x1x2 = - Vy x1+x2+2x1x2+ = l h thc liờn h gia x1 v x2 khụng ph thuc m + x2 f) T ý e) ta cú: x1 + x2+2x1x2 = - x1(1+2x2) = - ( +x2) x1 = + x2 10 m a) Phơng trình có nghiệm m b) Thay x1 = - vào phơng trình ta có: - - m = m = - thỏa mãn x2 = S x1 = ( 2) = Theo định lí Vi ét Ta có: Bài 50: Với giá trị b phơng trình a) x + bx 10 = có nghiệm 2 b) b x 15 x = có nghiệm c) ( b 1) x ( b + 1) x 72 = có nghiệm Tính nghiệm lại Kết quả: 7 24 c) b = 14 x2 = 13 a) b = - b) b = Bài 51: Cho phơng trình: x2 2(m + 3)x + m2 + 4m + = Tìm m để phơng trình có nghiệm Tổng quát: Cho phơng trình ax2 + bx + c = (a 0) có nghiệm x = x1 Cách giải: Thay x = x1 vào phơng trình ax12 + bx1 + c = Giải phơng trình có ẩn tham số Bài 52: Cho phơng trình: x2 (3m + 2n + 4)x + 4m + 10n + 38 = Tìm m để phơng trình có nghiệm Tổng quát: Cho phơng trình ax2 + bx + c = (1) (a 0) có hai nghiệm x = x1; x = x2 Cách 1: Thay x = x1; x = x2vào phơng trình (1) ta có hệ phơng trình: ax12 + bx1 + c = ax + bx + c = Giải hệ phơng trình có ẩn tham số Cách 2: b x + x = a x x = c a Theo hệ thức Vi- et Thay x = x1; x = x2vào hệ giải ta đợc giá trị tham số Bài 53: Lập phơng trình bậc hai nhận hai số làm nghiệm Hớng dẫn: Phơng trình có dạng (x - 2)(x - 3) = x2 5x + = Bài 54: Lập phơng trình biết phơng trình có hai nghiệm: x1 = - 2 ; x2 = + 2 x ,x Bài 55: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm liên lạc với hệ thức x1 x2 + ( x1 + x2 ) = m (1) x1 x2 + = m ( x1 + x2 ) (2) x1 + x2 x1 x2 Đặt S = ,P= Với m Từ hệ ta tìm đợc S = P = m S2 P 12 > 4( m 1) m < ĐK: 26 m < Phơng trình cần tìm là: x x + m = với Bài 56: Tìm hệ thức độc lập với m nghiệm số phơng trình x2 2( m + 1) x + m + = Hớng dẫn: - Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 m m - Theo định lí Vi ét, ta có : a ' 0, m m S = 2( m + 1) P = 2m + S = 2m + P = 2m + => S - P = - x + x2 x1 x2 + = Hay , hệ thức độc lập với m nghiệm số phơng trình Bài 57: Cho phơng trình ( k 1)x 2kx + k = Tìm hệ thức độc lập với k nghiệm số phơng trình k k ' Hớng dẫn: Để phơng trình có nghiệm, ta phải có: k = S (S 2) S = 2k S2 k => => S = P 3S + 2P = S2 P k P = k = P (P 1) k P Theo Vi ét: Hay 3( x1 + x2 ) + 2x1 x2 = , hệ thức độc lập với k nghiệm số phơng trình Bài 58: Cho phơng trình x2 - 2(m + 5)x + 4m - = a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m 2( x + x ) x x = 23 2 Kết quả: b) Bài 59: Cho phơng trình x2 2(m + 1)x + m2 + 2m = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Kết quả: 4x1 x2 ( x1 + x2 2) 4( x1 + x2 ) + = ( 1) Bài 60 : Cho phơng trình x + x + = ( 1) a) Giải phơng trình ( 1) Hãy tính giá trị biểu thức B = x13 + x23 b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình Giải: ( 1) Ta có: ' = 42 4.1.1 = 16 = 12 > a) Xét phơng trình x + x + = + x1 = = + x2 = = Phơng trình có nghiệm phân biệt 2.1 2.1 ; x1 + x2 = x x = b) áp dụng định lí Vi ét ta có: 3 x13 + x12 x1 + x1 x22 + x23 ) ( x12 x1 + x1 x22 ) ( x + x Mà: = = (x + x2 ) 3x1 x2 ( x1 + x2 ) 27 ( ) 3.1 ( ) = 64 + 12 = 52 3 Vậy x1 + x2 = - 52 Bài 61 Cho phơng trình x x + = gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình 1) Không giải phơng trình tính