2 r, OAI HỌC , DỤC VÀvĐÀO v TẠO Bộ GIÁO ?SP_-| Bộ_GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HO CHI MINH I • TRƯỜNG ĐẠI HỌC sữ PHẠM TP Hồ• CHÍ,MINH• ^ TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP HỖ CHÍ MINH Phan Thị Ngọc Hưng Phan Thị Ngọc Hưng PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ TRÊN KHÔNG GIAN PARACỚMPACT TRÊN KHÔNG GIAN PARACỚMPACT Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN LUẬNVĂN VĂNTHẠC THẠCsĩsĩTOÁN TOÁNHỌC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DÃN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CÁM ƠN Luận văn hoàn thành dưói hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - ngưòi bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cún đề tài kinh nghiệm thực đề tài, cung cấp nhiều tài liệu truyền đạt kiến thức quí báu suốt trình thực luận văn Chân thành cám ơn quý thầy tổ Hình học, khoa Toán - Tin trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp tác giả nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học cao học Chân thành cám ơn quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực luận văn Trong trình thực luận văn, tác giả vài lần liên lạc vói nhà toán học nước ngoài, đặc biệt giáo sư Jerzy Dydak tận tình giải đáp vấn đề liên quan Xin chân thành cám ơn giáo sư Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu đồng nghiệp trường THPT Dân lập An Đông tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học cao học Sau chân thành cám ơn bạn lóp với trao đổi góp ý động viên tác giả suốt trình thực luận văn TP HCM tháng năm 2008 Tác giả Phan Thị Ngọc Hưng MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cám ơn .3 Mục lục MỞ ĐẦU Chương 1: KIÉN THỨC CHUẨN BỊ .12 1.1 Không gian tôpô 12 1.1.1 Định nghĩa không gian tôpô 12 1.1.2 Lân cận 12 1.1.3 Cơ sở 13 1.1.4 Cơ sở lân cận .13 1.1.5 Điểm tụ (hay điểm giói hạn) .13 1.1.6 Phần trong, bao đóng, tập trù mật .13 1.1.7 Định nghĩa không gian khả li 14 1.1.8 Các tiên đề đếm 14 1.2 Ánh xạ liên tục 14 1.3 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, phép đồng phôi 15 1.4 Không gian .16 1.4.1 Định nghĩa tôpô cảm sinh, không gian 16 1.4.2 Định lý (Điều kiện để tập mở, đóng không gian con) .16 1.4.3 Hệ 17 1.4.4 Định lý (Điều kiện để tập mở, đóng không gian con) .17 1.5 Không gian thương .17 1.6 Các tiên đề tách .18 1.6.1 Định nghĩa Tị - không gian 18 1.6.2 Định lý 19 1.7 Không gian chuẩn tắc 19 1.7.1 Bổ đề Urysohn 19 1.7.2 Định lý Tietze - Urysohn 19 1.7.3 Hệ 19 1.7.4 Định lý (Điều kiện để không gian chuẩn tắc) 20 1.7.5 Hệ 20 1.8 Không gian mêtric hóa 20 1.8.1 Định nghĩa tôpô sinh mêtric 20 1.8.2 Định nghĩa không gian mêtric hóa .20 1.8.3 Định lý 20 1.8.4 Các kết 21 1.9 Hữu hạn địa phương 21 1.9.1 Định nghĩa hữu hạn địa phương 21 1.9.2 Bổ đề 21 1.9.3 Định nghĩa rời rạc (ròi rạc địa phương) .21 1.9.4 Định nghĩa hữu hạn ơ-địa phương (hữu