MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I/ ĐẶT VẤN ĐỀ: 1/Thực trạng tầm quan trọng vấn đề: Cho đến nói đổi phương pháp dạy học vấn đề không mẽ ngành GD-ĐT nói chung ý quan tâm tiếp tục phát triển Đổi phương pháp dạy học chủ yếu theo tinh thần “lấy học sinh làm trung tâm” Phải cho học sinh (HS) hoạt động trí tuệ cao, tích cực lĩnh hội tri thức cách chủ động, nhanh chóng mà đảm bảo hiểu sâu sắc, vững vấn đề Đổi phương pháp dạy học nhằm mục đích dạy cho học sinh phương pháp học tập, làm việc đáp ứng mục tiêu giáo dục đào tạo học sinh thành người biết làm chủ tương lai đất nước Chính mà môn học nói riêng đòi hỏi thầy giáo, cô giáo phải thường xuyên tìm hiểu, nghiên cứu để truyền đạt đầy đủ nhất, nhanh nội dung, kiến thức môn đảm nhận Định hướng đổi PPDH môn toán giai đoạn xác định là: “Phương pháp dạy học toán nhà trường cấp phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động người học, hình thành phát triển lực tự học, trao dồi phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo tư duy” (Chương trình giáo dục phổ thông môn toán Bộ Giáo dục Đào tạo ban hành theo định số 16/2006/QĐ-BGD&ĐT ngày tháng năm 2006) – Trích: “Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học toán Trung học sở” Toán học nói riêng môn học công cụ đắc lực thiếu để hổ trợ cho môn khoa học khác giải vấn đề thực tế Việc giúp HS nắm vững kiến thức vận dụng toán học vào thực tế riêng thầy giáo, cô giáo Chương trình toán THCS giúp HS giải nhiều vấn đề thực tế Trong chương trình toán lớp có dạng toán mang tính áp dụng cao, sở để ứng dụng giải toán liên quan như: tìm cực trị đại số, hình học… “chững minh bất đẳng thức” Có thể nói không thực thành thạo việc chứng minh bất đẳng thức HS khó giải số toán cực trị ! Qua nhiều năm giảng dạy, thân không khỏi trăn trở làm để HS hiểu nắm vững phương pháp chứng minh bất đăngt hức cách hệ thống, đầy đủ khoa học Chính vào nghiên cứu, tìm hiểu viết đề tài nhằm san sẻ kinh nghiệm với em HS đồng nghiệp 2/Phạm vi đề tài: Trong chương trình toán THCS dạng toán chứng minh bất đẳng thức mà đề tài nghiên cứu áp dụng cho HS lớp lớp đặt biệt áp dụng cho HSG toán lớp 3/Đối tượng nghiên cứu: Để tiến hành đề tài nghiên cứu áp dụng cho lớp 8, lớp trường THCS Quang Trung năm học 2012-2013,2013-2014, 2014-2015 đặt biệt áp dụng cho HSG lớp lớp Đề tài tài liệu học tập tốt cho HSG lớp 8, lớp tài liệu tham khảo cho thầy, cô giáo phụ huynh HS nói chung II/ CƠ SỞ LÝ LUẬN: Dạy học toán thực chất dạy hoạt động toán học HS-chủ thể hoạt động học cần phải hút vào hoạt động học tập giáo viên tổ chức đạo, thông qua học sinh tự lực khám phá điều chưa biết thụ động tiếp thu tri thức đặt sẵn Theo tinh thần tiết lên lớp, giáo viên người tổ chức đạo học sinh tiến hành hoạt động học tập, củng cố kiến thức cũ tìm tòi phát kiến thức Giáo viên không cung cấp, không áp đặt kiến thức có sẵn đến với học sinh mà hướng cho học sinh thông qua hoạt động để phát chiếm lĩnh tri thức Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên giúp học sinh chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự tìm tòi phát kiến thức giúp rèn luyên khả tư duy, nhớ kỹ kiến thức học III/ CƠ SỞ THỰC TIỄN: Nhìn chung nhiều năm qua trường THCS Quang Trung nói riêng chất lượng mũi nhọn môn