giá trị biểu thức sau: = 3 x1 + x2 b) x1 + x2 c) 2 2) Xác định phơng trình bậc hai nhận x1 x2 x2 x1 nghiệm Giải: a) x1 + x2 ; x1.x2 = ( ) 4.2.4 = 49 32 = 17 > 1) Xét phơng trình x x + = Ta có: Phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 x1 + x2 = x x = áp dụng định lí Vi ét, ta có: 2 3 ( x3 + 3x12 x1 + 3x1 x22 + x23 ) ( 3x12 x1 + 3x1 x22 ) = b) Ta có: x1 + x2 = (x + x2 ) x1 x2 ( x1 + x2 ) 3 c) x1 + 7 343 42 343 168 175 175 = = 3 ữ 3.2 ữ x + x = = 8 Vậy = 14 + = x2 2 2) Đặt u = x1 x2 v = x2 x1 x12 x2 ) ( x22 x1 ) x12 + x22 ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) x1 x2 ( x1 + x2 ) ( Ta có: u + v = + = = 49 7 49 16 14 19 = = ữ 2.2 2= 4 = u+v = 19 x1 x2 ) ( x13 + x23 ) x1.x2 ( x x Mà: = + = + 175 175 48 175 127 = = 8 = 22 - + = 127 = u.v 19 127 = = tích u v Nên u ; v nghiệm phơng trình bậc hai: Vì số u v có tổng u + v 19 127 X2 X =0 19 127 X2 X = X 38 X 127 = Vậy phơng trình cần tìm là: (x u.v= x2 ) (x 2 x1 ) x12 x22 (x - + x23 ) 2 Bài 62: Cho phơng trình x x + = gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình 1) Không giải phơng trình tính giá trị biểu thức sau: 3 a) x1 + x2 ; x1.x2 b) x1 + x2 2) Xác định phơng trình bậc hai nhận x1 3x2 x2 x1 nghiệm Giải: = ( ) 4.2.6 = 81 48 = 33 > 1) Xét phơng trình x x + = Ta có: 28 Phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 x1 + x2 = x x = áp dụng định lí Vi ét, ta có: 3 ( x3 + 3x12 x1 + 3x1 x22 + x23 ) ( 3x12 x1 + 3x1 x22 ) = b) Ta có: x1 + x2 = (x + x2 ) 3x1 x2 ( x1 + x2 ) 3 Vậy 9 729 81 729 324 405 = = ữ 3.3 ữ = 8 = 405 x13 + x23 = 2) Đặt u = x1 3x2 v = x2 x1 ( x1 3x2 ) Ta có: u + v = u+v= Mà: ( 2x u.v= = x1 3x2 + x2 x1 = - ( x1 + x2 ) = 9 x2 ) + ( x2 3x1 ) ( x2 3x1 ) = x1 x2 - ( x12 + x22 ) + x1.x2 ( x1 + x2 ) = 25 x1.x2 2 243 150 243 93 25.3 ữ = 75 = = 2 2 = 93 = u.v 93 = Vì số u v có tổng u + v = tích u v Nên u; v nghiệm phơng trình bậc hai: 93 X2+ X =0 2 Vậy phơng trình cần tìm là: X2 + 93 X =0 2 ( 1) Bài 63: Cho phơng trình x + x = ( 1) a) Giải phơng trình ( 1) Hãy tính giá trị biểu thức: B = x13 + x23 b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình Giải: ( 1) a) Xét phơng trình x + x = = 52 4.2 ( ) = 25 + 48 = 73 > = 73 Ta có: + 73 + 73 73 73 x1 = = x2 = = Phơng trình có nghiệm phân biệt 2.2 2.2 x1 + x2 = x1.x2 = b) áp dụng đinh lí Vi ét ta có: 3 x13 + x12 x1 + x1 x22 + x23 ) ( 3x12 x1 + x1 x22 ) ( x + x Mà: = = (x + x2 ) 3x1 x2 ( x1 + x2 ) 29 Vậy 125 45 125 180 305 = = ữ ( 3) ữ = 2 8 = 305 3 x1 + x2 = Bài 64: Cho phơng trình x x + = gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình Không giải phơng trình, tính giá trị biểu thức sau: x + x2 a) x1 + x2 ; x1.x2 b) Giải: a) Xét phơng trình x x + = = ( ) 4.2.1 = 49 = 41 > Phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 x1 + x2 = x x = 1 2 x1 > 0; x2 > ; x1.x2 > - áp dụng đinh lí Vi ét ta có: - Ta có: x1 > 0; b) Đặt A = x2 > x1.x2 > ; x1 + x1 ( ; x1 + x2 > ( A > 0) ) 2 A = x1 + x2 = x1 + x1 x2 + x2 = ( x1 + x2 ) + x1 x2 7 7+2 A2 = + = + = 2 2 ( Vì A > ) 7+2 7+2 x + x 2 Vậy = Bài 65: Chứng minh với giá trị k, phơng trình: A= a) x + kx 23 = có hai nghiệm trái dấu 2 b) 