hạn địa phương đếm được) 22 1.9.5 Định nghĩa rời rạc ơ-địa phương (ơ-rời rạc, ròi rạc địa phương đếm được) 22 1.9.6 Định nghĩa làm mịn, làm mịn mở, làm mịn đóng 22 1.9.7 BỔ đề 23 1.10 Định lý mêtric hóa Nagata - Smirnov 23 1.10.1 Tập họp dạng Gs .23 1.10.2 Tập họp dạng Fơ 24 1.10.3 Định lý mêtric hóa Nagata - Smimov .24 1.11 Không gian compact 24 1.11.1 Định nghĩa phủ, phủ mở, phủ hữu hạn .24 1.11.2 Định nghĩa phủ con, phủ hữu hạn 24 1.11.3 Định nghĩa không gian compact .25 1.11.4 Định lý 25 1.11.5 compact hóa 26 1.12 Không gian paracompact 26 1.12.1 Định nghĩa không gian paracompact 27 1.12.2 Định lý 27 1.12.3 Hệ .27 1.12.4 Định lý 27 1.12.5 Định nghĩa giá ánh xạ (supportỷ) .27 1.13 Không gian phụ họp 27 Chương 2: PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ 29 2.1 Phân hoạch đơn vị 29 2.1.1 Định nghĩa tổng 29 2.1.2 2.1.3 Định nghĩa loại phân hoạch 29 Định nghĩa phân hoạch Z7-small .30 2.1.4 Đ ịnh nghĩa không gian chuẩn tắc 30 2.1.5 Đ ịnh lý thác triển Tietze không gian chuẩn tắc 31 2.1.6 Định nghĩa không gian paracompact 31 2.1.7 Hệ 31 2.1.8 Mệnh đề 32 2.1.9 Hệ 34 2.2 Đồng hên tục - Đồng liên tụcnghiêm ngặt 35 2.2.1 Định nghĩa đồngliên tụcnghiêm ngặt 35 2.2.2 Định nghĩa đồng liên tục 35 2.2.3 Mệnh đề .36 2.2.4 Mệnh đề .38 2.2.5 Mệnh đề .40 2.2.6 Định nghĩa phân hoạch xấp xĩ 42 2.2.7 Hệ 43 2.2.8 Mệnh đề .44 2.2.9 BỔ đề 46 2.2.10 Định lý tồn phân hoạch đơn vị Z7-small 47 2.2.11 Định nghĩa closure-preserving 47 2.3 Thác triển phân hoạch đơn vị 47 2.3.1 Mệnh đề .48 2.3.2 Mệnh đề .49 2.3.3 Định lý 51 2.3.4 BỔ đề 52 2.3.5 BỔ đề 53 2.3.6 BỔ đề 55 2.3.7 Bổ đề 56 2.3.8 BỔ đề 58 2.3.9 Định lý (Thác triển phân hoạch đơn vị paracompact) 59 2.4 Tích phân đạo hàm phân hoạch đon vị 60 2.5 Bậc chiều 61 2.5.1 Định nghĩa bậc phủ .61 2.5.2 Định nghĩa bậc phân hoạch đon vị .61 2.5.3 Định nghĩa chiều không gian .62 2.5.4 BỔ đề 62 2.5.5 Định nghĩa chiều không gian paracompact 64 2.5.6 Hệ 64 Chương 3: ỨNG DỤNG PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ VÀO TÔPÔ 66 3.1 ứn g dụng phân hoạch đơn vị không gian paracompact 66 3.1.1 Định lý thác triển Tietze 66 3.1.2 BỒ đề 68 3.1.3 Định lý A H Stone .69 3.1.4 Bồ đề 70 3.1.5 Định lý Tamano 70 3.1.6 Chú ý (Điều kiện để paracompact đếm chuẩn tắc) 72 3.1.7 Định lý (Điều kiện đủ không gian paracompact đếm được) .73 3.1.8 Định lý thay phân hoạch đơn vị 75 3.1.9 Hệ (Định lý Michael) 80 3.1.10 Định lý mêtric hóa .81 3.1.11 Định lý mêtric hóa Nagata - Smimov (Điều kiện cần) .84 3.2 Chiều phân hoạch đơn vị 86 3.2.1 Định lý (Tổng quát hóa định lý thác triển Tietze) 86 3.2.2 Mệnh đề (Chiều không gian phụ họp) 88 3.2.3 Định lý (Chiều không gian paracompact) .89 3.2.4 Mệnh đề (Sự thác triển xấp xĩ) 91 3.2.5 Hệ 93 3.2.6 Định lý 93 KÉT LUẬN 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO 98 MỞ ĐÀU Lý chọn đề tài Sự bùng no nghiên cứu tôpô thòi gian gần buộc