, —> GIÁO ĐÀO TẠO Bộ GIÁOBộ DỤC VÀ DỤC ĐÀO VÀ TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SỪ PHẠM TRƯỜNG ĐẠI HỌC sừ PHẠM TP.Hố CHÍ MINH TP.Hố CHÍ TP HÓCHiMINH I -MINH Bùi Công Sơn PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỎN HỢP: THUẬT GIẢI ĐIÈU LẶP ĐƠN* LẶP CẤP HAI, SựSự TỒN TẠI, DUY LẶP ĐỚN, LẶP CẤP HAI, TỒN TẠI, NHẤT VÀ KHAI TRIỂN TIỆMTIỆM CẬN CẬN CỦA DỦY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN NGHIỆM CỦA NGHIỆM Chuyên ngành Mã số : Toán giải : 60 46 01 tích LUẬN LUẬN VĂN VĂN THẠC THẠC sĩ sĩ TOÁN TOÁN HỌC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THÀNH LONG Thành Thành phố phố Hồ Hồ Chí Chí Minh Minh 2008 2008 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Thành Long Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy người bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu đề tài kinh nghiệm thực đề tài, cung cấp nhiều tài liệu truyền đạt kiến thức quí báu suốt trình thực luận văn Chân thành cám ơn quý thầy tố Giải Tích, khoa Toán - Tin trường Đại học Sư Phạm Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh giúp tác giả nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học cao học Chân thành cám ơn quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực luận văn TP HCM tháng năm 2008 Tác giả Bùi Công Sơn MỤC LỤC Trang Lời cám ơn Mục lục MỞ ĐÀU Chương 1: CÁC CÔNG cụ CHUẨN BỊ 1.1 Các kí hiệu không gian hàm 1.2 Các công cụ thường sử dụng Chương : THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT 10 2.1 Giới thiệu 10 2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính .10 2.3 Sự tồn nghiệm 25 Chương : THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI 32 Chương : KHAI TRIỂN TIỆM CẬN .48 Chương : KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỌP CỤ THẺ 64 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 MỞ ĐẦU Các toán phi tuyến xuất khoa học đa dạng, nguồn đề tài mà nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong luận văn muốn sử dụng công cụ giải tích phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với nguyên lý ánh xạ co, phương pháp khai triển tiệm cận nhằm khảo sát phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên hỗn hợp Trong luận văn này, xét toán giá trị biên ban đầu sau utt -p(t)uxx +A,ut =f(x,t,u), xe£2, 0 số Trong luận văn nghiên cứu tồn nghiệm địa phương toán (0.1) - (0.3) Chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin liên kết với đánh giá tiên nghiệm với kĩ thuật hội tụ yếu tính compact Chúng nghiên cứu tồn hội tụ ||um -u||2, Wm’p(Q) wm’p III, (.,.) chuẩn tích vô hướng L2 Ta kí hiệu III chuẩn không gian Banach X Ta kí hiệu Lp(0,T;X), l,[f ] + 7Uf,]K + eN+1RN[f,f„£,0„e2] i=l N N+l -^e^tUị] + n, (t) i=l i=l = £ (h, (t) Au0 + 71, [f ] + 7I0[f, ] - Fj [u, ) (fh (t) Aui-1 + [f ] + Vi [fi ] - í [ui ])e* i=2 +8N+y1(t)AuN+8N+1RN[f,f1,8,e1,e2] 58 = £N+y,(t)AuN + £N+lRN[f,f„£,ei,e2] (4.36) Do tính bị chặn hàm u., ủ., Vu , i = 0,1, ,N không gian L°° (0,T;H') nên từ (4.32), (4.33), (4.35), (4.36) ta thu được: N+l < K|e I EIIL (0,T;L2) —I Klà số phụ thuộc vào M, T, N, ||p,| số Kj(M,T,f), i = 1,2, ,N +1, KiCM.T.Í,), i = 1,2, ,N Bổ đề 4.2 chứng minh xong Bây ta định nghĩa dãy hàm {v } sau v0 = 0, vm - K: (t)Avm + Xvm = F£[vm_, + h] - Fe [h] + Ee (x, t), < X < , < t < T, V vm (0, t) - h0vm (0, t) = Vvm (1, t) + h, vm (1, t) = 0, vm (x,0) = vm(x,0) = 0, m >1 Với m =1 ta có toán V, -pK(t)Av, +kv, =E£(x,t), 0 cho, với £, ịs\ (Q3)» thứ theotự + 66 67 Chúng thu đượcKÉT kết LUẬN hội tụ cấp hai dãy lặp { u m }Trong luận văn này, sử dụng sử dụng số công cụ nghiệm yếu u toán (2.1) - (2.3) thỏa đánh giá sai số Giải tích hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin liên hệ với kỹ ||um-u||[...]