I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN _ Hong Th Phng Tho MT S QU TRèNH NGU NHIấN Cể BC NHY D THO LUN N TIN S TON HC H Ni 2015 I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN _ Hong Th Phng Tho MT S QU TRèNH NGU NHIấN Cể BC NHY Chuyờn ngnh: Lý thuyt xỏc sut v thng kờ toỏn hc Mó s: 62460106 LUN N TIN S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: PGS TS TRN HNG THAO H Ni - 2015 Li cam oan Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Cỏc s liu, kt qu nờu lun ỏn l trung thc v cha tng c cụng b bt k cụng trỡnh no khỏc Nghiờn cu sinh Hong Th Phng Tho Li cm n Trong quỏ trỡnh hc nghiờn cu hon thnh c lun ỏn Tin s ny tụi ó nhn c rt nhiu s giỳp t cỏc thy cụ giỏo, bn bố ng nghip v gia ỡnh tụi Ngi u tiờn tụi mun gi li cm n chõn thnh nht l PGS TS Trn Hựng Thao, ngi Thy ó v ang hng dn, o to tụi nghiờn cu khoa hc rt nhit tỡnh Thy khụng ch giỳp tụi ngy cng cú thờm nim say mờ nghiờn cu khoa hc, thy cũn cho tụi rt nhiu li khuyờn cuc sng Tip theo tụi mun by t nhng li cm n ti cỏc thnh viờn B mụn Xỏc sut Thng kờ , Khoa Toỏn C Tin hc ó thng xuyờn giỳp tụi, cho tụi nhng li khuyờn chõn thnh quỏ trỡnh lm bn lun ỏn ny c bit tụi ó c tham gia xờ mi na ca B mụn Xỏc sut Thng kờ, qua xờ mi na tụi ó trau di, m rng thờm kin thc v cỏc thy b mụn ó luụn cho tụi nhng li nhn xột quý bỏu quỏ trỡnh hc v nghiờn cu ca mỡnh ng thi, tụi xin gi li cm n sõu sc n Ban giỏm c i hc Quc gia H Ni, Ban giỏm hiu Trng i hc Khoa hc t nhiờn, Ban ch nhim Khoa Toỏn-C-Tin hc, Phũng sau i hc ó to nhng iu kin thun li tụi nghiờn cu tt hn v giỳp tụi hon thnh th tc bo v lun ỏn Cui cựng, tụi xin gi li cỏm n n nhng ngi thõn gia ỡnh, h hng, bn bố thõn thit, nhng ngi ó luụn bờn cnh ng viờn giỳp tụi, tụi hon thnh lun ỏn ny H ni, 01/2015 NCS: Hong Th Phng Tho Mc lc Li cam oan Li cm n Bng ký hiu M u Cỏc kin thc chun b 1.1 12 Quỏ trỡnh im 12 1.1.1 Quỏ trỡnh im mt bin 13 1.1.2 Quỏ trỡnh im nhiu bin 13 1.1.3 Quỏ trỡnh Poisson ngu nhiờn kộp hay quỏ trỡnh Poisson cú iu kin 14 c trng Wantanabe 15 1.2 Quỏ trỡnh Poisson 16 1.3 Quỏ trỡnh Poisson phc hp 18 1.4 Tớch phõn ngu nhiờn i vi quỏ trỡnh cú bc nhy 21 1.5 Cụng thc Itụ i vi quỏ trỡnh cú bc nhy 22 1.1.4 1.6 1.5.1 Cụng thc Itụ i vi quỏ trỡnh Poisson tiờu chun 23 1.5.2 Cụng thc Itụ i vi quỏ trỡnh Poisson phc hp 23 1.5.3 Trong trng hp tng quỏt 24 Quỏ trỡnh ngu nhiờn phõn th 26 1.6.1 26 Chuyn ng Brown phõn th 1.6.2 Xp x L2 -semimartingale 27 1.6.3 Tớch phõn ngu nhiờn phõn th v phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn phõn th 28 Quỏ trỡnh cú bc nhy v bi toỏn ri ro tớn dng 2.1 Mụ hỡnh cú bc nhy iu khin bi mt martingale Poisson 32 Phỏ sn ti thi im t cụng ty cú mt khon n L 33 Phỏ sn cú n khon n L1 , L2 , , Ln 34 Mụ hỡnh cú bc nhy iu khin bi mt chuyn ng Brown v mt quỏ trỡnh Poisson 36 2.2.1 Xỏc sut phỏ sn cụng ty cú mt khon n 38 2.2.2 Phỏ sn cụng ty cú nhiu khon n 39 Mụ hỡnh cú bc nhy iu khin bi mt chuyn ng Brown v mt quỏ trỡnh Poisson