phải xem xét lại vấn đề CO' xác định chủ đề nên có nghiên cứu tôpô Các nhà toán học tin sở để nghiên cứu không gian tôpô tính chuẩn tắc, compact, paracompact định lý thác triển Tietze Nhu biết, nhà tôpô túy nghiên cứu không gian thông qua phủ mở Trong đó, nhà tôpô hình học lại dùng hàm liên tục để nghiên cứu không gian Chính điều này, nhà toán học: J Dydak, N Feldman, J.Segal, R Engelking, I M James, A T Lundell, s Weingram, , nối bật Dydak nảy ý tuởng họp hai cách nghiên cứu Họ dùng phân hoạch đon vị để giải vấn đề thành công Chúng ta biết, phân hoạch đon vị công cụ giải tích, thuờng đuợc sử dụng lý thuyết đồng luân Nhung theo trình bày tôpô thống phân hoạch đon vị tồn phụ thuộc vào phủ cho truớc A T Lundell s Weingram có nhũng cố gắng áp dụng phân hoạch đon vị vào tôpô cw phức nhung dùng lại phân hoạch đon vị hữu hạn địa phuong I M James thảo luận đuợc phân hoạch đon vị hữu hạn điểm tôpô tống quát lý thuyết đồng luân Vì vậy, úng dụng gặp khó khăn dùng phuong pháp đại số đế xây dựng phân hoạch đon vị hữu hạn địa phuong Ngay phân hoạch đon ngại 10 Sự đòi khái niệm “Phân hoạch hàm đồng liên tục” hướng mói để tận dụng tất ưu điểm phép tính vi tích phân phương pháp đại số để nghiên cún phân hoạch đon vị Khái niệm “Paracompact” đòi năm gần Nó tống quát hóa hữu ích không gian compact Nó đặc biệt giúp ích cho ứng dụng tôpô hình học vi phân, điển hình định lý mêtric hóa Một nhũng tính chất hữu ích mà không gian paracompact sở hữu tồn phân hoạch đon vị Vì lí đó, tiếp tục tìm hiểu phân hoạch đon vị đặc biệt phân hoạch đon vị phụ thuộc vào phủ, phân hoạch đồng liên tục, tính đồng liên tục, thác triển phân hoạch đon vị, bậc phân hoạch đon vị Trên sở đó, tìm hiểu áp dụng chúng để nghiên cún tôpô hình học, đặc biệt nghiên cứu về: “Phân hoạch đơn vị không gian paracompact ” Mục đích Dùng phân hoạch đon vị phụ thuộc phủ đế chứng minh kết không gian paracomapact cách ngắn gọn đon giản hon Đối tượng nội dung nghiên cún Không gian paracompact Ý nghĩa khoa học thực tiễn Dùng phân hoạch đon vị phụ thuộc phủ làm giảm số điều kiện kết không gian paracompact giúp cho phát biếu không gian paracompact trở nên đon giản ngắn gọn hon 11 Cấu trúc luận văn Luận văn gồm ba chương Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Trình bày kiến thức tôpô đại cương có liên quan đến đề tài nghiên cứu Chương 2: Phân hoạch đon vị Ở chương trình bày: - Phân hoạch đon vị, đồng liên tục, đồng liên tục nghiêm ngặt tính chất kèm chúng minh chi tiết - Thác triển phân hoạch đon vị - Tích phân đạo hàm phân hoạch đon vị - Bậc phân hoạch đon vị chiều Các kết khác liên quan đến không gian chuẩn tắc luận văn trình bày không chứng minh Chưong 3: ứng dụng phân hoạch đon vị vào tôpô Cụ thể: - Dùng phân hoạch đon vị chứng minh số kết không gian paracompact: Định lý thác triển Tietze, định lý A H Stone, định lý Tamano, định lý mêtric hóa