12 x + 70 x + k + = có hai nghiệm dơng c) x ( k + 1) x + k = có nghiệm Kết quả: a) ac < 0, k Ă => phơng trình có hai nghiệm trái dấu k Ă 70 < b) Ta có S = 12 , k Ă nên phơng trình có hai nghiệm dơng c) Thay x = vào phơng trình thấy thỏa mãn k Ă => phơng trình có nghiệm 2 Bài 66: Cho phơng trình x ( m 1) x m + m = a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm trái dấu với m b) Gọi hai nghiệm phơng trình Hớng dẫn: ( m a) Tính ac = x12 + x22 b) Tính 30 ) x1 , x2 2 x + x Tìm giá trị m để đạt giá trị nhỏ + < , m nên phơng trình có hai nghiệm trái dấu với m = ( m )2 + 11 x12 + x22 11 3 => x12 11 đạt giá trị nhỏ x22 + m Vậy Bài 67 Cho phơng trình x2 2(m 4)x 2m = a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) Cho A = x2(x2 2) + x1(x1 2) Tìm m để A đạt giá trị nhỏ Hớng dẫn: = m = a) Tính = (m 3) + 15 > 0, m Ă b) MinA = 32 m = Bài 68 Cho phơng trình x2 2(m 1)x + 2m = a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) Cho B = Hớng dẫn: x1 + x2 Tìm m để B đạt giá trị nhỏ a) ' = (m 2) + > => phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) B = x1 + x2 (2m 3) + = => MinB = m = 2 Bài 69 Cho phơng trình bậc hai x 2(m + 1)x + 2m + 10 = a) Tìm m để phơng trình có nghiệm b) Cho biểu thức P = Hớng dẫn: 6x1 x2 + x1 + x2 Tìm m cho P đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị a) m m b) Tính đợc P = 4(m + 2) + 28 Khi m => m + => ( m + ) => P 32 ( ) Khi Vậy MinP = 32 m = - Bài 70 Cho phơng trình x2 2(m 6)x 2m = a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) Cho P = x12 + x22 26x1x2 - x12 x22 Chứng minh giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào tham số m Kết quả: b) P = 196 => giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào tham số m m => m + => m + 25 => P 128 Bài 71 Cho phơng trình x 2(m + 1)x + m = a) Giải phơng trình m = b) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m x (1 x2 ) + x (1 x1 ) c) Chứng minh biểu thức A = không phụ thuộc vào giá trị tham số m Kết quả: x =2+ a) , x2 = ' = (m + ) + 19 > b) , với m c) A = 10 => Giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị tham số m Bài 72 Cho phơng trình x 2(m + 1)x + 2m + 10 = Tìm m cho hai nghiệm phơng trình thỏa mãn A = 10x1 x2 + x1 + x2 đạt giá trị nhỏ 31 Hớng dẫn: Để phơng trình có hai nghiệm m m 2 10x1 x + x1 + x 2 = 4(m + 3) + 48 48 m + 3) Khi m => m + => ( => A 48 m + ) 36 Khi m => m + => ( => A 4.36 + 48 = 192 => MinA = 48 m = - Bài 73 Tìm hai số x, y trờng hợp sau: a) x + y = 11 xy = 28 Hớng dẫn: b) x y = xy = 66 2 c) x + y = 25 xy = 12 a) Hai số x, y hai nghiệm phơng trình bậc hai X 11X + 28 = giải phơng trình ta đợc X1 = 4, X = x = x = y =7 y = Do x, y có vai trò nh nên có hai cặp số (x , y) thỏa mãn b) Đặt Y = - y, ta có x + Y = 5, xY = - 66 Giải nh câu a tìm đợc x = 11 x = x = 11 x = Y = Y = 11 Hay y = y = 11 c) Tìm x + y = x = x = x = x = y = y = y = y = Kết quả: Bài 74: Tìm giá trị tham số m để hai phơng trình bậc hai sau có nghiệm chung, tìm nghiệm chung : x + mx + = x Giải: Cách 1: +x+m=0 x + mx + = x + x + m = có nghiệm - Hai phơng trình có nghiệm chung hệ - Trừ vế với vế hai phơng trình hệ ta