phc hp 42 2.3.1 Cụng ty cú mt khon n 44 2.3.2 Trng hp cụng ty cú nhiu khon n 47 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 Quỏ trỡnh cú bc nhy v quỏ trỡnh phõn th 3.1 Cỏc quỏ trỡnh phõn th cú bc nhy 3.1.1 55 55 Chuyn ng Brown phõn th hỡnh hc cú bc nhy 56 Quỏ trỡnh Ornstein-Uhlenbeck phõn th cú bc nhy 59 Phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn phõn th cú bc nhy 61 c lng bin ng ngu nhiờn phõn th vi quan sỏt l quỏ trỡnh cú bc nhy 66 3.2.1 67 3.1.2 3.1.3 3.2 30 3.2.2 Xp x ngu nhiờn phõn th c lng Vt ,1 70 3.2.3 c lng Vt ,2 v Vt 73 3.2.4 3.2.5 S hi t ca Vt ti nghim Vt c lng bin ng Vt 74 75 Danh mc cỏc cụng trỡnh khoa hc ca tỏc gi liờn quan n lun ỏn 78 Ti liu tham kho 79 Bng ký hiu P- h.c.c S hi hu chc chn L2 (, F, P ) Tp hp cỏc lp tng ng cỏc hm bỡnh phng kh tớch () N (0, 1) L2 lim Chun khụng gian L2 (, F, P ) Hm Gamma Bin ngu nhiờn cú phõn phi chun tc S hi t L2 C(S) Khụng gian cỏc hm ngu nhiờn liờn tc trờn khụng gian S Khụng gian cỏc hm ngu nhiờn b chn trờn S Phn nguyờn ca x C b (S) [x] M u Mt quỏ trỡnh cú bc nhy l mt quỏ trỡnh ngu nhiờn m cỏc qu o ca nú b giỏn on bi cỏc bc nhy V mt lch s thỡ u tiờn, ngi ta nghiờn cu cỏc h ng lc ngu nhiờn iu khin bi chuyn ng Brown m li gii l cỏc quỏ trỡnh cú qu o liờn tc Tuy nhiờn cỏc ng dng thc t thỡ nhiu cỏc h ng lc y khụng phn ỏnh ỳng s thc nhng s kin quan sỏt c Thay vo ú ngi ta nhn thy cỏc quỏ trỡnh cú bc nhy ỏp ng c tt hn s mụ t cỏc hin tng ú Chng hn, cỏc quỏ trỡnh cú bc nhy úng vai trũ ht sc quan trng tt c cỏc lnh vc ti chớnh úng gúp cho s phỏt trin ca cỏc mụ hỡnh ngu nhiờn cú bc nhy phi k n nhng thnh tu ca lý thuyt Semimartingale v c nng lc tớnh toỏn hin i ca cụng ngh thụng tin Quỏ trỡnh cú bc nhy n gin nht l quỏ trỡnh cú mt bc nhy Gi T l mt thi im ngu nhiờn, thụng thng ú l mt thi im dng ng vi mt b lc (Ft , t 0) no ú Xt = 1{T t} , (1) quỏ trỡnh ny cú giỏ tr bng trc mt s kin no ú xy ti thi im T v bng sau ú Nú cng mụ t thi im phỏ sn ca mt cụng ty vic mụ hỡnh húa ri ro tớn dng Tip theo l cỏc quỏ trỡnh cú giỏ tr nguyờn v cú c bc nhy ch bng 1, gi l quỏ trỡnh m (Xt , t 0) ú l quỏ trỡnh mụ t s cỏc bin c xy khong thi gian t n t Quỏ trỡnh m in hỡnh l quỏ trỡnh Poisson (Nt , t 0), ú Nt cú phõn phi Poisson vi tham s t Ngi ta cng cú th mụ t quỏ trỡnh ú bng cỏch cho khong thi gian gia hai bc nhy l bin ngu nhiờn c lp cựng phõn b m vi tham s S m rng tip theo l cỏc quỏ trỡnh Poisson phc hp (Xt , t 0), tc l cỏc quỏ trỡnh vi gia s c lp, dng v cú c bc nhy khụng phi l na m l cỏc bin ngu nhiờn cú phõn b xỏc sut no ú Nt Yk , Xt = (2) k=1 ú (Y1 , Y2 , ) l dóy cỏc bin ngu nhiờn c lp cựng phõn phi Mt ng dng in hỡnh ca quỏ trỡnh Poisson phc hp l mụ t tng s tin m cụng ty bo him phi tr cho khỏch hng ti thi im t, ti thi im y s khỏch hng ũi tr bo him l bin ngu nhiờn cú phõn b Poisson Bờn cnh ú ngi ta cng chỳ ý n quỏ trỡnh i trng ca Xt , tc l quỏ trỡnh Xt E[Xt ] Nu phõn phi cú k vng hu hn thỡ vỡ Xt cú gia s c lp, dng nờn