Nagata - smimov (điều kiện cần) 85 2-^ r\ìĩ rịĩl n>\ z z 2-~ẳ n> Do đó: {gsyílívOeSxv phân hoạch đơn vị X cho Us,n := ^,«_1(0,1], V(s,n)eSxN => {Us,n}(s,n)zSxN SỞ tập mở X Vậy: X mêtric hóa (Định lý 3.1.10) Như ta biết không gian qui X có sở hữu hạn ơ- địa phương không gian chuấn tắc Do đó, ^ Trường hơp đăc biẽt: X chuẩn tắc • X qui => X T\- không gian • A, B hai tập đóng rời X tồn họ đếm tập mở {Un}°°i=ỉ, X phủ A cho B n cl(ưn) n Thật vậy: Un định nghĩa họp Us/l cho B ncl(U ) = • Tương tự ta tìm họ đếm được{Vn}°° tập mở X phủ • Địtu:~un\{Jvk k nên is(x) > 0, Vse s (Vì [ịs}ses xấp xĩ {is}ses) Suy is(x) > 0, Vse T Do đó: {is}seT có bậc lón hon (n + 1) V : vô lý (Vì bậc {ỉ'.v}i6S tối đa n V) => Bậc {gs I B}seS tối đa n Vậy: {gsìses thỏa c) d) 3.2.2 Mệnh đề: 89 Giả sử A tập đóng không gian X /: A —> Y hàm liên tục Neu X Y paracompact X U/- Y paracompact Hơn nữa, dim(X) < n dim(T) < n dim(X uf Y ) < n Chứng minh • Giả sử u = {Us}.ves phủ mở X ụf Y Vì Y tập đóng X U f Y nên u phủ mở Y- paracompact Nên tồn phân hoạch đơn vị Y cho gs(Y \ Us) CỊ {0}, se s • Gọi t : X ® F — > V U / T l phép chiếu Thì 71 liên tục Mà u= {ưs}seS phủ mở X ụf Y Nên V = {Vs}seS , với vs = %\us), phủ mở củaX ® Y D Ấ © y, A ® Y paracompact (Vì A ® Y tập đóng X © Y paracompact) Do đó: {gv o 7ĩ}ves phân hoạch đơn vị A ® Y cho (gs o 7ĩ)(A ® Y \ Vs) e {0}, seS Theo định lý 2.3.9, {g.v0 7t}.ves thác triển đuợc X ® Y Sự thác triển cảm sinh phân hoạch đơn vị {hs}seS X Uf Y cho hs(XUfY\Us)Q{0},seS Vậy: X Uf Y paracompact • Để chứng minh dim(V u fY) < n trường họp dim(X) < n dim(F) n ta chứng minh tương tự định lý 3.2.1 Kết luận: Mệnh đề chứng minh 3.2.3 Định lý: < 90 oo Giả sử X không gian paracompact X = u Xk, với xk đóng X, VẢ; Nếu dim(X*) < n, \/k dim(X) < n Chứng minh Chứng minh: dim(X) < n Bất kỳ phân hoạch đơn vị ịýsìses X xấp xĩ với phân hoạch đơn vị {g.y}.ves có bậc tối đa n Giả sử ựsìses phân hoạch đơn vị X Chúng ta chứng minh cách qui nạp theo k ỉ) Khi k = 1: Xỉ đóng X- paracompact, dimỢQ < n Khi đó: Xấp xĩ ị f s ị x Ị phân hoạch đơn vị có bậc tối đa n (theo bổ đề 2.5.4), thác triển X ta phân hoạch đơn vị {gishes cho {gi sl.ves xấp xĩ ựs}ses (Theo bổ đề 2.3.7), bậc jgj v |B Ị tối đa n vói lân cận đóng B\ X\ X (Theo định lý 3.2.lc) ii) Giả sử với k> 1, tồn phân hoạch đon vị {gksìses X mà xấp xĩ oo {/ílves , vói lân cân đóng Bk )xk bâc của| gk B Ị tối đa n V, ’ k J seS k=l Ta chứng minh điều với k+ Thật vậy: Đặt A = B k n xk+ì A đóng X dim(A) < n (Do hệ 2.4.4) {gk S\A}íe5 thác triển xk+ị để xấp xĩ { fsI xk+l)Ắ bảo toàn bậc lúc Dán thác triển vừa tìm vói B Ị , sau thác triển X, ta xấp xĩ {g/t+1 íLes ỰS}S(ES (Theo định lý 3.2.1), cho bậc 91 Lấy giới hạn thuận tất {g£ v}.96s k—>oo ta xấp xĩ {g.y}.ves ưsìses CÓ bậc tối đa n Vậy: dim(X) < n (Do định nghĩa 2.5.5) Một phần ý nghĩa định lý 3.2.1 là: Phân hoạch đơn vị tập đóng không