có phơng trình: (m - 1)x = m - +) Nếu m = Thay trực tiếp vào hai phơng trình ta có: (*) x + x + = x + x + = Hai phơng trình vô nghiệm nên nghiệm chung +) Nếu m Từ phơng trình (*) => x = 1, nghiệm chung hai phơng trình Thay x = vào hai phơng trình ta đợc m = - - Vậy m = - hai phơng trình có nghiệm chung x = Cách 2: Xét hai trờng hợp Nếu x = 0, ta thấy phơng trình thứ = (vô lí) Vậy x = không nghiệm phơng trình thứ => không nghiệm chung hai phơng trình 2 m = x , m = x x x Nếu x Từ hai phơng trình rút x = x2 x 3 x Ta có: x + = x + x x = x = , nghiệm chung hai phơng trình => m = - Vậy m = - hai phơng trình có nghiệm chung x = 32 Bài 75: Tìm giá trị tham số k để hai phơng trình bậc hai sau có nghiệm chung, tìm nghiệm 2 chung : 2x + (3k + 1)x = 6x + (7k - 1)x -19 = Giải: - Hai phơng trình có nghiệm chung hệ 2x2 + (3k + 1)x = (1) 6x + (7k - 1)x -19 = (2) có nghiệm - Trừ vế với vế hai phơng trình hệ ta có phơng trình: (k + 2)x = +) Nếu k = - Thay vào phơng trình (1), ta có: 2x 5x = Giải phơng trình ta đợc hai nghiệm x1 = 5+ 97 , x2 = 97 Thay k = - vào phơng trình (2), ta có: 6x 15x 19 = x3 = 15 + Giải phơng trình ta đợc hai nghiệm => k = - hai phơng trình nghiệm chung 681 15 681 , x4 = 12 12 +) Nếu k Từ phơng trình (*) => x = k + Thay vào phơng trình (1), ta có: k1 = 2, k2 = 2 3k 8k + = => (thỏa mãn k ) k1 = 2x + 7x = Với , phơng trình (1) có hai nghiệm x5 = 1, x6 = 2 phơng trình (2) 6x + 13x 19 = có hai nghiệm x7 = 1, x8 = 19 k =2 => hai phơng trình có nghiệm chung x = k2 = , hai phơng trình có nghiệm chung x = Tơng tự với - Kết luận: k = hai phơng trình có nghiệm chung x = 2 k = hai phơng trình có nghiệm chung x = 2 Bài 76: Cho hai phơng trình sau: x (2m 3)x + = (1) 2x + x + m - = (2) Tìm m để hai phơng trình cho có nghiệm chung Hớng dẫn: - Hai phơng trình có nghiệm chung hệ x2 (2m 3)x + = (1) 2x + x + m - = (2) có nghiệm - Rút m từ phơng trình (2) thay vào phơng trình (1), ta có 2 4x + 3x 7x + = ( x + 2)(4x 5x + 3) = Phơng trình 4x 5x + = vô nghiệm => Nghiệm chung x = - 2, m = - Bài 77 Tìm a để hai phơng trình sau có nghiệm chung 2 2x + (2 3a )x + a = 2x + 3(1 a )x + 2a = 33 Hớng dẫn: - Hai phơng trình có nghiệm chung hệ 2x2 + (2 3a )x + a = 2x + 3(1 a )x + 2a = có nghiệm - Trừ vế với vế hai phơng trình, ta có: x = a Thay vào phơng trình thứ nhất, ta nhận đợc a = - Thay a = vào hai phơng trình, tìm nghiệm kết luận nghiệm chung ? - Thay a = - vào hai phơng trình, tìm nghiệm kết luận nghiệm chung ? - Tóm lại: a = hai phơng trình có nghiệm chung Bài 78 Tìm k để hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung 2 x 3x k = x + kx + = Hớng dẫn: x2 3x k = x + kx + = có nghiệm - Hai phơng trình có nghiệm chung hệ - Trừ vế với vế hai phơng trình, ta có: (k + 3)x = - (k + 3) (*) +) Nếu k = - 3, thay vào hai phơng trình nhận thấy hai phơng trình vô nghiệm nên nghiệm chung +) Nếu k => x = - 1, nghiệm chung hai phơng trình Thay vào hai phơng trình thu đợc k = Bài 79 : Chứng minh hệ số hai phơng trình bậc hai: 2 x + a1 x + b1 = 0, x + a2 x + b2 = a1 a2 = 2( b1 + b2 ) Giải: Cách 1: Gọi , có hai phơng trình có nghiệm lần lợt biệt thức hai phơng