... tôi trình bày thuật giải lặp đơn: iim - p(t) Aum + x,ủm = f (x, t, um_,), X E Q, 0 < t < T, (2.4) Vum(0,t) - h0um(0,t) = Vum(l,t) + h,um(l,t) = 0, um(x,0) = u0(x), ủm(x,0) = u,(x), (2.5) (2.6) u0 là bước lặp ban đầu cho trước nằm trong một không gian hàm thích họp Trong phần một, chúng tôi thiết lập sự tồn tại của dãy lặp {u } bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết họp với phương pháp Galerkin và phương. .. (2.19), (2.20) và (2.69) rằng ii =p(t)Au —Xù +F € L”(0,T;L2), do đó um 6 W,(M,T) Định lý 2.1 chứng (t), minh hoàn+tất “IMt)f + \được M(t)^a(vm vm(t)) x||v„ (t)f 2 dt 2 dt 2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm =(Fm+.-Fm.'i'm(t)), Định lý 2.2 Giả sử (Ai) - (A4) đúng Khi đó tồn tại M > 0 và T > 0 IA toán (2.1) - ( 2.3) có duy nhất nghiệm yếu u G Wj(M,T) sao cho bài 2 dt Mặt khác, dãy quy nạp tuyến tính {um}... ||u(t)|f, b) Sự duy nhất nghiệm min{l,p0}Z(t) 31 V2K, t in{l,|i0} min 0 Z(t)< Áp dụng bổ đề Gronwall, từ (2.92) ta suy ra Z(t) = 0, nghĩa là Ui = u2 Định lý 2.2 được chứng minh xong Fn,(x.‘) = fm(x>‘.um) = f (X>Um-,) + (um - Um-,)^(X.Um-,) 32 Chương 3: THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI Trong chương này chúng ta xét bài toán biên và ban đầu (2.1) với giả thiết sau: (A5) f GC2(QxR) Với f thỏa giả thiết (A5), với M >... được rằng u G w, (M,T) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (2.1) - (2.3) Trong (3.39) cho p —*■ +oo, ta có định lý 3.2 |K+p-“m||W|(T) 0 sao cho pT = 2M|0.T < 1 thì {um} là dãy Cauchy trong W](T) Do đó tồn tại u€Wị (T) sao cho um u mạnh trong Wi(T) 48 Chương 4: KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Trong phần này, chúng... Kj(M,T,fj), i = 0,1 Do đó giói hạn u trong các không gian hàm thích hợp của dãy {u^} khi k—>+oo, đó m—>+oo là nghiệm yếu duy nhất của bài toán ue sau e Wj(M,T) 49 Khi đó ta có thế chứng minh tương tự như trong định lý 2.2 rằng giới hạn Uo trong các không gian hàm thích họp của họ {u£ j khi 8 —> Olà nghiệm yếu duy nhất của bài toán (P£) tương ứng với 8 = 0 thỏa u0 G Wj(M,T) (4.3) ở đây, tương ứng 8 = 0, (P0)... 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT 2.1 Giói thiệu Trong chương này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và giá trị đầu sau: utt -p(t)uxx +A,ut =f(x,t,u), X £ £2, 0 < t < T, (2.1) ux (0, t) - h0u(0, t) = ux (1, t) + h,u(l, t) = 0, (2.2) u(x,0) = u0(x), ut(x,0) = Uj(x), (2.3) trong đó À,, h0, hj là các hằng số không âm cho trước; u0, Up p và số hạng phi tuyến sau f cũng là hàm cho trước thỏa mãn một số điều kiện. .. u|„k) e w, (M,T), với mọi m, k (3.29) Qua giới hạn khi k —> +oo, ta có định lý 3.1 được chứng minh Tiếp theo ta nghiên cứu sự hội tụ bậc hai của dãy {um} về nghiệm yếu của bài toán (2.1) - (2.3) Định lý 3.2 Giả sử (Ai), (A3), (A5) đúng Khi đó: i) Tồn tại M > 0 và T > 0 sao cho bài toán (2.1) - (2.3) có nghiệm yếu u G W,(M,T) ii) Mặt khác, dãy {um} xác định bởi (2.19), (2.20) hội tụ cấp hai về nghiêm... động duy nhất trong s, tức là hệ (2.26) - (2.27) có duy nhất nghiệm •(u™)(‘),-AwJ) = a(u(t),wj) uLk)(t)Như trênvậy [0,T X Ta chứng minh tồn tại p > 0 và T^k) > 0 sao cho: c't— c' ,tn n+l (2n + l)! c ; n ! /~tn+l c:+,t 1 (n + 2)! (n + 1)! cr't (n + 1)! 37 3635 iii) ii) Sau đâytạibằng nạp ta H" sẽ chứng minh N, với Tồn n G quy N sao cho = H(Hn 1): srằng — >với s làmọi ánhnxạGco < (Dkt)n+1 ||c — mọi c,dES, với Thật mọi tE[o,T(k)Ị, ta ccó= (c,, ,ck) eS, ta có ||cx|| 'wj)ds wl 0 0 {uj c W,(M,T) xác định bởi (2.19) - (2.21) Chứng minh Gồm các bước dưới đây: Bước 1: Xấp xỉ Galerkin Gọi |w Ị là cơ sở trực chuẩn của ... ) tuyến +sf,(x,t,u) thu nghiệm tương ứng ue có khai triển tính, phương pháp khai triển tiệm cận, đế khảo sát phương trình sóng phi tiệm cận mộtkiện theobiên £ (với £ đủ nhỏ) theo nghĩa tuyến vớicấp... thu khai triển tiệm cận nghiệm yếu ue đến cấp hai theo £, với £ đủ nhỏ Trong [12], Nguyễn Thành Long Lê Thị Phương Ngọc nghiên cứu tồn nghiệm yếu, tồn hội tụ dãy lặp cấp hai, khai triển tiệm cận. .. compact đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với nguyên lý ánh xạ co, phương pháp khai triển tiệm cận nhằm khảo sát phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên hỗn hợp Trong