gian paracompact thác triển lân cận mà hảo toàn bậc Ket thác triển xấp xĩ 3.2.4 Mệnh đề: Giả sử A tập không gian mêtric hóa X {fs}SEs phân hoạch đơn vị A Khi tồn lân cận u A X phân hoạch đon vị hữu hạn địa phương {g.v}.V(Els u cho {gvLlies xấp xĩ Ưsìses • Hon nữa, bậc ựs}ses tối đa n bậc {g.v}ies tối đa n Chứng minh Gọi u tập mở A Đặt e(U) = {x£X I dist(x, A) < dist(x, X\U)} Nếu X£ Anể(ơ) Thì Ị xe A ịdist(x,A) = \xe e(ỊJ) \dist(x,A) < dist(x, X \ ư) Khi đó: dist(x,X\ư)> Tức l X Ề x\u => X e u 92 Ị dist(x, A) = => dist(x,A) < dist(x, X \ư) [dist(x, X \ U) > => xe e(U) =>í =>(AnU) c Suy ra: A n e(ơ) = u • Ta có: e(V n W) = e(V) n £(W), với V ÍT hai tập mở A Thật vậy: e(VnW) = { x e x\dist(x,A) < dist(x, X - ( ỵ n W ) ) } = {xe x\dỉst(x,A) < dist(x,(X - V ) u ( X - W ) ) } = Ịxe xịdist(x,A) < min{ dist(x,X - V),dist(x,X - V T ) } Ị = {xe X \dist(x, A) < dist(x,X -V)Ịn n { x e X \dist(x, A) < dist(x,X -VT)} = e(V)ne(W) • Đặt us := f;\0, ì],seS, vs := e ( U s ) , s e S , Pl e(Us \ (vói T tập hữu hạn s), bậc Vì: e \S&T / ssT { V L e s tối đa bậc ựs}ses• (3) X mêtric hóa nên X paracompact Do đó: X chuẩn tắc Mà: {ỵv}.ves phủ mở u Nên chọn phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương {g.v}.ves cho g s ( X - V s ) c z { 0}, seS Hơn nữa, bậc {g.v}ie5 tối đa bậc ựs}ses , (Vì bậc phân hoạch đơn vị bậc phủ mở (3)) {gv I xấp xĩ {fs}seS • 93 3.2.5 Hệ quả: Giả sử A tập không gian X Neu X mêtric hóa dim(A) < dim(X) Chứng minh Đặt dim(X) = n • Cho {fs)ses phân hoạch đơn vị A, ta tìm lân cận mở u A X phân hoạch đơn vị {g,},e5 u cho { g J A h e s xấp xĩ ựs}seS (Theo mệnh đề 3.2.4) Vì u tập có dạng Fơ X • Nên: dim (ỉ/) < n (Theo định lý 3.2.3), {g.v}i65 xấp xĩ {hs}s€s có bậc tối đa n (Theo bổ đề 2.5.4) {hs\A},ve5 xấp xĩ {fs}ses bậc tối đa n • Nên dim(A) < n (Theo định nghĩa 2.5.5) Hay dim(A) < dim(X) 3.2.6 Định lý: Giả sử A B tập không gian X Neu X mêtric hóa dim(A u ) < dim(A) + dim(5) + Chứng minh • Đặt dim(A) = m, dim(Z?) = n Giả sử ựsìses phân hoạch đơn vị X Dựa vào mệnh đề 3.2.4 bố đề 2.5.4, ta tìm lân cận mở u A lân cận mở V B cho tồn phân hoạch đơn vị {g.v}.ves u có bậc tối đa m {hs}seS V có bậc tối đa n cho {g.v}.ve5 xấp xĩ ịfs I vìses 94 • X mêtric hóa nên X paracompact (Do hệ 3.1.3) Do đó: X chuẩn tắc (Tính chất không gian paracompact) Mà: X - u X - V tập đóng ròi X Nên tồn hàm liên tục a: X —» [0, 1] cho: u ( X - t / ) c { } v u ( X - V ) c { l } (Bổ đề Urysohn) • Đặt p s ( x ) = a ( x ) g s ( x ) + ( ì - a ( x ) ) h s ( x ) , x E X Khi đó: ps hên tục, S E s, ỵPs = Z [ a - S t + (!-«)•*,] ssS seS = seS Ha-gs + Y,(ỉ-a).hs seS = a- + (1 -à) v.