trình Ta có: liên lạc với hệ thức 2 + = ( a1 a2 ) 2 => , Vậy hai phơng trình có nghiệm Cách 2: Giả sử hai phơng trình vô nghiệm Khi a1 + = a1 4b1 + a2 4b2 = a1 + a2 4( b1 + b2 ) = a1 + a2 2a1 a2 < 4b1 a2 2 < 4b2 a => ( a1 a2 ) < ( vô lí) 2 < 0, < hay: 2 + a2 < 4( b1 + b2 ) = 2a1 a2 a1 2a1 a2 + a2 < a1 a2 ) ( , => Phải có hai biệt thức không âm Vậy có hai ph ơng trình có nghiệm Bài 80: Cho phơng trình x ax + a + = a) Giải phơng trình a = - b) Xác định a biết phơng trình có nghiệm - Tìm nốt nghiệm c) Chứng minh với a + b có hai phơng trình sau có nghiệm 2 x + 2ax + b = 0, x + 2bx + a = Hớng dẫn: a) x = x = - a = 13 ; x2 = 10 b) c) Tính tổng: 34 2 ' + ' = (a 2a + 1) + ( b 2b + 1) + (a + b 2) 2 ' + ' = (a 1) + ( b 1) + (a + b 2) ' ' ', ' => Vậy hai phơng trình có nghiệm Bài 81: Tìm m để hai phơng trình tơng đơng a) (m + 1)x = 4x + m mx - 3x = với m 2 b) x + x + m = x + mx + = Hớng dẫn: a) (m + 1)x = 4x + m mx - 3x = với m m + (m 3) (m + 1)x = 4x + m => x = m (m 3) mx - 3x = => x = m m+8 Hai phơng trình tơng đơng m = m => m = - Vậy m = - hai phơng trình tơng đơng 2 b) x + x + m = x + mx + = Trờng hợp 1: Hai phơng trình có nghiệm chung x + mx + = x + x + m = có nghiệm - Hai phơng trình có nghiệm chung hệ - Trừ vế với vế hai phơng trình hệ ta có phơng trình: (m - 1)x = m - +) Nếu m = Thay trực tiếp vào hai phơng trình ta có: (*) x + x + = x + x + = Hai phơng trình vô nghiệm nên nghiệm chung +) Nếu m Từ phơng trình (*) => x = 1, nghiệm chung hai phơng trình Thay x = vào hai phơng trình ta đợc m = - - Vậy m = - hai phơng trình có nghiệm chung x = - Với m = - 2, phơng trình thứ : x 2x + = x = Tập nghiệm S = { } - Với m = - 2, phơng trình thứ hai : x + x = x1 = 1, x2 = } Tập nghiệm S = { => S S ' Vậy m = - hai phơng trình không tơng đơng 1; < < Trờng hợp 2: Hai phơng trình vô nghiệm 4m < m> < m < m < < m < + = ( b c ) (đpcm) Theo đề b Bài 84: Cho ba phơng trình sau: x + ax + b = x + bx + c = (1); (2); x + cx + a = (3) Chứng minh ba phơng trình có phơng trình có nghiệm Hớng dẫn: Chứng minh 2 + + = (a 2) + ( b 2) + (c 2) Bài 85 Cho phơng trình: x 2(m + 1)x + n + = Tìm m n để phơng trình có hai nghiệm x1 = x2 = Kết quả: m = , n = Bài 86: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm : a) b) 1+ Hớng dẫn: = = 2 a) Ta có: S = + P = Hai số hai nghiệm phơng trình: 2 x Sx + P = x x + = 2x 3x + = 2 b) Tơng tự: x 2x = Bài 87 Cho phơng trình x + 5x + = Không giải phơng trình, tính giá trị biểu thức a) x1 + x2 b) x1 x2 + x1 x2 d) Hớng dẫn: a) 21 b) - x1 + x2 c) e) c) 433 x1 + x2 x1 x2 d) - 20 e) 17 x ,x Bài 88: Gọi hai nghiệm phơng trình: 2x + 2(m + 1)x + m + 4m + = Tìm giá trị lớn biểu thức A = Hớng dẫn: ĐK: m Tính đợc A = 36 m + 8m + = x1 x2 2x1 2x2 ( m + 1) ( m + ) 2 (m + 4) ( m + 1) ( m + ) => A = m 28m = Với điều kiện Vậy MaxA = m = - 2 Bài 89Cho phơng trình bậc hai x 2mx + 2m = Chứng tỏ phơng trình có hai nghiệm với m 2 Đặt A = 2( x1 + x2 ) 5x1 x2 a) Chứng minh A = 8m 18m + b) Tìm m cho A = 27 Tìm m cho phơng trình có nghiệm hai nghiệm Hớng dẫn: = (m 1) 0, m 2 a) Theo vi ét tính đợc A = 8m 18m + m1 = 3,m2 = b) Phơng trình có nghiệm hai nghiệm