toán nói khiêm tốn Việc nghiên cứu viết chuyên đề môn toán để giảng dạy đặt biệt để bồi dưỡng HSG nói Với đề tài “các phương pháp chứng minh bất đẳng thức” chưa có viết Tôi hỏi thăm nhiều đồng nghiệp huyện để tìm tư liệu dạy học chưa có viết đề tài Qua kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy, nghiên cứu, tìm tòi tài liệu, nhận thấy tầm quan trọng việc đưa phương pháp chứng minh bất đẳng thức chương trình toán THCS nhận thấy cần có đề tài sâu vấn đề viết đề tài nhằm san sẻ hiểu biết với đồng nghiệp IV/ NỘI DUNG: 1/ Tìm hiểu vấn đề: Như nói phần trên, chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị! Đề tài không tìm hiểu kỉ ứng dụng việc chứng minh bất đẳng thức mà giới thiệu phương pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức Về lý thuyết: Trước hất ta cần nắm số định nghĩa số tính chất bất đẳng thức a/ Định nghĩa: Cho hai số a, b a>b ⇔ a-b>0; a b ⇔ b < a a > b Tính bắc cầu:  => a > c b > c Liên hệ thứ tự phép cộng: a > b => a + c > b + c ∀ c Hệ quả: a + c > b + c => a > b a + c < b => a < b - c Liên hệ thứ tự phép nhân: a > b => ac > bc c > a > b => ac < bc c < a > b => ac = bc c = a > b  => a + c > b + d c > d a > b  => a − c > b − d c < d Chú ý: Không trừ hai bất đẳng thức chiều không cộng hai bất đẳng thức ngược chiều a > b ≥ 0  => ac > bd c > d ≥ 0 a > b => an > bn (n ∈ N * n lẻ) n n a > b > => a > b (n ∈ N*) a > b ⇔ a n > bn (n ∈ N* n chẳn) So sánh hai luỹ thừa số: Với m > n m, n ∈ N* thì: Nếu a > => am > an a = => am = an < a < => am < an a>b  1 10  => < ab > 0 a b 11 a >b ⇔ a > b (a, b không âm) 12 < a < => a < a => < a < a c/ Một số bất đẳng thức thường dùng: a2n ≥ ∀ a x + ≥ (Tổng số dương với nghịch đảo nó) ∀ x>0 x 3 x2 + y2 ≥ 2xy ∀ x, y (x + y)2 ≥ 4xy ∀ x, y x2 + y  x + y  ≥ ∀ x, y  ≥ xy   a ≥ ∀ a≥ Một số bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: a ≥ ∀ a a − b ≤ a+b ≤ a + b a − b ≤ a − b 10 Bất đẳng thức Côsi (cho số không âm): a+b ≥ ab (a, b ≥ 0) a+b+c ≥ abc ) (BĐT Côsi cho ba số a, b, c không âm: *Trung bình cộng số không âm không nhỏ trung bình nhân chúng! 11 Bất đẳng thức tam giác: Nếu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thì: a + b > c 12 Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki: (a12 + a 22 )(b12 + b22 ) ≥ (a1b1 + a b2 ) ∀ a1, a2, b1, b2 2/ Một số phương pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức: (* Lưu ý : Khi chứng minh BĐT có dấu " ≥ " (hoặc " ≤ ") cần nêu rõ xảy dấu "=" ) 1/ Phương pháp 1: Dùng định nghĩa Để chứng minh A > B ta xét hiệu A - B chứng minh A - B > Ví dụ 1: Chứng minh : x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + xz Giải: Ta có : 2(x2 + y2 + z2) - 2(xy + yz + xz) = (x - y)2 + (y - z)2 + (x - z)2 ≥ Vậy: 2(x2 + y2 + z2) ≥ 2(xy + yz + xz) => x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + xz D ấu "=" xảy ⇔ x = y = z 2/ Phương pháp 2: Dựa vào tính bắc cầu: Để chứng minh A > B ta chọn biểu thức trung gian C chứng minh: A > C  => A > B C > B Ví dụ 2: Chứng minh: a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) Giải: Theo v í d ụ ta có: a4 + b4 + c4 = (a2)2 + (b2)2 + (c2)2 ≥ a2b2 +b2c2 + c2a2 ta lại có: a2b2 +b2c2 + c2a2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 ≥ ≥ ab2c +a2bc + bc2a = abc(a + b + c) 4 Theo tính