^5 J = a + (1 — ) = 1, Ị> xeư nV X E X\(Ụ nV) = (X \ơ) u(X \V) xe X => ps(x) = a(x).fs(x) + (l-a(x)).fs(x) = f s ( x ) >0 ps(x) = g s ( x ) + - ì ) h s ( x ) = _ ps (x) > => f s ( x ) > 0,\/SE s ^ [ p , ( X \ ( n V ) ) c Ị 0},56 Vậy: {ps}sss phân hoạch đon vị xấp xĩ ịýsìses, có bậc tối đa m + n + 95 KẾT LUẬN • Như trình bày, dùng khái niệm mới: Phân hoạch đon vị, đồng liên tục, đồng liên tục nghiêm ngặt, bậc phân hoạch đon vị để nghiên cứu hình học tôpô Cụ chứng minh trực tiếp kết không gian paracompact kết lý thuyết chiều không gian paracompact Ở chưong 2, trước tiên trình bày phân hoạch hàm bất kỳ, phân hoạch phụ thuộc phủ, phân hoạch xấp xĩ, phân hoạch đồng liên tục hàm hữu hạn xác định dưong Trên sở chứng minh phân hoạch đồng liên tục có phân hoạch xấp xĩ hữu hạn địa phương, chứng minh tồn phân hoạch đơn vị z^-small (phân hoạch đơn vị phụ thuộc phủ) Tiếp theo trình bày thác triển phân hoạch đơn vị không gian paracompact: “Giả sử X paracompact, A tập đóng X, {l/5}ses phủ mở X Bất kỳ phân hoạch đơn vị {fs}ses A cho fs{A ưs) c {0}, s e S , tồn thác triển {gslses {fs}ses X cho gs{X - us) c {0}, s e S Nếu ựs}ses hữu hạn đỉa phương {gsỊseS hữu hạn địa phương Neu {fs}ses hữu hạn điểm A tập Gscủa X {g5}ses hữu hạn điểm” Để kết thúc chương chuẩn bị đầy đủ cho chưong tìm hiểu thêm bậc phân hoạch đơn vị thông qua định nghĩa chiều không gian không gian paracompact, đạo hàm tích phân phân hoạch đơn vị, Ớ chương 3, dùng phân hoạch đơn vị tùy ý, phân hoạch đồng liên tục, phân hoạch hữu hạn, phân hoạch hữu hạn địa phưong, phân hoạch hữu hạn điểm, bậc phân hoạch đơn vị, chứng minh cách chi 96 Định lý thác triển Tietze: “Neu X paracompact A tập đóng X, hàm liên tục f: A —» E từ A vào không gian Banach E thác triển X”\ Định lý A H Stone: 66Mỗi không gian mêtric hóa không gian paracompact Định lý Tamano: “Giả sử X không gian hoàn toàn quy Nếu X X rX chuẩn tắc với rX compact hóa X, X paracompact Ket lý thuyết chiều không gian paracompact (là định lý 3.2.1 - Tổng quát hóa định lý thác triển Tietze): “Cho n > Giả sử X không gian paracompact, { Ư s } s e S phủ mở X, A tập đóng X, \fs}ses phân hoạch đơn vị có bậc tối đa A cho fs(A - ưs) CỊ {0}, s e S Thì tồn phân hoạch đơn vị {gslses X lân cận đóng B A X cho điều kiện sau thỏa: a) gsU = f s , s e S b) g s ( X - U s ) c Ị { } , s e S c) Bậc gs\B tối đa n d) Nếu dim(Z) < n B = X” 97 Neu có quan tâm, mong độc giả tiếp tục nghiên cứu phân hoạch đơn vị Cuối cùng, có nhiều cố gắng luận văn tránh khỏi sai sót Chúng mong ý kiến đóng góp quí thầy cô bạn bè đối vói luận văn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cám ơn Tp Hồ Chí Minh tháng năm 2008 Tác giả 98 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đậu Thế Cấp, Tôpô đại cương, Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Định - Nguyễn Hoàng, Hàm so biến so thực (cơ sở giải tích đại), Nhà xuất Giáo dục J L Keli, Tôpô đại cương (Hồ Thuần, Hà Huy Khái, Đinh Mạnh Tường dịch), Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Nguyễn Xuân Liêm, Tôpô đại cương - Độ đo tích phân, Nhà xuất Giáo dục Hoàng Xuân Sính - Đoàn Quỳnh, Tôpô ?, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Trần Tráng, Tôpô đại cương, Khoa Toán - Tin học Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh (2005) Huỳnh Thị Như Ý (2008), Phân hoạch đơn vị không gian chuẩn tắc Tiếng Anh A T Lundell - s Weingram, The Topologỵ of cw complexes New York: Van Nostrand Reinhold Co., 1969 Glen E Bredon, Topology and Geometry, Springer 10 I M James, General Topology and Homotopy Theory, New York: Springer Verlag, 1984 11 Jerzy Dydak, Extension theory: The ỉnterỷace behveen set - theoretỉc and algebraic topology, Topology Appl 74 (1996), 1647-1661 12 Jerzy Dydak (2003), “Partitions of unity”, Volume 27 No 1, 125-171 13 J Van Mil, The Infỉnite — Dimensỉonal Topology of Function Spaces, North - Holland Mathematical Library 14 Http: //en.wikipedia.org/wiki/Paracompact spaces 99 15 Http: //en.wikipedia.org/wiki/Normal_space 16 Http: //en.wikipedia.org/wiki/Equicontinuity 17 Http: //en.wikipedia.org/wiki/Continuous_function [...]... thác triển trên X Tác giả định nghĩa không gian paracompact rất đon giản Ông chọn điều kiện mạnh nhất đế định nghĩa (không chọn điều kiện yếu nhất đặc trưng cho không gian paracompact như trước đây) 2.1.6 Định nghĩa không gian paracompact: Không gian Hausdorff X là paracompact nếu bất kỳ phủ mở {Us}seS trên X tồn tại phân hoạch đơn vị ỈY-small ựs}ses trên X Lưu ý: Định nghĩa (2.1.6) dựa trên điều kiện... phụ hợp X Uf Y là không gian thưong của họp ròi X ®F của X 29 Chương 2: PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ Mục tiêu của chương này là tạo ra phân hoạch của các hàm liên tục để định nghĩa lại không gian chuẩn tắc, không gian paracompact, đồng liên tục, đồng liên tục nghiêm ngặt cùng các tính chất của chúng, thác triển phân hoạch đơn vị và các phép tính vi tích phân của nó, định nghĩa chiều của một không gian cùng các... (1.12.1) dựa trên điều kiện yếu nhất của không gian paracompact nên chúng không tương đương nhau Minh họa sau đây sẽ cho chúng ta thấy định nghĩa trên mạnh như thế nào Nó giúp chúng ta chứng minh dễ dàng, đồng thòi cho thấy ưu điếm của việc sử dụng phân hoạch đơn vị tùy ý so vói việc sử dụng phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương như trước đây 2.1.7 Hệ quả: Neu An là tập con đóng của không gian paracompact. .. à) Mỗi không gian paracompact là không gian chuẩn tắc b) Mồi không gian mêtric hóa được là không gian paracompact (Định lý A H Stone) 1.12.4 Định lý: à) Không gian con đóng của không gian paracompact là paracompact b) Mồi không gian chính qui Lindelồí là paracompact định nghĩa: support(f) = cl{x&X \f(x) 0} 28 Định nghĩa: Giả sử A là một tập con đóng của không gian X và hàm /: A —ỳ Y liên tục Không. .. của phân hoạch đơn vị để phục vụ chương sau Chúng ta sẽ thực hiện từng bước nhỏ và đơn giản Yêu cầu đầu tiên là tính liên tục đặc trưng của 2] fs vói các số hạng của tổng đồng seS