kia, giả sử x2 = 2x1 m1 = ,m2 = => 2 Bài 90Cho phơng trình x (2m + 1)x + m + m = a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm âm b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn Hớng dẫn: a) ĐK: ' P > S < x1 x2 = 50 => m < - x = m + 3, x2 = m b) = 25 > Tính đợc 3 x1 x2 = 50 (m + 3) (m 2) = 50 3m2 + 3m + = 10 3m + 3m + = 10 3m2 + 3m + = 10 Giải hai phơng trình ta đợc m= + m = 2 Bài 91 Cho phơng trình x 2(m + 2)x + m + = a) Giải phơng trình m = - b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu x ,x c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức x1 (1 2x2 ) + x2 (1 2x1 ) = m 37 Hớng dẫn: x1 = 1+ , x2 = a) b) m < - c) m = m = - 2 Bài 92 Cho phơng trình mx + 2mx + m + 3m = a) Xác định m để phơng trình vô nghiệm (1) x1 x2 = b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Hớng dẫn: a) Xét hai trờng hợp m = m Phơng trình vô nghiệm m > < m a ' > b) Để phơng trình có hai nghiệm phân biệt => m < - < m < x1 x2 = ( x1 x2 ) = => + m1 = 273 ,m2 = 273 (thỏa mãn) Bài 8: Cho phơng trình x 3x + = Không giải phơng trình, tính: 2 x + x2 x x2 ( x1 > x2 ) x1 + x2 b)x1 x x1 + x2 a) d) ; c) 2 x1 + x2 x x2 e) i) f) x1 x1 + x2 k) x1 + x2 x2 g) x1 x2 m) 2 2 b) p) x1 ( x1 1) + x2 ( x2 1) o) Kết quả: a) o) g) h) p) 21 i) 18 + b) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là: Kết quả: a) ĐK để phơng trình có hai nghiệm : m e) m) 47 f) n) (1) Tìm giá trị m để (1) có nghiệm + 33 3+3 ,m2 = 2 2 2 + m 2 + b) Phơng trình : x x + = Bài 94 Cho phơng trình (m 1)x 2mx + + m + = a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m 38 6x12 + 5x1x + 6x 2 8x13x + 8x1x 23 q) x = 2x2 thỏa mãn Tìm đợc q) Bài 93 a) Cho phơng trình x (m + 3)x + 2(m + 2) = m1 = x x + x1 x2 n) x1 d) k) 47 x x2 h) 2 x1 x2 c) x1 x2 + x1 + x2 + x1 x2 ( x1 + x2 ) x2 + x2 x1 b) Tìm m để phơng trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiệm phơng trình c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m x1 x + + =0 x2 x1 x ,x d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức Kết quả: a) ' = > => phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m ,x + x = b) m = x1 x2 ( x1 + x2 ) + = c) d) m = Bài 95 Tìm giá trị m để phơng trình x mx + m + = có hai nghiệm thỏa mãn x1 x2 + 2( x1 + x2 ) 19 = Kết quả: m = Bài 4: Xác định k để phơng trình ( k + 1)x 2( k + 2)x + k = có hai nghiệm thỏa mãn (4x1 + 1)(4x + 1) = 18 Kết quả: k = Bài 96 Cho phơng trình x 2(m 1)x + m = a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m c) Xác định m cho phơng trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Kết quả: x + x 2x x = 2 b) c) Phơng trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu ' > 0, m x1 x2 < x + x2 = ĐK: m = (Lu ý HS: Phơng trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu hai nghiệm hai số đối nhau) Bài 97 Cho phơng trình bậc hai mx 2(m + 2)x + m = a) Xác định m để phơng trình có nghiệm b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt âm Kết quả: a) Xét hai trờng hợp m = m => kết là: m b) - < m < 2 Bài 98 Cho phơng trình x 2(m + 1)x + m 4m + = a) Xác định m để phơng trình có nghiệm