ta cú E[Xt ] = tE[X1 ] v ú ta cú biu din Xt = (Xt E[Xt ]) + tE[X1 ] (3) Quỏ trỡnh i trng (Xt E[Xt ]) l mt martingale nờn tng ca (3) l tng ca mt martingale v mt dch chuyn tuyn tớnh tE[X1 ] Biu din (3) trờn gi ý n mt nh ngha tng quỏt v quỏ trỡnh semimartingale Xt = X0 + Vt + Mt , (4) ú V = (Vt , t 0) l mt quỏ trỡnh thớch nghi, cdlg v cú bin phõn hu hn, cũn M = (Mt , t 0) l mt martingale a phng Cng cú nhng quỏ trỡnh khụng phi l semimartingale, mt vớ d quan trng ú l quỏ trỡnh chuyn ng Brown phõn th H thc (4) núi chung khụng phi l nht, nú s l nht vi ú f l hm liờn tc b chn, f Cb (R) Nh ta ó bit (xem [31]) quỏ trỡnh mt c xỏc nh nh sau t mt = Yt (s )ds c gi l quỏ trỡnh tin mi t quỏ trỡnh quan sỏt Yt Thc t mt l mt quỏ trỡnh im FtY -martingale vi mi t, hn na trng (mt ms , t s) c lp vi FtY Quỏ trỡnh tin mi mt cú th c biu din di dng t mt = m0 + Ks dms ú Kt l quỏ trỡnh FtY o c tha t Ks (s )ds > P h.c.c (ii) Gi s o xỏc sut P thu c t o xỏc sut Q bng cỏch bin i liờn tc Q P cho àt = Yt t l mt (Q, FtY )martingale Vi mi t 0, kớ hiu Pt v Qt ln lt l hn ch ca P v Q trờn khụng gian (, Ft ), ta cú Pt [...]... động ngẫu nhiên phân thứ của một hệ động lực ngẫu nhiên dựa trên các quá trình quan sát có bước nhảy là các quá trình điểm Đó thực chất là bài toán lọc ngẫu nhiên mà quá trình hệ thống là một quá trình ngẫu nhiên phân thứ và quá trình quan sát là một quá trình điểm Luận án gồm 3 chương Chương 1 nêu những vấn đề chung về các quá trình ngẫu nhiên có bước nhảy như quá trình điểm, quá trình Poisson, quá trình. .. tài chính chúng tôi kết hợp cả 4 hướng trên, trên cơ sở phân tích lời giải của các phương trình vi phân ngẫu nhiên có bước nhảy thể hiện giá trị tài sản của một công ty Đó là các quá trình có dạng sau đây 1 Quá trình ngẫu nhiên điều khiển bởi một martingale Poisson 2 Quá trình ngẫu nhiên điều khiển bởi một quá trình khuếch tán có bước nhảy 3 Quá trình ngẫu nhiên điều khiển bởi chuyển động Brown và một. .. quá trình khuếch tán có bước nhảy, mô hình điều khiển bởi một chuyển động Brown và một quá trình Poisson phức hợp Trong Chương 3 chúng tôi xây dựng các quá trình phân thứ có bước nhảy và bài toán ước lượng tối ưu độ biến động của một quá trình phân thứ dựa trên các quan sát quá trình có bước nhảy là các quá trình điểm 11 Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị Chương này chủ yếu trình bày những vấn đề về quá. .. k=1 được gọi là quá trình Poisson phức hợp Các bước nhảy trong quá trình (Qt , t ≥ 0) xuất hiện cùng thời điểm với các bước nhảy trong quá trình Poisson (Nt , t ≥ 0), cỡ của các bước nhảy trong quá trình Poisson là 1 còn trong quá trình Poisson phức hợp là (Yk )k Hơn nữa Qt − Qs có cùng phân bố với Qt−s điều này do Nt − Ns có cùng phân bố với Nt−s Cho NT = n thì n cỡ bước nhảy của quá trình Poisson... mô tả quá trình Poisson kép theo hai bước ngẫu nhiên hóa như sau: Đầu tiên vạch ra quỹ đạo của một quá trình "điều khiển" kí hiệu là Yt và một khi quỹ đạo được chọn xong người ta tạo ra một quá trình Poisson với cường độ λ(t, Yt ) Vậy quá trình này chỉ là quá trình Poisson có điều kiện đối với Yt Các quá trình này có rất nhiều ứng dụng trong thực tế Định nghĩa 1.1 (xem [26]) Gọi Nt là một quá trình. .. 