dạng nhau Lun ý: Neu không nói gì thì X là không gian bất kỳ Một số mệnh đề, bổ đề, định lý trên không gian chuẩn tắc chỉ phát biếu mà không chứng minh, có thế tham khảo chứng minh chi tiết ở luận văn Phân hoạch đcm vị trên. .. phủ mở hữu hạn {Us}seS tồn tại phân hoạch đơn vị ỈẨ-smaìl [ f s } s e s trên X Chú ý: Trưòưg họp s có hai phần tử thì định nghĩa trên là bố đề Urysohn Bằng cách qui nạp, bổ đề Urysohn sẽ suy ra định nghĩa trên Do đó, 31 định nghĩa trên và định nghĩa trước đây của không gian chuẩn tắc là tương đương 2.1.5 Định lý thác triển Tietze trên không gian chuẩn tắc: Neu X là không gian chuẩn tắc và A là tập... được gọi là phân hoạch đon vị trên X nếu X /y = 1 • seS - T được gọi là phẫn hoạch hữu hạn của / nếu /y = 0 vói tất cả 5 ngoại trừ hữu hạn se s Tức là/v ^ 0 vói hữu hạn se s - T được gọi là phẫn hoạch hữu hạn điểm của/nếu {*} là một phân hoạch hữu hạn của/ I {*} vói mọi x e X - T được gọi là phàn hoạch hữu hạn địa phưong của/nếu vói mỗi xeX có một lân cận Ư của trong X sao cho U là một phân hoạch hữu... hóa: Không gian tôpô (X, f) được gọi là không gian mêtric hóa (hay không gian mêtric hoá được) nếu trên X có một mêtric d sao cho tôpô sinh bỏi mêtric d trùng vói tôpô T trên X khi nó khả li 21 c) Tích của một họ đếm được các không gian mêtric hóa là không gian mêtric hóa d) Không gian chính qui có một cơ sở đếm được là không gian mêtric hóa 1.8.4 Các kết quả: ỉ ) Một không gian có cơ sở đếm được là không. .. ĐặtVn:={Vs}seSu{X\An} Thì mỗi Vn là phủ mở của X Vì X là paracompact nên tồn tại phân hoạch đơn vị ựnsìses u Un) trên X tưong ứng với phủ Vn oo s oo r • Đặt và «o:=ẸẶn=ỉ z /1=1 z ^ oo _£ A oo r oo í Ẩ? \ oo r 2>, + ío + ẳệ = Ệ + ỆẶ 5eS\n=l z / /ỉ=l z n=l\íe5 z / H=1 z 1 = yJL V/ + / n=\ z vseS / — = y_L = _2_ n=l z 2 = 1 Suy ra {g.v}ie5 u {go} là phân hoạch đơn vị trên X Nếu go(x) = 1 ũủfn(x) = 1, Vn và (x e X... là tập con compact trong X Thì 26 1.11.4 Compact hóa Các không gian compact là những không gian tôpô quan trọng nhất Vì vậy một vấn đề lý thuyết được đặt ra là: cho một không gian không compact X, có hay không một không gian compact Y sao cho X là một không gian con trù mật khắp noi trong Y ? 1.11.5.1 Định nghĩa: Cho không gian X không compact Không gian compact Y cùng vói ánh xạ h : X —> Y sao cho ... triển phân hoạch đon vị, bậc phân hoạch đon vị Trên sở đó, tìm hiểu áp dụng chúng để nghiên cún tôpô hình học, đặc biệt nghiên cứu về: Phân hoạch đơn vị không gian paracompact ” Mục đích Dùng phân. .. tính chất hữu ích mà không gian paracompact sở hữu tồn phân hoạch đon vị Vì lí đó, tiếp tục tìm hiểu phân hoạch đon vị đặc biệt phân hoạch đon vị phụ thuộc vào phủ, phân hoạch đồng liên tục,... triển phân hoạch đơn vị paracompact) 59 2.4 Tích phân đạo hàm phân hoạch đon vị 60 2.5 Bậc chiều 61 2.5.1 Định nghĩa bậc phủ .61 2.5.2 Định nghĩa bậc phân hoạch đon vị .61