b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng Kết quả: m a) m> b) Bài 99 Cho phơng trình x + thức sau: a) + x1 x2 x x b) = Không giải phơng trình, tính giá trị biểu + 2 3 x1 x2 + x2 x1 + x2 c) d) 39 3+2 5 Kết quả: a) b) + c) Bài 100 Cho phơng trình (m + 1)x 2(m 1)x + m = 15 d) 3 (1 + ) a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để phơng trình có nghiệm tính nghiệm c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn + = x1 x2 4 b) m = - x2 = Kết quả: a) m < c) m = - Bài 10: Cho phơng trình 2x 6x + m = a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn x1 x + =3 x2 x1 Kết quả: a) < m 18 b) m = Bài101 : Cho phơng trình (m + 1)x 2(m 1)x + m = (1) (m 1) a) Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với m x1 x2 > x1 = 2x b) Tìm m để Hớng dẫn: b) Kết hợp vi ét x1 x2 > x1 + x2 2(m 1) m + với x1 = 2x2 , tìm đợc x1 x => m = ? = => m < - m > Kết toán: m = m = - Bài 102 Cho phơng trình x + mx + n = 1) Cho n = a) Chứng tỏ phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 x2 = 2 x1 x2 = x1 , x2 2) Tìm m n để hai nghiệm phơng trình (1) thỏa mãn : Kết quả: 1) a Thay n = vào phơng trình, ta có x + mx = => > 0, m b m = x1 x2 = => x1 = x2 = 2 x x = 2) Từ điều kiện đề Viết hệ thức vi ét suy m = - ; n = 15 Bài 103 Cho phơng trình x (2m + 3)x + m = a) Chứng tỏ phơng trình có nghiệm x x đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ b) Tìm m để A = Kết quả: a) Phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m 2 x1 x2 ) = (2m + 2) + 17 17 ( b) A = => Vậy MinA = 17 m = - 40 x1 x2 17 [...]... x2 ) 3 3 Vậy 9 9 729 81 729 32 4 405 = = ữ 3. 3 ữ 2 = 8 2 8 8 = 2 405 x 13 + x 23 = 8 2) Đặt u = 2 x1 3x2 và v = 2 x2 3 x1 ( 2 x1 3x2 ) Ta có: u + v = u+v= Mà: ( 2x u.v= = 2 x1 3x2 + 2 x2 3 x1 = - ( x1 + x2 ) = 9 2 9 2 3 x2 ) 1 + ( 2 x2 3x1 ) ( 2 x2 3x1 ) = 4 x1 x2 - 6 ( x12 + x22 ) + 9 x1.x2 6 ( x1 + x2 ) = 25 x1.x2 2 2 2 43 150 2 43 93 9 25 .3 6 ữ = 75 = = 2 2 2 2 = 93 = u.v 2 9 93 =... Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt 2.2 4 2.2 4 và 5 x1 + x2 = 2 x1.x2 = 3 b) áp dụng đinh lí Vi ét ta có: 3 3 x 13 + 3 x12 x1 + 3 x1 x22 + x 23 ) ( 3x12 x1 + 3 x1 x22 ) ( x + x 1 2 Mà: = = (x 1 + x2 ) 3x1 x2 ( x1 + x2 ) 3 29 3 Vậy 125 45 125 180 30 5 5 5 = = ữ 3 ( 3) ữ = 2 2 8 2 8 8 = 30 5 3 3 x1 + x2 = 8 2 Bài 64: Cho phơng trình 2 x 7 x + 1 = 0 gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng... Ta có: Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 7 x1 + x2 = 2 x x = 2 áp dụng định lí Vi ét, ta có: 1 2 2 3 3 ( x3 + 3x12 x1 + 3x1 x22 + x 23 ) ( 3x12 x1 + 3x1 x22 ) = b) Ta có: x1 + x2 = 1 (x 1 + x2 ) 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) 3 3 c) x1 + 7 7 34 3 42 34 3 168 175 175 = = 3 3 ữ 3. 