chất bắc cầu ta có: a + b + c ≥ abc(a + b + c) 3/ Phương pháp 3: Phương pháp ước lượng (cộng BĐT chiều): 1 1 Ví dụ 3: Chứng minh: S = + + + + < (n ∈ N* , n ≥ 2) n Giải: (Nếu chứng minh trực tiếp khó) 1 1 => < − Ta có: < (k ∈ N; k ≥ 2) k (k − 1) k −1 k k k Từ ta có: 1 < − 22 1 < − 32 1 < − n −1 n n a b c a+b+c Giải: BĐT cần chứng minh tương đương với: 1 (a + b + c)( + + ) ≥ a b c a a b b c c ⇔ 3+ + + + + + ≥ b c a c a b a b a c  b c ⇔  + + + + +  ≥ b a c a c b BĐT cuối vì: a b a c b c + ≥ 2; + ≥ 2; + ≥ Dấu = xảy ⇔ a = b =c b a c a c b 5/ Phương pháp 5: Phương pháp đặt biến phụ: Ví dụ: Chứng minh (BĐT Côsi cho số, số không âm) Cộng BĐT chiều ta được: S < 1− a+b+c+d  a/   ≥ abcd   (a, b, c, d ≥ 0) a+b+c b/  (a, b, c ≥ 0)  ≥ abc   Giải: a+b c+d = x ≥ 0; = y≥0 a/ Đặt : 2 Ta có: 2 a+b c+d  x+ y a+b+c+d    ≥ xy ⇒   ≥ 2     2 a+b+c+d  a+b c+d  ⇒  ≥    ≥ abcd       (đpcm) Dấu = xảy ⇔ a = b = c = d a+b+c b/ Đặt d = theo câu a ta có: a+b+c   a+b+c+  a + b + c a + b + c     a+b+c   ≥ abc ⇒   ≥ abc 3             a + b + c = 0 Nếu  ⇒ a = b = c = BĐTcần chứng minh a, b, c ≥  a+b+c Nếu a+b+c > Chia hai vế cho (a+b+c) ta   ≥ abc   Dấu = xảy ⇔ a = b = c 6/ Phương pháp 6: Phương pháp qui nạp: * Phương pháp chứng minh qui nạp: Để chứng minh mệnh đề A(n) với n ≥ a ta làm sau: Bước 1: Chứng minh mệnh đề A(n) với n = a Bước 2: Giả sử mệnh đề A(n) với n = k, ta có A(k) Bước 3: Chứng minh mệnh đề với n = k + (sử dụng A(k) đúng) Kết luận: Mệnh đề với n ≥ a Ví dụ 6: Chứng minh: 2n > n2 (n ∈ N, n ≥ 5) n Giải: + Với n = ta có: = = 32; n2 = 52 = 25 => 2n > n2 + Giả sử BĐT thức với n = k tức ta có: 2k > k2 + Ta phải chứng minh BĐT với n = k + tức là: 2k+1 > (k+1)2 Thật vậy: 2k > k2 => 2.2k > 2.k2 => 2k+1 > 2.k2 2.k2 > (k+1)2 ⇔ k2 -2k - > ⇔ (k - 1)2 - > : Đúng k ≥ k+1 Vậy: > 2k > (k+1)2 Kết luận BĐT ∀ n ≥ 7/ Phương pháp 7: Phương pháp chia khoảng: Ví dụ 7: a/ Chứng minh: f(x) = 27x4 - 8x +21 > ∀ x b/ Chứng minh: a + b ≤ a + b Giải: a/ + Nếu x ≥ 1: f(x) = 19x4 + 8(x4 - x) +21 = 19x4 + 8x(x3 - 1) + 21 hạng tử dương x ≥ nên f(x) > + Nếu x < : f(x) = 27x4 + 8(1 - x) + 13 > hạng tử dương Vậy BĐT chứng minh 2 a + b ≤ a + b ⇔ a + b ≤ ( a + b ) ⇔ (a + b) ≤ a + b + ab b/ ⇔ a + b + 2ab ≤ a + b + ab ⇔ ab ≤ ab BĐT cuối => BĐT chứng minh Dấu = xảy ⇔ ab = ab ⇔ ab ≥ ================================================================== Phụ bản: 1/ Dấu nhị thức bậc nhất: ax +b (a, b hệ số) x = -b/a gọi nghiệm nhị thức Bảng xét dấu: x -~ -b/a +~ Dấu ax + b Trái dấu với a Cùng dấu với a Ghi nhớ: “Nhỏ trái, lớn cùng” A( x) 2/ Dấu phân thức: B ( x) A( x) > ó A(x) B(x) dấu; B ( x) A( x) < ó A(x) B(x) khác dấu B ( x) V/ KẾT QUẢ: Qua việc áp dụng dạy phương pháp chứng minh bất đẳng thức năm gần thân nhận thấy đem lại kết tốt Đa số HS nắm phương pháp thường dùng để chứng minh bất đăngt hức HS biết vận dụng thành thạo phương pháp chứng minh bất đẳng thức vào tập cụ thể Đối với HSG: HS thực chứng minh bất đẳng thức mức độ khó chí khó Kết cụ thể: Với HS đại trà lớp 8, đề kiểm tra (về chứng minh bất đẳng thức đơn giản) thu kết sau: Chưa áp dụng đề tài Đã áp dụng đề tài 75% trung bình 82% trung bình Với HSG: - Năm học 2010-2011: bồi dưỡng HSG toán (chưa áp dụng đề tài) kết không đạt giải huyện - Năm học 2011-2012: bồi dưỡng HSG