1.1 Quá trình điểm Một quá trình điểm có thể xem xét dưới ba góc nhìn khác nhau: hoặc xem nó như là một dãy các biến ngẫu nhiên không âm, hoặc là một độ đo rời rạc hoặc như là một quá trình đếm Ở đây ta theo quan điểm thứ 3 tức là xem nó như quá trình đếm Điều này phù hợp với các nghiên cứu ứng dụng về hệ động lực ngẫu nhiên rời rạc trong cơ học, trong kinh tế tài chính, 12 1.1.1 Quá trình điểm một. .. đó chứng tỏ rằng quá trình Poisson phức hợp (Qt , t ≥ 0) cũng có gia số độc lập giống như quá trình Poisson Thêm vào đó (Qt , t ≥ 0) là quá trình qui tâm nên ta có mệnh đề sau đây Mệnh đề 1.4 (xem [8]) Quá trình Poisson phức hợp đối trọng Mt = Qt − λtE[Y1 ], t ∈ R+ là một martingale 20 1.4 Tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình có bước nhảy Cho (Φt , t ∈ R+ ) là một quá trình ngẫu nhiên, ta gọi tích... bước nhảy sơ cấp nhất và có ích nhất chính là quá trình Poisson tiêu chuẩn Nt , t ∈ R+ Quá trình này có bước nhảy là 1 và quỹ đạo không thay đổi giữa hai bước nhảy ∞ Nt = 1[Tk ,∞] (t) (1.2.1) k=1 Trong đó (Tk )k≥1 là họ tăng, các thời điểm nhảy của Nt sao cho limk→∞ Tk = ∞, Tk có phân bố Gamma với tham số λ > 0 Ta có thể nói, quá trình Poisson tiêu chuẩn Nt xác định bởi (1.2.1) là một quá trình có gia... công cụ của giải tích ngẫu nhiên đối với quá trình có bước nhảy như tích phân ngẫu nhiên, công thức Itô Trong chương này cũng nêu lên khái niệm quá trình ngẫu nhiên phân thứ và một số tính chất của nó Chương 2 dành để trình bày các quá trình có bước nhảy áp dụng vào các bài toán rủi ro tín dụng Chúng tôi đã phát triển bài toán Merton cổ điển cho các trường hợp mô hình điều khiển bởi một martingale Poisson,... |≥1) , 0≤s≤t 7 trong đó Wt là một chuyển động Brown, Nt (ω, dx) = { số các s < t : ∆Xs (ω) ∈ dx} còn NtA = Nt (., dx) là một quá trình Poisson độc lập A với Bt , với A là một tập bất kỳ ⊂ R \ {0} và γ(dx) là một độ đo trên R \ {0} với min 1, x2 γ (dx) < ∞ Luận án nghiên cứu một số quá trình có bước nhảy vốn là lời giải của các phương trình vi phân ngẫu nhiên có bước nhảy Gắn với các quá trình đó là sự ... giải tích ngẫu nhiên trình có bước nhảy tích phân ngẫu nhiên, công thức Itô Trong chương nêu lên khái niệm trình ngẫu nhiên phân thứ số tính chất Chương dành để trình bày trình có bước nhảy áp... } i=1 Hai trình ngẫu nhiên Wt Nt trình ngẫu nhiên độc lập với nhau, trình ngẫu nhiên (Wt , t ≥ 0), (Nt , t ≥ 0) trình có gia số độc lập nên trình ngẫu nhiên (Ut , t ≥ 0) trình có gia số độc lập... 1.2 Quá trình Poisson Quá trình có bước nhảy sơ cấp có ích trình Poisson tiêu chuẩn Nt , t ∈ R+ Quá trình có bước nhảy quỹ đạo không thay đổi hai bước nhảy ∞ Nt = 1[Tk ,∞] (t) (1.2.1) k=1 Trong