2 ữ x + x 2 = 8 2 = 2 8 8 Vậy 1 8 = 2 1 14 + 8 2 = 2 x2 2 2 2) Đặt u = x1 x2 và v = x2 x1 2 x12 x2 ) ( x22 x1... x 13 + x 23 b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình Giải: 2 ( 1) Ta có: ' = 42 4.1.1 = 16 4 = 12 > 0 a) Xét phơng trình x + 4 x + 1 = 0 4 + 2 3 4 2 3 x1 = = 2 + 3 x2 = = 2 3 Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt 2.1 2.1 ; x1 + x2 = 4 x x = 1 b) áp dụng định lí Vi ét ta có: 1 2 3 3 x 13 + 3 x12 x1 + 3 x1 x22 + x 23 ) ( 3 x12 x1 + 3 x1 x22 ) ( x + x 1 2 Mà: = = (x 1 + x2 ) 3x1 x2 ( x1 + x2 ) 3. .. sau: 3 3 a) x1 + x2 ; x1.x2 b) x1 + x2 2) Xác định phơng trình bậc hai nhận 2 x1 3x2 và 2 x2 3 x1 là nghiệm Giải: 2 = ( 9 ) 4.2.6 = 81 48 = 33 > 0 1) Xét phơng trình 2 x 9 x + 6 = 0 Ta có: 2 28 Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 9 x1 + x2 = 2 x x = 3 áp dụng định lí Vi ét, ta có: 1 2 3 3 ( x3 + 3x12 x1 + 3x1 x22 + x 23 ) ( 3x12 x1 + 3x1 x22 ) = b) Ta có: x1 + x2 = 1 (x 1 + x2 ) 3x1... m 2 Bài 72 Cho phơng trình x 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 Tìm m sao cho hai nghiệm của phơng trình 2 thỏa mãn A = 10x1 x2 + x1 + x2 2 đạt giá trị nhỏ nhất 31 Hớng dẫn: Để phơng trình có hai nghiệm thì m 3 hoặc m 3 2 2 10x1 x 2 + x1 + x 2 2 = 4(m + 3) + 48 48 m + 3) Khi m 3 => m + 3 0 => ( 2 0 => A 48 2 m + 3 ) 36 Khi m 3 => m + 3 6 => ( => A 4 .36 + 48 = 192 => MinA = 48 m = - 3 Bài 73 Tìm... 2 4t + 3 = 0 2 Vì a + b + c = 0, nên phơng trình có hai nghiệm: t 1 = 1, t 2 = * Với t 1 = 1 x = 1 x = 1 c = 3 (TMĐK) a 2 * Với t 2 = 3 x 2 = 3 x = 3 Vậy phơng trình có 4 nghiệm : x = -1; 1; b) ĐK: x 0 Đặt x + 3; 3 1 =t x Ta đợc: t 2 4t + 3 = 0 Theo câu a/ t 1 = 1, t 2 = c =3 a 1 = 1 (PT vô nghiệm) x 1 3+ 5 3 5 2 * t 2 = 3 x + = 3 x 3x + 1 = 0 x1 = ; x2 = x 2 2 * t1 = 1 x + 20 Bài 41:... = 3 3 ĐK: m (để phơng trình có nghiệm) 2 x1 + x 2 = 2( m 1) 2 Theo hệ thức Vi-et và yêu cầu bài toán, ta có: x1x 2 = m 2 2x - 4x = - 4 2 1 4m 6 2m ; x2 = Từ (1) và (3) ta có x1 = thay vào (2), ta đợc 3 3 Khi đó nghiệm còn lại là x2 = (1) (2) 4 m 6 2m = m 2 2 2m( 4m 6) = 9 m 2 2 m 2 + 12m 18 = 0 3 3 ( ) (3) m = 6 + 3 6 (TM) m = 6 3 6 2 Bài 42 : Xác định m để phơng trình x + 5 x + 3. .. dơng Bài 36 Cho phơng trình: x2 - (2m - 3) x + m2 - 3m = 0 a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm khi m thay đổi b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 < 6 Giải a/ = 4m2 - 12m + 9 - 4m2 + 12m = 9 > 0 phơng trình luôn có 2 nghiệm 2m 3 3 2m 3 + 3 = m3 =m 2 2 b/ x1 = ; x2 = Với mọi m ta luôn có: m - 3 < m 1 < m - 3 < m < 6 4 < m < 6 Bài 37 Cho phơng trình: 3x2 -... dấu ( ( x 1) = 0 x = 1 (TMĐK) ) 2 3 2 (1) e) Điều kiện để phơng trình có nghiệm x1; x2 là: m x1 + x 2 = 2( m 1) 2 (2) Khi đó theo Vi-et và đề bài ta có x1x 2 = m 2 x = 2x (3) 2 1 2( m 1) 4( m 1) ; x1 = Từ (1) và (3) ta có x2 = thay vào (2) ta đợc 3 3 2( m 1) 4( m 1) 2 = m 2 2 8( m 1) = 9 m 2 2 m 2 + 16m 26 = 0 3 3 m = 8 + 3 10 m = 8 3 10 3 3 m 2 ' 0 2 < m 2 f) Phơng trình ... Vi ét, ta có: 2 3 ( x3 + 3x12 x1 + 3x1 x22 + x 23 ) ( 3x12 x1 + 3x1 x22 ) = b) Ta có: x1 + x2 = (x + x2 ) x1 x2 ( x1 + x2 ) 3 c) x1 + 7 34 3 42 34 3 168 175 175 = = 3 ữ 3. 2 ữ x + x = = 8... ét, ta có: 3 ( x3 + 3x12 x1 + 3x1 x22 + x 23 ) ( 3x12 x1 + 3x1 x22 ) = b) Ta có: x1 + x2 = (x + x2 ) 3x1 x2 ( x1 + x2 ) 3 Vậy 9 729 81 729 32 4 405 = = ữ 3. 3 ữ = 8 = 405 x 13 + x 23 = 2) Đặt... 1.Phơng trình (1) có nghiệm kép = k2 (2 5k) = Cách 3: Thay m = - k2 + 5k = ( có = 25 + = 33 > ) 33 + 33 k1 = ; k2 = 2 33 + 33 Vậy có giá trị k1 = k2 = phơng trình (1) Có nghiệm kép