toán (có áp dụng đề tài) kết đạt giải khuyến khích huyện - Năm học 2012-2013: bồi dưỡng HSG toán (có áp dụng đề tài) keetrf đạt giải ba - Năm 2014-2015 bồi dưỡng HSG toán đạt giải khuyến khích vòng Kết khiêm tốn minh chứng cho tính hiệu đề tài Nhưng dù nghĩ kết thi HSG toán không phụ thuộc vào người thầy vào đề tài mà phụ thuộc nhiều yếu tố khác VI/ KẾT LUẬN: Với kinh nghiệm giảng dạy tìm tòi nghiên cứu áp dụng thấy việc hướng dẫn HS phương pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức đem lại hiệu định, góp phần nâng cao chất lượng đăc biệt chất lượng HSG Đại đa số HS nắm phương pháp cách hệ thống, khoa học, biết đối chiếu so sánh, nhận dạng biết vận dụng cách sáng tạo vào tập Vấn đề khó khăn đề tài thời gian để dạy phương pháp để chứng minh bất đẳng thức cho HS Với HSG nói thời gian thuận lợi bồi dưỡng riêng Cái khó dạy đại trà thời gian để chuyển tải hết Vì GV cần tranh thủ tiết luyện tập mà chuyển tải cho HS cách hợp lý Cần phải có hệ thống tập HS rèn luyện thêm sau dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nêu VII/ ĐỀ NGHỊ: Trong trình viết vận dụng đề tài, chủ yếu để bồi dưỡng HSG nhằm rèn luyện kĩ chứng minh bất đẳng thức nên chưa sâu phân tích mặt lý thuyết phương pháp chưa nêu ứng dụng việc chứng minh bất đẳng thức Trong viết tài liệu không sâu vào việc phân phối thời gian lựa chọn số lượng tập cố không đề cập đến việc dặn dò, hướng dẫn nhà mà đề cập đến việc hướng dẫn HS phương pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức Vì tuỳ theo tình hình thực tế địa phương, trình độ HS lớp mà GV điều chỉnh hợp lý Rất mong bạn đọc tìm hiểu nghiên cứu, phân tích cụ thể, nêu ứng dụng chứng minh bất đẳng thức, xếp tập theo loại để giúp HS có có nhìn tổng quát sâu sắc vấn đề Với thời gian ngắn ngủi kinh nghiệm chưa nhiều tài liệu có nhiều thiếu sót, hạn chế mong thầy cô giáo, học sinh bạn đọc góp ý kiến phê bình Chân thành cảm ơn ! Đại Lộc, ngày 29/11/2014 Người viết: Nguyễn Mính VIII/ TÀI LIỆU THAM KHẢO: Để viết đề tài tham khảo số tài liệu sau: 1/ Các chuyên đề toán tải từ Webside WWW.diendantoanhoc.com.vn 2/ Để học tốt đại số NXB Giáo dục – Năm 2006 3/ Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học toán Trung học sở (Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên môn toán THCS năm học 2008-2009) 4/ Sách tập toán lớp tập NXB Giáo dục - Năm 2004 5/ Sách giáo khoa Toán lớp tập NXB Giáo dục - Năm 2004 6/Tạp chí Toán học tuổi trẻ MỤC LỤC THỨ TỰ MỤC Đặt vấn đề Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiển Nội dung nghiên cứu Kết nghiên cứu Kết luận Đề nghị Tài liệu tham khảo TRANG 2 7 10 ... phần trên, chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị! Đề tài không tìm hiểu kỉ ứng dụng việc chứng minh bất đẳng thức mà giới thiệu phương pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức Về lý... dạy phương pháp chứng minh bất đẳng thức năm gần thân nhận thấy đem lại kết tốt Đa số HS nắm phương pháp thường dùng để chứng minh bất đăngt hức HS biết vận dụng thành thạo phương pháp chứng minh. .. > c 12 Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki: (a12 + a 22 )(b12 + b22 ) ≥ (a1b1 + a b2 ) ∀ a1, a2, b1, b2 2/ Một số phương pháp thường dùng để chứng minh bất đẳng thức: (* Lưu ý : Khi chứng minh BĐT